十字相乘法和韦达定理

十字相乘法和韦达定理 1 / 8 十字相乘法与韦达定理 十字相乘法 1．十字相乘法的依据和具体内容 一、知识准备： abxbaxabbxaxxbxax)())((22

（1）左边：ax与bx的形式； （2）右边：二次项系数为1；常数项的和)(ba为一次项的系数； 常数项的积ab作为常数项； 直接写出结果： )3)(2(xx = ， )4)(3(xx= ，

)2)(5(xx = ， )6)(8(xx = ，

二、探究活动： 1、abxbaxbxax)())((2反过来：abxbax)(2 也就是说，对于二次三项式qpxx2，如果常数q能分解为两个因数a，b的积，并且 常数q等于两个因数a，b的和时，就可以用上面的公式分解因式。 (1)对于二次项系数为1的二次三项式： ))(()(2bxaxabxbax

方法的特征是“拆常数项，凑一次项”（多试） ①当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； )3)(2(652xxxx 1582xx 28112xx

②当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． )2)(3(62xxxx 62xx 1242xx

练习：解方程（用十字相乘法） 0452xx 01282xx 03652xx

0422xx 0100522xx 0120192xx 十字相乘法和韦达定理 2 / 8 02700602xx 0525502xx 08.48.22xx (2) 对于二次项系数不是1的二次三项式 cbxax2))(()(2211211221221cxacxaccxcacaxaa

它的特征是“拆两头，凑中间，多试验” 2522xx； 3832xx 6752xx

（3）解方程：15442xx=0 3562xx =0 413102xx=0 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 2.拓展提高

1、把下列各式分解因式： 2252310abab 2265yxyx 91024xx

2、已知：xx211240，求x的取值范围。

3、已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足xyxxyy22220，求长方形的面积。 十字相乘法和韦达定理

3 / 8 课后作业 1．如果))((2bxaxqpxx，那么p等于 ( ) A．ab B．a＋b C．－ab D．－(a＋b) 2．如果305)(22xxbxbax，则a= ，b= ； 3．多项式axx32可分解为(x－5)(x－b)，则a= ，b= ； 4．解方程： 01072xx 02452xx 03522xx

045182xx 0800602xx 0240222xx

01250752xx 038482xx 036.09.02xx 5.解方程 071522xx 04832xx 06542xx

06752xx 0101162xx 031082xx 2.18)1(5)1(552xx 4.132)1(40)1(40402xx 韦达定理及其应用 一、知识要点 1、若一元二次方程002acbxax中，两根为1x，2x。则abxx21，

acxx21，；补充公式axx21

2、以1x，2x为两根的方程为021212xxxxxx 十字相乘法和韦达定理 4 / 8 3、用韦达定理分解因式2122xxxxaacxabxacbxax 4、使用韦达定理时应满足的条件： （1）方程必须是（ 一元二次方程 ），即条件为（ a≠0 ）

（2）方程必须有（ 实数根 ），即条件为（ b²-4ac≥0 ） 二、韦达定理的应用： 1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值 3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值 4.已知两数的和与积，求这两个数 5.已知方程的两根x1，x2 ，求作一个新的一元二次方程x2 –(x1+x2) x+ x1x2 =0 6.利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c = a(x- x1)(x- x2)

【例题求解】 【例1】 已知、是方程012xx的两个实数根，则代数式)2(22的值为 ．

【例2】如果a、b都是质数，且0132maa，0132mbb，那么baab的值为( ) A．22123 B．22125或2 C．22125 D．22123或2 【例3】 已知关于x的方程：04)2(22mxmx (1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根． (2)若这个方程的两个实根1x、2x满足212xx，求m的值及相应的1x、2x．

【例4】 设1x、2x是方程02324222mmmxx的两个实数根，当m为何值时，2221xx 有最小值?并求出这个最小值． 十字相乘法和韦达定理

5 / 8 【例5】 已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于x的方程047)21(222mmxx的两个根． (1)当m＝2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由． (2)若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且ABCD的长．

课后练习 A组 1．(1)已知1x和2x为一元二次方程013222mxx的两个实根，并1x和2x满足不等式142121xxxx，则实数m取值范围是 ． (2)已知关于x的一元二次方程07)1(82mxmx有两个负数根，那么实数m的取值范围是 ． 2．已知、是方程的两个实数根，则代数式2223的值为 ． 3．CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程0462xx的两根，则△ABC的面积是 ． 4．设1x、2x是关于x的方程02qpxx的两根，1x+1、2x+1是关于x的方程02pqxx的两根，则p、q的值分别等于( ) A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x 的方程0772cxx的两根，那么AB边上的中线长是( )

A．23 B．25 C．5 D．2

6．方程019972pxx恰有两个正整数根1x、2x，则)1)(1(21xxp的值是( ) A．1 B．-l C．21 D．21 7．若关于x的一元二次方程的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211xxxxxx，判断4)(2ba

是否正确? 十字相乘法和韦达定理 6 / 8 8．已知关于x的方程01)32(22kxkx． (1) 当k是为何值时，此方程有实数根； (2)若此方程的两个实数根1x、2x满足：312xx，求k的值．

B组 9．已知方程02qpxx的两根均为正整数，且28qp，那么这个方程两根为 ．

10．已知、是方程012xx的两个根，则34的值为 ． 11．△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程01222mxx的两根，则m的取值范围是 ． 12．两个质数a、b恰好是整系数方程的两个根，则baab的值是( )

A．9413 B．1949413 C．999413 D．979413 13．设方程有一个正根1x，一个负根2x，则以1x、2x为根的一元二次方程为( ) A．0232mxx B．0232mxx C．02412xmx D．02412xmx

14．如果方程0)2)(1(2mxxx的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是( ) A．0≤m≤1 B．m≥43 C．143m D．43≤m≤1 15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的长为10，且AB、BC(AB>BC)的长是关于x的方程的两个根． (1)求rn的值； 十字相乘法和韦达定理 7 / 8 （2）若E是AB上的一点，CF⊥DE于F，求BE为何值时，△CEF的面积是△CED的面积的31，请说明理由．

16．设m是不小于1的实数，使得关于x的方程工033)2(222mmxmx有两个不相等的实数根1x、2x． (1) 若62221xx，求m的值．

(2)求22212111xmxxmx的最大值．

17．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，过C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又关于x的方程012)1(24122mxnx两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的值．

18．设a、b、c为三个不同的实数，使得方程和012axx和02cbxx有一个相同的实数根，并且使方程02axx和02bcxx也有一个相同的实数根，试求cba的值．