2018届高中数学新人教B版(理科数学) 数列的通项与数列求和 单元测试 Word版 含答案
第48题+数列求和-2018精品之高中数学(理)黄金100题系列+Word版含解析
第 48题 数列求和I ．题源探究·黄金母题【例1】求数列1(2)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n S ．【答案】111112212n S n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭【解析】1111111111111111123224235222212n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=+-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【例2】如图，作边长为a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，求前n 个内切圆的面积和．【答案】21194na π⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】设第n 个正三角形的内切圆的半径为n a ．因为从第2个正三角形开始，每一个正三角形是前一个正三角形边长的12，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的12．由题意知1111tan 30,22n n a a a a -=︒==，故前n 个内切圆的面积和为精彩解读【试题来源】例1：人教A 版必修5P 47习题2．3B 组T 4改编；例2：人教A 版必修5P 61习题2．5B 组T 3改编．【母题评析】这类题考查数列求和的基本方法，考查考生的分析问题解决问题的能力以及基本计算能力． 【思路方法】根据和式的结构特征选用公式法、分组法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法求和．()212222212111111141144412414nn nn a aa a a -⎛⎫- ⎪⎡⎤π⎛⎫⎛⎫⎫⎝⎭+++π=π++++=⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎢⎥⎣⎦-．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考新课标2理3】我国古代数学名著中有如下问题：“十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯x x ，公比为2()71238112x ⨯-=-，解得3x =，即塔的顶层共有灯3盏，【例3】【2017高考新课标3理9】等差数列{}n a 的首项为公差不为0．若236,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6（ ） A ．24-B ．3-C ．3D ．8【答案】A【解析】∵等差数列{}n a 的首项为1，公差不为230a a a ,,,等比数列，2326a a a ∴=，()()()211125a d a d a d ∴+=++110a d =≠,，解得{}2n d a =-∴,前6项的和为616565661(2)2422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A ．【命题意图】本类题以考查分组法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法求和为主，识别出等差（比）数列，直接应用公式法也是考查的热点．【考试方向】这类试题在考查题型上，以解答题为主，一般第一问考查求数列的通项，第二问考查求和，并与不等式、函数、最值等问题综合，难度较大．【难点中心】利用等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法常用的方法还有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等．【例4】【2017高考新课标2理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑． 【答案】21nn + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意有：1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，数列的前n 项和()()()111111222n n n n n n n S na d n --+=+=⨯+⨯=， 裂项有：()1211211k S k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，据此： 1111111121......2122311nk k S n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑．．【例5】【2017高考山东理19】已知{x n }列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2，2)…P n +1(x n +1，n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T ．【答案】（I ）12.n n x -=（II ）(21)21.2n n n T -⨯+=【解析】（I ）设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >，由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，∴23520q q --=，∵0q >，∴12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=（II ）过123,,,P P P ……1n P+向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q ……1n Q +，由（I ）得111222.n n n n n x x --+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b ．由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯， ∴123n T b b b =+++……+n b =101325272-⨯+⨯+⨯+……+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ①又0122325272n T =⨯+⨯+⨯+……+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ②①-②得()()()()()1211113222221221221213212,2122n n n n nn n T n n n T ------=⨯++++-+⨯--⨯+=+-+⨯∴=-．【例6】【2017高考天津理18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N ．【答案】（1）32n a n =-．2nn b =．（2）1328433n n n T +-=⨯+．【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程求出等差数列首项1a 和公差d 及等比数列的公比q ，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确．试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=．又因为0q >，解得2q =．所以，2nn b =．由3412b a a =-，可得138d a -= ①． 由114=11S b ，可得1516a d += ②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-． 所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2nn b =．（II ）解：设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4nn n a b n -=-⨯， 故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯1112(14)4(31)4(32)48.14n n n n n ++⨯-=---⨯=--⨯--得1328433n n n T +-=⨯+． 所以数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+． III ．理论基础·解题原理1．等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．2．等比数列前n 项和公式 一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q -=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）．3．数列前n 项和①重要公式：（1）1nk k ==∑123n ++++=2)1(+n n ； （2）1(21)nk k =-=∑()13521n ++++-=2n ；（3）31nk k ==∑2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n ；（4）21nk k ==∑)12)(1(613212222++=++++n n n n ． ②等差数列中，m n m n S S S mnd +=++；③等比数列中，n mm n n m m n S S q S S q S +=+=+．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，以解答题为主，一般第一问考查求数列的通项，第二问考查求和，并与不等式、函数、最值等问题综合，难度较大． 【技能方法】 数列求和的常用方法1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求和．对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和．2．倒序相加法：类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法，如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．若n n n a b c =⋅，其中错误！未找到引用源。
2018届人教B版(理) 数列、不等式 单元检测
数列、不等式一、选择题1．【2017安徽阜阳二模】等差数列{}n a 前项和为n S ，75324,5S S a -==，则7S =（） A. 25 B. 49 C. 15 D. 40 【答案】B【解析】由题意得7373-52424549S a S a =⇒=+=，选B.2．【2017安徽马鞍山二模】设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53m 【答案】C3．【2017湖南娄底二模】已知数列{}n a 是首项为1，公差为d （*N d ∈）的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d 不可能是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B【解析】由题设，()11n a n d =+-，81是该数列中的一项，即()8111n d =+-，所以801n d=+，因为*,d n N ∈，所以d 是80的因数，故d 不可能是3，选B. 4．【2017安徽合肥二模】等差数列{}n a 的前项和为n S ，且36S =，63S =，则10S =（） A.110B. C. 10- D. 15- 【答案】D【解析】因为数列是等差数列，634563s s a a a -=++=-，1236a a a ++=，所以3339d d d ++=-，1d =-，又1336a d +=，13a =，10110910152s a d ⨯=+⋅=-，故选D ．5．【2017安徽淮北二模】如图，Rt ABC ∆中，P 是斜边BC 上一点，且满足：12BP PC =,点,M N 在过点P 的直线上，若,AM AB AN AC λμ==,(,0)λμ>,则2λμ+的最小值为（） A. 2 B. 83 C. 3 D. 103【答案】B点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定” (不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.6．【2017山西三区八校二模】为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求60ACB ∠=︒，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC 最短为（）A. 1⎛+ ⎝米B.米C. (1+米D. (2+米 【答案】D【解析】由题意设(1)BC x x =>米，(0)AC t t =>米，依题设0.50.5AB AC t =-=-米，在ABC 中，由余弦定理得：22202cos60AB AC BC ACBC =+-，即()2220.5t t x tx -=+-，化简并整理得：20.25(1)1x t x x -=>-，即0.75121t x x =-++-，因1x >，故0.751221t x x =-++≥+-1x =+时取等号），此时取最小值2+D 。
2018届人教B版 数列 检测卷(1)
【高效整合篇】数列（一）选择题（12*5=60分）1．【四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 【答案】B2．【广西高级中学2017届高三11月阶段性检测】在等差数列{}n a 中，3611a a +=，5839a a +=，则公差d 为（ ）A ．14-B ．7-C ．7D ．14【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 中，3611a a +=，5839a a +==,由()()58363911428a a a a d +-+=-==，得7d =.故选C.3．【河南省郑州市第一中学2017届高三上学期期中】已知等差数列{}n a ，62a =，则此数列的前11项的和11S =（ ）A ．44B ．33C ．22D ．11 【答案】C 【解析】61111111()11222a a S a +===,故选C.4．【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研】设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和为425S S =，则3825a a a 的值为（ ） A ．2-或1- B ．1或2 C ．2±或1-【答案】C 【解析】4242155(1)(1)(4)1,11q S S q q q q q q-=⇒=+⇒+-⇒=-=±⇒-或38251,2a a q a ==-±或，故选C.5．【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】数列{}n a 满足1a =与11[]{}n n n a a a +=+（[]n a 与{}n a 分别表示n a 的整数部分与分数部分），则2014a =（ ）A ．3020B ．3020+3018+D ．3018+【答案】B6．【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】已知数列{}n a 中，45n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥，且12b a =，则12||||||n b b b +++=（ ）A ．14n- B ． 41n- C. 143n -D ．413n -【解析】21q a 3a =-=-，1143)4(3--∙=-∙-=n n n b ， 所以12||||||n b b b +++=1n 24343433-∙+⋅⋅⋅+∙+∙+1441413-=--∙=n n.7．【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研】已知数列1234,,,a a a a 满足()1411111,1,2,322n n n na a a a n a a ++=-=-=，则1a 所有可能的值构成的集合为（ ）A ．1,12⎧⎫±±⎨⎬⎩⎭ B ．{}1,2±± C ．1,22⎧⎫±±⎨⎬⎩⎭D ．1,1,22⎧⎫±±±⎨⎬⎩⎭【答案】D8．【山西省太原市2017届高三上学期阶段性测评（期中）】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3249,21S a a ==，数列{}n b 满足()12121...12n n n b b b n N a a a *+++=-∈，若110n b <，则n 的最小值为（ ）A ．6B ．7 C.8 D ．9 【答案】C【解析】312322439,3,7,2,21n S a a a a a a d a n =++==∴====-, 令1212121 (113212)n n n n n b b b b b b T a a a n =+++=+++=--，则112111...11321212n n n n b b b b T n n +++=++++=--+，两式作差得111111112121222n n n n n n n b b T T n n +++++=-==-=++，所以11212n n n b +++=，又212n n n b -=，当110n b <时，即211210n n -<得n 的最小值为8，故选C. 9．【2017届湖南湘中名校教改联合体高三12月联考】若{}n a 是等差数列，首项10a >，201620170a a +>，201620170a a <，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ）A ．2016B ．2017C ．4032D ．4033 【答案】C 【解析】在等差数列中，20162017140324033+=+=，∴2016201714032a a a a +=+，则140321403240324032()4032()022a a a a S ++==>，由因为20162017201620170,0a a a a +>⋅<，所以201620170,0a a ><，14033403320174033()403302a a S a +==⋅<，故选C ．10．【2017届重庆巴蜀中学高三12月月考】设等差数列{a }n 的前n 项和为n S ，已知333(a 1)1122a -+=，399(a 1)110a -+=，则下列结论正确的是（ ）A.119311,a S a =<B.119311,a S a =>C.119322,a S a =<D.119322,a S a => 【答案】A11．【2017届江西抚州市七校高三上学期联考】若数列{}n a 满足()()()()1123252325lg 1n n n a n a n n n +⎛⎫+-+=+++⎪⎝⎭，且15a =，则数列23n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第100项为（ ）A ．2B ．3C ．1lg 99+D ．2lg 99+【答案】B【解析】由()()()()1123252325lg 1n n n a n a n n n +⎛⎫+-+=+++⎪⎝⎭可得：)11lg(32521n n a n a n n +=+-++，记32b +=n a n n ，有)11lg(b 1nb n n +=-+，由累加法得：1lgn b n +=，数列23n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第100项为31100lg =+，故选B.12．【2017届河南新乡一中高三周考12.18】定义12nnp p p +++为n 个正数1p ，2p ，…，n p 的“均倒数”．若已知正数数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b ++=（ ） A ．111 B ．112 C ．1011 D ．1112【答案】C【解析】由题意得{}n a 的前n 项和2111112,41,,1121n n n n n S n n n a n b n b b n n n +=⨯=+∴=-∴=∴=-++，122310111111111110(1)()()223101111b b b b b b ∴++=-+-+⋅⋅⋅+-=,故选C. （二）填空题（4*5=20分）13．【重庆市第八中学2017届高三上学期第二次适应性考试】若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12n n n S a a +=，14a =，则数列{}n a 的通项公式为n a = ．【答案】3,,n n n n +⎧⎨⎩为奇数为偶数【解析】当1n =时，12122,2a a a a ==，当1n >时，根据12n n n S a a +=，有112n n n S a a --=，两式相减得112n n a a +--=，所以数列135,,a a a 和数列246,,a a a 成公差为2的等差数列，故3,,n n n a n n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数.14．【河南省郑州市第一中学2017届高三上学期期中】已知数列{}n a 满足：对任意*n N ∈均有133n n a pa p +=+-（p 为常数，0p ≠且1p ≠），若{}2345,,,19,7,3,5,10,29a a a a ∈---，则1a 所有可能值的集合为_______________．【答案】{}1,3,67--- 【解析】试题分析：1113333(3)3n n n n n n a a pa p a p a p a ++++=+-⇒+=+⇒=+，又{}316,4,0,8,13,32,i a +∈--12,3,4,53i a =⇒+的可能值为 10,2,64a -⇒的所有可能值的集合为{}1,3,67---．15．【安徽师范大学附属中学2017届高三上学期期中】用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[3]3=，[1.2]1=，[ 1.3]2-=-.已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，则=++++++]1...11[201620162211a a a aa a _____________. 【答案】0【解析】因为21n n n a a a +=+，所以210n n n a a a +-=>，因此数列{}n a 是递增数列，且0n a >，由21n n n a a a +=+得11111n n n a a a +=-+，所以122016111111a a a +++=+++122320162017111111a a a a a a -+-++-1201711111a a a =-<=，所以201612122016[...]0111a a aa a a +++=+++． 16．【黑龙江、吉林两省八校2017届高三上学期期中】已知数列}{n a 与}{nb 满足)(32*∈+=N n b a n n ，若}{n b 的前n 项和为)13(23-=nn S 且λλ3)3(36+-+>n b a n n 对一切*∈N n 恒成立，则实数λ的取值范围是 . 【答案】),1813(+∞（三）解答题（10+5*12=70分）17．【2017届安徽皖南八校高三联考二】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1n nb S =，且2258a b =，5352S =. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求证：1232n b b b +++<…. 【解析】（Ⅰ）1n n b S =，2258a b =，5352S =，()11115,2872,2a d a d a d ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩∴解得：13,21.a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 12n a n =+，()22n b n n =+.（Ⅱ）()122222++1324352n b b b n n +++=++⨯⨯⨯+ (1111111113113)1324351122122n n n n n n =-+-+-++-+-=--<-++++….18．【2017届广西柳州市高三10月模拟】已知等差数列{}n a 的前三项分别为λ，6，3λ，前n 项和为n S ，且165k S =． （1）求λ及k 的值； （2）设32n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（1）∵λ，6，3λ成等差数列，∴312λλ+=，∴3λ=．∴等差数列{}n a 的首项13a =，公差3d =，前n 项和公式2332n n n S +=，由165k S =，即2331652k k+=，解得10k =．（2）∵21112(1)1n n b S n n n n ===-++，∴1211111(1)()()2231n n T b b b n n =+++=-+-++-+ (1111)nn n =-=++．19．【2017届河北衡水中学高三12月月考】已知等差数列{}n a 的前三项为142a a -，，，记前n 项和为n S ．（1）设2550k S =，求a 和k 的值； （2）设nn S b n=，求371141n b b b b -++++的值．【解析】（1）由已知得1231,4,2a a a a a =-== ，又1322a a a += ，∴()128a a -+=，即3a =．∴12a =，公差212d a a =-=． 由()112k k k S ka d -=+，得()12225502k k k -+⨯=，即225500k k +-=．解得50k =或51k =-（舍去）．∴3,50a k ==．20．【2017届河南中原名校豫南九校高三上学期质检四】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且55625S a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式()()282714nn n S n k a ++>-+对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围. 【解析】（1）设公差为d ，则11154545252a d a d a d ⨯+=+++=，∴1 1 3a d =-=，.∴{}n a 的通项公式为34n a n =-.（2）()312n n n S n -=-+，228273327n S n n n ++=++，43n a n +=；()911nk n n-<++，当n 为奇数时，91k n n ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭；当n 为偶数时，91k n n <++，∵917n n ++≥，当且仅当3n =时取等号，∴当n 为奇数时，91n n ++的最小值为7，当n 为偶数时，4n =时，91n n++的最小值为294，∴2974k -<<. 21．【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研】已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >,其前n 项和为n S ,且113322,,S a S a S a +++,成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11,2n na b n n a T +⎛⎫= ⎪⎝⎭为数列{}n b 前n 项和，若n T m ≥恒成立，求m 的最大值.【解析】（1）由题意可知:()()()331122313212322S a S a S a S S S S a a a +=+++∴-+-=+-,即314a a =,于是12311111,0,,1,422n n a q q q a a a -⎛⎫==>∴==∴= ⎪⎝⎭.（2）11111,,2222n nn na b na b n n n a b n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴=∴= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,21112232...2n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++, ① 232122232...2n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++ ,②∴①- ②得:()2112122 (2)2212112nn nn n n T n n n ---=++++-=-=---,()112n n T n ∴=+-,n T m ≥恒成立，只需()()()11min 212120n n n n n n T m T T n n n ++≥-=--=+>,{}n T ∴为递增数列，∴当1n =时，()min 1,1,n T m m =∴≤∴的最大值为1.22．【2017届福建南平浦城县高三上学期期中】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，数列{}n b 中，11b =，点1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上，*n N ∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项n a 和n b ； （2）求证：1223341111112n n b b b b b b b b +++++<…； （3）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．（2）∵111111()(21)(21)22121n n b b n n n n +==--+-+， ∴12233411111n n b b b b b b b b +++++…11111111(1)2335572121n n =-+-+-++--+111(1)2212n =-<+． （3）∵(21)2n n c n =-，∴1122n n n T a b a b a b =+++…23123252(21)2n n =⨯+⨯+⨯++-…，∴2321232(23)2(21)2n n T n n =⨯+⨯++-+-…，因此，23112(222222)(21)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--…，即341112(222)(21)2n n n T n ++-=⨯++++--…，∴1(23)26n n T n +=-+．。
(全国通用)2018年高考数学一轮复习单元滚动检测六数列理新人教B版
单元滚动检测六 数 列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·福州质检)设等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 2＋a 4＝6，则S 5等于( ) A ．10 B ．12 C ．15 D ．302．数列{}a n 为等差数列，a 1，a 2，a 3为等比数列，a 5＝1，则a 10等于( ) A ．5 B ．－1 C ．0 D ．13．若数列{}a n 满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N ＋)，则数列{}a n 的前n 项和最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．94．设等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或126．已知{}a n 为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8.则a 1＋a 10等于( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－77．已知{}a n 是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N ＋)的取值范围是( )A ．[12,16]B ．[8，323]C ．[8，323)D ．[163，323]8．(2016·运城期中)数列{}a n 满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N ＋都满足a n ＋1＝a n3a n ＋1，则数列{}a n a n ＋1的前n 项和为( )A.13n ＋1 B.n 3n ＋1 C.13n －2 D.n 3n －29．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N ＋，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．11010．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．511．约瑟夫规则：将1,2,3，…，n 按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，每隔一个数删除一个数，直至剩余一个数为止，删除的数依次为1,3,5,7，….当n ＝65时，剩余的一个数为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．812．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( ) A.nn ＋1 B.4n n ＋1 C.3n n ＋1 D.5nn ＋1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知S n 是数列{}a n 的前n 项和，且点(a n ，S n )在直线2x －y －2＝0上，则S 5S 3＝________. 14．若数列{}a n 的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{}a n 的通项公式是a n ＝________.15．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________． 16．对于正项数列{a n }，定义H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n ＝2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为____________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(2016·全国甲卷)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和.18.(12分)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，请说明理由．19.(12分)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N ＋，将数列{a n }中不大于72m的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m .20.(12分)(2017·宜昌调研)已知数列{}a n 满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N ＋，n ≥2)，数列{}b n 满足关系式b n ＝1a n(n ∈N ＋)．(1)求证：数列{}b n 为等差数列；(2)求数列{}a n 的通项公式.21.(12分)(2016·银川教学质量检测)已知数列{}a n 中，a 1＝1，其前n 项的和为S n ，且满足a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2，n ∈N ＋)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)证明：13S 1＋15S 2＋17S 3＋…＋12n ＋1S n ＜12.22.(12分)已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝3n,数列{}b n 满足b 1＝－1,b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N ＋)．(1)求数列{}a n 的通项公式； (2)求数列{}b n 的通项公式； (3)若c n ＝a n ·b nn，求数列{}c n 的前n 项和T n .答案精析1．C [由等差数列的性质可得a 2＋a 4＝a 1＋a 5，所以S 5＝5 a 1＋a 52＝15.]2．D [由题意得a 22＝a 1a 3＝(a 2－d )(a 2＋d )＝a 22－d 2， 所以d ＝0，a 10＝a 5＝1.] 3．B [∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{}a n 是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3 k ＋1 ≤0.∴193≤k ≤223. ∵k ∈N ＋，∴k ＝7.故满足条件的n 的值为7.]4．C [由题意知，a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由等差数列的前n 项和公式知，S m ＝m a 1＋a m2＝0，解得a 1＝－2，所以a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，解得m ＝5.]5．C [当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求；当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1 1－q 3 1－q＝21，解得q ＝－12或q ＝1(舍去)．综上可知，q ＝1或q ＝－12.]6．D [由题意，根据等比数列的性质得a 5a 6＝a 4a 7＝－8， 又a 4＋a 7＝2，设a 4，a 7是方程x 2－2x －8＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.解得a 1＋a 10＝－7.]7．C [因为{}a n 是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，所以q 3＝a 5a 2＝18，解得q ＝12，a 1＝4，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝a 1a 2 1－q 2n1－q2＝323(1－q 2n)∈[8，323)，故选C.]8．B [由a n ＋1＝a n 3a n ＋1，得1a n ＋1＝1a n ＋3，即1a n ＋1－1a n＝3. 又∵a 1＝1，∴1a 1＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，以3为公差的等差数列，∴1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝13n －2. a n a n ＋1＝1 3n －2 3n ＋1 ＝13(13n －2－13n ＋1)，∴数列{}a n a n ＋1的前n 项和为13(1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1)＝13(1－13n ＋1)＝n3n ＋1.故选B.]9．D [通过a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为－2， 所以a 27＝a 3·a 9，所以a 27＝(a 7＋8)(a 7－4)，所以a 7＝8， 所以a 1＝20，所以S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110，故选D.]10．D [由等差数列的前n 项和及等差中项， 可得a n b n ＝12 a 1＋a 2n －1 12b 1＋b 2n －1＝12 2n －1 a 1＋a 2n －1 12 2n －1 b 1＋b 2n －1 ＝A 2n －1B 2n －1 ＝7 2n －1 ＋45 2n －1 ＋3＝14n ＋382n ＋2 ＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1 (n ∈N ＋)， 故n ＝1,2,3,5,11时，a n b n为整数． 即正整数n 的个数是5.]11．B [将1,2,3，…，65按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，每隔一个数删除一个数，首先删除的数为1,3,5,7，…，65(删除33个，剩余32个)；然后循环，删除的数的个数分别为16,8,4,2,1，最后剩余2，故选B.] 12．B [∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n n ＋1＝4(1n －1n ＋1)，∴S n ＝4[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝4(1－1n ＋1)＝4n n ＋1.] 13.317解析 由点(a n ，S n )在直线2x －y －2＝0上，得2a n －S n －2＝0，即S n ＝2(a n －1)，所以当n ≥2时，S n －1＝2(a n －1－1)，两式相减可得a n ＝2a n －1(n ≥2)，又a 1＝2a 1－2，所以a 1＝2，所以数列{}a n 是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n，S 5S 3＝2 1－251－22 1－23 1－2＝25－123－1＝317.14．(－2)n －1解析 ∵S n ＝23a n ＋13，①∴当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13.②①－②，得a n ＝23a n －23a n －1，即a na n －1＝－2.∵a 1＝S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{}a n 是以1为首项，－2为公比的等比数列， ∴a n ＝(－2)n －1.15．1 830解析 ∵a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234＝15× 10＋2342＝1 830.16．a n ＝2n ＋12n解析 由H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n H n ＝n n ＋22，①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝ n －1 n ＋12(n ≥2)，②①－②得na n ＝n n ＋2 2－n －1 n ＋1 2＝2n ＋12(n ≥2)，所以a n ＝2n ＋12n (n ≥2)．又H 1＝1a 1＝23，所以a 1＝32，也满足a n ＝2n ＋12n .综上，a n ＝2n ＋12n(n ∈N ＋)．17．解 (1)设{a n }的公差为d ，根据已知有7＋21d ＝28， 解得d ＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n .所以b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2. (2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.18．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意知，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2， 从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n . 显然2n ＜60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋ 4n －2 ]2＝2n 2.令2n 2＞60n ＋800，即n 2－30n －400＞0， 解得n ＞40或n ＜－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，且n 的最小值为41. 19．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ， 由T 5＝105，a 10＝2a 5， 得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5× 5－1 2d ＝105，a 1＋9d ＝2 a 1＋4d ，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N ＋)． (2)对m ∈N ＋，若a n ＝7n ≤72m，则n ≤72m －1，因此b m ＝72m －1.所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 1 1－q m 1－q ＝7× 1－49m 1－49＝7× 72m －1 48＝72m ＋1－748. 20．(1)证明 ∵b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n2a n ＋1＝2a n ＋1a n，∴b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n －1a n＝2.又b 1＝1a 1＝1，∴数列{}b n 是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)解 由(1)知数列{}b n 的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n，∴a n ＝1b n ＝12n －1.∴数列{}a n 的通项公式为a n ＝12n －1.21．证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n2S n －1，∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1， ∴1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 构成以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n ＝1S 1＋(n －1)·2＝2n －1，∴S n ＝12n －1. 13S 1＋15S 2＋17S 3＋…＋12n ＋1S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋12n －1 2n ＋1＝12(1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)＜12. 22．解 (1)∵S n ＝3n， ∴S n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝3n－3n －1＝2×3n －1(n ≥2)．当n ＝1时，2×31－1＝2≠S 1＝a 1＝3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.(2)∵b n ＋1＝b n ＋(2n －1)，∴b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝3，b 4－b 3＝5，…，b n －b n －1＝2n －3(n ≥2)．以上各式相加得b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝n －1 1＋2n －32＝(n －1)2(n ≥2)．∵b 1＝－1，∴b n ＝n 2－2n (n ≥2)，且b 1＝－1也满足b n ＝n 2－2n ， ∴b n ＝n 2－2n (n ∈N ＋)．(3)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，2 n －2 ×3n －1，n ≥2.当n ≥2时，T n ＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2(n －2)×3n －1，∴3T n ＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2(n －2)×3n.11 相减得－2T n ＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－2(n －2)×3n . ∴T n ＝(n －2)×3n －(3＋32＋33＋…＋3n －1) ＝(n －2)×3n －3n －32＝ 2n －5 3n＋32. ∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，n ＝1， 2n －5 3n ＋32，n ≥2.∴T n ＝ 2n －5 3n ＋32(n ∈N ＋)．。
2018届人教B版(理科数学) 等差数列专题 单元测试
等差数列专题[基础达标](25分钟55分)一、选择题(每小题5分，共35分)1S n为等差数列{a n}的前n项和，S8=4a3，a7=-2，则a9=() A.-6 B.-4 C.-2 D.2A【解析】由S8=4a3得8a1+×d=4(a1+2d)，则a1=-5d①，由a7=-2得a7=a1+6d=-2②，联立方程①②，解得a1=10，d=-2，故a9=a1+(9-1)d=10-16=-6.2{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9=() A.180 B.90 C.72 D.10B【解析】解法1：由a4=9，a6=11得d==1，又由a4=a1+3d得a1=9-3d=6，故S9=9×6+×1=90.解法2：由等差数列的性质得S9==90.3{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若公差d<0且S2=S7，则下列结论中不正确的是() A.S4=S5B.S9=0C.a5=0D.S2+S7=S4+S5D【解析】由公差d<0且S2=S7，得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=0，则a5=0，故C 正确；S5-S4=a5=0，故A正确；S9=9a5=0，故B正确；S2+S7-S4-S5=(a6+a7)-(a3+a4)=6d<0，故D错误.4{a n}满足a n+1+a n=4n，则a1=()A.-1B.1C.2D.3B【解析】设等差数列{a n}的公差为d，由a n+1+a n=4n，得a n+a n-1=4(n-1)(n≥2)，两式相减得a n+1-a n-1=4=2d，d=2，又a2+a1=4=2a1+d，解得a1=1.5n边形，各内角的度数成等差数列，公差为10°，最小角为100°，则边数n等于() A.8 B.8或9 C.9 D.6A【解析】由题意可得凸n边形的内角和为100n+×10=180(n-2)，解得n=8或9，又由100+10(n-1)<180，解得n<9，所以n=8.6{a n}中，a1+a2+a3=3，a28+a29+a30=165，则此数列前30项和等于() A.810 B.840 C.870 D.900B【解析】由a1+a2+a3=3，a28+a29+a30=165，可知a1+a2+a3+a28+a29+a30=168，由等差数列的性质可得3(a1+a30)=168，解得a1+a30=56，所以S30==15×56=840.7{a n}中<-1，它的前n项和S n有最大值，则当S n取得最小正值时，n=() A.17 B.18 C.19 D.20A【解析】由等差数列以及前n项和S n有最大值可得数列单调递减，又<-1，∴a9>0，a10<0，∴由不等式的性质可得a10<-a9，即a9+a10<0，∴S17==17a9>0，S18==9(a1+a18)=9(a9+a10)<0，∴当S n 取得最小正值时，n=17.二、填空题(每小题5分，共10分)8S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1=2，S5=12，则a6等于.3【解析】设等差数列{a n}的公差为d，则S5=5a1+10d=10+10d=12，解得d=，则a6=a1+5d=2+5×=3.9{log k a n}是首项为4，公差为2的等差数列，其中k>0，且k≠1.设c n=a n lg a n，若{c n}中的每一项恒小于它后面的项，则实数k的取值范围为.∪(1，+∞)【解析】由题可知log k a n=4+(n-1)×2=2n+2，所以a n=k2n+2，又c n=a n lg a n，所以c n=a n lg a n=k2n+2lg k2n+2=(2n+2)k2n+2lg k，由于{c n}中的每一项恒小于它后面的项，即c n<c n+1.①当k>1时，有lg k>0，因此由c n<c n+1得(2n+2)k2n+2lg k<(2n+4)k2n+4lg k，可化为(2n+2)k2n+2<(2n+4)k2n+4，即n+1<(n+2)k2，即转化为不等式k2>，此不等式在k>1下恒成立，故k>1符合；②当0<k<1时，有lg k<0，因此由c n<c n+1得(2n+2)k2n+2lg k<(2n+4)k2n+4·lg k，可化为(2n+2)k2n+2>(2n+4)k2n+4，即n+1>(n+2)k2，即转化为不等式k2<恒成立，∵n∈N*，∴，所以k2<，则0<k<.综合得实数k的取值范围为∪(1，+∞).三、解答题(共10分)10.(10分)设数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=1，=a n+1-n2-n-，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明对一切正整数n，有+…+.【解析】(1)∵=a n+1-n2-n-，n∈N*，∴2S n=na n+1-n3-n2-n=na n+1-，①∴当n≥2时，2S n-1=(n-1)a n-，②由①-②，得2S n-2S n-1=na n+1-(n-1)a n-n(n+1).∵2a n=2S n-2S n-1，∴2a n=na n+1-(n-1)a n-n(n+1)，∴=1.∴数列是首项为=1，公差为1的等差数列.∴=1+1×(n-1)=n，∴a n=n2(n≥2).当n=1时，上式显然成立.∴a n=n2，n∈N*.(2)由(1)知，a n=n2，n∈N*，①当n=1时，=1<，∴原不等式成立.②当n≥2时，∵n2>(n-1)(n+1)，∴，∴+…+=1++…+<1++…+=1++…+=1+=-<，∴当n≥3时，原不等式亦成立.综上，对一切正整数n，有+…+.[高考冲关](20分钟40分)1.(5分{a n}的前n项和为S n，S11=22，a4=-12，如果当n=m时，S n最小，那么m的值为() A.10 B.9 C.5 D.4C【解析】设等差数列{a n}的公差为d，则S11=11a1+55d=22，a4=a1+3d=-12，解得a1=-33，d=7，则a n=7n-40，所以当n≤5时，a n<0；当n≥6时，a n>0.所以该数列的前5项和最小.2.(5分a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α=a+，β=b+，则α+β的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5D【解析】由题可知a+b=1，所以α+β=a++b+=1+(a+b)=3+≥3+2=5，当且仅当，即a=b=时，取等号.3.(5分{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+(n+2)a n}为等差数列，则{a n}的通项公式a n=.【解析】由{nS n+(n+2)a n}为等差数列，且S1+3a1=4，2S2+4a2=8，则该等差数列的公差和首项都为4，所以nS n+(n+2)a n=4+4(n-1)=4n，即S n+a n=4，S n-1+a n-1=4(n≥2)，两式相减整理得(n≥2)，则a n=a1··…·×1××…×.4.(12分{a n}是公差为2的等差数列，且a3+1是a1+1与a7+1的等比中项.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=，求数列{b n}的前n项和S n.【解析】(1)由已知可得(a3+1)2=(a1+1)(a7+1)，即(a1+5)2=(a1+1)(a1+13)，解得a1=3，∴a n=a1+(n-1)d=2n+1，∴{a n}的通项公式为a n=2n+1.(2)b n==2·2n+1=2n+1+1，S n=22+1+23+1+…+2n+1+1=22+23+…+2n+1+n=+n=2n+2+n-4，∴数列{b n}的前n项和S n=2n+2+n-4.5.(13分{a n}的前n项和为S n，且2a5-a3=13，S4=16.(1)求数列{a n}的前n项和S n；(2)设T n=(-1)i a i，若对一切正整数n，不等式λT n<[a n+1+(-1)n+1a n]·2n-1恒成立，求实数λ的取值范围.【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d.因为2a5-a3=13，S4=16，所以解得a1=1，d=2，所以a n=2n-1，S n=n2.(2)①当n为偶数时，设n=2k，k∈N*，则T2k=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2k-a2k-1)=2k.代入不等式λT n<[a n+1+(-1)n+1a n]·2n-1，得λ·2k<4k，从而λ<.设f(k)=，则f(k+1)-f(k)=.因为k∈N*，所以f(k+1)-f(k)>0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min=2，所以λ<2.②当n为奇数时，设n=2k-1，k∈N*，则T2k-1=T2k-(-1)2k a2k=2k-(4k-1)=1-2k.代入不等式λT n<[a n+1+(-1)n+1a n]·2n-1，得λ·(1-2k)<(2k-1)4k，从而λ>-4k.因为k∈N*，所以-4k的最大值为-4，所以λ>-4.综上，λ的取值范围为(-4，2).。
2018版高中数学 第二章 数列 2.2.2 第1课时 等差数列的前n项和同步精选测试 新人教B版必
同步精选测试 等差数列的前n 项和(建议用时：45分钟)[基础测试]一、选择题1.在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A.7 B.15 C.20 D.25 【解析】 S 5＝5×a 1＋a 52＝5×a 2＋a 42＝5×62＝15. 【答案】 B2.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A.1B.－1C.2D.12【解析】 S 9S 5＝92a 1＋a952a 1＋a5＝9a 55a 3＝95×59＝1. 【答案】 A3.在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )【导学号：18082088】A.37B.36C.20D.19【解析】 ∵{a n }是等差数列，a 1＝0，由a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9得0＋(m －1)d ＝9a 5＝36d .又d ≠0，∴m ＝37.【答案】 A4.已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172 B.192C.10D.12 【解析】 ∵公差为1， ∴S 8＝8a 1＋－2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.故选B.【答案】 B5.在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＋b 100＝100，b 1＋a 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项和为( )A.0B.100C.1 000D.10 000 【解析】 {a n ＋b n }的前100项的和为a 1＋a 1002＋b 1＋b 1002＝50(a 1＋a 100＋b 1＋b 100)＝50×200＝10 000.【答案】 D 二、填空题6.已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差为d ＝________.【导学号：18082089】【解析】 a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝6，①S 5＝5a 1＋12×5×(5－1)d ＝10，②由①②联立解得a 1＝1，d ＝12.【答案】 127.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________. 【解析】 因为a m －1＋a m ＋1＝2a m ， 所以2a m －a 2m ＝0， 所以a m ＝0或a m ＝2. 因为S 2m －1＝2m －1a 1＋a 2m －12＝(2m －1)a m ＝38，所以a m ＝2，所以(2m －1)×2＝38， 解得m ＝10. 【答案】 10 8.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1nn ＋的前n 项和为S n ，且S n ＝1920，则n ＝________.【解析】 ∵1nn ＋＝1n －1n ＋1，∴S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n n ＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 由已知得nn ＋1＝1920，解得n ＝19. 【答案】 19三、解答题9.等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .【解】 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －1)×2＝10＋2n . (2)由S n ＝na 1＋n n －2d 以及a 1＝12，d ＝2，S n ＝242，得方程242＝12n ＋n n －2×2，即n 2＋11n －242＝0，解得n ＝11或n ＝－22(舍去).故n ＝11.10.在我国古代，9是数学之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图223所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每1圈比前1圈多9块，共有9圈，则：【导学号：18082090】图223(1)第9圈共有多少块石板？ (2)前9圈一共有多少块石板？【解】 (1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝9，d ＝9，n ＝9.由等差数列的通项公式，得第9圈石板块数为：a 9＝a 1＋(9－1)·d ＝9＋(9－1)×9＝81(块).(2)由等差数列前n 项和公式，得前9圈石板总数为：S 9＝9a 1＋－2d ＝9×9＋9×82×9＝405(块). 答：第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板.[能力提升]1.如图224所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N＋)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n 等于( )图224A.3n 22 B.n n ＋2C.3nn －2D.n n －2【解析】 由图案的点数可知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝12，所以a n ＝3n －3，n ≥2， 所以a2＋a 3＋a 4＋…＋a n ＝n －＋3n －2＝3nn －2.【答案】 C2.已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝24，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( )A.15B.24C.18D.28【解析】 设括号内的数为n ，则4a 2＋a 10＋a (n )＝24， ∴6a 1＋(n ＋12)d ＝24.又S 11＝11a 1＋55d ＝11(a 1＋5d )为定值， 所以a 1＋5d 为定值. 所以n ＋126＝5，n ＝18.【答案】 C3.等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋45n －3，则使得a nb n为整数的n 的个数是________.【解析】 由等差数列的性质，知a n b n ＝S 2n －1T 2n －1＝n －＋45n －－3＝7n ＋19n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋33n －2∈Z ，则n －2只能取－1,1,3,11,33这5个数，故满足题意的n 有5个.【答案】 54.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S n n，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . 【解】 (1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k k －2·d ＝2k ＋k k －2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0， 解得k ＝10或k ＝－11(舍去)， 故a ＝2，k ＝10. (2)证明：由(1)得S n ＝n＋2n2＝n (n ＋1)， 则b n ＝S n n＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n 2＋n ＋2＝n n ＋2.。
2018届人教B版 数列 4 单元测试
一、选择题1.(2015·绵阳一诊)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －3⎝ ⎛⎭⎪⎫15n，则其前20项和为( )A.380－35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1519B.400－25⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520C.420－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520D.440－45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520解析 令数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 20＝2(1＋2＋…＋20)－3⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋152＋…＋1520＝2×20×（20＋1）2－3×15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15201－15＝420－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520. 答案 C2.(2016·贵阳一模)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝4，S 4＝10，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前2 015项和为( )A.2 0142 015B.2 0152 016C.2 0162 015D.2 0172 016解析 ∵⎩⎨⎧a 4＝a 1＋3d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝10，∴⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝n ，∴1a n a n ＋1＝1n －1n ＋1， ∴前2 015项和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015－12 016＝2 0152 016.故选B. 答案 B3.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A.200B.－200C.400D.－400解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＋[－3－(－3)－3＋…－(－3)]＝4×(－50)＝－200. 答案 B4.(2016·合肥一模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n等于( ) A.6n －n 2B.n 2－6n ＋18C.⎩⎨⎧6n －n 2（1≤n ≤3），n 2－6n ＋18（n ＞3）D.⎩⎨⎧6n －n 2（1≤n ≤3），n 2－6n （n ＞3）解析 ∵由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2. ∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，∴n ≤3时，a n ＜0，n ＞3时，a n ＞0，∴T n ＝⎩⎨⎧6n －n 2（1≤n ≤3），n 2－6n ＋18（n ＞3）.答案 C5.已知函数f (n )＝⎩⎨⎧n 2（当n 为奇数时），－n 2 （当n 为偶数时），且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( ) A.0B.100C.－100D.10 200解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50×101＋50×103＝100.故选B. 答案 B 二、填空题6.已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为________.解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n （n ＋1）＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4n n ＋1. 答案4nn ＋17.(2016·宝鸡模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.解析 由a n ＋a n ＋1＝12＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n ， 则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20， ∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21) ＝1＋10×12＝6. 答案 68.(2015·武汉测试)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 013＝________.解析 由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)可得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0，该数列是周期为4的数列，所以S 2 013＝503(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 013＝503×(－2)＋1＝－1 005. 答案 －1 005 三、解答题9.(2016·昆明模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝2S 2＋4，a 5＝36. (1)求a n ，S n ；(2)设b n ＝S n －1(n ∈N *)，T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n，求T n .解 (1)因为S 3＝2S 2＋4，所以a 1－d ＝－4， 又因为a 5＝36，所以a 1＋4d ＝36.解得d ＝8，a 1＝4，所以a n ＝4＋8(n －1)＝8n －4，S n ＝n （4＋8n －4）2＝4n 2.(2)b n ＝4n 2－1＝(2n －1)(2n ＋1)， 所以1b n＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 10.(2015·天津卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和.解 (1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意知q ＞0.由已知，有⎩⎨⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2－8＝0，又因为q ＞0，解得q ＝2，所以d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *； 数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)有c n ＝(2n －1)·2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ，则 S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，上述两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝2n ＋1－3－(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n －3，所以，S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知数列2 008，2 009，1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014等于( ) A.2 008B.2 010C.1D.0解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008，2 009，1，－2 008，－2 009，－1，2 008，2 009. 由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.∵2 014＝6×335＋4，∴S 2 014＝S 4＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010. 答案 B12.(2016·西安质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝( ) A.22 016－1B.3·21 008－3C.3·21 008－1D.3·21 007－2解析 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2.∴a n ＋2a n＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 015＋a 2 016 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 016) ＝1－21 0081－2＋2（1－21 008）1－2＝3·21 008－3.故选B.答案 B13.设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015，则S ＝________.解析 ∵f (x )＝4x 4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x41－x ＋2＝22＋4x ，∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x ＝1.S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015，①S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015，②①＋②得，2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＝2 014，∴S ＝2 0142＝1 007. 答案 1 00714.(2014·山东卷)在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝an （n ＋1）2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)nb n ，求T n . 解 (1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝an （n ＋1）2＝n (n ＋1). 则b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ×(n ＋1). 可得当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）22.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数.。
2018届人教B版 数列 检测卷 3
一、选择题1．(2016·湖北武汉调研)若等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＋2a 2＝3，a 23＝4a 2a 6，则a 4＝ ( C )A ．38B ．245C ．316D ．916[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2a 1q ＝3，(a 1 q 2)2＝4a 1q ·(a 1q 5)，q >0，解得⎩⎨⎧a 1＝32，q ＝12，所以a 4＝a 1q 3＝32×(12)3＝316.故选C ． 2．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝ ( C )A ．12B ．－12C ．1或－12D ．1或12[解析] 当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝92，符合题意；当q ≠1时，由题可得⎩⎨⎧a 3＝a 1q 2＝32，S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝92，解得q ＝－12.故q ＝1或q ＝－12．3．(2017·辽宁省铁岭市协作体高三上学期第三次联考数学试题)古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为 ( A )A ．2031B ．35C ．815D ．23[解析] 设这女子每天分别织布a n 尺，则数列{a n }是等比数列，公比q ＝2.利用等比数列的通项公式及其前n 项公式即可得出．解：设这女子每天分别织布a n 尺， 则数列{a n }是等比数列，公比q ＝2．则a 1(25－1)2－1＝5，解得a 1＝531．∴a3＝531×22＝2031.故选A．4．(2017·上海外国语大学附中期中数学试题)已知等比数列{a n}满足a n＞0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(C) A．n(2n－1) B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2[解析]先根据a5·a2n－5＝22n，求得数列{a n}的通项公式，再利用对数的性质求得答案．解：∵a5·a2n－5＝22n＝a2n，a n＞0，∴a n＝2n，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1)＝log22n2＝n2．故选C．5．(2014·北京高考)设{a n}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{a n}为递增数列”的(D)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]当a1<0，q>1时，{a n}是递减数列；当{a n}为递增数列时，a1<0,0<q<1或a1>0，q>1因此，“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件．6．(2016·衡水模拟)各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2，S3n ＝14，则S4n等于(B)A．80 B．30C．26 D．16[解析]由等比数列性质得，S n，S2n－S n，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，则(S2n－S n)2＝S n·(S3n－S2n)，所以(S2n－2)2＝2×(14－S2n)．又S2n>0，得S2n＝6，又(S3n－S2n)2＝(S2n－S n)(S4n－S3n)，所以(14－6)2＝(6－2)(S4n－14)．解得S4n＝30．7．(2017·上海外国语大学附中期中数学试题)等比数列前n项和为S n，有人算得S1＝27，S2＝63，S3＝109，S4＝175，后来发现有一个数算错了，错误的是(C) A．S1B．S2C．S3D．S4[解析]由已知可得：a1＝27，a1＋a2＝a1(1＋q)＝63，a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝109，a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝175，不妨假设第一个与第二个等式成立，解得a1＝27，q ＝43，经过验证即可判断出结论． 解：由已知可得：a 1＝27，a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝63，a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝109，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝175，不妨假设第一个与第二个等式成立，解得a 1＝27，q ＝43，经过验证第四个等式成立，第三个等式不成立，因此：算错的这个数是S 3，故选C ．8．(2016·河南模拟)已知等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，其前n 项和为S n ，则S n的最大值为 ( D )A ．34B ．23C ．43D ．32[解析] ∵等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，∴S n ＝32[1－(－12)n ]1－(－12)＝1－(－12)n ，当n 取偶数时，S n ＝1－(12)n <1；当n 取奇数时，S n ＝1＋(12)n ≤1＋12＝32．∴S n 的最大值为32，故选D ．二、填空题9．(2017·湖南省衡阳市八中高三第三次(10月)月考数学试题)《九章算术》中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有恒厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进―尺，以后毎天加倍；小老鼠第一天也进―尺，以后每天减半，如果墙足够厚，S n 为前n 天两只老鼠打洞之和，则S n ＝2n －12－1＋1尺.[解析] 由题意知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n 天打洞之和为1－2n1－2＝2n －1，同理，小老鼠每天打洞的距离为1－(12)n1－12＝2－12n －1，所以S n ＝2n －1＋2－12n －1＝2n －12n －1＋1，因此，本题正确答案是2n －12n －1＋1．[点拨] 解答函数应用题的一般步骤为：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③求模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将数学问题还原为实际问题的意义，求最值常用基本不等式或导数．10．(2017·吉林质检)已知在等比数列{a n }中，a 5a 11＝6，a 6＋a 10＝7，则a 7a 9的值是6[解析] 因为{a n }是等比数列，所以a 5a 11＝a 6a 10＝6，又a 6＋a 10＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝1a 10＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝6a 10＝1，设{a n }的公比为q ，则q 4＝6或16，q 2＝6或66，所以a 7a 9＝1q 2＝66或6．11．等比数列的首项是－1，前n 项和为S n ，如果S 10S 5＝3132，则S 4的值是－58.[解析] 由已知得S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝3132，故q 5＝－132，解得q ＝－12，S 4＝(－1)×(1－116)1＋12＝－58． 三、解答题12．(2016·全国卷Ⅰ)已知{a n } 是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n bn＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式；(2)求{b n }的前n 项和．[解析] (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2．所以数列{a n }的首项为2，公差为3的等差数列， 通项公式为a n ＝3n －1．(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n 3，因此数列{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－(13)n1－13＝32－12×3n －1．13．(2016·天津)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和．[解析] (1)设数列{a n }的公比为q .由已知，有1a 1－1a 1q ＝1a 1q2，解得q ＝2，或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q 61－q ＝63，知q ≠－1，所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1.所以a n ＝2n －1．(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12，即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列．设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2n (b 1＋b 2n )2＝2n 2．1．(2017·内蒙古集宁一中高三上学期期中数学试题)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝ ( D )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1[解析] 利用等比数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，求出q ＝12，a 1＝2，可得a n 、S n ，即可得出结论．【解答】解：∵等比数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴两式相除可得公比q ＝12，∴a 1＝2，∴a n ＝2·(12)n －1＝12n －2，S n ＝2(1－12n )1－12＝4(1－12n )，∴S na n＝2n －1，故选D ． 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝2n (n ∈N *)，则下列数列中一定为等比数列的是 ( C )A ．{a n }B ．{a n －1}C ．{a n －2}D ．{S n }[解析] 由S n ＋a n ＝2n (n ∈N *)①可得S n －1＋a n －1＝2(n －1)(n ≥2，n ∈N *)，所以a n －2＝12(a n －1－2)(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝1，a 1－2＝－1≠0，所以{a n －2}一定是等比数列，故选C ．3．(2016·山西第二次四校联考)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝ ( C )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2[解析] ∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴12a 3×2＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴q 2＝1＋2q ，解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍)，∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 1q 8(1＋q )a 1q 6(1＋q )＝q 2＝(1＋2)2＝3＋22．4．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为64.[解析] 设{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5得a 1＝8，q ＝12，则a 2＝4，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝12，所以a 1a 2…a n ≤a 1a 2a 3a 4＝64．5．(2016·金华模拟)设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n ，求数列{b n }前n 项和T n ．[解析] (1)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13．当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1， 两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)， 即6a n ＝9(a n －a n －1)，∴a n ＝3a n －1，∴数列{a n }是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2．(2)∵b n ＝1a n ＝(13)n －2，∴{b n }是首项为3，公比为13的等比数列，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3[1－(13)n ]1－13＝92[1－(13)n ]．。
2018届人教B版 数列 2 单元测试
1.(2016·武汉调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( )A.－1B.－2C.－3D.－4解析 法一 由题意可得⎩⎨⎧a 1＋（a 1＋6d ）＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3. 法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4，∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3.答案 C2.已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A.a 1＋a 101＞0B.a 2＋a 100＜0C.a 3＋a 99＝0D.a 51＝51解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝0.答案 C3.设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A.0B.37C.100D.－37解析 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100， ∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.答案 C4.(2016·沈阳质量监督)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( )A.5B.6C.7D.8解析 法一 由等差数列前n 项和公式可得S n ＋2－S n ＝(n ＋2)a 1＋（n ＋2）（n ＋1）2d －⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋n （n －1）2d ＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋4n ＋2＝36，∴n ＝8，故选D.法二 由S n ＋2－S n ＝a n ＋2＋a n ＋1＝a 1＋a 2n ＋2＝36，因此a 2n ＋2＝a 1＋(2n ＋1)d ＝35，解得n ＝8，故选D.答案 D5.(2016·长沙调研)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( )A.7B.8C.7或8D.8或9解析 由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或8，故选C.答案 C二、填空题6.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d ，a 1＋3d ＝1，解得⎩⎨⎧a 1＝7，d ＝－2，∴a 5＝a 4＋d ＝1＋(－2)＝－1. 答案 －17.(2015·陕西卷)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________.解析 设该数列的首项为a 1，根据等差数列的性质可得a 1＋2 015＝2×1 010，从而a 1＝5.答案 58.正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝________.解析 由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，可得数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝a 22－a 21＝3，首项a 21＝1，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝3n －2，∴a 7＝19.答案 19三、解答题9.在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2.从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n .所以S n ＝n [1＋（3－2n ）]2＝2n －n 2. 由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35.即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7.10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 015＝0.(1)求S n 的最小值及此时n 的值；(2)求n 的取值集合，使其满足a n ≥S n .解 (1)设公差为d ，则由S 2 015＝0⇒2 015a 1＋2 015×2 0142d ＝0⇒a 1＋1 007d ＝0， d ＝－11 007a 1，∴S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝na 1－n （n －1）2·a 11 007＝a 12 014(2 015n －n 2).∵a 1<0，n ∈N *，∴当n ＝1 007或1 008时，S n 取最小值504a 1.(2)a n ＝1 008－n 1 007a 1，S n ≤a n ⇔a 12 014(2 015n －n 2)≤1 008－n 1 007a 1.∵a 1<0，∴n 2－2 017n ＋2 016≤0，即(n －1)(n －2 016)≤0，解得1≤n ≤2 016.故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 016，n ∈N *}.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2015·东北三省四市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为( )A.53B.103C.56D.116解析 依题意，设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a －2m ，a －m ，a ，a ＋m ，a ＋2m ，则有⎩⎨⎧5a ＝100，a ＋（a ＋m ）＋（a ＋2m ）＝7（a －2m ＋a －m ），解得a ＝20，m ＝11a 24，a －2m ＝a 12＝53，即其中最小一份为53，故选A.答案 A12.(2016·杭州质量检测)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *).若a 8a 7＜－1，则( ) A.S n 的最大值是S 8B.S n 的最小值是S 8C.S n 的最大值是S 7D.S n 的最小值是S 7 解析 由条件得S n n ＜S n ＋1n ＋1， 即n （a 1＋a n ）2n ＜（n ＋1）（a 1＋a n ＋1）2（n ＋1）， 所以a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }为递增数列.又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，即数列{a n }前7项均小于0，第8项大于零，所以S n 的最小值为S 7，故选D.答案 D13.设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________. 解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 6b 6＝1941. 答案 194114.(2015·衡水中学二模)在公差不为0的等差数列{a n }中，a 3＋a 10＝15，且a 2，a 5，a 11成等比数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ＋1a n ＋1＋…＋1a 2n －1，证明：12≤b n ＜1. (1)解 设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎨⎧a 1＋2d ＋a 1＋9d ＝15，（a 1＋4d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋10d ）.注意到d ≠0，解得a 1＝2，d ＝1.所以a n ＝n ＋1.(2)证明 由(1)可知b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ， b n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2. 因为b n ＋1－b n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2＞0， 所以数列{b n }单调递增.所以b n ≥b 1＝12.又b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ≤1n ＋1＋1n ＋1＋…＋1n ＋1＝n n ＋1＜1， 因此12≤b n ＜1.。
2018版高中数学 第二章 数列 2.1.1 数列同步精选测试 新人教B版必修5
同步精选测试 数 列(建议用时：45分钟)[基础测试]一、选择题1.下面有四个结论，其中叙述正确的有( ) ①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图象表示，它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式. A.①② B.②③ C.③④ D.①④【解析】 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确. 【答案】 B2.数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于( )A.70B.28C.20D.8【解析】 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20. 【答案】 C3.若数列{a n }的前4项依次是2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( ) A.a n ＝1＋(－1)n ＋1B.a n ＝1－cos n πC.a n ＝2sin2n π2D.a n ＝1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2)【解析】 根据各选项中的通项公式写出前4项，看是否为题干中的数列即可.当n ＝3和4时，D 选项不满足，故选D.【答案】 D4.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( ) 【导学号：18082074】A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】 a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，∴当n 越大，2n ＋1越小，则a n 越大，故该数列是递增数列.【答案】 A5.在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的( )A.第100项B.第12项C.第10项D.第8项【解析】 ∵a n ＝n －2n 2，令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10或n ＝52(舍去). 【答案】 C 二、填空题6.已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________. 【解析】 由a n ＝19－2n >0，得n <192.∵n ∈N ＋， ∴n ≤9. 【答案】 97.已知数列{a n }，a n ＝a n＋m (a <0，n ∈N ＋)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________.【导学号：18082075】【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a ＋m ＝2，a 2＝a 2＋m ＝4，∴a 2－a ＝2，∴a ＝2或－1， 又a <0，∴a ＝－1. 又a ＋m ＝2， ∴m ＝3，∴a n ＝(－1)n＋3， ∴a 3＝(－1)3＋3＝2. 【答案】 28.如图211是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n 个图中共有化学键________个.图211【解析】 各图中的化学键个数依次是6,6＋5,6＋5＋5，….若把6看成是1＋5，则上述数列为1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n 个图有化学键(5n ＋1)个.【答案】 (5n ＋1) 三、解答题9.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)45，12，411，27，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)1,3,6,10,15，…； (4)7,77,777，….【导学号：18082076】【解】 (1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为45，48，411，414，…，于是它们的分母依次相差3，因而有a n ＝43n ＋2.(2)把分母统一为2，则有12，42，92，162，252，…，因而有a n ＝n22.(3)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n ＝n n ＋2.(4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，因而有a n ＝79(10n －1).10.在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 2 016；(3)2 016是否为数列{a n }中的项？ 【解】 (1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，解得k ＝4，b ＝－2. ∴a n ＝4n －2.(2)a 2 016＝4×2 016－2＝8 062. (3)由4n －2＝2 016得n ＝504.5∉N ＋， 故2 016不是数列{a n }中的项.[能力提升]1.已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.15 B.5 C.6D.log 23＋log 31325【解析】 a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5.【答案】 B2.已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N ＋)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，3) C.(－∞，2)D.(－∞，3]【解析】 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ，又{a n }单调递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0恒成立，分离变量得k <2n ＋1，故只需k <3即可.【答案】 B3.根据图212中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有________个点.图212【解析】 观察图形可知，第n 个图有n 个分支，每个分支上有(n －1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n (n －1)＋1＝n 2－n ＋1个点.【答案】 n 2－n ＋14.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n2(n ∈N ＋).(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？【导学号：18082077】(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项.【解】 (1)令a n ＝0，得n 2－21n ＝0，∴n ＝21或n ＝0(舍去)，∴0是数列{a n }中的第21项.令a n ＝1，得n 2－21n2＝1，而该方程无正整数解， ∴1不是数列{a n }中的项.(2)假设存在连续且相等的两项是a n ，a n ＋1， 则有a n ＝a n ＋1， 即n 2－21n2＝n ＋2－n ＋2.解得n ＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项.。
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寒假作业(十一) 数列的通项与数列求和(注意命题点的区分度)
一、选择题
1．(2017·安溪质检)数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，
则S17＝( )
A．9 B．8
C．17 D．16
解析：选A S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6
＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.
2．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，令bn＝1a1＋a2＋…＋an，则数列{bn}的前n项和
为( )
A.n＋12n＋2 B.34－2n＋32n＋1n＋2
C.n－1n＋2 D.34－2n＋3n＋1n＋2
解析：选B 易得a1＋a2＋…＋an＝n3＋2n＋12＝n(n＋2)，所以bn＝1nn＋2＝
1
2
1n－1n＋2，故Tn＝12
1＋12－1n＋1－
1
n＋2
＝34－2n＋32n＋1n＋2.
3．(2018届高三·湖南十校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a
4
＋a5＝23，则S8＝( )
A．72 B．88
C．92 D．98
解析：选C 法一：由Sn＋1＝Sn＋an＋3，得an＋1－an＝3，
∴数列{an}是公差d＝3的等差数列，
又a4＋a5＝23＝2a1＋7d＝2a1＋21，
∴a1＝1，S8＝8a1＋8×72d＝92.
法二：由Sn＋1＝Sn＋an＋3，得an＋1－an＝3，数列{an}是公差为3的等差数列，S8＝
8a1＋a8
2
＝8a4＋a52＝92.
4．已知数列{an}的通项公式an＝log2n＋1n＋2(n∈N*)，设{an}的前n项和为Sn，则使Sn<－5
成立的自然数n( )
A．有最大值63 B．有最小值63
C．有最大值31 D．有最小值31
解析：选B Sn＝a1＋a2＋…＋an＝log223＋log234＋…＋log2n＋1n＋2＝log
2
23×3
4
×…×
n＋1
n＋2
＝log22n＋2<－5，∴2n＋2<2－5，∴n＋2>26，∴n>62.又n∈N*，∴n有最小值63.
5．设{an}是正项数列，其前n项和Sn满足4Sn＝(an－1)·(an＋3)(n∈N*)，则数列{an}的
通项公式an＝( )
A．2n＋1 B．2n－1
C．2n－1 D．2n＋1
解析：选D 由4Sn＝(an－1)(an＋3)，
得4Sn－1＝(an－1－1)·(an－1＋3)，n≥2，
两式相减得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
又{an}是正项数列，
∴an－an－1－2＝0(n≥2)，
则数列{an}是公差为2的等差数列，a1＝3，
∴an＝2n＋1.
6．已知数列2 015,2 016,1，－2 015，－2 016，…，这个数列的特点是从第二项起，每
一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 017项和S2 017等于( )
A．2 018 B．2 015
C．1 D．0
解析：选B 由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴an＋1＝an－an－1，故数列的前8项依次
为2 015,2 016,1，－2 015，－2 016，－1,2 015,2 016.由此可知数列为周期数列，且周期为6，
S6＝0.∵2 017＝6×336＋1，∴S2 017＝2 015.
7．已知数列{an}的通项公式an＝ n－1n为奇数，nn为偶数，则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100＝
( )
A．4 800 B．4 900
C．5 000 D．5 100
解析：选C 由题意得a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100＝0＋2＋2＋4＋4＋…＋98＋98＋
100＝2(2＋4＋6＋…＋98)＋100＝2×49×2＋982＋100＝5 000.
8．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的取值范
围是( )
A．[12,16] B.8，323
C.8，323 D.163，323
解析：选C 因为{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，
所以q3＝a5a2＝18，即q＝12，a1＝4，故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝a1a21－q2n1－q2＝323(1－q2n)
∈8，323，故选C.
9．(2017·宁波二模)已知在数列{an}中，a1＝56，an＋1＝13an＋12n＋1，则an＝( )
A.32n－23n B.23n－32n
C.12n－23n D.23n－12n
解析：选A 法一：an＋1＝13an＋12n＋1两边同时乘以2n＋1，得2n＋1·an＋1＝23(2n·an)＋1，
令bn＝2n·an，则bn＋1＝23bn＋1，
即bn＋1－3＝23(bn－3)，
所以数列{bn－3}是以b1－3＝－43为首项，23为公比的等比数列，
所以bn－3＝－43×23n－1，bn＝3－223n，
所以an＝bn2n＝32n－23n.
法二：an＋1＝13an＋12n＋1两边同时乘以3n＋1，
得3n＋1·an＋1＝3n·an＋32n＋1，
令bn＝3n·an，则bn＋1＝bn＋32n＋1，
可得bn－bn－1＝32n，bn－1－bn－2＝32n－1，…，b2－b1＝322，
以上各式累加可得bn－b1＝322＋…＋32n，
又b1＝3a1＝3×56＝52＝1＋32，
所以bn＝1＋32＋322＋…＋32n＝2×32n＋1－2，an＝bn3n＝32n－23n.
10．(2017·福州二模)已知公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S6＝6332，且
a2，a4，a3成等差数列，若数列{bn}满足bn＝nan，则数列{bn}的前10项和T10为( )