函数的概念
初中函数概念大全
初中函数概念大全
1. 函数的定义：函数是一种映射，它将一个集合的元素（称为自变量）映射成为另一个集合的元素（称为因变量）。
2. 定义域：函数中自变量可能取值的集合。
3. 值域：函数中因变量可能取值的集合。
4. 图像：函数中所有自变量对应的因变量的集合。
5. 函数表达式：将自变量代入函数后，得到的因变量表达式。
6. 常函数：函数的值在整个定义域上都相同的函数，通常表示为f(x)=c。
7. 奇偶性：若f(x)=f(-x)，则函数是偶函数；若f(x)=-f(-x)，则函数是奇函数。
8. 反函数：若将原函数的自变量和因变量互换，得到的新函数即为反函数。
9. 复合函数：将一个函数的结果作为另一个函数的自变量，形成的新函数。
10. 函数的极限：当自变量接近某一值时，函数的因变量的极限值。
11. 导数：函数在某一点处的变化率。
12. 函数的单调性：函数在定义域上单调递增或单调递减的性质。
13. 函数的最值：函数在定义域上最大值或最小值。
14. 函数的零点：函数在定义域上对应因变量为0的自变量值。
15. 拐点：函数曲线上由凹变凸或由凸变凹的点。
16. 对称中心：函数曲线上关于某一轴对称的点。
17. 渐近线：函数曲线趋近于某一直线时的直线。
18. 极值点：函数在极值处的自变量和因变量的值。
19. 相关函数：自变量之间存在一定关系的函数。
20. 函数的描述性统计量：用于描述一组数据分布特征的统计量，如平均值、中位数、众数、标准差等。
函数的概念与分类
函数的概念与分类函数是数学中常见且重要的概念，它在数学及其他领域中起到了至关重要的作用。
本文将介绍函数的概念以及函数的分类，并通过实例来解释和说明。
一、函数的概念函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。
其中，第一个集合称为定义域，第二个集合称为值域。
函数的定义可以用数学的语言来表达为：如果存在一个集合A 和一个集合B，对于集合A中的每个元素a，都有一个在B中的唯一对应元素b与之对应，则称此对应关系为函数。
函数的符号表达通常形式为f(x)，其中f表示函数的名称，x表示定义域中的元素。
例如，如果我们有一个函数f，将实数集合R中的每个数x映射到它的平方即f(x)=x^2。
这样，我们可以通过给函数输入一个具体的数值来得到对应的输出。
二、函数的分类函数可以按照不同的特征和性质进行分类。
以下是几种常见的函数分类。
1. 数学函数数学函数是最基本的函数形式，它涵盖了多种函数类型，如线性函数、二次函数、多项式函数、指数函数、对数函数等等。
这些函数在数学中有广泛的应用，在实际问题中用来描述各种变化规律。
例如，线性函数是一种形如f(x) = ax + b的函数，其中a和b是常数。
它表示了一个呈现直线变化的函数关系。
多项式函数是指由若干个项组成的函数，每个项都是常数与自变量的幂的乘积，并通过相加得到。
指数函数和对数函数则是描述指数增长和对数关系的函数形式。
2. 三角函数三角函数是一类由角度变量产生的函数，如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
这些函数在三角学和物理学等领域中具有重要的应用。
以正弦函数为例，它表示了一个角度变化的周期性波动，其表达式为f(x) = sin(x)，其中x是角度。
正弦函数在振动、波动等问题中起到了关键的作用。
3. 特殊函数特殊函数是一类具有特殊性质和特定定义的函数类型，如阶乘函数、伽马函数、贝塞尔函数等。
这些函数在数学中有广泛的应用，用于解决复杂的数学问题。
以阶乘函数为例，它表示一个正整数n的阶乘，即n!。
高中数学：函数的概念
第1讲函数的概念[课前必备]1.函数(1)函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.(3)函数的值域：所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.2.区间设a，b∈R，且a＜b.3.4.5.在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.[玩转典例]题型一 函数的概念和判断例1 下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( ) A.A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1B.A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C.A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D.A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1 [玩转跟踪]1.下列图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )2.在图(1)(2)(3)(4)中用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则，是不是函数关系？题型二 同一函数的判断例2 下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A.y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B.y ＝x 0和y ＝1C.f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D.f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )2[玩转跟踪]1.下列函数完全相同的是( )A.f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B.f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C.f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD.f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋32.下列各组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A.f (x )＝x －1与g (x )＝x 2－2x ＋1 B.f (x )＝x 与g (x )＝x 2xC.f (x )＝x 与g (x )＝3x 3 D.f (x )＝x 2－4x －2与g (x )＝x ＋2题型三 函数的定义域例3 (1)函数f (x )＝ln xx －1＋12x 的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)[玩转跟踪]1. 已知函数(2)f x +的定义域为[－2，2]，则(1)(1)f x f x -++的定义域为( ) A ．[－1，1] B ．[－2，2] C ．[1，3]D ．[－1，5]2.(1)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)的定义域是________．(2)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为__________________________________．题型四 求函数的解析式例4 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.(4)已知，对于任意实数x 、y ，等式恒成立，求．[玩转跟踪]1.(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)(安徽)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x )＝3x ，则f (x )＝________.题型五 分段函数例5 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2＜x ＜2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f (f (－52))的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值.[玩转跟踪]1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，|x |≤1，1＋x 2，|x |＞1，则f [f (12)]＝________； 2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，1|x |，x ＜0，若f (x )＝2，则x ＝________.[玩转练习]1.函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( ) A.{x |x ≤1}B.{x |x ≥0}1)0(=f )12()()(+--=-y x y x f y x f )(x fC.{x |x ≥1，或x ≤0}D.{x |0≤x ≤1}2.已知函数f (x )＝2x －1，则f (x ＋1)等于( ) A.2x －1 B.x ＋1 C.2x ＋1D.13.设函数f (x )＝41－x ，若f (a )＝2，则实数a ＝________.4.求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1x ＋1；(2)y ＝x 2－1＋1－x 2；(3)y ＝2x ＋3；(4)y ＝x ＋1x 2－1. 5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x ＜1，x －1，x ＞1，则f (2)等于( )A.0B.13 C.1D.26.已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出(1)f [g (1)]＝______；(2)若g [f (x )]＝2，则x ＝______. 7.已知f (2x ＋1)＝3x －2且f (a )＝4，则a 的值为________.8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x ＞2.(1)求f (2)，f [f (2)]的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值.9. 如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－xD.1x－110.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x ＞1，则f ⎣⎡⎦⎤1f (2)的值是________.11.已知二次函数f (x )满足f (0)＝0，且对任意x ∈R 总有f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x ).12.求下列函数的解析式：(1)已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x2＋1，求f (x )； (2)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的解析式.。
函数的概念ppt课件
→s=x 十y;
⑥A={x|—1≤x≤1,x∈R},B={0}, 对应关系f:x→
y=0.
A.①⑤⑥
B.②④⑤⑥
C.②③④
D.①②③⑤
【思维·引】
1.在x 轴上区间[0,2]内作与x 轴垂直的直线，此直线 与函数的图象恰有一个公共点.
2.先看集合A,B 是否为非空数集，再判断非空数集A 中任取一个数，在非空数集 B 中是否有唯一的数与之 对应.
②求f(g(a)): 已 知f(x) 与 g(x), 求 f(g(a)) 的值应遵 循由里往外的原则.
(2)关注点：用来替换解析式中x 的 数a 必须是函数定 义域内的值，否则函数无意义.
习练 ·破
1.若f(x)=ax²—√2,a 为正实数，且f(f(√2))=—√2, 则 a=
2.设f(x)=2x²+2,
函数的定义，所以A 不是函数.B.由 |x—1|+√y²-1=
0得， |x—1|=0,√y²-1=0, 所以x=1,y=±1, 所以
●
( 1 ) 求 f(2),f(a+3),g
—2),g(f(2)). (2)求g(f(x)).
(a)+g(0)(a≠
≠—2),
【加练·固】
若
(x≠—1), 求 f(0),f(1),
f(1—a)(a≠2),f(f(2)) 的值.
课堂达标检测
1.下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是
y
3
(
)
3
x
⑥对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受 实际问题的制约.
★习练·破
求下列函数的定义域：
(1
;(2)y=√x- 1·√1—x;
③
函数的概念总结
函数的概念总结函数是数学中的一个重要概念，是描述两个数集之间关系的规则。
在计算机科学中，函数也是一个重要的概念，它是一段可重复使用的代码块，能够实现一个特定的功能。
本文将从数学函数和计算机函数两个方面对函数的概念进行总结。
一、数学中的函数在数学中，函数是一个将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的规则。
数学中的函数通常用字母表示，比如f(x)，其中f 表示函数的名称，x 表示自变量。
函数可以用图像、公式或者文字描述。
数学函数可以表示为：f：A →B其中，A 是函数的定义域，B 是函数的值域。
函数可以有一个或多个自变量，一个或多个因变量。
函数具有以下特点：1. 每个自变量都有唯一的一组因变量与之对应，即每个输入有唯一的输出。
2. 函数可以有一个或多个自变量，也可以有一个或多个因变量。
3. 函数可以通过计算、查表、图像等方式进行表达和理解。
4. 函数可以进行加减乘除、求幂、求根、求导等运算。
函数在数学的各个领域中有着广泛的应用，如代数、几何、概率论、数论等。
它是数学的基础概念之一，在数学的研究和应用中起着重要的作用。
二、计算机中的函数在计算机科学中，函数是一段可重复使用的代码块，它能够实现一个特定的功能。
函数可以接收输入参数，并返回一个结果。
在程序中，函数是程序的基本组成单元之一，通过函数可以将程序划分为模块化的部分，提高代码的可读性、可维护性和重用性。
函数在计算机科学中有着以下特点：1. 函数具有输入和输出，输入参数是函数的自变量，输出结果是函数的因变量。
2. 函数可以有一个或多个输入参数，也可以有一个或多个输出结果。
3. 函数可以实现一个特定的功能，如求和、排序、查找、打印等。
4. 函数可以被其他函数调用，实现代码的模块化和重用。
在编程语言中，函数通常由以下几个部分组成：1. 函数名称：函数的名称用来唯一标识一个函数，其他代码可以通过函数名称来调用函数。
2. 输入参数：函数可以接收输入参数，输入参数是函数的自变量，可以影响函数的运行和结果。
函数的概念通俗理解
函数的概念通俗理解
函数是编程中非常重要的概念，它是一段可以被重复使用的代码块，可以接受输入参数并返回输出结果。
在程序设计中，函数可以帮助我们更好地组织和管理代码，提高代码的复用性和可读性。
首先，我们来看一下函数的定义。
函数通常由函数名、参数列表、函数体和返回值组成。
函数名是函数的标识符，用来唯一标识一个函数；参数列表是函数接受的输入，可以有零个或多个参数；函数体是函数的具体实现，包括了一系列的操作和逻辑；返回值是函数执行完毕后返回的结果。
函数的作用非常广泛，它可以用来完成各种不同的任务。
比如，我们可以编写一个函数来计算两个数的和，这样在程序中多次需要计算两个数的和时，就可以直接调用这个函数，而不需要重复编写相同的代码。
这不仅提高了代码的复用性，还可以减少错误的发生。
另外，函数还可以帮助我们更好地组织和管理代码。
通过将一些功能相对独立的代码块封装成函数，可以让程序结构更加清晰，便于阅读和维护。
同时，函数还可以提高代码的可读性，因为通过函数名和参数列表就可以清楚地知道这个函数是做什么用的，需要什么样的输入。
除此之外，函数还可以提高程序的性能。
通过将一些频繁使用的操作封装成函数，可以减少重复代码的出现，提高代码的执行效率。
同时，函数还可以提高代码的可测试性，因为每个函数都可以单独进行测试，确保其功能的正确性。
总之，函数是编程中非常重要的概念，它可以帮助我们更好地组织和管理代码，提高代码的复用性和可读性，同时还可以提高程序的性能和可测试性。
因此，在编程过程中，我们应该充分利用函数这一工具，合理地设计和使用函数，从而写出高质量、高效率的代码。
名词解释函数的定义
名词解释函数的定义函数是计算机程序中的一个基本概念，它是一段可重复调用的代码块。
函数接收输入参数，经过一系列的处理过程，最终返回一个结果。
函数的定义通常包含以下几个要素：1. 函数名：函数名是函数的标识符，用于在程序中调用函数。
函数名应该具有描述性，能够清晰地表达函数的功能。
2. 参数：函数可以接收零个或多个参数作为输入。
参数是函数运行过程中传递给函数的值，可以是各种类型的数据，如整数、浮点数、字符串等。
3. 函数体：函数体是函数的实际代码实现，包括一系列的语句和操作。
函数体中的代码会被执行，可以进行各种计算、逻辑判断、数据处理等操作。
4. 返回值：函数可以有一个返回值，用于将处理结果返回给调用函数的地方。
返回值可以是任意类型的数据，包括基本类型和复合类型。
函数的定义可以像下面这样：```pythondef function_name(parameter1, parameter2, ...):# 函数体，包含一系列的语句和操作# 可以使用参数进行计算、逻辑判断、数据处理等操作# 返回结果或者执行其他操作return result```例如，以下是一个简单的函数定义，用于计算两个数的和并返回结果：```pythondef add_numbers(num1, num2):result = num1 + num2return result```这个函数接收两个参数num1和num2，将它们相加后返回结果。
在程序中调用函数时，可以传入具体的参数值，并接收返回的计算结果。
总结而言，函数是一个可重复调用的代码块，接收输入参数，在函数体中进行处理，并返回结果。
函数的定义包含函数名、参数、函数体和返回值等要素。
函数的使用可以提高代码的可读性、复用性和模块化程度。
数学函数的基本概念
数学函数的基本概念数学函数是数学中非常重要的概念，在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍数学函数的基本概念，包括函数的定义、性质以及常见类型的函数。
1. 函数的定义函数是数学中一个非常重要的概念，广义地说，函数是一个关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合。
狭义地说，函数是一种特殊的关系，它满足每个自变量（输入）对应唯一的因变量（输出），即每个输入值都对应一个唯一的输出值。
数学函数通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数可以用各种方式表示，例如公式、图表或者文字描述。
函数的定义域是所有自变量可能的取值范围，值域是所有因变量可能的取值范围。
2. 函数的性质函数具有一些重要的性质，包括奇偶性、单调性和周期性等。
2.1 奇偶性一个函数被称为奇函数，当且仅当对于任何实数x，f(-x) = -f(x)。
奇函数的图像关于原点对称。
反之，一个函数被称为偶函数，当且仅当对于任何实数x，f(-x) = f(x)。
偶函数的图像关于y轴对称。
2.2 单调性一个函数被称为单调增加的，当且仅当对于任何实数x1和x2，若x1 < x2，则f(x1) < f(x2)。
反之，一个函数被称为单调减少的，当且仅当对于任何实数x1和x2，若x1 < x2，则f(x1) > f(x2)。
2.3 周期性一个函数被称为周期函数，当且仅当存在一个正数T，使得对于所有实数x，f(x+T) = f(x)。
周期函数的图像在一定范围内重复。
3. 常见类型的函数数学函数有许多不同的类型，每种类型的函数都有其独特的特点和应用。
3.1 线性函数线性函数是最简单的一类函数，它的表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，具有固定的斜率和截距。
3.2 平方函数平方函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c为常数，且a不等于0。
平方函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定。
函数的概念知识点总结
函数的概念知识点总结函数是数学中一个非常重要的概念，在很多学科领域都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、符号与表示、反函数等角度总结函数的相关知识点。
一、函数的定义函数是一种将每一个元素都映射到唯一的结果上的关系。
具体地说，如果每个元素 x 都有一个对应的元素 y，则可以表示为：f(x) = y其中，f 表示函数，x 是自变量，y 是因变量。
函数的定义域是自变量可能的值域，值域是因变量可能的值域。
二、函数的性质1. 一对一性：对于每一个 x，在函数中有唯一的 y 与之对应。
也就是说，不会有两个不同的 x 具有相同的 y 值，于是存在一个逆映射，反映自变量 y 在函数中对应的自变量 x。
简单地讲就是，每一个 x 对应一个 y，而且每一个 y 也都对应着一个 x，不存在重复的值。
2. 映射性：函数把每个定义域内的元素映射到值域中且无遗漏。
也就是说，对于定义域内的任何一个元素，都能在值域中找到相应的元素，并且一个元素只能对应一个元素。
3. 连续性：若对于定义域中的任意一个数 x，当 x 的取值无限接近某个数 a 时，对应的函数值 f(x) 也无限接近一个数 L，则称函数 f 在 x = a 处连续，其数值为 L。
三、符号与表示一般情况下，我们用小写字母 x 来表示自变量，用小写字母 y或 f(x) 来表示函数值。
一些特别的函数如指数函数 e^x，对数函数logx，三角函数 sinx、cosx、tanx 等，则用特定的符号表示。
同时，在符号表示时，会出现一些特殊的符号。
1. ∞ 表示无穷大，一般情况下分正负无穷大。
2. ∑ 是求和符号，表示把一列数加起来的结果。
3. + 和 - 符号可能同时表示加法和减法。
4. / 和 ×符号可能同时表示除法和乘法。
四、反函数反函数是指，若函数 f 将 x 映射到 y，则函数 f 的逆映射将 y 映射回 x。
相应地，如果 g 为函数 f 的逆映射，则 g(f(x)) = x，f(g(y)) = y。
函数的概念及表示法
函数可以用来描述电磁波的振幅、频率和相位等特性随时间和空间 的变化。
描述热传导
函数可以用来描述温度随时间和空间的变化，以及热量在物体内部的 传导规律。
在经济中的应用
描述市场需求
函数可以用来描述商品价 格与市场需求量之间的关 系，以及市场供求关系的 变化。
描述生产成本
函数可以用来描述生产成 本与产量之间的关系，以 及生产效率的变化。
函数可以用来描述数据结构（如数组、 链表、树等）的基本操作和性能特点。
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描述
表格表示法通常将输入值和输出值按 照一定的顺序排列成表格，以便查看 和比较。
缺点
对于连续的函数关系，表格表示法可 能无法完全准确地表达，且需要大量 的数据和时间来整理。
图象表示法
定义
描述
图象表示法是通过绘制函数 图像来表示函数关系的一种
方法。
图象表示法通过在平面坐标 系中绘制曲线或曲面来表示 函数关系，能够直观地展示
函数图像的变换
平移变换
伸缩变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定的距 离。
将函数图像沿x轴或y轴方向进行伸缩，即 扩大或缩小图像。
旋转变换
将函数图像绕原点旋转一定的角度。
翻折变换
将函数图像沿某条直线翻折，实现左右对 称或上下对称。
函数图像的应用
分析函数性质
通过观察函数图像，可以分析函数的单调性、周期性、极值等性 质。
性质
图像是周期函数，具有特定的对称性。
举例
$y = sin(x)$，$y = cos(3x)$。
指数函数和对数函数
定义
形式分别为 $y = a^x$ 和 $y = log_a(x)$，其中 $a > 0$ 且 $a neq 1$。