浅谈2005年高考数学试卷_全国卷_中的对称思想.kdh

第20卷 第1期 延边教育学院学报 Vol.20 No.1
2006年2月 Journal of Yanbian Institute of Education Feb. 2006

·48·
浅谈2005年高考数学试卷（全国卷）中的
对称思想
王雪晶 赵连生
（敦化市实验中学，吉林 敦化 133700）
摘要：近几年来，在高考命题中关于对称的数学命题每年均有体现，如何掌握好并巧妙运用对称的
思想方法解题，乃是数学学习应达到的目标。
关键词：数学；2005高考试卷；对称思想；运用
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1673－4564(2006)01－0048－05

著名数学特级教师孙维刚曾积极倡导利用对称思想来解决数学问题，他认为，数学是非常美丽的，
它的美基于其高度的严谨和合理而达到的和谐，那是一种令人神怡的内在和谐。这种合理与和谐就是作
为数学科学的对称。在数学学习中，如果能熟练掌握对称的思想方法，在解决问题时将会易如反掌。现
列举几例说明2005年高考数学试题是怎样考查对称思想的。

一、利用图形对称解决问题
例1（选择题第2小题）：正方体ABCD—A
1B1C1D1
中，P、Q、R

分别是AB、AD、B
1C1
的中点。那么，正方体的过P、Q、R的截面图

形是（ ）
A、三角形 B、四边形
C、五边形 D、六边形
解析：正方体ABCD—A
1B1C1D1中，A、C1
是关于体心对称的两

点，P、Q分别是下底面且从顶点A出发的两条棱的中点，R是上底面且从顶点C
1
出发的一条棱的中

点，由此找到上底面且从顶点C出发的另一条棱的中点H，连结RH，由PQ∥21BD∥21B1D1∥RH，
可知H为截面PQR上一点，再将截面延伸，因为截面PQR与平面B1BCC1有一个公共点R，由公理2
可知它们应存在一条交线，故应再找一点便可画出交线，由PQ与BC共面且不平等，便可知它们必存
在一交点E，E必为所求那点，连结ER，与BB
1交于F，由Rt△B1ER≌Rt△BFE，可知F为中点BB1
，

连结PF，由对称可知，DD1的中点G也截面上，故此截面为六边形。
∴选D。

例2（选择题第4小题）：已知函数y=tanωx在（－
2π，2

π
）内是减函数，则（ ）

收稿日期：2005－12－18

D1C1B1A1H
P
Q
R
G

F

E
D

C

B
A
第1期 赵丽娟：抓住课改机遇 创办特色学校

·49·
A、0＜ω≤1 B、－1≤ω＜0 C、ω≥1 D、ω≤－1
解析：由正切函数y=tanx的图象及性质可知，它在（－2π，2π）内是增函数，若ω＞0，y=tan
ωx的图象只会相应变得更“苗条”或“肥胖”，单调性则不会改变，所以根据f(x)与f(－x)关于y轴对
称这一特点，可知ω＜0。又要求此函数在（－2π，2π）内至多具有一个周期的图象，∴T=ωπ≥π
∴︱ω︱≤1，即－1≤ω＜0，∴选B。
例3（选择题第12小题）：将半径为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面
体的高的最小值为（ ）

A、
3623+ B、3

62
2+

C、3624+ D、
3

6234+

解析：要想把4个大小相同的钢球完全装入一正四面体的V—ABC的容器里，由对称性可知，无
论从正四面体的哪一个面观察，每面均能看到3个球，且它们两两外切，连结4个小球的球心，可得到
一个小正四面体，顶点分别为O
1、O2、O3、O4
，且棱长为2，体心与大正四面体的体心重合，设其为

O，可求得小正四面体的高为362，点O到底面O2O3O4的距离则为66，∴O到底面ABC的距离

为1＋66，又由正四面体的体心到底面的距离为高的41，∴大正四面体的高的最小值为4(1＋66)=4
＋362，∴选C。
评述：以上三题在不同程度上都运用了立体图形或函数图象的对称性来解决相关问题，能够恰当运
用其对称性质，可为解题带来极大的方便。

二、函数中的对称问题

例4（选择题第3小题）：函数y=
132−x
（x≤0）的反函数是（ ）
延边教育学院学报 2006年
·50·
A、y=3)1(+x（x≥－1） B、y=－3)1(+x（x≥－1）
C、y=3)1(+x（x≥0） D、y=－3)1(+x（x≥0）
解析：观察函数y=
132−x
（x≤0）可知，其图象过点（－1，0），因此反函数图象必过点（0，

－1），排除A、C，又原函数的值域为[－1，＋∞），∴反函数的定义域为[－1，＋∞），即选B
评述：由互为反函数的函数y=f(x)和y=f
-1
(x)的图象关于直线y=x对称可知，若点（a，b）在函数

y=f(x)的图象上，则点（b，a）必在其反函数y=f
-1
(x)的图象上，反之亦然。

三、不同情况的对称分析
例5（解答题第19大题）：甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的
概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局的比赛相互间没有影
响。令ζ为本场比赛的局数，求ζ的概率分布和数学期望（精确到0.001）。
解析：由题意可知，ζ的可能取值为3、4、5，当ζ=3时，说明只进行了三场比赛，胜方可能是
甲也可能是乙，若甲获胜，概率为0.6
3，对乙获胜作对称分析，概率为0.43
。

两事件为互斥事件 ∴P(ζ=3)=0.6
3＋0.43
=0.28

ζ=4时，说明进行了四场比赛，胜方可能为甲也可能为乙。当甲方获胜时，前三场甲必输一场，

赢两场，而第四场必须赢，概率为23C×0.62×0.4×0.6；对乙获胜作对称分析，可知概率为23C×0.42×

0.6×0.4，两种情况为互斥的，∴概率为23C×0.62×0.4×0.6＋23C×0.42×0.6×0.4=0.3744。
ζ=5时，说明进行了五场比赛，胜方可能为甲也可能为乙。当甲获胜时，前四场甲必须输两场，
赢两场，而第五场必须赢，概率为
24C×0.62×0.42×0.6；对乙获胜作对称分析，可知概率为2
4
C

×0.4
2

×0.62×0.4，两种情况为互斥的，∴概率为24C×0.62×0.42×0.6＋24C×0.42×0.62×0.4=0.3456。
∴ζ的概率分布为：
ζ
3 4 5

P 0.28 0.3744 0.3456
∴Eζ=3×0.28＋4×0.3744＋5×0.3456=4.0656。

例6（解答题第21大题）：P、Q、M、N四点都在椭圆1222=+yx上，F为椭圆在y轴正半轴

上的焦点，已知
PF与FQ共线，MF与FN共线，且PF·MF
=0，求四边形PMQN的面积的
第1期 金在律：谈幼儿生活行为和道德教育
·51·
最小值和最大值。
解析：由题设可知，直线PQ、MN在图中的位置是对称的，不妨设直线PQ的方程为：y=kx＋1，

与椭圆方程
1222=+yx
联立，得012)2(1212222=−++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=kxxkyxkxy

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则222122122122)1(224)(11kkxxxxkxxkPQ++=−+⋅+=−⋅+=
（1）k=0时，PQ⊥MN，直线PQ平行于x轴，直线MN垂直于x轴，
∴︱PQ︱=2，︱MN︱=22此时S=21︱PQ︱·︱MN︱=2

（2）K≠0时，直线MN的方程即为：11+−=xky，
由︱PQ︱=
2

2

2)1(22kk+
+

对称得到

︱MN︱=
2

2

2

2

12)11(22)1
(2

])1(1[22

k
kkk

++=−+

−+

，

∴S=21︱PQ︱·︱MN︱=
2

1
·222)1(22kk++·2212)11(22kk++=)12)(2()1(42222+++kkk

=2222112124kkkk++⋅++。
∵2212kk++＞0，22112kk++＞0，

O
y
x
N
Q

MP
F(1,0)
O
延边教育学院学报 2006年

·52·
∴2212kk++·22112kk++≤4921332 k112kk1k2 22222222=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++kk （当且仅当
2212kk++=2
2
112kk+
+

即k=±1时取等号），

∴S≥916。
综合可知，916≤S≤2 ∴四边形PMQN的面积S的最大值为2，最小值为916。
评述：对不同情况作对称分析或对不同变量作对称替代在解题时很常见，如果能够巧妙运用对称，
定会使问题的解答简洁明了。
近几年来，在高考命题中关于对称的数学命题每年均有体现，如何掌握好并巧妙运用对称的思想方
法解题，乃是数学学习应达到的目标。