例谈变式教学应遵循的五个原则
谈变式教学中习题引申应注意的几个问题
04 习题引申中应注 意的问题
引申的深度与难度
总结词
在习题引申过程中，需要合理把握引申的深度和难度，既要避免过于简单缺乏挑战性，也要防止过于复杂而挫 败学生的积极性。
详细描述
在变式教学中，对习题的引申不是越难越好，而是要遵循学生的认知规律，根据学生的实际情况进行合理的设 计。引申的深度和难度要与学生的能力水平相适应，既能够激发学生的学习兴趣和探究欲望，又能够提升学生 的解题能力和思维水平。
心。
习题引申教学能够培养学生的创 新思维和创新能力，提高学生的
综合素质。
研究不足与展望
当前研究还存在一些不足之处，例如研究样本的选取、实验条件的控制等方面有 待进一步完善。
未来的研究可以进一步探讨习题引申教学的最佳模式和策略，以及在不同学科领 域中的应用和实践。
未来的研究还可以进一步探究习题引申教学与其他教学方法的结合和优化，以更 好地提高教学效果和质量。
提倡合作交流，鼓励学生自主设计和参与习题引申
分组合作，鼓励学生互相交流 和帮助。
定期组织习题引申的分享会， 展示学生的成果和收获。
给予学生自主设计和参与习题 引申的机会，培养他们的学习
积极性和创造力。
06 研究结论与展望
研究结论
习题引申教学能够提高学生的学 习成绩和学习能力。
习题引申教学能够激发学生的学 习兴趣和动力，增强学生的自信
07 参考文献
参考文献
为了更好地说明变式教学中习题引申应注意的几个问题，以下将列出相 关的参考文献
张奠宙,王昆扬.高等数学变式教学的研究与实践[J].中国大学教学 ,2006(11):47-50.
罗增儒.数学变式教学的理论探索与实践研究[J].中学数学教学参考 ,2006(11):7-10.
例谈数学变式在高三习题课中的作用
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１例谈数学变式在高三习题课中的作用例谈数学变式在高三习题课中的作用Һ李㊀俊㊀（江苏省丹阳市珥陵高级中学，江苏㊀镇江㊀２１２３００）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文从笔者在教学中遇到的两个例子入手，对数学变式教学中需要注意的问题提出了五个建议，同时指出要避免 负向的数学变式 ，并给出了相关建议，以期能对数学教师在高三习题课中正确使用数学变式㊁提高课堂教学效果有所帮助．ʌ关键词ɔ高三习题课；数学变式教学；负向的数学变式在高三习题课中，部分教师常常将多做题当作法宝，一味地搞题海战术．笔者在平时的听课中做了一个粗略的统计，大部分教师一节数学课准备的题目都在十五道以上，特别是习题课，更加是题目的 海洋 ．听完课后，笔者在与学生的交流中发现，学生对于课堂上 海量 题目的讲解有很多困惑：上一题还没有理解透彻，老师又开始讲下一题了；老师讲的都懂，但自己再遇到相似问题还是不会 教师经常反映的是：这道题目上课的时候已经讲过两遍了，但再遇到，学生还是会错，问题究竟出在哪里？是不是每节习题课都需要准备很多题目，讲很多例题？笔者觉得这一点值得商榷，并认为如果在习题课上将变式题用得好的话，可以以一当十，事半功倍．顾明远在其主编的‘教育大辞典“中对 教学变式 进行了详细的解释： 教学变式 在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一，即在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征，以突出事物的本质特征，目的在于使学生了解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学概念．在数学课堂教学中，特别是在高三习题课中，为了提高学生的学科核心素养，形成 理性思维㊁科学精神 促进个人智力发展 ，教师需要改变以往 老师讲解多，学生思考少 一问一答多，师生交流少 机械记忆多，具体操作少 等现象，和学生一起对数学问题进行多角度㊁多方位㊁多层次的讨论和思考．而这里的 多角度㊁多方位㊁多层次 都可以通过适当的数学变式达成．精彩的数学变式不仅能使学生看到事物的表象，更能让他们自觉地探索事物的本质，使他们明白即便是高考中的复杂问题，也是由简单问题转变而来的，消除学生的思维定式和学习数学的畏难情绪，同时提高学生的数学研究和创新能力，极大提高学生参与课堂的积极性，改变高三习题课 教师一言堂 的不良现象，使学生真正成为课堂教学的主体．在教学 三角专题复习 第一课时的时候，笔者是这样设计的．首先，和学生一起回忆三角函数的基本公式，然后一同总结以往解三角题的过程中所要注意的问题：牢记公式，活用公式，注重技巧，黑板上的板书也要尽量精简．其次，开始讲解例题．为了熟练记忆公式，笔者从几个角的变换的题目入手，通过一些恒等变形的问题让学生熟悉公式，最后通过几个综合题提高学生的综合应用能力．本来这几个部分至少需要十道左右例题，在审阅题目的时候，笔者发现这些例题虽然各不相同，但使用的方法是有迹可循㊁层层递进的，故灵机一动，何不把一道题目进行几种变形，但同样使用例题考查的几种方法呢？这样既可以大幅度提高课堂的效率，又可以激发学生的求知欲，使他们对知识的印象更加深刻．课堂片段摘录如下．例１㊀已知ｓｉｎｘ＝３５，ｘɪ０，π２()，求ｃｏｓｘ＋π４()，ｓｉｎ２ｘ．此题为基础题，主要考查了学生对两角和的余弦公式和二倍角公式的运用，可以让学生熟悉基本公式的运用．根据已知条件，可求出ｃｏｓｘ＝４５，根据ｃｏｓｘ＋π４()＝ｃｏｓｘｃｏｓπ４－ｓｉｎｘｓｉｎπ４＝２１０，ｓｉｎ２ｘ＝２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝２４２５．（过程略）这道题给出的已知角比较简单，但如果给出的角不是简单角，学生是否会进行相应的变形和运算呢？于是笔者对例题进行了如下变形．变式１㊀已知ｃｏｓｘ＋π４()＝２１０，ｘɪ０，π２()，求ｓｉｎ２ｘ．与上一题相比较，本题是将原来的一个要求的结论当作条件，另外一个结论当作所求．课堂实录如下．学生甲：利用角的变换ｘ＝ｘ＋π４()－π４，可以求出ｓｉｎｘ＝ｓｉｎｘ＋π４()－π４[]＝ｓｉｎｘ＋π４()ｃｏｓπ４－ｃｏｓｘ＋π４()ｓｉｎπ４＝７２１０ˑ２２－２１０ˑ２２＝３５．这样就变成了和上题一样的已知，充分体现了化归的思想．学生乙：为什么ｓｉｎｘ＋π４()＝７２１０，而不是－７２１０？学生甲：根据角的范围，ｘɪ０，π２()，则ｘ＋π４ɪπ４，３π４()，能确定ｓｉｎｘ＋π４()的符号为正．教师（提醒）：讲得非常好，还有没有其他的方法？是否能够将角ｘ＋π４直接过渡到角２ｘ？学生丙：可以考虑角ｘ＋π４的２倍，即２ｘ＋π４()＝２ｘ＋π２，所以要求ｓｉｎ２ｘ，只要求ｃｏｓ２ｘ＋π２()，而ｃｏｓ２ｘ＋π２()＝ｃｏｓ２ｘ＋π４()＝２ｃｏｓ２ｘ＋π４()－１＝－２４２５，而ｓｉｎ２ｘ＝－ｃｏｓ２ｘ＋π２()＝２４２５．教师适时表扬，给予学生充分肯定，同时及时小结：要求角，重点要观察所求角与已知角之间的关系．㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１同时教师又抛出了一个问题：能不能进一步优化解题步骤呢？学生在短暂讨论后有了思路．学生丁：可以将ｘ＋π４看作一个整体ｔ，那么题目就变成： 已知ｃｏｓｔ的值，给定ｔ的范围，求ｓｉｎ２ｔ－π４()，化简后可得ｓｉｎ２ｔ－π４()＝ｓｉｎ２ｔ，也就是例题的第二小题了．通过变式１，学生掌握了角的简单变换，同时学生丁提出的方法 整体代换法非常好，一方面方便计算，另一方面为后面的变式提供了解题方向．于是笔者又提出了变式２．变式２㊀已知ｃｏｓｘ＋π４()＝２１０，ｘɪ０，π２()，求ｃｏｓ２ｘ＋π４()．与变式１比，变式２的已知未变，但所要求的结论变了，所求的角变得更加复杂．学生戊：要求ｃｏｓ２ｘ＋π４()，由两角和与差的公式知，需要求ｃｏｓ２ｘ和ｓｉｎ２ｘ，而变式１已经求出了ｓｉｎ２ｘ，因此只要求ｃｏｓ２ｘ即可，思路同变式１一样．ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ２ｘ＋π２()＝ｓｉｎ２ｘ＋π４()＝２ｓｉｎｘ＋π４()ｃｏｓｘ＋π４()＝２ˑ７２１０ˑ２１０＝７２５，则ｃｏｓ２ｘ＋π４()＝ｃｏｓ２ｘｃｏｓπ４－ｓｉｎ２ｘｓｉｎπ４＝２２ˑ７２５－２２ˑ２４２５＝－１７５０２．此时学生丁又有了想法．学生丁：和上面一样，可以将ｘ＋π４看作一个整体ｔ，那么题目就变成了 已知ｃｏｓｔ的值，求ｃｏｓ２ｔ－π４()．而ｃｏｓ２ｔ－π４()用两角的余弦展开后就可以求得结果．通过变式１和２，学生对角的变换和整体代换两种常见的解决三角函数值的方法已经基本掌握．下面可以从知识点的交汇处进行变形和变式．历年的高考中，三角和向量联系得比较紧密，所以笔者又编制了三道与向量相结合的题目．变式３㊀（１）函数ｙ＝ｃｏｓｘ＋π４()的图像按向量ａ＝（ｍ，０）平移后得到ｙ＝ｃｏｓｘ，求ｍ．（２）函数ｙ＝ｃｏｓｘ＋π４()的图像按向量ａ＝（ｍ，０）平移后得到ｙ＝ｓｉｎｘ，求ｍ．（３）函数ｙ＝ｃｏｓｘ＋π４()的图像经过哪些变换后可得到ｙ＝２ｓｉｎ２ｘ＋π４()？这三道题都考查了角的变换，其本质就是变式１和变式２的综合．学生在仔细思考后都能迅速㊁正确地解决．这样的变式教学有利于学生多角度地理解概念，有层次地推进数学活动．本例题考查了角的变换㊁平移变换等方法，变式之间环环相扣㊁密切相关，但又不是原来例题的简单重复 数字的改变或是背景的更换．张奠宙认为， 数学的变式教学就是通过不同的角度㊁不同的侧面㊁不同的背景从多个方面变更所提供的数学对象的某些内涵以及数学问题的呈现形式，使数学内容的非本质特征时隐时现，而本质特征保持不变的教学形式 ．那么，在高三数学习题课变式教学过程中，教师要注意哪些问题呢？１．要自然流畅地在原例题的基础上进行，这是数学变式的本质．基于原来例题的改变，对学生而言，一方面，可以让其迅速理解题目，而不是 重起炉灶 重头再来 ；另一方面，可以加深学生对原有例题的理解．本例的变式１便是将其中所求的一个结论当作条件，求另一个结论．对于学生而言，可以思考的角度很多，其中一个角度就是根据ｃｏｓｘ＋π４()求出ｓｉｎｘ，再根据ｓｉｎｘ求出ｓｉｎ２ｘ，也就是原有例题解题方法的逆用，便于学生思维的拓展．２．要在学生思维水平的 最近发展区 上变式，这是数学变式的关键．维果斯基建议教学应着眼于学生的 最近发展区 ，调动学生的积极性，在此基础上进行下一个发展区的发展．本例中的三个变式层层递进，既基于学生基础，又在学生的 最近发展区 内有一定的难度，但又是学生 跳一跳 能达到的．这样的变式有利于激发学生潜能，逐步提高学生的数学素养．例题是公式的直接应用，变式１需要利用角的变换，即ｘ＝ｘ＋π４()－π４．变式２要求ｃｏｓ２ｘ，需要做变换ｃｏｓ２ｘ＝－ｓｉｎ２ｘ＋π２()＝－ｓｉｎ２ｘ＋π４()，虽然也是角的变换，但要求比变式１要高一点．变式３是让学生理解，无论哪一种变换，都是将ｘ变成ｘ的一次函数．所以，这三道题都是建立在学生思维水平附近但又略高于学生思维水平的变式．３．要有梯度，循序渐进，这是数学变式的前提．在做例１的时候，一般不会有学生算出ｃｏｓｘ＋π４()的值后，在此基础上去计算ｓｉｎ２ｘ．所以，变式２不是例题的简单重复，而是循序渐进的思维进阶，有一定的梯度．而到了变式３，特别是变式３的第（３）小问，里面既有正㊁余弦之间的变换，又有角的变换，也就是三角函数既有 名 的变化，又有 角 的变化，这样的设计可以促使学生对三角函数本质的理解更深刻㊁仔细．４．在变化中考查数学素养㊁数学本质，而不仅仅是数字的改变，这是数学变式的重要因素．由于是高考习题课中的变式，所以三道变式题都没有简单地改变某一个数字，让学生将方法或概念重复训练，进而内化，更多的是对于角的变换这一数学本质的若干变形．从例题中单角的变换到变式１，２中复角的变换，再到变式３中平移和周期的变换，都在培养学生对数学本质的觉察能力，以及对数学变形的操作能力．５．好的变式教学不是一题多变㊁一题多解㊁一法多用㊁图形多变，而是要求学生能够做到高层次的迁移．所谓高层次的迁移是指思想方法㊁思维方法㊁认知结构的迁移，教师在备课的过程中要将这一思想贯穿始终．㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１对于能够达到教学目的的变式，笔者称之为 正向的数学变式 ，但有些变式可能对教师所要重点强调的思想方法会起到负面作用，笔者称之为 负向的数学变式 ．教师在数学习题课中要尽量避免 负向的数学变式 ．笔者在听课的过程中曾经遇到这样的例子．例２㊀已知集合Ａ＝｛ｘ｜－１ɤｘɤ５｝，Ｂ＝｛ｘ｜２ｍ－１ɤｘɤ２ｍ＋１｝，且Ｂ是Ａ的子集，求ｍ的范围．学生很自然地列出如下的式子：２ｍ－１ɤ２ｍ＋１，２ｍ－１ȡ－１，２ｍ＋１ɤ５，{解得结果为０ɤｍɤ２．为了强调子集和真子集的区别，教师进行了这样的变式．变式㊀已知集合Ａ＝｛ｘ｜－１ɤｘɤ５｝，Ｂ＝｛ｘ｜２ｍ－１ɤｘɤ２ｍ＋１｝，且Ｂ是Ａ的真子集，求ｍ的范围．变式与例２相比就加了一个 真 字，教师的目的很明确，就是想让学生考虑真子集与子集的区别，真子集时Ａ不能等于Ｂ．学生在教师的暗示下，列出了如下的式子：２ｍ－１ɤ２ｍ＋１，２ｍ－１＞－１，２ｍ＋１＜５，{其实就是在两处地方去掉了 等于号 ，因此结果就变成了０＜ｍ＜２．刚刚讲完，一个学生就站起来提出了疑问： 当ｍ＝０或ｍ＝２时，Ｂ还是Ａ的真子集．因为当ｍ＝０时，集合Ｂ＝｛ｘ｜－１ɤｘɤ１｝⊈Ａ，当ｍ＝２时，集合Ｂ＝｛ｘ｜３ɤｘɤ５｝⊈Ａ．这是怎么回事？由于教师之前并没有充分准备，因此在这个题目上纠缠了许久，本想通过这个变式区分子集和真子集的初衷也被这个 不成功 的变式破坏．我们如果对问题进行深入研究的话就会发现，当我们取的Ｂ集合是一个区间长度确定的集合，Ｂ的区间长度为（２ｍ＋１）－（２ｍ－１）＝２，而Ａ的区间长度是６，这就意味着：即使Ｂ的左（右）端点与Ａ的左（右）端点重合，Ｂ也是Ａ的真子集，而不可能等于Ａ．当然，教师也可以对取端点处值的集合进行验证，看是否为真子集，也能避免考虑不周．所以，数学变式要保证科学性㊁目的性．由于破坏了课堂的目的性，我们把例２的变式称为 负向的数学变式 ．所谓的 负向的数学变式 是指以下这几类数学变式．１．科学性上存在争议，或者虽然没有科学性错误，但存在概念含糊㊁表述不准确等问题．２．与原例题没有关系， 貌合神离 ．比如，例１主要是围绕角的变换展开的，但如果放一个关于解三角形的作为变式，哪怕这个题目再经典，对于例１来讲都不是好的变式．３．思维跳跃太大，与例题所培养的数学素养相关性极小．有些变式题表面上看起来似乎也是例题的延伸，但是细究起来，所考查的数学核心素养与例题相去甚远．一方面，教师需要花大量的时间引导学生理解，学生也需要花大量的精力去思考；另一方面，这样的例题对于这节课想要达成的目标没有正向作用，有的时候反而会起抑制作用，影响课堂目标的达成．为了课堂教学目标的达成率更高，教师在上课的过程中要避免 负向的数学变式 ，这就要在上课之前准备充分，上课遇到问题时要反应机智，妥善处理课堂突发情况．比如，有时教师会在课堂上抄错题目，出现这种情况的时候，教师要迅速发现是否有必要将之变成新题．比如笔者在上课的时候出了这样一道题：已知角α和β，它们的和为３０ʎ，差为１０ʎ，求它们的正弦值．笔者在做课件的时候将１０ʎ写成了１０，因此原题就变成：已知角α和β，它们的和为３０ʎ，差为１０，求它们的正弦值．题目一打出来就已经发现错了，本想改过来，但略一思考，发现这确实是一道新题，于是笔者就叫学生先自己思考．刚开始，学生也没有注意到这里弧度制与角度制的区别，但经过笔者的暗示，有的学生开始大声说： 不对，一个是角度，一个是弧度． 经过很短的时间，就有学生提出了思路．这样一来，本来的一道错题就变成了一道非常好的概念题．当然，出现这样的错误，你也可以向学生道歉后把题目改正，但若发现抄错后的题目又成为一道好的题目，而且需要思维转弯幅度较大，此时就可以将错就错，临时解决这道题目，这样既可以减少在学生面前出错的情况，又可以培养学生的解题应变能力，使他们能应用基本概念㊁基本方法解决一般性的问题，培养学生考虑问题的周到性．在平时的高三复习课上，教师可以从一些简单的问题入手，然后以此为基础设计一些有层次㊁有梯度㊁要求明确㊁题型多变的例题㊁习题，训练学生不断探索解题方法，对比解题方法的优劣，从而优化解题路径，拓展思维的广阔性；对于一些容易混淆的数学概念㊁定理㊁法则，可以从内涵和外延㊁正面和反面㊁特殊和一般㊁本章节和相关章节等各方面进行适当的变式，加大课堂容量的同时，加深学生对数学本质概念的理解．相关性强的变式能促使学生对可能遇到的难题做出客观的评价，不断提升学生解决难题的能力．变式训练稍有成效后，教师就可以动员学生对题目进行变式拓展 学生自己出一些题目，或者学生自己找一些相关题型，这样将更加有利于学生解题能力的提高和数学素养的提升．顾泠沅在变式教学研究中也建议，可以创造性运用知识技能变式，让学生自行编拟变式题．从近年来高考全国卷命题的趋势来看，现在的高考着重考查学生独立思考和运用所学知识分析问题㊁解决问题的能力．考卷对于学生思维的广度㊁深度的要求有所提高，试题比较注重对学生探究能力的考查．为了应对高考，在高考复习课中，教师可以通过对典型例题和教材中关键性问题的探索，引导学生理解普遍性问题，提升学生解决陌生情境问题的能力．总之，变式教学操作得当将大大提高教学有效性．ʌ参考文献ɔ［１］顾明远．教育大辞典［Ｋ］．上海：上海教育出版社，１９８６．［２］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０２０．［３］顾泠沅，黄荣金，费兰伦斯㊃马顿．变式教学：促进有效的数学学习的中国方式［Ｊ］．云南教育（中学教师），２００７（３）．［４］张奠宙．关于中国数学教育的特色：与国际上相应概念的对照［Ｊ］．人民教育，２０１０（２）．［５］聂必凯．数学变式教学的探索性研究［Ｄ］．上海：华东师范大学，２００４．［６］李昌官．走向素养为本的数学变式教学［Ｊ］．课程㊃教材㊃教法，２０２１（８）．［７］耿秀荣．数学变式教学的理论框架及其实验研究［Ｊ］．牡丹江教育学院学报，２００８（１）．［８］顾非石，顾泠沅．诠释 中国学习者悖论 的变式教学研究［Ｊ］．课程㊃教材㊃教法，２０１６（３）．。
初中数学习题课变式教学的几点建议
初中数学习题课变式教学的几点建议初中数学学习题课是提高学生数学能力的重要教学环节，而变式教学是其中的重要形式。
通过变式教学，学生可以在做题的过程中培养逻辑思维能力，拓展数学解题的思维方式。
为了提高初中数学学习题课变式教学的效果，以下是几点建议。
一、合理设计问题在进行变式教学时，教师需要合理设计问题。
问题的难度要适中，不宜过于简单或者过于复杂，要考虑到学生的实际水平。
问题的设计要能够引起学生的兴趣，增强他们的学习动力。
问题的设计要有一定的变化，包括不同类型的题目、不同难度的题目等，以便满足学生的不同需求。
二、注重启发式教学在进行变式教学时，教师应该注重启发式教学。
即通过一些特殊的、新颖的问题设计，让学生在解题的过程中主动探索、积极思考，从而使他们的数学思维得到开发和锻炼。
启发式教学可以激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性，从而更好地完成变式教学的任务。
三、倡导多种解题方法在变式教学中，教师应该倡导多种解题方法。
同一个问题可以有多个解题思路，每种思路都有其独特的优点。
通过多种解题方法的比较与分析，学生可以更全面地理解问题，在解题的过程中拓展思维，提高解题的灵活性。
倡导多种解题方法也能够培养学生的创新意识，激发他们对数学的兴趣。
四、注重实际应用在进行变式教学时，教师应该注重实际应用。
数学是一门现实应用广泛的学科，因此教师应该注重把所学的知识与实际应用相结合。
设计一些与学生生活相关的问题，通过实际应用来引导学生学习解题方法，可以更好地激发学生的学习兴趣，加深他们对数学知识的理解。
五、鼓励学生合作解题在进行变式教学时，教师应该鼓励学生合作解题。
合作解题可以让学生相互讨论、交流思想，从而帮助他们更好地理解问题、掌握解题方法。
合作解题也能够培养学生的团队意识和沟通能力，促进同学之间的合作与交流。
在进行初中数学学习题课变式教学时，教师需要注重问题设计、启发式教学、多种解题方法、实际应用以及鼓励学生合作解题。
数学变式教学的方法和应注意的问题
数学变式教学的方法和应注意的问题作者：方强来源：《新校园·中旬刊》2013年第12期教学的任务是培养学生分析问题和解决问题的能力，而学生分析问题和解决问题的能力又取决于思维能力。
因此，在数学教学中培养学生具有良好的思维品质是非常重要的。
在新课改背景下，对数学课本中的例题和习题进行变式教学是非常有效的方法。
变式是指在向学生不断变换提供的感性材料或问题的呈现形式时，必须从不同的角度、不同的方向改变事物的非本质属性，突出事物的本质属性，以促进知识的掌握。
数学变式教学对于激发学生兴趣、激活学生的创新思维常常能起到意想不到的作用。
数学变式教学能够使学生在全面、深刻地理解和掌握知识的同时，思维品质也获得良好的发展。
加强对课本例题和习题的变式教学，可使学生对相关问题感到既亲切又新鲜，这样不仅能加深学生对教材中所提出的问题的理解，更能培养学生的创新精神，极大地调动了学生的学习积极性。
一、变式教学的方法1.从不同的方向思考在课堂教学中，教师要加强数学思想和方法的教学，教会学生从不同的方向思考问题。
如：（1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数。
（2）如图2，△B1O1C1两个外角∠C1B1D、∠B1C1E的平分线相交于点O1，∠A1=40°，求∠B1O1C1的度数。
（3）由（1）、（2），可以发现∠BOC与∠B1O1C1有怎样的数量关系？若∠A=∠A1=n°，∠BOC与∠B1O1C1是否还具有这样的关系？为什么？分析：如对此题多做一些引申，如∠BOC与∠A会有什么样的关系？过点O作MN∥BC 交AB、AC于点M、N，那么MN与BM+CN有何关系？这样不但可以培养学生的探索能力，也可培养学生的创新素质。
这样的变式教学，不仅提高了学生运用所学知识解决数学问题的能力，而且培养了学生的创新能力，发展了学生的求异思维。
2.从不同的角度思考从不同的角度思考是数学变式教学的一种重要手段，它通过引导学生多方联想、多向探求，多角度、多层次地思考问题，来寻求一题多解，培养学生的发散思维能力，引导思维的灵活性。
初中数学例题变式教学的实践与认识
初中数学例题变式教学的实践与认识林华香（福州市长乐区朝阳中学福建·福州350200）摘要目前，笔者正在组织实施“初中数学变式教学的应用研究”的课题研究，本文结合多年的教学实践和这两年对初中数学变式教学的深入研究，谈谈自己对初中数学例题变式教学的一些做法和看法。
关键词初中数学例题变式教学研究中图分类号：G633.6文献标识码：A0前言伴随着新课改的不断深化教学体制，使得初中数学中的一些例题面临着新的教学挑战，变式教学法的应用使课堂教学更具创造性和新颖性，可以有效引导学生对多变的问题进行思考，从而提高教师的教学质量以及学生的学习效率。
例题教学作为初中数学教学过程的重要环节，有的教师却认为教材中给出的题目过于简单，往往不讲或是一带而过，或照本宣科，导致学生没能真正的理解题目中所蕴含的数学知识以及解题思想，也没能让学生能够自己去经历知识的发生与发展过程，而只是就题讲题，就知识点讲述知识点，使学生的例题学习过程总停留在表层，一知半解，模仿式学习，甚至死记硬背，结果例题讲解完后一做练习，学生仍不会解题。
对于例题的教学，我们应该有自己的智慧，以立德树人为本，以培养学生数学核心素养为目标。
1变式原则从《认知心理学》我们可以知道，在变式的学习中，知识的本质是不应当改变的，以变式为核心的教学里，要求“万变不离其宗”，“宗”才是核心，围绕知识本质核心，所教学的概念、定义、公式都是外部的表现。
因此，在变式教学中，一定要有变式原则。
1.1系统性原则学生在进行初始学习时，了解的无非是概念和定义，而教师应以螺旋式的方法，通过向外的延拓与向上的发展，在教学过程中将所学的知识组织成网络，使学生能够将零散得到的知识形成脉络，掌握类似知识概念中具有的微妙变式。
1.2目的性原则在初中数学教学中，每一个概念的讲授都有其独特性，在例题变式过程，教师的目的需明确，克服变式教学中的盲目性。
如，在学习“勾股定理”时，我通过对各种不同直角三角形之间的变式，让学生对所获的“勾三股四”加以应用。
数学教学中应用变式教学的策略
数学教学中应用变式教学的策略发布时间：2021-09-29T10:28:33.395Z 来源：《中小学教育》2021年第15期 作者： 乌静[导读] 变式教学是数学教学中教师经常会采取的一种教学方法，意在引导学生在变式中看清数学问题的本质，促进学生的思维发展。本文就对如何在初中数学教学中更有效的应用变式教学，提出几点教学建议，以期优化教学质量。
乌静
辽宁省凌源市第二初级中学
【摘 要】变式教学是数学教学中教师经常会采取的一种教学方法，意在引导学生在变式中看清数学问题的本质，促进学生的思维发展。本文就对如何在初中数学教学中更有效的应用变式教学，提出几点教学建议，以期优化教学质量。
关键词：初中数学;变式教学;实际应用
在初中数学的教学过程中，变式教学是指相对于某种特定的问题形式，不断变更问题的情境以及考察思维和角度，保持问题实质不变的情况下，提高非问题相关条件以揭示问题的本质属性。因此，教师采用变式教学时又产生多种的问题变式，如“形式变式”“内容变式”“方法变式”等，变式的过程需要讲求本质不变的原则，这样才能最大限度发挥其实际作用。
一、 变式教学法在教学中应用的原则
（一） 启迪思维原则
对于初中数学的教学，需要不断启发学生的思维转变能力。教师希望通过引导学生思考，设计对应的问题变式，进而有效提升学生的思维活跃度。故而，教师开展初中数学的教学工作时，一定要进行细致的创编工作，设置符合学生心理预期问题情境。引导学生多角度思考问题的解决之道，从而有效提高学生解决问题时思维的积极性和活跃度。
（二） 暴露过程原则
解决数学问题需要使学生明白解决问题的思维流程，进而增强学生的参与感。一旦学生获得知识发现的成就感，便可以很大程度上提升学生学习的积极性。在变式教学的过程中教师应向学生暴露出数学思维的过程，向学生阐述概念的推理过程，并构建适合学生的相关情境，进而帮助学生有效认清概念的推导方法。在这个学生逐渐清晰定理含义的过程中，教师针对各种例题习题进行合理变式，能够有效拓宽学生的学习思路，帮助学生强化解题思维力。
初中数学习题课变式教学的几点建议
初中数学习题课变式教学的几点建议针对初中数学习题课的变式教学，本文从教师教学态度、教学方法和教学资源三个方面提出以下几点建议。
一、教师教学态度1. 从尊重学生出发。
教师应该尊重每个学生的差异性和独特性，充分关注其个性化的需求和价值，鼓励每位学生积极参与课堂，激发其自主学习的热情。
2. 充满热情和责任感。
教师应具备敏锐的情感体验和热情洋溢的教学态度，努力营造出轻松愉悦、积极向上的学习氛围，让学生快乐地学习数学。
3. 耐心细致。
变式教学需要注重细节和精准度，教师需要对每个学生的思维发展状况进行全面而细致的评估，因材施教，耐心细致地引导学生掌握数学知识和技能。
二、教学方法1. 以问题为导向。
在变式教学中，问题是学习的核心，教师应该根据问题的难易程度，适当地调整课堂教学的难度，灵活运用问题导向的教学方法，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
2. 多样化的教学手段。
变式教学需要多种不同的教学手段，如课堂讨论、小组合作、个人练习以及多媒体辅助教学等，以满足不同学生的学习风格和需求。
3. 注重实践和反思。
在变式教学中，教师应该引导学生在实践中体验和反思，及时总结和归纳实践中遇到的问题和解决方法，理清思路，不断提高数学思维和实践能力。
三、教学资源1. 物质资源的充分利用。
教师应该充分利用现代化教育技术手段和数字化教学资源，打破传统课堂的限制，创造出多样化的学习环境和教学资源。
2. 人际资源的协同配合。
教师可以与同学、家长、专业人士等建立良好的沟通渠道，共同协作，发挥优势，完善教育服务，使数学教育更全面、更高效。
3. 环境资源的营造。
教室教学环境的营造对学生的学习效果和内功培养有很大的影响，教师应该创设良好的学习氛围，让学生真正愿意学习、乐意思考、勤于实践。
综上所述，教师在进行初中数学习题课变式教学时，应该从教学态度、教学方法、教学资源三个方面出发，慎重选用各种教学手段和资源，努力鼓励学生积极参与课堂活动，培养学生的自主学习能力和数学思维能力，让他们在愉悦中学好数学。
例谈对典型问题的变式教学
例谈对典型问题的变式教学
对于典型问题的变式教学，可以采用以下方法：
1.理解基本概念：首先，要让学生对典型问题的基本概念和常见解题方法有一个清晰的认识。
这包括要求学生掌握相关的公式和定理，能够初步区分问题的类型和性质，并掌握初步的解题方法。
2.针对问题特点设计变式：在学生掌握基本概念和解题方法的基础上，要针对典型问题的特点设计变式题型。
可以通过调整各种等式、不等式的系数、加减项、所求的未知数等，使得问题的求解变得更加复杂和有挑战性。
3.引导学生解题思路：在学生全面了解了变式题型后，需要引导他们分析问题中涉及的各种条件和信息，确定求解的目标，进而制定解题方案。
通过分步引导和演示，让学生逐步理解问题解题的思路和逻辑。
4.不断巩固练习：最后，对于典型问题的变式教学，需要让学生不断练习，熟悉各种不同类型的变式题目，培养运用知识解决具体问题的能力。
在练习中，要及时对学生的答案和解题思路进行评价和指导，帮助他们更好地理解知识和技能。
总的来说，典型问题的变式教学需要让学生掌握基本概念，熟悉不同类型的变式题目，并能够独立运用知识解决实际问题。
这需要教师有充分的准备和教学策略，引导学生从多个角度去思考和解决问题。
初中数学习题课变式教学的几点建议
初中数学习题课变式教学的几点建议
1. 突出定义和概念的重要性
在教学中，老师应该给学生讲解变式的定义和概念，并且强调它在数学中的重要性。
学生应该知道变式是指能够变化的量，而变量是指代变量的符号。
只有理解了变式的基本
概念，才能更好地理解后面的知识点。
2. 从实例入手，加强练习
教学中，要以丰富的实例为基础，通过实例推导出公式。
在实例的过程中，让学生理
解变量的含义以及变量与固定量之间的关系。
然后通过刻意的练习加深学生对变式的理解。
只有在充分的动手实践过程后，学生才能真正地理解变式的概念和应用。
3. 建立数学思维模式
数学的重点不仅在于计算和运算，更重要的是培养学生的数学思维模式。
数学思维模
式往往比数学知识本身更重要。
在变式的教学中，老师应该引导学生建立数学思维模式，
让学生学会从现实问题的背景中抓住关键因素，形成抽象的数学模型，进而基于模型推导
出问题的解法。
4. 切实加强应用训练
变式的教学不仅仅局限于解题方法，更关注的是难题解决的能力。
因此，老师应该重
视应用训练，带领学生掌握变式的应用技巧。
在应用训练中，老师可以设计各种情境，让
学生运用所学知识点去解决实际问题。
这样不仅可以提高学生对变式的运用能力，也能培
养学生的创造力和创新意识。
总之，在初中数学教学中，变式是一个重要而基础的知识点，在教学中要通过多种方
式引导学生去理解和掌握。
同时应注重培养学生的数学思维模式和应用能力，把知识点与
实际问题结合起来，让学生在学习中深入思考，提高他们的解题能力和思考水平。
开展变式教学常用的五种方法-精选教育文档
开展变式教学常用的五种方法所谓变式教学，就是利用变式方式进行教学，即在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系的一种教学设计方法。
变式教学的常用方法除了将原题图形的位置、形状、大小等的变化、规律及语言符号的互译等常见变式方法外，通常还包括以下几种方法。
一、逆向转化逆向转化就是尝试将原命题的条件与结论互换，即转化为判断得到原命题的逆命题是否成立的变式方法。
例1：原题：过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线 l与抛物线交于A（x1、y1）、B（x2、y2）两点，求证：y1?y2=-p2 变式1：过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线l与抛物线交于A（x1、y1）、B（x2、y2）两点，若y1?y2=-4，则抛物线方程为变式2：直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A（x1、y1）、B（x2、y2）两点，若：y1?y2=-p2，求证：直线l必经过抛物线的焦点。
二、条件一般化条件一般化是指将原题中特殊条件，改为具有普遍性的条件，使题目具有一般性。
例题2：命题甲：已知a、b都是正数，若a+b＞2，求证：■，■中至少有一个小于2.变式1已知a、b、c都是正数，若a+b+c＞■，求证：■，■，■中至少有一个小于3.变式2：（1）仿照上述两个命题，试写出一个关于n个正数a1，a2，a3…an的命题；（2）判断（1）中所写命题的真假，如果是真命题，请证明你的结论；如果是假命题，请说明理由。
三、条件特殊化条件特殊化是指将原题中具有一般性的条件或结论，改为具体对象的条件，使题目具有针对性。
例题3：同室4人每人都写了一张贺卡，现将这4张贺卡放在桌面上，然后每人从中抽取一张不是自己写贺卡，则不同的抽取贺卡的方法有种。
变式1：2人互赠贺卡的方法有多少种？3人呢？4人呢？5人？变式2：有一块如图所示的8个车位的停车场地，用红、黄、蓝、褐四种颜色的油漆进行涂色，同一行的车位不能涂同样的颜色，同一列的车位也不能涂同样的颜色，则不同的涂色方法有（）（A）210种（B）215种（C）216种（D）218种变式3：某人有4种不同颜色的灯泡（每种颜色的灯泡数量足够多），要在一个正四棱台ABCD-A1B1C1D1的八个顶点上各安装一个灯泡，要求两个平行的每个底面的四个顶点的灯泡颜色互不相同，每一条侧棱的两端的灯泡颜色不同，则不同的安装方法是（用数字作答）变式4：某人有4种不同颜色的灯泡（每种颜色的灯泡数量足够多），要在一个正三棱台ABC-A1B1C1的六个顶点上各安装一个灯泡，每一条棱的两端的灯泡颜色不同且4种颜色的灯泡都要使用，则不同的安装方法是（用数字作答）四、背景实际化改变背景是指在某些条件不变的情况下，改变另一些条件的形式，使问题具有实际意义，从而提高学生的数学建模及应用能力。
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要从实践 的角 度谈 谈数学 变式教学应遵循 的一些基
本原则． １ 目的 性 原 则
但设置在这里反而背离 了这节 课 的主要 目标． 一 ， 其
这节课讲的是圆 的标 准方程 ， 而此处 讲 到的是抛 物
线 问 题 ； 二 ． 两 道 题 目设 置 在 一 起 所 显 示 的教 学 其 这
得 出线 线 平 行 进 而 证 出 四边 形 Ｅ Ｇ 是矩 形． ＦＨ 随 后 教 师 即 兴 发 挥 了 这 样 一 道 变 式 ： 果 如 在正 方体 内部 注入 水 ， 沿棱 Ａ Ｂ使 正 方 体 倾 斜 ， 问液面 Ｅ Ｇ 的面积会 ＦＨ 变化 吗 ？ 这 里 首 先 要 确
６
数 学 教 学 研 究
轴．
２０ 第 ９ ０ ６年 期
变证 得 三 角 形 Ｂ Ｆ面 积 不 变 ， 由于 Ｂ Ｇ 但 Ｇ和 Ｂ Ｆ要 变
化， 以 Ｇ 所 Ｆ长 度 要 变 化 ， 而 Ｅ Ｇ 面 积 也 在 变 化 ． 从 ＦＨ
应 该 说 确 定 四 边 形 Ｅ Ｇ 的 形 状 紧 扣 教 学 目标 ， ＦＨ 但 求 其 面积 时 因 涉 及 到 其 它 知 识 ， 而 偏 离 了 本 节 课 从
本质 特 征 不 变 ， 变 换 事 物 的 本 质 特 征 而 保 持 某 些 或 非 本 质 特 征 的 不 变 ， 这 些 变 换 所 得 的 不 同 表 现 形 但 式 和 原 有 的 事 物 之 间 保 持 一 定 的 相 似 性 ， 些 变 换 这 所 得 的不 同表 现 形 式 称 为 原 来 事 物 的 变 式 ． 变 式 而 教学是指运用 变式来 进行 教学 的一 种教学 方式． 在
定 四 边 形 Ｅ Ｇ 的 形 ＦＨ 状 ， 通 过 水 的 体 积 不 再
图３
图 ， 圆 拱 的 跨 度 Ａ ＝２ ｍ， 高 Ｏ ＝４ 在 离 拱 该 Ｂ ０ 拱 Ｐ ｍ，
底 ２ 的 Ａ 处 需 建 造 一 个 支 柱 支 撑 ， 个 支 柱 有 多 ｍ ： 这 高７ ．
设 置该 例 题 的 目的 是 让 学 生 会 用 待 定 系数 法 来 求 圆 的标 准 方 程 ． 解 决 例 题 之 后 ， 据 预 先 的 教学 在 根
和变 式之间的关 系以及 它们作为一个整体 能够解决
什 么 问题 ， 有 可 能 导 致 脱 离 教 学 目标 ， 变 而变 ． 就 为
笔 者 曾听 过 “ 的 标 准 方 程 ” 公 开 课 ， 节 新 圆 的 本 授课 的 主要 目 标 是 ： 求 学 生 会 用 直 接 法 和 待 定 系 要 数 法 来 求 圆的 标 准 方 程 ． 公 开 课 上 教 者 给 出 了这 样 的 例题 ：
安排 ， 师出示一道变式 ： 教
变式
某 隧 道 横 断 面 由抛 物 线 及 矩 形 组 成 ， 尺
寸 如 图 ２ 某 卡 车 空 车 时 能 通 过 此 隧 道 ． 有 一 集 装 ， 现
箱 宽 ３米 ， 与 箱 共 高 ４ ５米 ， 此 车 能 否 通 过 此 隧 车 ． 问
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原式 图 Ｉ是 某 一 圆 拱 桥 的 一 孔 圆 拱 的 示 意
上有两 点 Ｅ、 ， Ｅ ／ Ｂ， Ｅ Ｆ 且 Ｆ／ Ａ 过 ，作 平 面 和 侧 面
ＡＢ Ｂ 。。Ａ交 于 Ｇ 问 四 边 形 Ｅ Ｇ 是 什 么 图 形 ？ 学 Ｈ， ＦＨ
生很快根据线线 平行得 出线 面平 行 ， 由线面平 行 再
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２ 年第 ９ 卿６ 期
数学教 学研 究
５
例谈变式教学应遵循的五个原则
陶贵 斌
（ 苏省 六 合 高级 中学 江 ２ １０ ） １５ ０
．
所 谓 变 式 是 指 ： 换 事 物 的 非 本 质 特 征 而 保 持 变
道 ？ 说 明理 由 ？
一
ＹＪ Ｉ、＼ 、铲
Ａ ＡＩ Ａ２ Ａ３ Ａ４ Ｂ
、
Ｌ一 ，
教 学 实践 中 我 们 发 现 变 式 教 学 不 一 定 能 取 得 理 想 的 教学效果 ， 变式 教 学 有 它 自身 的规 律 和 要 求 ， 文 主 本
图 Ｉ
２
应该说这个 问题 和上 面 的例题联 系较 为 紧密，
所 谓 目的 性 原 则 就 是 指 在 进 行 变 式 设 置 时 要 紧
目标是 ： 培养学 生应 用数学 知识 解决 实 际问题 的意
识 和 能 力 ， 是 数 学 教 学 的 一 个 重 要 目标 ， 决 不 是 这 但
这 节 课 的 主要 目标 ．
扣 住 教 学 目标 ， 搞 清 楚 为 什 么 要 变 ， 能 为 变 而 要 不
缺乏对 问题 的深入 思考 ， 些变 式可 能会脱 离教学 这
目标． 例如 本人 听过这样 一节公 开课 ， 课题 “ 直线与
平 面 平 行 的复 习课 ” 本 节 课 的 主要 目标 是 ： 清 线 、 ， 弄 面之 间 的平 行 关 系 ， 学 生 会 证 明 线 线 、 面 和 面 面 让 线 平 行 问题 ． 者 在 这 节 课 中 选 用 了 这 样 二 道 练 习 题 ： 教 如 图 ３ 已知 正 方 体 Ａ Ｃ ・ 。 。 。 ， 边 Ａ 和 Ｂ ， Ｂ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ。在 Ｄ Ｃ
变， 克服 变 式 教 学 中 的 随 意性 ．
我 们 知道 每 一 节 课 必 须 有 明 确 的 目标 ， 是 一 但 节 课 的 目标 不 能 太 多 ， 果 面 面 俱 到 就 会 使 问 题 研 如 究 得 不 够 深 入 ， 点 不 能 突 出． 式 是 变 换 原 有 事 物 重 变
违反 目的性原 则有 时表现为教 学过程 中变式构 造的随意性． 师在教 学过 程 中 由于 受到某 些伺题 教 的启发 ， 产生了灵感 ， 即兴 构造 出教 学变 式 ， 由于 但
的本质特征或变换 原有 事物 的非 本质 特征 ， 而保 持
他们 之 间 的一 定 相 似 性 。 果 不 从 整 体 上 把 握 原 式 如