《初等数学研究A》
初等数学研究课后习题答案(2020年7月整理).pdf
初等代数研究课后习题20071115033 数学院 07（1） 杨明1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即（1）对任何N b a ∈,，当且仅当b a <时，a b >.（2））对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立.证明：对任何N b a ∈,，设a A ==，b B ==（1）“⇒” b a <，则B B ⊂∃,,使,~B A ，A B B ~,⊃∴,a b >∴“⇐” a b >，则B B ⊂∃,,使A B ~,，B B A ⊂∴,~,b a <∴综上 对任何N b a ∈,，b a <⇔a b >（2）由（1）b a <⇔a b > b a <∴与b a >不可能同时成立，假设b a <∴与b a =同时成立，则B B ⊂∃,,使,~B A 且B A ~， ,~B B ∴与B 为有限集矛盾，b a <∴与b a =不可能同时成立，综上，对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立..2、证明自然数的加法满足交换律.证明：对任何N b a ∈,设M 为使等式a b b a +=+成立的所有b 组成的集合先证 a a +=+11，设满足此式的a 组成集合k ，显然有1+1=1+1成立φ≠∈∴k 1，设k a ∈，a a +=+11，则+++++++=+=+==+a a a a a 1)1()1()(1k a ∈∴+，N k =∴， 取定a ，则1M φ∈≠，设,b M a b b a ∈+=+，则 ()()a b a b b a b a +++++=+=+=+ ,b M M N +∴∈∴= ∴ 对任何N b a ∈,，a b b a +=+3、证明自然数的乘法是唯一存在的证明：唯一性：取定a ，反证：假设至少有两个对应关系,f g ，对b N ∀∈，有 (),()f b g b N ∈，设M 是由使()()f b g b =成立的所有的b 组成的集合，()()1f b g b a ==⋅ 1M φ∴∈≠ 设b N ∈则()()f b g b =()()f b a g b a ∴+=+ ()()f b g b ++∴=，b M +∴∈，M N ∴= 即b N ∀∈，()()f b g b =乘法是唯一的存在性：设乘法存在的所有a 组成集合K 当1a =时，b N ∀∈，111,1111b b b b ++⋅=⋅==+=⋅+ φ≠∈∴k 1，设a K ∈，b N ∀∈，有,a b 与它对应，且1a a ⋅=，ab ab a +=+，对b N ∀∈，令a b ab b +=+ 1111a a a a ++⋅=⋅+=+=1()(1)a b ab b ab a b ab b a a b a ++++++=+=+++=+++=+a K +∴∈ K N ∴= 即乘法存在p24—5、解：满足条件的A 有1{1,2}A =，2{1,2,3}A =，3{1,2,4}A =，4{1,2,5}A = 5{1,2,3,4}A =，6{1,2,3,5}A =，7{1,2,4,5}A =，8{1,2,3,4,5}A =123456782,3,4,5A A A A A A A A ========∴========基数和为23343528+⨯+⨯+= p24—6、证明：,A a B b ==，A 中的x 与B 中的y 对应 A B ab ∴⨯=，B A ba ab ∴⨯==A B ab ⨯= A B A B B A ∴⨯=⋅=⨯p24—8、证明：1）3+4=73134++== 3231(31)45++++=+=+==3332(32)56++++=+=+==3433(33)67++++=+=+==2）3412⋅= 313⋅= 32313136+⋅=⋅=⋅+=33323239+⋅=⋅=⋅+=343333312+⋅=⋅=⋅+=p24—12、证明：1）()m n m n +++++=+()1(1)m n m n m n m n +++++++=++=++=+2）()mn nm m +++=+ ()1(1)mn mn mn m nm m ++++=+=++=+p26—36、已知(,)f m n 对任何,m n N ∈满足(1,)1(1,1)(,2)(1,1)(,(1,))f n n f m f m f m n f m f m n =+⎧⎪+=⎨⎪++=+⎩求证：1）(2,)2f n n =+2）(3,)22f n n =+3）1(4,)22n f n +=−证明：1)当1n =时，(2,1)(11,1)(1,2)2112f f f =+==+=+结论成立，假设n k =时，结论成立，即(2,)2f k k =+，当1n k =+时，(2,1)(11,1)(1,(2,))(1,2)(2)1(1)2f k f k f f k f k k k +=++==+=++=++ 所以对一切自然数结论都成立2）当1n =时，(3,)(21,)(2,2)22212f n f n f =+==+=⋅+结论成立假设n k =时，结论成立，即(3,)22f k k =+当1n k =+时，(3,1)(21,1)(2,(3,))(2,22)2222(1)2f k f k f f k f k k k +=++==+=++=++ 所以对一切自然数结论都成立3）当1n =时，11(4,1)(31,1)(3,2)22222f f f +=+==⨯−=−结论成立 假设n k =时，结论成立，即1(4,)22k f k +=− 当1n k =+时，112(4,1)(3,(4,))(3,22)2(22)222k k k f k f f k f ++++==−=−+=−所以对一切自然数结论都成立p62—1、证明定理2.1证明：[,],[,]a b c d Z ∀∈，[,][,][,]a b c d a c b d +=++因为自然数加法满足交换律[,][,]a c b d c a d b ∴++=++而[,][,][,]c d a b c a d b +=++[,][,][,][,]a b c d c d a b ∴+=+[,],[,],[,]a b c d e f Z ∀∈，[,][,][,][,][,][(),()]a b c d e f a c b d e f a c e b d f ++=+++=++++以为自然数满足加法结合律([,][,])[,][,]([,][,])a b c d e f a b c d e f ∴++=++ 即整数加法满足交换律和结合律p62—2、已知[,],[,]a b c d Z ∈，求证[,][,]a b c d =的充要条件是[,][,][1,1]a b c d −= 证明：“⇒” 已知[,][,]a b c d =则a d b c +=+[,][,][,][1,1]a b c d a d b c ∴−=++=“⇐” 已知[,][,][1,1]a b c d −=则[,][1,1]a d b c ++=，a d b c +=+[,][,]a b c d ∴=p62—4、已知N b a ∈,，求证([,])[,]a b a b −−=证明：[,][,]a b b a −= ([,])[,][,]a b b a a b −−=−=p62—5、已知[,],[,]a b c d Z ∈，求证([,][,])[,][,]a b c d a b c d −−=−+证明：左边([,][,])[,][,]a b c d a d b c b c a d −−=−++=++右边[,][,][,][,][,]a b c d b a c d b c a d −+=+=++所以左边等于右边([,][,])[,][,]a b c d a b c d ∴−−=−+p62—7、已知,,a b c N ∈，求证当且仅当a d b c +<+时[,][,]a b c d <证明：“⇒” 已知a d b c +<+，[,][,][,]a b c d a d b c −=++因为 a d b c +<+ [,]a d b c ∴++是负数，[,][,]a b c d ∴<“⇐” 已知[,][,]a b c d <则[,][,][,]a b c d a d b c −=++因为[,]a d b c ++是负数，a d b c ∴+<+p62—9、已知,Z αβ∈，求证：1）αβαβ+≤+ ，2） αβαβ=证明：设[,],[,]a b c d αβ== 1）[,]a c b d αβ+=++ ()()a c b d αβ∴+=+−+而,a b c d αβ=−=−()()()()a c b d a b c d a b c d +−+=−+−≤−+−αβαβ∴+≤+2）[,]ac bd ad bc αβ=++ ()ac bd ad bc αβ∴=+−+而,a b c d αβ=−=−()()()()()ac bd ad bc a c d b d c a b c d a b c d +−+=−+−=−−=−− αβαβ∴=p63—12、n 名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第k 名胜负的次数各为,k k a b ，1,2,........,k n =，求证：2222221212......n n a a a b b b +++=+++ 证明：对于(1,2,...,)k a k n =，必存在一个(1,2,...,)j b j n =使得k j a b =⇒22(,1,2,...,)k j a b k j n == 2222221212......n n a a a b b b ∴+++=+++p63—16、已知10p a b −，10p c d −，求证p ad bc −证明：由已知：,s t Z ∃∈使10a b ps −=，10c d pt −=⇒ 10,10b a ps d c pt =−=−10(10)()ad bc ac apt ac cps p cs at ∴−=−−−=−p ad bc ∴−p63—17、设2不整除a ，求证281a +证明：因为2不整除a ，所以存在唯一一对,q r Z ∈，使2a q r =+，其中02r <<⇒1r =，22441a q q ∴=++⇒214(1)a q q −=+ 281a ∴−p63—20、设a Z ∈，求证(1)(2)(3)1a a a a ++++是奇数的平方证明：22222(1)(2)(3)1[(1)1](1)[(2)(2)1]1[(1)(1)][(2)(2)]1(1)(2)2(1)(2)1[(1)(2)1]a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=+−+++++=+−+++++=++−+++=++−1,2a a ++肯定一奇一偶(1)(2)a a ∴++肯定为偶数(1)(2)1a a ∴++−肯定为奇数p63—22、证明：前n 个自然数之和的个位数码不能是2、4、7、9证明：前n 个自然数的和为(1)2n n + 因为：n 个自然数的和仍为自然数∴ 1+n 与n 中必定一个为奇数一个为偶数若个位数码为2则1+n 与n 的个位数码只能是1,4或4,1而（1+n ）- n=1 ∴个位数码不能为2若个位数码为4则1+n 与n 的个位数码只能是1,8或8,1也不可能成立若个位数码为7则1+n 与n 的个位数码有2种可能，则2,7或1,14也不可能成立，若个位数码为9则1+n 与n 的个位数码有2种可能，即2,9或1,18也不可能成立，综上，前n 个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9p63—26、证明2.3定理1（12,,......,n a a a ）=（12,,......n a a a ）证明：因为：（12,,......,n a a a ）是12,,......n a a a 的公因数中的最大数所以R 需考虑非负整数 ∴（12,,......,n a a a ）=（12,,......n a a a ） p63—29、证明2.3定理4的推论(,)1a b =的充要条件是有,x y Z ∈使得1ax by += 证明：因为(,)1a b = ,a b ∴不全为0“⇒” 由定理4 ,x y Z ∃∈使(,)1ax by a b +==“⇐” 设(,)a b d =则,d a d b ，d ax by ∴+ 1d ∴ (,)1d a b ∴== p63—30、证明2.3定理6及其推论。
初等数学研究数系分析资料
第2章数系分析数是人类利用定量的方法研究现实世界的最早工具.随着人类认识自然的不断深入，数的概念也在不断地发展，形成了不同类型的数系。
在人们的现实生活中，数是应用最广泛的数学知识。
通过对社会数学应用意识的调查发现，认为数学知识中最有用的就是数，达到了100％。
可见，数是学生学习最早的也是学习时间最长的数学知识。
本章主要讨论数系及其发展、数论初步、向量代数初步以及中学数系教学中常见问题的分析。
2.1 数系及其发展数系是随着社会发展而逐步扩展起来的一个多层次家族.这些数的含义及其运算是学生最熟悉的内容。
但要从整体上研究数的性质和特点，还需要了解数系及其发展的进程，以及相关的理论。
本节先从历史的角度，介绍数系的发展，进而对数系的逻辑扩充作概要的介绍。
2.1.1 数系扩充的历史人们对数的认识是个逐渐发展的过程。
在远古时代，人类在捕鱼、狩猎和采集果实的劳动中，有时有收获，有时无收获。
这样，逐渐形成了“多”和“少”的概念.由于生产的发展，劳动收获增加了，人们有了计数的需求，如：一个羊倌看着他的羊群，同时用手指数着他的羊，如果他的手指头不够用，他采用“记账”的手段，在他的赶羊棒上刻下一些道道，尽管他还有十个手指头数数，但在不知不觉中，他已不受“十”这个数的限制了。
后来人们认识到用标记表示数的作用。
在做标记的过程中，究竟牵涉到的是什么物体并不重要，只要他们能够告诉我们数的某些性质，也就是能够说明数量的多少，就可以实现标记的目的。
做标记的实质是把事物联系起来形成一个概念，其方法就是我们熟知的映射思想。
当你数数的时候，你让一个手指确切地代表一个词，你不会让两个手指代表同一个词，或是掰着同一个手指说出两个词。
这就是一对一的方法，每个手指对应着一个数词，而且仅有一个，数学上称之为一一映射。
这是我们计数过程的关键所在。
数的概念最初不论在哪个地区1、2、3、…这样的自然数开始的，只是记数的符号不同。
随着生产生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。
(完整版)初等数学研究答案
2。
对自然数证明乘法单调性：设a，b，c∈N则(1）若a＝b，则ac＝bc（2）若a＜b，则ac＜bc(3）若a＞b，则ac＞bc证明：（1）设命题能成立的所有c组成的集合M.∵a·1=b·1∴1∈M假设c∈M即则(ac) ′= （bc）′﹤＝﹥ac + 1 = bc + 1重复以上过程a次，可得到ac + a = bc + a = bc + b即a(c+1) = b(c+1）∴c∈M由归纳公理知M = N。
所以命题对任意自然数c成立（2)若a 〈 b，则有k∈N，使得a + k = b,由(1) (a + k)c = bcac + kc = bc﹤＝﹥ac < bc(3）依据（2)由对逆性可得。
7.设=(3+13) / 2 ，=（ 3-13） / 2 , An= （n-n）/ 13（n=1,2,…。
.).（1）以为根作一元二次方程(2) 证明A n+2=3A n+1+A n；(3) 用数学归纳法证明A3n 是10的倍数；解：（1）∴由韦达定理得以为根作一元二次方程为：X2—3X-1=0(2）证：3A n+1+A n=3（n+1—n+1）/13 +(n-n)/13=()（n+1—n+1) /13+（n-n）/13=n+2 —n+2 —n+1 +n+1 +n—n)/13 =n+2 -n+2）/13=A n+2(3) 证：①当n=1时，有A3 =10，则 10｜ A3.②假设当n=k时，有10｜ A3k则当n=k+1时，A3k+3 = 3A 3k+2+A3k+1=3(3A 3k+1+A3k) +A3k+1=10 A 3k+1 +3 A3k10|10 A 3k+1 ， 10| 3A3.∴10|10 A 3k+3由①②得，对∀n∈N*,有10｜ A3n。
9.证明整数集具有离散性.证明:要证明整数集具有离散性，即要证明在任意两个相邻的整数a与a′之间不存在整数b，使a<b< a′。
大学数学之初等数学研究 李长明 周焕山版
大学数学之初等数学研究李长明 周焕山版高等教育出版社习题一1、答：原则：（1）A ⊂B（2）A 的元素间所定义的一些运算或基本关系，在B 中被重新定义。
而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能施行的某种运算，在B 中总能施行。
(4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一确定。
方式：（1）添加元素法；（2）构造法2证明：(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。
Θa=b ，M 11b 1a ∈∴⋅=⋅∴，假设bc ac M c =∈，即，则M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='，由归纳公理知M=N ，所以命题对任意自然数c 成立。
（2）若a <b ，则bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac<bc 。
（3）若a>b ，则ac m c bc ac,m )c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac>bc 。
3证明：(1)用反证法：若b a b,a b a <>≠或者，则由三分性知。
当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a <b 时，由乘法单调性知ac<bc.这与ac=bc 矛盾。
则a=b 。
（2）用反证法：若b a b,a b a =>或者，则由三分性知不小于。
当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac<bc 矛盾。
则a <b 。
（3）用反证法：若b a b,a b a =<或者，则由三分性知不大于。
当a<b 时，由乘法单调性知ac<bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac>bc 矛盾。
初等数学研究答案1
大学数学之初等数学研究 ,李长明 ,周焕山版 ,高等教育出版社 习题一1答：原那么：〔1〕A ⊂B〔2〕A 的元素间所定义的一些运算或根本关系 ,在B 中被重新定义。
而且对于A 的元素来说 ,重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
〔3〕在A 中不是总能施行的某种运算 ,在B 中总能施行。
(4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原那么的最小扩展,而且由A 唯一确定。
方式：〔1〕添加元素法；〔2〕构造法2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。
a=b ,M 11b 1a ∈∴⋅=⋅∴， 假设bc ac M c =∈，即 ,那么M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='，由归纳公理知M=N ,所以命题对任意自然数c 成立。
〔2〕假设a <b ,那么bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈∃即，，由，使得 那么ac<bc 。
〔3〕假设a>b ,那么ac mc bc ac,m)c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即，，由，使得 那么ac>bc 。
3证明:(1)用反证法：假设b a b,a b a <>≠或者，则由三分性知。
当a >b 时 ,由乘法单调性知ac >bc. 当a <b 时 ,由乘法单调性知ac<bc.这与ac=bc 矛盾。
那么a=b 。
〔2〕用反证法：假设b a b,a b a =>或者，则由三分性知不小于。
当a >b 时 ,由乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时 ,由乘法单调性知ac=bc.这与ac<bc 矛盾。
那么a <b 。
〔3〕用反证法：假设b a b,a b a =<或者，则由三分性知不大于。
当a<b 时 ,由乘法单调性知ac<bc. 当a=b 时 ,由乘法单调性知ac=bc.这与ac>bc 矛盾。
(完整版)初等数学研究(补充版)
初等数学研究1.（P383例4）在△ABC 中,∠C=90°，∠A=30°，在△ABC 的外侧分别以AB 、AC 为一边作正△ABE,正△ACD,如图,连接DE 交AB 于F.求证：EF=FD 。
证明：作EH ⊥AB 交AB 于H 点。
∵∠CAD=60°，∠BAC=30° ∴∠EHF=∠DAF=90° 设BC=a ，则AC=EH=3a又∵∠EFH=∠DFA （对顶角） ∴△EFH ≌△DFA （AAS) ∴EF=FD2.(P395例6)已知设H 是△ABC 的垂心，O 是外心。
OD ⊥BC 于D 。
如图,求证：AH=2OD 。
证明:取AB 、H 的中点M 、N ，连接OM ，MN,DN则MN ∥AH ∥OD ND ∥CH ∥OM ∴四边形MNDO 是平行四边形。
∴OD=MN=12AH即AH=2OD 3。
（P423例21)在△ABC 的三边AB 、BC 、和CA 上分别取点M 、K 和L ，使MK ∥AC ，ML ∥BC;设BL 、MK 交于P ，AK 、ML 交于Q 。
如图，求证：PQ ∥AB 。
证明:∵ML ∥BC MK ∥AC ∴KP BP PMPL= BM KQ MAQA= BP BM PL MA=∴KP BP BM KQPM PL MA QA===因此PQ ∥AM 即PQ ∥AB4。
(P430例26）设A 、B 为平面上的二定点，C 为平面位于直线AB 同侧的一动点,各以AC 、AB 为边，在△ABC 之外作正方形CADI 、CBEJ,如图。
求证：无论C 点取在直线AB 同侧的任何位置，DE 的中点M 的位置不变。
证明:自D 、E 、C 和M 分别作AB 的垂线，设其垂足依次为G 、H 、K 和N.∵AD=AC ∠1=∠2 ∠CKA=∠AGD=90° ∴△ADG ≌△CAK （AAS ） ∴AG=CK DG=AK同理: CK=BH EH=BK ∴AG=BH∵N 平方HG （MN 是梯形中位线) ∴N 平分AB∵EH+DG=BK+AK=AB∴MN=12(EH+DG ）=12AB又∵MN ⊥AB ∴DE 的中点M 是定点.5.（P437例28)在任一三角形中，外心、垂心和重心共线. 证明：∵G 为三角形重心 ∴AG=2DG又由P395例6知AH=2DO 又∵OD ∥AH∴∠1=∠2∴△DOG ∽△AHG ∴∠OGD=∠HGA∴H 、G 、O 三点共线 6。
初等数学研究(第一讲)教学文案
3、在实数集内分解因式
(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24
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例12 分解因式2 a 2 3 a 2 b b 2 a 7 b 3
解一：注意到 2 a 2 3 a b 2 b 2 (a 2 b )2 a ( b )
观察原式可设原式= (a 2 b x )2 ( a b y ) x, y为待定系数。
展开上式，原式=2 a 2 3 a 2 b b 2 ( 2 x y ) a ( x 2 y ) b xy
第一讲 元的认识
内容简介：
代数一个主要内容是对数符、字符和运算符组合 成的代数式进行研究，通过运算、恒等变形、转换形 式及数理的逻辑推演，从而达到对客观世界的自然形 态的认识和变化规律的认知，使人类改造世界的目标 得以实现；初等数学中，代数的基本内容主要是对数 的认识、式子的恒等变形的技巧训练、方程的求解、 函数观点的确定、不等量的比较等；它对学者有一个 最基本的要求就是要建立对“基元”的认识．下面举 例说明：
可x令 si2n(0),（三角代换）
2
则 x si,n1 x1 si2 n c os
yx1xsi nco s
2sin( )
4
由正弦函数单调性及取值范围
得 1： 2si n() 2
4
所以原函数的值域为 [1, 2 ].
作业一：
1、
已知
a,bR且
ab1，求证：a22b22
25 2
2、求函数 yx 1x2的值域。
• 总之，通过对数学问题的基本结构进行深入的分析， 对各种基本结构彼此关联的本质进行探索，掌握好处 理数学问题的一般的数学思维方式和方法，才能达到 掌握解决问题的本领．把初等数学作为一个系统，用 “结构”的观点来进行分析研究。
初等数学研究
初等数学研究九点圆三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。
通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆。
九点圆是一个更一般的定理：垂心四面体12点共球（各棱的中点，各棱相对于对棱的垂心）的一个特例。
当一个顶点被压入所对面的时候，12点的共球就退化为9点共圆。
作图如下：△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L，AC边垂足为E，AC边中点为M,AB边垂足为F，AB边中点N,垂心为H，AH,BH,CH中点分别为P,Q,R（思路：以PL为直径，其它任意某点，去证P某L为90°）证明：（由中位线）PM∥CH，LM∥AB，又CH⊥AB∴PM⊥LM，又PD⊥LD∴PMDL共圆。
（由中位线）PR∥AC，LR∥BH，BH⊥AC，所以PR⊥LR∴PMRDL五点共圆。
PE为Rt△AHE斜边中线∴角PEA等于PAE同理∠LEC等于∠LCE所以∠PEL等于180减去∠ADC∴∠L EP等于90°∴PEMRDL六点点共圆，PL为直径，同理PFNQL五点共圆,PL为直径∴PEMRDLQNF九点共圆，PL为直径，PL中点(设为V)就是圆心下证九点圆的圆心在垂心与外心连线的中点O为外心，OL平行等于AH一半（这个小定理我就不证明了）所以OL平行等于PHOLPH为平行四边形，V是PL中点，就是OH中点九点圆具有许多有趣的性质，例如：1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；欧拉线三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。
联结AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
浅谈《初等数学研究》的教育价值,数学范文.doc
浅谈《初等数学研究》的教育价值,数学-：丁丹翎摘要：本文从《初等数学研究》的主要内容以及从高师培养目标和初等数学的特点出发，探讨了《初等数学研究》的教育教学价值。
关键词：初等数学；主要内容；教育价值一、主要内容《初等数学研究》是高师院校数学教育系的专业必修课，它与学生毕业后所从事的中学数学教育工作联系密切。
“初等数学”可以分为“传统的初等数学”以及“现代的初等数学”，本书所讨论的初等数学就是指现代的初等数学。
“初等数学研究”所包括的内容：其一，用现代数学、古典高等数学考察传统的初等数学，理解“中学数学”的理论基础；其二，掌握与灵活运用数学思想方法；其三，用“生长”的观念探讨与延伸一些初等数学问题。
本课程从中学数学教学的需要出发，把基本问题分成若干专题进行研究，在内容上适当加深与拓广，在理论、观点、思想与方法上予以提高，使中学数学教师具有严谨、系统的初等数学理论与基础知识，提高中学数学教师的解题技巧。
二、主要教育价值1. 利用《初等数学研究》中的内容，引导学生用高观点分析解决问题，提高学生认知结构的层次，激发学生的学习兴趣初等数学中的内容必须在教学中有意识地进行引导，用高观点分析，才能提高学生对初等数学的认知结构的层次，从而掌握中学数学的规律。
如数系这一章是初等代数的重要内容。
学生基本上是在中学阶段已经学习过关于数概念的扩展的知识。
在高师，除了在数学分析中学习实数理论外，关于数的概念扩展再也没有系统提到过，高师的学生仅靠这些知识是绝对不合格的，初等代数中数系这一章让学生掌握了数的发展规律，从而将来能适度地处理中学教材。
例如自然数理论的建立若用群、环、域的观点，可使学生对数系的发展有一个系统性的认识，并且使学生调整了对中学时代建构的认知结构，提高了认识层次，增强学习目的性，因而激发了学习的兴趣。
2. 利用《初等数学研究》的特点，突出课程的“研究”性质，从而培养学生科研能力弗赖登塔尔曾提出，中学教师的基本要求是：（1）能独立地运用当今数学的基本方法；（2）能向学生提供理解当今数学结构所需的基本知识；（3）能对怎样应用数学知识作一些讲解；（4）对于如何进行数学研究有初步的概念。
用好微课实现《初等数学研究》的自主学习
用好微课实现«初等数学研究»的自主学习∗张新全㊀㊀王㊀杰(合肥师范学院数学与统计学院㊀㊀安徽合肥㊀㊀２３０６０１)摘要:自主学习是一个人的生存能力.大学生已经具备开展自主学习的条件,教师采取何种方式或者策略,方能促进学生自主学习习惯的形成,并形成相应的能力?本文从借助微课,实现学生自主预习;借助微课,实现学生自主评价;借助微课,促进学生课堂生成这三方面进行阐述.关键词:微课㊀㊀自主学习㊀㊀思维方式㊀㊀笔者２０１６年接触翻转课堂理念,开始学习可汗,制作视频,尝试用视频预习,培养学生自主学习的习惯和能力.一开始尝试实验的时候,总有本课程组的老师心存疑虑:长久以来,学生习惯了的数学学习是,上课教师讲,学生听;教师问,学生答;教师布置书面作业,学生做.突然学生要改变这十几年的被动学习习惯,改为先利用视频预习,再根据视频学习后的体会,自己提出问题,学生能适应吗?有的老师特别担心,是否会由于这种种的不适应,导致成绩下降?而且现在班级只有一门«初等数学研究»改变教学方法,能让学生改变得了被动学习的习惯吗?经过两年多不懈的努力和实践,笔者在用实际行动回答了其他教师疑虑的同时,也积累了一些用好微课,实现学生数学自主学习的方法和体会.现总结如下与各位同行交流.一㊁数学学习为什么要重视学生的自主学习有教师说,教师用传统的上课方法教学生,大家都已经习惯了,中规中矩,何必去搞什么微课?弄这么多新花样,教师还要跟着管理学生电脑使用,何必呢?自主学习,多见于对基础教育课程改革的研究,新课改有这个要求,也有这个社会现实背景需要.自主学习是一个人的生存能力.早在１９７２年,联合国教科文组织的国际委员在教育报告«学会生存 教育世界今天和明天»中提出: 未来的学校必须把教育的对象变成自己教育自己的主体,受教育的人必须成为教育他自己的人,别人教育必须成为这个人自己的教育. 互联网＋时代,信息容量很大,如何学会自主学习,对于自身能力的提升非常重要.实际上大学生已经具备了较高的抽象思维能力,自身已具有条件,可以尝试自主学习了.对大学生来讲,应该有这个迫切需要,教师应早日改变传统以教师为中心的教学方式,培养他们的自主学习能力.对于教师来讲,大学强调教师进行课程教学改革,也一直强调学生学习的主体地位.虽然现在依然是大班教学,但是也可以采用自主学习,更好地为教师推进整班教学服务.笔者两年来的实践证明,利用微课,先让学生自主预习和检测后,将核心问题作为教学共同基础,教学才能让大部分学生积极参与,形成新的共同基础,教学才更具有针对性,教学才会简单易行,才会良性发展下去.二㊁利用微课,如何实现学生自主学习学生学习«初等数学研究»这门课,可以先自学书本知识,但是很难达到完全理解的程度.那么如何利用微课实现高效地自主学习呢?笔者是利用微８０１∗本课题为２０１８年度安徽省高等学校质量工程项目 大规模在线开放课程MO O C 示范项目初等数学研究(项目编号:２０１８MO O C ５６０);合肥师范学院２０１９年度研究生创新基金项目 小学高年级学生数学合情推理能力培养的实践研究 (项目编号:２０１９y j s ０２１).用好微课实现«初等数学研究»的自主学习㊀㊀㊀课视频,将学生的«初等数学研究»学习分为几个环节,有效控制好每个环节,促进学生形成数学自主学习的习惯,培养相应的能力.(一)借助微课,实现学生自主预习«初等数学研究»这门课的知识面广量大不说,难度也高.让学生做好«初等数学研究»的预习工作,光靠学生自学预习看书显然行不通.笔者利用视频,在５－１０分钟内,讲解一个教学中的难点㊁重点㊁考点或者疑点等内容.学生的注意力最佳保持时间是１０－１５分钟.笔者在视频讲解时,语气尽可能口语化,试图营造一个轻松活泼㊁有别于严肃课堂的气氛,而且５－１０分钟视频也便于学生从网上观看或者下载.最主要的是能够重复利用,易修改.微课视频能更好地满足学生个性化学习的需要.有了视频,绝大部分学生再学习一些原本看不懂的内容,就简单多了.１．教师制作微课,简单方便笔者是数学教师,也擅长信息技术,利用录屏软件(C a m t a s i aS t u d i o)＋绘图软件(S m o o t hD r a w)＋写字板,边讲解边在写字板上书写,视频的制作模仿可汗视频.教师在将思维过程可视化的过程中,不跳过任何细小步骤,目的是想使所有学生都能看懂视频.教师视频容易做,是实现学生自主学习的先行条件.２．学生观看微课,通俗易懂微课的制作,是将知识尽可能地碎片化处理.可汗学院对数学知识点的讲解,采取的是５－１０分钟内多次反复,强化学生对该部分知识的记忆和理解,笔者也采取这种方法.此种教学方法对于教授难度高的题目,或者对于教智力水平不高的学生,教学效果好;但是若仅仅这样会造成学生对知识的混淆,所以笔者制作视频时多加入知识点之间的区别和联系.学生反映,知识讲解通俗易懂,也能分辨知识和方法的区别.学生通过自主学习,就能看懂视频内容,并且通过后续的练习知道自己的学习情况.这种微课自主学习,绝大部分学生喜欢和感兴趣,教师明显觉得学生的学习责任感增强.学生视频看得懂,是实现学生自主学习的必要条件. (二)借助微课,实现学生自主评价学生借助视频,实现自主学习了吗?真能听懂视频中教师讲的那一块知识吗?根据教师讲的知识,学生能解决相关的问题吗?显然,视频预习后,必要的检测,也是不可或缺的,有了检测,反过来还能促进学生更有效地看视频.１．利用客观题,初步评价学生的模仿和知识简单运用的能力.笔者在学习通网络教学平台,开设了针对本班学生的数学视频课.学生看完视频后有后续客观练习:填空题或选择题,以跟微课视频相关度较高的类型为主,主要是当时让学生了解自己看视频的模仿接受能力.学生给出答案后,电脑直接评分,并给出正确答案和提示.这一过程有点类似玩通关游戏,直接给予学生刺激.比如教完«初等数学研究»的几何部分之后,笔者在视频后缀,出了５个点㊁线㊁面位置关系的判断题,基本涵盖了立体几何中的所有垂直和平行的可能,促进学生对立体几何前后知识的回忆和理解.２．利用客观题和同伴互评题,进一步评价学生单独学习和相互学习的能力.微课后缀客观题和同伴互评题,根据课程内容,一部分是要求学生能在看过视频后,运用数学语言和自然语言做一些简单但必要的解答题,这部分学生以文字或附件的形式上传,评价学生的表达和交流能力;另一部分是评价学生对数学的理解,比如关注学生能否独立举出一定数量的用于说明问题的正例和反例.网站课程开展调查问卷,不记名地对学生学习目的和动机㊁对学生学习数学的兴趣进行评价,借助微课,促进学生自主提问.(三)借助微课,促进学生课堂生成问题 是数学课堂教学的心脏.学生利用视频实现自主预习后,这种类似于翻转课堂的问题需要师生共同确定.从教师角度,教师需要根据教学内容的重点㊁难点继续提出一些问题,还要根据统计的学生在线递交作业情况,提出一些问题;从学生角度,学生根据视频自己预习,针对练习时发现的疑问㊁和同伴交流中没有解决的困难等,提出一些问题.综合这两方面来确定用于课堂教学的问题,并由教师将各个问题形成串设置于教学流程中.比如,笔者为了教授«初等函数的公理化定义»一节内容,制作了两个视频,从操作层面教会学生解９０１２０１９年７月上㊀第１３期㊀(总第２９期)这类问题的方法和步骤,通过后缀练习发现大部分学生已经掌握了.为了上好这节课,笔者还做了如下准备:要求学生阅读«函数的概念和性质»一节,同时布置了开放性作业:请同学说说你对该节内容中部分或某个点的理解,能否自己编题.上课时教师的预设是补充函数概念的不同定义和各种性质,促进学生对利用函数性质解题方法的理解.实际上课时,笔者发现学生能很快理解基本指数函数定义的合理性,和它在题目中的桥梁作用.而且学生还总结出了一般指数函数的公理化定义,进一步推广到对数函数的公理化定义.有部分学生甚至提出了如何利用公理化的方法来定义幂函数㊁三角函数等情况.正常情况下这个内容是２个课时难以完成的,但是借助微课,大规模对学生操作的检查留给机器,课上教师指出个别学生的不足,就可以轻松完成.整个课堂上主要是学生对其中每个步骤和条件的理解以及前后知识联系.借助微课,不仅仅提高了课堂容量和效率,而且教师和学生更有充足的时间,多点对核心概念和知识的分析提升,扩大了学生的思维容量和发散度.在这种先学后教的数学教学模式下,学生体会到了自己不是学习机器,而是一个个可以有更高数学思维习惯和能力的人.借助微课,培养和训练学生的自主学习能力,学生的数学考试成绩提高了,是促进学生和课程组其他老师支持的进一步保证.三㊁结束语微课与课堂教学的有效结合需要改变学生的学习思维方式.在我国大中小学的课堂上,还是以教师的讲授为主.学生不习惯参与课堂活动,对教师依赖性很大,自主学习能力很欠缺.笔者两年来的教学实践,虽然取得了看得到的一些成绩,但是推进缓慢,也并不是所有学生都能自觉地参与自主学习.学生学习思维方式的改变,需要各个学科一起努力.参考文献:[１]蔡跃．微课程设计与制作教程[M]．上海:华东师范大学出版社,２０１４．[２]涂荣豹,葛军．初等数学研究教程[M]．南京:江苏教育出版社,２００９．[３]方其桂．微课制作实例教程[M]．北京:清华大学出版社,２０１５．责任编辑:丁㊀蔚«红蜻蜓»征订启事«红蜻蜓»杂志创刊于１９９９年９月,由安徽教育出版社和安徽教育宣传中心联合主办,以 五育并重,让儿童全面发展,服务素质教育 为办刊宗旨,是一份以小学低年级儿童为读者对象的综合性月刊,适合６~９岁儿童阅读.㊀㊀«红蜻蜓»杂志每年１２期,每月１日出刊.大１６开本,３２面,全彩,每本定价６元,全年７２元.全国各地邮局均可订阅.国内统一刊号:C N３４－１１１１/G４.国际标准刊号:I S S N１００９－３１１７.订阅方式１．邮局订阅邮发代号:２６－１５８２．直接订阅订阅电话:０５５１－６３６８３０７０６３６８３０７１６３６８３００２(传真)联系地址:安徽省合肥市经开区繁华大道西路３９８号０１１。
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平顶山学院2006～2007学年第二学期期终考试
《初等数学研究》_A_卷
适用年级 04级 适用专业 数学本科
考试形式 闭卷 考试时间 110 (分钟)
一、填空题（将正确答案填在题中的横线上，每空1分，共30
分）
1.自然数的历史发展过程是 、 、 、
、 、 。
2.无理数的三种不同的定义方法 、 、
。
3.如果n次方程0)(xg的各个根分别是n次方程110)(nnxaxaxf
01nnaxa
的各个根的倒数，那么)(xg
4.函数在其历史发展上的分别有三种不同的定义，它们是 、
、 。
5.如果nS是等比数列na的前n项和，则kS、（kS2－kS）、（kS3－kS2）三者的
关系是 。
6.算法中常用的排序算法有 、 、冒泡排序、
。
7.公理化方法发展的四个时期是 、 、 、
。
8.已知数列}{na的奇数项是x，偶数项是y，则这个数列的通项公式是 。
9. 三大几何作图不能问题是 、 和 。
10.常用的平面几何作图方法有 、 、
和代数法、反演法。
11.立体几何的常用画图方法是 、 。
二、选择题（将正确答案的序号填在题前的括号内。每题2
分，共14分）
（ ）1. 若0x是实系数一元二次方程)0(02acbxax的一个虚根，则判别式acb42与平方式20)2(baxM的关系是： A M B M C M D 不能确定 （ ）2.下列有关同余式的基本性质中哪些是正确的： A 若),(mod),(modmdcmba则)(modmbdac B 若,0),(modkmba则)(modmbkak C 若,0,),(moddmdmba则)(moddba D 若),(modmba则)(modmbann （ ）3. 方程xxsin231的实根个数是： A 3 B 5 C 7 D 9 （ ）4. 下列定理能作为证明“点共线”的依据的是： A 西姆松定理 B 梅涅劳斯定理 C塞瓦定理 D 斯蒂瓦尔特定理 （ ）5. 算法设计的基本方法有： A 枚举法 B 回溯法 C 递归法 D 迭代法 （ ）6.等比数列}{na的首项1a＝－1，前n项的和为nS，若510SS=3231，则nnSlim等于： A 32 B 32 C 2 D －2 （ ）7.下列说法正确的是： 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分
得分 评卷人
得分 评卷人
„„„„„„„„„„„„„„„密„„„„„„„„„„„„„„„封„„„„„„„„„„„„„„„线„„„„„„„„„„„„„„ 院（系） 专业 姓名 学号 班级 密封线内不要答题 „
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A 两直线（不重合）11BA与22BA平行的充要条件是OBABA2211
B 两直线（不重合）11BA与22BA平行的充要条件是2211BABA2211BABA
C 两直线(不重合)11BA与22BA垂直的充要条件是02211BABA
D 两直线(不重合)11BA与22BA垂直的充要条件是22112211BABABABA
三、计算题（每小题7分，共21分）
1. 这是一个计算机程序的操作说明：
[1]初始值x＝1，y＝1，z＝1，n＝0；
[2] n＝n＋1（将当前n＋1的值赋给新的n）；
[3] x＝x＋2（将当前x＋2的值赋给新的x）；
[4] y＝2y（将当前2y的值赋给新的y） ；
[5] z＝z＋xy（将当前z＋xy的值赋给新的z ）；
[6]如果z>5000，则执行语句[7]，否则回到语句[2]继续进行；
[7]打印n，z；
[8]程序终止。
试求由语句[7]打印的数值是多少？并写出计算过程。
2. 求函数23)1(1)(2xxxf的值域。
3. 如图，在棱长为a的正方体1111DCBAABCD中，E、F分别是AB、BC的
中点，（1）求二面角EFBB1的大小；（2）求点D到平面EFB1的距离。(写
出分析过程)
A
C
D1
B
B1
A1
D
C1
E
F
得分 评卷人
《初等数学研究》试卷A 第3页（共6页） 《初等数学研究》试卷A 第4页（共6页）
四、证明题（每题8分，共24分）
1. 设△ABC的三边边长及面积分别为cba,,和S，则有
S
34
222
cba
2.设函数)0()(2prqxpxxf，方程xxf)(的两根21,xx满足
p
xx112
，求证：当),0(1xx时，1)(xxf
3. 如图，在△ABC中，ACAB,A的一个外角平分线交△ABC的外接
圆于点E,过E作ABEF,垂足为F,求证：AFACAB2 （写出分析过程）
B
C
F
A
E
得分 评卷人
五、轨迹（6分）
设动点P在△ABC三边所在的直线上的射影为D、E、F，
且D、E、F三点共线，则P点的轨迹是这个三角形的外接圆。
六、几何作图，要求写出作法（5分）。
给定正方体1111DCBAABCD，设','QP分别是侧面
1111AABBAADD、上的点，'R是棱1
CC
上的点，画出平面'''RQP截正方体的截口
图形。
D1
C1
B1
A1
D
C
A
B
P'
Q'
R'
得分 评卷人
得分 评卷人