第2章 质点力学中的守恒定律

质点由a点沿曲线运动到b点的过程中，变力 F 所 作的功 。
国际单位：焦耳（J ）N· m
元功： dA F dr
A
b
dr

F
b
a
b F dr F cos dr
a
a
合力的功： b b A F dr F1 F2 Fn dr
x
b
xb xb A F dx kxi dxi kxdx
xa xa
1 2 1 2 A ( kx b kx a ) 2 2
弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关， 而与弹性变形的过程无关。
4.保守力：
作功与路径无关，只与始末位置有关的力。
S1
S2
Mv0 (M m)v
Mv 0 v M m
x
铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻 力大小为：
f kx
M m , v v0
由动能定理， 有：
S1 1 1 2 2 0 mv0 kx dx kS 1 0 2 2
设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为ΔS ，则有
dx v dt
§2-2 动能和动能定理
1．质点动能定理 动能： 质点因有速度而具有的作功本领。 1 2 Ek mv 单位：（J） 2
设质点m在力的作用下沿 曲线从a点移动到b点 元功：
dr

b
dA F dr F cos ds
F
a
dv F cos ma m dt
ro r
结论： 空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该
点移动到势能零点时保守力做的功。
2.重力势能：
E p mgh
引力势能：
（地面（h = 0）为势能零点）
Mm （无限远处为势能零点） E p G0 r
弹性势能：
1 2 E p kx （弹簧平衡位置处为势能零点） 2
保守力与势能的积分关系：
机械能
E Ek Ep
W外 W非保内 E2 E1
质点系的功能原理
质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保 守内力所作功的代数和。 如果
W外 0 ， W非保内 0
机械能守恒
E Ek Ep 恒量
机械能守恒定律
当系统只受保守内力作功时，质点系的总机 械能保持不变。
Fi
Wi外 Wi内 Ek 2i Ek1i
对系统内所有质点求和
i
n
W
i 1
n
i内
Wi外 E k 2i E k1i
i 1
n
n
fi
i 1
i 1
W内 W外 Ek 2 Ek1
质点系的动能定理：
质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和 内力作功之代数和。
一.保守力做功 1. 重力做功
初始位置
机械能守恒定律
a( x a , y a , z a )
b( xb , yb , zb )
z
末了位置
za a
r
Aab

b a
b
m gk dxi dyj dzk
a
F dr
zb
mg
O
b


x
y
mgdz mgza zb
注意：
（1）机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于 非惯性系。这是因为惯性力可能作功。 （2）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性 系中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与参 考系的选择有关。对一个参考系外力功为零，但 在另一参考系中外力功也许不为零。
例3. 传送带沿斜面向上运行速度为v = 1m/s，设物料无 初速地每秒钟落到传送带下端的质量为M = 50kg/s，并 被输送到高度h = 5m处，求配置的电动机所需功率。 （忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量损失） 解： 在Δt 时间内，质量为 MΔt 的物料落到皮带 上，并获得速度v 。 Δt内系统动能的增量：
dv dA F cos ds m ds mvdv dt
1 2 2 总功： dA A mvdv m( v2 v1 )
v2 v1
2
质点的动能定理：
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
1 1 2 2 A mv2 mv1 Ek 2 Ek1 2 2
§2-3 势能
v h
1 Eki Mt v 2 0 2
重力做功：
W Mt gh
电动机对系统做的功： 由动能定理：
Pt
1 2 Pt Mt gh Mt v 2
v2 12 P M gh 50 9.8 5 2475 W 2 2
A 平均功率： P t
瞬时功率： P limBiblioteka t 0瓦特（W）=（J/s）
A dA t dt
dA F d r P F v dt dt
例1、设作用在质量为2kg的物体上的力F = 6t N。如 果物体由静止出发沿直线运动，在头2（s）内这力作 了多少功？
b a
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb， 与质点经过的具体路径无关。
2. 万有引力作功 设质量为M的质点固 a 定，另一质量为m的质点 在M 的引力场中从a点运 ra 动到b点。
Mm F G 2 r0 r
M
dr r dr r dr rb
c
b
Mm A G 2 r0 dr ra r
值得注意：
内力做功可以改变系统 的总动能。
机械能守恒定律
质点系的动能定理： 其中
A内 A外 Ek 2 Ek1
A内 A保内 A非保内
A外 A保内 A非保内 Ek 2 Ek1
A保内 E p 2 E p1

A外 A非保内 Ek 2 Ep 2 Ek1 Ep1
例2 如图所示，用质量为M的铁锤把质量为m 的钉子 敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深 度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入 1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完 全相同，问第二次能把钉子敲入多深？ 解 设铁锤敲打钉子前的 速度为v0，
敲打后两者的共同速 度为v。
O
rb
r0 dr dr cos dr
1 1 dr A G Mm 2 GMm r r ra r a b
rb
万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而 与具体路径无关。
3. 弹性力的功
m o xa
F
m
x
由胡克定律：
F kxi
a xb
第二章 质点力学中的守恒定律
2-1 功和功率
功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力 对空间积累作用。
功的定义：
在力 F 的作用下， 物体发生了位移 r，则 把力在位移方向的分力与 的乘积称为功。 位移 r
z
r
r1
O
F

F
x
y
A F r cos F r
A E p
保守力与势能的微分关系：
dA dE p
因为：
dA F dr Fxdx Fydy Fzdz
EP EP dE p dx dy dz x y z E p
所以：
Fx
E p x
Fy
E p y
Fz
E p z
S1 S 1 1 2 1 2 2 0 mv0 kx dx k (S1 S ) kS1 S1 2 2 2
2 (S1 S ) 2 2S1
化简后
S1 S 2S1
第二次能敲入的深度为：
S 2S1 S1 ( 2 1) 1cm 0.41cm
A 保守力沿任何闭合路径作功等于零。 F dr 0
L
保守力的特点：
证明： 设保守力沿闭合路径acbda作功
按保守力的特点： Wacb 因为： 所以：
Wadb
a
Wacb Wbda
d
c
W Wacb Wbda Wacb Wacb 0
证毕
b
二 . 势能
a a



b
a
b b F1 dr F2 dr Fn dr
a a
A A1 A2 An
结论：合力对质点所作的功等于每个分力对质点
作功之代数和
。
在直角坐标系Oxyz中
F Fxi Fy j Fz k
3
2. 第二宇宙速度
宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度
（1）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少
等于零。 （2）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。
1 Mm 2 Ek E p 0 由机械能守恒定律： mv2 G 2 R
2GM 解得：v2 2 gR 2v1 11.2 103 m s 1 R
保守力做功在数值上等于系统势能增量的负值。
说明：（1）势能是一个系统的属性。
（2） 势能的大小只有相对的意义，相对 于势能的零点而言。 （3）势能的零点可以任意选取。
设空间r0点为势能的零点，则空间任意一点 r 的势能为：
E p (r ) E (r ) E p (ro ) F dr
解得
v lg
例5. 计算第一，第二宇宙速度
1. 第一宇宙速度 已知：地球半径为R，质量 为M，卫星质量为m。要使 卫星在距地面h高度绕地球 作匀速圆周运动，求其发 射速度。