二次函数的模型建立与解决实际问题
二次函数知识点
一、知识概述1、数学知识的应用是学习数学的目的，用二次函数知识解决实际生活中的应用问题，特别是与经济生活相关的经济型问题是考查的热点．在实际问题中，若由题意列出的函数关系式是一个二次函数，则这些问题属于二次函数的最值问题．解决这类问题的关键是审清题意，建立二次函数关系式．实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义．因此在求二次函数的最值，一定要注意自变量x的取值范围．2、数学模型的建立．利用二次函数的最值解决实际问题时，要恰当地把实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而以确定二次函数的表达式．即把实际问题数学化，建立数学模型并利用数学模型解决实际问题．当求出最值时，要核实抛物线的最值与实际问题的最值是否一致，这就要求我们必须认真审题．3、与二次函数有关的应用问题包括图象信息问题和以现实生活为背景的情境应用问题．如利用平面几何图形的有关条件和性质建立平面几何图形面积的二次函数表达式，并利用二次函数的图象和性质确定最大或最小面积，其中求几何图形面积的常见方法有：利用几何图形的面积公式求几何图形的面积；利用几何图形的面积和或差求几何图形的面积．日常生活中的生产、经营活动中的产值最大、最大利润等最优化问题．4、利用二次函数的图象与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，通过直观观察图像与x轴的交点确定一元二次方程根的存在范围，进而求出一元二次方程的根的近似值．为了得到更精确的近似解，需要对交点横坐标所在的两个连续整数之间的x的值进一步细分，并求出相应的y值，列出表格，得到所要求的确精度的方程的近似解．二、典型例题讲解例1、用图象法求一元二次方程2x2－4x－1=0的近似解．分析：（1）设y=2x2－4x－1，使y=0的x值即方程2x2－4x－1=0的解．（2）化简2x 2－4x －1=0，得x 2＝2x ＋．设y 1=x 2，y 2=2x ＋，它们的交点的横坐标即方程x 2=2x ＋的解.解法一：设y=2x 2－4x －1.画出抛物线y=2x 2－4x －1.由图象知，当x≈2.2或x≈－0.2时，y=0.即方程2x 2－4x －1=0的近似解为x 1≈2.2，x 2≈－0.2.解法二：将2x 2－4x －1=0化简，得2x 2=4x ＋1，x 2=2x ＋.在同一坐标系中，画出函数y=x 2和y=2x ＋的图象如图所示.抛物线y=x2与直线y=2x＋交于A、B，过A、B分别作x轴的垂线，垂足横坐标约为2.2、－0.2.即x=2.2或x=－0.2时，y=x2和y2=2x＋相等，即x2=2x＋，2x2－14x－1=0.小结：解本类型题的基本方法是先作出二次函数的图象，并根据图象确定一元二次方程的解的个数；再由二次函数图象与x轴的交点位置确定交点横坐标的范围；或利用计算器估算方程的近似根(通常保留一位小数)．例2、某商场通过调查发现，某种玩具如果售价定为10元，日销量为50件，售价每提高1元，日销售量将减少3件。
二次函数解决实际问题
二次函数解决实际问题【文章主题】二次函数解决实际问题【引言】二次函数是高中数学中的重要概念，它可以用来解决各种实际问题。
二次函数不仅具有图像美观和数学特性丰富的优点，还能够帮助我们解决现实生活中的一系列实际问题。
本文将深入探讨二次函数对于解决实际问题的具体应用，并结合示例来进一步加深理解。
【正文】1. 什么是二次函数？二次函数是一种具有形式为y = ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c 为常数，且a不等于0。
它的图像通常呈现出一个开口向上或向下的U型曲线，称为抛物线。
二次函数的解析式和图像特性使得它成为解决实际问题的有力工具。
2. 二次函数的实际问题应用2.1 抛物线的轨迹由于二次函数具有抛物线形状，因此它在物理学中的应用非常广泛。
在炮弹的抛射问题中，我们可以利用二次函数来描述弹道的形状和轨迹，从而计算出炮弹的射程、最高点和最大高度等重要参数。
二次函数还可以应用于天体运动的研究、桥梁设计的拱形以及运动物体的轨迹预测等领域。
2.2 最值问题二次函数在经济学和管理学中也有广泛的应用，尤其是涉及利润、成本和收益等问题。
在销售决策中，我们可以建立一个二次函数模型来找到最大利润所对应的产量或价格，从而为企业的营销活动提供科学依据。
二次函数还能够帮助我们解决最小成本和最大效益的问题，为管理决策提供指导。
2.3 预测与优化问题二次函数在预测和优化问题中也有重要应用。
在金融领域，我们可以利用二次函数来建立股票价格的模型，预测未来趋势和价格波动。
二次函数还可以用于优化问题，例如最佳化分工与生产，最佳投资组合等。
3. 示例分析为了更好地理解二次函数解决实际问题的应用，我们以一个典型例子进行分析。
假设有一块田地，面积为1000平方米，现在需要修建一个矩形花坛在田地中。
我们想要找到面积最大的花坛。
我们需要建立数学模型。
设田地的长为x米，宽为(1000/x)米，花坛的面积为A(x) = x*(1000/x) = 1000米^2。
二次函数的实际应用
小专题(六)二次函数的实际应用类型1建立二次函数模型解决几何图形面积问题设长方形的长(或宽)为自变量，从而表示出另一边长，然后将面积表示为长(或宽)的二次函数，最后利用二次函数的性质解题．1．现有一块矩形场地，如图所示，长为40 m，宽为30 m，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花．(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少2．(安徽中考)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度是x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米．(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)x取何值时，y有最大值？最大值是多少？3．(莆田中考)如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的边长AB＝4米，∠ABC＝60°.设AE＝x米(0＜x＜4)，矩形的面积为S 平方米．(1)求S与x的函数关系式；(2)学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草，已知红色花草的价格为20元/平方米，黄色花草的价格为40元/平方米．当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用(结果保留根号)?类型2建立二次函数模型解决体育运动中的问题从实际问题中抽象出抛物线上点的坐标，从而确定二次函数解析式，然后根据二次函数的性质解决问题．通常球飞行的高度对应函数的纵坐标，球飞行的距离对应函数的横坐标．4．(随州中考)如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c.已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t.已知球门的高度为2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？5．如图，足球场上守门员在O处发出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)足球第一次落地点C距守门员多少米？(取43＝7)(3)运动员乙要抢到第二个落点D的足球，他应再向前跑多少米？(取26＝5)参考答案1.(1)由题意知，B 场地宽为(30－x)m ，∴y ＝x(30－x)＝－x 2＋30x ，自变量x 的取值范围为0＜x ＜30.(2)y ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，∵a ＝－1<0，∴当x ＝15时，y 最大＝225.即当x 是15 m 时，种植菊花的面积最大，最大面积为225 m 2.2.(1)设AE ＝a ，由题意，得AE·AD ＝2BE·BC ，AD ＝BC ，∴BE ＝12a ，AB ＝32a.由题意，得2x ＋3a ＋2×12a ＝80，∴a ＝20－12x.∴y ＝AB·BC ＝32a ·x ＝32(20－12x)x ，即y ＝－34x 2＋30x(0<x<40)．(2)∵y ＝－34x 2＋30x ＝－34(x －20)2＋300.∴当x ＝20时，y 有最大值，最大值是300平方米．3.(1)连接AC ，BD.AC 与EH 交于点M.∵花坛为菱形，∴EH ∥BD ，EF ∥AC.∵∠ABC ＝60°，∴△ABC ，△BEF 是等边三角形．∴EF ＝BE ＝AB －AE ＝4－x.在Rt △AEM 中，∠AEM ＝∠ABD ＝30°，则EM ＝32x.∴EH ＝2EM ＝3x.又∵EF ＝BE ＝4－x ，∴S ＝EH·EF ＝3x ·(4－x)，即S ＝－3x 2＋43x.(2)∵红色花草价格比黄色花草便宜，∴当矩形面积最大时，购买花草的总费用最低．又∵S ＝－3x 2＋43x ＝－3(x －2)2＋43，∴当x ＝2时，S 最大＝4 3.易得S 四边形ABCD ＝8 3.此时四个三角形的面积为83－43＝4 3.∴最低总费用为：20×43＋40×43＝2403(元)．答：当x ＝2时，购买花草所需的总费用最低，最低总费用是2403元．4.(1)将(0，0.5)和(0.8，3.5)代入y ＝at 2＋5t ＋c ，得a ＝－2516，c ＝0.5，∴y ＝－2516t 2＋5t ＋0.5＝－2516(t －85)2＋4.5.∴足球飞行的时间是1.6秒时，足球离地面最高，最大高度是4.5米． (2)当x ＝28时，28＝10t ，∴t ＝2.8.当t ＝2.8时，y ＝－2516×19625＋5×2.8＋0.5＝2.25.∵0＜2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．5.(1)设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为y ＝a(x －6)2＋4.由已知：当x ＝0时，y ＝1.即1＝36a ＋4，∴a ＝－112.∴表达式为y ＝－112(x －6)2＋4.(2)令y ＝0，－112(x －6)2＋4＝0.∴(x －6)2＝48.解得x 1＝43＋6≈13，x 2＝－43＋6<0(舍去)．∴足球第一次落地点C 距守门员约13米．(3)第二次足球弹出后的距离为CD ，根据题意：CD ＝EF(即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位)，∴2＝－112(x －6)2＋4.解得x 1＝6－26，x 2＝6＋2 6.∴CD ＝||x 1－x 2＝46≈10.∴BD ＝13－6＋10＝17(米)．答：他应再向前跑17米．。
二次函数的实际应用(利润问题)
建立模型
将问题抽象为二次函数模型，确定各项参数。
验证和调整
通过实际数据验证模型的准确性，并根据实际 情况进行调整和优化。
2 图像特点
二次函数的图像形状通常为抛物线，具有顶点、对称轴和开口方向等特点。
3 重要概念
二次函数的最值、最值点、零点等重要概念对利润问题的分析很有帮助。
二次函数的利润问题
利润问题是二次函数在实际应用中的一个典型问题。通过二次函数，我们可以计算出不同销量对应的利润，并 进一步分析销量与利润之间的关系。
利润的计算公式
1 收入
收入是销量乘以单价，可以表示为 R = px，其中 p 表示单价，x 表示销量。
2 成本
成本是与销量相关的固定成本和单位成本的乘积，可以表示为 C = a + bx。
3 利润
利润是收入减去成本，可以表示为 P = R - C。
二次函数在利润问题中的应用举例
例一：最大利润
根据给定的销量-利润函数，我们 可以通过分析函数的图像找到最 大利润所对应的销量。
例二：利润变化率
我们可以通过利润函数的一阶导 数（利润对销量的变化率）来分 析利润的增减情况。
例三：最佳生产量
通过分析利润函数的零点，我们 可以确定最佳生产量以最大化利 润。
最大化利润和最小化亏损
最大化利润
通过优化销量，控制成本和定价策略，我们可以最 大化企业的利润。
最小化亏损
在经营中，我们也需要考虑如何降低亏损，避免经 营困难。
求解利润最大化的方法
1
利润函数建模
将利润问题建立二次函数模型，确定各项参数。
2
图像分析
分析二次函数图像的顶点、开口方向等特点，确定最值点。
实际问题与二次函数—教学设计及点评(获奖版)
22.3 实际问题与二次函数（第3课时）一、内容与内容解析1. 内容构建二次函数模型，利用二次函数的图象与性质解决抛物线形问题.2. 内容解析二次函数是描述现实世界变量关系的重要数学模型，运用二次函数可以解决许多实际问题，例如生活中的抛物线形问题.本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，借助二次函数图象和性质研究抛物线形的实际问题.通过探究抛物线形拱桥问题，引导学生分析问题和解决问题，在解决问题的过程中将数学模型思想逐步细化，体会运用函数观点解决实际问题的作用，体会建立函数模型的过程和方法.基于以上分析，确定本节课的重点是：从实际问题中抽象出抛物线并通过建立平面直角坐标系解决实际问题.二、目标和目标解析1. 目标（1）能够从抛物线形问题中建立二次函数模型.（2）能够利用二次函数模型解决抛物线形问题，体会二次函数在解决实际问题中的作用.2. 目标解析达成目标（1）的标志是：学生会借助平面直角坐标系得到二次函数模型，并体会适当建系可以优化解题.达成目标（2）的标志是：学生通过经历探索抛物线形问题，进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，结合二次函数已有知识综合运用来解决解决实际问题.三、教学问题诊断分析学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，这为本节课的学习奠定了基础，但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的平面直角坐标系的二次函数模型分析问题和解决问题，对于学生来说，完成这一过程难度较大.基于以上分析，本节课的难点：将实际问题转化成二次函数问题.四、教学过程设计1. 创设情境引出问题情境：展示蕴含抛物线的建筑南宁大桥、南宁永和大桥、凌铁大桥、柳州官塘大桥等，引出课题.设计意图：结合生活背景，让学生体会抛物线与实际生活的联系，激发学生的学习兴趣.2. 复习旧知，做好铺垫设计意图：学生体会解析式与图象的对应关系，感受抛物线与坐标系相对位置不一样，它们所对应的解析式也不一样，体会抛物线（形）与函数解析式（数）的对应关系，为解决探究3中的问题做好铺垫.3. 从形入手，探究问题探究3：如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m，水面宽 4 m. 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？问题1：同学们通过审题，你发现了哪些重要信息？教师结合希沃白板，将重要信息涉及的图形，从原图中分离出来.问题2：求水面宽度增加多少，需要进行计算，这些计算与抛物线形密切相关，我们应该如何处理？设计意图：引导学生通过建立直角坐标系，构建数学模型（二次函数模型）,并体会直角坐标系是数形结合的重要数学工具.活动：小组合作：运用所学知识，解决这道实际问题.（要求每组有2种不同的建立直角坐标系方法）师生活动：小组汇报，教师点评（结合课本进行点评，注意书写过程中建系是否有文字说明，建系文字说明是否严谨，待定系数法书写是否规范，结论书写是否规范）设计意图：展示学生学生的解题思路，并对学生书写中的易错点进行点评分析.4. 适当建系，优化解题问题3：以上5种不同的建系方法，你觉得哪种简单？为什么？师生活动：学生回答，老师总结.①5种建系方法不同，但结果是相同的，建立不同坐标系，所得到的解析式复杂程度也不一样，由此可见，建立适当的坐标系，可以使抛物线的解析式简单，从而减少运算量；②建立直角坐标系的基本原则：关注图形的对称性，以对称轴为坐标轴；关注特殊点，以特殊点为坐标原点.设计意图：引导学生总结归纳，对解决问题的基本策略进行反思，让学生积累和总结经验，培养学生概括和归纳的能力，养成良好的数学思维习惯.5. 总结提升，提炼方法问题4：你能总结解决抛物线形问题的一般方法和解决步骤吗？抛物线形问题二次函数模型线段长实际问题的解设计意图：使学生对解决此类问题有一个系统化的步骤，强化数学与实际生活的紧密联系，加深“数形结合思想”和“数学建模思想”在解决问题中的重要作用.6. 巩固训练，拓展思维某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成，为了牢固起见，每段护栏中需要间距4dm 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部5dm（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）A、50mB、100mC、160mD、200m设计意图：巩固本节课所学内容，再次体会通过建立二次函数模型解决实际问题的重要性，加深对二次函数的认识，体会数学与实践的联系.7. 小结（1）这节课学习了用什么知识解决哪类问题？（2）解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？转译数学方法回译实际问题数学问题数学模型数学模型的解实际问题的解设计意图：通过小结，归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯.8. 作业布置某桥梁建筑公司需在两山之间的峡谷上架设一座公路桥，桥下是一条宽100m的河流，河面距所要架设的公路桥的高度是50m，根据各方面的条件分析，专家认为抛物线是最好的选择，按照专家的建议，设计一座横跨峡谷的公路桥.设计意图：考察学生对本节课所学内容的理解和掌握程度，体会二次函数模型的应用价值.建立直角坐标系线段与坐标相互转化待定系数法抽象人教版《实际问题与二次函数（第3课时）》课例点评南宁市天桃实验学校吴立志本节课教学有六个环节：创设情境，引出问题环节结合生活背景，让学生体会抛物线与实际生活的联系；复习旧知，做好铺垫环节学生体会解析式与图象的对应关系；从形入手，探究问题环节引导学生通过建立直角坐标系，构建数学模型（二次函数模型）；适当建系，优化解题环节引导学生总结归纳，让学生积累和总结经验；总结提升，提炼方法环节使学生对解决此类问题有一个系统化的步骤；巩固训练，拓展思维环节巩固本节课所学内容，加深对二次函数的认识，体会数学与实践的联系；教学过程设计合理，课堂结构完整，教学思路清晰，过程循序渐进，为“抛物线形”的产生提供自然合理的背景，激发学生深入思考，获得解决问题的方案。
二次函数的实际问题求解技巧
二次函数的实际问题求解技巧二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在实际问题中有着广泛的应用。
掌握二次函数的实际问题求解技巧，可以帮助我们解决各种与实际相关的数学难题。
本文将介绍一些二次函数实际问题的求解技巧，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
1. 问题分析在解决二次函数实际问题时，首先需要对问题进行充分的分析。
这包括理解问题的背景、已知条件以及需要求解的未知量。
例如，假设我们要求解某个抛物线的最高点坐标，我们需要明确已知的抛物线方程以及需要求解的顶点坐标。
2. 绘制函数图像绘制函数图像可以直观地了解二次函数的性质，帮助我们更好地解答问题。
对于给定的二次函数，我们可以利用平移、缩放等变换来确定其图像的形状和位置。
通过观察图像，我们可以得到一些关于函数的重要信息，如最值、对称轴等。
3. 求解函数的零点二次函数的零点即函数与x轴的交点，求解函数的零点对解决实际问题非常重要。
可以使用解二次方程或者图像法来求解函数的零点。
解二次方程通常是使用配方法或求根公式，而图像法可以通过观察函数图像上与x轴的交点来得到零点的近似值。
4. 求解函数的最值对于实际问题求解，常常需要求解函数的最值，这些最值往往与问题的关键指标有关。
求解函数最值的方法主要有两种：一是利用函数图像的几何性质，如抛物线的顶点即为函数的最值点；二是利用导数的性质，通过求解函数的导数为零的点来确定最值。
5. 利用模型求解问题在实际问题中，我们往往需要根据已知的情况构建二次函数模型，并通过求解模型来得到问题的答案。
这需要灵活运用二次函数的性质和求解技巧。
例如，我们可以根据已知的关系式构建二次函数方程，然后通过求解方程来得到问题的解。
6. 检验结果的合理性在解决实际问题时，我们应该对得到的结果进行合理性检验。
这包括对结果进行估算和比较，看是否符合实际情况。
如果结果与实际情况相差太大，就需要回顾整个求解过程，找出问题所在并进行修正。
综上所述，二次函数的实际问题求解技巧涉及问题分析、绘制函数图像、求解函数的零点和最值、利用模型求解问题以及检验结果的合理性等方面。
构建函数模型,解决实际应用解读
构建函数模型，解决实际应用苏州工业园区第六中学胡雪芹摘要：随着新课程标准的实施与推进，对学生应用能力的考查显得越来越重要，而数学建模可以有效地解决实际中的应用。
本文通过举例对构建函数模型，解决实际应用作了初步探讨。
数学教师在新课程实施中要努力渗透数学建模思想，为全面实施素质教育服务。
关键词：函数建模，实际应用著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究。
”《九年制义务教育数学课程标准（实验稿）》基本理念的第二条明确指出：“数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。
”恩格斯说过：“由一种形式转化为另一种形式不是无聊的游戏而是数学的杠杆，如果没有它，就不能走很远。
”由于数学建模就是把实际问题转换成数学问题，因此如果我们在数学教学中用好建模这根有力的杠杆，对培养学生思维品质的灵活性、创造性及开发智力、培养能力是十分有益的。
可以说凡有数学应用的地方就有数学建模，数学建模在今后的数学教育中必将占有重要地位。
进入21世纪，不管是世界性的数学课程改革，还是我国的数学课程改革，也无论是哪一学段的数学课程，其中都加强了应用性、创新性，重视联系学生生活实际和社会实践的要求。
随着新课程标准的实施与推进，对学生应用能力的考查是中考的一大热点。
中考中应用性试题的题量逐年增加，题型逐年丰富，问题的取材一改原先局限于工程问题、行程问题等老面孔，而富有时代气息，切合实际、贴近学生生活，或关系民情国情等实际问题。
特别是最近几年的中考应用题的设计背景材料趋于复杂，数学化比较困难，这就要求学生能读懂题目的条件和要求，将所学知识和方法灵活运用于全新的问题情境中，抽取出问题的数学本质，建立适当的数学模型，尤其需要借助函数的模型，创造性地求解。
一、数学建模的含义及操作程序所谓数学建模就是要把现实生活中具体实体内所包含的数学知识、数学规律抽象出来，构成数学模型，根据数学规律进行推理求解，得出数学上的结论，返回解释验证，以求得实际问题的合理解决。
54 用二次函数解决问题(解析版)
2021-2022学年九年级数学下册同步课堂专练（苏科版）5.4用二次函数解决问题建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：（1）恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．注意事项：利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.【同步练习】一、单选题1．如图①，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿着“A B C D A→→→→”的路径运动一周，线段AP的长度()cmy与点P运动的路程()cmx之间的函数图象如图②所示，则下列说法错误的是（）A ．矩形的面积是32B ．12b =C ．当12x =时，AP 与AC 重合D ．点P 在BC 上运动时，x 与APB △的面积组成的函数关系是二次函数【答案】D【详解】由图象可知，当x a =时，8AP =，∴此时点P 与点B 重合，∴8AB =，根据图象点(,b 表示点P 与C 重合，此时AP AC ==4BC ==，∴8412b =+=，故B 、C 选项正确，不符合题意；由题意知，矩形的面积为4832⨯=，故A 选项正确，不符合题意；点P 在BC 上运动时，18(8)4322APB S x x =⨯⨯-=-△，∴点P 在BC 上运动时，x 与APB △的面积组成的函数关系为一次函数，故D 选项错误，符合题意.2．拱桥，造型优美，曲线圆润，富有动态感．中国的拱桥始建于东汉中后期，距今已有一千八百余年的历史．如图①是一座拱桥，图②是其示意图，其中拱桥桥洞可近似看成抛物线，已知水面AB 宽为12m ，桥洞顶部C 离水面AB 的高度为4m ，则下列说法正确的是（ ）A ．若以拱桥顶部C 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为219y x =- B ．若以拱桥顶部C 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为219y x = C ．若以点A 处为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为21493y x x =--D ．若以点A 处为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为21394y x x =-+ 【答案】A【详解】若以拱桥顶部C 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则点B 的坐标为(6,4)-，设抛物线的表达式为2y ax =，将(6,4)B -代入，得364a =-，解得19a =-．∴抛物线的表达式为219y x =-，∴A 选项正确，B 选项错误，若以拱桥与水面交汇的A 处为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则点C 的坐标为(6,4)，点B 的坐标为(12,0)，设抛物线的表达式为2y ax bx =+，将(6,4),(12,0)C B 代入，得3664144120a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1943a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴抛物线的表达式为21493y x x =-+，∴C 、D 选项错误．故选：A ．3．如图①，在正方形ABCD 中，点P 沿边DA 从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 沿边AB ，BC 从点A 开始向点C 以2cm/s 的速度移动，当点P 移动到点A 时，P 、Q 同时停止移动.设点P 出发s x 时，PAQ △的面积为2cm y ，y 与x 的函数图象如图②，则下列四个结论，其中错误的是（ ）A ．当点P 移动到点A 时，点Q 移动到点CB ．正方形的边长为6cmC ．当AP AQ =时，PAQ △的面积取得最大值D ．线段EF所在的直线对应的函数关系式为318y x =-+【答案】C【详解】∵点P 沿边DA 从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 沿边AB ，BC 从点A 开始向点C 以2cm/s 的速度移动，∴当点P 移动到点A 时，点Q 移动到点C .∴A 正确；根据函数图象可知，当点Q 到达点B 时，PAQ △的面积最大为29cm ，设正方形的边长为cm a ，则11922a a ⨯⨯=，解得6a =，即正方形的边长为6cm ，∴B 正确，∵当12AP AQ =时，PAQ △的面积取得最大值，∴C 错误；∵当点Q 在BC 上运动时，11(6)631822PAQ S AP AB x x =⋅=-⨯=-+△，∴线段EF 所在的直线对应的函数关系式为318y x =-+，∴D 正确，故选C.4．如图，菱形ABCD 和菱形EFGH 全等，对角线的交点分别为M ，N ，60BAD ∠=︒，4AB =，//BD FH ．若菱形ABCD 随着交点M 沿着路径E H N →→运动，每秒运动1个单位长度，运动时间为t ，两个菱形重合部分的面积为S ，则S 随t 变化的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】【解答】当点M 位于EH 上时，如答案图1，当02t ≤≤时，12EQN MPC EMCN S S S S t =++=△△=+2，当24t <≤时，2(4)2QBM PNH MBNH S S S S t =++=⨯-=+△△M 位于HN 上时，当46t <≤时，如答案图3，21)22PBQH BH PQ t S S =⋅=-=菱形． 结合图象可知，选项B 符合题意．图1图2图35．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y （万元）和月份n 之间满足函数关系式y ＝﹣n 2+14n ﹣24，则没有盈利的月份为（ ）A ．2月和12月B ．2月至12月C ．1月D ．1月、2月和12月 【答案】D【详解】解：∵y =-n 2+14n -24=-（n -2）（n -12），1≤n ≤12且n 为整数，∴当y =0时，n =2或n =12，当y ＜0时，n =1，故选：D ．6．2019~2020赛季中国女排超级联赛决赛第三回合比赛中，天津渤海队客场以3:1战胜上海光明优倍队，从而以3:0的总比分夺得冠军．如果把排球运动轨迹抽象成一条抛物线，其形状､开口方向与抛物线22x =-相同，顶点为()1,8，则该排球运动轨迹的解析式为（ ）A ．()2218y x =-+B ．()2218y x =+-C ．()2218y x =--+D ．()2218y x =-+- 【答案】C【详解】∵排球的运动轨迹抽象成的抛物线形状､开口方向与抛物线22y x =-相同，故设该抛物线的解析式为()22y x h k =--+，∴该抛物线的顶点坐标为(),h k ，由题意可知1,8h k ==，∴该排球的运动轨迹的解析式为()2218y x =--+．7．如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，点M 从点A 顺时针沿正六边形的边运动，点N 同时从点A 出发，逆时针沿正六边形的边运动，若两动点的运动速度相同，相遇时运动停止，则AMN 的面积y 与点M 运动的路程x 之间的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】连接AD 交MN 与点H ，由题意可得，M ，N 关于AD 对称，MN AD ∴⊥．当02x ≤≤时，如答案图1，120A ∠=︒，且,30==∴∠=∠=︒AM AN x AMN ANM ，则1,2==AH x MN ，2∴=y x ；当24x <≤时，如答案图2，112AG AE ==，2,1,==-∴=-==GH BM x AH x MN BE ，1) ∴=-y x ；当46x <≤时，如答案图3，()6,612=-=-DM x DH x ，)121,6=-=+=-AH AD DH x MN x ，11(6)2⎫∴=+-⎪⎝⎭y x x ．8．一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6m 时，球达到最高点，此时球离地面3m ．已知球门高是2.44m ，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（ ）A ．10mB ．8mC ．6mD ．5m【答案】A【详解】解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y =2(6)a x -+3将（0，0）代入解析式得a ＝112-， ∴抛物线解析式为y =21(6)312x --+， 当x ＝10时，y ＝215(106)3123--+=， ∵53＜2.44，满足题意， 故选：A ．二、填空题9．已知抛物线1C ：221y x mx =-++（m 为常数，且0m ≠）的顶点为A ，与y 轴交于点C ；抛物线2C 与抛物线1C 关于y 轴对称，其顶点为B ．若P 是抛物线1C 上的点，使得以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为菱形，则m 的值为________．【答案】【详解】由抛物线21:21C y x mx =-++知，点()()2,1,0,1A m m C +．∵抛物线12,C C 关于y 轴对称，∴点A ，B关于y 轴对称，则//AB x 轴，且()2,1,2B m m AB m -+=-；若以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为菱形，则//AB CP ；在抛物线21:21C y x mx =-++中，当1y =时，2211x mx -++=，解得120,2x x m ==，∴点()22,1P m m +，∴2AB CP m ==，又∵AB CP ∥，则四边形APCB 是平行四边形；若四边形APCB是菱形，那么必须满足AP CP =，即()()()22222011m m m =-++-，即23m =，解得m =10．已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()3,4,M 是抛物线22(0)y ax bx a =++≠对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当b a的值确定时，抛物线的对称轴上能使AOM 为直角三角形的点M 的个数也随之确定．若抛物线22(0)y ax bx a =++≠的对称轴上存在3个不同的点M ，使AOM 为直角三角形，则b a的值是____． 【答案】2或8-【详解】解：由题意得：O （0,0），A （3，4）∵AOM ∆为直角三角形，则有：①当=90AOM ∠︒时，OA OM ⊥∴点M 在与OA 垂直的直线1l 上运动 （不含点O ）；如图，②当=90OAM ∠︒时，OA AM ⊥，∴点M 在与OA 垂直的直线2l 上运动 （不含点A ）；③当=90OMA ∠︒时，OM AM ⊥，∴点M 在与OA 为直径的圆上运动，圆心为点P ，∴点P 为OA 的中点， ∴3(,2)2P∴半径r =1522AO == ∵抛物线22(0)y ax bx a =++≠的对称轴与x 轴垂直由题意得，抛物线的对称轴与1l ，2l ，P 共有三个不同的交点， ∴抛物线的对称轴为P 的两条切线，而点P 到切线3l ，4l 的距离52d r ==， 又3(,2)2P ∴直线3l 的解析式为：35122x =-=-；直线4l 的解析式为：35+422x ==； ∴12b a -=-或4 ∴2b a=或-8 故答案为：2或-811．已知直线y ax b =+与双曲线(0)k y k x=>的交于()()1,,3,A m B n 两点，点C 在线段AB 上，过点C 作CD x ⊥轴，垂足为D ，并交双曲线y =(0)k k x >于点E ．若当CE DE 取最大值时，有CE =12，则k 的值为________．【答案】3【详解】 解：直线y ax b =+与双曲线(0)k y k x=>的交于(1,)A m ，(3,)B n 两点， (1,)A k ∴，(3,)3k B ， ∴代入y ax b =+得33a b k k a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得：343k a b k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线AB 为433k y x k =-+， 点C 在线段AB 上，∴设4(,)33k C x x k -+，其中13x ，CD x ⊥轴，(,0)D x ∴， CD 交双曲线(0)k y k x=>于点E ， (,)k E x x ∴， 433k k CE x k x ∴=-+-，k DE x=， ∴2241411331(2)3333k k x k CE x x x x k DE x-+-==-+-=--+， 103-<，13x ，∴当2x =时，CE DE 最大值为13， 把12CE =代入得：32=DE ， 3(2,)2E ∴， 3232k ∴=⨯=， 故答案为3．12．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y （元）与销售单价x （元）之间的关系满足()22201558y x =--+，由于某种原因，价格的范围为1622x ≤≤，那么一周可获得的最大利润是______元．【答案】1558【详解】解：∵()22201558y x =--+，20a =-<，∴在1622x ≤≤中，当20x时，利润达到最大值，最大值为：1558y =； 故答案为：1558．三、解答题13．如图，抛物线()2:2L y x t t =--++，直线:2l x t =与抛物线､x 轴分别相交于Q ､P ．（1）当3t =时，求Q 点的坐标；（2）当P ､Q 两点重合时，求t 的值；（3）当Q 点最高时(0)t ≠，求抛物线解析式；（4）在抛物线L 与x 轴所围成的封闭图形的边界上，我们把横坐标是整数的点称为“可点”，直接写出23t <<时，“可点”的个数为________．【答案】（1）Q 点的坐标为()6,4-；（2）2t =或1t =-；（3）215()22y x =--+；（4）8或9或10个 【详解】（1）解：3t =时，抛物线()2:35L y x =--+，直线:6l x =，将6x =代入()235,4y x y =--+=-，∴Q 点的坐标为()6,4-； （2）∵()()22,0,2,2P t Q t t t -++，当P ､Q 两点重合时， ∴220,2t t t -++==或1t =-；（3）∵Q 点的纵坐标为22t t -++，∴当()11212t =⨯-=-时，Q 点的纵坐标最大，Q 点达到最高，∴此时，抛物线解析式为215()22y x =--+； （4）8或9或10个．【解法提示】令0y =，则x t =±∵23t <<，∴103x t <=<243x t =<∴当245x <<时，x 轴和抛物线上都有横坐标为1，2，3，4的共8个“可点”；当25x =时，x 轴上有横坐标为1，2，3，4，5的5个“可点”，抛物线上有横坐标为1，2，3，4的4个“可点”，共9个；当253x <<x 轴和抛物线上都有横坐标为1，2，3，4，5的共10个“可点”；综上所述，有8或9或10个“可点”．14．甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：说明：①汽车数量为整数．．； ②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a 元()0a >给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围．【答案】（1）48000，37；（2）33150元；（3）50150a <<【详解】解：（1）()50105030001020010-⨯+⨯-⨯⎡⎤⎣⎦=48000元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出的汽车为x 辆，由题意可得：()5050300020035001850x x x x -⨯+-=-⎡⎤⎣⎦，解得：x =37或x =-1（舍），∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；（2）设两公司的月利润分别为y 甲，y 乙，月利润差为y ，则y 甲=()50503000200x x x -⨯+-⎡⎤⎣⎦，y 乙=35001850x -，当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x ＜37，y =y 甲-y 乙=()()5050300020035001850x x x x -⨯+---⎡⎤⎣⎦=25018001850x x -++，当x =1800502--⨯=18时，利润差最大，且为18050元；当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x ≤50，y =y 乙-y 甲=()3500185050503000200x x x x ---⨯++⎡⎤⎣⎦=25018001850x x --，∵对称轴为直线x =1800502--⨯=18， 当x =50时，利润差最大，且为33150元；综上：两公司月利润差的最大值为33150元；（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则利润差为25018001850y x x ax =-++-=()25018001850x a x -+-+，对称轴为直线x =1800100a -， ∵x 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大， ∴180016.517.5100a -<<， 解得：50150a <<．15．如图①，某灌溉设备的喷头B 高出地面1.25m ，喷出的抛物线形水流在与喷头底部A 的距离为1m 处达到距地面最大高度2.25m ，试在恰当的平面直角坐标系中求出与该抛物线形水流对应的二次函数解析式．学生小龙在解答图①所示的问题时，具体解答如下：①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图②所示的平面直角坐标系；②设抛物线形水流对应的二次函数解析式为2y ax =；③根据题意可得B 点与x 轴的距离为1m ，故B 点的坐标为()1,1-；④代入2y ax =得11a -=⋅，所以1a =-；⑤所以抛物线形水流对应的二次函数解析式为2y x =-．数学老师看了小龙的解题过程说：“小龙的解答是错误的”．（1）请指出小龙的解答从第________步开始出现错误，错误的原因是什么？（2）请你写出完整的正确解答过程．【答案】（1）③；第③步开始出现错误原因是B 点坐标错误；（2）见解析【详解】解：（1）③；第③步开始出现错误原因是B 点坐标错误．（2）以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图②所示的平面直角坐标系；设抛物线形水流对应的二次函数解析式为2y ax =；根据题意可得B 点与x 轴的距离为1m ，故B 点的坐标为()1,1--；代入2y ax =，得()211a -=⋅-，所以1a =-；所以抛物线形水流对应的二次函数解析式为2y x =-．。
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二次函数的模型建立与解决实际问题二次函数是数学中重要的一个概念，也被广泛应用于实际问题的建模和解决。
本文将介绍二次函数的基本形式、模型的建立方法，以及如何利用二次函数解决实际问题。
一、二次函数的基本形式
二次函数一般可以写成以下形式：
y = ax^2 + bx + c
其中，a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
其中，a不等于0，否则称为一次函数。
二次函数的图像一般是一个抛物线。
二、二次函数的模型建立方法
建立二次函数模型的关键在于确定函数中的系数a、b、c。
常用的方法包括根据已知点建立方程、根据已知的函数值建立方程，以及根据图像特征建立方程等。
下面以几个具体的例子来说明。
例1：已知抛物线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求二次函数的模型。
由于已知两个点的坐标，可以建立两个方程：
y1 = ax1^2 + bx1 + c
y2 = ax2^2 + bx2 + c
可以解这个方程组得到a、b、c的值，从而得到二次函数的模型。
例2：已知二次函数过定点(0, c)和与正轴交于点C(x, 0)，求二次函数的模型。
由于已知两个点的坐标，可以建立两个方程：
c = a * 0^2 + b * 0 + c
0 = a * x^2 + b * x + c
可以解这个方程组得到a、b、c的值，从而得到二次函数的模型。
例3：已知抛物线的顶点为V(h, k)，求二次函数的模型。
由于已知顶点的坐标，可以将二次函数写成顶点形式：
y = a(x - h)^2 + k
其中，h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。
三、利用二次函数解决实际问题
二次函数的模型可以应用于多个实际问题的解决中，例如抛物线的轨迹问题、最值问题、运动问题等。
在抛物线的轨迹问题中，可以根据已知的条件建立二次函数模型，通过求解二次函数的顶点、判别式、根等，得到抛物线的特征，进而解决具体的问题。
在最值问题中，可以根据已知的限制条件建立二次函数模型，通过求解二次函数的最值，得到问题的最优解。
在运动问题中，可以根据已知的运动规律建立二次函数模型，通过求解二次函数的零点等，得到关于时间、位置等物理量的关系。
需要注意的是，在解决实际问题时，应对问题进行合理的假设和模型化简，以便得到更简洁的二次函数模型。
结论
二次函数作为数学中的基本概念，在实际问题的建模和解决中起着重要的作用。
通过合适的建模方法和求解技巧，可以利用二次函数模型解决各类实际问题。
掌握二次函数的模型建立和解决实际问题的方法，有助于深入理解数学知识，并能在实际中灵活应用。