八年级下2代数方程知识点及应用题

代数方程化归思想：高次化低次：降次的方法：因式分解，换元分式化整式：化整式的方法：去分母，换元无理化有理：化有理方程的方法：平方法，换元多元化一元：代入和加减消元一、一元一次方程和一元二次方程的解法1、一元二次方程的解法主要有四种：（1）直接开平方法：适用于（mx+n）2=h (h≥0)的一元二次方程。

（2）配方法：适用于所有化为一般形式后的一元二次方程。

但是，具有二次项系数为1，一次项系数为偶数特点的一元二次方程，用配方法解才较简便。

配方法是通过配方将一元二次方程化成（mx+n）2=h (h≥0)的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。

其基本步骤是：①首先在方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；②把常数项移到等式的右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④方程左边写成完全平方式，右边化简为常数；⑤利用直接开平方法解此方程用配方法解一元二次方程要注意，当二次项系数不为1时，一定要化为1，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方（3）公式法：适用于解一般形式的一元二次方程。

利用公式()042422≥--±-=ac b a ac b b x 可以解所有的一元二次方程。

注意：当b 2-4ac ≥0时，方程才有实数解；当b 2-4ac ＜0时，原方程无实数解。

（4）因式分解法：适用于方程右边是0，左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。

2、含字母系数的整式方程的解法3、特殊的高次方程的解法（1）二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n 的解法二项方程的定义：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，则这样的方程叫做二项方程。

关于x 的一元n 次二项方程的一般形式是二项方程的解法及根的情况：一般地，二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n 可变形为ab x n -= 可见，解一元n 次二项方程，可以转化为求一个已知数的n 次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。

二项方程的根的情况：对于二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n ，当n为奇数时，方程只有且只有一个实数根。

当n为偶数时，如果0<ab，则方程有两个实数根，且这两个实数根互为相反数；如果0>ab，则方程没有实数根。

（2）因式分解法解高次方程解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。

用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。

例题解下列方程：（1）2x3+7x2-4x=0 （2）x3-2x2+x-2=0解：（1）方程左边因式分解，得x(2x2+7x-4)=0 x(x+4)(2x-1)=0得x=0或x+4=0或2x-1=01注意：不要漏掉x=0这个根!∴原方程的根是x=0，x=-4，x=2（2）方程左边因式分解，得(x3-2x2)+(x-2)=0 x2(x-2)+(x-2)=0（x-2）(x2+1)=0 即x-2=0或x2+1=0解方程x-2=0得x=2 方程x2+1=0没有实数根所以，原方程的根是x=2二、可化为一元二次方程的分式方程的解法1．适宜用“去分母”的方法的分式方程解分式方程，通常是通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程来解。

解分式方程要注意验根！例题 解下列方程分析：本例是一道分式方程，通常采用去分母法。

（1）首先应观察各项分母，如能分解因式必须先分解因式，如本例x 2-17x+60可分解因式为（x-5）（x-12）.（2）分解因式后再找各分母的最小公倍式.如本例为“（x-5）（x-12）”.（3）用此整式去乘方程的每一项，便可约去分母，将分式方程转化为整式方程求解.（4）最后应检验，至此例可找到本例完整解在去分母的过程中要注意两点：（1）必须注意符号的变化规律（如本例“12-x ”及“x-12”的关系）；（2）用整式乘以方程的每一项，一项都不能漏.2.适宜用“换元法”的分式方程适宜用换元法的分式方程有两种，一是二次项及一次项相同的，采取同底换元法；二是不看系数，方程的未知项呈倒数关系的，可采取倒数换元法，下面的例题中的两个方程，分别具有这两种特点。

例题 解下列方程：（1）061512=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ；（2）112)1(31)2(82222=+-+-+x x x x x x . （1）分析：观察方程（1）可发现二次项底数及一次项未知底数相同，因而，可考虑同底换元法为宜.2）分析：观察方程（2）可发现这个方程左边两个分式中的1222-+x x x 及xx x 2122+-互为倒数，根据这个特点，可以用倒数换元法来解. 由此可以看出，解分式方程“转化”为整式方程（一元一次方程或一元二次方程）用去分母法是基础方法，解分式方程应首先考虑用基本方法求解，然后再根据分式方程特点，考虑换元法，便可达到转化的目的，找到思路.对于解题过程的每一个步骤都不能疏忽，才能正确求解.三、无理方程的解法解无理方程的基本思路是把无理方程化为有理方程，通常采用“两边平方”的方法解。

对有些特殊的无理方程，可以用“换元法”解。

解无理方程一定要验根！在初中阶段，我们主要学习下面两种无理方程的解法。

1．只有一个含未知数根式的无理方程当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使这个二次根式单独在一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。

例题 解下列方程： (1)632-=-x x （2）x x =--323解：（1）两边平方，得 4（x-3）=(x-6)2 整理，得 x 2-16x+48=0解这个方程，得 x 1=4，x 2=12经检验，x=4是增根，舍去；x=12是原方程的根。

所以，原方程的根是x=12（2）原方程可变形为3=x两边平方，得-x23-(3-x)2=2x-3整理，得x2-8x+12=0解得x1=2，x2=6经检验，x=2是原方程的根；x=6是增根，舍去。

所以，原方程的根是x=22.有两个含未知数根式的无理方程当方程中有两个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使一个二次根式单独在一边，另外一个二次根式在方程的另一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。

例题解下列方程：（1）2212=-=-x（20+-x解：（1）原方程可变形为1222+x两边平方，得-x=x2-2=2x+1整理，得x2-2x-3=0 解得x1=-1,x2=3经检验，x=-1是增根，舍去；x=3是原方程的根。

所以，原方程的根是x=33.适宜用换元法解的无理方程如果无理方程中，二次根式里面的未知项和二次根式外面的未知项相同，可以使用换元法来解。

例题解方程42223642+xxx-x=+-练习1.在方程015322=-+-x x 中，使用换元法，则原方程化为关于y 的方程是2.当m=时，关于x 的分式方程021632=++--++x x x m x 没有实数解.答案：4或-63.若关于x 的方程02=+--a x x 有实数根，则a 的取值范围是. 答案：a ≥-24.用换元法解方程051612=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 时，可设=y,这时原方程变为. 答案：056,122=+-+y y x x 5.方程0=x 的根是；x x =的根是；x x -=的根是. 答案：0；0和1；06.无理方程x a x =-+62的根为3±，则a 的值为. 答案：33±7.若a ，b 都是正实数，且b a b a +=-211，则=-22b a ab . 答案：21-8.若a+b=1，且a ∶b=2∶5,则2a-b=. 答案：71-9.当a= 时，方程022=--+x x a x 无实数根 答案：-2，110.若81=+x x ，则=-x x 1. 答案：±2 11.下列方程中既不是分式方程，也不是无理方程的有（ ）A.3211=--x x B.85322=--x xC.0132=--x x xD.x x =-353E.532=+y xF.2322-=+x x x 答案：A12．方程)3(4)3)(3(32)3(212---+=-x x x x x 的最简公分母是（ ） A.24（x+3）(x-3) B.(x+3)(x-3)2C.24（x+3）(x-3)2D.12（x+3）(x-3)2 答案：D13.观察下列方程，经分析判断得知有实数根的是（ ）A.033=-xB.03122=++xC.02)3(=++x x xD.0122=-+-x x x 答案：C14.如果018162=+-x x ，则x 4的值是（ ）A.1B.-1C.±1D.4 答案：A15.方程1142=+-x x 的解是（ ）A.0B.2C.0或2D.221±答案：B 16.设y=x2+x+1,则方程x x x x +=++2221可变形为（ ）A.y2-y-2=0B.y2+y+2=0C.y2+y-2=0D.y2-y+2=0 答案：A17.若a a a 214412-=+-，则a 的取值范围是（ ）A.全体实数B.a ≥0C.a ≥21D.A ≤21答案：D18.已知)0≠+=-S R S V R V U ，则相等关系成立的式子是（ ）A.SU SR V += B.S R SUV +=C ．S R SU V -= D.SU SRV -= 答案：B19.关于x 的方程x a x x 22+=+的根是（ ）A.x=aB.x=-aC.x 1=a ；x 2=-a 2D.x 1=a ；x 2=a 2答案：D20.一个数和它的算术平方根的4倍相等，则这个数是（） A.0 B.16 C.0或16D.4或16 答案：C 21.3353112-+=--+x x x x x x ；解 )5()1()1(3+=--+x x x x ， x x x x 51332+=+-+，经检验知：x=1是增根，x=-4是原方程的根. 22.2725=--+x x ； 23.07129122=+⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+x x x x ； 24.46112422--+-=-+-x x x x x x ； 25.11161123++-=-+-x x x x x ； 26.041312=---⎪⎭⎫⎝⎛-x xx x【应用题知识讲解】一、列方程（组）解应用题的一般步骤有:（1）审题.弄清题中哪些是已知量，哪些是未知量，已知量及未知量之间有哪些关系，有些应用题还需通过画示意图来帮助我们分析.（2）设未知数,列出相关代数式. 设未知数分为直接设未知数和间接设未知数，可根据题目的需要采取适当的设法.（3）找等量关系列方程（组）.（4）解方程（组）.（5）检验.一要检验所得的未知数的值是不是方程的解,二要检验所得的未知数的值是否符合题意.（6）写出答案.二、应用题通常可根据不同的文字表述分为如下几种类型,每种类型常用到一些基本等量关系式，归纳如下：（1）行程问题：路程=速度×时间，顺流逆流航行问题中：顺流速度=船速+水速，逆流速度=船速－水速；（2）工程问题：工作总量=工作效率×工作时间（3）百分率问题：新数=基数×(1±百分率)（4）存款利率问题：利息=本金×利率×所存期数，本息和=本金+利息=本金×（1+利率×所存期数）（5）商品利润问题：利润=成本价（或买入价）×利润率，销售价=成本价+利润=成本价×（1+利润率）【例题讲解】1.某校办工厂生产一种产品，第一季度产量为25件，通过技术革新，二、三季度产量都比前一季度增长一个相同的百分率，这样到第三季度时三个季度共生产91件产品，求增长的百分率.2.A、B两地相距900千米，甲、乙两车分别由A、B两地同时出发相向而行，它们在途中C处相遇，相遇后甲再过4小时到达B地，乙再过16小时到达A地，求A、B距离及两车速度.分析:据题意可找出以下两个等量关系:(1)相遇时两车所走的路程之和为900千米（路程关系）(2)两车从出发到相遇所经过的时间相等（时间关系）根据这两个等量关系可列出方程组.3.某项工程，若甲单独做2天后，剩下部分由乙去做，则乙还需要做的天数等于甲单独做完此项工程的天数；若乙单独做2天后，剩余的工程由甲去做，则甲还需3天完成.问甲、乙单独完成此工程各需多少天？4.甲、乙两店以同样价格进同一种货物，甲店以20%的利润加价出售，共获利12000元，乙店以10%的利润加价出售，十分畅销，在相同时间，销售量乙店比甲店多100件，因而总利润比甲店多4000元，问甲、乙两店各售出多少件？每件的售价各多少元？5．一桶内装满了纯农药液体，从中倒出5升后用水加满，然后再倒容积.分析：由于题目中给出的桶一开始装满纯农药液体，所以该桶的容积就是一开始的纯农药液体量，不妨设该桶的容积为x 升，则第一次倒出5升后，桶内的纯农药量变为（x －5）升，此时用水加满，桶内就不再是纯农药液体，纯农药的浓度变为x x 5-×100%；第二次倒出的5升中含纯农药量为5×（xx 5-×100%）. 说明:解应用题所得的解不仅要适合列出的方程，同时还要考虑符合应用题的实际.6．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月用电量不超过A 度,则这个月只要交10元用电费，如果超过了A 度，则这个月除了仍要交10元用电费外,超出部分还要按每度0.01A 元交费.(1)该厂某户居民2月份用电90度,超过了规定的A 度,则超过部分应交电费元(用A 表示)（2）下表是这户居民三、四月用电情况和交费情况：根据上表的数据,求电厂规定的A 度是多少？分析：这是一道及日常生活密切相关的图表信息类应用题,这种类型的问题是近几年中考中较热门的问题,值得同学们关注.【练习】一、选择题：（每小题4分，计20分）1.某件上衣标价为132元，若降价以9折出售，仍可获利10%，则该上衣的进货价是( )A 、108元B 、105元C 、106元D 、118元2.为庆祝建国五十三周年，国庆期间某商场的电视一律按原价九折销售（即降价10%），若要使销售总收入不变，则销售量应增加（ ）A 、81B 、91C 、101D 、1113.要在规定日期内完成一项工程，如甲队独做，刚好按期完成；如乙队独做，则要超过规定时间3天才能完成；甲乙两队合作两天，剩下的工程由乙队独做，则刚好按期完成，则求规定日期为x 天的方程是（ ）.A 、1322=+-+x x xB 、332+=x xC 、1322=--+x x xD 、132=-+x x x4.某商店销售一批皮衣,一月份的每件利润是售出价的20%,春节前后为了搞促销,二月份该商场在买入价不变的情况下,将每件皮衣的售出价调低了10%,结果销售量比一月份增加120%,则二月份的利润之比为( )A 、5：3B 、11：9C 、11： 10D 、25：275.商店购进某种商品的进价是每件8元，销售价是每件10元，现为了扩大销售量，将每件的售价降低x%出售，但要求卖出一件商品所获利润是降价前所获利润的90%，则x 等于（ ）A、10B、4C、2D、1.8二、列方程（组）解应用题：（每小题4分，计20分）1.A、B两地间的路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时相遇.相遇后，两车各以原来速度继续行驶，甲车到达B后立即原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲车和乙车的速度.2．装配车间原计划在若干天内装配出44台机床，最初3天是按计划进行的，以后为了赶进度，每天多装配2台，因此提前2天且超额4台完成了任务，问原计划每天装配多少台机床？3．已知甲、乙两种商品的原单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高2%，甲、乙两种商品的原单价各是多少元？4．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率不变，到期后本金及利息和为1320元，求这种存款方式的年利率.5.某车间接到生产一批零件的任务，车间主任把任务分配给甲、乙两个小组同时生产，开始时，甲组比乙组每天多生产10件，到两个小组都剩下720件未完成时，乙组比甲组多做了2天.两个小组在各自剩下720件时，都进行了技术革新，甲小组效率提高了20%，乙小组的效率提高了1倍，结果两个小组同时完成任务，求两个小组原来每天各生产多少件？6.制造一种产品，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品的销售价第一个月将降低20%，第二个月将比第一个月提高6%，为了使两个月后的原销售利润不变，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？7.甲、乙两地之间一部分是上坡路，其余是下坡路.某人骑自行车从甲地到乙地共需2小时40分，从乙地返回甲地少用20分钟，已知在他骑自行车走下坡路比上坡路每小时多走6千米，甲、乙两地相距36千米，求从甲地到乙地上、下坡的长度.8.A 、B 两个码头相距6千米，一只船从A 出发划船逆流而上用了1小时30分钟到达B.回来时，开始的32路程划船前进，余下的31路程让船顺水漂移到达A 地，结果来去所用时间相同.求船在静水中的划行速度和水流速度.。