数列极限的通俗理解
数列极限的概念
数列极限的概念
数列极限概念非常重要，它与微积分、级数、初等数论和拓扑学有密切联系，并在各种应用中广泛应用。
它具有非常好的数学特性，并有助于我们运用数学原理来解决实际问题。
本文将讨论数列极限概念的基本概念、特性及其应用。
首先需要了解什么是数列极限。
数列极限是一种特殊的数列，它表示一组数字点，构成一个有限或无限的数列，这些点距离无穷远的另一个数。
理论上，任何可以接受的数列都可以定义极限，并且极限值可以是有穷的，比如2或无穷大，比如π。
接下来看看数列极限的特性。
数列极限具有重要的性质，即析取法则，它规定了如何求得极限值。
另外，极限也是不等式的一个重要组成部分。
极限的结果也可以用于证明某些数列的性质，包括连续性、可积性、闭区间等。
有了关于数列极限的基本了解之后，接下来讨论它的应用。
数列极限也被广泛应用于微积分的计算，它可以用来确定一个函数的导数或积分等。
另外，数列极限也可以用来研究系统的动态变化，它可以确定系统的稳定性等。
它还可以用来分析因果关系，以及研究一些复杂的现象和现象的发展趋势等。
通过本文，我们可以清楚地了解到数列极限的概念，它的特点和应用。
有了数列极限的概念，我们就可以更好地利用它来解决具体的实际问题。
- 1 -。
数列的极限
将每天截后的木棒排成一 列
1 1 1 , , , 2 4 8
1 ⋅⋅⋅ , n 2
⋅⋅⋅ → 0
首 页 上 页 下 页 尾 页
定义 + 如果按照某一法则， 如果按照某一法则， 对每个 n ∈ N，对应着一个确定的实数 对应着一个确定的实数
xn ,
这些实数 xn 按照下标n从小到 排列得到一个序列 按照下标 从小到
假设数列 { xn } 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取
9
ε = 1 , 则存在 2
N , 使当 n > N 时 , 有
a − 1 < xn < a + 1 2 2
但因
xn
交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间 ( a − 1 , a + 1 ) 内, 因此该数列发散 . 2 2
11
ε = a , 则 ∃N ∈ N + , 当 n > N 2 a a a xn >a − = > 0 xn − a < 2 2 2
≥ 0 (≤ 0) 且 lim xn = a , n →∞
推论: 若数列 {x n }从某项起 xn 推论: 则a
≥ 0 (a ≤ 0).
(用反证法证明) 用反证法证明)
q
故
n −1
−0 <ε
n −1
lim q
n →∞
=0
首 页 上 页 下 页 尾 页
二、收敛数列的性质
定理1 极限的唯一性） 定理1（极限的唯一性）如果数列
{x n } 收敛，那么它的极限唯一. 极限唯一. 收敛，那么它的极限唯一
用反证法. 证: 用反证法. 假设 lim x n = a 及 lim xn = b , 且 n→ ∞ n →∞ 取ε
数列极限与函数极限的关系
数列极限与函数极限的关系数列和函数是数学中重要的概念，它们之间存在着密切的联系。
数列极限与函数极限是数学中的两个基本概念，它们之间有着紧密的关系。
本文将分别从数列极限和函数极限两个方面展开讨论，并阐述它们之间的关系。
一、数列极限数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列中的每个元素称为项，用{a_n}表示。
数列有着重要的性质，其中之一就是数列的极限。
数列{a_n}的极限，记作lim(n→∞)a_n = A，表示当n趋向于无穷大时，数列的项a_n无限接近于A。
其中，A称为数列的极限值。
一个数列有极限存在，意味着数列的项在某个值上趋于稳定。
通过数列的极限，我们可以推导数列的性质和规律，从而解决各种数学问题。
二、函数极限函数是数学中常见的一种概念，函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。
函数极限在微积分中有着重要的应用，是求导、求积分等运算的基础。
设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，那么就称函数f(x)在x=a处的极限存在，记作lim(x→a)f(x) = A。
其中，A称为函数的极限值。
函数极限可以帮助我们研究函数的性态以及函数在某个点上的表现，从而解决各种数学问题。
三、数列极限与函数极限是密不可分的。
事实上，数列极限是函数极限的一种特殊情况。
对于一个数列{a_n}，我们可以构造一个函数f(x)，使得当x取整数时，f(x)的值与数列{a_n}的对应项相等。
换句话说，数列{a_n}可以看作是函数f(x)在整数点处的取值。
当数列{a_n}的极限存在时，函数f(x)在整数点处的极限也存在，并且两者的极限值相等。
即lim(n→∞)a_n = lim(x→∞)f(x)。
这个关系可以帮助我们从函数的角度来理解和研究数列的性质。
通过函数的极限性质，我们可以更加深入地理解数列的收敛性和发散性。
数列的极限讲解
a = (1 n )n 1 nn n n
a λn n
二、收敛数列的性质
1、有界性
定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自 然数n , 恒有 x n M 成立, 则称数列x n 有界, 否则, 称为无界.
n 例如, 数列 x n ; 有界 数列 x n 2 n . 无界 n1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 x n , 不等式 x n a 都成立, 那末就称常数 a 是数列
x n 的极限,或者称数列x n 收敛于a ,记为
lim x n a , 或 x n a ( n ).
n
如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 1.不等式 x n a 刻划了x n与a的无限接近 ;
当n N 2时恒有 x n b ; 取N maxN 1 , N 2 ,
则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a )
x n b x n a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
目录 上一页 下一页 退 出
2. N与任意给定的正数有关.
目录 上一页 下一页 退 出
xn a N定义 : lim n 0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
; : 至少有一个或存在. 其中 : 每一个或任给的
几何解释:
a
x2 x1 x N 1
2
证 设 lim xn a ,
由定义,
取 1,
则N , 使得当n N时恒有 x n a 1,
数列极限的定义
取N
ln
1 ，当 n N 时，有
ln q
xn a qn1 0 qn1 ,
所以
lim qn1 0.
n
1 即从第10001项开始的以后所有项都满足 xn 1 104 ；
一般要使
xn
1
1 10k
,
只要n 10k ,
即：当 n 10k 时,
可使
xn
1
1 10k
,
即从第 10k 1 项开始的以后所有项都满足：
xn
1
1 10k
.
更一般，要使 xn 1 只要 n 1 即可，
1 n
（,
其中
是任意小的正数）
列是发散的.
注 定义中的正数 是一个任意小的数，不能把它和一
个很小的数混为一谈.
注 定义中的自然数N，实际上是某一项下标的序号， n N ，表示自该项以后的所有项.
四、极限的几何意义
设数列
x n n1
收敛于 a，则由定义，对任意给定的正
数 ，一定存在正整数 N，当 n N时，所有的 xn 都落在
，如果存在常数a ，使得对任意给
定的正数 (不论它多么小)，总存在自然数 N ，只要n N,
不等式
xn a
都成立，那么称常数a 是数列
x n n1
的极限，或者称数
列
xn
n1
收敛于a ，记为
lim
n
xn
a,
又记为
xn a (n ). 如果这样的常数a 不存在，就说数列没有极限，或称数
即：当
n
1
时,
可使 xn 1 ,
即从第
1
1项开始的以后所有项都满足：
数列极限的概念
a 2 a x 2 x 1 xN 1 a xN2 x 3 x
当 nN 时 ,所有 xn都 的落 (a 点 ,在 a)内 ,
只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
注
①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个 动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|xn－a|＜ε
定量地刻画了xn 与a 之间的距离任意小，即任给
例如 n l n l n n n n 1 1 1 1 , , i im m
n n l l 2 2 1 1 n n 0 0 , , i im m
n l n l n n ( n ( 1 n ) 1 n ) n 1 1 1 i 1 . i . m m
（c11(k)） 其长度组成的数列为
1
2
n
1
0.8
0.6
,
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
随着n 无限的增加, 木棒的长度无限的趋近于零。
❖数列极限的通俗定义 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近
于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收 敛a, 记为 n l x n a . i m
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xnf(n).
三、数列的极限
数列极限来自实践，它有丰富的实
际背景.我们的祖 先很早就对数列
进行了研究，早在战国时期就有了
极限的概念
例1 战国时代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用 过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也 就是说一根一尺 长的木棒，每天截去一半，这样的过 程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排 成一列, 如图所示,
理解数列与数列的极限
理解数列与数列的极限数列是数学中一个重要的概念，它是由一系列按照特定规律排列的数字所组成的序列。
而数列的极限是指当数列的项无限接近于某个特定的数时，这个数就是数列的极限。
在本文中，我们将深入探讨数列与数列的极限的概念，并介绍一些数列及其极限的例子。
一、数列的定义和性质数列可以用数学公式或递推关系来表示。
以公式表示的数列，例如等差数列和等比数列，其规律易于发现和表达。
以递推关系表示的数列，则是通过给出前一项和通项公式之间的关系来定义的。
数列有着许多重要的性质。
首先，数列可以是有界的或无界的。
当数列的项在某一范围内波动时，我们称其为有界数列。
相反，如果数列的项没有上下限，则称其为无界数列。
其次，数列可以是递增的或递减的。
递增数列是指数列的项随着索引逐渐增大，而递减数列则是指数列的项随着索引逐渐减小。
二、数列的极限数列的极限是指当数列的项无限接近于某一特定的数时，这个数被称为数列的极限。
常用符号lim表示数列的极限。
数列的极限可以是有限的，也可以是无穷的。
1. 有限极限当数列的所有项都无限接近于某一有限的数时，我们称其为有限极限。
例如，考虑等差数列1, 3, 5, 7, ...，其通项公式为a_n = 2n-1。
当n趋向于无穷大时，数列的项无限接近于无穷。
因此，该等差数列的极限为无穷。
2. 无穷极限当数列的所有项都无限逼近正无穷或负无穷时，我们称其为无穷极限。
例如，考虑递减数列1, 1/2, 1/3, 1/4, ...，其通项公式为a_n = 1/n。
当n趋向于无穷大时，数列的项无限接近于0。
因此，该数列的极限为0。
三、数列极限的计算方法计算数列的极限需要基于一些数列的收敛性定理和计算极限的方法。
以下是一些常用的计算数列极限的方法：1. 收敛数列的性质：如果一个数列是收敛的，则它满足以下性质：- 有界性：一个收敛数列是有界数列，也就是说存在一个上下限。
- 唯一性：一个收敛数列只有一个极限。
2. 递推数列的极限：对于由递推关系定义的数列，可以通过求解递推关系的极限方程来计算数列的极限。
§1.1数列的极限讲解
数列的变化趋势.
1 2 3 n ， ， ， ， ， 2 3 4 n1
1 1 1 ( 1)n1 1， ，， ， ， ， 2 3 4 n
1，，， 3 5 ， (2n 1)，
1 ( 1)n 0，， 1 0，， 1 ， ， 2
什么叫数列的极限？
lim xn a 0， N Z ， 当 n N 时，
n
有 xn a .
关键:正整数N的存在性证明. 其基本思路： 从
不等式 xn a 反解 n， 再确定 N .
注： 证明极限常用的方法是放缩法.
n a 思考题 (1)证明 lim n n 1; (2) lim 0( a 0). n n n !
此时也称数列{ xn }是收敛的，否则称其发散.
注：
(1)定义中的正整数 N 是与任意给定的 有关的， 它随着 的给定而选定， 是不唯一的. (2)定义的等价形式：
定义 设 { xn }为一数列， 如果存在常数a， 对于任 意给定的正数 (无论它多么小)， 总存在正整数 N ， 使 当 n N时， 不等式 | xn a | k
1 2 3 n ， ， ， ， ， 2 3 4 n1
1 1 1 n 1 1 1， ，， ， ， ( 1) ， 2 3 4 n
1，，， 3 5 ， (2n 1)，
1 ( 1)n 0，，，， 1 0 1 ， ， 2
数列的几何表示(一)
n1
( n 1, 2,
) 是发散的.
1 取 ， 则存在 N ， 使当n N 时， 有 2
1 1 a xn a 2 2
但因 xn 交替取值 1 与－1， 而此二数不可能同时落在长度
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列极限的通俗理解
1. 导言
数列是指从一个自然数开始，按照某一个法则依次列出的一串数字。
而数列极限是指随着数列中的数字不断增多，最终趋于一个确定的数值。
本文将从通俗易懂的角度讲解数列极限的概念以及其背后的原理。
2. 数列极限的定义
一个数列的极限定义为当数列中的数值趋近于某个确定的值时，这个确定的值即为该数列的极限。
比如，数列：1，2，3，4，5……它的极限为无穷大（∞），因为这个数列中的数值不断增大，但没有达到一个确定的值。
3. 实例分析
现在我们来看一个例子：1/2，2/3，3/4，4/5，5/6……
这个数列中的数值逐渐逼近1，那么我们可以说这个数列的极限为1。
为什么数列的极限是1呢？我们可以用小学数学知识来解释，因为这个数列中的每一个数值都是比前一个稍微大一点，而且永远比1小，所以我们可以确定这个数列的极限是1。
4. 数列极限的重要性
数列的极限在数学中是一个非常重要的概念，因为它很好地解释
了一些复杂的数学现象。
比如在微积分中，导数和积分这两个概念都
和极限息息相关。
同样，极限还能用来解决一些物理问题，如速度和
加速度问题等。
5. 数列极限的思考
数列极限和普通的数学概念不同，它需要我们更加深入地去思考。
在计算数列的极限时，我们需要明确数列中的每一个数值是否满足某
种规律，并从中寻找这个数列的极限。
这在一定程度上对我们的逻辑
思维能力提出了挑战。
6. 结语
总之，数列极限是数学中一个重要而有趣的概念，它在现代数学
和物理学中都占有着重要的地位。
在计算数列极限时，需要我们不断
去思考、尝试，这也正是数学研究的魅力所在。