专题04 恒成立问题 高二数学(人教A版2019)
专题04比较大小(解析版)
《比较大小》专项突破高考定位比较大小题型每年必考，而且以多种形式出现，可以囊括高中各部分知识，综合性极强，该题型很好的考察了学生的综合素养。
考点解析（1）特殊值法（2）单调性法（3)基本不等式法（4）放缩法（5）图像法（6）作差法（7）作商法（8）构造法（9）反证法题型解析类型一、特殊值法例1-1．已知111,,,a b a M a N a P b a b <<===，则,,M N P 的大小关系正确的为（） A ．N M P << B ．P M N <<C ．M P N <<D ．P N M <<【答案】B【分析】根据指数函数与幂函数的单调性即可求解.【详解】 解：111a b <<，01b a ∴<<<，∴指数函数x y a =在R 上单调递减，b a a a ∴>，即N M >，又幂函数a y x =在()0,∞+上单调递增，a a ab ∴>，即M P >，N M P ∴>>，故选：B.例1-2．设02x π<<，记lnsin a x =，sin b x =，sin x c e =，则比较a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a << 【答案】A【分析】 根据02x π<<，得到()sin 0,1b x =∈，再利用对数函数和指数函数的性质判断.【详解】 因为02x π<<，所以()sin 0,1b x =∈，lnsin 0a x =<，sin 1x c e =>，所以a b c <<，故选：A例1-3．已知()()2221,2,2,2,2x x xx a b c ∈===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >> 【答案】B【分析】根据指数函数的单调性，将问题转化为比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小，利用特值法即可求得结果.【详解】因为()2222x x b ==，函数2x y =是单调增函数，所以比较a ，b ，c 的大小，只需比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小即可.用特殊值法，取 1.5x =，容易知3222.25,23,22x x x ===，再对其均平方得()()()2222232.25 5.0625,29,228x x x =====， 显然()()()22232229228 2.25 5.0625x x x =>==>==， 所以222x x x >>，所以b c a >>故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数的单调性比较指数式的大小关系，属基础题.本题解题的关键在于将问题转化为比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小，再通过特殊值法即可得答案.例1-4．设0x y >>，1x y +=，若1ya x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1log xyb xy ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1log yc x =，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】C【分析】利用0x y >>，1x y +=可知01y x <<<，结合不等式性质知11x >，01xy <<，1111xy y x >>>，再利用指数函数、对数函数的性质直接求解．【详解】 0x y >>，1x y +=，01y x ∴<<<利用不等式性质可知11x>，01xy <<，1111xy y x >>>， ∴011()()1y a x x=>=，1()log 10xy b xy ==-<，111log 1log log 1y y y c x y =>>=-， ∴实数a ，b ，c 的大小关系为b c a <<．故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查指数对数的大小判断，判断方法：解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1，考查学生的转化能力，属于基础题.类型二、单调性法例2-1．设233344443,,332a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >> 【答案】C【分析】 根据指数函数43⎛⎫= ⎪⎝⎭x y 与幂函数34y x =的单调性判断,,a b c 的大小关系. 【详解】 因为函数43⎛⎫= ⎪⎝⎭x y 在R 上是增函数，所以23344433<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b <，又因为函数34y x =在(0,)+∞上是增函数，所以33444332⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以b c <，故a b c <<.故选：C练．已知 4.10.90.1445,,554a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则这三个数的大小关系为（ ） A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >> 【答案】B【分析】 利用指数函数的单调性即可比较大小.【详解】0.90.94554b -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为54xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增﹐则1b c >>， 又 4.1044155a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故b c a >>.故选：B.练．设3log πa =，32log 2b =，1ln e 4c =，则a ，b ，c 大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断可得；【详解】解：因为1ln ln10e<=，所以1ln 0e 0441<<=，即01c <<，又2333332log 2log 2log 4log log 31π==>>=，即1b a >>，所以b a c >>；故选：B类型三、简单同构法（同底、同指、同真、同分母、同分子等）例3-1．已知43a =，3log 4b =，0.13c -=，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 【答案】A【分析】 首先根据题意得到4333log 3log 4>，从而得到a b >，又根据3log 41b =>，100.313c -<==，从而得到b c >，即可得到答案.【详解】 因为4334log 33a ==， 344333=3=81464⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 所以4333log 3log 4>，即a b >.又因为33log 4log 31b =>=，100.313c -<==，即b c >，所以a b c >>.故选：A练．已知2516log 3,log 9,0.3a a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a【答案】D【分析】 利用对数运算、指数运算化简,b c ，结合对数函数的性质比较三者的大小关系.【详解】22444log 3log 3log 41b ==<=，所以01a b <<<，5555325log log log 5253log 32231010100.30.3110333a c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫====>=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以cb a >>.故选：D例3-2．已知ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】D【分析】运用比差法分别比较,a b 与,a c ，进而可得结果.【详解】 因为ln 2ln 33ln 22ln 3ln8ln 902366a b ---=-==<，所以a b <； 又ln 2ln 55ln 22ln 5ln 32ln 250251010a c ---=-==>，所以a c >， 所以c ab <<.故选：D.练．已知12019ln 20202020a =+，12020ln 20212021b =+，12021ln 20222022c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】A【分析】根据三个数的形式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，最后根据单调性进行比较大小即可.【详解】构造函数()ln 1f x x x =+-，()111x f x x x -'=-=，当01x <<时，()0f x '>， ()f x 单调递增，所以111202*********f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b c >>. 故选：A练．已知ln 22a =，1b e =，ln 33c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 【答案】C【分析】结合导数求()ln x f x x=的单调性，可判断,b a b c >>，令a c -，结合对数的运算性质可判断出c a >，从而可选出正确答案.【详解】解：设()ln x f x x =，则()21ln x f x x-'=，当0x e <<时，()0f x '>； 当x e >时，()0f x '<，则()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，则当x e =时，()max ln 1e f x e e ==，即,b a b c >>； ln 2ln 33ln 22ln 3ln8ln 902366a c ---=-==<，则c a >，所以bc a >>， 故选：C ．【点睛】思路点睛：比较几个数的大小关系时，常用的思路是：1、求出函数的单调性，结合增减性进行判断；2、利用作差法，判断两数与零的关系；3、利用作商法，判断两数与1的关系.练．已知7log 22a =，7log 33b =，7log 66c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >> 【答案】B【分析】先把a 、b 、c 化为“同构”形式，利用函数的单调性判断大小.【详解】∵log log m a a m b b =， ∵777log lo 6g 23g 2826lo a ===， 777log 3lo 6g 2g 3936lo b ===7log 66c = 因为7log y x =为增函数，所以777log 6log 8log 9<<，所以b a c >>.故选：B【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.练．已知e a =，33log e b =，5ln 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】D【分析】 设()ln x f x x =，e x ≥，利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小； 【详解】解：设()ln x f x x=，e x ≥，则()2ln 10(ln )x f x x -'=≥恒成立，∵函数()f x 在[e )+∞，上单调递增，又(e)a f =，333log e (3)ln 3b f ===，5(5)ln 5c f ==，∵e 35<<，()()()e 35f f f ∴<<，∵a b c <<，故选：D . 例3-3．已知0a b c d <<<<，若c a a c =，则d b 与b d 的大小关系为（ ）A ．d b b d <B ．d b b d =C ．d b b d >D ．不确定【分析】由c a a c =得ln ln a c a c =，构造新函数ln x y x =，利用导数讨论ln x y x =的单调性，从而判断出ln ln ln b c d b c d >>，即可 得到d bb d >.【详解】因为c a a c =，所以ln ln c a a c =，即ln ln aca c =， 设ln x y x =，则21ln x y x -'=，令21ln xy x -'==0，得x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，ln xy x =单调递增，当(,)x e ∈+∞时，0y '<，ln xy x =单调递减； 因为ln ln aca c =，0abcd <<<<，所以ae c <<， 所以ln ln ln b cdb c d >>，即d b b d >.故选：C.【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.练．若e a =π，3e b =，3c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b a c << B ．a b c << C ．c a b <<D ．b c a << 【答案】A首先利用指数函数和幂函数的单调性得到b c <和a b >，再构造函数，利用导数得到函数的单调性得到a c <，即可得到答案.【详解】因为3x y =在R 上为增函数，所以33e π<，即b c <.因为e y x =在(0,)+∞为增函数，所以3e e π>，即a b >. 设ln ()x f x x=， 21ln ()x f x x -'=，令()0f x '=，x e =. (0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 为增函数，(,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数.则()(3)f f π<，即ln ln 33ππ<，因此3ln ln3ππ<， 即3ln ln 3ππ<，33ππ<.又33e πππ<<，所以a c <.所以b a c <<.故选：A【点睛】本题主要考查指数和幂的比较大小，利用导数得到函数的单调性来比较大小为解决本题的关键，属于中档题.练．已知5ln 4a π=，4ln5b π=，45ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】C令ln ()()x f x x e x=≥，利用导数研究函数的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】 解：令ln ()()x f x x e x =≥，21ln ()x f x x -'=， 可得函数()f x 在(),e +∞上单调递减，ln 4ln 5,5ln 44ln 5,45a b ππππ∴>∴>∴>， 同理可得：44ln ln 4,4ln ln 4,4,5ln 5ln 4,4c a ππππππππ>∴>∴>∴>∴>， ∵b a c <<.故选：C.【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.类型四、中间量例4-1．若0.80.2a =，0.20.8b =，0.31.1c =，lg0.2d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ） A ．c b a d >>>B ．c a b d >>>C ．b c a d >>>D ．a c b d >>>【答案】A【分析】由指数函数、幂函数以及对数函数的单调性比较大小即可.【详解】由指数函数的单调性知：0.20.80.20.2>，0.301.1 1.11>=由幂函数的单调性知：0.20.20.80.2>，所以0.20.20.810.80.20.20c b a >>=>>=>，又由对数函数的单调性可知：lg 0.2lg10d =<=综上有：c b a d >>>.故选：A例4-2．已知1253a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小顺序是（ ） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >> 【答案】D【分析】 由11225335-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 4>，333log 3log 7log 9<<判断.【详解】 因为112253135a -⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 42b =>=，3331log 3log 7log 92c =<=<=，所以b c a >>故选：D练．已知a =b =2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b c a >>【答案】C【分析】根据指数运算与对数的性质，求得2a >，2b <，12c <<，再结合22log log 3b c ==，利用对数函数的单调性，即可求解.【详解】根据指数运算与对数运算的性质，可得122a =>=，2b =<，2log 3(1,2)c =∈，设22log log 3b c =，因为函数2log y x =为增函数，由于8523>，所以b c >，所以a b c >>.故选：C.练．已知0.352,ln 2,2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b >> 【答案】B【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合指数函数和对数函数的性质进行判断即可.【详解】由51log 2log log 522a a a =⇒==<，由112b >>>，0.312c =>，所以c b a >>， 故选：B类型五、放缩法例5-1．若1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2x b =，ln 2x c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >>【答案】D【分析】 先利用ln y x =的单调性求出a 值范围；再利用2x y =的单调性比较b 和c 的大小而得解.【详解】因1(,1)x e -∈，且函数ln y x =是增函数，于是10a -<<；函数2x y =是增函数，1ln 0ln 1x x -<<<-<，而ln ln 1()22x x -=，则ln 11()22x <<，ln 1212x <<，即1122c b <<<<， 综上得：b c a >>故选：D练．设02x π<<，记lnsin a x =，sin b x =，sin x c e =，则比较a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a << 【答案】A【分析】 根据02x π<<，得到()sin 0,1b x =∈，再利用对数函数和指数函数的性质判断.【详解】 因为02x π<<，所以()sin 0,1b x =∈，lnsin 0a x =<，sin 1x c e =>，所以a b c <<，故选：A练．已知sin3a =，3log sin 3b =，sin33c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【分析】利用指数函数、对数函数以及三角函数值即可得出选项.【详解】 因为32ππ<<，所以()sin30,1a =∈，33log sin 3log 10b =<=，sin30331c =>=，所以c a b >>.故选：C练．已知0.32=a ， 1.12.3b =，3log 6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】C【分析】根据指数函数，对数函数的单调性来判断数值大小.【详解】由对数及指数的单调性知：0.30.522 1.414a =<=， 1.12.3 2.3b =>，332log 6log 1.5c >=>，所以a ，b ，c 的大小关系为a c b <<.故选：C.类型六、比较法例6-1作差法．设2log 3a =，32log 2b =，32log 2c =-，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】A【分析】 先通过变形3339log 9log 2log 2c =-=，而332log 2log 4b ==，故可判断,b c 大小，再作差利用基本不等式有23log 3log 2220a c -=+->=即可得解.【详解】 由33333392log 2log 9log 2log log 42log 22c b =-=-=>==，23log 3log 222220a c -=+->>-=，所以a c >，所以a c b >>，故选：A.【点睛】本题考查了对数函数的比较大小，对数函数的比较大小是高考中重点考查对象，考查了利用中间量以及作差法比较大小，考查了变形转化以及对数的运算能力，比较大小有以下几种方法：（1）利用函数单调性比较大小；（2）中间量法比较大小；（3）作差法、作商法比较大小.例6-2作商法．已知0.75a =，52log 2=b ，21log 32=c ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】A【分析】 根据对数的运算法则及性质比较,b c 与a 的大小，利用作商法比较,b c 的大小.【详解】 由30.754a ==, 因为3444(5)1254256=<=，故3454<，所以3455log 5log 4a b =<=，因为3444(2)89=<=，故342<所以3422log 2log a c =<= 因为58165>，故85165>，因为5832<，故8532<， 所以8555558225222log 24log 2log 16log 511log 3log 3log 3log 22b c ===>=， 所以b c >，故a c b <<，故选：A【点睛】关键点点睛：根据对数的运算性质将a 写成对数345log 5，342log 2，利用函数的单调性比较真数大小即可，利用作商及放缩的方法可得,b c 的大小，属于较难题目. 练．已知1ln 23a =，24log 25b =，25log 26c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >> 【答案】D【分析】 先由题，易知1ln 231a =<，而2425log 251,?log 261b c =>=>，再将b ，c 作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.【详解】 因为1ln 02<，故1ln 231a =< 2425log 251,?log 261b c =>=>2225252525252524log 26log 26log 241log 26log 24()[log (251)(251)]1log 2524c b +==⋅<=+⋅-< 所以c b < ，即b c a >>故选D【点睛】本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合，解题的关键是在于运算的技巧以及性质，属于中档偏上题型.类型七、图像法例7-1．若()122211log ,0,222a b c a b b c -⎛⎫⎛⎫==>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B【分析】 分别画出函数1221(),log ,2x y y x y x ===的图象，由图象交点坐标，即可判断得出,,a b c 的大小关系.【详解】分别画出函数1221(),log ,2x y y x y x ===的图象，如图所示， 由图象，可得c b a <<.故选：B.练．若44log x x -=，144log y y =，44log 0z z -+=，则实数x ，y ，z 的大小关系为（ ） A ．x y z <<B ．z y x <<C ．z x y <<D ．y z x <<【答案】D【分析】 利用指数与对数函数的单调性，确定各方程根的范围，进而比较它们的大小.【详解】对于44log x x -=，由()4x f x -=与4()log g x x =有交点，()f x 过一、二象限，()g x 过一、四象限，∵()f x 与()g x 的交点必在第一象限且()f x 单调递减、()g x 单调递增，而1(1)(1)04f g =>=，11(2)(2)162f g =<=，可得()1,2x ∈，对于144log y y =，由()4y m y =与14()log n y y =有交点，()m y 过一、二象限，()n y 过一、四象限，∵()m y 与()n y 的交点必在第一象限且()m y 单调递增、()n y 单调递减，而(0)1m =，0lim ()y n y +→→+∞，111()2()222m n =>=，可得10,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 对于44log 0z z -+=，显然有12z =， ∵x ，y ，z 的大小关系为y z x <<，故选：D.例7-2．已知,,(0,)a b c ∈+∞，且ln 1a a =-，ln 1b b =，e 1c c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】C【分析】由题意可得ln 1a a =-，1ln b b =，1e c c =.依次作出e x y =，ln y x =，1y x =-，1y x =在(0,)+∞上的图像，然后根据函数图像可求得答案【详解】ln 1a a =-，1ln b b =，1e c c =.依次作出e x y =，ln y x =，1y x =-，1y x =在(0,)+∞上的图像，如图所示.由图像可知01c <<，1a =，1b >，所以c a b <<.故选：C.练．正实数a ，b ，c 满足22a a -+=，33b b +=，4log 4c c +=，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】A【分析】将22a a -+=，33b b +=，4log 4c c +=，转化为函数13x y =+，122x y =+，4log y x =与4y x =-的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解.【详解】4log 4c c +=4log 4c c ⇒=-，即c 为函数4log y x =与4y x =-的图象交点的横坐标，33b b +=134b b ⇒+=-，即b 为函数13x y =+与4y x =-的图象交点的横坐标，22a a -+=1242a a ⇒+=-，即a 为函数122x y =+与4y x =-的图象交点的横坐标， 在同一坐标系中画出图象，如图所示：由图象可知：b a c <<.故选：A.练．已知5630x y ==，log x z y =，则x ，y ，z 的大小关系为（ ）A ．x y z <<B ．z y x <<C ．y x z <<D ．z x y <<【答案】B【分析】首先对5630x y ==取对数，可比较x ，y 的大小关系，利用对数的运算判断,x y 与1的大小关系，即可利用单调性判断z 的范围，进而可得出x ，y ，z 的大小关系.【详解】对5630x y ==两边同时取常用对数可得lg 5lg 6lg 30x y ==, 所以lg 30lg 5x =，lg 30lg 6y =， 因为lg y x =在()0,∞+单调递增，所以0lg5lg6<<，所以lg30lg30lg5lg 6>，即x y >， 又因为5lg30lg5lg 61log 61lg5lg5x +===+>， 6lg30lg5lg 61log 51lg 6lg 6y +===+>， 所以0log log 1x x z y x <=<=，所以z y x <<.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是取对数判断x ，y 的大小关系，判断x 与1的关系利用单调性得出z 的范围.类型八、方程中隐含条件例8-1．已知正数x ，y ，z 满足ln z x y ye zx ==，则x ，y ，z 的大小关系为（ ） A ．x y z >>B ．y x z >>C ．x z y >>D ．以上均不对【答案】A【分析】将z 看成常数，然后根据题意表示出,x y ，再作差比较出大小即可【详解】解：由ln z x y ye zx ==，得ln x y zx =，则ln z y =，得z y e =， 所以z ze e zx ⋅=，所以2ze x z =，令()(0)z f z e z z =->，则()10z f z e -'=>，所以函数()f z 在(0,)+∞上单调递增，所以0()(0)01f z f e >=-=，所以z e z >，即y z > 所以22()0z z z z z z e e ze e e z x y e z z z---=-==>， 所以x y >，综上x y z >>，故选：A练．设正实数a ，b ，c ，满足2ln 2a c e b b ce ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】B【分析】通过构造函数()(0)x f x xe x =>，利用导数判断函数的单调性，并判断c 的范围，通过变形得c b e =，得,b c 的大小关系，再直接解方程求a 的范围，最后三个数比较大小.【详解】设()(0)x f x xe x =>，0x >时，()()10x f x x e '=+>恒成立，()f x 在(0,)+∞单调递增，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x e ⎫∈⎪⎝⎭，2<，所以1,12c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ln ln ln b c b b b e ce =⋅=，故ln b c =，即)c b e e =∈，而ln 2122a =<，所以a c b <<． 故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()(0)x f x xe x =>，并且根据指对互化ln ln ln b b b b e =⋅，这样根据单调性可得ln b c =.练．设x ，y ，z 为正实数，且235log log log 1x y z ==>，则2x ，3y ，5z 的大小关系是（ ） A ．532z y x << B ．235x y z << C ．325y x z << D ．235x y z == 【答案】B【分析】,,x y z 为正实数，且235log log log 1x y z k ===>，可得：22,33,55k k k x y z =>=>=>,然后变形，构造函数，利用幂函数的单调性即可得出．【详解】,,x y z 为正实数，且235log log log 1x y z k ===>，可得22,33,55k k k x y z =>=>=>． ∵11121,31,51235k k k x y z ---=>=>=>， 令()1k f x x -=，又()f x 在()0+∞，上单调递增， ∵()()()532f f f >>，即532z y x >>， 故选：B ．【点睛】 关键点睛：本题的关键是指数式与对数式的互化、构造幂函数并运用其的单调性． 例8-2．已知a 、b 、c 均为不等于1的正实数，且ln ln a c b =，ln ln c b a =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A【分析】分析可知，ln a 、ln b 、ln c 同号，分a 、b 、()0,1c ∈和a 、b 、()1,c ∈+∞两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】ln ln a c b =，ln ln c b a =，且a 、b 、c 均为不等于1的正实数， 则ln a 与ln b 同号，ln c 与ln a 同号，从而ln a 、ln b 、ln c 同号.∵若a 、b 、()0,1c ∈，则ln a 、ln b 、ln c 均为负数，ln ln ln a c b b =>，可得a b >，ln ln ln c b a a =>，可得c a >，此时c a b >>；∵若a 、b 、()1,c ∈+∞，则ln a 、ln b 、ln c 均为正数，ln ln ln a c b b =>，可得a b >，ln ln ln c b a a =>，可得c a >，此时c a b >>.综上所述，c a b >>.故选：A.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.练．已知大于1的三个实数,,a b c 满足2(lg )2lg lg lg lg 0a a b b c -+=，则,,a b c 的大小关系不可能是（ ）A ．a b c ==B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >> 【答案】D【分析】令()22lg lg lg f x x x b b c =-+，则lg a 为()f x 的零点，根据判别式可得b c ≥，就b c =和b c >分类讨论后可得,,a b c 的大小关系.【详解】令()22lg lg lg f x x x b b c =-+，则lg a 为()f x 的零点且该函数图象的对称轴为lg x b =，故24lg 4lg lg 0b b c ∆=-≥，因为1,1b c >>，故lg 0,lg 0b c >>，所以lg lg b c ≥即b c ≥.又()()()()22lg lg lg lg lg lg lg ,lg lg lg lg lg lg lg f b b c b b c b f c c b c c c b =-=-=-=-，若b c =，则()()lg lg 0f b f c ==，故lg lg lg a b c ==即b c =.若b c >，则()()lg 0,lg 0f b f c <<，所以lg lg a c <或者lg lg b a <，即a c b <<或a b c >>.故选：D.【点睛】本题考查二次函数的零点，注意先根据方程的形式构建二次函数，再利用零点存在定理来讨论，注意合理分类，本题为中档题.例8-3．已知22,32a b a b +=+=，则lg b a 与lg a b 的大小关系是（ ）A ．lg lg b a a b <B ．lg lg b a a b =C ．lg lg b a a b >D ．不确定【答案】C【分析】 令()()2,3x x f x x g x x =+=+，结合题意可知01b a <<<，进而有b b a a b b >>，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令()()2,3x x f x x g x x =+=+，则当0x >时，()()g x f x >，当0x <时，()()g x f x <；由22,32a b a b +=+=，得()()2,2f a g b ==考虑到()()2f a g b ==得01b a <<<，b b a a b b ∴>>由b a a b >，得()()lg lg b aab >， 即lg lg b a a b >故选：C练．设实数a ，b 满足51118a b a +=，7915a b b +=，则a ，b 的大小关系为（ ） A ．a b <B ．a b =C ．a b >D ．无法比较 【答案】A【分析】从选项A 或C 出发，分析其对立面，推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.【详解】假设a b ≥，则1111a b ≥，77a b ≥，由51118a b a +=得51151118()()11818a a a a a +≥⇒+≥， 因函数511()()()1818x x f x =+在R 上单调递减，又51116(1)1181818f =+=<，则()1(1)f a f ≥>，所以1a <；由7915a b a +=得797915()()11515b b b b b +≤⇒+≤， 因函数79()()()1515x x g x =+在R 上单调递减，又7916(1)1151515g =+=>，则()1(1)g b g ≤<，所以1b >；即有1a b <<与假设a b ≥矛盾，所以a b <，故选：A【点睛】思路点睛：应用反证法解决问题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．巩固训练（精选以一敌百）1．（多选）（2022·全国·高三期中）已知a ，b 为正数，且1a b -=，则（ ） A ．221a b +<B ．331a b ->C ．222log log 2-<a bD ．211b b a+> 【答案】BD【详解】由于1a b -=，取1,2b a ==，代入四个选项对于A ：221a b +<，左边2251a b +=>故A 错误；对于C ，222log log 2a b -=，故C 错误2．（多选）（2022·江苏·南京市第一中学高三期中）已知实数,,x y z 满足ln 1y z x z e ⋅=⋅=.则下列关系式中可能成立的是（ ）A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >> 【答案】ABC 设1ln y x e k z ===，0k >，则k x e =，ln y k =，1z k=，画出函数图象，如图所示：当1k x =时，z x y >>；当2k x =时，x z y >>；当3k x =时，x y z >>； 故选：ABC。
专题04 基本不等式及其应用 (原卷版)
专题04基本不等式及其应用【考点预测】1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号；基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号.注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.【方法技巧与总结】1.几个重要的不等式（1）()()()2000,0.a a R a a a R ≥∈≥≥≥∈（2）基本不等式：如果,ab R +∈，则2a b+≥(当且仅当“a b =”时取“”).特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）.（3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)2,112a ba b R a b++≤≤≤∈+即调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件).2.均值定理已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值),则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.3.常见求最值模型模型一：)0,0(2>>≥+n m mn xnmx ，当且仅当mnx =时等号成立；模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当mna x =-时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当acx =时等号成立；模型四：0,0,0(421)()(22m n x n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成立.【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．下列不等式恒成立的是（）A．12x x+≥B．a b +≥C．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D．222a b ab+≥例2．已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（）A．2x y+>B．2x y y x+>C．2xyx y<+D．12xy xy +>例3．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A．0,0)2a ba b +≥>>B．220,0)a b a b +≥>>C．20,0)aba b a b≤>>+D．0,0)2a b a b +≤>>例4．下列不等式中一定成立的是（）A．()2111x x >∈+R B．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D．()212x x x +≥∈R 例5．（多选题）下列函数中最小值为6的是（）A．9ln ln y x x=+B．36sin 2sin y x x=+C．233xxy -=+D．2y例6．（多选题）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（）A．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B．()2221a b a b +≥++C．22b a a ba b+≥+D．22a b a b+≥+【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例7．若实数a ，b 满足1a b +=，则ab 的最大值为（）A．2B．1C．12D．14例8．若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（）A．18B．27C．54D．90例9．已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（）A．4-B．4C．8D．8-例10．函数()1111642xx x f x -=++的最小值为（）A．4B．C．3D．例11．（多选题）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（）A．ab 的最小值是1B．ab 的最大值是1C．11a b+的最小值是94D．11a b+的最大值是92例12．若,R a b +∈，且11b a +=，则2b a的最大值是_______________.例13．已知正数x 、y 满足124x y +=，则yx的最小值是___________.【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例14．若11x -<<，则22222x x y x -+=-有（）A．最大值1-B．最小值1-C．最大值1D．最小值1例15．函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（）A．4B．3-C．D．3+例16．若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（）A．3B．52C．3D．3+例17．若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.例18．已知1xy =，且102y <<，则22416x y x y -+最大值为______．例19．（1）求函数()411y x x x =+>-的最小值及此时x 的值；（2）已知函数25102x x y x ++=+，()2,x ∈-+∞，求此函数的最小值及此时x 的值.【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2．注意验证取得条件．题型四：消参法求最值例20．若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-例21．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A．0B．3C．94D．1例22．已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）A．2B．2-C．2-D．6例23．若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______．例24．若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________.例25．若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________．【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！题型五：双换元求最值例26．设0a >，0b >，若221a b +=2ab -的最大值为（）A．3B．C．1D．2例27．若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a b a b c+++的最小值为______．例28．已知x＋y＝1，y＞0，x＞0，则121x x y ++的最小值为____________．例29．已知0a >，0b >，21a b +=，则11343a b a b+++取到最小值为________．例30．若,x y R +∈，且21x y +=，则22212x y x y +++的最小值为_________例31．若正实数x ，y 满足22x y +=，则224122x y y x +++的最小值是__________．【方法技巧与总结】若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．1．代换变量，统一变量再处理．2．注意验证取得条件．题型六：“1”的代换求最值例32．已知正实数x ，y 满足211x y+=，则436xy x y --的最小值为（）A．2B．4C．8D．12例33．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20132013S =，则2201211a a +的最小值为（）A．1B．2C．4D．8例34．若实数a ，b 满足123,12a b a b ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，则2211a b a b +--的最小值为（）A．6B．4C．3D．2例35．已知20,0,61a b a b >>+=，则162b a+的最小值为（）A．13B．19C．21D．27例36．已知0a >，0b >且1a b +=，则1811a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是()A．49B．50C．51D．52例37．已知正数a ，b 满足0ab a b --=，则4a b +的最小值为___________.例38．设0x >，0y >，1x y +=，则212x xy+的最小值为______．例39．函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________.【方法技巧与总结】1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．1．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．2．注意验证取得条件．题型七：齐次化求最值例40．已知0,0a b >>，满足222232390,a b a b --+=则32b aa b+的最小值是（）A．B．C．D．例41．已知函数())f x a b =<的定义域为R ，则24b aa b c-++的最大值是___________.例42．若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A．12B．14C．2D．2例43．已知三次函数32()()f x ax bx cx d a b =+++<在R 上单调递增，则a b cb a ++-最小值为（）例44．已知0a >，0b >，且21a b +=，则12bb a b++的最小值为____________.例45．已知x ，y ，z 为正实数，且240x y z +-=，则2xyz 的最大值为______．例46．若0,0x y >>且224log 3log 9log 81x y+=，则433x y x y++的最小值为___________.【方法技巧与总结】齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．题型八：利用基本不等式证明不等式例47．已知0a >，0b >．(1)若21a b +=，证明：2233348a b ≤+<；(2)若2a b ab +=，证明：410a b ab ++≥+例48．设函数()124f x x x =+--．(1)求不等式()23f x x ≥-的解集．(2)若()f x 的最大值为222a b c ++，证明：3ab bc ca ++≤．例49．已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=．(1)求abc 的最大值；(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．例50．设a ，b ，c 为正实数，且1a b c ++=.证明：(1)11192a b b c c a ++≥+++；(2)33332ab bc ca abca b c ++-++≥.例51．已知a ，b ，c 都是正数.(1)证明：a b c ++(2)若3a b c ++=，证明：11132a b b c c a ++≥+++.【方法技巧与总结】类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明.题型九：利用基本不等式解决实际问题例51．设计用232m 的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m ，则车厢的最大容积是（）A．m3B．16m3m3D．14m3例53．如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.例54．根据不同的程序，3D 打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空3cm 的球挖去一个三棱锥P ABC -后得到的几何体，其中PA AB ⊥，BC ⊥平面PAB ，1BC cm =．不考虑打印损耗，求当用料最省时，AC 的长．例55．为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t(t≥0)万元满足421kx t =-+(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数；(2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？【方法技巧与总结】1．理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．2．注意定义域，验证取得条件．3.注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．【过关测试】一、单选题1．已知点E 是ABC 的中线BD 上的一点（不包括端点）．若AE xAB y AC =+ ，则21x y+的最小值为（）A．4B．6C．8D．92．已知,a b 为正实数，且196a b a b+=++，则a b +的最小值为（）A．6B．8C．9D．123．若0a >，0b >，()lg lg lg 3a b a b +=+，则a b +的最小值为（）A．B．4+C．6D．3+4．已知1e ，2e 为平面的单位向量，且其夹角为2π3，若)122,xe ye x y +=∈R ，则2x y +的最大值为（）A．B．C．D．-5．设0a >，1b >，若2a b +=，则411a b +-的最小值为（）A．6B．9C．D．186．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（）A．372a a +≥B．462a a +≥C．76210a a -+≥D．191911a a a a +=+7．已知a ，R b ∈，满足e e 1a b +=，则下列错误的是（）A．2ln 2a b +≤-B．e <0a b +C．1≥ab D．()222e e 1a b+≥8．已知a ，()0,b ∈+∞，且22347a ab b ++=，则2+a b 的最大值为（）A．2B．3C．D．二、多选题9．已知,x y +∈R ，x y m +=（m 是常数），则下列结论正确的是（）A．若141x y ++的最小值为1m +，则3m =B．若(1)x y +的最大值为4，则3m =的最大值为m ，则2m =D．若4m =，则29y x+的最小值为210．已知220,0,2a b a b >>+=，则以下不等式成立的是（）A．2a b +>B．332a b +≥C．114a b b a ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D．112a b +≥11．设a ，b 为两个正数，定义a ，b 的算术平均数为()2a bA a b +=,，几何平均数为()G a b ,纪五十年代，美国数学家D．H.Lehmer 提出了“Lehmer 均值”，即()11,p pp p p a b L a b a b --+=+，其中p 为有理数．下列结论正确的是（）A．()()0.51,,L a b L a b ≤B．()()0,,L a b G a b ≤C．()()2,,L a b A a b ≤D．()()1,,n n L a b L a b +≤12．已知函数2()log x f x =，且正实数a ，b 满足()()1f a f b +=，则下列结论可能成立的是（）A．2a b =B．1122a b --+的最大值为32C．2ab =D．2211a b +的最小值为三、填空题13．已知正实数x ，y 满足12e (2)e yxx y -=+，则22y xy x y++的最小值为__________．14．已知2x >，则42x x +-的最小值是______．15．已知0a >，0b >，且2233a b ab a b +=+，则3a b +的最小值为___________.16．已知正实数x ，y 满足：222xx xy y ++=，则232x y y++的最小值为_________．四、解答题17．已知函数()263f x x x =++-．(1)解不等式()10f x ≥的解集；(2)设()()3g x f x x =-+到的最小值为t ，若正数m ，n 满足2m n t +=，求11211m n +++的最小值．18．已知函数()24f x x x =-+-，已知不等式()()0f x kx k ≥>恒成立.(1)求k 的最大值0k ；(2)设0a >，0b >，求证：1223a b a b a b k +≥++.19．设函数()||()f x x a a =-∈R ．(1)若关于x 的不等式()(2)4+-≥f x f x 恒成立，求a 的取值范围；(2)在平面直角坐标系xOy 中，()()1+≤f x f y 所围成的区域面积为S ，若正数b ，c ，d 满足()()++=b d c d S ，求23++b c d 的最小值．20．设函数()142a f x x x x a=-++-()0a >(1)当1a =时，求不等式()52f x ≤的解集；(2)已知不等式()1f x x a ≥+的解集为{}1xx ≤∣，0m >，0n >，m n a +=，求28m n+的最小值.21．设a ，b 为正数，且1a b +=．证明：(1)2≤：(2)()()222a b b a a ++>．22．设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=．(1)求14a b c++的最小值；。
专题04 二次函数(广东专版)-2019年中考真题数学试题分项汇编(解析版)
专题04 二次函数1．（2019•深圳）已知y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则y=ax+b和ycx=的图象为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，可得a<0，b>0，c<0，∴y=ax+b过第一、二、四象限，双曲线ycx=在第二、四象限，∴选项C是正确的．故选C．【名师点睛】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．2．（2019·广东初三中考模拟）抛物线y=（x-4）2-5的顶点坐标和开口方向分别是A．（4，-5），开口向上B．（4，-5），开口向下C．（-4，-5），开口向上D．（-4，-5），开口向下【答案】A【解析】由y=（x-4）2-5，得开口方向向上，顶点坐标（4，-5）．故选A．【名师点睛】本题考查了二次函数的性质，利用y=a（x-h）2+k，a>0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a<0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．3．（2019·广东初三中考模拟）将抛物线()213y x =-+向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是A ．()22y x =-B ．()226y x =-+C ．2y x =D ．26y x =+ 【答案】C【解析】∵向左平移1个单位，再向下平移3个单位，∴y =（x -1+1）2+3-3．故得到的抛物线的函数关系式为：y =x 2．故选C ．【名师点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．4．（2019·广州大学附属中学初三中考模拟）在二次函数221y x x =-++的图象中，若y 随着x 的增大而增大，则x 的取值范围是A ．x <1B ．x >1C ．x <2D ．x >-1【答案】A【解析】∵a =-1<0，∴二次函数图象开口向下，∵对称轴是直线x =1，∴当x <1时，函数图象在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大．故选A ．【名师点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是根据a 的取值判断图象的开口方向，并计算出二次函数的对称轴，根据图象性质判定x 的取值范围．5．（2019·广东初三中考模拟）二次函数y =x 2+bx 的对称轴为直线x =2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx -t =0（t 为实数）在-1<x <4的范围内有解，则t 的取值范围是A ．0<t <5B ．-4≤t <5C ．-4≤t <0D ．t ≥-4【答案】B【解析】∵对称轴为直线x =2，∴b =-4，∴y=x2-4x，关于x的一元二次方程x2+bx-t=0的解可以看成二次函数y=x2-4x与直线y=t的交点，∵-1<x<4，∴二次函数y的取值为-4≤y<5，∴-4≤t<5，故选B．【名师点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．6．（2019·广东初三中考模拟）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax-b和二次函数y=-ax2-b的大致图象是A．B．C．D．【答案】A【解析】A、由一次函数y=ax-b的图象可得：a>0，-b>0，此时二次函数y=-ax2-b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标-b大于零，故A正确；B、由一次函数y=ax-b的图象可得：a<0，-b>0，此时二次函数y=-ax2-b的图象应该开口向上，顶点的纵坐标-b大于零，故B错误；C、由一次函数y=ax-b的图象可得：a<0，-b>0，此时二次函数y=-ax2-b的图象应该开口向上，故C错误；D、由一次函数y=ax-b的图象可得：a>0，-b>0，此时抛物线y=-ax2-b的顶点的纵坐标大于零，故D错误，故选A．【名师点睛】本题考查了二次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．7．（2019·广东初三中考模拟）二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图，则下列说法：①对称轴是直线x =－1；②c =3：③ab >0；④当x <1时，y >0；⑤方程20ax bx c ++=的根是13x =-和21x =，正确的有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【解析】由图象可知对称轴为直线x =-1，故①正确，∵抛物线与y 轴的交点为（0，3），∴c =3，故②正确，∵对称轴x =-2b a=-1， ∴ab >0，故③正确，∵对称轴为x =-1，抛物线与x 轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点为（-3，0），∴当-3<x <1时，y >0，故④错误，∴方程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1=-3和x 2=1，故⑤正确，综上所述：正确的结论有①②③⑤共4个，故选C ．【名师点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．8．（2019·广东初三中考模拟）如图，二次函数y =ax 2+bx +c 图象的对称轴是直线x =1，与x 轴一个交点A （3，0），则与x 轴的另一个交点坐标是A ．（0，12-） B ．（12-，0） C ．（0，-1）D ．（-1，0）【答案】D 【解析】∵点A 的坐标为（3，0），∴点A 关于x =1的对称点的坐标为（-1，0）．故选D ．【名师点睛】本题主要考查的是抛物线与x 轴的交点，利用抛物线的对称性求得点A 的对称点的坐标是解题的关键．9．（广东省广州市天河区2019届九年级第一次诊断性检测数学试题）下列关于函数y =x 2-6x +10的四个命题：①当x =0时，y 有最小值10；②n 为任意实数，x =3+n 时的函数值大于x =3-n 时的函数值；③若n >3，且n 是整数，当n ≤x ≤n +1时，y 的整数值有（2n -4）个；④若函数图象过点（x 0，m ）和（x 0-1，n ），则m <n ，其中真命题的个数是A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】B【解析】①y =（x -3）2+1，所以函数的最小值是当x =3时，y 有最小值1，故①错误；②n 为任意实数，x =3+n 与x =3-n 关于对称轴x =3对称，所以函数值相等，故②错误；③若n >3，且n 是整数，当x =n 时，y =（n -3）2+1，当x =n +1时，y =（n -2）2+1，相减得2n -5，所以整数值有（2n -4）个，故③正确；④函数开口向上，所以距离对称轴越近函数值越小，若m <n ，所以（x 0，m ）更靠近对称轴x =3，在不能确定x 0的值时，该项错误，故只有一个正确的真命题，故选B ．【名师点睛】本题考查了命题真假的判断，二次函数的性质，属于简单题，熟悉二次函数的性质是解题关键．10．（2019·广东初三中考模拟）已知抛物线y =ax 2-3ax -4a （a ≠0）．（1）直接写出该抛物线的对称轴．（2）试说明无论a 为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．【解析】（1）该抛物线的对称轴为x =-32a a -=32． （2）234y ax ax a =--可化为()()14y a x x =+-，当()()140x x +-=，即1x =-或4时，0y =，∴抛物线一定经过点()1,0-，()4,0．【名师点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键时了解抛物线的对称轴方程，难度不大．11．（2019·汕头市潮南区阳光实验学校初三中考模拟）某纪念品专卖店上周批发买进100件A 纪念品和300件B 纪念品，花费9600元；本周批发买进200件A 纪念品和100件B 纪念品，花费6200元． （1）求每件A 纪念品和B 纪念品的批发价各为多少元？（2）经市场调研，当A 纪念品每件的销售价为30元时，每周可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每周的销售数量将减少10件．当每件的销售价a 为多少时，该纪态品专卖店销售A 纪念品每周获得的利润W 最大？并求出最大利润．【解析】（1）设每件A 纪念品的批发价为x 元，B 纪念品的批发价的为y 元，依题意10030096002001006200x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得1826x y =⎧⎨=⎩， 即每件A 纪念品的批发价为18元，B 纪念品的批发价的为26元．（2）由（1）知每件A 纪念品的批发价为18元，依题意得W =（a -18+a -30）[200-10（a -30）]=（2a -48）（500-10a ）=-20a 2+1480a -24000整理得W =-20（a -37）2+3380∵-20<0∴W 有最大值，即当a =27时，有最大值3380，即当每件的销售价a 为37元时，该纪态品专卖店销售A 纪念品每周获得的利润W 最大为3380元．【名师点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准各量间的关系，正确列出方程组或解析式是解题的关键．12．（2019·广东初三中考模拟）在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x （x ≥60）元，销售量为y套．[参考公式：抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标是（2b a -，244ac b a -）]． （1）求出y 与x 的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？【解析】（1）y =240-60205x -⨯， ∴y =-4x +480（x ≥60）．（2）根据题意可得，x （-4x +480）=14000，解得，x 1=70，x 2=50（不合题意舍去），∴当销售价为70元时，月销售额为14000元．（3）设一个月内获得的利润为w 元，根据题意，得w =（x -40）（-4x +480），=-4x 2+640x -19200，=-4（x -80）2+6400，∵-4<0，∴当x =80时，w 的最大值为6400，∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值，弄清题意，找准各量间的关系并熟练相关的公式是解题的关键．。
高考数学专题《利用导数研究不等式恒成立问题 》
第04讲利用导数研究不等式恒成立问题(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：分离变量法高频考点二：分类讨论法高频考点三：等价转化法第四部分：高考真题感悟第五部分：第04讲利用导数研究不等式恒成立问题（精练）1、分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量x 的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：若()a f x >)对x D ∈恒成立，则只需max ()a f x >；若()a f x <对x D ∈恒成立，则只需min ()a f x <．③求最值.2、分类讨论法如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(0a >，0∆<或0a <，0∆<)求解．3、等价转化法当遇到()()f x g x ≥型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数()()()F x f x g x =-或者“右减左”的函数()()()H x g x f x =-，进而只需满足min ()0F x ≥，或者max ()0H x ≤，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.1．（2022·全国·高二）设a 为正实数，函数322()34f x x ax a =-+，若(,2)x a a ∀∈，()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．(0,2]D ．2(0,)32．（2022·全国·高二）若不等式4342x x a ->-对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．27a <-B ．25a >-C ．29a ≥D ．29a >3．（2022·全国·高二）已知函数()22f x ax x a =-+，对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(],0-∞B ．4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],1-∞D ．[]1,0-高频考点一：分离变量法1．（2022·全国·高三专题练习）设a R ∈，若不等式ln ax x >在()1,x ∞∈+上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,∞+B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,∞+D ．()e,+∞2．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（文））已知函数2()ln 2a f x x x =+，若对任意两个不等的正数1x ，2x ，都有1212()()4f x f x x x -≥-恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．[)4∞+，B ．()4.∞+C ．(]4∞-，D ．()4∞-，3．（2022·全国·高三专题练习）已知对(0,)x ∀∈+∞，不等式ln 1ax x ≥-恒成立，则实数a 的最小值是（ ）A ．eB ．2e C ．21e D ．1e4．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知当0x >时，()21e 1x x a x -≤--恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],e 1-∞-B ．(],1-∞C ．(]2,e 1--D ．(],2-∞-5．（2022·湖南·临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数()ln af x x x=+（a 为常数）（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）不等式()1f x ≥在2(]0,x ∈上恒成立，求实数a的取值范围．6．（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）已知函数()1ln f x ax x =--，a R ∈．(1)讨论函数()f x 在区间()1,e 的极值；(2)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围．7．（2022·四川省泸县第一中学高二阶段练习（理））已知函数()e 1()x f x ax a =-+∈R .(1)讨论函数()f x 的单调性与极值；(2)若对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，求实数a 的取值范围.8．（2022·河南·三模（文））已知函数()e xf x ax b =++（e 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线为y a b =-.(1)求a ，b 的值；(2)若不等式()1f x mx >-在1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求正实数m 的取值范围.高频考点二：分类讨论法1．（2022·广西柳州·三模（文））已知函数()ln f x ax x =-．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若1x =为函数()f x 的极值点，当[)e,x ∞∈+，不等式()()()1e x f x x m x -+≤-恒成立，求实数m 的取值范围．2．（2022·陕西西安·二模（文））已知函数()()1ln f x a x a x=+∈R .(1)当1a =时，求函数()f x 的单调减区间；(2)若不等式()f x x ≥对(]0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.3．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知曲线()ln f x m x =+在1x =处的切线方程为()y h x =，且210e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求()h x 的解析式；(2)若0x ≥时，不等式()20e x ax h x --≥恒成立，求实数a 的取值范围.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()e xf x =，曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线为()yg x =．(1)证明：对于x R ∀∈，()()f x g x ≥；(2)当0x ≥时，()11axf x x≥++恒成立，求实数a 的取值范围．5．（2022·四川·树德中学高三开学考试（文））已知a ∈R ，设函数()()ln ln f x a x a x =++.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()2lnxf x a x a≤+恒成立，求实数a 的取值范围.6．（2022·贵州黔东南·一模（文））已知函数()22ln f x x a x =-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当x >1时，()1f x >恒成立，求a 的取值范围.高频考点三：等价转化法1．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数()1ln f x a x x=+，()()1e 1,x g x x mx a m x =+--∈R .(1)讨论f （x ）的单调性；(2)当a =1时，若不等式()()f x g x ≤恒成立，求m 的取值范围.2．（2022·江苏·高二课时练习）已知函数()ln f x ax x =+，()()220g x a x a =>．若()()f x g x ≤对一切正实数x 都成立，求实数a 的取值范围．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2ln f x x a x =+，()2g x ax x =+．(1)当0a =时，求函数()f x 的最小值；(2)当0a ≤时，若对任意1≥x 都有()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围．4．（2022·江西·南昌市实验中学高二阶段练习（理））已知函数()2ln f x x a x =+，()2g x x x =+.(1)若()y f x =在点()()1,1M f 处的切线方程为30x y b -+=，求实数a 、b 的值；(2)若对任意1x >，都有()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围.5．（2022·山东日照·高三期末）已知函数()ln f x x ax b =-+，中,a b ∈R .(1)当0a >时，求()f x 的单调区间；(2)若[]()1,0,2,ln 1a b x kx x x ϕ=∈=--，对任意实数[]()()1,e ,x f x x ϕ∈≥恒成立，求2k b -的最大值.高频考点四：最值法1．（2022·重庆市朝阳中学高二阶段练习）已知函数321()22f x x x x m =--+，其中.m R ∈(1)若函数()f x 的极小值为0，求实数m 的值；(2)当[1,2]x ∈-时，1()2f x …恒成立，求实数m 的取值范围．2．（2022·重庆市长寿中学校高二阶段练习）已知函数()()2ln 0f x a x ax a =+->(1)求()f x 的最大值(2)若()0f x ≤恒成立，求a 的值3．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数()222(0)e x mx x f x m +-=>.(1)判断()f x 的单调性；(2)若对[]12,1,2x x ∀∈，不等式()()1224e f x f x -≤恒成立，求实数m 的取值范围.4．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =处都取得极值.(1)求a ，b 的值；(2)若对任意[]1,2x ∈-，不等式()23f x c <恒成立，求实数c 的取值范围.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()221n l 0f x ax a x a x=-+->.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若对[]2,3a ∀∈，[]12,1,2x x ∀∈，不等式()()12ln 2m f x f x +>-恒成立，求实数m 的取值范围.6．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线()()3,f x ax bx a b =+∈R 在点()()1,1f 处的切线方程是20y +=.(1)求()f x 的解析式；(2)若对任意[]12,2,3x x ∈-，都有()()12f x f x m -…，求实数m 的取值范围.1．（2019·天津·高考真题（理））已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩…若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,e D ．[]1,e 2．（2020·海南·高考真题）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式()1fx ≥恒成立，求a 的取值范围．3．（2020·全国·高考真题（理））已知函数2()e x f x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.4．（2019·全国·高考真题（文））已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．一、单选题1．（2022·河南南阳·高二期末（文））若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(,2)-∞-2．（2022·全国·高二）函数f (x )＝13x 3－x 2＋a ，函数g (x )＝x 2－3x ，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f (x )的图象始终在函数g (x )图象的上方，那么a 的取值范围是（ ）A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．4,3⎛-+∞⎫ ⎪⎝⎭D ．4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知()xae f x x x=-，()0,x ∈+∞，且1x ∀，()20,x ∈+∞，且12x x <，()()12210f x f x x x -<恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．12,e ∞-⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(2,e ⎤-∞⎦D ．13,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．（2022·全国·高二）已知函数()()e 10x xa f ax =--≠在[]1,2上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．210,e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．211,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知函数()()31e 1x f x x kx =--+，若对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+，则实数k 的取值范围是（ ）A ．e ,3∞⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．e ,3⎛⎤-∞ ⎝⎦C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．（2022·山西临汾·二模（理））已知函数22,1()ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩，若()0f x ≥恒成立．则a 的取值范围为（ ）A ．[0,1]B ．[0,2e]C ．[1,2]D ．[2,2e]7．（2022·浙江·义乌市商城学校高二阶段练习）已知m ，n 为实数，不等式ln 0x mx n --≤恒成立，则n m的最小值为（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．28．（2022·宁夏中卫·一模（理））已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足2()1()f x f x x x'+=，且2(e)e f =，e为自然对数的底数，若关于x 的不等式()20f x ax x x--+≤恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[1,)+∞B ．[2,)+∞ C ．2,e e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．322,e e e ⎡⎫-+++∞⎪⎢⎣⎭二、填空题9．（2022·全国·高二课时练习）当(]0,1x ∈时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是______．10．（2022·上海交大附中高二阶段练习）已知()2ln f x x ax a =-+，若对任意1≥x ，都有()0f x ≤，则实数a 的取值范围是______.11．（2022·江苏省石庄高级中学高二阶段练习）已知函数()ln xf x x=．若对任意[)12,,x x a ∞∈+，都有()()121ef x f x -≤成立，则实数a 的最小值是________．12．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））设函数f （x ）在区间I 上有定义，若对12,x x I ∀∈和()0,1λ∀∈，都有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-，那么称f （x ）为I 上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f （x ）在I 上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a ，b ）上的函数f （x ），其一阶导数为()f x '，其二阶导数为()f x ''（即对函数()f x '再求导，记为()f x ''），若()0f x ''>，那么函数f （x ）是严格的凹函数（()f x '，()f x ''均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数()21ln f x m x x x=++在定义域内为严格的凹函数，则实数m 的取值范围为___________.三、解答题13．（2022·福建省厦门集美中学高二阶段练习）已知函数()ln f x x x =，(1)求过点(0,1)-的函数()f x 的切线方程(2)若对任意0x >，都有ln()x ax x a ≥-成立，求正数a 的取值范围.14．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（文））已知函数()()1ln f x x x =+(1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若m Z ∈，()()1m x f x -<对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求m 的最大值.15．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知函数()()e ln 1xf x a x =+-+，()'f x 是其导函数，其中a R ∈．(1)若()f x 在(,0)-∞上单调递减，求a 的取值范围；(2)若不等式()()f x f x '≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，求a 的取值范围．16．（2022·四川达州·二模（文））已知()()e 1xf x mx m =+<-.(1)当2m =-时，求曲线()y f x =上的斜率为1-的切线方程；(2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-恒成立，求实数m 的范围.。
专题04 排列组合与二项式定理(解析版)--高二数学专题解析
专题04排列组合与二项式定理--高二数学专题解析知识点一：排列1：排列≤)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不（1）定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m n同元素中取出m个元素的一个排列.（2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.2：排列数与排列数公式1：组合（1）定义：一般地：从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.（3）组合与排列的异同≤)个元素”.相同点:组合与排列都是“从n个不同的元素中取出m(m n不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.2：组合数与组合数公式（1）组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m n≤)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元3：组合数的性质b一、单选题1．在()5232x x ++的展开式中x 的系数是（）A ．160B ．180C ．240D ．210【答案】C【分析】根据二项式的定义可知有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，即可得解.【详解】在()5232x x ++的展开式中，要得到含x 的项，则有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，故x 的系数为445C 32240⨯⨯=．故选：C7．高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．【答案】3600【答案】20【分析】根据题意，先对【详解】对于6盏不同的花灯进行取下，可先对因为取花灯每次只能取一盏，且只能从下往上取，又因为每串花灯先后顺序已经固定，所以除去重复的排列顺序，所以共有663333A20 A A=故答案为：20.13．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．x16．（多选题）若()32+n x（=20．（多选题）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）A ．若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有20种B ．若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有78种C ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种D ．若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种【答案】BCD【分析】对于A ：讨论甲、乙之间有几位同学，分析运算即可；对于B ：讨论甲、乙所在位置，分析运算即可；对于C ：先求甲、乙相邻的安排方法，再排除甲、乙相邻且甲、丙相邻的安排方法；对于D ：先将学生安排出去，再排除有小区没有人去的可能.【详解】对于选项A ：可知有三种可能：甲、乙之间只有一位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；甲、乙之间有两位同学，则不同的排法有12222222C A A A 16=种；甲、乙之间有三位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有12161240++=种，故A 错误；对于选项B ：可知有四种可能：甲在最右端，乙在最左端，则不同的排法有33A 6=种；甲在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有2333A A 36=种；不同的排法共有618183678+++=种，故B 正确；对于选项C ：若甲、乙相邻，则不同的排法有2424A A 48=种；若甲、乙必须相邻且甲、丙相邻，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有481236-=种，故C 正确；对于选项D ：若每位同学只去一个社区，则不同的排法有53243=种；若有小区没有人去，则有两种可能：所有人去了一个小区，则不同的排法有13C 3=种；所有人去了两个小区，则不同的排法有()25132C 2C 90-=种；不同的排法共有()243390150-+=种，故D 正确；故选：BCD.21．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有__________．原理即可得出答案.【详解】首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有33A 6=个，前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列，共有22A 2=种结果.前三位是123，第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，∴数字12340前面有6+2+1=9个数字，数字本身就是第十个数字.故答案为：10.27．重新排列1，2，3，4，5，6，7，8．(1)使得偶数在原来的位置上，而奇数不在原来的位置上，有多少种不同排法？(2)使得偶数在奇数的位置上，而奇数在偶数的位置上，有多少种不同的排法？(3)使得偶数在偶数位置上，但都不在原来的位置上；奇数在奇数位置上，但也都不在原来的位置上，有多少种不同的排法？(4)如果要有数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(5)如果只有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(6)如果至少有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(7)偶数在偶数位置上；但恰有两个数不在原来位置上，奇数在奇数位置上，但恰有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？(8)偶数在偶数位置上，且至少有两个数不在原来位置上；奇数在奇数位置上，也至少有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？【答案】(1)9；(2)576；(3)81；(4)25487；(5)630；(6)771；(7)36；(8)225.【分析】（1）利用匹配问题错排公式求解；（2）利用乘法分步原理求解；（3）利用匹配问题求解；（4）用排除法．对8个数进行全排列，再减去没有数在原来的位置上的排法，即得解；（5）利用乘法分步原理求解；（6）用排除法．先对8个数进行全排列，再去掉恰有i 个数在原来位置上的排法()0123i =,,,，即得解；（7）利用匹配问题和分步乘法原理得解；。
2023年新高考数学创新题型微专题04 三角函数(新定义)(解析版)
专题04 三角函数（新定义）一、单选题1．（2023秋·山东临沂·高一统考期末）我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角θ的面度数为2π3，则角θ的正弦值为（ ） A．2B ．12C ．12−D． 【答案】D【分析】根据面度数的定义，可求得角θ的弧度数，继而求得答案. 【详解】设角θ所在的扇形的半径为r ，则2212π23r r θ=， 所以4π3θ=，所以4ππsin sin sin 33θ==−=， 故选：D ．2．（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）定义:正割1sec cos αα=，余割1csc sin αα=.已知m 为正实数，且22csc tan 15m x x +≥对任意的实数,2x x k k Z ππ∈⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭均成立，则m 的最小值为（ ）A ．1B ．4C ．8D ．9【答案】D【分析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题【详解】由已知可得22222sin csc tan 15sin cos xx x xm m x +=+≥，即422sin 15sin cos xx xm ≥−. 因为()2x k k Z ππ≠+∈，所以2cos (0,1]x ∈，则422sin 15sin cos x x x −()222222(1-cos )1=151cos =17+16cos cos cos x x x x x −−−⎛⎫ ⎪⎝⎭ 21716cos 9x x≤−=，当且仅当21cos 4x =时等号成立,故9m ≥， 故选：D.3．（2022·全国·高一专题练习）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”．若2(sin cos )2sin cos αααα−=，则角α可取的值用密位制表示错误．．的是（ ） A ．12-50 B ．2-50 C ．13-50 D ．32-50【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式求出α，再根据所给算法一一计算各选项，即可判断； 【详解】解：因为2(sin cos )2sin cos αααα−=， 即22sin 2sin cos cos 2sin cos αααααα−+=， 即4sin cos 1αα=，所以1sin 22α=，所以22,6k k Z παπ=+∈，或522,6k k Z παπ=+∈， 解得,12k k Z παπ=+∈或5,12k k Z παπ=+∈ 对于A ：密位制1250−对应的角为125052600012ππ⨯=，符合题意； 对于B ：密位制250−对应的角为2502600012ππ⨯=，符合题意； 对于C ：密位制1350−对应的角为135092600020ππ⨯=，不符合题意； 对于D ：密位制3250−对应的角为3250132600012ππ⨯=，符合题意； 故选：C4．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）计算器是如何计算sin x ，cos x ，πx ，ln x 些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如357sin 3!5!7!x x x x x =−+−+，246cos 12!4!6!x x x x =−+−+，其中!12n n =⨯⨯⨯，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sin x 和cos x 的值也就越精确.运用上述思想，可得到3sin 12π⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的近似值为（ ）A ．0.50B ．0.52C ．0.54D ．0.56【答案】C【分析】将3sin 12π⎛⎫−+ ⎪⎝⎭化为cos1，根据新定义，取1x =代入公式246cos 12!4!6!x x x x =−+−+⋅⋅⋅中，直接计算取近似值即可．【详解】由题意可得，3sin 1cos12π⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，故246111111cos1112!4!6!224720=−+−+=−+−+10.50.0410.0010.54=−+−+⋯≈，故选：C ．5．（2022春·广东中山·高二统考期末）密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的16000称为1密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“00—15”，1个平角＝30—00，1个周角＝60—00，已知函数()2cos f x x =−，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当()f x 取到最大值时对应的x 用密位制表示为（ ） A ．15—00 B ．35—00 C ．40—00 D ．45—00【答案】C【分析】利用导数研究()f x 在给定区间上的最大值，结合题设密位制定义确定()f x 取到最大时x 用密位制.【详解】由题设，()2sin f x x '=，在4[,)23x ππ∈时()0f x '>，在43(,]32x ππ∈时()0f x '<，所以()f x 在4[,)23x ππ∈上递增，在43(,]32x ππ∈上递减，即max 4()()3f x f π=，故()f x 取到最大值时对应的x 用密位制表示为40—00. 故选：C6．（2022春·云南昆明·高二校考期末）在平面直角坐标系xOy 中，P （x ，y ）（xy ≠0）是角α终边上一点，P与原点O 之间距离为r ，比值rx 叫做角α的正割，记作sec α；比值r y 叫做角α的余割，记作csc α；比值x y 叫做角α的余切，记作cot α．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：5sec 4β=−；乙：5csc 3β=；丙：3tan 4β=−；丁：4cot 3β=．如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D【分析】当甲错误时，乙一定正确，从而推导出丙、丁均错误，与题意不符，故甲一定正确；再由丙丁必有一个错误，得到乙一定正确，由此利用三角函数的定义能求出结果．【详解】解：当甲：5sec 4β=−错误时，乙：5csc 3β=正确，此时53r y =，r ＝5k ，y ＝3k ，则|x |＝4k ，（k ＞0）， 4tan 3y x β∴==或4tan 3β=−，∴丙：3tan 4β=−不正确，丁：4cot 3β=不正确，故错误的同学不是甲；甲：5sec 4β=−，从而r ＝5k ，x ＝﹣4k ，|y |＝3k ，（k ＞0），此时，乙：5csc 3β=；丙：3tan 4β=−；丁：4cot 3β=必有两个正确，一个错误，∵丙和丁应该同号，∴乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，∴y ＝3k ＞0，x ＝﹣4k ＜0，34tan ,cot 43ββ∴=−=−，故丙正确，丁错误， 综上错误的同学是丁． 故选：D ．7．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）设,a b R ∈，定义运算,,a a ba b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，则函数()sin cos f x x x =⊗的最小值为（ ）A ．1−B ．C ．12−D ．0【答案】B【分析】由定义先得出sin sin cos ()cos cos sin x x xf x x x x ≥⎧=⎨>⎩，然后分sin cos x x ≥，cos sin x x >两种情况分别求出()f x 的最小值，从而得出答案.【详解】由题意可得sin sin cos ()sin cos cos cos sin x x xf x x x x x x ≥⎧=⊗=⎨>⎩当sin cos x x ≥时，即sin cos 04x x x π⎛⎫−=−≥ ⎪⎝⎭则22,4k x k k Z ππππ≤−≤+∈，即522,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈此时当52,4x k k Z ππ=+∈时，sin x 有最小值为当cos sin x x >时，即sin cos 04x x x π⎛⎫−=−< ⎪⎝⎭则222,4k x k k Z πππππ+<−<+∈，即5922,44k x k k Z ππππ+<<+∈此时，cos x >所以()f x 的最小值为故选：B8．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）正割()secant 及余割()cos ecant 这两个概念是由伊朗数学家阿布尔⋅威发首先引入的．定义正割1sec cos αα=，余割1csc sin αα=．已知m 为正实数，且22csc tan 15m x x ⋅+≥对任意的实数π,2k x x k ⎛⎫≠∈ ⎪⎝⎭Z 均成立，则m 的最小值为（ ）A ．1B ．4C ．8D ．9【答案】D【分析】由参变量分离法可得出2211716cos cos m x x ⎛⎫≥−+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得m 的取值范围，即可得解.【详解】由已知可得22222sin csc tan 15sin cos m x m x x x x ⋅+=+≥，可得422sin 15sin cos x m x x≥−， 因为()Z 2x k k ππ≠+∈，则(]2cos 0,1x ∈，因为()()2242222221cos sin 115sin 151cos 1716cos cos cos cos x x x x x xxx −⎛⎫−=−−=−+ ⎪⎝⎭179≤−=， 当且仅当21cos 4x =时，等号成立，故9m ≥. 故选：D.9．（2022春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）对集合{}12,,,k a a a ⋯和常数m ，把()()()222122sin sin sin k a m a m a m kσ−+−++−=定义为集合{}12,,,k a a a ⋯相对于m 的“正弦方差"，则集合,,626πππ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭相对于m 的“正弦方差”为（ ）A ．32B C ．12D ．与m 有关的值【答案】C【分析】先确定集合,,626πππ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭相对于m 的“正弦方差”的表达式，再利用半角公式，两角和与差的余弦公式化简可得结果.【详解】由题知，集合,,626πππ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭相对于m 的“正弦方差”为2222sin sin sin 6263m m m πππσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−+−++− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()1cos 21cos 21cos 21333222m m m πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−−− ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭ ()13cos 2cos 2cos 2633m m m πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−++−+−⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦把()()1cos 2cos 2232m m m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()()cos 2cos 2m m π−=−， ()()1cos 2cos 2232m m m π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，代入上式整理得，212σ=.故选：C.10．（2022秋·山东·高三山东聊城一中校联考阶段练习）现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形． （3）有一个内角为36o 的等腰三角形为黄金三角形， 由上述信息可求得126sin =（ ） AB12CD【答案】D【分析】如图作三角形，先求出5cos364=126sin 的值. 【详解】如图，等腰三角形ABC ，36ABC ∠=,,AB BC a AC b ===，取AC 中点,D 连接BD .b a =， 由题意可得1511512sin 22224bABC b a a ∠−−====，所以22cos 12sin 12ABC ABC ∠∠=−=−= 所以5cos364=所以5126364sin cos ︒==. 故选：D. 11．（2021秋·四川巴中·高一校联考期末）定义运算a bad bc c d=−，如果()()105,(0,0)2sin 2f x x πωϕωϕ=><<+的图像的一条对称轴为,4x πϕ=满足等式2cos 3tan ϕϕ=，则ω取最小值时，函数()f x 的最小正周期为（ ） A ．2πB ．πC ．3π2D ．2π【答案】C【分析】根据2cos 3tan ϕϕ=，利用切化弦和同角三角函数关系转化成sin ϕ的二次方程，可求出ϕ的值，结合对称轴可求出ω，最后利用周期公式进行求解即可． 【详解】105()10sin()102sin()f x x x ωϕωϕ==+−+，因为2cos 3tan ϕϕ=，所以sin 2cos 3cos ϕϕϕ=，即22cos 3sin ϕϕ=，22(1sin )3sin ϕϕ−=， 所以(sin 2)(2sin 1)0ϕϕ+−=，解得1sin 2ϕ=或2−（舍去）， 而02πϕ<<，所以6πϕ=，即()10sin()106f x x πω=+−，而()y f x =的图象的一条对称轴为4x π=，所以10sin 1046ππω⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭，即462k πππωπ⨯+=+，Z k ∈，解得443k ω=+，Z k ∈，所以正数ω取最小值为43，此时函数()f x 的最小正周期为23423ππ=．故选：C ．12．（2020·全国·高三校联考阶段练习）对于集合{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅，定义：()()()22210200cos cos cos n x x x x x x n−+−+⋅⋅⋅+−Ω=为集合{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅相对于0x 的“余弦方差”，则集合32,,,105105ππππ⎧⎫−−⎨⎬⎩⎭相对于0x 的“余弦方差”为（ ） A ．14B ．12CD【答案】B【解析】根据所给“余弦方差”定义公式，代入集合中的各元素，即可得Ω的表达式，结合余弦降幂公式及诱导公式化简，即可求解.【详解】由题意可知，集合32,,,105105ππππ⎧⎫−−⎨⎬⎩⎭相对于0x 的“余弦方差”代入公式可得2222000032cos cos cos cos 1051054x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−+−−+−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭Ω=0000321cos 21cos 21cos 21cos 210510522224x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+−−+−−+−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++=0000321cos 21cos 21cos 21cos 21051058x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++−++− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=00002344cos 2cos 2cos 2cos 255558x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=因为0000423cos 2cos 20,cos 2cos 205555x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++−=++−= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以原式4182Ω==， 故选：B.【点睛】本题考查了新定义应用，降幂公式及诱导公式化简三角函数式的应用，属于中档题.13．（2020秋·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习）已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩…，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象是 A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】由题知()2tan()(0)f x x ωω=>，利用T πω=求出ω，再根据题给定义，化简求出()h x 的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.【详解】根据题意，()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π， 所以()2tan()(0)f x x ωω=> 的周期为π， 则1T ππωπ===， 所以{}2sin ,,2()max 2tan ,2sin 32tan ,,2x x h x x x x x ππππ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦==⎨⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，由正弦函数和正切函数图象可知A 正确. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解. 14．（2022春·陕西延安·高一校考阶段练习）对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M的最大值称为函数()f x 的“下确界”.若函数()3cos 213f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈−⎪⎢⎣⎭的“下确界”为12−，则m 的取值范围是（ ） A ．,62ππ⎛⎤− ⎥⎝⎦B ．,62ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭C ．5,66ππ⎛⎤− ⎥⎝⎦D ．5,66ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由下确界定义，()3cos 213f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈−⎪⎢⎣⎭的最小值是12−，由余弦函数性质可得．【详解】由题意()3cos 213f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈−⎪⎢⎣⎭的最小值是12−，又21()3cos()13cos163332f ππππ−=−−+=+=−， 由13cos(2)132x π−+≥−，得1cos(2)32x π−≥−，22222333k x k πππππ−≤−≤+，,62k x k k Z ππππ−≤≤+∈，0k =时，62x ππ−≤≤，所以62m ππ−<≤．故选：A ．【点睛】本题考查新定义，由新定义明确本题中的下确界就是函数的最小值．可通过解不等式确定参数的范围．15．（2020·全国·高一假期作业）如果函数()f x 在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x ，都有()()()1212n n f x f x f x x x x f nn ++++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，若sin y x =在区间()0,π上是凸函数，那么在ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是（ ）A ．32B ．3CD 【答案】D【分析】利用“凸函数”的定义得到恒成立的不等式，利用三角形的内角和为π，即可求出最大值． 【详解】因为sin y x =在区间[0，]π上是“凸函数”，所以sin sin sin sin sin 333A B C A B C π++++=…得sin sin sin A B C ++…即：sin sin sin A B C ++的最大值是2故选：D.【点睛】本题考查理解题中的新定义，并利用新定义求最值，还运用三角形的内角和．二、多选题16．（2022·全国·高一专题练习）定义：()()()22210200cos cos cos n nθθθθθθμ−+−++−=为集合{}12,,,n A θθθ=相对常数0θ的“余弦方差”.若0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则集合,03A π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭相对θ的“余弦方差”的取值可能为（ ） A ．38B ．12C ．34D ．45【答案】ABC【分析】根据所给定义及三角恒等变换公式将函数化简，再根据0θ的取值范围，求出026θπ+的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】解：依题意()2200cos cos 0πθθμ⎛⎫−+− ⎪ 22000cos cos sin cos 332sin ππθθθ=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭220001cos cos 22θθθ⎛⎫+ ⎝⎪⎭=2220000013cos sin sin cos 4242θθθθθ++=200013cos sin 2242θθθ+= 001cos 221442θθ+=00111cos 224222θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+⎪ 011sin 2462πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+， 因为00,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以02,7666πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以01s 22n 1i 6,πθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎣−⎝⎭⎦，所以33,84μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故选：ABC17．（2021秋·全国·高三校联考期中）数学中一般用{}min ,a b 表示a ，b 中的较小值，{}max ,a b 表示a ，b 中的较大值；关于函数：(){}min sin ,sin f x x x x x =；(){}max sin ,sin g x x x x x =，有如下四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．()f x 与()g x 的最小正周期均为π B ．()f x 与()g x 的图象均关于直线32x π=对称 C ．()f x 的最大值是()g x 的最小值 D ．()f x 与()g x 的图象关于原点中心对称 【答案】BD【分析】先求出()f x ，()g x ，结合函数()f x 与()g x 的图象即可求解【详解】设()sin 2sin(),()sin 2sin(),33h x x x x t x x x x ππ==+==−则{}32sin(),22,322()min (),()2sin(),22,322x k x k f x h x t x x k x k ππππππππππ⎧++≤≤+⎪⎪==⎨⎪−−+<<+⎪⎩，{}32sin(),22,322()max (),()2sin(),22,322x k x k g x h x t x x k x k ππππππππππ⎧−+≤≤+⎪⎪==⎨⎪+−+<<+⎪⎩函数()f x 与()g x 的大致图象如下所示：对A ，由图知，()f x 与()g x 的最小正周期均为2π；故A 错误； 对B ，由图知，32x π=为函数()f x 与()g x 的对称轴，故B 正确. 对C ，12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，由图知∶函数()f x 的值域为[]2,1−，函数()g x 的值域为[]1,2−，故C 错误；对D ，由图知，()f x 与()g x 的图象关于原点中心对称，故D 正确； 故选：BD.18．（2022·江苏·高一专题练习）已知角θ和ϕ都是任意角，若满足2,2k k Z πθϕπ+=+∈，则称θ与ϕ“广义互余”.若()1sin 4πα+=−，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的有（ ）A ．sin β=B ．()1cos 4πβ+=C ．tan β=D ．tan β=【答案】AC【分析】由题可得1sin 4α=，根据诱导公式化简计算判断每个选项即可. 【详解】若α与β广义互余，则2()2k k Z παβπ+=+∈，即2()2k k Z πβπα=+−∈．又由()1sin 4πα+=−，可得1sin 4α=．对于A ，若α与β广义互余，则sin sin(2)cos 24k πβπαα=+−===±，由sin β=可得α与β可能广义互余，故A 正确；对于B ，若α与β广义互余，则1cos cos(2)sin 24k πβπαα=+−==，由()1cos 4πβ+=可得 1cos 4β=−，故B 错误；对于C ，综上可得sin β=1cos 4β=，所以sin tan cos βββ==C 正确，D 错误． 故选：AC ．19．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1cos θ−为角θ的正矢，记作sin ver θ，定义1sin θ−为角θ的余矢，记作sin cover θ，则下列命题正确的是（ ） A ．161sin32ver π= B ．sin sin 2ver cover πθθ⎛⎫−= ⎪⎝⎭C ．若sin 12sin 1cover x ver x −=−，则()21sin sin 5cover x ver x −=D ．函数()sin 2020sin 202036f x ver x cover x ππ⎛⎫⎛⎫=−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为2【答案】BC【分析】利用诱导公式化简可得A 错误，B 正确；化简已知等式得到tan x ，将所求式子化简为正余弦齐次式，由此可配凑出tan x 求得结果，知C 正确；利用诱导公式化简整理得到()22sin 20206f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，由此可知最大值为4，知D 错误.【详解】对于A ，16163sin 1cos 1cos 51cos 33332ver πππππ⎛⎫=−=−+=+= ⎪⎝⎭，A 错误； 对于B ，sin 1cos 1sin sin 22ver cover ππθθθθ⎛⎫⎛⎫−=−−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确；对于C ，sin 11sin 1tan 2sin 11cos 1cover x x x ver x x −−−===−−−， ()()22222sin cos sin sin 1sin 1cos 12sin cos 1sin cos x xcover x ver x x x x x x x∴−=−−+=−=−+22tan 411tan 15x x =−=−+15=，C 正确； 对于D ，()1cos 20201sin 202036f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=−−+−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2020sin 2020266x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫−−++−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22sin 20206x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，∴当sin 202016x π⎛⎫+=− ⎪⎝⎭时，()max 224f x =+=，D 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的新定义的问题，解题关键是能够充分理解已知所给的定义，结合三角函数的诱导公式、正余弦齐次式的求解等知识来判断各个选项.20．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期末）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数:•定义1cos θ−为角θ的正矢，记作sin ver θ，•定义1sin θ−为角θ的余矢，记作sin cover θ，则下列命题中正确的是（ ） A ．函数sin y ver x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B ．函数sin sin ver xy cover x=的最小正周期为πC ．sin(sin 2ver )cover πθθ−=D ．sin(sin sin sin sin ver )ver cover cover ver αβαβαβ+=⋅+⋅ 【答案】AC【分析】由余弦函数的单调性可判断A 选项；验证得()()y x y x π≠+，可判断B 选项；由定义的诱导公式可判断C 选项；取4παβ==，代入验证可判断D 选项.【详解】因为sin 1cos y ver x x ==−，而cos y x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以函数sin 1cos y ver x x ==−在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，故A 正确； 函数versin 1cos 1cos ();()coversin 1sin 1sin π−+==+=−+x x xy x y x x x x，所以()()y x y x π≠+，所以B 错误；sin 1cos 1sin sin 22ver cover ππθθθθ⎛⎫⎛⎫−=−−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；取4παβ==，sin(1cos12ver )παβ+=−=，sin sin sin sin ver cover cover ver αβαβ⋅+⋅1cos 1sin 1sin 1cos 34444+ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−⋅−−⋅−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以sin(sin sin sin sin ver )ver cover cover ver αβαβαβ+≠⋅+⋅， 故D 错误, 故选：AC.【点睛】本题考查函数的新定义，三角函数的诱导公式，同角三角函数间的关系，余弦函数的性质，属于中档题.三、填空题21．（2023·高一课时练习）我们规定把2221cos ()cos cos ()3y B A B B A ⎡⎤=+++−⎣⎦叫做B 对A 的余弦方差，那么对任意实数B ，B 对π3的余弦方差是______．【答案】12##0.5【分析】根据余弦方差的定义求得正确答案. 【详解】依题意，B 对π3的余弦方差是：2221ππcos ()cos cos ()333y B B B ⎡⎤=+++−⎢⎥⎣⎦2π2π1cos(2)1cos(2)11cos 2333222B B B ⎡⎤+++−⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12π2π3cos(2)cos 2cos(2)633B B B ⎡⎤=++++−⎢⎥⎣⎦12π2π2π2π3cos 2cos sin 2sin cos 2cos 2cos sin 2sin 63333B B B B B ⎛⎫=+−+++ ⎪⎝⎭ 11113cos 2cos 2cos 26222B B B ⎛⎫=−+−= ⎪⎝⎭. 故答案为：1222．（2022·全国·高一专题练习）已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，若存在实数,m n ，使得()()()h x mf x ng x =+，则称()h x 是()f x ，()g x 在R 上生成的函数.若()()22cossin ,sin 22=−=x xf xg x x ，以下四个函数中：①π6y x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭；②ππcos 2424x x y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③2π2cos 124xy ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭； ④22sin 2=y x .所有是()(),f x g x 在R 上生成的函数的序号为________. 【答案】①②③.【详解】()()22cossin cos ,sin 22x xf x xg x x =−==.①：πππcos sin sin )666y x x x x x ⎛⎫=−=+= ⎪⎝⎭，因此有m n ==()(),f x g x 在R 上生成的函数；②：πππcos )24242x x y x x ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此有0m n ==，本函数是()(),f x g x 在R 上生成的函数； ③：2ππ2cos 1cos()sin 242xy x x ⎛⎫=−−=−= ⎪⎝⎭，因此有0,1m n ==，本函数是()(),f x g x 在R 上生成的函数； ④：2222sin 28sin cos y x x x ==，显然不存在实数,m n ，使得228sin cos cos sin x x m x n x =+成立，因此本函数不是()(),f x g x 在R 上生成的函数， 故答案为：①②③23．（2021春·江苏淮安·高一校联考阶段练习）形如a bc d 的式子叫做行列式，其运算法则为a b ad bc c d=−，则行列式sin15cos15︒︒的值是___________. 【答案】12−【分析】根据新定义计算即可．【详解】由题意sin151sin 45sin15cos 45cos15cos 602cos15︒=︒︒=︒︒−︒︒=−︒=−︒． 故答案为12−．24．（2023·高一课时练习）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①()1sin cos f x x x =+；②()2f x x =()3sin f x x =；④())4sin cos f x x x =+．其中“同形”函数有__________．（选填序号）【答案】①②【分析】利用三角恒等变换转化函数解析式，对比各函数的最小正周期及振幅即可得解.【详解】由题意，()1sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，())4sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，四个函数的最小正周期均相同，但振幅相同的只有①，②， 所以“同形”函数有①②. 故答案为：①②.25．（2023·高一课时练习）在直角坐标系中，横､纵坐标均为整数的点叫格点.若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数.在[],x ππ∈−上，下列函数中，为一阶格点函数的是___________.(选填序号)①sin y x =；②e 1x y =−；③ln y x =；④2y x = 【答案】①②③【分析】根据题目定义以及各函数的图象与性质即可判断．【详解】当[],x ππ∈−时，函数sin y x =，e 1x y =−的图象只经过一个格点()0,0，符合题意； 函数ln y x =的图象只经过一个格点()1,0，符合题意；函数2y x =的图象经过七个格点，()()()()()()()3,9,2,4,1,1,0,0,1,1,2,4,3,9−−−，不符合题意．故答案为：①②③．26．（2022春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考开学考试）在平面直角坐标系xoy 中，已知任意角θ以坐标原点o 为顶点，x 轴的非负半轴为始边，若终边经过点00(,)p x y ，且(0)op r r =>，定义：00y x sos rθ+=，称“sos θ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数y sosx =”，有同学得到以下性质：①该函数的值域为⎡⎣； ②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线34x π=对称； ④该函数为周期函数，且最小正周期为2π；⑤该函数的递增区间为32,244k k k z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦.其中正确的是__________．（填上所有正确性质的序号） 【答案】①④⑤.【详解】分析：根据“正余弦函数”的定义得到函数)4y sosx x π==+，然后根据三角函数的图象与性质分别进行判断即可得到结论．详解：①中，由三角函数的定义可知00cos ,sin x r x y r x ==，所以00sin cos )[4y x y sosx x x x r π+===+=+∈，所以是正确的；②中，)4y sosx x π==+，所以()0)104f π=+=≠，所以函数关于原点对称是错误的；③中，当34x π=时，33()sin()0444f ππππ+==≠34x π=对称是错误的；④中，)4y sosx x π==+，所以函数为周期函数，且最小正周期为2π，所以是正确的；⑤中，因为)4y sosx x π==+，令22242k x k πππππ−≤+≤+，得322,44k x k k Z ππππ−≤≤+∈，即函数的单调递增区间为3[2,2],44k k k Z ππππ−+∈，所以是正确的，综上所述，正确命题的序号为①④⑤．点睛：本题主要考查了函数的新定义的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据函数的新定义求出函数y sosx =的表达式是解答的关键，同时要求熟练掌握三角函数的图象与性质是解答额基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．27．（2015秋·广东揭阳·高一统考期中）定义一种运算，令，且，则函数的最大值是_______________【答案】54【详解】试题分析：：∵，∴0≤sinx≤1∴()22255cos sin sin sin 1sin 144y x x x x x =+=−++=−−+≤ 由题意可得，()22215cos sin ,sin cos cos 224f x x x f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+−=−=−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭函数的最大值54考点：三角函数的最值四、解答题28．（2023春·云南文山·高一校考阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点()11,A x y ，()22,B x y ，则曼哈顿距离为：()1212,d A B x x y y =−+−，余弦相似度为：()cos ,A B =()1cos ,A B −(1)若()1,2A −，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，求A ，B 之间的曼哈顿距离(),d A B 和余弦距离；(2)已知()sin ,cos M αα，()sin ,cos N ββ，()sin ,cos Q ββ−，若()1cos ,5M N =，()2cos ,5M Q =，求tan tan αβ的值【答案】(1)145，15−(2)3−【分析】（1）根据公式直接计算即可.（2）根据公式得到1sin sin cos cos 5αβαβ+=，2sin sin cos cos 5αβαβ−=，计算得到答案.【详解】（1）()3414,12555d A B =−−+−=，()34cos ,55A B ==，故余弦距离等于()1cos ,15A B −=−； （2）()cos ,M N =1sin sin cos cos 5αβαβ=+=；()cos ,M Q =2sin sin cos cos 5αβαβ=−=故3sin sin 10αβ=，1cos cos 10αβ=−，则sin sin tan tan 3cos cos αβαβαβ==−. 29．（2023·高一课时练习）知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．与之类似，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对()sad ．如图，在ABC 中，AB AC =．顶角A 的正对记作sad A ，这时sad BCA AB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题： (1)sad60的值为（ ）A ．12 B ．1 C D ．2 (2)对于0180A <∠<，A ∠的正对值sad A 的取值范围是______． (3)已知3sin 5α=，其中α为锐角，试求sad α的值． 【答案】(1)B(2)()0,2(3)sad α=【分析】（1）在等腰ABC 中，取60A ∠=，AB AC =，利用正对的定义可得出sad60sad A =的值； （2）在等腰ABC 中，AB AC =，取BC 的中点D ，连接AD ，则AD BC ⊥，推导出sad 2sin 2AA =，结合正弦函数的基本性质可求得sad A 的取值范围；（3）利用同角三角函数的基本关系求出cos α，利用二倍角公式可求得sin 2α，由此可得出sad 2sin2αα=的值.【详解】（1）解：在等腰ABC 中，60A ∠=，AB AC =，则ABC 为等边三角形， 所以，sad60sad 1BCA AB===， 故选：B.（2）解：在等腰ABC 中，AB AC =，取BC 的中点D ，连接AD ，则AD BC ⊥，则2sad 2cos 2cos 902sin 22BC BD A A A B AB AB ⎛⎫====−= ⎪⎝⎭， 因为0180A <∠<，则0902A <<，故()sad 2sin 0,22AA =∈. 故答案为：()0,2.（3）解：π02α<<，则π024α<<，所以，24cos 12sin 52αα===−，所以，sin2α=sad 2sin 2αα==. 30．（2020秋·全国·高三校联考阶段练习）若函数()()sin cos ,f x a x b x a b =+∈R ，平面内一点坐标(),M a b ，我们称M 为函数()f x 的“相伴特征点”，()f x 为(),M a b 的“相伴函数”．（1）已知()1sin sin cos 2222x x x f x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭，求函数()f x 的“相伴特征点”；（2）记122M ⎛' ⎝⎭的“相伴函数”为()g x ，将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向右平移4π个单位长度，得到函数()h x ，作出()h x 在529,3636ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象．【答案】（1）11,22⎛⎫− ⎪⎝⎭；（2）作图见解析.【分析】（1）利用二倍角的降幂公式化简得出()11sin cos 22f x x x =−，由此可得出函数()y f x =的“相伴特征点”的坐标；（2）由题中定义可得出()sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数图象变换得出()52sin 312h x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭，然后通过列表、描点、连线，可得出函数)y h x =在区间529,3636ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象. 【详解】（1）()211cos sin 111sinsin cos sin cos 222222222x x x x x f x x x −=+−=+−=−Q ， 故函数()y f x =的“相伴特征点”为11,22⎛⎫− ⎪⎝⎭；（2）由题意可得()1sin sin 23g x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 将函数()y g x =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），可得到函数2sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得的图象上所有点向右平移4π个单位长度，可得到函数()52sin 32sin 34312h x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−+=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，当529,3636x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，503212x ππ≤−≤，列表如下：故函数()y h x =在529,3636ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示.【点睛】本题考查三角函数的新定义、利用三角函数图象变换求解析式，同时也考查了五点作图法，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 五、双空题31．（2022秋·内蒙古包头·高一统考期末）对任意闭区间I ，I M 表示函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间I 上的最大值，则0,2M π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=______，若[0,][,2]2t t t M M =，则t 的值为______．【答案】 1；23π或π 【分析】由题可得2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故0,2M π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1；对t 分类讨论，利用正弦函数的性质得出符合条件的t 即可.【详解】当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴当62x ππ+=时，max 1y =，∴0,2M π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1；当62t ππ+<，即3t π<时，[0,]sin 6t M t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[,2][0,]sin 6t t t M t M π⎛⎫+= ⎪>⎝⎭， 这与[0,][,2]2t t t M M =矛盾， 当62t ππ+≥且5262t ππ+<，即736t ππ≤<时，[0,]1t M =，[,2]sin 6t t M t π=⎛⎫+ ⎪⎝⎭或[,2]sin 26t t M t π=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由[0,][,2]2t t t M M =可得，1sin 62t π⎛⎫+= ⎪⎝⎭或1sin 262t π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以23t π=或t π=， 当5262t ππ+≥，即76t π≥时，[0,]1t M =，[,2]1t t M =，这与[0,][,2]2t t t M M =矛盾； 综上所述，t 的值为23π或π. 故答案为：1；23π或π.32．（2019秋·北京海淀·高三人大附中校考阶段练习）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体，存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有()()f x T Tf x +=成立．（1）给出下列两个函数：()1f x x =，()()2201f x a a =<<，其中属于集合M 的函数是__________．（2）若函数()sin f x kx M =∈，则实数k 的取值集合为__________． 【答案】 2()f x {|,}k k m m Z π=∈ 【分析】（1）根据集合M 的性质判断．（2）根据集合M 的性质求解，由sin ()sin k x T T kx +=恒成立成立，只有1T =±，【详解】（1）若1()f x M ∈，则存在非零点常数T ，使得11()()f x T Tf x +=，则x T Tx +=，(1)0T x T −+=对x R ∈恒成立，这是不可能的，1()f x M ∉；若2()f x M ∈，则存在非零点常数T ，使得22()()f x T Tf x +=，则22a Ta =，对x R ∈恒成立，1T =，2()f x M ∈； （2）函数()sin f x kx M =∈，则存在非零点常数T ，使得()()f x T T f x +=，即sin ()sin k x T T kx +=，0k =时，()0f x M =∈，0k ≠时，由x R ∈知kx R ∈，()k x T k R +∈，sin [1,1]kx ∈−，sin ()[1,1]k x T +∈−，因此要使sin ()sin k x T T kx+=成立，只有1T =±，若1T =，则sin()sin kx k kx +=，2,T m m Z π=∈，若1T =−，则sin()sin kx k kx −=−，即sin()sin kx k kx π−+=，2k m ππ−+=，(21),k m m Z π=−−∈， 综上实数k 的取值范围是{|,}k k m m Z π=∈． 故答案为：2(),f x {|,}k k m m Z π=∈.【点睛】本题考查新定义问题，此类问题的特点是解决问题只能以新定义规则为依据，由新定义规则把问题转化，转化为熟悉的问题进行解决．。
高二上期末真题精选(人教A版选修二数列常考63题 压轴17题)(原卷版)25学年高二数学上学期期末
专题03高二上期末真题精选（数列常考65题压轴17题）数列常考题考点01：等差数列通项的基本量计算考点02：等差数列角标和性质考点03：等差数列前n项和基本量计算考点04：等差数列前n项和性质考点05：等比数列通项的基本量计算考点06：等比数列角标和性质考点07：等比数列前n项和基本量计算考点08：等比数列前n项和性质考点09：数列求通项考点10：数列求和之倒序相加法考点11：数列求和之分组求和法考点12：数列求和之裂项相消法考点13：数列求和之错位相减法数列压轴题压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论）压轴二：数列求和之裂项相加法压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题一、等差数列通项的基本量计算（共4小题）1．（23-24高二上·河南漯河·期末）等差数列{}n a 中，234518,10a a a a ++==，则其前100项和为（）A ．5050B ．10010C ．10100D ．110002．（23-24高二下·河南·期末）已知等差数列{}n a 满足3616a a +=，且534a a -=，则首项1a =（）A ．1-B ．0C ．1D ．33．（23-24高二下·河南南阳·期末）若{}n a 是正项无穷的等差数列，且396a a +=，则{}n a 的公差d 的取值范围是（）A ．[)12，B ．305⎛⎫⎪⎝⎭，C ．35∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，D ．305⎡⎫⎪⎢⎣⎭，4．（23-24高二下·四川成都·期末）记为等差数列{}n a 的前n 项和，若1122S =，则6a =（）A ．2B ．3C ．10D ．4二、等差数列角标和性质（共4小题）1．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列{}n a 满足2120n n n a a a +++-=，已知7118a a a +=，则{}n a 的前19项和19S =（）A ．0B ．8C ．10D ．192．（23-24高二上·福建福州·期末）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足15m p a a a a +=+，则41m p+的最小值为（）A ．9B ．32C ．54D ．343．（23-24高二上·陕西西安·期末）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若1354686,12a a a a a a ++=++=，则8S =（）A ．8B ．12C ．18D ．244．（多选）（23-24高二上·河南商丘·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，无论首项1a 和公差d 如何变化，19S 始终是一个定值，则下列各数也为定值的是（）A ．9a B ．10a C ．71112a a a ++D ．11415a a a ++三、等差数列前n 项和基本量计算（共3小题）1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若47a =，416S =，则2a =（）A ．3B ．4C ．5D ．62．（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230S >，240S <，则下列结论正确的是（）A ．数列{}n a 是递增数列B ．130a >C ．当n S 取得最大值时，12n =D ．1312a a >3．（23-24高三上·河北·期末）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若438,18a S ==，则11S =．四、等差数列前n 项和性质（共6小题）1．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若482,16S S ==，则12S =（）A ．30B ．26C ．56D ．422．（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）设等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若3315n n S n T n +=+，则1010a b =（）A ．1136B ．2372C ．724D ．7233．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若231n n S n T n =+，则2835a ab b +=+（）A ．911B ．711C ．1013D ．9144．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列命题正确的有（）.A ．若{}n a 为等差数列，则232,,n n n n n S S S S S --一定是等差数列B ．若{}n a 为等比数列，则232,,n n n n n S S S S S --一定是等比数列C ．若112,2n n a S a +=+=，则{}n a 一定是等比数列D ．若n n S na =，则{}n a 一定是等比数列5．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若132619S S ==，，则52S =.6．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，且21n n S nT n =+，则66a b =.五、等比数列通项的基本量计算（共3小题）1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知等差数列{}n a 的公差不为0，且139,,a a a 成等比数列，则139,,a a a 的公比是（）.A ．1B ．2.C ．3D ．52．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，5227a a =，480S =，则1a =（）A ．1B ．2C ．3D ．43．（23-24高二下·江西九江·期末）设{}n a 是等比数列，且1232343,6a a a a a a ++=-++=，则6a =.六、等比数列角标和性质（共3小题）1．（23-24高二下·青海·期末）在等比数列{}n a 中，4148a a =，231a a =，则13a =（）A ．64B ．128C ．3642D ．312822．（23-24高二下·贵州毕节·期末）已知等比数列{}n b 的各项均为正数，若313238log log log 4b b b ++⋅⋅⋅+=，则45b b 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．43．（23-24高二下·陕西榆林·期末）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，388a a =，则2427log log a a +=．七、等比数列前n 项和基本量计算（共3小题）1．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，32123S a a =+，且516a =，则1a =．2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列{}n a 满足：()12n n a a n *+=∈N ，其前n 项和为n S ，若7127S =，则1a =.3．（22-23高三上·广东肇庆·阶段练习）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且37S =，663S =，则7a =.八、等比数列前n 项和性质（共3小题）1．（多选）（23-24高二下·四川乐山·期末）在数列{}n a 中，11a =，12nn n a a +-=，若不等式312(1)1n n n a λ-+⋅-≥+对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的值可以是（）A ．1B ．0C ．1-D ．2-2．（23-24高二下·陕西渭南·期末）在正项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若55S =，1015S =，则15S 的值为.3．（23-24高二上·广东·期末）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若484,12S S ==，则12S =.九、数列求通项（共16小题）1．（23-24高二下·安徽·期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S n a +=-，则5a =（）A ．16B ．31C ．47D ．632．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3452k k S S ==，，则4k S =．3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n 层货物的个数为n a ，则数列()4n n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前12项和12S =.4．（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列{}n a 中，13a =，且()1lg21n n na a n n -=+≥-，则100a =.5．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知数列{}n a 各项均为正数，且首项为1，221122n n n n n na a a a ++++=，则20a =．6．（23-24高二上·内蒙古·期末）在数列{}n a 中，1133,2n n a n a a n ++==+，则97a =．7．（22-23高三上·辽宁葫芦岛·期末）在数列{}n a 中，14a =，()12n n na n a +=+，则数列{}n a 的通项公式为n a =.()*n ∈N 8．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足111,2n n a S S +=-=，则n a =9．（23-24高三下·四川·期末）若数列{}*(N )n a n ∈的前n 项和为n S ，11a =，2(1)n n S n a =+，则数列{}n a 的通项公式为n a =．10．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S >，且6(1)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式n a =．11．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且()*1121N 2n n n a S n ++=+∈，则n a =.12．（23-24高二上·宁夏银川·期末）数列{}n a 中的前n 项和22n n S =+，数列2{log }n a 的前n 项和为n T ，则20T ＝.13．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知数列{}n a 满足()()1113,3114n n n n a a a a a ++=-++=-，则n a =.14．（22-23高二上·广东·期末）已知首项为2的数列{}n a 对*N n ∀∈满足134n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式n a =.15．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知数列{}n a 满足19a =-，()()1121n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=，则n b =；n a 的最小值为.16．（23-24高一下·上海·期末）数列{}n a 满足1112,32n n n a a a ++==+，则数列{}n a 的通项公式为n a =.十、数列求和之倒序相加法（共4小题）1．（21-22高二上·江西九江·期末）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行123100++++L 的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列298299-=-n n a n ，则1298+++= a a a （）A ．96B ．97C ．98D ．992．（21-22高二下·广东佛山·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1211121n n S S S n +++=+ ，设函数()1cos 2f x x π=+，则n a =，32021122022202220222022a a a a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3．（21-22高二上·安徽六安·期末）已知函数1()1f x x =+，数列{}n a 是正项等比数列，且101a =，则()()()()()1231819f a f a f a f a f a +++⋅⋅⋅++=．4．（21-22高三上·湖北鄂州·期末）设函数()3log 1x f x x =-，定义121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中n N *∈，2n ≥，则n S =.十一、数列求和之分组求和法（共6小题）1．（23-24高二下·云南保山·期末）已知{}n a 的前n 项和是n S ，且1,2n n S na a ==．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()1,1,n n n na n b n n n a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．2．（23-24高二上·河南郑州·期末）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5332S S =-，221n n a a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的首项为1-，且对任意的*n ∈N 都有10n n b b ++=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．3．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项12a =，22nn S a n n=+-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设(1)n n n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．4．（23-24高二上·山东济南·期末）已知等差数列{}n a ，满足25215a a +=，47a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令(1)n n n b a =-，求{}n b 的前2n 项和2n T ．5．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足33a =，425S a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前10项和10T ．6．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,n S n n ⎛⎫⎪⎝⎭在直线2y x =+的图象上．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n b a -是首项为1且公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ．十二、数列求和之裂项相消法（共5小题）1．（23-24高二下·陕西西安·期末）在等差数列{}n b 中，11b =，321log n n b a -=，且12是1a ，321a +的等比中项．(1)求{}n b 的通项公式；(2)求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．2．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为()2*,2N n n S S n n n =+∈，数列{}n b 为等比数列，且21a -，31a +分别为数列{}n b 第二项和第三项.(1)证明数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式；(2)求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n M ；(3)若数列()211log n n nd a b =+，证明：数列{}n d 的前n 项和1n T <.3．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）设正项数列{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，其前n 项和为n S ，已知()2123,2n n a a a S d+==.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列11n n S S +⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T .4．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为23n S n n =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令()*11n n n b n a a +=∈N ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：14n T <.5．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，11a =且211n n n S S a +++=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()()242121nn n n a b a a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .十三、数列求和之错位相减法（共5小题）1．（23-24高二下·湖南·期末）数列{}n a 的前n 项和为12,3,5n S a a ==，当2n ≥时，11211n n n S S S n n n -+=+-+，数列{}n b 满足：3n n ab =.(1)证明：数列{}n b 是等比数列；(2)记数列n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .2．（23-24高二上·江苏南京·期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且131324n n n S a +=-⨯，其中*N n ∈．(1)证明3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列2421n a n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和nT 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知正项数列{}n a 满足2211230n n n n a a a a ++--=，且13.a =(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若{}3log n n a a ⋅的前n 项和为n S ，求n S .4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）在数列{}n a 中，112,21n n a a a +==-.(1)求证：{}1n a -是等比数列；(2)若n n b n a =⋅，求{}n b 的前n 项和n T .5．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知数列{}n a 的首项为112a =，且满足131n n n a a a +=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T .压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论）（共4小题）1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列{}n a 满足11a =，且对任意正整数n 都有11n n a a n +=++．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，()1nn n b n a =--，（*n ∈N ），若{|100=≤A n n 且*}100,≤∈n T n N ，求集合A 中所有元素的和．2．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知数列{}n a ，{}n b 满足{}n a 的前1n +项和()21122n n n a S b -++=+，11n n n n b b b b ++=-，且11b =.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n a 的通项公式.3．（22-23高三上·山东青岛·期末）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______.给出下列两个条件：条件①：数列{}n a 和数列{}1n S a +均为等比数列；条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记正项数列{}n b 的前n 项和为n T ，12b a =，23b a =，14n n n T b b +=⋅，求211(1)ni i i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑.4．（21-22高三上·天津河西·期末）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36S =，2a ，4a ，8a 成等比数列，数列{}n b 满足11b =，121n n b b +=+.(1)求数列{}n a 和{}n b 通项公式；(2)求20110sin 2k k k a a π=⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭∑的值；(3)证明()1122n k k k b n n b *+=<+∈∑N 压轴二：数列求和之裂项相加法（共6小题）1．（23-24高二下·天津·期末）已知数列{}n a 是递增的等差数列，{}n b 是等比数列，1122b a ==，求222b a =，342b a =(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记数列(){}21n n a -的前n 项和为n S ，若2n n mb S >对*N n ∀∈恒成立，求实数m 的取值范围；(3)设1231n n n c a a a a += ，求1ni i c =∑的值.2．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+．(1)求数列{}n a 通项公式；(2)设142n n n n n ab a a ++=，求数列{}n b的前n 项和n T ；(3)若数列{}n c 满足11111,12n n n c c c a ++==+，求证：12111223nn c c c ++⋯+>+-3．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知数列{}n a 满足112a =，358a =，且数列{}2n n a 是等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设23(21)n n nb n a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n S．4．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知数列{}n a 中，12a =，1232nn n a a +=+⋅．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()22(1)(31)n n a n b n n n -=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．5．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21524a a a =，且430S =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)令131n n n n n a b a a a +=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .6．（23-24高二上·湖北武汉·期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2=6a ，12=n n S na +．(1)求{}n a 的通项公式；(2)已知数列21(1)(31)(32)n n n a b n n +=-⋅-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题（共7小题）1．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列{}n a 满足114n n a a n ++=+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()1111n n n b a a +=-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：316n T <.2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等差数列{}n a 满足35a =，11892a a +=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且221n n n b a a +=-，若440m T >，求正整数m 的最小值．3．（22-23高二下·天津·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且()*131N n n S S n +=+∈；等差数列{}n b 前n 项和为n T 满足7549,9T b ==.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设12n n n a c b n n+=⋅+，求数列{}n c 的前n 项和；(3)设12n n n n a a a n P b b b +++=+++ ，若0λ∀>，对任意的正整数n 都有322723n n k P n λλ-+≥-恒成立，求k 的最大值.4．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知数列{}n a 满足12a =，且()*1231N n a a a a n n =+∈ ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2n n n na b =，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，若31n S n λ+≥+恒成立，求实数λ的取值范围．5．（22-23高三上·天津东丽·期末）若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()11543543154a b a a a b b b ===-=-，，．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)对任意的正整数n ，设()21132n n n n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，为奇数，，为偶数．求数列{}n c 的前2n 项和．(3)记{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()11211n n n n S a m n b a ++⎡⎤-≤+--⎣⎦对于*N n ∈恒成立，求实数m 的取值范围．6．（21-22高一下·四川广安·期末）已知数列{}n a 中，11a =，()()1134n n a a +-⋅+=-．(1)证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2121n n n b n a -=⋅⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；(3)若存在*N n ∈，使得()()()()21233333n a a a a kn +⋅+⋅++≤L L 成立，求实数k 的取值范围．7．（21-22高二上·浙江杭州·期末）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，()2112n n n n a S a S n ++--=-≥.记()221log n n b a +=.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设数列4n n b n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭前n 项和n T ，求使得不等式1361122n n n T +>-+成立的n 的最小值.。
专题04 数列求和及综合应用(解析版)
专题04 数列求和及综合应用【要点提炼】1.常用公式：12＋22＋32＋42＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.2.(1)数列通项a n 与前n 项和S n 的关系为a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.(2)应用a n 与S n 的关系式f (a n ，S n )＝0时，应特别注意n ＝1时的情况，防止产生错误. 3.数列求和(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并. (2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 4.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题.考点一 数列求和及综合应用考向一 a n 与S n 的关系问题【典例1】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，b n ＝－1－log 2|a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝b n ＋1T n T n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{c n }的前n 项和A n ，并求出A n 的最值.解 (1)因为a n ＝5S n ＋1，n ∈N *， 所以a n ＋1＝5S n ＋1＋1， 两式相减，得a n ＋1＝－14a n ，又当n ＝1时，a 1＝5a 1＋1，知a 1＝－14， 所以数列{a n }是公比、首项均为－14的等比数列. 所以数列{a n }的通项公式a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14n.(2)由(1)知b n ＝－1－log 2|a n |＝2n －1， 数列{b n }的前n 项和T n ＝n 2， c n ＝b n ＋1T n T n ＋1＝2n ＋1n 2（n ＋1）2＝1n 2－1（n ＋1）2， 所以A n ＝1－1（n ＋1）2.因此{A n }是单调递增数列，∴当n ＝1时，A n 有最小值A 1＝1－14＝34；A n 没有最大值.探究提高 1.给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .2.由S n 求a n 时，一定注意分n ＝1和n ≥2两种情况，最后验证两者是否能合为一个式子，若不能，则用分段形式来表示.【拓展练习1】 (2020·合肥检测)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)，a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(1－a n )2－a (1－a n )，若{b n }是递增数列，求实数a 的取值范围. 解 (1)a 2n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)， a 2n －1＝S n －1＋S n －2(n ≥3).相减可得a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，∵a n ＞0，a n －1＞0，∴a n －a n －1＝1(n ≥3). 当n ＝2时，a 22＝a 1＋a 2＋a 1，∴a 22＝2＋a 2，a 2＞0，∴a 2＝2. 因此n ＝2时，a n －a n －1＝1成立. ∴数列{a n }是等差数列，公差为1. ∴a n ＝1＋n －1＝n .(2)b n ＝(1－a n )2－a (1－a n )＝(n －1)2＋a (n －1)， ∵{b n }是递增数列，∴b n ＋1－b n ＝n 2＋an －(n －1)2－a (n －1) ＝2n ＋a －1＞0，即a ＞1－2n 恒成立，∴a ＞－1. ∴实数a 的取值范围是(－1，＋∞). 考向二 数列求和 方法1 分组转化求和【典例2】 (2020·山东五地联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋2a n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2)， 所以S 2a 1＝1＋2＝3，得a 1＝d ，又易知2a 1＝2，所以a 1＝1，d ＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)可得，a 2n ＝2n ，2a n ＝2n .因为b n ＝a 2n ＋2a n －1，所以b n ＝2n －1＋2n ，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2＋22＋23＋…＋2n ) ＝n （1＋2n －1）2＋2（1－2n ）1－2＝n 2＋2n ＋1－2.探究提高 1.求解本题要过四关：(1)“转化”关，把不等式的解转化为方程根的问题；(2)“方程”关，利用方程思想求出基本量a 1及d ；(3)“分组求和”关，观察数列的通项公式，把数列分成几个可直接求和的数列；(4)“公式”关，会利用等差、等比数列的前n 项和公式求和.2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.本题易忽视数列通项的下标如错得a 2n ＝n ，应注意“＝”左右两边保持一致.【拓展练习2】 (2020·潍坊调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S 4＝40.数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋3＝0，n ∈N *. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和P n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意，得⎩⎨⎧a 1＋d ＝8，4a 1＋6d ＝40，解得⎩⎨⎧a 1＝4，d ＝4，所以a n ＝4n ， 因为T n －2b n ＋3＝0，所以当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，T n －1－2b n －1＋3＝0， 两式相减，得b n ＝2b n －1(n ≥2)，则数列{b n }为首项为3，公比为2的等比数列， 所以b n ＝3·2n －1.(2)c n ＝⎩⎨⎧4n ，n 为奇数，3·2n －1，n 为偶数，当n 为偶数时，P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝（4＋4n －4）·n 22＋6（1－4n2）1－4＝2n ＋1＋n 2－2.当n 为奇数时，法一 n －1(n ≥3)为偶数，P n ＝P n －1＋c n ＝2(n －1)＋1＋(n －1)2－2＋4n ＝2n ＋n 2＋2n －1，n ＝1时符合上式.法二 P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －2＋a n )＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1) ＝（4＋4n ）·n ＋122＋6（1－4n －12）1－4＝2n ＋n 2＋2n －1.所以P n ＝⎩⎨⎧2n ＋1＋n 2－2，n 为偶数，2n ＋n 2＋2n －1，n 为奇数.方法2 裂项相消求和【典例3】 (2020·江南六校调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2.(1)证明：{a n }为等比数列； (2)记b n ＝log 2a n ，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫λb n b n ＋1的前n 项和为T n ，若T n ≥10恒成立，求λ的取值范围.(1)证明 由已知，得a 1＝S 1＝2，a 2＝S 1＋2＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －1＋2，所以a n ＋1－a n ＝(S n ＋2)－(S n －1＋2)＝a n ， 所以a n ＋1＝2a n (n ≥2).又a 2＝2a 1，所以a n ＋1a n＝2(n ∈N *)，所以{a n }是首项为2，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)可得a n ＝2n ，所以b n ＝n . 则λb n b n ＋1＝λn （n ＋1）＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， T n ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，因为T n ≥10，所以λn n ＋1≥10，从而λ≥10（n ＋1）n ，因为10（n ＋1）n ＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ≤20， 所以λ的取值范围为[20，＋∞).探究提高 1.裂项相消求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.【拓展练习3】 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和.解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，① 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)记⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－12n ＋1，则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.方法3 错位相减法求和【典例4】 (2020·济南统测)在①a 3＝5，a 2＋a 5＝6b 2，②b 2＝2，a 3＋a 4＝3b 3，③S 3＝9，a 4＋a 5＝8b 2这三个条件中任选一个，补充至横线上，并解答问题. 已知等差数列{a n }的公差为d (d >1)，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，且a 1＝b 1，d ＝q ，________. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 选条件①.(1)∵a 3＝5，a 2＋a 5＝6b 2，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1， ∴⎩⎨⎧a 1＋2d ＝5，2a 1＋5d ＝6a 1d ，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝256，d ＝512(舍去).∴⎩⎨⎧b 1＝1，q ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a n b n，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.选条件②.(1)∵b 2＝2，a 3＋a 4＝3b 3，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1， ∴⎩⎨⎧a 1d ＝2，2a 1＋5d ＝3a 1d 2，即⎩⎨⎧a 1d ＝2，2a 1＋5d ＝6d ， 解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝－2(舍去).∴⎩⎨⎧b 1＝1，q ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a n b n，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.选条件③.(1)∵S 3＝9，a 4＋a 5＝8b 2，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1， ∴⎩⎨⎧a 1＋d ＝3，2a 1＋7d ＝8a 1d ，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝218，d ＝38(舍去)，∴⎩⎨⎧b 1＝1，q ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a n b n，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.探究提高 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解.2.在写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式.【拓展练习4】 (2020·潍坊模拟)在①b 2n ＝2b n ＋1，②a 2＝b 1＋b 2，③b 1，b 2，b 4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n .公差不等于0的等差数列{b n }满足________，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和S n .(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 因为a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，所以{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以a n ＝3n －1.选①②时，设数列{b n }的公差为d 1. 因为a 2＝3，所以b 1＋b 2＝3(ⅰ).因为b 2n ＝2b n ＋1，所以当n ＝1时，b 2＝2b 1＋1(ⅱ). 由(ⅰ)(ⅱ)解得b 1＝23，b 2＝73，所以d 1＝53，所以b n ＝5n －33.所以b n a n＝5n －33n .所以S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝231＋732＋1233＋…＋5n －33n ，所以13S n ＝232＋733＋1234＋…＋5n －83n ＋5n －33n ＋1.上面两式相减，得23S n ＝23＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋133＋…＋13n －5n －33n ＋1 ＝23＋56－152×3n ＋1－5n －33n ＋1＝32－10n ＋92×3n ＋1.所以S n ＝94－10n ＋94×3n .选②③时，设数列{b n }的公差为d 2.因为a 2＝3，所以b 1＋b 2＝3，即2b 1＋d 2＝3.因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(b 1＋d 2)2＝b 1(b 1＋3d 2)，化简得d 22＝b 1d 2.因为d 2≠0，所以b 1＝d 2，从而d 2＝b 1＝1，所以b n ＝n . 所以b n a n ＝n 3n －1.所以S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，所以13S n ＝131＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n 3n .上面两式相减，得23S n ＝1＋131＋132＋133＋…＋13n －1－n 3n＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －n 3n ＝32－2n ＋32×3n . 所以S n ＝94－2n ＋34×3n －1.选①③时，设数列{b n }的公差为d 3.因为b 2n ＝2b n ＋1，所以b 2＝2b 1＋1，所以d 3＝b 1＋1.又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(b 1＋d 3)2＝b 1(b 1＋3d 3)，化简得d 23＝b 1d 3.因为d 3≠0，所以b 1＝d 3，无解，所以等差数列{b n }不存在.故不合题意.考向三 与数列相关的综合问题【典例5】 (2020·杭州滨江区调研)设f (x )＝12x 2＋2x ，f ′(x )是y ＝f (x )的导函数，若数列{a n }满足a n ＋1＝f ′(a n )，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值. 解 (1)由f (x )＝12x 2＋2x ，得f ′(x )＝x ＋2. ∵a n ＋1＝f ′(a n )，且a 1＝1. ∴a n ＋1＝a n ＋2，则a n ＋1－a n ＝2，因此数列{a n }是公差为2，首项为1的等差数列. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2，等比数列{b n }中，设公比为q ，∵b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， ∴q ＝3.∴b n ＝3n －1，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 可化为3n －12≤n 2.又n ∈N *，∴n ＝1，或n ＝2.故适合条件T n ≤S n 的所有n 的值为1和2.探究提高 1.求解数列与函数交汇问题要注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别注意；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.【拓展练习5】 已知数列{a n }与{b n }满足：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2b n (n ∈N *)，若{a n }是各项为正数的等比数列，且a 1＝2，b 3＝b 2＋4. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)若数列{c n }满足c n ＝a nb n b n ＋1(n ∈N *)，T n 为数列{c n }的前n 项和，证明：T n ＜1. (1)解 由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2b n ，① 当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝2b n －1，② ①－②可得a n ＝2(b n －b n －1) ⇒a 3＝2(b 3－b 2)＝2×4＝8，∵a 1＝2，a n ＞0，设{a n }的公比为q ， ∴a 1q 2＝8⇒q ＝2，∴a n ＝2×2n －1＝2n (n ∈N *). ∴2b n ＝21＋22＋23＋ (2)＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2，∴b n ＝2n －1(n ∈N *).(2)证明 由已知c n ＝a n b n ·b n ＋1＝2n（2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1， ∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝121－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1，当n ∈N *时，2n ＋1＞1，∴12n ＋1－1＞0，∴1－12n ＋1－1＜1，故T n ＜1.【专题拓展练习】一、单选题1．已知数列{}n a 满足()2*11n n n a a a n N+=-+∈，设12111n nS a a a =+++，且10910231a S a -=-，则数列{}n a 的首项1a 的值为（ ）A ．23 B ．1C ．32D ．2【答案】C 【详解】若存在1n a =，由2111n n n a a a --=-+，则可得11n a -=或0n a =，由12111n nS a a a =+++可得0n a ≠，由10910231a S a -=-可得101a ≠所以{}n a 中恒有1n a ≠由211n n n a a a +=-+，可得()111n n n a a a +-=-所以()11111111n n n n n a a a a a +==----，即111111n n n a a a +=---所以1212231111111111111111n n n n S a a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111n a a +=--- 所以110109*********a S a a a -=---=-，即1010101010123222111111a a a a a a =+--=----= 所以1121a =-，则1112a -=，所以132a = 2．已知在数列{}n a 中，14a =，26a =，且当2n ≥时，149n n a a +=-，若n T 为数列{}nb 的前n 项和，19(3)n n n n a b a a +-=⋅，则当175(3)()8n n a T λ+=-⋅-为整数时，n λ=（ ）A ．6B ．12C ．20D ．24 【答案】D 【详解】当2n ≥时，149n n a a +=-，得134(3)n n a a +-=-，又26a =，∴{3}n a -从第二项开始是首项为3，公比为4的等比数列，∴2334n n a --=⨯(2n ≥)，∴2413432n n n a n -=⎧=⎨⨯+≥⎩，，， 当1n =时，1138T b ==，217155(3)()82a T Z λ=-⋅-=∉，不符合题意， 当2n ≥时，221213411(41)(41)4141n n n n n n b -----⨯==-++++， ∴12221131171()84141841n n n n T b b b ---=++⋅⋅⋅+=+-=-+++， 则111115534154141n n n λ---=⨯⨯⨯=-++，由λ为整数可知141n -+是15的因数， ∴当且仅当2n =时λ可取整数，12λ=，所以24n λ=，3．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*()(11),2n n n n S a n N -+=∈，则数列{}n S 的前7项和为（ ） A ．1256-B ．85256-C ．11024- D ．3411024-【答案】B 【详解】 ∵(1)12nn n n S a -+=， ∴1n =时，1112S a +=-，即1112a a +=-，114a =-，由已知1(1)2nn n n S a =--， 2n ≥时，11111111(1)(1)(1)(1)222n n n nn n n n n n n n n na S S a a a a -----=-=----+=-+-+(*)， (*)式中n 为偶数时，112n n n na a a -=++，112n n a -=-，此时1n -为奇数， ∴n 为奇数时112n n a +=-(*)式中n 为奇数时，112n n n n a a a -=--+，1122n n na a --=-，即1111112222n n n n a -+-⎛⎫=-⨯-+= ⎪⎝⎭，此时1n -为偶数，∴n 为偶数时，12n na =， ∴11,21,2n n nn a n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，由1(1)2nn n nS a =--，得n 为奇数时，11122n n n S +=-，n 为偶数时，11022nn nS =-=， ∴数列{}n S 的前7项和为11111111421686432256128⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11118541664256256=----=-． 4．若()()*12coscoscoscos 5555n n n S n ππππ-=++++∈N ，则1S 、2S、、2020S 中值为0的共有（ ） A ．202个 B ．404个C ．606个D ．808个【答案】B 【详解】由于4coscos055ππ+=，23cos cos 055ππ+=，5cos 15π=-，69cos cos 055ππ+=，78cos cos 055ππ+=，10cos 15π=，所以234cos coscos cos 05555ππππ+++=， 2310cos cos cos cos 05555ππππ++++=，所以40S =，100S =，()()()101210coscos cos555n n n n n S S πππ++++-=+++()()()()()()1627510cos cos cos cos cos cos 555555n n n n n n ππππππ++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()()112255cos cos cos cos cos cos 555555n n n n n n ππππππ++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦0=，所以，()10n n S S n N *+=∈，则()44+100n SS n N *==∈，()10100n S S n N *==∈，因此，1S 、2S 、、2020S 中值为0的共有2022404⨯=个.5．已知数列{}n a 为等差数列，首项为2，公差为3，数列{}n b 为等比数列，首项为2，公比为2，设n n b c a =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】A 【详解】解：由题意得：323(1)1n a n n ⨯-=+-=，2nn b =，2321n n n n b c a a ==⨯-=，123n T c c c ∴=+++…n c +123321321321=⨯-+⨯-+⨯-+…321n +⨯-(1233222=⨯+++…)2n n +-()212312n n ⨯-=⨯--1326n n +=⨯--，当8n =时，98326815222020T =⨯--=<； 当9n =时，109326930572020T =⨯--=>，n ∴的最大值为8.6．已知数列{}n a 满足123232n n a a a na ++++=，设1(1)2nn n a b n -=+，n S 为数列{}n b 的前n 项和.若t n S <对任意n *∈N 恒成立，则实数t 的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．32D ．52【答案】C 【详解】1n =时，12a =，因为123232n n a a a na ++++=，所以2n ≥时，1123123(1)2n n a a a n a --++++-=，两式相减得到12n n na -=，故12,n n a n-=1n =时不适合此式，所以11,11,2(1)2(1)nn n n a b n n n n -=⎧⎪==⎨≥+⎪+⎩，当1n =时，111S b ==， 当2n ≥时，111111313123341221n S n n n ⎛⎫=+-+-+-=-< ⎪++⎝⎭， 所以32t ≥；所以t 的最小值32； 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n S an bn =+，（,a b 均为常数），且72a π=.设函数2()sin 22cos 2xf x x =+，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为（ ） A ．132πB ．7πC ．7D ．13【答案】D 【详解】因为2()sin 22cos sin 2cos 12xf x x x x =+=++， 由2n S an bn =+，得()()()2211122n n n S S an bn a n b n an a b n a -=-=+----=-+≥，又11a S a b ==+也满足上式，所以2n a an a b =-+， 则12n n a a a --=为常数，所以数列{}n a 为等差数列； 所以11372a a a π+==，()()111131131313sin 2cos 1sin 2cos 1y f a f a a a a y a =+=++++++()()1111sin 2cos 1sin 22cos 12a a a a ππ=+++-+-+=.则数列{}n y 的前13项和为()()()1213...f a f a f a +++，记()()()1213...M f a f a f a =+++，则()()()13121...M f a f a f a =+++，所以()()11321326M f a f a ⎡⎤=+=⎣⎦，因此13M =.8．公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即11a =，21a =，()*12,2n n n a a a n n --=+∈>N ，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用。
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专题04 恒成立问题一、单选题1．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef【试题来源】2020届福建省仙游县枫亭中学高三上学期期中考试（理） 【答案】B【分析】构造函数()()x f x F x e=，求出'()0F x >，得到该函数为R 上的增函数，故得(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，从而可得到结论．【解析】设()()x f x F x e =，x R ∈（），所以'()()[]x f x F x e '==()()xf x f x e '-， 因为对于()(),x R f x f x ∀∈<'，所以'()0F x >，所以()F x 是R 上的增函数，所以(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，即(1)(0)f f e <，2018(2018)(0)f f e<， 整理得()()10f ef >和()20182018(0f e f >）．故故选B ．2．已知数列{}n a 满足11a =，111nn a a e++=．若110n n a ta +-+≥恒成立，则实数t A ．最小值是21e - B ．最大值是2e 1- C ．最大值是eD ．最小值是e【试题来源】哈尔滨市第三中学2020-2021学年上学期高三1月线上学习阶段性考试（理） 【答案】C【分析】作差()111ln 1n n n n a a a a +++-=-+，构造函数()ln(1)f x x x =-+，利用导数知识可得111n n a a a +≥≥=，将110n n a ta +-+≥恒成立化为()11111ln 1n n n n a a t a a +++++≤=+1(1n a +≥)恒成立，构造函数()ln xg x x=(2)x ≥，利用导数知识求出()g x 的最小值即可得解． 【解析】由111nn a a e++=得11n a n a e ++=，得1211a a e e =-=-，()1ln 1n n a a +=+，所以()111ln 1n n n n a a a a +++-=-+， 令()ln(1)f x x x =-+，则1()111xf x x x '=-=++(1)x >-， 当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， 所以()f x 在(1,0)-上递减，在(0,)+∞上递增，所以当0x =时，()f x 取得最小值(0)0f =，所以()0f x ≥， 所以11()0n n n a a f a ++-=≥，所以111n n a a a +≥≥=， 因为110n n a ta +-+≥恒成立，所以11n n ta a +≤+恒成立， 所以()11111ln 1n n n n a a t a a +++++≤=+1(1n a +≥)恒成立， 令()ln xg x x=(2)x ≥，则()211ln ()ln x x x g x x ⨯-⋅'=2ln 1(ln )x x -=，令()0g x '<得ln 10x -<，得0x e <<，又2x ≥，所以2x e ≤<，令()0g x '>得ln 10x ->，得x e >，所以()g x 在[2,)e 上递减，在(,)e +∞上递增， 所以当x e =时，()g x 取得最小值()g e e =，所以t e ≤，即t 的最大值为e ．故选C 【名师点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥； ②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤； ③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥； ④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤.3．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010【试题来源】新疆维吾尔自治区2021届高三第二次联考数学（理）能力测试试题 【答案】D【分析】由极值点得数列的递推关系，由递推关系变形得数列1{}n n a a +-是等比数列，求得1n n a a +-，由累加法求得n a ，计算出n b ，然后求和122311202020202020n n b b b b b b ++++，利用增函数定义得此式的最小值，从而得出n S 的最小值，再由不等式恒成立可得t 的最大值．【解析】3212()43n n n f x a x a x a '++=--，所以12(1)430n n n f a a a '++=--=，即有()2113n n n n a a a a +++-=-，所以{}1n n a a +-是以2为首项3为公比的等比数列，所以1123n n n a a -+-=⋅，1201111221123232313n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a --++---=-+-+-++-+=⋅+⋅++⋅+=所以31log n n b a n +==，所以12231120202020202011120201223(1)n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=+++⎪⨯⨯+⎝⎭1111120202020122311nn n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪++⎝⎭， 又20201ny n =+为增函数，当1n =时，1010n S =，10102020n S ≤<， 若n S t ≥恒成立，则t 的最大值为1010．故选D ．【名师点睛】本题考查函数的极值，等比数列的判断与通项公式，累加法求通项公式，裂项相消法求和，函数新定义，不等式恒成立问题的综合应用．涉及知识点较多，属于中档题．解题方法是按部就班，按照题目提供的知识点顺序求解．由函数极值点得数列的递推公式，由递推公式引入新数列是等比数列，求得通项公式后用累加法求得n a ，由对数的概念求得n b ，用裂项相消法求和新数列的前n 项和，并利用函数单调性得出最小值，然后由新定义得n S 的最小值，从而根据不等式恒成立得结论．4．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()xxf x e =，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理） 【答案】C【分析】当1x <时，求导，得出导函数恒小于零，得出()f x 在(),1-∞内是增函数．再由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，从而得()f x 在()1,+∞内是减函数，由此可得选项．【解析】当1x <时，'1()0x x f x e-=->，则()f x 在(),1-∞内是增函数． 由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()f x 在()1,+∞内是减函数， ．所以()()350f f ->．故选C ．【名师点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性，抽象函数的对称性的应用，以及由函数的单调性比较其函数的大小关系，属于中档题． 5．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立 【试题来源】浙江省杭州市萧山中学2019-2020学年高三下学期返校考试 【答案】D【解析】对于A ，不妨令01a <≤，1b ≥，则1a ab b b a a a a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1baa b ⋅=即11b aaab-=，由10b a -≥可知101b aa -<≤，则101ab <≤，所以1≥ab ，2a b +≥≥，故A 正确； 对于B ，若a b ≤，则0ab e e -≤，320b a ->，故32a b e e b a -≠-即23a b e a e b +≠+，与已知矛盾，故B 正确；对于C ，()ln ln ln 1b b a a b a b a a-≥-⇔-≥-， 令0b x a =>，()()ln 10f x x x x =-->，则()1x f x x-'=， 则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()10f x f ≥=，所以ln 10b b a a --≥即ln 1b ba a-≥-，故C 正确； 对于D ，设()()ln 0h x x x x =>，()()0x xg x x e=>， 则()ln 1h x x '=+，()1xxg x e -'=， 所以()h x 在()10,e-上单调递减，在()1,e-+∞上单调递增，则()()11h x h e e --≥=-，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11g x g e -≤=，所以()()110h eg e --+<，即当1a b e-==时ln 0bba a e +<，故D 错误．故选D ． 二、多选题1．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+D ．21cos 12x x ≥-【试题来源】广东省中山市2019-2020学年高二下学期期末 【答案】ACD 【分析】令10tx ，()1ln 1f t t t =+-，导数方法求出最小值，即可判定出A 正确；令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >，导数方法研究单调性，求出范围，即可判定B 错； 令()1xf x e x =--，导数的方法求出最小值，即可判定C 正确； 令()21cos 12f x x x =-+，导数的方法求出最小值，即可判定D 正确．【解析】A 选项，因为1x >-，令10tx ，()1ln 1f t t t=+-，则()22111t f t t t t -'=-=，所以01t <<时，()210t f t t-'=<，即()f t 单调递减；1t >时，()210t f t t-'=>，即()f t 单调递增；所以()()min 10f t f ==，即()1ln 10f t t t =+-≥，即1ln t t t -≥，即()ln 11x x x +≥+，1x >-恒成立；故A 正确；B 选项，令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >， 则()()2222211112110222x x x f x x x x x ---⎛⎫'=-+==-≤ ⎪⎝⎭显然恒成立， 所以()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在0x >上单调递减， 又()10f =，所以当()0,1x ∈时，()()10f x f >=，即11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故B 错； C 选项，令()1xf x e x =--，则()1xf x e '=-，当0x >时，()10xf e x ='->，即()f x 单调递增；当0x <时，()10xf e x ='-<，所以()f x 单调递减；则()()00f x f ≥=，即1x e x ≥+恒成立；故C 正确； D 选项，令()21cos 12f x x x =-+，则()sin f x x x '=-+， 所以()cos 10f x x ''=-+≥恒成立，即函数()sin f x x x '=-+单调递增， 又()00f '=，所以当0x >时，()0f x '>，即()21cos 12f x x x =-+单调递增； 当0x <时，()0f x '<，即()21cos 12f x x x =-+单调递减； 所以()()min 00f x f ==，因此21cos 12x x ≥-恒成立，故D 正确；故选ACD ． 【名师点睛】本题主要考查导数的方法判定所给不等式是否正确，考查导数的方法判定函数单调性、求函数最值等，属于常考题型．2．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a < B ．()()2af a ef a >-C ．()()0>f a fD ．()()0a f f a e>【试题来源】江苏省扬州中学2019-2020学年高二下学期6月月考 【答案】BD【分析】根据()()'0f x f x +>，设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，得到()h x 在R 上是增函数，再根据a 是正实数，利用单调性逐项判断．【解析】设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，因为()()'0f x f x +>，所以()0h x '>，()h x 在R 上是增函数， 因为a 是正实数，所以2a a <，所以()()22aae f a e f a <，因为21a a e e >>， ()(),2f a f a 大小不确定，故A 错误，因为a a -<，所以()()a a e f a e f a --<，即()()2af a e f a >-，故B 正确．因为0a >，所以()()()000ae f a e f f >=，因为1a e >，()(),0f a f 大小不确定．故C 错误．()()()000a e f a e f f >=，因为1a e >，所以()()0a f f a e>，故D 正确．故选BD. 【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题．3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x <D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1【试题来源】山东省肥城市2019-2020学年高二下学期期中考试 【答案】BCD【分析】先对函数求导，根据022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，排除A ；再由导数的方法研究函数单调性，判断出B 选项；构造函数()sin xg x x=，由导数的方法研究其单调性，即可判断C 选项；根据()sin x g x x =的单调性，先得到sin 2x x π>，再令()sin h x x x =-，根据导数的方法研究其单调性，得到sin 1xx<，即可判断D 选项． 【解析】因为()cos sin f x x x x =-，所以()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-， 所以022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，所以2x π=不是函数的极值点，故A 错； 若[]0,x π∈，则()sin 0f x x x '=-≤，所以函数()cos sin f x x x x =-在区间[]0,π上单调递减；因此()()00≤=f x f ，故B 正确； 令()sin x g x x =，则()2cos sin x x xg x x-'=， 因为()cos sin 0f x x x x =-≤在[]0,π上恒成立，所以()2cos sin 0x x xg x x -'=<在()0,π上恒成立， 因此函数()sin xg x x=在()0,π上单调递减；又120x x π<<<，所以()()12g x g x >，即1212sin sin x x x x >，所以1122sin sin x x x x <，故C 正确；因为函数()sin x g x x =在()0,π上单调递减；所以0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()sin x g x x =也单调递减，因此()sin 22x g x g x ππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立； 令()sin h x x x =-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 0h x x '=-≥在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()sin h x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因此()sin 0h x x x =->，即sin 1xx <在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立； 综上，2sin 1x x π<<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，故D 正确．故选BCD ． 【名师点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的方法研究函数的极值，单调性等，属于常考题型．4．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 【试题来源】冲刺2020高考数学之拿高分题目强化卷（山东专版） 【答案】ACD【分析】对选项A ，()f x 在[]1,2上的最小值小于a 即可；对选项B ，()g x 的最小值大于0即可；对选项C ，()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值即可；对选项D ，[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥即可．【解析】对选项A ，只需()f x 在[]1,2上的最小值小于a ，()f x 在[]1,2上单调递增，所以min 2()(1)111f x f ==-=-，所以1a >-，故正确； 对选项B ，只需()g x 的最小值大于0，因为[]πcos,2x a a a ∈-，所以min ()52530g x a a a =-+-=->，所以503a <<，故错误； 对选项C ，只需()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值，min ()1f x =-，max ()525g x a a a =+-=-，即15a ->-，6a >，故正确；对选项D ，只需()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥，max 2()(2)212f x f ==-=，所以[]11,2x ∈，[]1()1,1f x ∈-， []0,1x ∈时，π0,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,1上单调递减， ()min (1)52a g x g ==-，()max (0)5a g x g ==-，所以()[]52,5g x a a ∈--，由题意，52151a a -≤-⎧⎨-≥⎩⇒34a ≤≤，故正确．故选ACD ．【名师点睛】本题主要考查不等式恒成立和存在性问题，考查学生的分析转化能力，注意恒成立问题和存在性问题条件的转化，属于中档题．5．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->【试题来源】江苏省盐城市伍佑中学2019-2020学年高二下学期期中 【答案】BCD【分析】构造出函数()()xxf x F x e =，再运用求导法则求出其导数，借助导数与函数单调性之间的关系及题设中()()()f x xf x xf x '+<，从而确定函数()()xxf x F x e=是单调递减函数，然后可判断出每个答案的正误． 【解析】构造函数()()xxf x F x e =， 因为2[()()]()()()()()0()x x x xe f x xf x xe f x f x xf x xf x F x e e'+-+-=='<'， 故函数()()xxf x F x e =在R 上单调递减函数， 因为21>，所以212(2)(1)(2)(1)f f F F e e <⇒<，即2(2)(1)f f e<，故A 正确，B 错误；因为()(1)0F F <，即()10f e<，所以()10f <，故C 错误； 因为()(1)0F F ->，即()110f e--->，所以()10f -<，故D 错误，故选BCD. 【名师点睛】解答本题的难点所在是如何依据题设条件构造出符合条件的函数()()xxf x F x e =，这里要求解题者具有较深的观察力和扎实的基本功，属于较难题． 6．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 【试题来源】福建省福州第一中学2021届高三上学期开学检测 【答案】ABD【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解．【解析】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a <<，设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122xf x x x-'=-=--，所以当01x <<时，0f x ，即()f x 在0,1上为单调递增函数，所以函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()131ln 2ln 1222f x <<<+<+=， 所以()112f x << ， 即11(2)2n a n <<≥， 所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确；由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确；2112a <<，所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确，故选ABD ．7．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．1【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高三上学期期中考前训练 【答案】ABC 【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x F x x x x x=++>，利用导数法研究其最小值即可．【解析】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1xF x x x x x =++>，则()222131ln 2ln x x x F x x x x x ---'=-+=． 令()ln 2x x x ϕ=--，因为()10x x xϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增． 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ， 于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++．（*） 因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>，所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=，将00ln 2x x =-代入（*）式， 得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈． 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数，所以713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 因为k 为整数，所以0k ≤．故选ABC ．8．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立 D ．2ln a a b b e e-<恒成立 【试题来源】2020年高考数学母题题源全揭秘（浙江专版） 【答案】AD【分析】对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，故D 错误．【解析】A ． 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b ，设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b ，由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b +=； 此时1+→a b ，故A 错误．B ． 232+=+>+a b b e a e b e b ，设()2x f x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确；C ． ()ln ln ln1-≥-⇔≥-a ba ab a b b a， 又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a bb a，C 正确；D ． max 1=⇒=x x y y e e 当且仅当1x =；min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e；所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，D 错误．故选AD.【名师点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题． 三、填空题1．若()()220xxxme ex e ex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】浙江省杭州地区（含周边）重点中学2020-2021学年高三上学期期中 【答案】32m ≤-【分析】对已知不等式进行变形，利用换元法、构造函数法、常变量分离法，结合导数的性质进行求解即可．【解析】()()()()222210xx xxxxme ex e ex me ex e ex ee++++-⇒≤≤ （1）， 令x ext e=，因为()0,x ∈+∞，所以0t >， 则不等式(1)化为2221(2)(1)11t t m t t m t --+++≤⇒≤+，设()xex f x e=，()0,x ∈+∞，'(1)()x e x f x e -=，当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减， 当01x <<时，'()0,()f x f x >单调递增，因此当()0,x ∈+∞时，max ()(1)1f x f ==，而(0)0f =，因此当()0,x ∈+∞时，()(0,1]f x ∈，因此(0,1]t ∈，设2221()1t t g t t --+=+，(0,1]t ∈，因此要想()()220x x xme ex e ex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，只需min ()m g t ≤，2'2243()(1)t t g t t ---=+，因为(0,1]t ∈，所以'()0g t <，因此()g t 在(0,1]t ∈时单调递减，所以min 3()(1)2g t g ==-，因此32m ≤-．2．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】四川省三台中学实验学校2019-2020学年高二下学期期末适应性考试（理）【答案】1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；原问题即可转化为直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象，由图象得到只需<<OA OB k a k ；根据导数的方法求出OA ，OB 所在直线斜率，进而可得出结果． 【解析】由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；所以若()()(ln )0=--<xf x e ax x ax 恒成立，只需0ln 0x e ax x ax ⎧->⎨-<⎩，即直线y ax =介于xy e =与ln y x =之间，作出其大致图象如下：由图象可得，只需<<OA OB k a k ；设11(,)A x y ，由ln y x =得1y x'=，所以111OA x x k y x =='=， 所以曲线ln y x =在点11(,)A x y 处的切线OA 的方程为1111ln ()-=-y x x x x ， 又该切线过点O ，所以11110ln (0)1-=-=-x x x ，解得1x e =，所以1=OA k e； 设22(,)B x y ，由x y e =得e xy '=，所以22x OB x x k y e =='=，所以曲线xy e =在点22(,)B x y 处的切线OB 的方程为222()-=-x x y e e x x ，又该切线过点O ，所以2220(0)-=-x x ee x ，解得21x =，所以=OB k e ；所以1a e e <<．故答案为1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【名师点睛】本题主要考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型．3．已知函数()1xf x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】黑龙江省七台河市田家炳高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理） 【答案】[1,)-+∞【分析】求导得到()xf x e a '=+，讨论10a +和10a +<两种情况，计算10a +<时，函数()f x 在[)00,x 上单调递减，故()(0)0f x f =，不符合，排除，得到答案．【解析】因为()1x f x e ax =+-，所以()xf x e a '=+，因为0x ，所以()1f x a '+．当10a +，即1a ≥-时，()0f x '，则()f x 在[0,)+∞上单调递增，从而()(0)0f x f =，故1a ≥-符合题意；当10a +<，即1a <-时，因为()x f x e a '=+在[0,)+∞上单调递增，且(0)10f a '=+<，所以存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00f x '=．令()0f x '<，得00x x <，则()f x 在[)00,x 上单调递减，从而()(0)0f x f =，故1a <-不符合题意．综上，a 的取值范围是[1,)-+∞．故答案为[1,)-+∞．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________． 【试题来源】2020年高考数学选填题专项测试（文理通用） 【答案】[)0,+∞【分析】把()ln f x x x =-，代入()10f x m -+≤，即ln 1m x x ≥-+恒成立，构造()ln 1g x x x =-+，利用导数研究最值，即得解．【解析】()ln f x x x =-，则()10f x m -+≤恒成立，等价于ln 1m x x ≥-+令11()ln 1(0),'()1(0)xg x x x x g x x x x-=-+>=-=> 因此()g x 在(0,1)单调递增，在(1)+∞，单调递减， 故max ()(1)00g x g m ==∴≥，故答案为[)0,+∞.【名师点睛】本题考查了导数在不等式的恒成立问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题．5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________． 【试题来源】2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟（理）试题 【答案】0a e ≤<【分析】若函数()0xf x e ax =->恒成立，即min ()0f x >，求导得'()x f x e a =-，在0,0,0a a a >=<三种情况下，分别讨论函数单调性，求出每种情况时的min ()f x ，解关于a的不等式，再取并集，即得．【解析】由题意得，只要min ()0f x >即可，'()x f x e a =-，当0a >时，令'()0f x =解得ln x a =， 令'()0f x <，解得ln x a <，()f x 单调递减， 令'()0f x >，解得ln x a >，()f x 单调递增，故()f x 在ln x a =时，()f x 有最小值，min ()(ln )(1ln )f x f a a a ==-， 若()0f x >恒成立，则(1ln )0a a ->，解得0a e <<； 当0a =时，()0xf x e =>恒成立；当0a <时，'()xf x e a =-，()f x 单调递增，,()x f x →-∞→-∞，不合题意，舍去．综上，实数a 的取值范围是0a e ≤<．故答案为0a e ≤< 6．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．【试题来源】四川省泸州市2020学年下学期高二期末统一考试（文） 【答案】(],3-∞【分析】求函数的导数，根据()0f x '，利用参数分离法进行转化，然后构造函数()g x ，转化为求函数的最值即可． 【解析】函数的导数2()21f ax x x '=+-，由()0f x '在1x 上恒成立得2210a x x +-在1x 上恒成立，即221a x x+，得322x x a +在1x 上恒成立，设32()2g x x x =+，则2()622(31)g x x x x x '=+=+，当1x 时，()0g x '>恒成立，即()g x 在1x 上是增函数， 则当1x =时，()g x 取得最小值()1213g =+=，则3a ， 即实数a 的取值范围是(],3-∞，故答案为(],3-∞.【名师点睛】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，利用参数分离法以及构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．属于中档题． 7．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【试题来源】陕西省商洛市洛南中学2019-2020学年高二下学期第二次月考（理） 【答案】(2,)+∞ 【分析】设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=，利用导数求得函数的单调性与最大值，结合题意，即可求得实数m 的取值范围． 【解析】由题意，设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=， 则()22(1)(323)x x f x x x --=-+'=，当2[1,)3x ∈--或(1,2]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2(,1)3x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 又由222(),(2)2327f f -==，即2()(2)3f f -<， 即函数()f x 在区间[1,2]-的最大值为2， 又由当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，所以2m >， 即实数m 的取值范围是(2,)+∞．故答案为(2,)+∞【名师点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，其中解答中熟练应用函数的导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题． 8．不等式()221nn n N*>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________． 【试题来源】北京市101中学2019-2020学年高三10月月考 【答案】331n n >-【分析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立．【解析】13311>-，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-．下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤，构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当3x ≥时，()0f x '<． 所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤．所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-．故答案为331n n >-． 【名师点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题．9．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【试题来源】湖北省襄阳市第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考 【答案】(,1)-∞【分析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->，分类讨论，分离参数，求最值，即可求实数m 的取值范围．【解析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->， (ⅰ)当(0,1)x ∈时，||0x m -≥，ln 0xx<，不等式恒成立，所以m R ∈； (ⅰ)当1x =时，|1|0m -≥，ln 0xx=，所以1m ≠； (ⅰ)当1x >时，不等式恒成立等价于ln x m x x <-恒成立或ln xm x x>+恒成立， 令ln ()x h x x x =-，则221ln ()x x h x x'-+=，因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >， 因为ln xm x x<-恒成立等价于min ()m h x <，所以1m ，令ln ()x g x x x =+，则221ln ()x xg x x +-'=，再令2()1ln p x x x =+-，则1'()20p x x x=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()p x 在(1,)x ∈+∞上无最大值，综上所述，满足条件的m 的取值范围是(,1)-∞．故答案为(,1)-∞．10．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考（理）【答案】4e -⎡⎤⎣⎦【分析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立，当0x ≠时，则2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩，然后构造函数()x e g x x =（0x >），()221x h x x x +=-（0x <），分别求解函数()g x 的最小值和()h x 的最大值，只需()()min max h x a g x ≤≤即可．【解析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立；当0x ≠时，则()2,012,0xe ax x a x x x x ⎧≥>⎪⎨-≥--<⎪⎩，因为当0x <时，20x x ->， 所以只需满足2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩即可，令()x e g x x =（0x >），则()()21x x e g x x -'=， 则()0,1x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1x ∈上递减， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()1,+∞上递增， 所以()()1min g x g e ==，所以a e ≤，令()221x h x x x +=-（0x <），则()()()()()()22222222112221x x x x x x h x x x x x --+-+-'==--，令()0h x '=，得x =（舍）或x =，则当12,x ⎛⎫∈-∞ ⎝- ⎪⎪⎭时，()0h x '>；当1,02x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0h x '<， 所以函数()h x在12,⎛-∞ ⎝ -⎭上递增，在12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上递减， 所以()41122maxh x h ===-⎛⎫⎝⎭--- ⎪⎝⎭故4a ≥-4a e -≤≤．故答案为4e -⎡⎤⎣⎦．【名师点睛】本题考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围问题，考查学生分析问题、转化问题的能力，考查参变分离思想的运用，考查利用导数求解函数的最值，属于难题． 解决此类问题的方法一般有以下几种：（1）作出函数的图象，利用数形结合思想加以研究；（2）先进行参变分离，然后利用导数研究函数的最值，即可解决问题，必要时可以构造新函数进行研究．11．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________．【试题来源】【全国区级联考】江苏省徐州市铜山区下学期高二数学（文）期中试题 【答案】2c ≥【解析】由()()f x g x ≥，即32ln 1x x c x -+≥+，即32ln 1c x x x ≥-+++．令()()32ln 10h x x x x x =-+++>，()()()21331x x x h x x'-++=-，故函数()h x 在区间()0,1上递增，在()1,+∞上递减，最大值为()12h =，所以2c ≥．【名师点睛】本题主要考查利用分析法和综合法求解不等式恒成立，问题，考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值等知识．首先根据()()f x g x ≥，对函数进行分离常数，这里主要的思想方法是分离常数后利用导数求得另一个部分的最值，根据这个最值来求得参数的取值范围．12．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【试题来源】河南省名校联盟2020届高三（6月份）高考数学（理）联考试题 【答案】[)0,+∞ 【分析】先根据2x π=时22f a ππ⎛⎫≤⎪⎝⎭得0a ≥，再对函数()f x 求导，研究导函数的单调性、最值等，进而研究函数()f x 单调性，即可解决．【解析】22f a ππ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，0a ∴≥． 由题意得()()2sin sin cos 1sin cos 1f x x x x x x x x '=-++-=-+-⎡⎤⎣⎦， 令()sin cos 1g x x x x =-+-，则()sin g x x x '=-．当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()0g x '<，()g x 单调递减；当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，()g x ∴的最小值为()1g ππ=--． 又22g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，302g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，3,22x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，()0g x ≤，即()0f x '≤， ()f x ∴在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数．02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤．又当0a ≥，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0ax ≥，故()f x ax ≤恒成立，因此a 的取值范围是[)0,+∞． 13．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．【试题来源】6月大数据精选模拟卷04（上海卷）（满分冲刺篇） 【答案】e -【分析】把不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，转化为函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，结合函数的单调性和零点，得出1a-是函数ln y ax x =-的零点，即可求解． 【解析】由题意，不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，即函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，由ln ,0,0y ax x a x =-<>，则10y a x'=-<，所以ln y ax x =-为(0,)+∞减函数， 又由当0a <，可得1y ax =+为(0,)+∞减函数， 所以1y ax =+ 与ln y ax x =-同为单调减函数，且1a-是函数1y ax =+的零点， 故1a -是函数ln y ax x =-的零点，故110ln a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得a e =-．【名师点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把不等式恒成立问题转化为函数的性质和函数的零点问题是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力．14．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________． 【试题来源】2020届辽宁省抚顺市高三二模考试（理） 【答案】12-【分析】设()()2211xx ax f x x e-+=≤，结合导数可知当0a <时，()()min 21f x f a =+；由题意可知，()()2122211a a f x f a e++≥+=≥，设()1tg t e t =--，则()0g t ≤，由导数可求出当0t =时，()g t 有最小值0，即()0g t ≥．从而可确定()0g t =，即可求出a 的值．【解析】设()()2211x x ax f x x e -+=≤，则()()()121xx x a f x e--+⎡⎤⎣⎦'=． 当211a +≥，即0a ≥时，()0f x '≤，则()f x 在(],1-∞上单调递减， 故()()2211a f x f e -≥=≥，解得102ea ≤-<，所以0a ≥不符合题意； 当211a +<，即0a <时，()f x 在(),21a -∞+上单调递减，在(]21,1a +上单调递增，则()()min21f x f a =+．因为2211x x ax e -+≥，所以()()2122211a a f x f a e ++≥+=≥． 令211a t +=<，不等式21221a a e++≥可转化为10te t --≤，设()1t g t e t =--， 则()1tg t e '=-，令()0g t '<，得0t <；令()0g t '>，得01t <<，则()g t 在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递增；当0t =时，()g t 有最小值0， 即()0g t ≥．因为()0g t ≤，所以()0g t =，此时210a +=，故12a =-． 【名师点睛】本题考查了函数最值的求解，考查了不等式恒成立问题．本题的难点在于将已知恒成立问题，转化为()10tg t e t =--≤恒成立．本题的关键是结合导数，对含参、不含参函数最值的求解．15．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mx x x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________． 【试题来源】2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期3月停课不停学阶段性测试（理） 【答案】(,2]e -∞【分析】首先对参数的范围进行讨论，分两种情况，尤其是当0m >时，对式子进行变形，构造新函数，将恒成立问题转化为最值来处理，利用函数的单调性来解决，综述求得最后的结果．【解析】（1）0m ≤，显然成立；（2）0m >时，由32ln 0mxx x me -≥22ln m x m x x e x ⇒≥2ln (2ln )mxx m x e e x⇒≥，由()xf x xe =在[),e +∞为增2ln mx x⇒≥2ln m x x ⇒≤在[),e +∞恒成立， 由()2ln g x x x =在[),e +∞为增，min ()2g x e =，02m e <≤， 综上，2m e ≤，故答案为(,2]e -∞． 四、双空题1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．【试题来源】辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2020-2021学年高三上学期第一次联考 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭[)5,-+∞【分析】求出导函数()2122122ax x f x ax x x-+'=-+=，只需方程22210ax x -+=有两个不相等的正根，满足1212010210x x a x x a ⎧⎪∆>⎪⎪=>⎨⎪⎪+=>⎪⎩，解不等式组可得a 的取值范围；求出 ()()1212f x f x x x +--的表达式，最后利用导数，通过构造函数，求出新构造函数的单调性，最后求出t 的取值范围．【解析】2221()(0)ax x f x x x'-+=>，因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ，所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有：121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得102a <<．()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---， 设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 22()0a h a a '-=>，故()h a 在102a <<上单调递增，故1()52h a h ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，所以5t ≥-．因此t 的取值范围是[)5,-+∞. 故答案为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；[)5,-+∞【名师点睛】本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题，考查了不等式恒成立问题，构造新函数，利用导数是解题的关键，属于基础题． 2．已知函数()ln xf x x=，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是___________；若不等式()1x x a f x x+>-≥对于任意的()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【试题来源】2020年高考全国卷考前冲刺演练精品密卷ⅰ（理） 【答案】1y x =- []0,1【分析】由题意结合导数的几何意义、直线的点斜式方程即可得切线方程；易得1y x x=+的图象与直线y x =无限接近但永远不能相交，再作出函数1y x =-及()ln xf x x=的图象，数形结合即可得解．【解析】由题意()10f =，()21ln xf x x -'=，()11f '=， 所以曲线1ln xy x-=在点()1,0处的切线方程为1y x =-； 由1y x x x=+>，且随着x 的增加，1x x +与x 的取值不断接近，所以1y x x=+的图象与直线y x =无限接近但永远不能相交； 令()()ln 1x h x x x =--，则()221ln x x h x x --'=， 当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减， 结合()10h =可得()0h x ≥即ln 1xx x≥-， 在坐标系中作出函数1y x =-及()ln xf x x=的图象，如图所示，由图可知，曲线y x a =-的最低点(),0a 必须在以()0,0和()1,0为端点的线段上运动， 所以01a ≤≤，故a 的取值范围是[]0,1．故答案为1y x =-；[]0,1．【名师点睛】本题考查了利用导数求切线方程及作函数图象，考查了函数图象的应用及数形结合思想，属于中档题．3．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________． 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练【答案】13,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 132- 【分析】将2n =代入求解即可；当n 为奇数时，cos 1n π=-，则转化32()2710f n n n n λ=+--≥为2127n n n λ+-≤，设21()27g n n n n=+-，由单调性求得()g n 的最小值；同理，当n 为偶数时，cos 1n π=，则转化32()2710f n n n n λ=---≥为2127n n n λ--≤，设21()27(2)h x x x x x=--≥，利用导函数求得()h x 的最小值，进而比较得到λ的最大值． 【解析】由题，(2)1628210f λ=---≥，解得132λ-≤． 当n 为奇数时，cos 1n π=-，由32()2710f n n n n λ=+--≥，得2127n n nλ+-≤， 而函数21()27g n n n n=+-为单调递增函数，所以min ()(1)8g n g ==，所以8λ≤； 当n 为偶数时，cos 1n π=，由32()2710f n n n n λ=---≥，得2127n n nλ--≤，设21()27(2)h x x x x x =--≥，212,()470x h x x x'∴=-+>≥，()h x ∴单调递增，。