人教版七年级上册数学专题 训练：找规律之图形变化类(含答案)

七年级上册数学专题培优训练：找规律之图形变化类

1．如图是由一些火柴棒搭成的图案：

（1）摆第1个图案用根火柴棒，摆第2个图案用根火柴棒，摆第3个图案用根火柴棒．

（2）按照这种方式摆下去，摆第n个图案用多少根火柴棒（n为正整数）？

（3）摆2021根火柴棒时是第几个图案？

2．观察图示，解答问题．

（1）由上而下第8行，白球有个，黑球有个；

（2）若第n（n为正整数）行白球与黑球的总数记作y，求y与n的关系式；

（3）求出第2020行白球和黑球的总数．

3．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推．（1）图1的阴影部分的面积是；

（2）受此启发，得到++++的值是；

（3）若按这个方式继续分割下去，受前面问题的启发，可求得+++…+的值为；

（4）请你利用图2，再设计一个能求+++…+的值的几何图形．

4．【规律探索】如图所示的是由相同的小正方形组成的图形，每个图形的小正方形个数为S

，n是正整数．观察下列图形与等式之间的关系

n

【规律归纳】

（1）S 9﹣S 8＝ ；S n ﹣S n ﹣1＝ ； （2）S 9+S 8＝ ；S n +S n ﹣1＝ ； 【规律应用】 （3）计算的结果为 ．

5．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法． 例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，…，按此规律，求图8、图n 有多少个点？

我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1＝6个；图2中黑点个数是6×2＝12个；图3中黑点个数是6×3＝18个；…，所以容易求出图8、图n 中黑点的个数分别是 、 ．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题： （1）第6个点阵中有 个圆圈；第n 个点阵中有 个圆圈． （2）小圆圈的个数会等于331吗？请求出是第几个点阵．

6．如图是一列用若干根火柴棒摆成的由正方形组成的图案．

（1）完成下表的填空：

正方形的个数 1 2 3 4 5 6

火柴棒的根数 4 7 10 13

（2）第n个图形有根火柴棒．

（3）小亮用若干根火柴棒按如图所示的方式摆图案，摆完了第1个后，摆第2个，接着摆第3个，第4个，……，当他摆完第n个图案时剩下了20根火柴棒，要刚好摆完第（n+1）个图案还差8根．问最后摆的第（n+1）个图案是第几个图案？

7．下列小金鱼图案是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成，第一条小金鱼图案需8根小木棒，第二条小金鱼图案需14根小木棒，…，按此规律，

（1）第n条小金鱼图案需要小木棒根；

（2）如果有30000根小木棒，按照如图所示拼搭第1条，第2条……，直到第100条金鱼，请通过计算说明这些木棒是否够用．

8．探究题．

观察图形，解答下列问题．

（1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第八层有几个小圆圈？第n层呢？

（2）某一层上有65个圆圈，这是第几层？

（3）图中从第一层到第n层一共有多少个圆圈？

（4）计算：1+3+5+…+99的和；

（5）计算：101+103+105+…+199的和．

9．如图是用棋子摆成的“上”字．

（1）依照此规律，第4个图形需要黑子、白子各多少枚？

（2）按照这样的规律摆下去，摆成第n个“上”字需要黑子、白子各多少枚？

（3）请探究第几个“上”字图形白子总数比黑子总数多15枚．

10．如图1，给定一个正方形，要通过画线将其分割成若干个互不重叠的正方形．第1次画线分割成4个互不重叠的正方形，得到图2；第2次画线分割成7个互不重叠的正方形，得到图3……以后每次只在上次得到图形的左上角的正方形中画线．

尝试：第3次画线后，分割成个互不重叠的正方形；

第4次画线后，分割成个互不重叠的正方形．

发现：第n次画线后，分割成个互不重叠的正方形；并求第2020次画线后得到互不重叠的正方形的个数．

探究：若干次画线后，能否得到1001个互不重叠的正方形？若能，求出是第几次画线后得到的；若不能，请说明理由．

参考答案

1．解：（1）观察图形的变化可知：

摆第1个图案用5+1＝6根火柴棒，

摆第2个图案用5×2+1＝11根火柴棒，

摆第3个图案用5×3+1＝16根火柴棒；

故答案为：6，11，16；

（2）结合（1）可知：

摆第n个图案用（5n+1）根火柴棒；

（3）因为5n+1＝2021，

解得n＝404，

所以摆2021根火柴棒时是第404个图案．

2．解：（1）第一行1个白球，1个黑球，

第二行2个白球，3个黑球，

第三行3个白球，5个黑球，

…

所以可得第n行白球有n个，黑球有2n﹣1个．

第8行，白球有8个，黑球有15个；

故答案为：8，15；

（2）第n（n为正整数）行白球数为n个，

黑球数为：（2n﹣1）个，

所以总数y与n的关系式为：y＝n+2n﹣1＝3n﹣1；

（3）第2020行白球和黑球的总数为：3×2020﹣1＝6059．3．解：（1）∵观察图形发现部分①的面积为：；

部分②的面积为＝；

…

∴图1的阴影部分的面积是；

故答案为：；

（2）++++＝1﹣＝；

故答案为：；

（3）

+

+

+…+＝1﹣；

故答案为：1﹣； （4）如图为

+

+

+…+的值的几何图形，

4．解：（1）根据图形与等式之间的关系可知：

S 2﹣S 1＝2； S 3﹣S 2＝3； S 4﹣S 3＝4；

… 发现规律：

S n ﹣S n ﹣1＝n ；

∴S 9﹣S 8＝9； 故答案为9、n ； （2）S 2+S 1＝22；

S 3+S 2＝32； S 4+S 3＝42；

… 发现规律：

S n +S n ﹣1＝n 2；

∴S 9+S 8＝92＝81； 故答案为81、n 2；

（3）结合（1）（2）可知：

＝＝．

故答案为．

5．解：图1中黑点个数是6×1＝6个； 图2中黑点个数是6×2＝12个； 图3中黑点个数是6×3＝18个； …，

所以图8、图n 中黑点的个数分别是48，6n ； 故答案为：48，6n ；

（1）观察点阵可知： 第1个点阵中有1个圆圈；

第2个点阵中有7个圆圈；7＝2×3×1+1； 第3个点阵中有19个圆圈；19＝3×3×2+1； 第4个点阵中有37个圆圈；37＝4×3×3+1； 第6个点阵中有圆圈个数为：6×3×5+1＝91（个）； 发现规律：

第n 个点阵中有圆圈个数为：n ×3（n ﹣1）+1＝3n 2﹣3n +1． 故答案为：91；n ×3（n ﹣1）+1＝3n 2﹣3n +1． （2）会；第11个点阵． 3n 2﹣3n +1＝331 整理得，n 2﹣n ﹣110＝0

解得n 1＝11，n 2＝﹣10（负值舍去），

答：小圆圈的个数会等于331，是第11个点阵．

6．解：（1）观察图形的变化可知：

第1个图形有3×1+1＝4根火柴棒．

第2个图形有3×2+1＝7根火柴棒．

第3个图形有3×3+1＝10根火柴棒．

…

第5个图形有3×5+1＝16根火柴棒．

第6个图形有3×6+1＝19根火柴棒．

故答案为：16，19；

（2）由（1）可知：

第n个图形有（3n+1）根火柴棒．

故答案为：（3n+1）；

（3）因为摆完第n个图案时剩下了20根火柴棒，要刚好摆完第（n+1）个图案还差8根．所以3（n+1）+1＝20+8，

解得n＝8，

所以最后摆的第（n+1）个图案是第9个图案．

7．解：（1）第一条小金鱼图案需8根小木棒，即8＝6×1+2；

第二条小金鱼图案需14根小木棒，即14＝6×2+2；

第三条小金鱼图案需20根小木棒，即20＝6×3+2

…，

发现规律，

第n条小金鱼图案需要小木棒（6n+2）根；

故答案为：（6n+2）；

（2）拼搭第1条，第2条……，直到第100条金鱼，

所需小木棒：8+14+20+…+602

＝

＝30500＞30000．

答：这些木棒不够用．

8．解：（1）第八层有15个小圆圈，第n层有（2n﹣1）个小圆圈；

（2）令2n﹣1＝65，

得，n＝33．

所以，这是第33层；

（3）1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2；

（4）1+3+5+…+99＝502＝2500；

（5）101+103+105+...+199＝（1+3+5+...+199）﹣（1+3+5+ (99)

＝1002﹣502

＝7500．

9．解：（1）依照此规律，第4个图形需要黑子5枚，白子14枚；

（2）按照这样的规律摆下去，摆成第n个“上”字需要黑子（n+1）枚，白子（3n+2）枚；

（3）设第m个“上”字图形白子总数比黑子总数多15枚，

则3m+2＝m+1+15，

解得m＝7．

所以第7个“上”字图形白子总数比黑子总数多15枚．

10．解：尝试：3×3+1＝10，

3×4+1＝13；

故答案为：11，13；

发现：通过尝试可知：

第n次画线后，分割成的正方形为：3n+1；

当n＝2020时，3n+1＝6061，

即第2020次画线后得到互不重叠的正方形的个数是6061；

故答案为：（3n+1）；

探究：不能．

设每次画线后得到互不重叠的正方形的个数为m，则m＝3n+1．

若m＝1001，则1001＝3n+1．解得．

这个数不是整数，所以不能．