2016年青岛二中自主招生数学试题及答案
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青岛二中2016年自主招生(数学)试题
初中学校 姓名 考号
1.化简
2016
201514
313
212
11++
+++
++
+ .
2.二中学生气象小组预测:“五一”假期中,三天的降水概率依次为%30,%40,%60.请问这
三天不经历降水的概率是多少?
3.一次函数的图象过抛物线1222--=x x y 与772
-+-=x x y 的两交点,求一次函数的解析式. 4.二中3D 实验室加工一圆柱体,从其内部挖掉一个等高的小圆柱,得到一个新的几何体,其三视图如图所示,俯视图中⊙2O 与⊙1O 的弦AB 相切,且
,//21AB O O (如右图),若该几何体的体积为π160,求
弦AB 的长.
5.解方程2
3
||2||+=
-+x x x . 6.自行车选手甲、乙、丙三人同时从A 点出发沿着AB ,BC ,CA 三条直线段行进,选手甲在这三条直线上行进的速度分别为12,10,15(h km /),选手乙在这三条直线上行进的速度分别为15,15,
10(h km /),选手丙在这三条直线上行进的速度分别为10,20,12(h km /).若三名选手同时到达终点
A ,求ABC ∠的大小.
7.若干学生参加二中模联测试,参加测试学生得分均为60到100的整数(含60和100).已知此次测试平均分为80分,其中恰有5人得分为100分.试计算参加测试学生人数的最小值.
(阅读预备知识,完成相应题目)
第8题预备知识:二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴交点的横坐标分别为)(,2121x x x x <.
0>a 时,则002
21221<++<<>++> 212 21>++<<<++> 8.求使得2 4 2222+--+x x x x 为正整数k 的所有实数x 的值. 第9题预备知识 :圆的切线与过切点的弦所形成的角(弦切角),等于其所夹 弧对的圆周角(如图21∠=∠). 9.在ABC ∆ Rt 中,AB 为斜边,其内切圆分别与边BC ,AB , CA 切于1A ,1B ,1C ,线段F C 1是111C B A ∆ 的高. (1)求111C A B ∠与BAC ∠的关系; (2)求111C B A ∠的度数; (3)证明:点F 在BAC ∠的平分线上. 10.已知边长为1的正方形ABCD ,将AB 边)2(≥n n 等分,点M 是离点A 最近的一个分点,正方形ABCD 截去以AM 为边长的正方形后,余下部分的面积记为n S ,记n S S S S ⋅⋅⋅= 32. (1)当2016=n 时,求S 的值; (2)若函数)0(≠=k kx y 的图象与点)2 1 ,(-S n 所在反比例函数图象交于B A ,两点,过点A 作x 轴平行线与过点B 作y 轴平行线交于点P ,则ABP ∆的面积是否为定值,若是,请求出该定值;若不是,请说明理由. 11.ABC ∆中,C B A ∠∠∠,,的对边分别为c b a ,,,函数)(2 1 2)(2c b a x ab x c b a y -++ -++=的最小值为0,且B A cos ,cos 是关于x 的方程08)52()5(2 =-+--+m x m x m 的两根. (1)求证:ABC ∆是直角三角形;(2)求实数m 的值; (3)若此三角形外接圆面积为 4 25π ,求ABC ∆内接正方形的边长. 12.已知点)3,2(--A ,)0,1(B ,)3,0(-C (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线顶点D 和抛物线与x 轴另一交点E 的坐标; (2)若在线段OC 上有一动点M (不在端点),分别以点O 、C 为圆心,OM 、MC 为半径作圆,在⊙O 与⊙C 上各有一动点P 、Q ,求EQ EP +的范围; (3)若从点D 向y 轴上某点G 出发,再从点G 向x 轴上某点H 出发,再由点H 到达点A ,求所走路径长度的最小值. C 1 A 1 B 1 F C B A 2 110 俯视图 主视图 2016自主招生考试(数学)评分标准 1.(本题满分6分) 解:原式=)()()()(2015-20163-42-31-2++++ 1-14121-2016== 2.(本题满分6分) 解: 三天的降雨概率依次为6.0,4.0,3.0 ∴三天不降雨的概率依次为4.0,6.0,7.0 ∴168.04.06.07.0=⨯⨯=P 3.(本题满分6分) 解:设抛物线交点分别为),(11y x A 、),(22y x B ⎩⎨⎧⇒-+-=--=7 71222 2x x y x x y ⎩⎨⎧-==1111y x 或⎩⎨⎧==32 22y x 设一次函数解析式为)0(≠+=k b kx y ,则 ⇒⎩⎨ ⎧=+-=+321b k b k ⎩ ⎨⎧-==54 b k ∴一次函数的解析式为54-=x y 4.(本题满分6分) 解:设大圆半径为R ,小圆半径为r 底S V 10160==π , πππ1622=-=∴r R S 底,即1622=-r R 8222=-=∴r R AB 5.(本题满分10分) 解:当x<-2时,2 3 |22|23|2|23||2||+= +⇔+=---⇔+=-+x x x x x x x x 257 2322->-=⇔+=--⇔x x x ,无解. 当x ≥-2时,2 3 2+=x .1=x ; 故原方程解为1=x . 6.(本题满分10分) 解:设c AB =,a BC =,b CA =, 由题意可知 12 2010101515151012b a c b a c b a c + +=++=++ 化简得⎪⎩ ⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-+=+-c b c a c b a c b a 454302022 则222b c a =+, 090=∠∴ABC . 7.(本题满分10分) 解:设n 名学生参加测试,恰有5人得100分,n -5人最少每人60分,总分最少 20060)5(601005+=-+⨯n n ,平均分最少 80200 6020060≤+=+n n n 得10≥n . 当5人得100分, 5人每人得60分时,平均分=8010800 10605500==⨯+.故n 最小=10. 8.(本题满分12分) 解: k x x x x =+--+2 4222 2为正整数,得042)2()2(2 =+++--k x k x k , 若2=k ,则2=x , 2≠k ,则2,103647)4(8)2(222=⇔≥++-=--+=∆k k k k k , 当1=k 时,解0632 =-+x x 得2 33 3±-= x . 综上得2,2 33 3±-= x . 9.(本题满分12分)