高中数学二次函数专题

高中数学二次函数专题

1．（人教A 版第27页A 组第6题）解析式、待定系数法

若()2

f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值．

变式1：若二次函数()2

f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为

(0,11)，则

A ．1,4,11a b c ==-=-

B ．3,12,11a b c ===

C ．3,6,11a b c ==-=

D ．3,12,11a b c ==-=

变式2：若()()2

23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______．

变式3：若二次函数()2

f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、

()2,0B x ，且2212269

x x +=

，试问该二次函数的图像由()()2

31f x x =--的图像向上平移几个单位得到？

2．（北师大版第52页例2）图像特征

将函数()2

361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值

或最小值，并画出它的图像．

变式1：已知二次函数()2

f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则

122x x f +??= ???

A ．2b a -

B ．b

a

- C ． c D ．244ac b a -

变式2：函数()2

f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、

()1f 的大小关系是

A ．()()()110f f f <-<

B ．()()()011f f f <-<

C ．()()()101f f f <<-

D ．()()()101f f f -<< 变式3：已知函数()2

f x ax bx c =++的图像如右图所示，

请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________．

3．（人教A 版第43页B 组第1题）单调性

x

y

O

已知函数()2

2f x x x =-，()()2

2[2,4]g x x x x =-∈．

(1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2) 求()f x ，()g x 的最小值．

变式1：已知函数()2

42f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是

A ．3a ≥

B ．3a ≤

C ．3a <-

D ．3a ≤- 变式2：已知函数()()2

15f x x a x =--+在区间(12 ,1)上为增函数，那么()2f 的取值范围

是_________．

变式3：已知函数()2

f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围．

4．（人教A 版第43页B 组第1题）最值

已知函数()2

2f x x x =-，()()2

2[2,4]g x x x x =-∈．

(1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2) 求()f x ，()g x 的最小值．

变式1：已知函数()2

23f x x x =-+在区间[0,m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围

是

A ．[)1,+∞

B ．[]0,2

C ．[]1,2

D ．(),2-∞

变式2：若函数y =M ，最小值为m ，则M + m 的值等于________． 变式3：已知函数()2

2

4422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值．

5．（人教A 版第43页A 组第6题）奇偶性

已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．画出函数()f x 的图像，并求出函数的解析式．

变式1：若函数()()()

22111f x m x m x =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()f x 是

A ．增函数

B ．减函数

C ．常数

D ．可能是增函数，也可能是常数 变式2：若函数()()2

312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是

________．

变式3：设a 为实数，函数1||)(2

+-+=a x x x f ，R x ∈．

(I)讨论)(x f 的奇偶性；(II)求)(x f 的最小值． 6．（北师大版第64页A 组第9题）图像变换

已知22

43,30

()33,0165,16

x x x f x x x x x x ?++-≤

=-+≤

(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值． 变式1：指出函数2

23y x x =-++的单调区间． 变式2：已知函数)(|2|)(2

R x b ax x x f ∈+-=．

给下列命题：①)(x f 必是偶函数；

② 当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x =1对称；

③ 若02

≤-b a ，则)(x f 在区间[a ，＋∞)上是增函数；

④)(x f 有最大值||2

b a -．

其中正确的序号是________．③

变式3：设函数,||)(c bx x x x f ++=给出下列4个命题：

①当c =0时，)(x f y =是奇函数；

②当b =0，c >0时，方程0)(=x f 只有一个实根；

③)(x f y =的图象关于点（0，c ）对称；

④方程0)(=x f 至多有两个实根．

上述命题中正确的序号为 ．

7．（北师大版第54页A 组第6题）值域

求二次函数2

()26f x x x =-+在下列定义域上的值域： (1)定义域为{}

03x Z x ∈≤≤；(2) 定义域为[]2,1-． 变式1：函数()2

()2622f x x x x =-+-<<的值域是

A ．20,

2?-??? B ．()20,4- C ．920,2?

?- ???

D ． 920,2?

?- ???

变式2：函数y =cos2x +sin x 的值域是__________．

变式3：已知二次函数 f (x ) = a x 2 + bx （a 、b 为常数，且 a ≠ 0），满足条件 f (1 + x ) = f (1－x )，且方程 f (x ) = x 有等根．

(1)求 f (x ) 的解析式；

(2)是否存在实数 m 、n （m < n ），使 f (x ) 的定义域和值域分别为 [m ,n ] 和 [3m ,3n ]，如果 存在，求出 m 、n 的值，如果不存在，说明理由．

8．（北师大版第54页B 组第5题）恒成立问题

当,,a b c 具有什么关系时，二次函数()2

f x ax bx c =++的函数值恒大于零？恒小于零？

变式1：已知函数 f (x ) = lg (a x 2 + 2x + 1) ．

(I)若函数 f (x ) 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围； (II)若函数 f (x ) 的值域为 R ，求实数 a 的取值范围．

变式2：已知函数2

()3f x x ax a =++-，若[]2,2x ∈-时，有()2f x ≥恒成立，求a 的取

值范围．

变式3：若f (x ) = x 2 + bx + c ，不论 α、β 为何实数，恒有 f (sin α )≥0，f (2 + cos β )≤0． (I) 求证：b + c = －1； (II) 求证： c ≥3；

(III) 若函数 f (sin α ) 的最大值为 8，求 b 、c 的值． 9．（北师大版第54页B 组第1题）根与系数关系

右图是二次函数()2

f x ax bx c =++的图像，它与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，试确定

,,a b c 以及12x x ，12x x +的符号．

变式1：二次函数b ax y +=2

与一次函数)(b a b ax y >+=在同一个直角坐标系的图像为

变式2：直线3-=mx y 与抛物线x m x y C m mx x y C )12(:,45:2

22

1-+=-+=2

3,m +-

23:323C y x mx m =+--中至少有一条相交，则m 的取值范围是．

变式3：对于函数 f (x )，若存在 x 0 ∈ R ，使 f (x 0) = x 0 成立，则称 x 0 为 f (x ) 的不动点．如果函数 f (x ) = a x 2 + bx + 1（a > 0）有两个相异的不动点 x 1、x 2．

(I)若 x 1 < 1 < x 2，且 f (x ) 的图象关于直线 x = m 对称，求证m > 1

2 ；

(II)若 | x 1 | < 2 且 | x 1－x 2 | = 2，求 b 的取值范围．

D ．

C ．

x

y

O x

y

O O

x

y

A ．

B ．

10．（北师大版第52页例3）应用

绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？

变式1：在抛物线()2

f x x ax =-+与x 轴所围成图形的内接

矩形(一边在x 轴上)中(如图)，求周长最长的内接矩形两边之比，其中a 是正实数．

变式2：某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元）

(1) 分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关

系式；

B C

x

y

D

O A

(2) 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10

万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？

变式3：设a 为实数，记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a ) ．

（Ⅰ）求g (a )；（Ⅱ）试求满足)1

()(a

g a g =的所有实数a ．

二次函数答案

1．（人教A 版第27页A 组第6题）解析式、待定系数法

变式1： 解：由题意可知2

2241411

b

a ac b

a

c ?-=??-?=-?

?=???

，解得31211a b c =??=-??=?，故选D ． 变式2： 解：由题意可知

212b +=，解得b =0，∴012

c

+=，解得c =2． 变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为()()2

31f x x k =--+， 展开得()2

363f x x x k =-+-+，

∴121232,3

k x x x x -+==

， ∴()2

221212122629x x x x x x +=+-=

，即()2326439k --=，解得4

3

k =． 所以，该二次函数的图像是由()()2

31f x x =--的图像向上平移 43 单位得到的，它的解析

式是()()2

4313f x x =--+

，即()25363

f x x x =-+-． 2．（北师大版第52页例2）图像特征

变式1： 解：根据题意可知1222x x b a +=-，∴ 122x x f +??=

???

2

44ac b

a -，故选D ．

变式2： 解：∵()()11f x f x +=-，∴抛物线()2

f x x px q =++的对称轴是1x =，

∴ 12

p

-

=即2p =-， ∴()2

2f x x x q =-+，∴()0f q =、()13f q -=+、()11f q =-+， 故有()()()101f f f ->>，选C ． 变式3： 解：观察函数图像可得：

① a >0(开口方向)；② c =1(和y 轴的交点)；

③ 4210a b ++=(和x 轴的交点)；④10a b ++<(()10f <)； ⑤ 240b a ->(判别式)；⑥ 122b

a

<-

<(对称轴)． 3．（人教A 版第43页B 组第1题）单调性

变式1： 解：函数()2

42f x x ax =++图像是开口向上的抛物线，

其对称轴是2x a =-，

由已知函数在区间(),6-∞内单调递减可知区间(),6-∞应在直线2x a =-的左侧， ∴26a -≥，解得3a ≤-，故选D ．

变式2：解：函数()()2

15f x x a x =--+在区间(12 ,1)上为增函数，由于其图像(抛物线)开

口向上，所以其对称轴12a x -=或与直线12x =重合或位于直线12x =的左侧，即应有11

22

a -≤，解得2a ≤，

∴

()()241257f a =--?+≥，即()27f ≥．

变式3：解：函数()2

f x x kx =-+的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是

2

k

x =

， ∵ 已知函数在[2,4]上是单调函数，∴ 区间[2,4]应在直线2

k

x =的左侧或右侧， 即有

22k ≤或42

k

≥，解得4k ≤或8k ≥． 4．（人教A 版第43页B 组第1题）最值

变式1： 解：作出函数()2

23f x x x =-+的图像，

x

y

O

y

开口向上，对称轴上x =1，顶点是(1，2)，和y 轴的交点是(0，3)， ∴m 的取值范围是12m ≤≤，故选C ．

变式2： 解：函数有意义，应有240x -+≥，解得22x -≤≤，

∴ 2044x ≤-+≤ ? 02≤≤ ? 06≤≤， ∴ M =6，m =0，故M + m =6．

变式3： 解：函数()f x 的表达式可化为()()2

4222a f x x a ?

?=-+- ??

?．

① 当022

a

≤

≤，即04a ≤≤时，()f x 有最小值22a -，依题意应有223a -=，解得1

2a =-，这个值与04a ≤≤相矛盾．

②当02

a <，即0a <时，()2

022f a a =-+是最小值，依题意应有2223a a -+=，解得

1a =，又∵0a <，∴1a =

③当

22

a

>，即4a >时，()2216822f a a a =-+-+是最小值，

依题意应有2168223a a a -+-+=，解得5a =±4a >，∴5a =+为所求．

综上所述，1a =5a =+ 5．（人教A 版第43页A 组第6题）奇偶性

变式1： 解：函数()()()

22111f x m x m x =-+-+是偶函数 ? 210m -= ? 1m =±， 当1m =时，()1f x =是常数；当1m =-时，()2

21f x x =-+，在区间(],0-∞上()f x 是

增函数，故选D ．

变式2：解：根据题意可知应有120a a -+=且0b =，即1

3

a =且0

b =，∴点(),a b 的坐标是1,03?? ???

．

变式3： 解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2

x f x x x f =+-+-=-，此时，)(x f 为偶函数；

当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2

++=-a a a f ，

)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠，此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．

（II ）（i ）当a x ≤时，4

3)21

(1)(22++-=++-=a x a x x x f ， 若2

1

≤

a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2

+=a a f ．

若21>

a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()2

1

(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数4

3

)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f ，

若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21

(a f f ≤-，

若2

1

->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值

为1)(2

+=a a f ．

综上，当21-

≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43

； 当21

21≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a ；

当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +4

3

．

6．（北师大版第64页A 组第9题）图像变换

变式1： 解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单调区间．

当0x ≥时，()2

22314y x x x =-++=--+， 当0x <时，()222314y x x x =--+=-++． 作出函数图像，由图像可得单调区间．

在(),1-∞-和(]0,1上，函数是增函数；在[]1,0-和()1,+∞上，函数是减函数．

变式2： 解：若1,1,a b ==则2

2

()|21|21f x x x x x =-+=-+，显然不是偶函数，所以①是不

x

y

O

正确的；

若1,4,a b =-=-则2

()|24|f x x x =+-，满足)2()0(f f =，但)(x f 的图像不关于直线x =1对称，所以②是不正确的；

若02≤-b a ，则2

2

()|2|2f x x ax b x ax b =-+=-+，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x a =，∴)(x f 在区间[a ，＋∞)上是增函数，即③是正确的；

显然函数()2

()|2|f x x ax b x R =-+∈没有最大值，所以④是不正确的．

变式3： 解：22,0

()||,0

x bx c x f x x x bx c x bx c x ?++≥?=++=?-++

(1)当c =0时，()f x x x bx =+，满足()()f x f x -=-，是奇函数，所以①是正确的；

(2)当b =0，c >0时，22,0

(),0

x c x f x x x c x c x ?+≥?=+=?-+

方程0)(=x f 即200x c x ?+=?≥? 或20

x c x ?-+=?

显然方程200x c x ?+=?≥?无解；方程20

x c x ?-+=?

(3)设()00,x y 是函数()||f x x x bx c =++图像上的任一点，应有0000||y x x bx c =++， 而该点关于（0，c ）对称的点是()00,2x c y --，代入检验00002||c y x x bx c -=--+即

0000||y x x bx c -=---，也即0000||y x x bx c =++，所以()00,2x c y --也是函数()||f x x x bx c =++图像上的点，所以③是正确的；

(4)若1,0b c =-=，则()||f x x x x =-，显然方程||0x x x -=有三个根，所以④ 是不正确的．

7．（北师大版第54页A 组第6题）值域

变式1： 解：作出函数()2

()2622f x x x x =-+-<<的图象，容易发现在32,2

??- ??

?

上是增

函数，在3,22??????

上是减函数，求出(2)20f -=-，(2)4f =，39

()22

f =

，注意到函数定义不包

含2x =-，所以函数值域是920,2

??- ??

?

．

变式2：解：∵ y = cos2x +sin x =－2sin 2x +sin x +1，令t = sin x ∈ [－1,1]，

则y =－2t 2+t +1，其中t ∈ [－1,1]，

∴y ∈ [－2, 98 ]，即原函数的值域是[－2, 9

8 ]．

变式3： 解：(I) ∵

f (1 + x ) = f (1－x )，

∴ －b

2a

= 1，

又方程 f (x ) = x 有等根 ? a x 2 + (b －1) x = 0 有等根， ∴ △= (b －1) 2 = 0 ? b = 1 ? a = －1

2 ，

∴ f (x ) = －1

2

x 2 + x ．

(II) ∵ f (x ) 为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1， 1? 当 m ≥1 时，f (x ) 在 [m ,n ] 上是减函数， ∴ 3m = f (x )min = f (n ) = －1

2

n 2 + n (*)，

3n = f (x )max = f (m ) = －1

2

m 2 + m ，

两式相减得：3 (m －n ) = －1

2 (n 2－m 2) + (n －m )，

∵ 1≤m < n ，上式除以 m －n 得：m + n = 8， 代入 (*) 化简得：n 2－8n + 48 = 0 无实数解． 2? 当 n ≤1 时，f (x ) 在 [m ,n ] 上是增函数， ∴ 3m = f (x )min = f (m ) = －1

2

m 2 + m ，

3n = f (x )max = f (n ) = －1

2 n 2 + n ，

∴ m = －4，n = 0．

3? 当 m ≤1≤n 时，对称轴 x = 1 ∈ [m ,n ]，

∴ 3n = f (x )max = f (1) = 12 ? n = 1

6

与 n ≥1 矛盾．

综合上述知，存在 m = －4、n = 0 满足条件．

8．（北师大版第54页B 组第5题）恒成立问题

变式1： 解：(I) 函数 f (x ) 的定义域为 R ，即不等式a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集为 R ，

∴应有 ??

? a > 0 △= 4－4a < 0

? a > 1，

∴ 实数 a 的取值范围是(1,+∞) ．

(II) 函数 f (x ) 的值域为 R ，即a x 2 + 2x + 1 能够取 (0,+∞) 的所有值．

1? 当 a = 0 时，a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1满足要求；

2? 当 a ≠ 0 时，应有??? a > 0

△= 4－4a ≥0

? 0 < a ≤1．

∴ 实数 a 的取值范围是[0,1] ．

变式2： 解法一：(转化为最值)

()2f x ≥在[]2,2-上恒成立，即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上恒成立．

⑴()2

410a a ?=--≤，

22a ∴--≤≤-+

⑵24(1)0(2)0(2)02222

a a f f a a ??=-->?

≥??

?-≥?

?-≥-≤-??或

，52a ∴-≤<-． 综上所述2225-≤≤-a ． 解法二：（运用根的分布） ⑴当22a -

<-，即4a >时，应有()(2)732g a f a =-=-≥， 即5

3

a ≤，a ∴不存在； ⑵当222

a

-≤-≤，即44a -≤≤时，应有2()()3224a a g a f a =-=-

-+≥， 即222222-≤≤-a －，2224-≤≤-∴a ； ⑶当22

a

-

>，即4a <-时，应有()(2)72g a f a ==+≥，即5a ≥- ， 54a ∴-≤<- 综上所述2225-≤≤-a ．

变式3： 证明：(I) 依题意，f (sin π

2

) = f (1)≥0，f (2 + cos π) = f (1)≤0，

∴ f (1) = 0 ? 1 + b + c = 0 ? b + c = －1， (II) 由 (I) 得： f (x ) = x 2－(c + 1) x + c (*)

∵ f (2 + cos β )≤0 ? (2 + cos β ) 2－(c + 1) (2 + cos β ) + c ≤0

? (1 + cos β ) [c －(2 + cos β )]≥0，对任意 β 成立．

∵ 1 + cos β ≥0 ? c ≥2 + cos β ， ∴ c ≥(2 + cos β )max = 3．

(III) 由 (*) 得：f (sin α ) = sin 2α－(c + 1) sin α + c ，

设 t = sin α ，则g (t ) = f (sin α ) = t 2－(c + 1) t + c ，－1≤t ≤1， 这是一开口向上的抛物线，对称轴为 t = c + 1

2

， 由 (II) 知：t ≥3 + 1

2

= 2，

∴ g (t ) 在 [－1,1] 上为减函数．

∴ g (t )max = g (－1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8， ∴ c = 3

∴ b = －c －1 = －4．

9．（北师大版第54页B 组第1题）根与系数关系

变式1： 解：二次函数b ax y +=2

与一次函数图象b ax y +=交于两点),(b o 、),1(b a +，由二次函

数图象知b a ,同号，而由C B ,中一次函数图象知b a ,异号，互相矛盾，故舍去C B ,．

又由b a >知，当0>>b a 时，1->-a b ，

此时与A 中图形不符，当0a b >>时，1b

a

-<-，与D 中图形相符． 变式

2： 解：原命题可变为：求方程m mx x mx 4532-+=-，

3)12(322-+-+=-m x m x mx ，

32332--+=-m mx x mx 中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的m 的值，即得所求．

解不等式组??

???<--<--<+--,

0)2(44,04)1(,

0)34(4)4(22

22m m m m m m 得 123-<<-m ，

故符合条件的m 取值范围是2

3

-≤m 或1-≥m ．

变式3： 解：(I) 由 f (x ) 表达式得 m = －b

2a

，

∵ g (x ) = f (x )－x = a x 2 + (b －1) x + 1，a > 0，

由 x 1，x 2 是方程 f (x ) = x 的两相异根，且 x 1 < 1 < x 2， ∴ g (1) < 0 ? a + b < 0 ? －b a > 1 ? －b 2a > 12 ，即 m > 1

2 ．

(II) △= (b －1) 2－4a > 0 ? (b －1) 2 > 4a ，

x 1 + x 2 =

1－b a ，x 1x 2 = 1

a

， ∴ | x 1－x 2 | 2 = (x 1 + x 2) 2－4x 1x 2 = (1－b a ) 2－4

a = 2 2，

∴ (b －1) 2 = 4a + 4a 2 (*)

又 | x 1－x 2 | = 2， ∴ x 1、x 2 到 g (x ) 对称轴 x =

1－b

2a

的距离都为1， 要 g (x ) = 0 有一根属于 (－2,2)， 则 g (x ) 对称轴 x = 1－b

2a

∈ (－3,3)， ∴ －3 <

b －12a < 3 ? a > 1

6

| b －1 |，

把代入 (*) 得：(b －1) 2 > 23 | b －1 | + 1

9 (b －1) 2，

解得：b < 14 或 b > 7

4

，

∴ b 的取值范围是：(－∞, 14 )∪( 7

4

,+∞)．

10．（北师大版第52页例3）应用

变式1： 解：设矩形ABCD 在x 轴上的边是BC ，BC 的长是x (0

则B 点的坐标为,02a x -??

???，A 点的坐标为22,2

4a x a x ??-- ???．

设矩形ABCD 的周长为P ，

则P =2()22222

21122242222a x a a x x x x ??-+=-++=--++ ???

(0

① 若a >2，则当x =2时，矩形的周长P 有最大值，这时矩形两边的长分别为2和22

4

a x -，

两边之比为8:()

24a -；

②若0

12222

a x --+

+无最大值，也就是说周长最大的内接矩形不存在．

综上所述，当a >2时，周长最大的内接矩形两边之比为8:()

24a -；当0

变式2： 解：(I) 依题意设 A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式分别为

f (x ) = kx ，

g (x ) = m x ，

由 f (1) = k = 0.25， g (4) = 2m = 2.5 ? m = 5

4 ，

∴ f (x ) = 14 x （x ≥0），g (x ) = 5

4

x ．

(II) 设企业在 B 产品投资 x 万元，则在 A 产品投资 10－x 万元，

∴ 企业的利润 y = 14 (10－x ) + 54 x = 14 [－(x －52 ) 2 + 65

4 ]（0≤x ≤10），

∴ x = 52 ，即 x = 6.25 万元时，企业获得最大利润 65

16

≈4 万元．

答：在 A 产品投资 3.75 万元，在 B 产品投资 6.25 万元，企业获得最大利润约 4 万元． 变式3： 解：设x x t -++=11，要使t 有意义，必须01≥+x 且01≥-x ，即11≤≤-x ，

∵]4,2[12222∈-+=x t ，且0≥t ……① ∴t 的取值范围是]2,2[．

由①得：12

112

2-=

-t x ， 不妨设t t a t m +-=)12

1

()(2a t at -+=2

21，]2,2[∈t ． （I ）由题意知)(a g 即为函数)(t m a t at -+=22

1

，]2,2[∈t 的最大值，

当0=a 时，t t m =)(，]2,2[∈t ，有)(a g =2；

当0a ≠时，此时直线a t 1-=是抛物线)(t m a t at -+=22

1

的对称轴，

∴可分以下几种情况进行讨论：

（1）当0>a 时，函数)(t m y =，]2,2[∈t 的图象是开口向上的抛物线的一段，

由01

<-

=a

t 知)(t m 在]2,2[∈t 上单调递增，故)(a g )2(m =2+=a ； （2）当0

若a

t 1

-

=]2,0(∈即22-≤a 时，)(a g 2)2(==m ，

若a t 1-=]2,2(∈即]21,22(--∈a 时，)(a g a

a a m 21)1(--=-=， 若a t 1-=),2(+∞∈即)0,2

1

(-∈a 时，)(a g )2(m =2+=a ．

综上所述，有)(a g =???

?

?

?

???

-≤-≤<---->+)22(2)2122(,21)21(2a a a a a a ． （II ）若a >0，则1a >0，此时g(a )=g( 1a ) ? a +2= 1a +2 ? a = 1

a ?a =1(舍去a =－1)；

若－12

2 (舍去)；

若－ 2 2

a

<－ 2 ，

此时g(a )=g( 1a ) ? －a －12a = 2 ? a =－ 2

2

(舍去)；

若－ 2 ≤a ≤－ 2 2 ，则－ 2 ≤1a ≤－ 2

2 ，

此时g(a )=g( 1

a

) ? 2 = 2 恒成立；

若－2≤a <－ 2 ，则－ 2 2 <1a ≤－1

2

，

此时g(a )=g( 1a ) ? 2 =－a －12a ? a =－ 2

2 (舍去)；

若a <－2，则－12 <1

a <0，

此时g(a )=g( 1

a

) ? 2 = a +2? a =－2+ 2 >－2 (舍去) ．

综上所述，满足)1

()(a g a g =的所有实数a 为：2

22-≤≤-a 或1=a ．