高中数学一元二次函数与不等式测试(含答案)

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高中数学一元二次函数与不等式测试（含答案）

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;

卷I （选择题）

一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分， ）

1. 若a

D.12a <1

2b

2. 不等式(x ?3)(x ?1)>0的解集是（ ）

A.{x|?1

B.{x|x <1或x >3}

C.{x|x 3}

D.{x|1

3. 设x ∈(?1

2,?0)，以下三个数α1=cos (sin xπ)，α2=sin (cos xπ)，α3=cos (x +1)π的

大小关系是（ ） A.α3<α2<α1 B.α1<α3<α2 C.α3<α1<α2 D.α2<α3<α1

4. 已知关于x 的方程x 2+bx +a =0的一个根是?a(a ≠0)，则a ?b 值为（ ） A.?1 B.0 C.1 D.2

5. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2)＝1，且f(x)的导数f′(x)在R 上的恒有f′(x)<

14

(x ∈R)，则不等式f(x 2)<

x 24

+1

2

的解集为（ ）

A.(?∞,??2)∪(2,?+∞)

B.(?2,?2)

C.(?∞,??√2)∪(√2,?+∞)

D.(?√2,?√2)

6. 若不等式x 2+2x

b +16b a

对任意a ，b ∈(0,?+∞)恒成立，则实数x 的取值范围是

( )

A.(?4,?2)

B.(?∞,??4)∪(2,?+∞)

C.(?∞,??2)∪(0,?+∞)

D.(?2,?0)

7. 已知?1

A.b

B.b

C.a2b

D.a2b

8. 已知2x+y=2，则9x+3y的最小值为（）

A.2√2

B.4

C.12

D.6

二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分）

9. 下列结论正确的是()．

A.若，则的最大值为

B.若，，则

C.若，，且，则的最大值为9

D.若，则的最大值为2

10. 下列不等式的证明过程正确的是（）

A.若a<0，b<0，则b

a +a

b

≥2√b

a

?a

b

=2

B.若x，y∈R?，则lg x+lg y≥2√lg x lg y

C.若x为负实数，则x+4

x ≥?2√x?4

x

=?4

D.若x为负实数，则2x+2?x≥2√2x?2?x≥2

11. 如果a

A.1 a <1

b

B.ac2

C.a+1

b

a

D.a2>ab>b2

12. 定义在上的函数的导函数为，且，则对任意、

，其中，则下列不等式中一定成立的有()

A.

B.

C.

D.

卷II（非选择题）

三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分）

13. 设x>5，P=√x?4?√x?5，Q=√x?2?√x?3，则P与Q的大小关系是________．

14. 若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|?1

2

3

}，则a+b=________.

15. 已知函数，则该函数的图象

恒过定点________；若满足的所有整数解的和为，则实数的取值范围是________.

16. 为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为2400m2的新型生鲜销售市场，市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间，每间蔬菜水果类店面的建造面积为28m2，月租费为x万元；每间肉食水产店面的建造面积为20m2，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为________种；②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则x的最大值为________万元．

四、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分，）

17. 已知二次函数f(x)=ax2+2x?1的图象过点(2,7).

(1)求不等式f(x)>14的解集；

(2)若对任意x∈[4,9]，不等式f(x?t)≤x?2恒成立，求实数t的取值集合.

18. 已知3a×3b=3，a>0，b>0，求1

a +1

b

的值．

19. 不等式x2?x+c≤0的解集为[?1,2]，则c=__________.

20. 已知函数f(x)＝x2+ax+b．

（1）若函数f(x)在(1,?+∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）若不等式f(x)≤0的解集为{x|0≤x≤2}，求x∈[0,?3]时f(x)的值域．

21. 已知函数y=ax2+(a+b)x?3.

(1)当a=?2时，不等式ax2+(a+b)x?3≤b对?x∈(1,+∞)恒成立，求实数b的取值范围；

(2)当b=?3时，解关于x的不等式ax2+(a+b)x?3<0.

22. 某商店将进价为100元的某商品按120元的价格出售，可卖出300个；若商店在120元的基础上每涨价1元，就要少卖10个，而每降价1元，就可多卖30个．

（1）若该商品在120元基础上涨价x元，求所获利润y1（元）与x（元）之间的函数关系式；

（2）若该商品在120元基础上降价x元，求所获利润y2（元）与x（元）之间的函数关系式；

（3）为获利最大，商店应将价格定为多少元？

参考答案与试题解析

一、选择题）

1.

【答案】

C

【考点】

对数函数的图象与性质

不等式的概念与应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：A，令a=?2，b=1，满足a

B，令a=0，b=e，则b?a=e>0，且ln(b?a)=ln e=1>0，故选项错误；C，原不等式可转化为a13

D，原不等式可转化为2?a<2?b，由a?b，则2?a>2?b，故选项错误. 故选C.

2.

【答案】

B

【考点】

一元二次不等式的应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

3.

【答案】

A

【考点】

不等式比较两数大小

【解析】

从四个选项中看出，三个数的大小是确定的，要比较三个数的大小，可以采用取特殊值的办法，不妨取x=1

4

，然后分析各三角函数式的符号，同时借助于三角函数的增减性比较大小．

【解答】

解：因为x∈(?1

2

,?0)，且各选项中三个数的大小一定，所以运用特值法判断，取x=

?1

4

则α1=cos(sin xπ)=cos(sin(?π

4))=cos(?√2

2

)>0，

α2=sin(cos xπ)=sin(cos(?π

4))=sin√2

2

>0，

α3=cos (x +1)π=cos (?14+1)π=cos 3

4π=?√2

2<0，

而√2

2<π

4，所以cos (?√22

)>cos (?π

4)=cos π

4=sin π

4>sin

√22

． 故选A ． 4. 【答案】 A

【考点】

一元二次方程的根的分布与系数的关系 【解析】

由一元二次方程的根与系数的关系x 1?x 2=c

a

、以及已知条件求出方程的另一根是?1，

然后将?1代入原方程，求a ?b 的值即可．

【解答】

解：∵ 关于x 的方程x 2+bx +a =0的一个根是?a(a ≠0)， ∴ x 1?(?a)=a ，即x 1=?1， ∴ 1?b +a =0， ∴ a ?b =?1． 故选A . 5.

【答案】 C

【考点】

利用导数研究函数的单调性 不等式的综合 【解析】

由f′(x)<1

4，构造辅助函数g(x)＝f(x)?1

4x ，求导，利用导数判断函数单调递减，根据f(2)＝1，求得g(2)=1

2，根据f(x 2)

+1

2，将其转换成g(x 2)

单调性即可求得不等的解集． 【解答】

f′(x)<1

4(x ∈R)，

f′(x)?1

4

<0，

设g(x)＝f(x)?1

4

x ，

g′(x)＝f′(x)?1

4<0，

∴ g(x)是R 上的减函数，g(2)＝g(2)?2

4=1

2， ∴ f(x 2)<

x 24

+1

2，

g(x 2)＝f(x 2)?

x 24

<1

2=g(2)，

∴x2>2，

解得：x>√2或x

∴原不等式的解集为(?∞,??√2)∪(√2,?+∞)．6.

【答案】

A

【考点】

不等式恒成立问题

基本不等式在最值问题中的应用

【解析】

由已知，只需x2+2x小于a

b +16b

a

的最小值即可，可利用基本不等式求出最小值．

【解答】

解：对任意a，b∈(0,?+∞)，a

b +16b

a

≥2√a

b

×16b

a

=8，

所以只需x2+2x<8，

即(x?2)(x+4)<0，解得x∈(?4,?2).

故选A.

7.

【答案】

A

【考点】

不等式性质的应用

不等式比较两数大小

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：∵?1

∴ab>0，a2b<0，且0

∴0>a2b>b，

∴b

故选A.

8.

【答案】

D

【考点】

基本不等式

【解析】

利用基本不等式的性质、指数运算性质即可得出．

【解答】

解：∵2x+y=2，

∴9x+3y≥2√9x?3y=2√32x+y=2×3=6．当且仅当y=2x=1时取等号．故选：D．

二、多选题

9.

【答案】

A,B,D

【考点】

基本不等式

基本不等式在最值问题中的应用

【解析】

利用基本不等式，逐项判断，即可得出结果．【解答】

A选项，由x<0可得y=x+1

x =?[(?x)+(?1

x

)]≤?2√(?x)?(?1

x

))=?2，当且仅

当?x=?1

x

，即x=?1时，等号成立

；即y=x+1

x

的最大值为—2；A正确；

则1

a +1

b

=(1

a

+1

b

)(a+4b)=1+4b

a

+a

b

+4≥5+2√4b

a

?a

b

=9

当且仅当4b

a =a

b

，即{

a=1

3

b=1

6

时，等号成立；即1

a

+1

b

的最小值为9，故C错；

D选项，因为x∈[0,2]，所以y=±√4?x≤x2+(4?x2)

2

=2，当且仅当x=√4?x2 x=√2时，等号成立，故D正确．

故选：ABD．

10.

【答案】

A,D

【考点】

基本不等式及其应用

【解析】

结合基本不等式的应用条件：一正，二定，三相等，对各选项进行检验判断即可．【解答】

截：由a<0，b<0可得b

a >0,a

b

>0，则由基本不等式可得，b

a

+a

b

≥2√b

a

?a

b

=2，故

A正确；

x，y∈R时，lg x，lg y有可能为0或负数，不符合基本不等式的条件，B错误；

若x<0，则x+4

x

<0，C错误；

x<0时，2x>0，由基本不等式可得，2x+2?x≥2，故D正确．

11.

【答案】

C,D

【考点】

不等式比较两数大小

不等式的概念与应用

【解析】

由于a

【解答】

解：由于a

a

=?1

2

，1

b

=?1，

∴ 1a >1

b ，故A 不正确；

当c =0时，ac 2=bc 2，故B 不正确； ∵ a

b <1

a <0， ∴ a +1

b

a ，故C 正确； 可得a 2=4，a

b =2，b 2=1， ∴ a 2>ab >b 2，故D 正确. 故选CD . 12.

【答案】 A,B,C 【考点】

必要条件、充分条件与充要条件的判断 不等式的概念与应用 【解析】 构造g (x )=

f (x )x

，由f ′(x )<

f (x )x

有g ′(x )<0，即g (x )在(0,+∞)上单调递减，根据各选

项的不等式，结合g (x )的单调 性即可判断正误． 【解答】 由f ′(

x )

知：

xf ′(x )?f (x )

x

<0

令g (x )=

f (x )x

，则g ′(x )=

xf ′(x )?f (x )

x 2

≤0

g (x )在(0,+∞)上单调递减，即

g (x 1)?g (x 2)x 1?x 2

=

x 2f (x 1)?x 1f (x 2)

x 2(x 1?x 2)

<0

当x 1?x 2>0时，x 2f (x 2)x 1f (x 2) A:g (x 1+x 2)

x 1x 1+x 2

f (x 1+x 2)

x 2x 1+x 2

f (x 1+x 2)<

f (x 2)，所以

f (x 1+x 2)

B ：由上得x 2f (x 1)(x 1?x 2)

x 2x 1

f (x 1)+

x 1x 2

f (x 2)

C ：由2x >1，所以g (2x )=f (2x )2

f (1)1

，整理得f (2x )<2x f (1)

D ：令x 1x 2=1且x 1>1>x 2时，x 2=1

x 1

g (x 1)g (x 2)=f (x 1)f (1

x 1

)g (x 1x 2)=g (1)=

f (1)

有g (x 1x 2)>g (x 1)g (x 1x 2)

三、 填空题

13.

【答案】 P

不等式的概念与应用 【解析】

先判断其倒数，再比较其大小即可． 【解答】

解：∵ P =√x ?4?√x ?5，Q =√x ?2?√x ?3， ∴ 1

p =

√x?4+√

x?5，1

Q

=√x?2+√x?3

，

∵ x >5，

∴ √x ?4+√x ?5<√x ?2+√x ?3， ∴ 1

P

>1

Q ，

∴ P

故答案为：P

【答案】 ?14

【考点】

一元二次不等式

一元二次不等式与一元二次方程

【解析】

利用不等式的解集与方程解的关系，结合韦达定理，确定a ，b 的值，即可得出结论 【解答】

解：∵ 不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x |?1

2

3}， ∴ ?1

2

和1

3为方程ax 2+bx +2=0的两个实根，且a <0，

由韦达定理可得 {?12+13=?b

a ，

(?12)×13=2

a ， 解得a =?12，

b =?2. ∴ a +b =?14. 故答案为：?14. 15. 【答案】 ?1

2,0),[107,8

5)

【考点】

一元二次不等式与一元二次方程 【解析】

将函数f (x )的解析式变形为f (x )=[2(a ?1)x +a +2]?(2x +1)，即可求得函数f (x )的图象所过定点的坐标； 【解答】

∵ f (x )=(4a ?4)x +(4a +2)x +a +2=[2(a ?1)x +a +2],(2x +1) 当a ?1=0时，令f (x )=0，得x =?1

2

当a ?1≠0时，令f (x )=0，得x =a+22(1?a )或x =?1

2 综上所述，函数f (x )的图象必过点(?1

2,0) 分以下三种情况讨论：

①当a ?1=0时，即当a =1时，由f (x )=3(2x +1)<0，可得x

2，不合乎题意；

②当a ?1>0时，即a >1时，a+22(1?a )?(?12)=32(1?a )∵ 0，则a+22(1?a )

2 解不等式f (x )<0，可得a+2

2(1?a )

2

由于不等式f (x )<0所有的整数解的和为—6，则不等式f (x )<0的所有整数解有?3、?2、?1，

所以，?4≤a+2

2(1?a )

7≤a =8

5

③当a ?1<0时，即a <1时，a+2

2(1?a )?(?1

2)=3

2(1?a )>0，可得a+2

2(1?a )>?1

2 解不等式f (x )<0，可得x ≤?1

2或x >a+2

2(1?a ) 不等式f (x )<0的解中有无数个整数，不合乎题意． 综上所述，实数α的取值范围是[107

?85)

故答案为：(?1

2,0);[107,8

5) 16.

【答案】 16；,1. 【考点】

不等式性质的应用 【解析】

直接构造不等式，解不等式即可. 【解答】

解：设蔬菜店建m 间，则肉食店80?m 间，由题意得：

80%×2400≤28m +20(80?m )≤85%×2400，解得：40≤m ≤55， 故共有16种方案； 又

mx+0.8(80?m )

80

≥90%x ,

则(m ?72)x ≥0.8(m ?80)， 由于m ?72<0， 所以x ≤

0.8(m?80)m?72

=0.8? 6.4

m?72,

故当m =40时，0.8? 6.4

m?72取最小值1， 所以x ≤1.

故答案为：16；1. 四、 解答题 17.

【答案】 解：（1）因为二次函数f(x)=ax 2+2x ?1的图象过点(2,7)， 所以f(2)=7，

所以4a +4?1=7， 解得a =1，

所以f(x)=x 2+2x ?1. 由f(x)>14，

即x 2+2x ?15>0， 解得x 3.

故不等式f(x)>14的解集为(?∞,?5)∪(3,+∞). （2）对任意x ∈[4,9]，

不等式f(x ?t)≤x ?2恒成立， 等价于对任意x ∈[4,9]，

不等式(x ?t)2+2(x ?t)?1≤x ?2恒成立， 等价于对任意x ∈[4,9]，

不等式?√x ≤x ?t +1≤√x 恒成立， 等价于对任意x ∈[4,9]，

不等式x ?√x ≤t ?1≤x +√x 恒成立，

等价于(x ?√x)max ≤t ?1≤(x +√x)min ，x ∈[4,9]. 当x ∈[4,9]时，

x +√x =(√x +12)2

?1

4，

其最小值是4+√4=6， x ?√x =(√x ?12)2

?1

4， 其最大值是9?√9=6.

所以6≤t ?1≤6， 解得t =7.

故实数t 的取值集合是{7}. 【考点】

一元二次不等式与二次函数 二次函数的图象

【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：（1）因为二次函数f(x)=ax 2+2x ?1的图象过点(2,7)， 所以f(2)=7，

所以4a +4?1=7， 解得a =1，

所以f(x)=x 2+2x ?1. 由f(x)>14，

即x 2+2x ?15>0， 解得x 3.

故不等式f(x)>14的解集为(?∞,?5)∪(3,+∞).

（2）对任意x ∈[4,9]，

不等式f(x ?t)≤x ?2恒成立， 等价于对任意x ∈[4,9]，

不等式(x ?t)2+2(x ?t)?1≤x ?2恒成立， 等价于对任意x ∈[4,9]，

不等式?√x ≤x ?t +1≤√x 恒成立， 等价于对任意x ∈[4,9]，

不等式x ?√x ≤t ?1≤x +√x 恒成立，

等价于(x ?√x)max ≤t ?1≤(x +√x)min ，x ∈[4,9]. 当x ∈[4,9]时，

x +√x =(√x +12)2

?1

4，

其最小值是4+√4=6， x ?√x =(√x ?12)2

?1

4， 其最大值是9?√9=6.

所以6≤t ?1≤6， 解得t =7.

故实数t 的取值集合是{7}. 18.

【答案】

解：由3a ×3b =3， 可得a +b =1， 由a >0，b >0， 1a +1b =(a +b)(1a +1b ) =2+b

a

+a

b

≥2+2√b

a

?a

b

=4，

当且仅当a =b =1

2，取得最小值4． 【考点】

基本不等式在最值问题中的应用 【解析】

由指数的运算法则，可得a +b =1，则1

a

+1

b

=(a +b)(1

a

+1

b

)，展开，运用基本不等

式，计算即可得到最小值． 【解答】

解：由3a ×3b =3， 可得a +b =1， 由a >0，b >0， 1a +1b =(a +b)(1a +1b ) =2+b

a +a

b ≥2+2√b

a ?a

b =4， 当且仅当a =b =1

2，取得最小值4． 19.

【答案】

?2

【考点】

一元二次不等式的解法

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由题意得：?1,2是x2?x+c=0的两个解，即x1x2=c=?2，

故答案为：?2.

20.

【答案】

函数f(x)＝x2+ax+b的对称轴为x=?a

2

，

∵函数f(x)在(1,?+∞)上是增函数，

∴?a

2

≤1，解得a≥?2，

∴实数a的取值范围为：[?2,?+∞)．

∵不等式f(x)≤0的解集为{x|0≤x≤2}，

∴方程x2+ax+b＝0的根为0，2，

∴由根与系数的关系得：{?a=2

b=0，即{a=?2

b=0

，

∴函数f(x)＝x2?2x，对称轴为x＝1，

∴当x∈[0,?3]时：f(x)min＝f(1)＝?1，f(x)max＝f(3)＝3，

∴x∈[0,?3]时f(x)的值域为[?1,?3]．

【考点】

二次函数的图象

二次函数的性质

【解析】

（1）先求出函数f(x)的对称轴，再结合函数f(x)在(1,?+∞)上是增函数，列出不等式，即可化简求出a的取值范围．

（2）先由题意求出a，b的值，得到函数f(x)的解析式，从而根据对称轴的位置求出

f(x)在[0,?3]上的值域．

【解答】

函数f(x)＝x2+ax+b的对称轴为x=?a

2

，

∵函数f(x)在(1,?+∞)上是增函数，

∴?a

2

≤1，解得a≥?2，

∴实数a的取值范围为：[?2,?+∞)．

∵不等式f(x)≤0的解集为{x|0≤x≤2}，

∴方程x2+ax+b＝0的根为0，2，

∴由根与系数的关系得：{?a=2

b=0，即{a=?2

b=0

，

∴函数f(x)＝x2?2x，对称轴为x＝1，

∴当x∈[0,?3]时：f(x)min＝f(1)＝?1，f(x)max＝f(3)＝3，

∴ x ∈[0,?3]时f(x)的值域为[?1,?3]． 21.

【答案】

解：(1)当a =?2时，不等式?2x 2+(b ?2)x ?3≤b 对?x ∈(1,+∞)恒成立． 整理得：(x ?1)b ≤2x 2+2x +3， 因为x ∈(1,+∞)，所以x ?1>0，所以b ≤(2x 2+2x+3

x?1

)

min

，

令t =x ?1，(t >0)，

2x 2+2x+3

x?1

=

2(t+1)2+2(t+1)+3

t

=2t +7

t +6．

因为t >0，所以2t +7t

≥2√2t ?7t

=2√14， 当且仅当2t =7

t ，即t =

√14

2

时取等号， 所以(

2x 2+2x+3

x?1

)

min

=2√14+6，

所以b ≤2√14+6．

(2)当b =?3时，ax 2+(a ?3)x ?3<0， 不等式等价于(ax ?3)(x +1)<0， ①a =0时，x >?1；

②a >0时，(ax ?3)(x +1)=0的两根为x 1=3

a

，x 2=?1，则?1

a

；

③a <0时，

当3

a

a

或x >?1 ，

当3

a =?1时，即a =?3时，x 1≠?1， 当3

a >?1时，即a 3

a ．

综上所述：当a

a ,+∞)；

当a =?3时，不等式的解集为(?∞,?1)∪(?1,+∞)； 当?3

a )∪(?1,+∞)； 当a =0时，不等式的解集为(?1,+∞)． 【考点】

不等式恒成立问题 一元二次不等式的解法 基本不等式在最值问题中的应用 二次函数的性质 【解析】

【解答】

解：(1)当a =?2时，不等式?2x 2+(b ?2)x ?3≤b 对?x ∈(1,+∞)恒成立．

整理得：(x ?1)b ≤2x 2+2x +3， 因为x ∈(1,+∞)，所以x ?1>0，所以b ≤(2x 2+2x+3

x?1

)

min

，

令t =x ?1，(t >0)，

2x 2+2x+3

x?1

=

2(t+1)2+2(t+1)+3

t

=2t +7

t +6．

因为t >0，所以2t +7

t ≥2√2t ?7

t =2√14， 当且仅当2t =7

t ，即t =

√14

2

时取等号， 所以(

2x 2+2x+3

x?1

)

min

=2√14+6，

所以b ≤2√14+6．

(2)当b =?3时，ax 2+(a ?3)x ?3<0， 不等式等价于(ax ?3)(x +1)<0， ①a =0时，x >?1；

②a >0时，(ax ?3)(x +1)=0的两根为x 1=3

a ，x 2=?1，则?1

a ； ③a <0时，

当3

a

a 或x >?1 ， 当3a =?1时，即a =?3时，x 1≠?1， 当3

a

>?1时，即a 3

a

．

综上所述：当a

a ,+∞)； 当a =?3时，不等式的解集为(?∞,?1)∪(?1,+∞)； 当?3

a )∪(?1,+∞)； 当a =0时，不等式的解集为(?1,+∞)． 22.

【答案】

y 1＝(120+x ?100)(300?10x)＝?10x 2+100x +6000； y 2＝(120?x ?100)(300+30x)＝?30x 2+300x +6000； 当涨价x ＝5（元）时，所获利润y 1的最大值＝6250（元）； 当降价x ＝5（元）时，所获利润y 2的最大值＝6750（元）． ∴ 为获利最大，应降价5元，即将价格定为115元．

【考点】

二次函数的应用 【解析】

（1）根据利润＝每件商品的利润×商品的售量进行计算； （2）根据利润＝每件商品的利润×商品的售量进行计算；

（3）根据二次函数的图象的顶点坐标公式求得上述两种方法中的最大值，再进一步比较求解． 【解答】

y1＝(120+x?100)(300?10x)＝?10x2+100x+6000；y2＝(120?x?100)(300+30x)＝?30x2+300x+6000；

当涨价x＝5（元）时，所获利润y1的最大值＝6250（元）；当降价x＝5（元）时，所获利润y2的最大值＝6750（元）．∴为获利最大，应降价5元，即将价格定为115元．