第二十三周 盈亏问题
盈亏问题解题思路详解（附盈亏问题公式）
盈亏问题解题思路详解（附盈亏问题公式）解题思路：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者每份所得物品数量的差，再求两次分配中的总差额，用前一个差去除后一个差，就得到分配者的人数，进而再求得物品数。
解题规律：总差额÷每人差额=人数。
一般解法：（盈数+亏数）÷两次每份分配之差=份数、（大盈-小盈）÷两次分配之差=份数、（大亏--小亏）÷两次分配之差=份数，再求总数量。
每次分的数量*份数+盈=总数量或。
每次分的数量*份数-亏=总数量。
物品数可由其中一种分法的份数和盈亏数求出。
其它(高级)：盈亏临界点——交易所股票交易量的基数点，超过这一点就会实现盈利，反之则亏损。
盈亏临界点计算的基本模型设以P代表利润，V代表销量，SP代表单价、VC代表单位变动成本，FC代表固定成本，BE代表盈亏临界点，根据利润计算公式可求得盈亏临界点的基本模型为：盈亏临界点的计算，可以采用实物和金额两种计算形式：1．按实物单位计算：其中，单位产设某产品单位售价为10元，单位变动成本为6元，相关固定成本为8000元，则盈亏临界点的销售量(实物单位)=8000÷(10－6)=2000（件）。
品贡献毛益=单位产品销售收入－单位变动成本2．按金额综合计算：盈亏临界点的销售量（用金额表现）=固定成本÷贡献毛益率其中，贡献毛益率=贡献毛益/销售收入附盈亏问题公式：（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差/大分-小分）=人数。
（2）两次都有余（盈），可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差/大分-小分）=人数。
（3）两次都不够（亏），可用公式：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差/大分-小分）=人数。
（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：亏÷（两次每人分配数的差/大分-小分）=人数。
（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：盈÷（两次每人分配数的差/大分-小分）=人数。
(小学奥数)盈亏问题(三)
6-1-7.盈虧問題（三）教學目標1.熟練掌握盈虧問題的本質.2.運用盈虧問題的解題方法解決一些生活實際問題．知識精講盈虧問題的特點是問題中每一同類量都要出現兩種不同的情況．分配不足時，稱之為“虧”，分配有餘稱之為“盈”；還有些實際問題，是把一定數量的物品平均分給一定數量的人時，如果每人少分，則物品就有餘(也就是盈)，如果每人多分，則物品就不足(也就是虧)，凡研究這一類演算法的應用題叫做“盈虧問題”．可以得出盈虧問題的基本關係式：(盈+虧)÷兩次分得之差=人數或單位數(盈-盈)÷兩次分得之差=人數或單位數(虧-虧)÷兩次分得之差=人數或單位數物品數可由其中一種分法和人數求出.也有的問題兩次都有餘或兩次都不足，不管哪種情況，都是屬於按兩個數的差求未知數的“盈虧問題”.注意：1.條件轉換；2.關係互換.模組一、利用條件關係轉換解盈虧問題——轉化被分配物質【例 1】王老師給小朋友分蘋果和桔子，蘋果數是桔子數的2倍.桔子每人分3個，多4個；蘋果每人分7個，少5個.問有多少個小朋友？多少個蘋果和桔子？【考點】盈虧問題【難度】3星【題型】解答【解析】因為桔子每人分3個多4個，而蘋果是桔子的2倍，因此蘋果每人分6個就多8個.又已知蘋果每人分7個少5個，所以應有（8+5）÷（6-5）=13（人）.蘋果個數為13×7-5=86（個）.桔子數為 13×3+4=43（個）.答：有13個小朋友，86個蘋果和43個桔子.【答案】13個小朋友，蘋果86個，桔子43個【巩固】學而思學校買來一批體育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分給同學們，每組分乒乓球拍5副，餘乒乓球拍15副，每組分羽毛球拍14副，則差30副，問：學而思學校買來羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？【考點】盈虧問題【難度】3星【題型】解答【解析】因為羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副），最後應餘下15×2=30（副），因為14-5×2=4（副），分到最後還差30副，所以比每次分10副總共差30+30=60（副），所以有小組：60÷4=15（組），乒乓球拍有：5×15+15=90（副），羽毛球拍90×2=180（副）. 【答案】羽毛球拍180副，乒乓球拍90副【例 2】有若干個蘋果和若干個梨.如果按每1個蘋果配2個梨分堆，那麼梨分完時還剩2個蘋果；如果按每3個蘋果配5個梨分堆，那麼蘋果分完時還剩1個梨.蘋果和梨各有多少個?【考點】盈虧問題【難度】4星【題型】解答【解析】容易看出這是一道盈虧應用題，但是盈虧總額與兩次分配數之差很難找到.原因在於第一種方案是1個蘋果“搭配”2個梨，第二種方案是3個蘋果“搭配”5個梨.如果將這兩種方案統一為1個蘋果“搭配”若干個梨，那麼問題就好解決了.將原題條件變為“1個蘋果搭配2個梨，缺4個梨；1個蘋果搭配5/3個梨，多1個梨”，此時盈虧總額為415+=(個)梨，兩次分配數之差為25/31/3+÷-=(個)，有梨-=(個)梨.所以有蘋果(41)(25/3)15⨯-=(個).152426【答案】蘋果15個，梨26個【巩固】有若干梨和蘋果，如果1個梨和3個蘋果分成一堆，則多2個梨，如果2個梨和5個蘋果分成一堆，則少2個蘋果，則梨有個，蘋果有個。
小学数学《盈亏问题》练习题(含答案)
小学数学《盈亏问题》练习题（含答案）盈亏问题是一类生活中很常见的问题．按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问题的含义．解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括：(盈＋亏)÷两次分得之差＝人数或单位数；(盈－盈)÷两次分得之差＝人数或单位数；(亏－亏)÷两次分得之差＝人数或单位数．上面的公式不能盲目套用，在真正掌握其内涵以后再运用公式解题将会使你面临盈亏问题时而游刃有余，不可盲目套用公式．（一）直接计算型【例1】猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？分析：猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两次分配之差是11-10=1（条），由盈亏问题公式得，有小猫：8÷1=8（只），猫妈妈有8×10+8=88（条）鱼.[巩固]学而思学校三年级基础班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位同学分多少粒糖果？分析：第一种分配方案盈9粒糖，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9粒，两次分配之差是5-4=1（粒），由盈亏问题公式得，参与分糖的同学有：9÷1=9（人），有糖果9×5=45（粒）.【例2】学而思学校买来一批小足球分给各班：如果每班分4个，就差66个，如果每班分2个，则正好分完，朝阳小学一共有多少个班？买来多少个足球？分析：第一种分配方案亏66个球，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是66个，两次分配之差是4-2=2（个），由盈亏问题公式得，朝阳小学有：66÷2=33（个）班，买来足球33×2=66（个）.[巩固]学而思学校三年级基础班的一部分同学分小玩具，如果每人分4个就少9个，如果每人分3个正好分完，问：有多少位同学分多少个小玩具？分析：第一种分配方案亏9个小玩具，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9个，两次分配之差是4-3=1（个），由盈亏问题公式得，参与分玩具的同学有：9÷1=9（人），有小玩具9×3=27（个）.【例3】学而思学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？分析：“差9本”和“差2本”两者相差9－2＝7（本），每个人要多发10－9＝1（本），因此就知道，共有老师7÷1＝7（人），书有7×10－9＝61（本）．[巩固]王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还差30元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？分析：本题购物的两个方案，每一个方案都出现钱不足的情况，买7把差110元，买5把还差30元，从买7把变成买5把，少买了7-5=2（把），而钱的差额减少了110-30=80（元），即80元可以买2把小提琴，可见小提琴的单价是每把40元，王老师一共带了40×7-110=170（元）.【例4】明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？分析：“多8元”与“多4元”两者相差8－4＝4（元），每个人要多出 8－7＝1（元），因此就知道，共有4÷1＝4（人），蛋糕价钱是8×4－8＝24（元）．[巩固]老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？分析：老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏总和是9-2=7（个），两次分配之差是11-10=1（个），由盈亏问题公式得，有小猴子：7÷1=7（只），老猴子有7×10+9=79（个）桃子.【例5】点点妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；如果每天吃6个，则又少8个苹果．那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？分析：题中告诉我们每天吃4个，多出48个苹果；每天吃6个，少8个苹果．观察每天吃的个数与苹果剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，苹果从多出48个到少8个，也就是所需的苹果总数要相差48＋8＝56（个），从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个苹果了．吃的天数是（48＋8）÷（6－4）＝56÷2＝28（天），苹果数是6×28－8＝160（个）或 4×28＋48＝160（个）．[巩固]学而思学校三年级基础班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？分析：由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种每人分4粒就多9粒，第二种每人分5粒则少6粒，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原因在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为：5-4=1（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以参与分糖果的同学的人数是15÷1=15（位），糖果的粒数为：4×15+9=69（粒）.[总结] 以上是最基本的盈亏问题题目，要求老师在教学过程中引导学生理解掌握其解法并能让学生熟练运用公式，这是解答后面其他类型盈亏问题的基础.（二）条件转化型【例6】猪妈妈带着孩子去野餐，如果每张餐布周围坐4只小猪就有6只小猪没地方坐，如果每张餐布周围多坐一只小猪就会余出4个空位子，问：一共有多少只小猪，猪妈妈一共带了多少张餐布？分析：这种类型的题目不能直接计算，要将其中的一个条件转化，使之转化为为基本的盈亏问题．已知每张餐布周围多坐一只小猪就是坐5只小猪，余出4个空位子就是少4只小猪，所以原问题可以转化为：如果每张餐布周围坐4只小猪，则多出6只没处坐；如果每张餐布周围坐5只，还少4只，求有多少只小猪多少张餐布？所以餐布数是：（6+4）÷1=10（张），有小猪：10×4+6=46（只）.[巩固]中关村一小学生乘汽车到香山春游．如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？分析：每车多坐5人，实际是每车可坐5＋65＝70（人），恰好多余了一辆车，也就是还差一辆汽车的人，即70人．因而原问题转化为：如果每车坐65人，则多出5人无车乘坐；如果每车坐70人，还少70人，求有多少人和多少辆车？车数是（5＋5＋65）÷5＝15（辆），人数是65×15＋5＝980（人）或（5＋65）×（15－1）＝980（人）．【例7】国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆．如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完．问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？分析：这是一道有难度的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完，这组条件中包含着两种摆花盆的情况——2人各摆4盆，其余的人各摆6盆．如果我们把它统一成一种情况，让每人都摆6盆，那么，就可以多摆（6－4）×2＝4（盆）．因此，原问题就转化为：如果每人各摆5盆花，还有3盆没人摆；如果每人摆6盆花，还缺4盆．问有多少少先队员，一共摆多少花盆？人数： [3＋（6－4）×2]÷（6－5）＝7（人），盆数：5×7＋3＝38（盆）或6×7－4＝38（盆）．[拓展]兔子妈妈分白菜：如果其中2只小兔子每只分4棵，其余每只分2棵，则多4棵白菜；如果其中一只小兔子分6棵，其余每只分4棵，则差12棵白菜，问：一共有多少只小兔子？一共有多少棵白菜？分析：由已知条件，第一种分配：其中2只每只分4棵，其余每只分2棵，则多4棵白菜，我们假设，如果所有的小兔子每只都分2棵，就会多出2×2=4（棵），这样将条件转化为：每只分2棵，则多出4+2×2=8（棵）；第一种分配，如果假设每只小兔子分4棵，就会多出6-4=2（棵），这样将条件转化为：每只分4棵，则差12-2=10（棵），第一次与第二次分配相差8+10=18（棵），两次分配每只小兔子相差4-2=2（只），所以小兔子的总数为：18÷2=9（只），一共有白菜：2×9+8=26（棵）.【例8】王海从家到实验一小，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟60米，就可以比上课时间提前2分钟到校，那么王海的家距离学校多远？分析：根据题意，每分钟走50米，上课就要迟到3分钟，就是还差50×3=150（米）到校；如果每分钟60米，就可以比上课时间提前2分钟到校，即到校后还可以多走60×2=120（米），第一种情况比第二种情况每分钟多走60－50＝10（米），就可以多走150+120＝270（米），王海从家到学校所用时间是：270÷10=27（分钟），家到学校的距离是：50×（27+3）=50×30=1500（米）.[拓展]学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分种走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？分析：小明每分钟走60米，可提早10分钟到校，即到校后还可多走60×10＝600（米）；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，即到校后还可多走50×8＝400（米），第一种情况比第二种情况每分钟多走60－50＝10（米），就可以多走600－400＝200（米），从而可以求出小明由家到校所需时间．（1）10分种走多少米？60×10＝600（米），（2）8分种走多少米？50×8＝400（米），（3）需要时间：（600－400）÷（60－50）＝20（分钟），所以小明7时40分离家刚好8时到校.（4）由家到校的路程： 60×（20－10）＝600（米）或：50×（20－8）＝600（米）．【例9】有一个班的同学去划船．他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人．问：这个班共有多少同学?分析：先增加一条船，那么正好每条船坐6人．然后去掉两条船，就会余下6×2＝12（名）同学．改为每条船9人，也就是说，每条船增加9－6＝3（人），正好可以把余下的12名同学全部安排上去，所以现在还有12÷3＝4（条）船，而全班同学的人数是9×4＝36（人）．[巩固]有一个班的学生去公园划船，如果增加两条船，正好每条船坐6人；如果减少两条船，正好每条船坐9人，问：这个班一共有多少人？分析：增加两条船，正好每条船坐6人，然后去掉四条船，就会余下6×4=24（人），改为每只船9人，即每条船增加9-6=3（人），正好可以把余下的24人全部安排上去，所以现在船数为：24÷3=8（条），这个班的人数为：9×8=72（人）.[总结] 这部分的题目不能直接运用公式计算，首先需要将一定的条件转化，使之成为跟第一部分相类似的题型，在运用公式计算．【例10】幼儿园阿姨将一些糖果分给若干个小朋友，每个小朋友分5个还余10个糖果，如果小朋友数增加到3倍，那么每小朋友分2个糖果还缺少8个，问有糖果多少个？分析：考虑小朋友数增加3倍后，相当于按原来小朋友数分给每小朋友2×3＝6（个）糖果，每个小朋友给5个与给6个，总数相差10＋8＝18 (个），所以原有小朋友数 18÷（6－5)＝18（小朋友），糖果总数是 5×18＋10＝100（个）．[拓展]一些桔子分给若干个人，每人5个还多余10个桔子，如果人数增加到3倍还少5个人，那么每人分2个桔子还缺少8个，问有桔子多少个？分析：使人感到困难的是条件“3倍还少5人”．先要转化这一条件，假设还有 10个桔子，10＝2×5，就可以多有 5个人，把“少5人”这一条件暂时搁置一边，只考虑3倍人数，也相当于按原人数每人给2×3＝6（个），每人给5个与给6个，总数相差10＋10＋8＝28 (个），所以原有人数 28÷（6－5)＝28（人），桔子总数是 5×28＋10＝150（个）．【例11】军队分配宿舍，如果每间住3人，则多出20人；如果每间住6人，余下2人可以每人各住一个房间，现在每间住10人，可以空出多少个房间？分析：每间住6人，余下2人可以每人各住一个房间，说明多出两个房间，同时多出两个人，即两次分配方案人数相差20+6×2-2=30（人），每间房间相差：6-3=3（人），所以共有房间：30÷3=10（间），一共有：3×10+20=50（人），即可以空出10-50÷10=5（间）房间.【例12】在桥上用绳子测桥离水面的高度.若把绳子对折垂到水面，则余8米；若把绳子三折垂到水面，则余2米.问：桥有多高？绳子有多长？分析：因为把绳子对折余8米，所以是余了8×2=16（米）；同样，把绳子三折余2米，就是余了3×2＝6（米）.两种方案都是“盈”，故盈亏总额为16-6=10（米），两次分配数之差为3-2＝1（折）.所以，桥高（8×2-2×3）÷（3-2）＝10（米），绳子的长度为2×10＋8×2＝36（米）.[拓展]用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳对折后垂到井水面，绳子超过井台9米；把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台2米.求绳长和井深.分析：把绳对折后垂到井水面，绳子超过井台9米，说明绳子余9×2=18（米），把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台2米，说明绳子余2×3=6（米），所以，井深：（18-6）÷（3-2）=12（米），绳子长：12×2+9×2=42（米）.1．（例4）某校同学排队上操.如果每行站9人，则多69人；如果每行站12人，则多15人.一共有多少学生？分析：一共有（69-15）÷（12-9）=18（行），一共有学生9×18+69＝231（人）2．（例5）小波到商店去买罐装可乐，她付给售货员的钱买3罐多1元，买5罐又差5元.每罐“可乐多少元？分析：“多1元”与“差5元”两者相差1+5＝6（元），买的罐数相差5-3=2（罐），因此就知道每罐可乐（5+1）÷（5-3）=3（元）3．（例6）学校为新生分配宿舍．每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间．问宿舍有多少间？新生有多少人？分析: 每个房间住3人，则多出23人，每个房间住5人，就空出3个房间，这3个房间如果住满人应该是5×3＝15（人），由此可见，每一个房间增加5－3＝2（人）．两次安排人数总共相差23＋15＝38（人），因此，房间总数是：38÷2＝19（间），学生总数是：3×19＋23＝80（人），或者5×19－5×3＝80（人）．3、（例7）学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦4块，其余各擦5块，则余12块；若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？分析：由其中两人各擦4块、其余各擦5块则余12块，可知，若每人都擦5块，则余12-（5-4）×2=10块，而每人擦6块则正好.可见每人多擦一块可把余下的10块擦完.则擦玻璃人数是[12-（5-4）×2]÷（6-5）=10（人），玻璃的块数是6×10=60（块）.4、（例6）王老师由家里到学校，如果每分钟骑车500米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟骑车600米，就可以比上课时间提前2分钟到校.王老师家到学校的路程是多少米？分析：迟到3分钟转化成米数：500×3=1500（米），提前两分钟到校转化成米数：600×2＝1200（米），（1500＋1200）÷（60-50）=270（分钟），500×（270+3）＝136500（米）5、（例8）有若干个苹果和梨，苹果的个数是梨的个数的3倍，如果每天吃2个梨和5个苹果，那么梨吃完时还剩20个苹果．问：有多少个梨？分析：苹果的个数是梨的3倍，如果每天吃2个梨和3个苹果，相当于每天吃2×3=6（个）苹果，那么刚好吃完，这样总盈亏数是20，所以吃的天数是20÷（6－5）＝20天，这样梨的个数是2×20＝40（个）．。
盈亏问题(二)
5.某校学生去参观农场，如果每车坐45人，有10人不能坐；如果每 车多坐5人，又多出1辆汽车。问共有多少辆汽车？多少名学生？
第一步：找出物品总数和份数 物品总数：学生人数 份数：汽车辆数
第二步：列表比较
分配方案
每车坐人
方案一
45
方案二
50
盈/亏 +10 -50
第三步：求份数（汽车辆数）
第四步：求物品总数（学生人数）
2.某公司给职工发奖金，每人发250元则缺180元，每人发200元 则余220元，那么平均每人能发奖金227.5 元。
例题4
学校为新生分配宿舍，每个房间住3人，则有23人安排不进去；如果每个 房间住5人，则空出3个房间。学校现有多少间宿舍？多少名学生？
第一步：找出物品总数和份数 物品总数：学生人数 份数：宿舍间数
（6×2＋4×2）÷（6−4） ＝（12＋8）÷2 ＝20÷2 ＝10（间）
6×（10−2） ＝6×8 ＝48（人）
答：旅游团共有48人。
4.学校安排寝室，如果每间13人就正好住满；如果每间10人，还 缺三间寝室，学校有几间寝室？
（10×3）÷（13−10） ＝30÷3 ＝10（间）
答：学校有10间寝室。
把一定数量的物品分给一定数量的人，每 人少一些，物品就剩余（称作“盈”），每人 多一些，物品就不够（称作“亏”），求参加 分配的物品数量和分配的人数，这种问题被称 为“盈亏问题”。
第一步：找出物品总数和份数 第二步：列表比较 第三步：求份数
盈亏型：份数=（盈+亏）÷两次分配数的差 盈盈型：份数=（大盈-小盈）÷两次分配数的差 亏亏型：份数=（大亏-小亏）÷两次分配数的差
灵活思维找规律,正确解题一定行。
谈盈亏问题的解法
谈盈亏问题的解法谈盈亏问题的解法小学数学应用题中的盈亏问题是把一定数量的物品平均分给若干对象，每个对象少分，则物品有余；如果每个对象多分，则物品不足。
所以分物时经常出现盈（有余）、亏（不足）、尽（恰好分完）的情况，所以古人把这类问题称为盈不足问题。
盈亏问题情况多样，解法巧妙，倍受古人重视，在许多古代算书上留下了不少好题。
例1：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？题意：有一群人凑钱买一件物品。
如果每人出8枚钱币，就比物价多出3个钱币。
如果每人出7枚钱币，就比物价少4个钱币。
求人数和钱数各是多少？分析与解答：这是属于“一盈一亏”类的问题。
当第一次每人出8枚钱币时多3枚，但第二次每人出7枚钱币时不但没得多，还要少4枚，即共少了4＋3＝7枚。
这是由于第二次比第一次每人少出了8－7＝1枚钱币。
相差7枚，就说明有7÷1＝7人。
这样物价也就可以算出来了。
解法一：人数：（4＋3）÷（8－7）＝7（人）物价：8×7－3＝53（枚）或7×7＋4＝53（枚）答：人数为7人，物价53枚。
小结：“一盈一亏”类的问题，如果运用算术方法来解，解题公式是：（盈数＋亏数）÷两次分数数量差＝分物对象的个数事实上，古代数学家发现，在计算人数（即分物对象的个数）时，还有一个简单易记、琅琅上口的口诀：“有余加不足，大减小来除”。
这种算法的绝妙之处在于它几乎可以不动脑筋，只要把几个数按口诀对号入座，马上可以得出答案。
例2 今有散钱不知其数，作七十七陌穿之，欠五十凑穿；作七十八陌穿之，不多不少。
问钱数几何？题意：有一些零散的钱币，如果每77枚穿成一串，那么还会剩50枚没穿；如果78枚穿成一串，正好穿完。
这些钱币共有多少枚？分析与解答这道题属于“一盈一亏”类的问题。
当77枚钱币为一串时，还余50枚没穿，当78枚钱币为一串时，正好穿完。
表明原先的每一串77枚，都加上1枚（78－77＝1枚）时，余下的50枚刚好被穿完，说明有50串。
盈亏问题（附练习题）
盈亏问题（附练习题）盈亏问题（附练习题）
【盈亏问题公式】（1）⼀次有余（盈），⼀次不够（亏），可⽤公式：（盈+亏）÷（两次每⼈分配数的差）=⼈数。
（2）两次都有余（盈），可⽤公式：（⼤盈-⼩盈）÷（两次每⼈分配数的差）=⼈数。 （3）两次都不够（亏），可⽤公式： （⼤亏-⼩亏）÷（两次每⼈分配数的差）=⼈数。
（4）⼀次不够（亏），另⼀次刚好分完，可⽤公式：亏÷（两次每⼈分配数的差）=⼈数。 （5）⼀次有余（盈），另⼀次刚好分完，可⽤公式：盈÷（两次每⼈分配数的差）=⼈数。例1：⼀个植树⼩组去栽树，如果每⼈栽3棵，还剩下15棵树苗；如果每⼈栽5棵，就缺少9棵树苗。求这个⼩组有多少⼈？⼀共有多少棵树苗？
分析：已知如果每⼈栽3棵，还剩下15棵树苗，也就是说还有15棵树苗没有栽上，树苗余下了；⼜知如果每⼈栽5棵，就缺少9棵树苗，这就是说，树苗不够了。按照第⼀种⽅案去栽，树苗余下了，若按照第⼆种⽅案去栽，树苗不⾜了。⼀个是余下⼀个是不⾜，这两个⽅案之间相差多少棵呢？相差（15＋9=）24棵，也就是说，如果按照第⼆种⽅案去栽的话，可以⽐第⼀种⽅案多栽24棵树。为什么能多栽24棵树呢？因为每个⼈多栽（5-3=）2棵。
由于每⼀个⼈多栽2棵树，⼀共多栽24棵树，即“2棵树”对应于“1个⼈”。这样，⼩组的⼈数可以求得。随之，树苗的棵数也可以求得。
计算：（1）⼩组的⼈数： （15＋9）÷（5-3） =24÷2 =12（⼈） （2）树苗的棵数： 3×12+15=51（棵） 答：这个⼩组有12⼈，⼀共有51棵树苗。 在解题时，常常要找两个“差”。⼀个是总棵数之差，即第⼀种⽅案同第⼆种⽅案所栽树苗的总差数；另⼀个是单量之差，即每个⼈所栽树苗的差。有了这两个差即可求出结果。因此，这种解题的思路也可以称作“根据两个差求未知数”。
例2：悦悦每天早晨7点30分从家出发上学去，如果每分钟⾛45⽶，则迟到4分钟到校；如果每分钟⾛75⽶，则可以提前4分钟到校。求从家出发需要⾛多少分钟才能准时到校？悦悦的家离学校有多少⽶？
盈亏问题(讲义)-2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义(通用版,教师版)
温馨提示：图片放大更清晰幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖．她发给每个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块水果糖．发完后清点一下，水果糖还剩15块，而巧克力恰好是奶糖的3倍．那么共有_____________个小朋友．小升初数学 通用版《盈亏问题》精准讲练答案：10画线段图分析，由题意知：从奶糖的7份中取2份，那么剩下的5份就和上面的2小段相等．如图：那么2小段和5份都看成10份量，那么总量就相当于19份量，水果糖中原有的8份就是现在的16份，则剩下的15块水果糖就占有3份，则1份就是5块，给小朋友们分出去的水果糖数量是：16580÷=（人）．⨯=（块），小朋友的人数是：80810方法二：由上图知，设发完后奶糖剩下1份，则巧克力剩下3份，而巧克力与奶糖每人分得相差5块，对应剩下的糖相差2份，水果糖与奶糖每人分得相差1块，则对应剩下的糖应相差÷=份，所以水果糖最后应剩下10.40.6250.4-=份，恰是15块，所以1份对应的是150.625÷=，-÷-=（人）．所以应用盈亏问题共有(2515)(87)10幼儿园老师给小班的小朋友分糖果，如果每人分7颗，则还差6颗；如果每人分6颗，则又多出7颗，那么共有糖果（）颗．A．85 B．84 C．83 D．82 E．81答案：A试题分析：第一次每人分7颗，第二次每人分6颗，第二次比第一次每人多（7﹣6）=1颗，因此每人多1颗，两次的分配差额是（6+7）=13颗，可以用“总差额÷每人两次差额=人数”求出总人数，列式为：（6+7）÷（7﹣6）=13人，则糖果数为：7×13﹣6=85颗，据此解答．解答：解：（6+7）÷（7﹣6），=13÷1，=13（人）；13×7﹣6=85（颗）；答：这些糖果共有85颗．故选A妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，则多出4个；如果其中一人分6个，其余人每人分4个，则缺少12个，妈妈买来橘子多少个?全家共有多少人?答案：由“其中两人分4个，其余每人分2个，则多出4个”转化为全家每人都分2个，这分4个的两人每人都拿出2个，共拿出4个，结果就多了448+=个；由“一人分6个，其余每人分4个，则缺少12个”转化为全家每人都分4个，分6个的人拿出2个，结果就少了12210-=个，转变成了盈亏问题的一般类型，则：全家的人数：()()42212242⎡⎤+⨯+-÷-⎣⎦ 182=÷ 9=(人)橘子的个数：29826⨯+=(个)一、填空题1．老师给学生发邮票，如果每人发240角邮票则缺1800角邮票，如果每人发200角邮票则余2200角，那么平均每人能发邮票( )角。
小学数学盈亏问题公式以及例题讲解
小学数学盈亏问题公式及例题解说数学表达上正确、上抽象普适、形式上灵巧多，是宇宙交的理想工具.下边是大家采集的数学盈公式及例解，供大家参照。
盈公式一次有余(盈)，一次不()，可用公式：(盈+ )÷(两次每人分派数的差)=人数。
比如，“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。
：有多少个小朋友和多少个桃子?”解(7+9)÷(10-8)=16÷2=8(个)⋯⋯⋯⋯⋯⋯人数10×8-9=80-9=71(个)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯桃子或8×8+7=64+7=71(个)(答略)(2)两次都有余(盈)，可用公式：(大盈-小盈)÷(两次每人分派数的差)=人数。
比如，“士兵背子作行，每人背45，多680 ;若每人背50，多200。
：有士兵多少人 ?有子多少?”解(680-200)÷(50-45)=480÷5=96(人)45×96+680=5000()第1 页或50×96+200=5000(发)(答略)两次都不够(亏)，可用公式：(大亏-小亏)÷(两次每人分派数的差)=人数。
比如，“将一批簿本发给学生，每人发10本，差90本;若每人发8本，则仍差8本。
有多少学生和多少本簿本?”解(90-8)÷(10-8)=82÷2=41(人)10×41-90=320(本)(答略)一次不够(亏)，另一次恰好分完，可用公式：亏÷(两次每人分派数的差 )=人数。
(例略)一次有余(盈)，另一次恰好分完，可用公式：盈÷(两次每人分派数的差)=人数。
以上是查词典数学网为大家准备的数学盈亏问题公式及例题解说，希望对大家有所帮助。
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三年级数学思维训练导引 附答案
数学思维训练导引三年级（带答案）第一讲四则运算一 (2)第二讲基本应用题 (5)第三讲和差倍问题一 (8)第四讲枚举法一 (11)第五讲找规律 (15)第六讲简单加减法竖式 (22)第七讲周期问题 (29)第八讲智巧趣题一 (34)第九讲四则运算二 (44)第十讲和差倍问题二 (46)第十一讲鸡兔同笼问题一 (49)第十二讲枚举法二 (52)第十三讲等差数列． (57)第十四讲几何图形的认知． (60)第十五讲盈亏问题一 (68)第十六讲智巧趣题二 (71)第十七讲四则运算三 (78)第十八讲简单乘除法竖式 (81)第十九讲鸡兔同笼问题二 (86)第二十讲算符与数字 (89)第二十一讲间隔与阵列 (93)第二十二讲长度与角度的计算 (97)第二十三讲盈亏问题二 (104)第一讲四则运算一内容概述学习加减法运算中的各种计算技巧,例如凑整、带着符号搬家、加减相消、数的分拆和合并等等；掌握加减法运算中添、去括号的法则,并借此简化运算。
兴趣篇1.计算：（1）15+21+25+19（2）70+63+81+37+30+19分析：（1）80 （2）3002.计算：（1）17+19+234+21+183+26（2）（1+11+21+31）+（9+19+29+39）分析：（1）500 （2）1603.计算:（1）35+121-35-21(2)152-19-13+19+223-32分析：（1）100 （330）4.计算：（1）25-（25-14）-（14-7）（2）57-（50-28）+（44-28）-（57-26）分析：（1）7 （2）205.计算：（1）199+99+9（2）9+98+397+247分析：（1）307 （2）7516.计算：（1）321-199（2）456-197-98分析：（1）122 （2）1617.请大家先不要动笔,看能不能把下面的题目直接口算出来：（1）2580-2547；（2）1596-1296；（3）365+97；（4）365-97分析：（1）33 （2）300 （3）462 （4）2688.计算：（1）150-85-15（2）1450-375-203-625分析：（1）50 （2）2479.计算：（1）38+83-55（2）（235+523+352）-（111+333+555）分析：（1）66 （2）11110.计算：（1）11-10+9-8+7-6+5-4+3-2+1（2）100+102-104+106-108+110-112+114-116+118分析：（1）6 （2）210拓展篇1.计算：（1）51+62+49+38（2）64+127+129+23+71+136分析：（1）200 （2）5502.计算：（1）2+13+224+3330+6670+676+87+8（2）73+119+231+69+381+17分析：（1）11010 （2）8903.计算：（1）82-29-22+259（2）375-138+247-175+139-237分析：（1）290 （2）2114.计算：（1）162-（162-135）-（35-19）（2）163-（50-18）-（153-76）+（124-18）分析：（1）119；（2）1605.计算：（1）999+599+199（2）3996+449+98+9分析：（1）1797 （2）45526.计算：（1）1365-598(2)1206-199-297-398分析：（1）767 （2）3127.请大家先不要动笔,看能不能把下面的题目直接口算出来：（1）93570-93534 （2）45235-38235 （3）465+197 （4）465-197分析：（1）36；（2）7000；（3）662；（4）2688.计算：（1）280-24-76-65-35（2）267-162+84-38-147+116分析：（1）80；（2）1209.计算：（1）267-136+36-167（2）325-251-34+151-66分析：（1）0；（2）12510.（1）在加法算式中,如果一个加数增加10,另一个加数减少5,两数的和如何变化？（2）在减法算式中,如果被减数增加15,差减少8,那么减数应如何变化？分析：（1）增加5；（2）增加2311.计算：（1）246+462+624-888（2）125-24+251-240+512-402分析：（1）444；（2）22212.计算：（1）21-20+19-18+17-16+15-14+13-12+11（2）12+23-34+45-56+67-78+89-78+67-56+45-34+23+12分析：（1）16；（2）47超越篇1.计算下面4个算式：1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,1+2+3+4+5+4+3+2+1.观察这4个算式的结果,并找出规律,再用这个规律求出下面算式的结果：1+2+3+4+…+19+20+19+…+4+3+2+1.分析：4002.计算：364-（476-187）+213-（324-236）-150分析：503.如图,教室有4个书柜,每个书柜里都有4格数,图中标明了每格内书的册数。
(第六讲)专题三：盈亏问题
专题三：盈亏问题【知识重点】（1）盈亏问题的定义：人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题。
（2）基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。
（3）基本题型：①一次有余数，另一次不足：基本公式：总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差②当两次都有余数：基本公式：总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差③当两次都不足：基本公式：总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差（4）基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
（5）关键问题：确定对象总量和总的组数。
（6）有些问题初看似乎不像盈亏问题，但将题目条件适当转化，就露出了盈亏问题的“真相”。
1.一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
例如，“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。
问：有多少个小朋友和多少个桃子？2.两次都有余（盈），可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。
例如，“士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多200发。
问：有士兵多少人？有子弹多少发？”3.两次都不够（亏），可用公式：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
例如，“将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。
有多少学生和多少本本子？”4.一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：亏÷（两次每人分配数的差）=人数。
5.一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：盈÷（两次每人分配数的差）=人数。
例如，某校在植树活动中，把一批树苗分给各班，如果每班分18棵，就会有余下24棵；如果每班分20棵，正好分完。
这个学校有多少个班？这批树苗共有多少棵？【典型例题】例[1]小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。
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第二十三周 盈亏问题
专题简析：
把一定数量的物品，平均分给一定数量的人，每人少分，则物
品有余（盈）；每人多分，则物品不足（亏）。已知所盈和所亏的数
量，求物品数量和人数的应用题叫盈亏问题。
盈亏问题的基本解法是：
份数=（盈＋亏）÷两次分配数的差，物品数可由其中一种分
法的份和盈亏数求出。
解答盈亏问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然
后利用基本公式求出分配者人数，进而求出物品的数量。
例题1 小明的妈妈买回一篮梨，分给全家。如果每人分5个，
就多出10个；如果每人分6个，就少2个。小明全家有多少人？
这篮梨有多少个？
思路导航：根据题目中的条件，我们可知：
第一种分法：每人分5个，多10个；
第二种分法：每人分6个，少2个。
这说明全家人数为：10＋2=12人，也就是说：
不足的个数＋多余的个数=全家的人数
这篮梨的个数是：5×12＋10=70个；
练 习 一
1，幼儿园阿姨把一袋糖分给小朋友们，如果每人分10粒糖，
则多了8粒糖；如果每人分11粒糖，则少了16粒糖。一共有多少
个小朋友？这袋糖有多少粒？
2，有一根绳子绕树4圈，余2米；如果绕树5圈，则差6米。
树周长是多少米？绳子长多少米？
3，一些同学去划船，如果每条船坐5人，则多出3个位置；
如果每条船坐4人，则有3个人没有位置。一共有多少条船？一共
有多少个同学？
例题2 幼儿园买来一些玩具，如果每班分8个玩具，则多出
2个玩具；如果每班分10个玩具，则少12个玩具。幼儿园有几个
班？这批玩具有多少个？
思路导航：根据题目中的条件，我们可知：
第一种分法：每班分8个，多2个；
第二种分法：每班分10个，少12个。
从上面的条件中，我们可看出：第二种分法比第一种分法每班
多分10－8=2个，所以，所需的玩具总个数从多2个变成了少12
个，也就是说在多2个的基础上再加12个，才能保证每班分10个；
第二种分法所需的玩具个数比第一种多12＋2=14个，那是因为每
班多分了2个。根据这一对应关系，即可求出班级的个数为：14÷
2=7个，玩具的总个数为8×7＋2=58个。
练 习 二
1，小明带了一些钱去买苹果，如果买3千克，则多出2元；
如果买6千克，则少了4元。苹果每千克多少元？小明带了多少钱？
2，一个小组去山坡植树，如果每人栽4棵，还剩12棵；如果
每人栽8棵，则缺4棵。这个小组有几人？一共有多少棵树苗？
3，一组学生去搬书，如果每人搬2本，还剩下12本；如果每
人搬3本，还剩下6本。这组学生有几人？这批书有几本？
例题3 老师买来一些练习本分给优秀少先队员，如果每人分
5本，则多了14本；如果每人分7本，则多了2本。优秀少先队员
有几人？买来多少本练习本？
思路导航：根据题目中的条件，我们可知：
第一种分法：每人5本，多了14本；
第二种分法：每人7本，多了2本。
从上面可知第二种分法比第一种分法每人多分了7－5=2本，
这样就从原来的多14本变为多2本，两种分配方法的结果相差了
14－2=12本，每人多分了2本，多少人会多分了12本呢？根据这
一对应关系，可求出优秀少先队员的人数为12÷2=6人，练习本的
本数为：5×6＋14=44本。
练 习 三
1，把一袋糖分给小朋友们，如果每人分4粒，则多了12粒；
如果每人分6粒，则多了2粒。有小朋友几人？有多少粒糖？
2，妈妈买来一些苹果分给全家人，如果每人分6个，则多了
12个；如果每人分7个，则多了6个。全家有几人？妈妈共买回多
少个苹果？
3，某学校有一些学生住校，每间宿舍住8人，则空出床位24
张；如果每间宿舍住10人，则空出床位2张。学校共有几间宿舍？
住宿学生有几人？
例题4 学校派一些学生去搬一批树苗，如果每人搬6棵，则
差4棵；如果每人搬8棵，则差18棵。学生有几人？这批树苗有
多少棵？
思路导航：根据题意，我们可知搬树苗的两种方案：
第一种方案：每人搬6棵，差4棵；
第二种方案：每人搬8棵，差18棵。
比较两种方案，每人多搬了8－6=2棵树苗，所需的树苗就从
差4棵变为差18棵，结果相差了18－4=14棵，每人多搬了2棵，
多少人会多搬了14棵呢？根据这一对应关系，可以求出学生人数
为：14÷2=7人，树苗的棵数为：6×7－4=38棵。
练 习 四
1，自然课上，老师发给学生一些树叶。如果每人分5片叶子，
则差3片叶子；如果每人分7片叶子，则差25片树叶。学生有几
人？一共有树叶多少片？
2，数学兴趣小组的同学做数学题，如果每人做6道，则少4
道；如果每人做8道，则少16道。有几个学生？多少道数学题？
3，学校排练节目，如果每行排8人，则有一行少2人；如果
每行排9人，则有一行少7人。一共要排几行？一共有多少人？
例题5 三（1）班学生去公园划船，如果每条船坐4人，则
少一条船；如果每条船坐6人，则多出4条船。公园里有多少条船？
三（1）班有多少学生？
为了帮助理解，我们可以将题目中的条件进行转化。
将条件“如果每条船坐4人，则少一条船”转化为：“如果每
条船坐4人，则多出4人”；再将条件“如果每条船坐6人，则多
出4条船”转化为：“如果每条船坐6人，则差6×4=24人”。
这样两种分配方法就相差了24＋4=28人，这是因为每条船多
坐了6－4=2人。根据这一关系，可求出船的条数：28÷2=14条，
学生人数：4×（14＋1）=60人。
练 习 五
1，学校给新生分配宿舍，如果每间住8人，则少2间房；如
果每间住10人，则多出2间房。共有几间房？新生有多少人？
2，同学们去划船，如果每条船坐5人，则少2条船；如果每
船坐7人，则多出2条船。共有几条船？有多少个同学？
3，小明从家到学校，如果每分钟走40米，则要迟到2分钟；
如果每分钟走50米，则早到4分钟。小明家到学校有多远？