一次函数图象实际问题
一次函数在实际生活中的应用
一次函数在实际生活中的应用例1某房地产开发公司计划建A B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：分析：设AA型住房的总成本是__________ 万元；B型住房的总成本是______________ 万元；80套住房的总成本是 ______________万丿元。
A型住房的总售价是___________ 万元；B型住房的总售价是___________ 万元；80套住房的总售价是_______________ 万元。
A型住房的总利润是___________ 万元；B型住房的总利润是___________ 万元；80套住房的总利润是_______________ 万元。
依据所筹资金情况可列不等式组彳-----------不等式组的解集是____________ ,故有_________ 种建房方案。
依据总利润的解析式，当x= _________ 套时总利润最大，最大利润为__________ 万元•终上所述，共有 _____ 种建房方案；当建A型房________ 套，B型住房____ 套时，总利润最大，最大利润是_________ 万元。
例2塑料厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表，请你解答下列问题：（1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x吨，利润分别为y i元和y2元，分别求y i和屮关于x的函数解析式（注: 利润=总收入-总支出）；（2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共700吨，该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？例3某商场欲购进A、B两种品牌的饮料500箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。
设购进A种饮料x箱,且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元.⑴求y关于x的函数关系式？⑵如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润。
一次函数图象的应用6.5(2)
课题：6.5一次函数图象的应用（2）【教学目标】 1、通过函数图象解决实际问题，进一步发展学生的数学应用能力。
2、从函数图象中正确读取信息，进一步发展学生的数形结合能力。
一、自主探究阅读课本202p 页，并完成相应的空格部分。
例1、如图，1l 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，2l 反映了该公司产品的销售成本与销售的关系，根据图象填空．①当销售量为2t 时，销售收入= ， 销售成本= ．②当销售量为6t 时，销售收入= ， 销售成本= ． ③当销售量等于 时， 销售收入等于销售成本．④当销售量 时，该公司赢利， 当销售量 时，该公司亏损． ⑤1l 对应的函数解析式是 ． 2l 对应的函数解析式是 ．二、练习：1、如图分别是龟兔赛跑中路程与时间之间的函数图象。
根据图象可以知道：（1）这一次是 米赛跑（2）表示兔子的图象是（3）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有 米 （4）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑 米 （5）乌龟要先到达终点，至少要比兔子早跑 分钟三、自学课本P203－204页，并完成相应的问题。
例2、我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A 正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇B 追赶 （如图），下图中l 1，l 2分别表示两船相对于海岸 的距离s （海里）与追赶时间t （分）之间的关系．（1）哪条线表示B 到海岸的距离与时间之间的关系？t（2）A，B哪个速度快？（3）15分钟内B能否追上A？（4）如果一直追下去，那么B能否追上A（5）当A逃到离海岸12海里的公海时，B将无法对其进行检查．照此速度，B能否在A逃到公海前将其拦截？四、练习：1、一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题.(1)农民自带的零钱是多少?(2)试求降价前y与x之间的关系(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少?(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆？2、如图：OA、BA分别表示甲乙两名学生跑步过程的一次函数的图象，图中s和t分别表示运动的路程和时间，根据图象请你判断： （1）甲乙谁的速度比较快？为什么？（2）快者的速度比慢者的速度每秒快多少米？3、一家小型放影厅盈利额y （元）同售票数x 之间的 关系如图2 所示，其中保险部门规定：超过150人时， 要缴纳公安消防保险费50元.试根据关系图回答下列问题： （1） 当售票数x 满足0＜x ≤150时，求盈利额y （元）与x 之间的函数关系式？（2） 当售票数x 满足150＜x ≤200时，求盈利额y （元）与x 之间的函数关系式？（3） 当售票数x 为__________时，不赔不赚；当售票数x 满足__________时，放影厅要赔本；若放影厅要 获得最大利润200元，此时售票数x 应为________.t(秒)。
一次函数的图象在相遇问题中的应用
一次函数的图象在相遇问题中的应用利用一次函数的图象交点的个数来反映行程问题中相遇的次数，充分体现了数形结合的数学思想，解决此类问题首先我们要理解当速度一定时，路程与行驶时间之间满足一次函数（特殊正比例函数）关系，因此图像是直线型，当限定时间范围时，图像就变成一条线段，若将两车行驶的路程与时间函数关系用图象反映在同一平面直角坐标系内，必然出现相交的情形，交点就代表两车相向（同向）行驶时的相遇情况.下面我们通过例题加以分析说明.例1、（连市实验区）某物流公司的快递车和货车每天往返于A 、B 两地，快递车比货车多往返一趟．图1表示快递车距离A 地的路程y (单位：千米)与所用时间x (单位：时)的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发，到达B 地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A 地晚1小时．⑴请在图1中画出货车距离A 地的路程y (千米)与所用时间x (时)的函数图象；⑵求两车在途中相遇的次数(直接写出答案)；⑶求两车最后一次相遇时，距离A 地的路程和货车从A 地出发了几小时？分析：（1）观察图1，发现快递车8个小时在A 、B 两地之间往返2次，且单程行驶时间是2小时，要画出货车距离A 地的路程y (千米)与所用时间x (时)的函数图象，根据题意可知货车总共花费时间为10小时，去掉装卸货物2小时，实际行驶了8小时，说明从A 到B 地行驶了4小时，返回时也用了4小时，又早出发1小时，返回时比快递车最后一次返回A 地晚1小时．又图象是一条线段，故可画出图象为图2的实线部分.（2）观察快递车与货车行驶所反映出图象可以发现共有4个交点，因此可以判断两车在途中相遇的4次.（3）如图2，设直线EF 的解析式为，∵图象过（9，0），（5，200），11b x k y +=图1y 千米200 150 100 59876x(时)4513 -2 O-1 2∴ ∴∴y=―50x+450……①设直线CD 的解析式为，图象过（8，0），（6，200），∴ ∴∴……②解由①、②组成的方程组得所以最后一次相遇时距离A 地的路程为100km ，货车从A 地出发8小时．例2、（辽宁省实验区）如图3，在大连到烟台160千米的航线上，某轮船公司每天上午8点(x 轴上0小时)到下午16点每隔2小时有一只轮船从大连开往烟台，同时也有一只轮船从烟台开往大连，轮船在途中花费8小时。
九年级数学 专题一次函数应用题
一次函数应用题一次函数的应用题是近年中考试题中的热点之一,这类问题通常是从函数图象或图表中得出需要的信息,然后利用待定系数法求出一次函数解析式,再利用解析式解决问题. 一. 一次函数图象的应用由函数图象解决实际问题的关键是读图、识图，要弄清函数图象上点的意义.图象上点的横坐标反映函数自变量的取值，纵坐标反映对应的函数值. 例1甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度()m y 与挖掘时间()h x 之间的关系如图1所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： ⑴乙队开挖到30m 时，用了h ． 开挖6h 时甲队比乙队多挖了m ；⑵请你求出：①甲队在06x ≤≤的时段内，y 与x 之间的函数关系式；②乙队在26x ≤≤的时段内，y 与x 之间的函数关系式；⑶当x 为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？分析:从图象观察可知,甲队在06x ≤≤26x ≤≤y 相等得到的关于x 的方程求得第（3）⑶问.解：⑴2，10；⑵设甲队在06x ≤≤的时段内y 与x 之间的函数关系式为1y k x =，由图可知，函数图象过点(660)，，1660k ∴=，解得110k =，10y x ∴=．设乙队在26x ≤≤的时段内y 与x 之间的函数关系式为2y k x b =+，由图可知，函数图象过点(230)(650)，，，，22230650k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，．解得2520.k b =⎧⎨=⎩，520y x ∴=+．⑶由题意，得10520x x =+，解得4x =（h ）．∴当x 为4h 时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．点拨:这道题考查的是函数关系,要求从已知函数图象中获取信息,求出函数值、函数表达式并解答相应的问题.设置了这样一个问题情景后，把两工程队的开挖长度与时间的关系用图象直观地反映出来，更容易理解两个变量间的函数关系以及函数关系的表示，在解决实际问题的过程中考查了对“双基”的理解和掌握.有助于改变对知识过分形式化的记忆和理解，克服单纯记忆知识和机械操作的倾向. 二．实际问题中的一次函数此类问题一般是利用一次函数与方程、不等式的关系解决实际问题并进行简单的决策，或根据已画出的图象进行决策.例2：小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图2中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球量桶中水面升高___________cm ；（2）求放入小球后量桶中水面的高度y （cm ）与小球个数x （个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值X 围）；（3）量桶中至少放入几个小球时有水溢出？分析：从图2中可以观察出加入3个球水位增长了6cm ，从而就可以求出放入一个小球量筒中水面升高的量为2cm ,对于一次函数解析式的求法，我们可以考虑筒中已有的水量为一次函数的常数项，再利用增长的量求出相应的k. 解：（1）2．（2）设y kx b =+，把()030，，()336，代入得：30336b k b =⎧⎨+=⎩，．解得230k b =⎧⎨=⎩，．即230y x =+． （3）由23049x +>，得9.5x >，即至少放入10个小球时有水溢出．点拨:本题从中国古老的故事中找到存在的函数关系，情景新颖，同时具有一定的文化底蕴.我们在平时复习中要关注一些具有文化底蕴的背景并从中挖掘出蕴含的数学问题. 三．一次函数最优化问题例3:日照市是中国北方最大的对虾养殖产区，被国家农业部列为对虾养殖重点区域；贝类产品西施舌是日照特产．沿海某养殖场计划今年养殖无公害标准化对虾和西施舌，由于受养殖水面的制约，这两个品种的苗种的总投放量只有50吨．根据经验测算，这两个品种的种品种 先期投资养殖期间投资产值 西施舌 9 3 30 对虾41020养殖场受经济条件的影响，先期投资不超过360千元，养殖期间的投资不超过290千元．设西施舌种苗的投放量为x 吨 （1）求x 的取值X 围；（2）设这两个品种产出后的总产值为y （千元），试写出y 与x 之间的函数关系式，并求出当x 等于多少时，y 有最大值？最大值是多少？分析：根据两个“不超过”可以列出相应的不等式组，从而求出x 的取值X 围.总产值为西施舍和对虾的产值之和.至于最大值则需要正确解出x 的取值X 围. 解：设西施舌的投放量为x 吨，则对虾的投放量为（50-x ）吨，49cm 30cm36cm 3个球有水溢出（第23题） 图2 图2根据题意，得：94(50)360,310(50)290.x x x x +-≤⎧⎨+-≤⎩ 解之，得：32,30.x x ≤⎧⎨≥⎩∴30≤x ≤32；（2）y =30x +20(50-x )=10x +1000．∵30≤x ≤32，100>0，∴1300≤x ≤1320，∴y 的最大值是1320， 因此当x =32时，y 有最大值，且最大值是1320千元.点拨:本题是一道表格信息题,既考查不等式,又考查一次函数解析式及一次函数的最值问题.通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x 的取值X 围,进而利用一次函数的增减性在前面X 围内的前提下求出最值.函数与几何知识的综合问题,有些是以函数知识为背景考查几何相关知识,关键是掌握数与形的转化.有些题目是以几何知识为背景,从几何图形中建立函数关系,关键是运用几何知识建立量与量的等式.例4:元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量点，猜想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式； （2）教室天花板对角线长10m ，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个纸环？ 分析:通过描点可以观察猜想出y 与x 之间满足一次函数关系,我们可以利用待定系数法求函数解析式. 解:（1）在所给的坐标系中准确描点,如图3所示. 由图象猜想到y 与x 之间满足一次函数关系． 设经过(119)，，(236)，两点的直线为y kx b =+，则可得19236.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得17k =，2b =．即172y x =+．当3x =时，173253y =⨯+=；当4x =时，174270y =⨯+=．即点(353)(470)，，，都在一次函数172y x =+的图象上．所以彩纸链的长度y （cm ）与纸环数x （个）之间满足一次函数关系172y x =+． （2）10m 1000cm=，根据题意，得1721000x +≥． 解得125817x ≥． 答：每根彩纸链至少要用59个纸环．点拨:描点猜想问题需要动手操作,故成为中考中一类“时髦”的问题，这类问题需要我们真正地去描点，观察图象后再判断是一次函数还是二次函数，再利用待定系数法求解相关的问题.图3题型五文字信息类例5. 某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元。
一次函数实际问题
一次函数实际问题一次函数，也叫做线性函数，是数学中最简单的函数之一。
它的一般形式为Y = aX + b，其中a和b是常数，X和Y分别表示自变量和因变量。
一次函数在实际问题中的应用非常广泛，下面我将为你列举几种常见的实际问题，并给出参考内容。
1.汽车租赁问题：假设一辆汽车的租金为每天100元，另外还需要支付一定的保证金。
我们可以用一次函数来表示汽车租赁费用与租用天数之间的关系。
设X表示租用天数，Y表示总费用（包括租金和保证金）。
则一次函数可以表示为Y = 100X + b。
其中，b表示保证金。
通常情况下，保证金是定值，不随租用天数的增加而变化。
2.收入问题：假设某公司的月薪为3,000元，每个月还有一定的奖金作为额外收入。
我们可以用一次函数来表示每个月的收入与奖金的关系。
设X表示奖金数额，Y表示总收入。
则一次函数可以表示为Y = 3000 + aX。
其中，3000为基本薪水，a为奖金的倍数。
3.物体运动问题：假设一个物体在相同的力作用下以恒定的速度匀速运动。
我们可以用一次函数来表示物体在不同时间点的位置。
设X表示时间，Y表示距离。
则一次函数可以表示为Y = aX + b。
其中，a为速度，b为起始位置。
4.销售问题：假设某商品的售价为每个100元，销量与售价存在一定的线性关系。
我们可以用一次函数来表示销售额与售价之间的关系。
设X表示售价，Y表示销售额。
则一次函数可以表示为Y = aX。
其中，a表示每个商品的销量。
5.水果购买问题：假设某水果店卖橙子的价格为每斤5元，我们可以用一次函数来表示购买橙子的费用与购买重量之间的关系。
设X表示购买重量（单位：斤），Y表示总费用。
则一次函数可以表示为Y = 5X。
以上只是一些常见的实际问题，一次函数还可以应用于更多领域，如金融、生产等等。
在实际问题中，我们可以通过确定函数的参数来解决具体的计算和分析问题。
一次函数的简洁性和直观性，使它成为了数学中最基础、最常用的函数之一。
中考一次函数的实际应用答案
一次函数的实际应用1.2011福建泉州,24,9分某电器商城“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：1按国家政策,农民购买“家电下乡”产品享受售价13℅的政府补贴;农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台,可以享受多少元的补贴 2为满足农民需求,商场决定用不超过85000元采购冰箱、彩电共40台,且冰箱的数量不少于彩电数量的56. 若使商场获利最大,请你帮助商场计算应该购进冰箱、彩电各多少台最大获利是多少 答案解：12420+1980×13℅=572,...... .....................3分 2①设冰箱采购x 台,则彩电采购40-x 台,根据题意得解不等式组得231821117x ≤≤,...... .................................5分 因为x 为整数,所以x = 19、20、21,方案一：冰箱购买19台,彩电购买21台, 方案二：冰箱购买20台,彩电购买20台, 方案一：冰箱购买21台,彩电购买19台, 设商场获得总利润为y 元,则y =2420-2320x +1980-190040- x ...... .................7分 =20 x + 3200 ∵20＞0,∴y 随x 的增大而增大,∴当x =21时,y 最大 = 20×21+3200 = 3620. ...... .......................9分10．2011湖南益阳,19,10分某地为了鼓励居民节约用水,决定实行两级收费制,即每月用水量不超过14吨含14吨时,每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨时,超过部分每吨按市场调节价收费．小英家1月份用水20吨,交水费29元；2月份用水18吨,交水费24元．1求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少2设每月用水量为x 吨,应交水费为y 元,写出y 与x 之间的函数关系式； 3小英家3月份用水24吨,她家应交水费多少元答案解:⑴ 设每吨水的政府补贴优惠价为x 元,市场调节价为y 元．答：每吨水的政府补贴优惠价为1元,市场调节价为元． ⑵14x y x ≤≤=当0时，；()1414 2.5 2.521x x x >-⨯=-当时，y=14+, 所求函数关系式为：()()0142.52114.x x y x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，⑶2414x =>,24 2.521x y x ∴=-把=代入,得: 2.5242139y =⨯-=.类别冰箱彩电进价元/台2320 1900 售价元/台2420 1980答：小英家三月份应交水费39元.3.2011江苏宿迁,25,10分某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择,其中一种有月租费,另一种无月租费,且两种收费方式的通讯时间x 分钟与收费y 元之间的函数关系如图所示．1有月租费的收费方式是 ▲ 填①或②,月租费是 ▲ 元；2分别求出①、②两种收费方式中y 与自变量x 之间的函数关系式；3请你根据用户通讯时间的多少,给出经济实惠的选择建议． 答案解：1①；30；2设y 有＝k 1x ＋30,y 无＝k 2x ,由题意得⎩⎨⎧==+100500803050021k k ,解得⎩⎨⎧==2.01.021k k 故所求的解析式为y 有＝＋30； y 无＝．3由y 有＝y 无,得＝＋30,解得x ＝300；当x ＝300时,y ＝60．故由图可知当通话时间在300分钟内,选择通话方式②实惠；当通话时间超过300分钟时,选择通话方式①实惠；当通话时间在300分钟时,选择通话方式①、②一样实惠． 4.2011山东潍坊,21,10分2011年秋冬北方严重干旱,凤凰社区人畜饮用水紧张,每天需从社区外调运饮用水120吨.有关部门紧急部署,从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供水点,甲厂每天最多可调出80吨,乙厂每天最多可调出90吨.从两水厂运水到凤凰社区供水点的路程和运费如下表：1若某天调运水的总运费为26700元,则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水2设从甲厂调运饮用水x 吨,总运费为W 元,试写出W 关于与x 的函数关系式,怎样安排调运方案才能是每天的总运费最省解1设从甲厂调运饮用水x 吨,从乙厂调运饮用水y 吨,根据题意得解得50,70.x y =⎧⎨=⎩∵50<80,70<90,∴符合条件.故从甲、乙两水厂各调用了50吨、70吨饮用水.2设从甲厂调运饮用水x 吨,则需从乙厂调运水120－x 吨,根据题意可得第25题分钟)80,12090.x x ⎧⎨-⎩≤≤解得3080x ≤≤. 总运费()201214151203025200W x x x =⨯+⨯-=+,3080x ≤≤ ∵W 随x 的增大而增大,故当30x =时,26100W =最小元. ∴每天从甲厂调运30吨,从乙厂调运90吨,每天的总运费最省.20．2011广东茂名,21,8分某学校要印制一批学生手册,甲印刷厂提出：每本收1元印刷费,另收500元制版费；乙印刷厂提出：每本收2元印刷费,不收制版费．1分别写出甲、乙两厂的收费甲y 元 、乙y 元与印制数量x 本之间的关系式； 4分 2问：该学校选择哪间印刷厂印制学生手册比较合算请说明理由． 4分 答案解：1500+=x y 甲,x y 2=乙．2当甲y >乙y 时,即500+x >x 2,则x <500 ,当甲y ＝乙y 时,即500+x ＝x 2,则x ＝500,·当甲y <乙y 时,即 500+x <x 2, 则x >500,21. 2011湖北襄阳,24,10分为发展旅游经济,我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客.门票定价为50元/人,非节假日打a 折售票,节假日按团队人数分段定价售票,即m 人以下含m 人的团队按原价售票；超过m 人的团队,其中m 人仍按原价售票,超过m 人部分的游客打b 折售票.设某旅游团人数为x 人,非节假日购票款为1y 元,节假日购票款为2y 元.1y ,2y 与x 之间的函数图象如图8所示.1观察图象可知：a ＝ ；b ＝ ；m ＝ ； 2直接写出1y ,2y 与x 之间的函数关系式；3某旅行社导游王娜于5月1日带A 团,5月20日非节假日带B 团都到该景区旅游,共付门票款1900元,A ,B 两个团队合计50人,求A ,B 两个团队各有多少人答案11086===m b a ； ； 填对一个记1分 ······················································ 3分2x y 301=； ···································································································· 4分 ⎩⎨⎧>+≤≤=)10(10040)100(502x x x x y . ·········································································· 6分图83设A团有n人,则B团有50－n人.当0≤n≤10时,1900-50=n+n5030)(解之,得n＝20,这与n≤10矛盾. ···························································· 7分当n＞10时,1900-+40=+nn················································· 8分()1005030解之,得,n＝30, ······················································································· 9分∴50－30＝20答：A团有30人,B团有20人. 10分23. 2010湖北孝感,24,10分健身运动已成为时尚,某公司计划组装A、B两种型号的健身器材共40套,捐赠给社区健身中心.组装一套A型健身器材需甲种部件7个和乙种部件4个,组装一套B型健身器材需甲种部件3个和乙种部件6个.公司现有甲种部件240个,乙种部件196个.1公司在组装A、B两种型号的健身器材时,共有多少种组装方案；5分2组装一套A型健身器材需费用20元,组装一套B型健身器材需费用18元.求总组装费用最少的组装方案,最少组装费用是多少5分答案解：1设该公司组装A型器材x套,则组装B型器材40－x套,依题意,得解得22≤x≤30.由于x为整数,∴x取22,23,24,25,26,27,28,29,30.∴组装A、B两种型号的健身器材共有9种组装方案.2总的组装费用y=20x+1840－x=2x+720.∵k=2＞0,∴y随x的增大而增大.∴当x=22时,总的组装费用最少,最少组装费用是2×22+720=764元.总组装费用最少的组装方案：组装A型器材22套,组装B型器材18套.7. 2011福建莆田,23,10分某高科技公司根据市场需求,计划生产A、B两咱型号的医疗器械,其部分信息如下：信息一：A、B两咱型号的医疗器械共生产80台;信息二：该公司所筹生产医疗器械资金不少于1800万元,且把所筹资金全部用于生产此两种医疗器械;信息三：A、B两种医疗器械的生产成本和售价如下表：根据上述信息, Array解答下列问题16分该公司对此两种医疗器械有哪几种生产方案哪种生产方案能获得最大利润24分根据市场调查,每台A型医疗器械的售价将会提高a万元a>0,每台B型医疗器械的售价不会改变,该公司应该如何生产可以获得最大利润注：利润=售价-成本答案解：1设该公司生产A种医疗器械x台,则生产B种医疗器械80-x台,依题意得解得38≤x≤40取整数得x=38,39,40∴该公司有3种生产方案；方案一：生产A种器械38台,B种器械42台；方案二：生产A种器械39台,B种器械41台；方案三：生产A种器械40台,B种器械40台;公司获得利润：W=24-20x+30-2580-x=-x+400 当x=38时,W 有最大值∴当生产A 种器械38台,B 种器械42台时获得最大利润; 2依题意得：W=4+ax+580-x=a-1x+400当a-1>0,即a>1时,生产A 种器械40台,B 种器械40台,获得最大利润； 当a-1=0,即a=1时,1中三种方案利润都为400万元；当a-1<0,即0<a<1时,生产A 种器械38台,B 种器械42台,获得最大利润;2012四川成都,26,8分 “城市发展 交通先行”,成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程,建成后将大大提升二环路的通行能力．研究表明,某种情况下,高架桥上的车流速度V 单位：千米／时是车流密度x 单位：辆／千米的函数,且当0<x ≤28时,V=80；当28<x ≤188时,V 是x 的一次函数. 函数关系如图所示. 1求当28<x ≤188时,V 关于x 的函数表达式；2若车流速度V 不低于50千米／时,求当车流密度x 为多少时,车流量P 单位：辆／时达到最大,并求出这一最大值． 注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数,计算公式为：车流量=车流速度×车流密度答案1设一次函数解析式是v=kx+b 把28,,80188,0代入得解之得⎪⎩⎪⎨⎧=-=9421b k∴v 关于x 的一次函数关系式是)18828(9421≤<+-=x x v 由V 不低于50千米／时,得x ≤88所以当x=88时,车流量P 有最大值4400辆/时;4. 2012浙江舟山22,10分某汽车租赁公司拥有20辆汽车;据统计,当每辆车的日租金为400元时,可全部租出；当辆车的日租金每增加50元时,未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元;设公司每日租出x 辆车,日收益为y 元,日收益＝日租金收入－平均每日各项支出;1公司每日租出x 辆车时,每辆车的日租金为 元用含x 的代数式表示； 2当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大最大是多少元 3当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏 答案解：11400－50x ；24800)140050(-+-=x x y ＝48001400502-+-x x＝5000)14502+-x （－即 当x ＝14时,在0≤x ≤20范围内,y 有最大值5000 ∴当日租出14辆时,租赁公司收益最大,最大值是5000元;（1） 要使租赁公司日收益不盈也不亏,即y ＝0,即5000)14502+-x （－＝0 解得,4,2421==x x ∵24=x 不合题意,舍去∴当日租出4辆时,租赁公司日收益不盈也不亏;8. 2012福建三明,20,10分某商店销售A ,B 两种商品,已知销售一件A 种商品可获得利润10元,销售一件B 种商品可获得利润15元．1该商店销售A ,B 两种商品共100件,获利润1350元,则A ,B 两种商品各销售多少件5分 2根据市场需求,该商店准备购进A ,B 两种商品共20件,其中B 种商品的件数不多于A 种商品件数的3倍．为了获得最大利润,应购进A ,B 两种商品各多少件可获得最大利润为多少元5分答案1设A 种商品销售x 件,则B 种商品销售100－x 件,依题意得10x ＋15100－ x ＝1350 解得x ＝30．∴100－x ＝70．答：A 种商品销售30件,则B 种商品销售70件． 2设A 种商品购进a 件,则B 种商品购进200－a 件．依题意得0≤200－a ≤3a 解得50≤a ≤200 设所获利润为w 元,则有w ＝10 a ＋15200－a ＝－5a ＋3000 ∵－5＜0,∴w 随a 的增大而减小． ∴当a ＝50时,所获利润最大 w ＝－5×50＋3000＝2750元． 200－a ＝150．答：应购进A 种商品50件,B 种商品150件,可获得最大利润为2750元． 13. 2012辽宁阜新,20,10分某仓库有甲种货物360吨,计划用A 、B 两种共50辆货车运往外地;已知一辆A 种货车的运费需万元,一辆B 种货车的运费需万元;1设A 种货车为x 辆,运输这批货物的总运费为y 万元,试写出y 与x 的关系表达式； 2若一辆A 种货车能装载甲种货物9吨和乙种货物3吨；一辆B 种货车能装载甲种货物6吨和乙种货物8吨;按此要求安排A 、B 一,两种货车运送这批货物,有哪几种运输方案请设计出来；3试说明哪种方案总运费最少最少运费是多少万元20．答案解：1设A 种货车为x 辆,则B 种货车为50－x 辆．根据题意,得 )50(8.05.0x x y -+=, 即 403.0+-=x y ． 2根据题意,得⎩⎨⎧≥-+≥-+．，290)50(83360)50(69x x x x 解这个不等式组,得2220≤≤x D \ MERGEFORMAT x 是整数,∴x 可取20、21、22总运费403.0+-=x y , 3由1可知,∵k =－＜0,∴一次函数403.0+-=x y 的函数值随x 的增大而减小．所以22=x 时,y 有最小值．即4.3340223.0=+⨯-=y 万元．选择方案三：A 种货车为22辆,B 种货车为28辆,总运费最少是万元．1. 2013四川内江,21,10分某地区为了进一步缓解交通拥堵问题,决定修建一第长为6千米的公路.如果平均每天的修建费y 万元与修建天数x 天之间在30≤x ≤120时,具有一次函数的1求y 关于x 的函数解析式；2后来在修建的过程中计划发生改变,政府决定多修2千米.因此在没有增减建设力量的情况下,修完这条路比计划晚了15天,求原计划平均每天的修建费. 答案1设y 关于x 的函数解析式为y=kx+b, ∵点50,40、60,38满足函数解析式.∴50406038k b k b ,解得1550kb .∴y 关于x 的函数解析式为1505yx . 2设原计划x 天修完这条路,根据题意得66215x x . 解得x=45 当x=45时,1505yx =145505=41万元 答：原计划平均每天的修建费41万元.2013山东临沂,24,9分某工厂投入生产一种机器的总成本为2000元.当该机器生产数量至少10台,但不超过70台时,每台成本y 与生产数量x 之间是一次函数关系,函数y 与自变量⑴求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围； ⑵求该机器的生产数量；⑶市场调查发现,这种机器每月销售量z 台与售价a 万元∕台之间满足如图所示的函数关系,该厂生产这种机器后的第一个月按同一售价共卖出这种机器25台,请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润.注：利润=售价-成本 解解：1设y 与x 的函数解析式为y=kx+b,根据题意,得⎩⎨⎧=+=+55206010b k b k ,解得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=6521b k ;∴y 与x 之间的函数解析式为y=-21x+6510≤x ≤70. 2设该机器的生产数量为x 台, 根据题意,得x-21x+65=2000,解得x 1=50,x 2=80. ∵10≤x ≤70,∴x=50.答：该机器的生产数量为50台;3设每月销售量z 台与售价a 万元∕台的关系式为z=ma+n.则由题知55m n 3575m n 15+=⎧⎨+=⎩,解得m 1n 90=-⎧⎨=⎩,∴z=－a+90.当z=25时,a=65. 设该厂第一个月销售这种机器的利润为w 万元,则w=25×65－200050=625万元. 2013四川广安,22,8分某商场筹集资金万元,一次性购进空调、彩电共30台．根据市场需要,这些空调、彩电可以全部销售,全部销售后利润不少于万元,其中空调、彩电的进价和售价见表．1试写出y 与x 的函数关系式； 2商场有哪几种进货方案可供选择3选择哪种进货方案,商场获利最大最大利润是多少元 答案1y =6100－5400x +3900－350030－x =12000+300x 2⎩⎨⎧≥+≤-+1500030012000128000)30(35005400x x x ,解得10≤x ≤19212∴有三种进货方案：①购空调10台,彩电20台；②购空调11台,彩电19台；③购空调12台,彩电18台;3选择方案③获利最大,最大利润=12000+300×12=15600元;2014绵阳绵州大剧院举行专场音乐会,成人票每张20元,学生票每张5元,暑假期间,为了丰富广大师生的业余文化生活,影剧院制定了两种优惠方案,方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款,某校有4名老师与若干名不少于4人学生听音乐会． 1设学生人数为x 人,付款总金额为y 元,分别建立两种优惠方案中y 与x 的函数关系式； 2请计算并确定出最节省费用的购票方案．8分广安某水果点计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克,这两种水果的进价、售价如表所示：进价元/千克 售价元/千克 甲种 5 8 乙种9131若该水果店预计进货款为1000元,则这两种水果各购进多少千克2若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍,应怎样安排进货才能使水果点在销售完这批水果时获利最多此时利润为多少元解：1设购进甲种水果x千克,则购进乙种水果140﹣x千克,根据题意可得：5x+9140﹣x=1000,解得：x=65,∴140﹣x=75千克,答：购进甲种水果65千克,乙种水果75千克；2由图表可得：甲种水果每千克利润为：3元,乙种水果每千克利润为：4元,设总利润为W,由题意可得出：W=3x+4140﹣x=﹣x+560,故W随x的增大而减小,则x越小W越大,因为该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍,∴140﹣x≤3x,解得：x≥35,∴当x=35时,W最大=﹣35+560=525元,故140﹣35=105kg．答：当甲购进35千克,乙种水果105千克时,此时利润最大为525元．。
中考数学总复习训练 一次函数的实际应用含解析
一次函数的实际应用一、利用函数的解析式解决问题1．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．2．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x （元）15 20 25 …y （件）25 20 15 …若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．3．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？4．鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：（注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码）鞋长（cm） 16 19 21 24鞋码（号） 22 28 32 38（1）设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点（x，y）在你学过的哪种函数的图象上；（2）求x、y之间的函数关系式；（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？5．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20m3时，按2元/m3计费；月用水量超过20m3时，其中的20m3仍按2元/m3收费，超过部分按2.6元/m3计费．设每户家庭用水量为xm3时，应交水费y元．（1）分别求出0≤x≤20和x＞20时y与x的函数表达式；（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：月份四月份五月份六月份交费金额30元34元42.6元小明家这个季度共用水多少立方米？6．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1，y2与x 的函数关系图象如图所示：（1）根据图象，直接写出y1，y2关于x的函数关系式．（2）分别求出当x=3，x=5，x=8时，两车之间的距离．（3）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的函数关系式．（4）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油．求A加油站到甲地的距离．7．我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（b＞a）收费．设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元；（2）求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？二、利用函数的增减性解决问题8．某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？甲乙每千克饮料果汁含量果汁A 0.5千克0.2千克B 0.3千克0.4千克9．某厂工人小王某月工作的部分信息如下：信息一：工作时间：每天上午8：00～12：00，下午14：00～18：00，每月25天；信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：生产甲产品数（件）生产乙产品数（件）所用时间（分）10 10 35030 20 850信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元．根据以上信息，回答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分；（2）小王该月最多能得多少元此时生产甲、乙两种产品分别多少件．10．“5.12”汶川特大地震灾害发生后，社会各界积极为灾区捐款捐物，某经销商在当月销售的甲种啤酒尚有2万元货款未收到的情况下，先将销售甲种啤酒全部应收货款的70%捐给了灾区，后又将该月销售乙种啤酒所得的全部货款的80%捐给了灾区．已知该月销售甲、乙两种啤酒共5000件，甲种啤酒每件售价为50元，乙种啤酒每件售价为35元，设该月销售甲种啤酒x件，共捐助救灾款y元．（1）该经销商先捐款元，后捐款元；（用含x的式子表示）（2）写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（3）该经销商两次至少共捐助多少元？11．为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220 200 200运往E县的费用（元/吨）250 220 210为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？12．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少此时，哪种方案对公司更有利？13．“5•12”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区．已知A蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点．从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；C D 总计A 200吨B x吨300吨总计240吨260吨500吨（2）设A、B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案．14．某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：A型利润B型利润甲店200 170乙店160 150（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W 关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？一次函数的实际应用参考答案与试题解析一、利用函数的解析式解决问题1．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意可知直接计算这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）；（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，并根据图象上点的坐标利用待定系数法求函数的解析式即可；（3）表示出蔬菜的总收益w（元）与x之间的关系式，w=﹣24x2+21600x+2400000，利用二次函数最值问题求最大值．【解答】解：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，分别把点（50，1200），（100，2700）代入得，50k+800=1200，100k1+3000=2700，解得：k=8，k1=﹣3，种植亩数与政府补贴的函数关系为：y=8x+800每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为z=﹣3x+3000（x＞0）（3）由题意：w=yz=（8x+800）（﹣3x+3000）=﹣24x2+21600x+2400000=﹣24（x﹣450）2+7260000，∴当x=450，即政府每亩补贴450元时，总收益额最大，为7260000元．【点评】主要考查利用一次函数和二次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解．利用二次函数的顶点坐标求最值是常用的方法之一．2．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x （元）15 20 25 …y （件）25 20 15 …若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题；图表型．【分析】（1）已知日销售量y是销售价x的一次函数，可设函数关系式为y=kx+b（k，b 为常数，且k≠0），代入两组对应值求k、b，确定函数关系式．（2）把x=30代入函数式求y，根据：（售价﹣进价）×销售量=利润，求解．【解答】解：（1）设此一次函数解析式为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）．（1分）则．（2分）解得k=﹣1，b=40（4分）即一次函数解析式为y=﹣x+40（5分）（2）当x=30时，每日的销售量为y=﹣30+40=10（件）（6分）每日所获销售利润为（30﹣10）×10=200（元）（8分）【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题．3．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？【考点】一次函数的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】（1）可设y=kx+b，因为由图示可知，x=4时y=10.5；x=7时，y=15，由此可列方程组，进而求解；（2）令x=4+7，求出相应的y值即可．【解答】解：（1）设y=kx+b（k≠0）．（2分）由图可知：当x=4时，y=10.5；当x=7时，y=15．（4分）把它们分别代入上式，得（6分）解得k=1.5，b=4.5．∴一次函数的解析式是y=1.5x+4.5（x是正整数）．（8分）（2）当x=4+7=11时，y=1.5×11+4.5=21（cm）．即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是21cm．（10分）【点评】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力．而它通过所有学生都熟悉的摞碗现象构造问题，将有关数据以直观的形象呈现给学生，让人耳目一新．从以上例子我们看到，数学就在我们身边，只要我们去观察、发现，便能找到它的踪影；数学是有用的，它可以解决实际生活、生产中的不少问题．4．鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：（注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码）鞋长（cm） 16 19 21 24鞋码（号） 22 28 32 38（1）设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点（x，y）在你学过的哪种函数的图象上；（2）求x、y之间的函数关系式；（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题；图表型．【分析】（1）可利用函数图象判断这些点在一条直线上，即在一次函数的图象上；（2）可设y=kx+b，把两个点的坐标代入，利用方程组即可求解；（3）令（2）中求出的解析式中的y等于44，求出x即可．【解答】解：（1）如图，这些点在一次函数的图象上；（2）设y=kx+b，由题意得，解得，∴y=2x﹣10．（x是一些不连续的值．一般情况下，x取16、16.5、17、17.5、26、26.5、27等）；（3）y=44时，x=27．答：此人的鞋长为27cm．【点评】本题首先利用待定系数法确定一次函数的解析式，然后利用函数实际解决问题．5．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20m3时，按2元/m3计费；月用水量超过20m3时，其中的20m3仍按2元/m3收费，超过部分按2.6元/m3计费．设每户家庭用水量为xm3时，应交水费y元．（1）分别求出0≤x≤20和x＞20时y与x的函数表达式；（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：月份四月份五月份六月份交费金额30元34元42.6元小明家这个季度共用水多少立方米？【考点】一次函数的应用．【专题】应用题．【分析】（1）因为月用水量不超过20m3时，按2元/m3计费，所以当0≤x≤20时，y与x 的函数表达式是y=2x；因为月用水量超过20m3时，其中的20m3仍按2元/m3收费，超过部分按2.6元/m3计费，所以当x＞20时，y与x的函数表达式是y=2×20+2.6（x﹣20），即y=2.6x ﹣12；（2）由题意可得：因为四月份、五月份缴费金额不超过40元，所以用y=2x计算用水量；六月份缴费金额超过40元，所以用y=2.6x﹣12计算用水量．【解答】解：（1）当0≤x≤20时，y与x的函数表达式是：y=2x；当x＞20时，y与x的函数表达式是：y=2×20+2.6（x﹣20）=2.6x﹣12；（2）因为小明家四、五月份的水费都不超过40元，故0≤x≤20，此时y=2x，六月份的水费超过40元，x＞20，此时y=2.6x﹣12，所以把y=30代入y=2x中得，2x=30，x=15；把y=34代入y=2x中得，2x=34，x=17；把y=42.6代入y=2.6x﹣12中得，2.6x﹣12=42.6，x=21．所以，15+17+21=53．答：小明家这个季度共用水53m3．【点评】本题是贴近社会生活的应用题，赋予了生活气息，使学生真切地感受到“数学来源于生活”，体验到数学的“有用性”．这样设计体现了《新课程标准》的“问题情景﹣建立模型﹣解释、应用和拓展”的数学学习模式．6．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1，y2与x 的函数关系图象如图所示：（1）根据图象，直接写出y1，y2关于x的函数关系式．（2）分别求出当x=3，x=5，x=8时，两车之间的距离．（3）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的函数关系式．（4）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油．求A加油站到甲地的距离．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）可根据待定系数法来确定函数关系式；（2）可依照（1）得出的关系式，得出结果；（3）要根据图象中自变量的3种不同的取值范围，分类讨论；（4）根据（3）中得出的函数关系式，根据自变量的取值范围分别计算出A加油站到甲地的距离．【解答】解：（1）y1=60x（0≤x≤10），y2=﹣100x+600（0≤x≤6）（2）当x=3时，y1=180，y2=300，∴y2﹣y1=120，当x=5时y1=300，y2=100，∴y1﹣y2=200，当x=8时y1=480，y2=0，∴y1﹣y2=480．（3）当两车相遇时耗时为x，y1=y2，解得x=，S=y2﹣y1=﹣160x+600（0≤x≤）S=y1﹣y2=160x﹣600（＜x≤6）S=60x（6＜x≤10）；（4）由题意得：S=200，①当0≤x≤时，﹣160x+600=200，∴x=，∴y1=60x=150．②当＜x≤6时160x﹣600=200，∴x=5，∴y1=300，③当6＜x≤10时，60x≥360不合题意．即：A加油站到甲地距离为150km或300km．【点评】本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．注意自变量的取值范围不能遗漏．7．我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（b＞a）收费．设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元；（2）求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；分段函数．【分析】（1）由图中可知，10吨水出了15元，那么a=15÷10=1.5元，用水8吨，应收水费1.5×8元；（2）由图中可知当x＞10时，有y=b（x﹣10）+15．把（20，35）代入一次函数解析式即可．（3）应先判断出两家水费量的范围．【解答】解：（1）a=15÷10=1.5．（1分）用8吨水应收水费8×1.5=12（元）．（2分）（2）当x＞10时，有y=b（x﹣10）+15．（3分）将x=20，y=35代入，得35=10b+15．b=2．（4分）故当x＞10时，y=2x﹣5．（5分）（3）∵假设甲乙用水量均不超过10吨，水费不超过46元，不符合题意；假设乙用水10吨，则甲用水14吨，∴水费是：1.5×10+1.5×10+2×4＜46，不符合题意；∴甲、乙两家上月用水均超过10吨．（6分）设甲、乙两家上月用水分别为x吨，y吨，则甲用水的水费是（2x﹣5）元，乙用水的水费是（2y﹣5）元，则（8分）解得：（9分）故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨．（10分）【点评】本题主要考查了一次函数与图形的结合，应注意分段函数的计算方法．二、利用函数的增减性解决问题8．某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？甲乙每千克饮料果汁含量果汁A 0.5千克0.2千克B 0.3千克0.4千克【考点】一元一次不等式组的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】（1）由题意可知y与x的等式关系：y=4x+3（50﹣x）化简即可；（2）根据题目条件可列出不等式方程组，推出y随x的增大而增大，根据实际求解．【解答】解：（1）依题意得y=4x+3（50﹣x）=x+150；（2）依题意得解不等式（1）得x≤30解不等式（2）得x≥28∴不等式组的解集为28≤x≤30∵y=x+150，y是随x的增大而增大，且28≤x≤30∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y最小，即y最小=28+150=178元．【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．注意本题的不等关系为：甲种果汁不超过19，乙种果汁不超过17.2．9．某厂工人小王某月工作的部分信息如下：信息一：工作时间：每天上午8：00～12：00，下午14：00～18：00，每月25天；信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：生产甲产品数（件）生产乙产品数（件）所用时间（分）10 10 35030 20 850信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元．根据以上信息，回答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分；（2）小王该月最多能得多少元此时生产甲、乙两种产品分别多少件．【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用．【专题】压轴题；阅读型；图表型．【分析】（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分，利用待定系数法求出x，y的值．（2）设生产甲种产品用x分，则生产乙种产品用（25×8×60﹣x）分，分别求出甲乙两种生产多少件产品．【解答】解：（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分．由题意得：（2分）即：解这个方程组得：答：生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分．（4分）（2）设生产甲种产品共用x分，则生产乙种产品用（25×8×60﹣x）分．则生产甲种产品件，生产乙种产品件．（5分）∴w总额===0.1x+1680﹣0.14x=﹣0.04x+1680（7分）又，得x≥900，由一次函数的增减性，当x=900时w取得最大值，此时w=0.04×900+1680=1644（元）此时甲有（件），乙有：（件）（9分）答：小王该月最多能得1644元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件．【点评】通过表格当中的信息，我们可以利用列方程组来求出生产甲、乙两种产品的时间，然后利用列函数关系式表示出小王得到的总钱数，然后利用一次函数的增减性求出钱数的最大值．10．“5.12”汶川特大地震灾害发生后，社会各界积极为灾区捐款捐物，某经销商在当月销售的甲种啤酒尚有2万元货款未收到的情况下，先将销售甲种啤酒全部应收货款的70%捐给了灾区，后又将该月销售乙种啤酒所得的全部货款的80%捐给了灾区．已知该月销售甲、乙两种啤酒共5000件，甲种啤酒每件售价为50元，乙种啤酒每件售价为35元，设该月销售甲种啤酒x件，共捐助救灾款y元．（1）该经销商先捐款元，后捐款元；（用含x的式子表示）（2）写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（3）该经销商两次至少共捐助多少元？【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意可直接得出经销商先捐款50x•70%=35x元，后捐款35（5000﹣x）•80%或（140000﹣28x）元；（2）根据题意可列出式子为y=7x+140000，根据“50x﹣20000≥0”，“5000﹣x＞0”求出自变量取值范围为400≤x＜5000；（3）当x=400时，y最小值=142800．【解答】解：（1）50x•70%或35x，35（5000﹣x）•80%或（140000﹣28x）；（2）y与x的函数关系式为：y=7x+140000，由题意得解得400≤x＜5000，∴自变量x的取值范围是400≤x＜5000；（3）∵y=7x+140000是一个一次函数，且7＞0，400≤x＜5000，∴当x=400时，y最小值=142800．答：该经销商两次至少共捐款142800元．【点评】主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意要根据自变量的实际范围确定函数的最值．11．为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220 200 200运往E县的费用（元/吨）250 220 210为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？【考点】一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．【专题】压轴题；方案型．【分析】（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a吨，运往E县的数量为b吨，得到一个二元一次方程组，求解即可．（2）根据题意得到一元二次不等式，再找符合条件的整数值即可．（3）求出总费用的函数表达式，利用函数性质可求出最多的总费用．【解答】解：（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a吨，运往E县的数量为b吨．（1分）由题意，得（2分）解得（3分）答：这批赈灾物资运往D县的数量为180吨，运往E县的数量为100吨．（4分）（2）由题意，得（5分）解得即40＜x≤45．∵x为整数，∴x的取值为41，42，43，44，45．（6分）则这批赈灾物资的运送方案有五种．具体的运送方案是：方案一：A地的赈灾物资运往D县41吨，运往E县59吨；B地的赈灾物资运往D县79吨，运往E县21吨．。
一次函数小题及实际应用问题
一次函数的图像与性质一、坐标轴上的点二、点到坐标轴、点到原点及两点间的距离(1)点到坐标轴、点到原点的距离①点P (a ，b )到x 轴的距离是⑫__________； ②点P (a ，b )到y 轴的距离是⑬__________； ③点P (a ，b )到原点的距离是⑭__________. (2)坐标轴上任意两点间的距离①A (x 1,0)，B (x 2,0)都在x 轴上，这两点间的距离为|x 1－x 2|；②C (0，y 1)，D (0，y 2)都在y 轴上，这两点间的距离为⑮______________；③E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)在平面直角坐标系中，这两点间的距离为⑯___________________________.三、点的对称与平移各象限内点的坐标特征(1)点P (x ，y )在第一象限⇔x >0，y >0；(2)点P (x ，y )在第二象限⇔①________________；(3)点P (x ，y )在第三象限⇔②________________；(4)点P (x ，y )在第四象限⇔③________________坐标轴上点的坐标特征(1)坐标轴上的点④__________任何象限；(2)点P 1(x 1，y 1)在x 轴上⇔⑤______＝0；(3)点P 2(x 2，y 2)在y 轴上⇔⑥______＝0；(4)原点的坐标为⑦__________象限角平分线上的点的坐标特征(1)第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标⑧________；(2)第二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标⑨______________平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x 轴的直线上的点的⑩_______坐标相等；(2)平行于y 轴的直线上的点的⑪_____坐标相等课堂练习1、在平面直角坐标系中，点P (－7,2m ＋1)在第三象限，则m 的取值范围是( )A ．m ＜12B ．m ＞－12C ．m ＜－12D ．m ＞122、在平面直角坐标系中，点A (3，－4)与点B （3,4)是 ( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称 D ．不能确定3、点(3，－1)到原点的距离为________.四、一次函数与正比例函数一般地，形如y ＝kx ＋b (k ，b 是________，k ≠0)的函数，叫做一次函数；特别地，当_________时，一次函数y ＝kx ＋b 就变为y ＝kx (k 为常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数．五、一次函数的图象一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是经过点(0，______)和(________,0)的一条________，特别地，正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象是经过点(0，_____)和(1，______)的一条________.六、一次函数的图像与性质七、一次函数的平移一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)k ，b 符号k >0k <0b >0b <0b ＝0b >0b <0b ＝0图象图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫(1)左右平移：直线y ＝kx ＋b ―――――→直线y ＝k (x ⑨________)＋b直线y ＝kx ＋b ―――――→直线y ＝k (x ⑩__________)＋b (2)上下平移：直线y ＝kx ＋b ―――――→直线y ＝kx ＋b ⑪________直线y ＝kx ＋b ―――――→ 直线y ＝kx ＋b ⑫________简记为“左加右减，上加下减”八、一次函数性质推广1、k的几何意义是什么？2、两个一次函数平行时，它们的k值有什么关系？3、两个一次函数垂直时，它们的k值有什么关系？课堂练习1．一次函数y＝－2x＋3的图象不经过的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．将函数y＝x－1的图象沿y轴方向向上平移2个单位，得到的函数解析式为_____________.3.一次函数y＝x－1经过一次平移后变成了y＝x－3，则一次函数沿x轴的平移方式为_______________九、一次函数解析式的确定方法：待定系数法课堂练习1、已知点(－3,6)是正比例函数图象上一点，则正比例函数的解析式为_____________.2、已知点(－3,4)是一次函数y＝kx＋2图象上一点，则一次函数的解析式为_________________.3、若点(0,2)，(－3,0)在一次函数图象上，则一次函数的解析式为_______________.课堂练习1、如图，函数y ＝2x 和y ＝ax ＋4的图象相交于点A(m,3)，则不等式2x≥ax＋4的解集为( )A ．x≥32 B ．x≤3C ．x≤32D ．x≥33、已知一次函数y ＝(k ＋2)x －1，且y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜－2 B ．k ＞－2 C ．k ＜2 D ．k ＞24、如果正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象经过第二、四象限，那么一次函数y ＝kx ＋k 的图象经过( )A ．第一、二、三象限B ．第二、三、四象限C ．第一、二、四象限D ．第一、三、四象限5、已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是一次函数y ＝(2a －1)x －3图象上的两点，当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ＞12C ．a ＞2D ．a ＜12巩固提高1、已知函数y=1x +，则自变量x 的取值范围是______________2、已知函数y=212x x -+中,当x=a 时的函数值为1,则a 的值是_________3、若22(m 1)m y x -=+是正比例函数，则m 的值为___________4、对于函数y=k 2x(k 是常数,k≠0)的图象,下列说法不正确的是（ ） A. 是一条直线 B. 过点(1k,k) C. 经过一，三象限或二，四象限 D. y 随着x 的增大而增大5、正比例函数y=(k −2)x 中,y 随x 的增大而减小,则k 的取值范围是___________6、一次函数y=-12x+2的图像通过一次平移后得到一次函数y=-12x-1的图像，则下列平移方法正确的是（ ）A.向上平移3个单位B.向右平移3个单位C.向左平移6个单位D.向下平移6个单位7、已知一次函数y=(3m-2)x-m(m ≠0)的图象上两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，当x 1>x 2>0时，有0<y 1<y 2，则m 的取值范围是（ ）A.m>0B.m<23 C.m>23 D.0<m<23已知点A （x 1,y 1）与点B （x 2,y 2）都在一次函数y=（2m+1）x+m+1的图象上，若(x 1-x 2)(y 1-y 2)<0，则m 的取值范围是（ ）A.m>-1B.m<-1C.m<-12 D.m>-128、已知点A （x 1,y 1）与点B （x 2,y 2）都在一次函数y=（2m+1）x+m+1的图象上，若(x 1-x 2)(y 1-y 2)<0，则m 的取值范围是（ ）A.m>-1B.m<-1C.m<-12 D.m>-129、若正比例函数y=kx 的图象经过第二、四象限，且过点A （2m ，1），B （2，m ），则k 的值为_____.10、正比例函数(0)y kx k =≠的图象上一点A 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为2:3，且y 随x 的增大而减小，则k 的值为（ ） A.23 B.32 C.23- D.32-11、正比例函数y =−2x 的图象过A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)两点，若x 1−x 2=3，则y 1−y 2的值为（ ） A. 3 B. −3 C. 6 D. −612、如果M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)是一次函数y =3x −8图象上的两点，如果x 1+x 2=−3，那么y 1+y 2=( ) A. −25 B. −17 C. −9 D. 113、如图,已知直线l 1:y=−2x+4与直线l 2:y=kx+b(k≠0)在第一象限交于点M,若直线l 2与x 轴的交点为A(−2,0)，则k 的取值范围是___.14、若直线l 1经过点（0，4），l 2经过点（3，2），且l 1与l 2关于x 轴对称，则l 1与l 2的交点坐标为（ ）A.（-2，0）B.（2，0）C.（-6，0）D.（6，0）15、已知两个一次函数y=3x+b 1和y=−3x+b 2,若b 1<b 2<0,则它们图象的交点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限16、已知直线12y k x =+与直线22y k x =-相交于点（1，m ），若，则m 的值为（） A.2 B.12 C.-2 D.12-17、已知A （a,b ）、B （a-2,b+6）是正比例函数y=kx(k ≠0)图象上异于原点的两点，则k 的值为（ ）A.-3B.3C.2D.-218、直线y=kx+k-2经过点(m,n+1)和(m+1,2n+3)，且-2<k<0，则n的取值范围是（）A.-2<n<0B. -4<n<-2C. -4<n<0D. 0<n<-219、已知等腰三角形的周长是10,底边长y是腰长x的函数,则下列图象中,能正确反映y与x 之间函数关系的图象是( )A. B. C. D.20、正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(-1,2)，并且点A(x1,x2)，B(x2,y2)也在该正比例函数图象上,若x1-x2=3，则y1-y2的值为_________21、已知一次函数y=mx+n-2的图象如图所示，则m、n的取值范围是（）22、已知一次函数y=kx+b的图象经过(1,a)和(a,−1),其中a>1,则k,b的取值范围是__________23、点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是一次函数y=−4x+3图象上的两点,当x1<x2<0时,则y1与y2的大小关系是_________24、已知直线y=kx+b,若k+b=−5,kb=6,那么该直线不经过第______象限25、如图,一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m,n为常数,且mn≠0,n>0)的图象是( )A. B. C. D.26、在平面直角坐标系中,将直线l1:y=3x+3平移得到的直线l2:y=3x−9,则下列平移方式叙述错误的是( )A. 将l1向下平移12个单位长度得到l2B. 将l1向右平移2个单位长度,再向下平移6个单位长度得到l2C. 将l1向右平移4个单位长度得到l2D. 将l1向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度得到l227、若点A(m,n)在一次函数y=3x+b的图象上，且3m-n>2，则b的取值范围为________28、如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A(−1,2)，B(1,3)，C(2,1)，D(6,5)，则此函数( )A. 当x<1时，y随x的增大而增大B. 当x<1时，y随x的增大而减小C. 当x>1时，y随x的增大而增大D. 当x>1时，y随x的增大而减小29、如图①，在矩形ABCD中，E是AD上一点，点P从点B沿折线BE−ED−DC运动到点C时停止；点Q从点B沿BC运动到点C时停止，速度均为每秒1个单位长度．如果点P、Q同时开始运动，设运动时间为t，△BPQ的面积为y，已知y与t的函数图象如图②所示，以下结论：①BC=10；②cos∠ABE=35；③当0≤t≤10时，y=225t；④当t=12时，△BPQ是等腰三角形；⑤当14≤t≤20时，y=110−5t，其中正确的有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个30、如图①，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于F点，设E运动路程为x，FC=y，如图②所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是25，则矩形ABCD的面积是（）A.23 5B.5C.6D.25 431、如图,在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上，∠ABC=90∘,点B在点A的右侧，点C在第一象限将△ABC绕点A逆时针旋转75°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，若点A的坐标为(1,0)，则边AB的长为（）A.2B.3C. 2D.532、如图，在矩形AOBC 中，O 为坐标原点，OA 、OB 分别在x 轴、y 轴上,点B 的坐标为 (0,33)，∠ABO=30°，将△ABC 沿AB 所在直线对折后，点C 落在点D 处，则点D 的坐标为（ ）A. (32，323) B. (2，323) C. (323，32) D. (32，3−323)33、在平面直角坐标系内，一次函数11y k x b =+与22y k x b =+的图象如图所示，则关于x ，y 的方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是____34、如图,经过点B (−1,0)的直线y =kx +b 与直线y =−2x +2相交于点A (m ,83)，则不等式 −2x +2<kx +b 的解集为（ ） A. x <−13B. x >1C. x <1D. x >−1335、如图,在平面直角坐标系中,直线l 1：214y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B,直线l 2：y kx =与直线l 1在第一象限交于点C. 若∠BOC=∠BCO，则k 的值为（ ）A.23B. 22C. 2D.22一次函数实际应用问题类型一文字型1、某种型号汽车油箱容量为40L,每行驶100km耗油10L.设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x(km),行驶过程中油箱内剩余油量为y(L).（1）求y与x之间的函数解析式(不要求写自变量的取值范围).（2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时,油箱内剩余油量不低于油箱容量的1，按此建议,求该辆汽车最多行驶的路程.42、近些年，随着大气污染的加重，雾霾天气的频发，加之人们节能环保和健身意识的增强，绿色交通工具越来越受到人们的喜爱。
一次函数的图象(描点)
一次函数的表示方法
01
02
03
点斜式
通过已知的点$(x_1, y_1)$和斜率$k$，可以表 示为$y-y_1=k(x-x_1)$。
两点式
通过已知的两个点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，可 以表示为$frac{y-y_1}{xx_1}=frac{y_2-y_1}{x_2x_1}$。
一般式
一次函数的标准形式为 $y=kx+b$，其中$k$和 $b$是常数，且$k neq 0$。
02 一次函数的图象
一次函数图象的形状
线性形状
一次函数的图像是一条直线，这是因为一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k 和b为常数，k不为0。
斜率与截距
一次函数的图像有确定的斜率和截距，斜率是k，截距是b。斜率决定了图像的 倾斜程度，截距决定了图像与y轴的交点位置。
实际问题举例
一次函数图象在经济学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。例如，在经济学中， 消费和收入之间的关系可以用一次函数来表示，通过分析这种关系可以了解消费者的消
费习惯和预测未来的消费趋势。
应用价值
一次函数图象能够直观地表示两个变量之间的线性关系，帮助人们更好地理解和分析实 际问题。
对未来研究的展望
一次函数图象可以用来描述物体在恒力作用下的匀速直线运 动，如速度与时间的关系。
弹簧问题
弹簧的伸长量与作用力之间的关系也可以用一次函数来表示 ，通过图象可以直观地分析弹簧的弹力与形变量之间的关系 。
一次函数图象在数学问题中的应用
线性规划
一次函数图象可以用来表示线性规划 问题中的约束条件和目标函数，通过 图象可以直观地分析最优解。
一次函数的图象(描点)
利用一次函数解决问题
利用一次函数解决问题一次函数（也称为线性函数）是数学中常见且重要的函数类型之一。
它的表达式为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，且a ≠ 0。
一次函数的图像是一条直线，具有许多应用领域。
本文将介绍如何利用一次函数解决问题。
一、利用一次函数解决实际问题一次函数在实际问题中的应用非常广泛。
它可以描述物体的直线运动、收入与支出的关系、成本与产量的关系等。
下面举例说明：例1：小明每天骑自行车上学，他发现骑行的时间与距离之间存在一定的关系。
他测量了两天的数据，如下所示：时间（分钟）：10 20 30 40距离（千米）：1 2 3 4小明想要知道骑行 50 分钟可以骑多远，他可以利用一次函数解决这个问题。
解：我们可以先通过已知数据构建一个一次函数。
选择时间作为自变量 x，距离作为因变量 y。
现在我们来求解 a 和 b 的值。
已知点 A (10, 1) 和点 B (20, 2)，可以利用两点间的斜率公式计算 a的值：a = (yB - yA) / (xB - xA) = (2 - 1) / (20 - 10) = 1 / 10 = 0.1接下来，我们可以代入其中一点的坐标和已知的 a 值，求解 b 的值：1 = 0.1 * 10 + bb = 1 - 1 = 0所以，一次函数为 y = 0.1x + 0。
现在可以利用求得的一次函数来解决问题。
当 x = 50 时，我们可以通过函数表达式求得对应的 y 值：y = 0.1 * 50 + 0 = 5因此，小明骑行 50 分钟可以骑行 5 千米。
二、利用一次函数解决图像问题一次函数的图像是一条直线，通过直线的性质，我们可以解决一些与图像相关的问题。
下面举例说明：例2：某公司生产零件，每天生产数量与花费的时间之间呈一次函数的关系。
已知当生产数量为 1000 时，需要 4 小时。
而当生产数量为2000 时，需要 8 小时。
现在需要求解该函数的表达式并计算生产 3000 个零件所需的时间。
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一次函数图象实际问题 小明和同学相约在周日去距家24km的武大看樱花。他原计划沿东湖骑自行车2小时到达。
途中由于车胎破了，修车耽搁了20分钟。之后他加快速度，等他到达武大时，比约定时间晚了10分钟。 ①设y（单位：km）表示小明出发x小时之后与家的距离，y与x的关系如图所示，根据图象回答问题： （1）小明原计划的骑车速度是 km/h，自行车修好之后，他的速度是 km/h。 （2）根据题中提供的信息，补全y关于x的函数关系式，并直接写出a，b，c的值：a= ，b= ，c= 。
②若y表示小明出发x小时后与武大的距离，请作出y与x之间的函数图象，并补全函数关系式。
小明的家，学校和武汉市图书馆在同一条直线上。星期天上午，他骑自行车从家出发，到学校和小刚见面后，一起坐公交车到图书馆看书。看完书后，小明的爸爸开车下班，顺便带他回家。设y（单位：km）表示小明出发x分钟后与家的距离，根据图（1）回答： （1）小明的家距学校 km，距图书馆 km。他和同学在图书馆停留了 h。 （2）小明的骑车速度是 km/h，坐公交车的速度是 km/h，他和爸爸回家时的速度是
3321634340xxx
y
31041634340xxx
ykm/h。 （3）如果y表示小明出发x min后和图书馆的距离，请在图（2）中完成y与x的函数图象。
五一当天，小明和妈妈准备自驾去木兰草原游玩。由于妈妈临时有事，小明决定骑车先出发。1个小时后，妈妈也出发了。她开车半个小时后，追上了小明。之后小明和妈妈一起，以相同的车速，又用了半个小时，到达了木兰草原。设小明出发x小时后，他和妈妈之间的距离为y（单位：km）。根据图1回答以下问题： （1）小明骑车的速度是 km/h，妈妈开车的速度是 km/h。木兰草原和小明家相距 km。 （2）若y表示小明出发x小时后，他与木兰草原的距离，请在图2中作出y与x之间的函数图象。
小明和小刚参加越野赛跑。当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米。这时小刚开始加速，最终小明惜败给了小刚。设小刚加速x秒后，小明和小刚之间的距离是y（单位：m），根据图1提供的信息，完成下列问题： （1）小刚加速 秒后，追上了小明，又用了 秒，他到达了终点，比小明快了 秒。 （2）小刚加速后，平均速度为 米/秒，小明的速度是 米/秒。此次越野赛跑的全程是 米。 （3）若设小刚加速x秒后，小明和小刚已跑的路程分别为y1和y2，请根据题中的信息，在图2中作出y1，y2与x之间的图象（表示y1的图象用实线，表示y2的图象用虚线）
小明和表弟家相距20km，利用周末，两人商议用不同的方式到对方的家。小明步行，表弟骑自行车，同时从家出发。表弟到达小明的家后，又原速返回去接小明，最后一起骑车回表弟的家。已知他们两次相遇的间隔时间与他们一起骑车回家所用的时间相等。设他们出发x小时后，两人之间的距离是y千米。根据图1回答问题： （1）表弟骑车的速度是 km/h，小明步行的速度是 km/h，两人一起骑车的速度是 km/h。 （2）他们第一次相遇是在出发 h后，第二次相遇的地点距离小明家是 km，出发 h后他们一起到达了表弟的家。 （3）在A点时，表弟的位置在 ，A点的坐标为 。 （4）如果用y1和y1分别表示出发x小时后，小明和表弟各自与表弟家的距离，请在图2中补作y2与x之间的函数图象（y2画虚线）。 武汉和襄阳两地相距300km，每天上午9点，一列动车从武汉站出发，开往襄阳，到达之后，停留1个小时，再原速返回武汉站。上午9点30分，一列普快从襄阳开往武汉站，它比动车早半个小时到达武汉站，并不再返回襄阳。若y（单位：千米）表示动车出发x小时后，两车之间的距离。y和x的函数图象如图所示。根据图象完成下列问题： （1）动车早上从武汉站出发，下午返回武汉站的时间是 ，共用时 小时，其中运行了 小时，动车的平均速度是 km/h。 （2）普快从襄阳站开往武汉站用了 小时，它的平均速度是 km/h。 （3）两车在路上相遇的时间是 。当动车从襄阳站返回时，普快距离武汉站还有 km。
甲、乙两个工程队从两端同时施工，修建一条地下管道。施工一段时间后，乙工程队接到其他的任务，剩下的工程由甲队独立完成。若y表示甲工程队施工x天后，已完成的工程量。y和x之间的函数关系如图所示。根据图象填空： （1）整个施工期间，甲工程队单独施工 天，完成的工程量是 ，如果由甲队独立完成全部任务，需要 天； （2）甲、乙两工程队合作的天数是 天，共同完成的工程量是 。如果由乙工程队独立完成全部任务需要 天。
一项工程由甲、乙两队共同完成。由于施工中途，乙工程队接到上级通知，需要去支援另一项工程，甲工程队继续完成剩下的工程。施工一段时候后，由于上级规定剩下的工程必须在5天内全部完成，乙工程队又重新返回，和甲工程队并肩作战，终于按时完成任务。若设y表示甲工程队施工x天后，已完成的工程量，y和x之间的函数关系如图所示。根据图象填空： （1）整个施工期间，甲工程队施工 天，乙工程队施工 天。 （2）如果由甲工程队独立完成全部工程，需要 天；如果由乙工程队独立完成全部工程队，需要 天； （3）如果甲、乙工程队合力完成全部工程，将比预期工期缩短 天。 y
O x（千克）
5
10
10 20 30 40 50 60 15 20
（元）
一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的 5min内只进水不出水，在随后的10min内既进水又出水， 最后关闭进水管，只打开出水管。每分的进水量和出水量 不变。容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min） 之间的关系如图所示。根据图象回答问题： （1）当只进水不出水时，y与x之间的关系式 为 。每分钟的进水量是 L。 （2）整个过程进水管打开了 min，共进水 L。 同时打开进水管和出水管的过程有 min， 此时容器中的水 （填增加或减少）了 L。 由此可知，出水管每分钟的出水量是 L。 （3）当关闭进水管后，将容器内的水全部排空，还需 要 min，a= 。
小强利用星期日参加了一次社会实践活动，他从果农处以每千克3元的价格购进若干千克草莓到市场上销售，在销售了10千克时，收入50元，余下的他每千克降价1元出售，全部售完，两次共收（千克）之间成正比例关系．请你根据入70元．已知在降价前销售收入y（元）与销售重量x以上信息解答下列问题： 克）之间的函数关系（1）求降价前销售收入y（元）与售出草莓重量x（千
式；并画出其函数图象； （2）小强共批发购进多少千克草莓小强决定将这次卖草莓赚的钱全部捐给汶川地震灾区，那么小强的捐款为多少元 我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（ba）收费．设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图13所示． （1）求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元 （2）求b的值，并写出当10x时，y与x之间的函数关系式； （3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨 2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图像．请根据图像所提供的信息，解决下列问题： （1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 小时；（2分） （2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米（6分） （3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定．（4分）
一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h)x，两车之间的距离．．．．．．．为(km)y，图中的折线表示y与x之间的函数关系．
根据图象进行以下探究： 信息读取 （1）甲、乙两地之间的距离为 km； （2）请解释图中点B的实际意义； 图象理解 （3）求慢车和快车的速度； （4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时
2008年5月12日，四川汶川发生级大地震，我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离Ｓ（千米）与行进时间t（小时）的函数大致图像，你认为正确的是（ ）
如图，某电信公司提供了AB，两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则以下说法错误．．的是（ ） A．若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元 B．若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元
A B C D
O
y/km
900
12 x/h
4
70 50 30
120 170
200
250 x（分）
y（元）
A方案
B方案
（第12题）