1.1.2 余弦定理0
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1.1.2余弦定理(第1课时)
ABC
9
中，当 C 为锐角时，
a 2 b2 c 2 ; 当C 为钝角时，a 2 b2 c 2 .
3.挑战题：三角形的三边为连续的自然数，且最大角 为钝角，则最小角的余弦值为多少？
七、归纳小结
活动6：说一说，结一结
1.我最大的三点收获是： 2.我最大的两点反思是： 3.我最大的一点困惑是：
10
11
问题3：联系三角形两边及其夹角的知识有哪些？
三、尝试理解
活动2：读一读，说一说
问题5：课本上用向量的方法证明余弦定理，主要用到什么 知识？
5
问题6：请你用其他的方法证明余弦定理？
三、尝试理解
活动2：读一读，说一说
问题7：尝试用多种语言描述余弦定理？
6
四、深度理解
活动3：辨一辨，思一思
问题8：根据问题情境2、课本例题3，思考如下变式问题。
1.掌握余弦定理，理解余弦定理与勾股定理之间的关系； —— 学会
3
2.能证明余弦定理；
——会学 3.体会余弦定理的美学价值，体验合作学习的快乐，增强 学习信心。 ——乐学
二、寻找联系
活动1：读一读，想一想
问题1：初中学习判断两个三角形全等判定定理有哪些？
4
问题2：正弦定理是从哪些判定定理来精确刻画边角之间 的数量关系？
7
变式：如图2，A、B两地之间隔着一个水塘，先选择另一点C，测得 CA 182m, CB 126m, ACB 63 , 求AB两地之间的距离（精确到1m）
五、交流分享
活动4：用一用，展一展
8
讨论余弦定理与勾股定理之间的联系与区别
六、实践反馈
活动5：练一练，查一查
1.必做题：完成课本第8页练习1； 2.选做题：用余弦定理证明：在
9
中，当 C 为锐角时，
a 2 b2 c 2 ; 当C 为钝角时，a 2 b2 c 2 .
3.挑战题：三角形的三边为连续的自然数，且最大角 为钝角，则最小角的余弦值为多少？
七、归纳小结
活动6：说一说，结一结
1.我最大的三点收获是： 2.我最大的两点反思是： 3.我最大的一点困惑是：
10
11
问题3：联系三角形两边及其夹角的知识有哪些？
三、尝试理解
活动2：读一读，说一说
问题5：课本上用向量的方法证明余弦定理，主要用到什么 知识？
5
问题6：请你用其他的方法证明余弦定理？
三、尝试理解
活动2：读一读，说一说
问题7：尝试用多种语言描述余弦定理？
6
四、深度理解
活动3：辨一辨，思一思
问题8：根据问题情境2、课本例题3，思考如下变式问题。
1.掌握余弦定理，理解余弦定理与勾股定理之间的关系； —— 学会
3
2.能证明余弦定理；
——会学 3.体会余弦定理的美学价值，体验合作学习的快乐，增强 学习信心。 ——乐学
二、寻找联系
活动1：读一读，想一想
问题1：初中学习判断两个三角形全等判定定理有哪些？
4
问题2：正弦定理是从哪些判定定理来精确刻画边角之间 的数量关系？
7
变式：如图2，A、B两地之间隔着一个水塘，先选择另一点C，测得 CA 182m, CB 126m, ACB 63 , 求AB两地之间的距离（精确到1m）
五、交流分享
活动4：用一用，展一展
8
讨论余弦定理与勾股定理之间的联系与区别
六、实践反馈
活动5：练一练，查一查
1.必做题：完成课本第8页练习1； 2.选做题：用余弦定理证明：在
课件7：1.1.2 余弦定理
2．在△ABC 中，求证 a2sin 2B＋b2sin 2A＝2absin C.
证明：法一：(化为角的关系式)
a2sin 2B＋b2sin 2A＝(2R·sin A)2·2sin B·cos B＋(2R·sin B)2·2sin
A·cos A＝8R2sin A·sin B(sin A·cos B＋cos Asin B)＝8R2sin Asin
(2)sin A＝sin (30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝
2＋ 4
6 .
故由正弦定理得 a＝b·ssiinn AB＝1＋ 3.
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
c＝b·ssiinn CB＝2×ssiinn 6405°°＝ 6.
题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式
b2＋c2－a2 cos A＝____2_b_c___，
a2＋c2－b2 cos B＝_____2_a_c____，
a2＋b2－c2 cos C＝_____2_a_b_____
[点睛] 余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个 角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，
2．在△ABC 中，已知 a＝9，b＝2 3，C＝150°，则 c 等于( )
A． 39
B．8 3
C．10 2
D．7 3
解析：选 D 由余弦定理得： c＝ 92＋2 32－2×9×2 3×cos 150° ＝ 147 ＝7 3.
3．已知△ABC 的面积为32，且 b＝2，c＝ 3，则 A 的大小为( )
法二：由 b＜c，B＝30°，b＞csin 30°＝3 3×12＝323知本题有 两解．
1.1.2余弦定理
例1．（1）△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为 ( ) A 直角三角形 B 等腰直角三角形
C 等边三角形
D 等腰三角形
（2）已知锐角三角形的边长分别为2,3,x ，则第三边x 应适
合（ ） Ａ、15x << Ｂ、513x << Ｃ、135x << Ｄ、15x <<
引申：若三角形为钝角三角形，则第三边x 的取值范围
教学过程设计
是。
例2．在ABC
∆中，已知ab
c
b
a
c
b
a3
)
)(
(=
-
+
+
+，且
C
B
A sin
sin
cos
2=，确定ABC
∆的形状．
（1）
化边
为角；
（2）
化角
为边
应
用
理
解
例3．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD, AD=10, AB=14,
∠BDA=60︒, ∠BCD=135︒，求BC的长
例4.在ABC
∆中，C
B
ab sin
sin
,3
60=
=，ABC
∆的面积
为3
15，求边b的长．
思考讨
论，回答
问题
能综
合应
用正
弦定
理、余
弦定
理、三
角形
面积
公式
解决
一些
简单
的三
角形
问题
归
纳
总
结
课后反思。
数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教b版必修5)
1 2
AB
1
3 2
3 AB 4. C
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC COSB
16 1 2 41 1 13 AC 13.
A
2
Ac 2 BC 2 AB 2 13 1 16
13
cosC
B
2 AC BC
2 13 1 13
sinC
1
13 13
2
2 26 13
1.1.2 余弦定理 课件
2024/11/11
1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即a =
sin A
b sin B
=
c =2R（R为△ABC外接圆半径）
sin C
2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和 角。
c2 a2 b2 2ab cosC
2024/11/11
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
b2 c2 a2
即 a2 b2 c2 2bc cos A cos A 2bc
b2 c2 a2 2ac cosB cos B c2 a2 b2
2ab
2024/11/11
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 钝角三角形；若a2=b2+c2，
则△ABC为
直角三；角若形a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，
则△ABC为
锐角。三角形
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 等腰三角形 。
高中数学《1.1.2 余弦定理》教案 新人教A版必修5
课题：1.1.2余弦定理
高二数学教·学案
【学习目标】
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
【授课类型】新授课
【教具】课件、电子白板
高二数学教·学案
课后反思：。
1.1.2 余弦定理
的形状.
1、余弦定理：a2 b2 c2 2bc cos A
b2 c2 a2 2ca cosB c2 a2 b2 2ab cosC
2、余弦定理推论：
cos A b2 c2 a2 2bc
c2 a2 b2 cosB
2ca cosC a2 b2 c2
2ab
3、利用余弦定理，可以解决三类有关三角形 的问题：
执教：邱贵泉
1、正弦定理： a b c 2R
sin A sin B sin C
变形： a 2Rsin A，b 2Rsin B,c 2Rsin C
sin A a ，sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
A B a b sin A sin B
2、正弦定理可以解决哪两类有关三角形的问 题?
(1)已知两角和任一边; (2)已知两边和一边的对角.
在ABC中，已知 a 4 3，b 3，角C 300，求c.
A
c=?
b=3
B
a=4 3
30° C
思考：如何用已知的两边及其所夹得角来表示 第三条边呢？
1、探究余弦定理
在任意的ABC中，已知a、b及角C，求边c. B
设
CB
a，CA
b，AB
和sin C.
练习2：已知在ABC中，a : b : c 2 : 6 : ( 3 1),求
ABC 各角的大小.
类型三、判断三角形的形状
例题3： 在ABC中，若(a c cosB) sin B (b c
cos A) sin A, 判断ABC的形状.
练习3： 在ABC中，已知 a cos A b cos B, 判断ABC
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边
1、余弦定理：a2 b2 c2 2bc cos A
b2 c2 a2 2ca cosB c2 a2 b2 2ab cosC
2、余弦定理推论：
cos A b2 c2 a2 2bc
c2 a2 b2 cosB
2ca cosC a2 b2 c2
2ab
3、利用余弦定理，可以解决三类有关三角形 的问题：
执教：邱贵泉
1、正弦定理： a b c 2R
sin A sin B sin C
变形： a 2Rsin A，b 2Rsin B,c 2Rsin C
sin A a ，sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
A B a b sin A sin B
2、正弦定理可以解决哪两类有关三角形的问 题?
(1)已知两角和任一边; (2)已知两边和一边的对角.
在ABC中，已知 a 4 3，b 3，角C 300，求c.
A
c=?
b=3
B
a=4 3
30° C
思考：如何用已知的两边及其所夹得角来表示 第三条边呢？
1、探究余弦定理
在任意的ABC中，已知a、b及角C，求边c. B
设
CB
a，CA
b，AB
和sin C.
练习2：已知在ABC中，a : b : c 2 : 6 : ( 3 1),求
ABC 各角的大小.
类型三、判断三角形的形状
例题3： 在ABC中，若(a c cosB) sin B (b c
cos A) sin A, 判断ABC的形状.
练习3： 在ABC中，已知 a cos A b cos B, 判断ABC
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边
数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教A版必修5)
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
余弦定理是勾股定理的推广， 勾股定理是余弦定理的特例.
即：如图，在△ABC中， 设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C，求边c？ b C
A
c a
B
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题.
A
即：如图，在△ABC中， 设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C，求边c？ b
C B
讲解范例： 例1. 在△ABC中，已知 a 2 3 ,
c 6 2 , B 60 , 求b及A.
o
思考5：
在解三角形的过程中，求某一个角 时既可用正弦定理也可用余弦定理，两 种方法有什么利弊呢？
讲解范例：
例2. 在△ABC中，已知a＝134.6cm， b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形 (角度精确到1').
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A
C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三对角.
A C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三 角形是大小、形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两 边和它们的夹角求三角形的另一边和 两个角？
练习：
教材P. 8练习第1题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角
1.1.2余弦定理-(优秀课件)
C b a
A c ab 1 a 2 c 2 b 2 ab cosC C 60 2ab 2
a2 b2 c2 解析： cosC 2ab
B
例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6 （1)试判断角C是什么角？ （2）判断△ABC的形状
解：由余弦定理得：
a 2 b 2 c 2 42 52 62 1 (1) cos C 0 2ab 2 45 8 C是锐角
a 2 R sin A, b 2 R sin B, c 2 R sin C ,
余 弦 定 理 的 变 式
a sin A , 2R b sin B , 2R c sin C . 2R
2 2 2
b c a cos A , 2bc a2 c2 b2 cos B , 2ac a2 b2 c2 cosC . 2ab
复习回顾
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
2R
变型： a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C a : b : c sin A : sin B : sin C
A B a b sin A sin B
可以解决两类有关三角形的问题?
解法一： 由正弦定理 （化边为角） 得： a2 R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C, cos B sin B cos B b 代入 , cos C 2 sin A sin C 2a c 得： cos C
即2 sin A cos B sin C cos B cos C sin B 0 2 sin A cos B sin(B C ) 0,
1.1.2 余弦定理ppt课件
解析：因为A＝120° ，b＝3，c＝5， 栏 目 所以根据余弦定理，得 链 2 2 2 a ＝b ＋c －2bccos A＝9＋25－2×3×5×cos 120°接 ＝49，所以a＝7. 答案：7
跟踪 训练 2．在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，求AC.
解析：由余弦定理得： BC2＝AB2＋AC2－2AB· ACcos 30° ， ∴AC2－2 3AC＋3＝0， ∴AC＝ 3.
栏 目 链 接
点评：1.本题已知的是三边的关系，设出三边的大小是解题 的关键． 2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角， 栏 再用正弦定理或余弦定理求出另一角， 最后用三角形的内角和定 目 链 理求第三角． 接
跟踪 训练
3．E、F 是等腰直角三角形 ABC 斜边 AB 上的三等分点，则 tan∠ECF＝( ) 16 2 3 3 A. B. C. D. 27 3 3 4
自测 自评
2．(2013· 上海卷)在△ABC中，角A、B、C所对边长 7 分别为a、b、c，若a＝5，c＝8，B＝60° ，则b＝________.
栏 目 链 接
自测 自评
3．△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则角C大小为( A ) A．60° B．45° 或135° C．120° D．30°
栏 目 链 接
题型2
已知三边解三角形
例2 已知△ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ABC 的各内角度数．
栏 目 链 分析：由比例的性质可以引入一个字母k，用k表示a、b、c， 接
再由余弦定理求解各角．
解析：∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， ∴令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k. 由余弦定理，有 b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 2 cos A＝ ＝ ＝ ， 2bc 2 2· 6k· 3＋1k ∴A＝45° . 2 2 2 2 2 2 2 a ＋c －b 4k ＋ 3＋1 k －6k 1 cos B＝ ＝ ＝ ， 2ac 2 2×2k 3＋1k ∴B＝60° . ∴C＝180° －A－B＝180° －45° －60° ＝75° .
高中数学人教A版必修五教学课件：第一章 《解三角形》 1.1.2 余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和 减去 这两边与它们的夹角的余弦的积的 二 倍 在△ABC 中，
符号 语言
a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2accos B，
2 2 c2＝ a ＋b －2abcos C ．
在△ABC 中， 推论 b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 cos A＝ ，cos B＝ ， 2bc 2ac
)
a2＋c2－b2 1 解析：由题意知，cos B＝ ＝cos 120° ＝－ ，∴a2＋c2－b2 2ac 2 ＝－ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝－ac＋ac＝0.
答案：C
1 3．在△ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos A＝ . 4 若 a＝4，b＋c＝6，且 b<c，求 b，c 的值．
[解]
设 BD＝x.在△ABD 中， 根据余弦定理， AB2＝AD2＋BD2－2AD· BDcos
∠BDA， ∴142＝102＋x2－2×10×xcos 60° ，………………………………3 分 即 x2－10x－96＝0， 解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16. ………………………6 分 ∵AD⊥CD，∠BDA＝60° ，∴∠CDB＝30° . ……………………9 分 在△BCD 中，由正弦定理， BC BD ＝ ， sin∠CDB sin ∠BCD
答案：120°
探究三
利用正余弦定理判断三角形的形状
[典例 3] 在△ABC 中，若 B＝60° ，2b＝a＋c，试判断△ABC 的形状．
[解析] ∵B＝60° ， ∴b2＝a2＋c2－2accos 60° ， 1 ∴ (a＋c)2＝a2＋c2－ac， 4 ∴(a－c)2＝0， ∴a＝c， ∴a＝b＝c. 故△ABC 为等边三角形．
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第一章 解三角形
§1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理
临澧县第一中学 于坤华
知识梳理
1．余弦定理
1.1.2 余弦定理
三 角 形 中 任 何 一 边 的 平方 等 于 其 他 两 边 的 平方 的 和 减 去 这 两 边 与 它 们
的 夹角的余弦的积的 两倍 ．
即 a2＝ b2＋c2－2bccos A ，b2＝ c2＋a2－2cacos B ，c2＝ a2＋b2－2abcos C .
例 2 在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，判断三角形的形状．
解
因为 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5， 所以可令 a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)．c 最大，cos
C＝2k22＋×24kk×2－4k5k2<0，
所以 C 为钝角，从而三角形为钝角三角形.
思考 余弦定理作为勾股定理的推广，你能否考虑借助勾股定理来证明余弦定理？
C
b
a
当角C为锐角时
A
b
c
当角C为钝角时
A
A
c
BC
aD
BD
小结 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边
与它们的夹角的余弦的积的两倍．
即 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
例 题 讲 解：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 1.1.2 余弦定理
例 3 在△ABC 中，有(1)a＝bcos C＋ccos B；(2)b＝ccos A＋acos C；(3)c＝acos B＋bcos A；
这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．
证明
法一
(1)由正弦定理得 b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， ∴bcos C＋ccos B＝2Rsin Bcos C＋2Rsin Ccos B ＝2R(sin Bcos C＋cos Bsin C)＝2Rsin(B＋C)＝2Rsin A＝a.
例 题 讲 解：已知两边及其夹角、已知三边求解三角形 1.1.2 余弦定理
例 1 在△ABC 中，已知 a＝2，b＝2 2，C＝15°，求 A.
解 由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4 3， 所以 c＝ 6－ 2， 由正弦定理得 sin A＝asicn C＝21， 因为 b>a，所以 B>A， 因为 A 为锐角，所以 A＝30°.
∴a＝bcos C＋ccos B. 同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；(3)c＝证明三角形中的恒等式 1.1.2 余弦定理
跟踪训练 2
在△ABC
中，a、b、c
分别是角
A、B、C
的对边，求证：ccooss
BC＝cb－－bcccooss
探究：余弦定理的证明（1） 向量法
思考 如右图，设C→B＝a，C→A＝b，A→B＝c，由A→B＝C→B－C→A知
c＝a－b，那么，如何用 a，b 和角 C 表示出边 c 呢？
答 |c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)
＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cos C.
所以 c2＝a2＋b2－2abcos C.
反思与感悟 余弦定理及其推论的基本作用： (1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； (2)已知三角形的三条边就可以求出其它角．
例 题 讲 解：已知两边及其夹角、已知三边求解三角形 1.1.2 余弦定理
跟踪训练 1 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，
（1）若 B＝56π，a＝3 3 ，c＝2，则 b＝ 7 ； （2） 若 a＝ 3+1，b＝ 2，c＝2，则 C＝ 45o .
即 a＝bcos C＋ccos B. 同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；(3)c＝acos B＋bcos A.
法二 (1)由余弦定理得 cos B＝a2＋2ca2c－b2，cos C＝a2＋2ba2b－c2， ∴bcos C＋ccos B＝b·a2＋2ba2b－c2＋c·a2＋2ca2c－b2＝a2＋2ba2－c2＋a2＋2ca2－b2＝22aa2＝a.
A A
＝ssiinnAA＋＋CB－ －ssiinn
Bcos Ccos
AA＝ssiinn
Acos Acos
CB＝ccooss
CB＝左边．
∴等式成立．
反思与感悟 证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异．
则 A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)，
∴BC2＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A，
即 a2＝b2＋c2－2bccos A.
同理可证：b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
探究：余弦定理的证明（3） 几何法
1.1.2 余弦定理
A A.
证明
方法一
左边＝aa22＋ ＋22cbaa22bc－－bc22＝bcaa22＋＋bc22－－bc22，右边＝cb－－bc··bb22＋ ＋22ccbb22cc－ －aa22＝bcaa22＋＋bc22－－bc22，
∴等式成立．
方法二
右边＝2Rsin 2Rsin
C－2Rsin B－2Rsin
B·cos C·cos
﹚
同理可以证明：a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝c2＋a2－2cacos B.
1.1.2 余弦定理
探究：余弦定理的证明（2） 解析法
1.1.2 余弦定理
思考 我们可以把三角形放在平面直角坐标系中来研究，写出各个顶点的坐标，
你能否利用平面内两点间的距离公式来推导余弦定理？
答 如图，以 A 为原点，边 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，
2．余弦定理的推论
cos
A＝
b2＋c2－a2 2bc
c2＋a2－b2
a2＋b2－c2
；cos B＝ 2ca
；cos C＝
2ab
.
3．在△ABC 中，c2＝a2＋b2⇔C 为 直角 ；c2>a2＋b2⇔C 为 钝角 ；c2<a2＋b2⇔C 为 锐角 ．
4．三角变换公式 (1)cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β ； (2)cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β ； (3)cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α .
§1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理
临澧县第一中学 于坤华
知识梳理
1．余弦定理
1.1.2 余弦定理
三 角 形 中 任 何 一 边 的 平方 等 于 其 他 两 边 的 平方 的 和 减 去 这 两 边 与 它 们
的 夹角的余弦的积的 两倍 ．
即 a2＝ b2＋c2－2bccos A ，b2＝ c2＋a2－2cacos B ，c2＝ a2＋b2－2abcos C .
例 2 在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，判断三角形的形状．
解
因为 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5， 所以可令 a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)．c 最大，cos
C＝2k22＋×24kk×2－4k5k2<0，
所以 C 为钝角，从而三角形为钝角三角形.
思考 余弦定理作为勾股定理的推广，你能否考虑借助勾股定理来证明余弦定理？
C
b
a
当角C为锐角时
A
b
c
当角C为钝角时
A
A
c
BC
aD
BD
小结 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边
与它们的夹角的余弦的积的两倍．
即 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
例 题 讲 解：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 1.1.2 余弦定理
例 3 在△ABC 中，有(1)a＝bcos C＋ccos B；(2)b＝ccos A＋acos C；(3)c＝acos B＋bcos A；
这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．
证明
法一
(1)由正弦定理得 b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， ∴bcos C＋ccos B＝2Rsin Bcos C＋2Rsin Ccos B ＝2R(sin Bcos C＋cos Bsin C)＝2Rsin(B＋C)＝2Rsin A＝a.
例 题 讲 解：已知两边及其夹角、已知三边求解三角形 1.1.2 余弦定理
例 1 在△ABC 中，已知 a＝2，b＝2 2，C＝15°，求 A.
解 由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4 3， 所以 c＝ 6－ 2， 由正弦定理得 sin A＝asicn C＝21， 因为 b>a，所以 B>A， 因为 A 为锐角，所以 A＝30°.
∴a＝bcos C＋ccos B. 同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；(3)c＝证明三角形中的恒等式 1.1.2 余弦定理
跟踪训练 2
在△ABC
中，a、b、c
分别是角
A、B、C
的对边，求证：ccooss
BC＝cb－－bcccooss
探究：余弦定理的证明（1） 向量法
思考 如右图，设C→B＝a，C→A＝b，A→B＝c，由A→B＝C→B－C→A知
c＝a－b，那么，如何用 a，b 和角 C 表示出边 c 呢？
答 |c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)
＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cos C.
所以 c2＝a2＋b2－2abcos C.
反思与感悟 余弦定理及其推论的基本作用： (1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； (2)已知三角形的三条边就可以求出其它角．
例 题 讲 解：已知两边及其夹角、已知三边求解三角形 1.1.2 余弦定理
跟踪训练 1 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，
（1）若 B＝56π，a＝3 3 ，c＝2，则 b＝ 7 ； （2） 若 a＝ 3+1，b＝ 2，c＝2，则 C＝ 45o .
即 a＝bcos C＋ccos B. 同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；(3)c＝acos B＋bcos A.
法二 (1)由余弦定理得 cos B＝a2＋2ca2c－b2，cos C＝a2＋2ba2b－c2， ∴bcos C＋ccos B＝b·a2＋2ba2b－c2＋c·a2＋2ca2c－b2＝a2＋2ba2－c2＋a2＋2ca2－b2＝22aa2＝a.
A A
＝ssiinnAA＋＋CB－ －ssiinn
Bcos Ccos
AA＝ssiinn
Acos Acos
CB＝ccooss
CB＝左边．
∴等式成立．
反思与感悟 证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异．
则 A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)，
∴BC2＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A，
即 a2＝b2＋c2－2bccos A.
同理可证：b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
探究：余弦定理的证明（3） 几何法
1.1.2 余弦定理
A A.
证明
方法一
左边＝aa22＋ ＋22cbaa22bc－－bc22＝bcaa22＋＋bc22－－bc22，右边＝cb－－bc··bb22＋ ＋22ccbb22cc－ －aa22＝bcaa22＋＋bc22－－bc22，
∴等式成立．
方法二
右边＝2Rsin 2Rsin
C－2Rsin B－2Rsin
B·cos C·cos
﹚
同理可以证明：a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝c2＋a2－2cacos B.
1.1.2 余弦定理
探究：余弦定理的证明（2） 解析法
1.1.2 余弦定理
思考 我们可以把三角形放在平面直角坐标系中来研究，写出各个顶点的坐标，
你能否利用平面内两点间的距离公式来推导余弦定理？
答 如图，以 A 为原点，边 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，
2．余弦定理的推论
cos
A＝
b2＋c2－a2 2bc
c2＋a2－b2
a2＋b2－c2
；cos B＝ 2ca
；cos C＝
2ab
.
3．在△ABC 中，c2＝a2＋b2⇔C 为 直角 ；c2>a2＋b2⇔C 为 钝角 ；c2<a2＋b2⇔C 为 锐角 ．
4．三角变换公式 (1)cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β ； (2)cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β ； (3)cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α .