平行四边形、矩形、菱形、正方形定义、性质、判定
1.3.2正方形的性质与判定
矩形
Hale Waihona Puke 有一组邻边相等 对角线互相垂直
正方形
菱形
既是矩形又是菱形的四边形是正方形
正 方 形 常 见 的 判 定
1 、定义法：
2、矩形菱形法：
有一组邻边相等并且有一个角是 直角的平行四边形是正方形。
既是矩形又是菱形的四边形是正 方形。
两条对角线互相垂直平分且相 等的四边形是正方形。
3、对角线法：
1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是（ （填上一个条件即可） ）
2、要使一个矩形成为正方形需 添加的条件是（ ） （填上一个条件即可）
判断下列命题哪些是真命题、哪些是假命题？
①、对角线相等的菱形是正方形 ②、对角线互相垂直的矩形是正方形
（ 真 （真 （假
） ） ）
③、对角线互相垂直且相等的四边
形是正方形
④ 四条边都相等的四边形是正方形 ⑤、四个角都相等的四边形是正方形
G
B
E
C
谢谢！
矩形
A
四边形
平行四边形
D
正方形
B
菱形
C
正方形的定义 有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做
平行四边形
正方形
一个角是直角 一组邻边相等
正方形
边 正 方 形 的 性 质 角
正方形的对边平行且相等
正方形的四个角都是直角
对角线 正方形的 两条对角线互相垂直平分 且相等,每条对角线平分一组对角
平行四边形
原四边形对角线 关系 所得中点四边形 形状
不相等、不垂直 平行四边形
相等 菱形
垂直
相等且垂直 正方形
矩形
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定平行四边形是我们在数学学习中经常接触到的一种几何图形。
它具有独特的定义和性质，同时还有一些特殊的平行四边形，如矩形、菱形和正方形，它们各自有着特殊的性质和判定方法。
首先，我们来了解平行四边形的定义。
平行四边形是指两组对边分别平行的四边形。
这是平行四边形最基本的特征，也是判断一个四边形是否为平行四边形的首要条件。
平行四边形有许多重要的性质。
例如，平行四边形的两组对边分别相等。
这意味着，如果我们知道一个平行四边形的一条边的长度，那么与之相对的边的长度也就确定了。
平行四边形的两组对角分别相等。
这就使得在解决与角度相关的问题时，我们可以利用这个性质进行计算和推理。
平行四边形的对角线互相平分。
这一性质在很多几何问题中都能发挥关键作用，为我们提供解题的思路和方法。
平行四边形的邻角互补，即相邻的两个角相加等于 180 度。
接下来，我们看看几种特殊的平行四边形。
矩形是一种特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还有自己独特的性质。
矩形的四个角都是直角。
这是矩形区别于一般平行四边形的重要特征。
矩形的对角线相等。
在实际应用中，比如在建筑设计中，常常利用矩形对角线相等的性质来保证结构的稳定性和对称性。
判定一个平行四边形是否为矩形，有以下几种方法。
首先，如果一个平行四边形有一个角是直角，那么它就是矩形。
其次，如果一个平行四边形的对角线相等，那么它也是矩形。
菱形也是特殊的平行四边形。
菱形的四条边都相等。
这使得菱形在外观上具有很高的对称性。
菱形的对角线互相垂直且平分每组对角。
判定一个平行四边形是否为菱形，方法有：如果一组邻边相等的平行四边形是菱形；如果对角线互相垂直的平行四边形是菱形；如果四条边都相等的四边形是菱形。
正方形是最为特殊的平行四边形，它同时具备矩形和菱形的所有性质。
正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直、平分且相等。
判定一个平行四边形是否为正方形，可以先判断它是否为矩形，再看是否为菱形；或者直接看它是否同时满足四条边相等、有一个角为直角以及对角线相等且互相垂直平分。
平行四边形、矩形的判定、性质、定理
平行四边形
定义：
在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
性质：
（1）平行四边形对边平行且相等。
（2）平行四边形两条对角线互相平分。
（3）平行四边形的对角相等，两邻角互补
判定：
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3.对角线互相平分的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
性质
矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可归结为从三个方面来看：
（1）平行四边形与矩形共有的性质：
①从边看，矩形对边平行且相等。
（2）矩形特有的性质：
②从角看，矩形四个角都是直角。
③从对角线看，矩形对角线互相平分且相等。
④矩形的代表：正方形——具有菱形和平行四边形的一切性质。
判定
①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
②有三个角是直角的四边形是矩形
③对角线互相平分且相等的四边形是矩形性质定理2
直角三角形斜边中线等于斜边一半
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等。
矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明
矩形、菱形和正方形的性质定理和判定定理及其证明一、知识概述1、矩形的性质定理定理1：矩形的四个角都是直角．说明：(1)矩形具有平行四边形的一切性质．(2)矩形的这一特性可用来证明两条线段互相垂直．定理2：矩形的对角线相等．说明：矩形的这一特性可用来证明两条线段相等．推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．说明：与中位线定理及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半一样，这一推论可用来证明线段之间的倍数关系．2、矩形的判定定理定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．3、菱形的性质定理定理：菱形的四条边都相等．说明：(1)菱形具有平行四边形的一切性质，并且具有它特殊的性质．(2)利用该特性可以证明线段相等．定理2：菱形的对角线互相垂直．并且每条对角线平分一组对角．说明：根据菱形的特性可知，其对角线将它分成四个全等的直角三角形，再由直角三角形的相关性质，证明线段或角的关系，这样就将四边形问题转化为三角形问题来处理．4、菱形的判定定理定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．定理2：四条边都相等的四边形是菱形．说明：菱形的两个判定定理起点不同，一个是平行四边形，一个是四边形，判定时的条件不同，一个是对角线互相垂直，一个是四条边都相等．5、正方形的性质普通性质：正方形有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．特有性质：(1)边：四条边都相等，邻边垂直，对边平行；(2)角：四个角都是直角；(3)对角线：①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角．说明：正方形这些性质根据定义可直接得出．特殊性质——正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°，正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．6、正方形的判定(1)判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两种：①先证它是矩形，再证有一组邻边相等；②先证它是菱形，再证有一个角为直角．(2)判定正方形的一般顺序；①先证明是平行四边形；②再证有一组邻边相等(有一个角是直角)；③最后证明有一个角是直角(有一组邻边相等)．说明：证明一个四边形是正方形的方法很多，但一定注意不要缺少条件．二、重难点知识归纳1、特殊的平行四边形知识结构三、典型例题讲解例1、如图所示，M，N分别是平行四边形ABCD的对边AD，BC的中点，且AD=2AB，求证四边形PMQN为矩形．错解：连接MN．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD BC．又∵M，N分别为AD，BC的中点，∴AM BN．∴四边形AMNB是平行四边形．又∵AB=AD，∴AB=AM，∴口AMNB是菱形．∴AN⊥BM，∴∠MPN=90°．同理∠MQN=90°，∴四边形PMQN为矩形．分析：错在由∠MPN=∠MQN=90°，就证得四边形PMQN是矩形这一步，还需证一个角是直角或证四边形PMQN是平行四边形，证四边形PMQN是平行四边形这种方法比较好．正解：连接MN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD BC．又∵DM=AD，BN=BC(线段中点定义)，∴四边形BNDM为平行四边形．∴BM DN，同理AN MC．∴四边形PMQN是平行四边形．∵AM BN，∴四边形ABNM是平行四边形．又∵AD=2AB，AD=2AM，∴AB=AM，∴四边形ABNM是菱形．∴AN⊥BM，即∠MPN=90°，∴四边形PMQN是矩形．例2、如图所示，4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD四个顶点同时出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动．(1)试判断四边形PQEF的形状，并证明；(2)PE是否总过某一定点?并说明理由；(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积有最大值和最小值?最大值和最小值各是多少?分析：(1)猜想四边形PQEF为正方形，先证它为菱形，再证有一直角即可；(2)此问是动态问题，紧紧抓住运动过程中的不变量，即AP CE，四边形APCE为平行四边形，易知PE与AC平分于点O；(3)此问中显然当点P，Q，E，F分别运动至与正方形ABCD各顶点重合时面积最大，分析最小值时的情形可根据S正=PE2，而PE最小时是PE⊥AB，此时PE=BC．解：(1)四边形PQEF为正方形，证明如下：在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA，AP=BQ=CE=DF，∴BP=QC=ED=FA．又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB，∴∠FPQ=90°．∴四边形PQEF为正方形．(2)连接AC交PE于点O．∵AP EC，∴四边形APCE为平行四边形．又∵O为对角线AC的中点，∴对角线PE总过AC的中点．(3)当P运动至与B重合时，四边形PQEF面积最大，等于原正方形面积，当PE⊥AB时，四边形PQEF的面积最小，等于原正方形面积的一半．小结：探索动态问题，解答的关键是抓住它不动的一瞬间和运动中的不变量，即动中求静，这类题目是中考的热点考题．例3、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3，D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF//AB，交直线DE于F，设CD=x．(1)当x取何值时，四边形EACF是菱形?请说明理由；(2)当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？分析：本题考查菱形的判定、解直角三角形等知识的综合运用，有一定的探究性．解：(1)∵∠ACB=90°∴AC⊥BC．又∵DE⊥BC，∴EF//AC．∵AE//CF，∴四边形EACF是平行四边形．当CF=AC时，四边形ACFE是菱形．此时CF=AC=2，BD=3－x，tan B=，∴ED=BD·tan B=(3－x)．∴DF=EF－ED=2－(3－x)=x．在Rt△CDF中，CD2＋DF2=CF2，∴x2＋(x)2=22，∴(负值不合题意，舍去)．即当时，四边形ACFE是菱形．(2)由已知条件可知四边形EACD是直角梯形，例4、如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分别是AD，BC的中点，E，F分别是BM，CM的中点．(1)求证四边形MENF是菱形；(2)若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．分析：由题中条件根据三角形中位线的性质可证明四边形MENF的四边相等．当四边形MENF是正方形时，则有NE⊥MB，NF⊥MC，所以需连接MN(梯形的高)进行探究．证明：(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠A=∠D．∵M为AD中点，∴AM=DM，∴△ABM≌△DCM，∴BM=CM．∵E，F，N分别为MB，MC，BC的中点，∴EN=MC，FN=MB，ME=MB，MF=MC，∴EN=FN=MF=ME，∴四边形ENFM是菱形．解：(2)结论：等腰梯形ABCD的高等于底边BC的一半．理由如下：连接MN，∵BM=CM．BN=CN，∴MN⊥BC．∵AD//BC，∴MN⊥AD，即MN为梯形ABCD的高，又∵四边形MENF是正方形，∴△BMC为等腰直角三角形，∵N为BC中点，∴MN=BC．小结：梯形的高是指端点在两底上并且与两底垂直的线段．例5、如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，M，N分别是AD，BC的中点，AC平分∠DCB，AB⊥AC，P为MN上的一个动点．若AD=3，则PD＋PC的最小值为_________．分析：本题综合考查等腰梯形的性质、轴对称图形和解直角三角形等知识．由M，N为AD，BC中点可知，直线MN为等腰梯形的对称轴，故点A与点D，点B与点C关于直线MN对称．所以连接BD，交MN于点P′，则PC＋PD的最小值为线段BD的长(由三角形三边的关系说明)．因为AC平分∠DCB，且AD//BC，所以AD=DC=AB=3，易知∠ACB=∠DCB=30°．又∠BAC=90°，所以BC=2AB=6，因此．答案：例6、用反证法证明：一个梯形中不能有三个角是钝角．分析：要用反证法证明文字叙述的命题，需写出已知、求证，根据命题要求画出图形，再经过推理论证，得出与所学过的知识相矛盾的结论．从而否定原来的假设．如图所示，已知梯形ABCD，AD//BC．求证：∠A，∠B，∠C，∠D中不能有三个角是钝角．证明：假设∠A，∠B，∠C，∠D中有三个角是钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°，∠C>90°．∴∠A＋∠B>180°，∠B＋∠C>180°，∠A＋∠C>180°．又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B=180°．∴“∠A＋∠B>180°”与“∠A＋∠B=180°”矛盾．∴∠A＋∠B>180°不成立，即假设∠A>90°，∠B>90°不成立．∴梯形中不能有三个角是钝角．。
矩形菱形与正方形矩形矩形的判定
总结词
等边菱形是一种具有两条相等的边和两个相等的内角的菱形。
详细描述
等边菱形的四条边都相等，且每个内角都是135度。这种形状给人以对称、平衡和稳定的感觉，因此常被用作装饰和设计元素。
等边菱形
总结词
完美正方形是一种具有四条等长边和四个直角正方形的四边形。
详细描述
完美正方形是一个理想的几何形状，其四条边长度相等，且每个角都是90度。这种形状具有绝对的对称性和平衡感，经常被用于建筑、设计和其他领域。
正方形的周长计算公式为：周长 = 4 × 边长。
正方形的面积与周长
04
矩形菱形与正方形的异同点
Chapter
周长计算公式不同
矩形周长 = 2(长十宽)；菱形周长 = 4 x 边长；正方形周长 = 4 x 边长。
异同点比较
定义不同
矩形是指有一个相等的长和宽的平行四边形；菱形是指邻边相等的平行四边形；正方形是指长宽相等且邻边相等的平行四边形。
轴对称
菱形是轴对称图形，对称轴是菱形的对角线所在直线。
定义与性质
菱形的判定
定义判定
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
面积
菱形的面积等于其对角线乘积的一半，即 S=1/2ab 其中 a 和 b 是菱形的对角线长度。
要点一
要点二
周长
菱形的四条边都相等，所以周长 P=4a 其中 a 是菱形的边长。
菱形的面积与周长
几何应用
艺术创作
02
在艺术创作中，矩形和正方形可以创造出稳定和平衡的感觉，而菱形则可以营造出动态和流动的感觉。正方形也被广泛用于棋盘、地图等需要规则分割的场合。
自然界中
03
在自然界中，矩形和正方形可以在很多场合被找到，如湖面、山川、沙漠等。而菱形则可以在水晶等自然物体中找到。
1.3.正方形的性质与判定(1)
1.3正方形的性质与判定(1)正方形的性质一、学习目标1．在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，并能运用正方形的性质进行证明与计算．2．进一步了解平行四边形、矩形、菱形及正方形之间的相互关系二、新课引入对称性边角对角线平行四边形菱形矩形菱形: 的平行四边形是菱形矩形: 的平行四边形是矩形3.有没有一种四边形既是菱形又是矩形呢?三、探究新知(一）正方形的定义探究一:矩形怎样变化后就成了正方形呢?结论: 的矩形叫做正方形.几何语言:探究二:菱形怎样变化后就成了正方形呢?结论: 的菱形叫做正方形.几何语言:探究小结什么样的平行四边形是正方形?正方形定义:的平行四边形叫做正方形.几何语言:（二）正方形的性质探究:正方形有什么性质?由正方形的定义可以得知,正方形既是有相等的矩形,又是有的菱形. 所以,正方形具有的性质,同时又具有的性质.正方形的性质对称性正方形既是______图形，又是______图形，正方形有______对称轴．边四条边几何语言：角四个角都是________．几何语言：对角线两条对角线互相_____且_______，并且每一条对角线平分________．几何语言：面积：即时练习：1.菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O（1）图中是等腰三角形有（2）若OA=2，求BD、AB的长3.如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF,DF。
找出图中的全等三角形，选择其中一对进行证明。
四、例题讲解例如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．五、课堂小结1.正方形的定义的平行四边形叫做正方形．2.正方形的性质：边：________都相等且________．角：四个角都是________．对角线：两条对角线互相________且________，并且每一条对角线平分________．对称性:正方形既是________图形，又是________图形，正方形有________对称轴．面积:正方形的面积等于等于3.平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系六、检测反馈评价1.正方形面积为36，则对角线的长为。
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定在我们的数学世界中，四边形是一个非常重要的几何图形家族。
其中，平行四边形是一种常见且具有独特性质和判定方法的四边形。
此外，还有一些特殊的四边形，如矩形、菱形和正方形，它们在实际生活和数学问题中都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解平行四边形以及这些特殊四边形的性质和判定。
首先，我们来明确平行四边形的定义。
平行四边形是指两组对边分别平行的四边形。
这是平行四边形最基本的特征。
想象一下，有两组对边就像两条平行的轨道，永远不会相交，这就是平行四边形的样子。
平行四边形具有许多有趣的性质。
它的对边是相等的。
也就是说，如果一个四边形是平行四边形，那么它的两组对边长度分别相等。
例如，AB 边和 CD 边长度相等，AD 边和 BC 边长度也相等。
它的对角也是相等的。
∠A 和∠C 相等，∠B 和∠D 相等。
就好像是两个双胞胎角，长得一模一样。
平行四边形的两条对角线还相互平分。
假设 AC 和 BD 是平行四边形的两条对角线，那么交点 O 会把两条对角线分成相等的两段，AO＝ CO，BO ＝ DO。
了解了平行四边形的性质，我们再来看看它的判定方法。
如果一个四边形的两组对边分别相等，那么它就是平行四边形。
比如，AB ＝CD，AD ＝ BC，那么这个四边形一定是平行四边形。
如果两组对边分别平行，那它也是平行四边形。
这其实就是平行四边形定义的逆运用。
当一组对边平行且相等时，这个四边形同样是平行四边形。
还有，如果两条对角线互相平分，这个四边形也是平行四边形。
接下来，我们再看看那些特殊的四边形。
矩形是一种特殊的平行四边形，它不仅具有平行四边形的所有性质，还有自己独特的特点。
矩形的四个角都是直角。
想象一下，房间的四个角都是方方正正的90 度，这就是矩形的样子。
矩形的对角线相等。
这意味着，如果一个平行四边形的四个角都是直角或者两条对角线相等，那么它就是矩形。
菱形也是一种特殊的平行四边形。
正方形的性质与判定-优质课件
7、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE 和ACFG，连结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。 ∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90°
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC
D O
B
C
例题1 如图，在正方形ABCD中，点E
在对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？
为什么？
D
C
解：BE=DE.
因为 对角线AC所在的直
线是正方形ABCD的对
E
称轴，而点E在对称轴 A
B
上，点B为点D关于AC
的对称点，
所以 BE=DE
2.在正方形ABCD中，点P是对角线 AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂 足分别是点E、F.求证：DP=EF
矩形
正方形
一组邻边相等的矩形
叫正方形
菱 形 一个角是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正 方形
如何来给正方形下定义？
菱形
平行四边形
正方 形
矩形
平行四边形
一组邻边相等 一内角是直角
正方形
定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边
形叫做正方形
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
平行四边形
正
矩形 方 菱形
练:正方形ABCD中，M为AD中点， ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若
ME+MF =8cm，则AC=___1_6_c_m__.
F
B A
MC D
F
E
O
B
C
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中心对称
中心对称
矩
形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
①具有平行四边形的一切性质
②四个角都是直角
③对角线相等
①有一个角是直角的平行四边形
②有三个角是直角的四边形
③对角线相等的平行四边形
轴对称
中心对称
菱
形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
①具有平行四边形的一切性质
②四条边都相等
③对角线互相垂直平分每组对角
四种特殊四边Leabharlann 的性质边角对角线
对称性
图形
平行
四边形
对边平行
且相等
对角相等
互相平分
中心对称
矩形
对边平行
且相等
四个角
都是直角
互相平分
且相等
轴对称
中心对称
菱形
对边平行
四条边相等
对角相等
互相垂直平分且
每条对角线平分对角
轴对称
中心对称
正方形
对边平行、邻边垂直、
四条边相等
四个角
都是直角
互相垂直平分且相等，
每条对角线平分一组对角
①有一组邻边相等的平行四边形
②四条边都相等的四边形
③对角线互相垂直的四边行
轴对称
中心对称
正
方
形
有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。
①具有平行四边形、矩形、菱
形的一切性质
②对角线与边的夹角为45
①有一组邻边相等的矩形
②对角线互相垂直的矩形
③一个角是直角的菱形
④对角线相等的菱形
轴对称
中心对称
平行四边形、矩形、菱形、正方形定义，性质和判定归纳如表：
类别
概念
性质
判定
对称性
平
行
四
边
形
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
①对边平行
②对边相等
③对角相等
④邻角互补
⑤对角线互相平分
①两组对边分别平行的四边形
②两组对边分别相等的四边形
③一组对边平行且相等的四边形
④两组对角分别相等的四边形
⑤对角线互相平分的四边形