离散数学 逻辑
离散数学一阶逻辑基本概念
在解释的定义中引进了几个元语言符号，如
ai
,
f
n i
,
F
in等
被解释的公式 A 中的个体变项均取值于 DI
若 A 中含个体常项 ai，就解释成 a i .
fin 为第 i 个 n 元函数，例如，i=1, n=2 时， f12 表示第一个
二元函数，它出现在解释中，可能是 f 1(x, y) x2 y2,
（以后讨论）
几点注意： 1 元谓词与多元谓词的区分 无特别要求，用全总个体域 量词顺序一般不要随便颠倒
否定式的使用 ① 没有不呼吸的人 ② 不是所有的人都喜欢吃糖 ③ 不是所有的火车都比所有的汽车快 以上命题应如何符号化？
第二节 一阶逻辑公式及解释
一阶语言——用于一阶逻辑公式的形式语言 一、一阶语言 F 与合式公式
1．F 的字母表 定义 4.1 一阶语言 F 的字母表定义如下：
（1） 个体常项：a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i 1 （2） 个体变项：x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i 1 （3） 函数符号：f, g, h, …, fi, gi, hi, …, i 1 （4） 谓词符号：F, G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i 1
① 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} ② 无限个体域，如 N, Z, R, …
③ 全总个体域——宇宙间一切事物组成
2. 谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词
（1） 谓词常项：F: …是人，F(a)：a 是人 （2） 谓词变项：F: …具有性质 F，F(x)：x 具有性质 F （3） n（n1）元谓词
解 （1），（2）为可满足式. （3）为 p(qp)（重言式）的 代换实例，故为永真式. （4）为(pq)q（矛盾式）的代换
《离散数学》谓词逻辑
§3.5 前束范式
§3.6 谓词逻辑的推理
4
谓词与量词
个体词（individual）是一个命题里表示思维
对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体
具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用
a, b, c 表示
抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般
用 x, y, z 表示
个体变项的取值范围称作个体域或论域
那么在解释2下该命题是真命题。
24
谓词公式及分类
类似于命题逻辑，也可以对谓词逻辑
公式进行分类：
设 A 为一个谓词公式，若 A 在任何解
释下真值均为真，则称 A 为普遍有效
的公式或逻辑有效式（logically valid
formula）
例
(x)
(P(x)∨P(x))
(x) P(x) P(y)
第三章 谓词逻辑
《离散数学及应用》
第三章 谓词逻辑
苏格拉底三段论：
凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
p∧q r
重言式？正确的推理？
2
第三章 谓词逻辑
为了克服命题逻辑的局限性，引入了
3
谓词和量词对原子命题和命题间的相
互关系做进一步的剖析，从而产生了
为谓词。这是一元（目）谓词，以
P(x), Q(x), …表示。
例
Human
(Socrates)
Mortal (Socrates)
7
谓词与量词
如果在命题里的个体词多于一个，那
么表示这几个个体词间的关系的词称
作谓词。这是多元（目）谓词，有 n
个个体的谓词 P(x1, …, xn) 称 n 元（目）
离散数学命题逻辑思维导图
数理逻辑命题逻辑基本概念等值演算析取范式合取范式范式说明单个命题变元既是简单析取式又是简单合取式命题变元的析取式和合取式不唯一主析取范式由有限给简单析取式的合取构成的命题公式主合取范式简单合取式简单析取式由有限个的文字构成的析取式由有限个文字构成的合取式由有限个简单合取式的析取构成的命题公式（只能是单层括号且括号内部都是合取）命题变项及其否定都称作文字极小项n个命题变项的简单合取式按照下标从小到大或字典顺序排列，且每个命题变项及它的否定有且仅出现一次的简单析取式极大项所有简单合取式都是极小项的析取范式可以进行补项，使得每一项均含命题变项（析取0或合取1）真值可以变化的命题（命题变项不是命题）命题变项真值确定的简单命题命题常项将命题变项用联结词和圆括号按照一定逻辑关系联结起来的符号串合式公式在它的各种赋值下取值均为真重言式/永真式在它的各种赋值下取值均为假矛盾式/永假式若其不是矛盾式，则称其为重言式可满足式命题公式分类命题公式及其赋值否定联结词子主题1合取（交集）析取（并集）蕴涵（若p则q）等价联结词基本命题联结词非真即假的陈述句，有唯一真值命题命题陈述句所表达的判断结果（真值不确定，不代表真值不唯一）真值不能再被分解成更简单的命题简单命题/原子命题既不能为真也不能为假的陈述句悖论命题公式在所有赋值下取值情况列成的表指定的一组值使公式A全为1成真赋值指定的一组值使公式A全为0成假赋值真值表等值式命题相关基本概念命题与联结词A A⇔¬¬双重否定定律A A A⟺∨A A A⟺∧幂等律交换律结合律基础等值模式(A B)A B¬∨⟺¬∧¬徳摩根律(否定内移)A (A B)A∨∧⟺A (A B)A∧∨⟺吸收律A 11∨⟺A 00∧⟺零律A B A B→⟺¬∨蕴涵等值式A B （A B）（B A）↔⟺→∧→等价等值式A B B A →⟺¬→¬假言易位(A B)(A B)A →∧→¬⟺¬归谬论A B A B↔⟺¬↔¬等价否定等值式重点等值模式A 0A∨⟺A 1A ∧⟺同一律A A 0∧¬⟺矛盾律A A 1∨¬⟺排中律逻辑三大定律。
《离散数学课件》谓词逻辑
A(a, H(b)) →F(a,b)
非一阶谓词 26/44
例3 符号化：我送他这本书。
解：令 A(e1，e2，e3)表示“e1送e3给e2”； B(e)表示“e为书”； a表示“我”； b表示“他”； c表示“这”；
则原句译为： A(a，b，c) B(c)
27/44
例4 符号化：这只大红书柜摆满了那些古书。
32/66
例 计算机学院的有些老师是青年教师
解： 设 C(e)表示e为计算机学院的人； T(e)表示e为教师; Y(e)表示e为青年.
则原句译为：
x(C(x)T(x) Y(x))
此例中：x就取值于全总个体域U， 谓词C(x)限定x取值范围。
33/66
例 个体域I为人类集合,将下列命题符号化:
(1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。
21/44
一元谓词变元
A(x)
其中x为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x具有性质A。 注意：x，A分别在两个域上变化。
22/44
二元谓词变元
A(x，y)
其中x, y为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x和y具有关系A。 注意：x，y，A分别在三个域上变化。
23/44
二、谓词语句的符号化
例1 将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶
1A(e)如下图所示: e A1 A2 a TF
2 谓词数目：
14/44
个体域{a，b}上的一元谓词
A(e)如下图所示: e A1 A2 A3 A4 a TFTF b TTFF
22
谓词数目：
15/44
个体域{a，b，c}上的一元谓词
A(e)如下图所示:
e A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
离散数学第2章 谓词逻辑
33
§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
5
§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
12
第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
13
§2 命题函数与量词
离散数学 第2章 命题逻辑
6
程序解法：
#include "stdio.h" #include "conio.h" main() { int p,q,r,A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3,E; for(p=0;p<=1;p++) for (q=0;q<=1;q++) for(r=0;r<=1;r++) { A1=!p&&q;A2=(!p&&!q)||(p&&q);A3=p&&!q; B1=p&&!q;B2=(p&&q)||(!p&&!q);B3=!p&&q; C1=!q&&r;C2=(q&&!r)||(!q&&r);C3=q&&r; E=(A1&&B2&&C3)||(A1&&B3&&C2)||(A2&&B1&&C3)||(A2&&B3&&C1)||(A3&&B1&&C2)||(A3 &&B2&&C1); if (E==1) printf("p=%d\tq=%d\tr=%d\n",p,q,r); } getch(); }
复合命题： E=(A1 ∧B2 ∧C3) ∨ (A1 ∧B3 ∧C2) ∨ (A2 ∧B1 ∧C3) ∨ (A2 ∧B3∧C1) ∨ (A3 ∧B1 ∧C2) ∨ (A3 ∧B2 ∧C1)
A1 ∧B2 ∧C3 = (p ∧q ) ∧ ((p ∧ q) ∨(p ∧ q) ) ∧(q ∧ r) 0 A1 ∧B3 ∧C2 = (p ∧q ) ∧ ( p ∧ q) ∧( (q ∧ r) ∨(q ∧ r ) ) p ∧q ∧ r A2 ∧B1 ∧C3 =A2 ∧B3∧C1 = A3 ∧B2 ∧C1 = 0 A3 ∧B1 ∧C2 p ∧ q ∧ r E (p ∧q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r) 所以王教授是上海人。
离散数学知识点全归纳
离散数学知识点全归纳离散数学是数学的一个分支，研究的是离散对象和离散结构。
在计算机科学、信息技术以及其他领域中，离散数学具有重要的应用价值。
以下是离散数学的一些重要知识点的全面总结。
1. 集合论和逻辑- 集合：基本概念、运算、包含关系、并集、交集、差集、幂集等。
- 命题逻辑：命题、命题的连接词、真值表、逻辑等价、析取范式、合取范式等。
- 谓词逻辑：谓词、量词、逻辑推理、存在量词和全称量词等。
2. 证明方法- 直接证明：利用已知事实和逻辑推理，直接得出结论。
- 对证法：从假设的反面出发，利用矛盾推理得出结论。
- 数学归纳法：证明基础情况成立，再证明递推步骤成立。
3. 图论- 图的基本概念：顶点、边、路径、回路、度、连通性等。
- 图的表示：邻接矩阵、邻接表等。
- 最短路径：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法等。
- 最小生成树：Prim算法、Kruskal算法等。
4. 关系与函数- 关系及其性质：自反性、对称性、传递性、等价关系等。
- 函数及其性质：定义域、值域、单射、满射、双射等。
- 逆函数和复合函数：求逆函数、复合函数的定义和性质。
5. 组合数学- 排列和组合：排列、组合的计算公式和性质。
- 递归关系：递推公式、递归算法等。
- 图的着色：色数、四色定理等。
6. 代数系统- 半群、幺半群、群、环、整环和域的定义和性质。
- 同态：同态映射、同构等。
- 应用：编码理论、密码学等。
以上是离散数学的一些重要知识点的概括。
深入理解和掌握这些知识，对于解决实际问题和在相关领域中取得成功非常重要。
在学习过程中，建议结合实际例子和习题进行练习，加深对知识的理解和应用能力。
离散数学 第3章 命题逻辑的推理理论
例 构造下面推理的证明 2 是素数或合数. 若 2 是素数，则 2 是无理数. 若 2 是无理数，则 4 不是素数. 所以，如果 4 是素数，则 2 是合数. 用附加前提证明法构造证明 （1）设 p：2 是素数，q：2 是合数， r： 2 是无理数，s：4 是素数 （2）形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
结论（不正确）是对的 方法四 直接观察出 10 是成假赋值
解（2）答案：推理正确 方法一 方法二 方法三 方法四 真值表法（自己做） 等值演算法（自己做） 主析取范式法（自己做） P 系统中构造证明 ① pr ② rp ③ qr ④ qp （前提引入） （①置换） （前提引入） （③②假言三段论）
（8） 假言三段论规则： AB BC AC （9） 析取三段论规则： AB B A （10） 构造性二难推理规则： AB CD AC BD
(11) 破坏性二难推理规则： AB CD BD AC （12）合取引入规则： A B AB
三、P 中的证明 例 在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明： (1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s 结论：r∧(p∨q) (2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s 结论：p→s 解 (1)证明： ① p→s 前提引入 ② ┐s 前提引入 ③ ┐p ①②拒取式 ④ p∨q 前提引入 ⑤ q ③④析取三段论 ⑥ q→r 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理 ⑧ r∧(p∨q) ⑦④合取 此证明的序列长为 8，最后一步为推理的结论，所以推理正确，r∧(p∨q) 是有效结论。
例
判断下面推理是否正确：
(1)若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除；a 能被 4 整除。所以 a 能被 2 整除。 (2)若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除；a 能被 2 整除。所以 a 能被 4 整除。 (3)下午马芳或去看电影或去游泳；她没有看电影。所以，她去游泳 了。 (4)若下午气温超过 30℃，则王小燕必去游泳；若她去游泳，她就不 去看电影了。所以王小燕没有去看电影，下午气温必超过了 30℃。
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离散数学逻辑
离散数学是一门研究离散量的数学学科，它研究的对象往往是离散的结构和离散的数量。
而离散数学的核心是尽可能避免连续性以及无限性的概念，因此其研究内容多以图论、代数、逻辑和组合数学为主。
在离散数学中，逻辑是非常重要的一个分支。
逻辑是研究正确推理和正确思维的学问，它是人们从事各种学科研究和社会实践活动的重要认识工具和方法论基础。
而离散逻辑是
逻辑学中的一个非常重要的分支，其研究的对象是离散的命题和逻辑关系，并通过数学方
式进行形式化研究。
逻辑思维是自然智能和人工智能的核心之一，它对于计算机科学、信息技术和人工智
能技术的发展有着举足轻重的作用。
因此，学好离散逻辑对于从事计算机科学和信息技术
领域的工作者来说是非常必要的。
下面我们就来简要介绍一下离散逻辑的一些基础概念和
应用。
一、命题
命题是指有真假性的陈述或句子，其句子结构简单，且具有确定的真值。
比如“今天
是星期一”这个陈述就是一个命题，因为它可以是真，也可以是假。
而“跑步是好的”这
个陈述就不是一个命题，因为它的真值不确定。
另外，需要注意的是，命题不一定是对的，也不一定是错的，而是具有确定的真假性。
二、联结词
在逻辑学中，联结词指的是用来构成复合命题的词语。
常见的联结词有否定（not）、合取（and）、析取（or）、条件（if…then）、双条件（if and only if）等。
联结词的使用能够帮助我们构造更加复杂的命题。
三、真值表
真值表是一种用来罗列命题真值情况的表格。
它是一个非常重要的逻辑工具，用来分析、比较和计算命题和逻辑关系的真值情况。
真值表的构造需要首先确定命题中各个命题
变项的取值，然后通过逻辑运算得出复合命题的真值。
四、逻辑等价式
逻辑等价式是指两个命题拥有相同的真值情况。
比如A∨B和B∨A就是逻辑等价的命题。
在离散逻辑中有许多的逻辑等价式，常见的有德摩根定理（De Morgan's Theorem）、双否定律（Double Negation Law）、交换律（Commutative Law）等，它们都是逻辑运算
的基本定理。
五、命题公式
命题公式是指由命题符、联结词和辅助符号构成的复合命题。
比如A∧B、¬A、
(A∨B)∧C等都是命题公式。
命题公式用来表示和描述逻辑关系，是进行逻辑思考和分析的一种方便工具。
六、谓词逻辑
除了普通的命题逻辑，还存在关于语句中的某些对象与其性质关系的逻辑，这就是谓词逻辑。
谓词逻辑的重点是以量化为核心的推理，其中有“全称量化”和“存在量化”两种。
在谓词逻辑中，常常会运用谓语、量词、自由变项、约束变项等概念，以及与、或、非、蕴涵等联结词，用于处理复杂的语义关系。
在计算机科学和信息技术中，谓词逻辑通常被广泛应用于人工智能领域，用来描述计算机程序的语义和推理过程。
因此，如果我们想从事相关领域的工作，学好谓词逻辑是非常有必要的。