(完整版)近五年椭圆高考题汇编(可编辑修改word版)
近三年高考数学全国卷椭圆真题
近三年高考数学全国卷椭圆真题2020全国理科一.已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.2020全国二已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．2019江苏如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．2018全国设椭圆C ：+y²=1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为（2，0）.（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA =∠OMB .2020全国由椭圆方程222:1(1)x E y a a +=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭2019江苏（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-.将115x =-代入22y x =+，得 125y =-，因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-.因此3(1,)2E --.。
高中数学高考总复习椭圆习题及详解修订稿
高中数学高考总复习椭圆习题及详解Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】高中数学高考总复习椭圆习题及详解一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.()0，3π4∪()7π4，2π B.[)π2，3π4 C.()π2，3π4D.()3π4，3π2[解析] 化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1，∴－1cos α>1sin α>0，故选C.2,(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b ＝c 2－a 2＝4，∴渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 22＋y 24＝1 D ．x 2＋y 23＝1[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.3．分别过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1、F 2作两条互相垂直的直线l 1、l 2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.()0，22C.()22，1D.(]0，22[解析] 依题意，结合图形可知以F 1F 2为直径的圆在椭圆的内部，∴c <b ，从而c 2<b 2＝a 2－c 2，a 2>2c 2，即e 2＝c 2a 2<12，又∵e >0，∴0<e <22，故选B. 4．椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.6433B.9133C.1633D.643[解析] 由余弦定理：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝20，代入化简得|PF 1|·|PF 2|＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝6433.5．(2010·济南市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x[解析] ∵由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.6．(2010·南昌市模考)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于( ) A.513 B.1213 C.35 D.45 [解析] 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a 、b 、c ，则由条件知，b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9，又b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝36，故⎩⎨⎧a ＋c ＝9a －c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132c ＝52，∴e ＝c a ＝513. (理)(2010·北京崇文区)已知点F ，A 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点、右顶点，B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则椭圆的离心率等于( )A.3＋12B.5－12 C.3－12D.5＋12[解析] ∵FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，FB →·AB →＝0，∴－ac ＋b 2＝0，∵b 2＝a 2－c 2， ∴a 2－ac －c 2＝0，∴e 2＋e －1＝0，∵e >0，∴e ＝5－12.7．(2010·浙江金华)若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1、F 2分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e 1，双曲线离心率为e 2，若PF 1→·PF 2→＝0，则1e 12＋1e 22＝( )A ．2 B. 2 C. 3 D ．3 [解析] 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为a ′，焦距为2c ，则由条件知||PF 1|－|PF 2||＝2a ′，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，将两式两边平方相加得：|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(a 2＋a ′2)，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴a 2＋a ′2＝2c 2，∴1e 12＋1e 22＝1()ca2＋1()c a ′2＝a 2＋a ′2c 2＝2.8．(2010·重庆南开中学)已知椭圆x 24＋y 22＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且倾角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，以下结论中：①△ABF 1的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB |＝83；正确结论的个数为( )A ．3 B ．2 C ．1D ．0[解析] ∵a ＝2，∴△ABF 1的周长为|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8，故①正确；∵F 2(2，0)，∴l ：y ＝x －2，原点到l 的距离d ＝|－0－2|2＝1，故②正确；将y ＝x －2代入x 24＋y 22＝1中得3x 2－42x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝423， ∴|AB |＝1＋12||423－0＝83，故③正确．9．(文)(2010·北京西城区)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．(理)F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[解析] ∵PQ 平分∠F 1PA ，且PQ ⊥AF 1，∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|PA |，∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|PA |＋|PF 2|)＝a ，∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．10．)(2010·辽宁沈阳)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.()14，49B.()23，1 C.()12，23D.()0，12[解析] 点B 的横坐标是c ，故B 的坐标()c ，±b 2a，已知k ∈()13，12，∴B()c ，b 2a.斜率k ＝b 2ac ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13<k <12，解得12<e <23. (理)(2010·宁波余姚)如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为( )A ．e －1B ．1－eC ．e 2－1D ．1－e 2[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，由点差法，x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，作差得x 1－x 2x 1＋x 2a 2＝y 2－y 1y 2＋y 1b 2，∴k AB ·k OM ＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2＝c 2－a 2a2＝e 2－1.故选C.二、填空题11．(文)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22.(理)(2010·揭阳市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2无公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．[解析] 易知以半焦距c 为半径的圆在椭圆内部，故b >c ，∴b 2>c 2，即a 2>2c 2，∴c a <22.12．(2010·南充市)已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝________.[解析] 易知A ，C 为椭圆的焦点，故|BA |＋|BC |＝2×5＝10，又AC ＝8，由正弦定理知，sin A ＋sin C sin B ＝|BA |＋|BC ||AC |＝54.13．(文)若右顶点为A 的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在点P (x ，y )，使得OP →·PA →＝0，则椭圆离心率的范围是________．[解析] 在椭圆x 2a 2＋y2a 2＝1上存在点P ，使OP →·PA →＝0，即以OA 为直径的圆与椭圆有异于A 的公共点．以OA 为直径的圆的方程为x 2－ax ＋y 2＝0与椭圆方程b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2联立消去y 得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，将a 2－b 2＝c 2代入化为(x －a )(c 2x －ab 2)＝0，∵x ≠a ，∴x ＝ab 2c 2，由题设ab 2c 2<a ，∴a 2－c 2c 2<1.即e >22，∵0<e <1，∴22<e <1.(理)已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的点，M 是椭圆上的动点，则|MA |＋|MB |的最大值是________．[解析] 如图，直线BF 与椭圆交于M 1、M 2.任取椭圆上一点M ，则|MB |＋|BF |＋|MA |≥|MF |＋|MA |＝2a ＝|M 1A |＋|M 1F |＝|M 1A |＋|M 1B |＋|BF |∴|MB |＋|MA |≥|M 1B |＋|M 1A |＝2a －|BF |.同理可证|MB |＋|MA |≤|M 2B |＋|M 2A |＝2a ＋|BF |，10－210≤|MB |＋|MA |≤10＋210.14．)已知实数k 使函数y ＝cos kx 的周期不小于2，则方程x 23＋y 2k＝1表示椭圆的概率为________．[解析] 由条件2π|k |≥2，∴－π≤k ≤π，当0<k ≤π且k ≠3时，方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆，∴概率P ＝12.(理)(2010·深圳市调研)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的面积为πab ，M 包含于平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2|y |≤3内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，则椭圆M 的方程为________．[解析] 平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2|y |≤3是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得πab 83＝π4，即ab ＝2 3.因为0<a ≤2,0<b ≤3，所以a ＝2，b ＝ 3.所以，椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.三、解答题15．(文)(2010·山东济南市模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆C 的焦点坐标；(2)若点P 是椭圆C 上的任意一点，过焦点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线PM ，PN 的斜率分别为k PM 、k PN ，当k PM ·k PN ＝－14时，求椭圆的方程．[解析] (1)∵圆x 2＋y 2＝b 2与直线y ＝x ＋2相切，∴b ＝21＋1，得b ＝ 2.又2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝2，c 2＝a 2－b 2＝2，∴两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称，不妨设：M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )，由于M ，N ，P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有x 02a 2＋y 02b 2＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1.两式相减得：y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a 2.由题意可知直线PM 、PN 的斜率存在，则k PM ＝y －y 0x －x 0，k PN ＝y ＋y 0x ＋x 0，k PM ·k PN＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a2， 则－b 2a 2＝－14，由a ＝2得b ＝1，故所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(理)(2010·北京东城区)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2a b ＝23c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4.因为MP →＝(x －m ，y )，所以|MP →|2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12×()1－x 216.＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2.因为当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]， 故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m ≤4.故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．16．(2010·辽宁文，20)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．[解析] (1)设焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)∵k l ＝tan60°＝3∴l 的方程为y ＝3(x －c )即：3x －y －3c ＝0∵F 1到直线l 的距离为23∴|－3c －3c |32＋－12＝3c ＝23∴c ＝2∴椭圆C 的焦距为4(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由题可知y 1＜0，y 2＞0直线l 的方程为y ＝3(x －2)由⎩⎨⎧y ＝3x －2x 2a2＋y 2b2＝1消去x 得，(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 2(a 2－4)＝0由韦达定理可得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－43b 23a 2＋b 2①y 1·y 2＝－3b 2a 2－43a 2＋b 2②∵AF 2→＝2F 2B →，∴－y 1＝2y 2，代入①②得 ⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－43b 23a 2＋b 2 ③－2y 22＝－3b 2a 2－43a 2＋b 2④③2④得12＝48b 43a 2＋b 22·3a 2＋b 23b 2a 2－4＝16b 23a 2＋b 2a 2－4⑤ ,又a 2＝b 2＋4 ⑥由⑤⑥解得a 2＝9 b 2＝5∴椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1. 17．(文)(2010·安徽文)椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．[解析] (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)∵e ＝12，即c a ＝12，∴a ＝2c 又b 2＝a 2－c 2＝3c 2∴椭圆方程为x 24c 2＋y 23c2＝1.又∵椭圆过点A (2,3)∴44c 2＋93c 2＝1，解得c 2＝4，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2) 法一：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0，直线AF 2的方程为x ＝2.设P (x ，y )为角平分线上任意一点，则点P 到两直线的距离相等． 即|3x －4y ＋6|5＝|x －2|∴3x －4y ＋6＝5(x －2)或3x －4y ＋6＝5(2－x )即x ＋2y －8＝0或2x －y －1＝0.由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F 1AF 2的平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法二：设AM 平分∠F 1AF 2，则直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称．由题意知直线AM 的斜率存在且不为0，设为k .则直线AM 方程y －3＝k (x －2)．由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0设点F 2(2,0)关于直线AM 的对称点F 2′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0－2＝－1k y 02－3＝k x 0＋22－2解之得F 2′(－6k ＋2k 2＋21＋k 2，61＋k2)．∵直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称，∴点F 2′在直线AF 1上．即3×－6k ＋2k 2＋21＋k 2－4×61＋k 2＋6＝0.解得k ＝－12或k ＝2.由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，∴k ＝－12(舍去)．故∠F 1AF 2的角平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法三：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)，∴AF 1→|AF 2→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3)＝－45(1,2)，∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0.[点评] 因为l 为∠F 1AF 2的平分线，∴AF 1→与AF 2→的单位向量的和与l 共线．从而可由AF 1→、AF 2→的单位向量求得直线l 的一个方向向量，进而求出其斜率．(理)(2010·湖北黄冈)已知点A (1,1)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，如果|AB |最大时，求证A 、B 两点关于原点O 不对称；(3)设点C 、D 是椭圆上两点，直线AC 、AD 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．[解析] (1)由椭圆定义知：2a ＝4，∴a ＝2，∴x 24＋y 2b 2＝1把(1,1)代入得14＋1b 2＝1∴b 2＝43，则椭圆方程为x 24＋y 243＝1∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，∴c ＝263故两焦点坐标为()263，0，()－263，0. (2)用反证法：假设A 、B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为(－1，－1)，此时|AB |＝22，取椭圆上一点M (－2,0)，则|AM |＝10∴|AM |>|AB |.从而此时|AB |不是最大，这与|AB |最大矛盾，所以命题成立． (3)设AC 方程为：y ＝k (x －1)＋1联立⎩⎨⎧y ＝kx －1＋1x 24＋3y24＝1消去y 得(1＋3k 2)x 2－6k (k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0 ∵点A (1,1)在椭圆上 ∴x C ＝3k 2－6k －13k 2＋1∵直线AC 、AD 倾斜角互补∴AD 的方程为y ＝－k (x －1)＋1，同理x D ＝3k 2＋6k －13k 2＋1又y C ＝k (x C －1)＋1，y D ＝－k (x D －1)＋1，y C －y D ＝k (x C ＋x D )－2k ，所以k CD ＝y C －y D x C －x D ＝13即直线CD 的斜率为定值13.。
(完整版)椭圆大题题型汇总例题+练习
椭圆大题题型解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组；（3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式（5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换（7）x,y，k(斜率)的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等运用的知识：x?xy?y1212A(x,y)，B(x,y)?,y x?yx,的中点坐，其中1、中点坐标公式：是点221122标。
)()，Bx,yxA(,y0)k??b(y?kx在直线上，2、弦长公式：若点2112b?kx??y?kxb，y则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，2121222222)?kx)(kx?kx)x?))?(y?y(1?(x?x)??(?AB(x?x212121122122?4x)x?k])[(x?x?(1211211122222)yy??(1?)((x?x)??(yAB?y)(x?xy?(y?))?或者22211212112kkk12)[(y?y)?4?(1?yy]。
12122kl:y?kx?b,l:y?kx?bkk??1、两条直线垂直：则321121122rrg v0v?两条直线垂直，则直线所在的向量1220)0(a??axbx?c?x,x则：，同的根不次元若一二方程有两个理达、4韦定21bcx?x??,xx?。
2211aa常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，。
用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）2xy?l轴上是否存在一点两点，在x交于A、例题1、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：B xx ABE?，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。
E(,0)002x21?y?OF已知椭圆例题2的左焦点为，、为坐标原点。
(完整word版)高考数学椭圆填空题题集(附答案)
椭圆填空题11、(1)离心率一条准线方程为x=的椭圆的标准方程为________________；(2)短轴端点与焦点间的距离等于5，一条准线的方程是椭圆的方程为___________________。
2、(1)上有一点P到右焦点的距离为1，则P的坐标为_______；(2)AB A、B的横坐标之和为-7，。
3、椭圆的中心在原点，一个焦点为F（0，6），中心到准线的距离为10，则椭圆方程为＿＿＿。
4、椭圆的中心在原点，短轴端点到焦点的距离是6，一条准线方程是y=9，则椭圆方程为_____________.5、b= 。
6、(1)y2=1上点P到右焦点F P到左准线的距离为______；(2)1：3，则这点到左、右准线的距离分别为_______________。
7、(1)中心在原点，长半轴长与短半轴长的和为0.6的椭圆的方程为________；(2)对称轴是坐标轴,(2，0)的椭圆的方程是_______。
8、(1)短轴长为6，且过点(1，4)的椭圆标准方程是__________；(2)顶点(-6，0)，(6，0)过点(3，3)的椭圆方程是__________。
9、的焦距为4，则这个椭圆的焦点在_____轴上，坐标是_____。
10、m= 。
11、一个椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为36，一条准线为x=3，则该椭圆的方程是＿＿＿＿.12、椭圆的一个焦点和短轴两端点连成三角形，这个三角形有一个角为120°，则该椭圆的离心率为＿＿＿＿.13、椭圆的准线间的距离是焦距的2倍，则它的离心率为＿＿＿＿。
14、椭圆的长、短轴都在坐标轴上，长、短轴的长度之和为36，离心率为53，则椭圆方程为＿＿＿＿＿。
15、椭圆的中心在原点，一个顶点为(2,0)且短轴长等于焦距则椭圆的方程为＿＿＿。
16、椭圆13610022=+y x 上一点M 到左、右焦点的距离之比为1：3，则点M 到左准线的距离为＿＿＿。
(完整版)椭圆离心率高考练习题
椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C． D．4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A． B．C． D．5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B．C．D．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C．D．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．或10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C． D．一l14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A． B． C．D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A．B．C． D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B． C． D．﹣120．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6D．9﹣623．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，]B．（0，]C．[，1）D．[，]25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A． B． C．D．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B 在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C． D．参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e ＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b ，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A ．B ．C ．D ．解解：∵表示焦点在x 轴上且离心率小于，答：∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．解解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，答：F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]故选：A4．斜率为的直线l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：两个交点横坐标是﹣c，c所以两个交点分别为（﹣c ，﹣c）（c ，c）代入椭圆=1两边乘2a2b2则c2（2b2+a2）=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0=2，或∵0＜e＜1所以e==故选A5．设椭圆C ：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解解：设|PF2|=x，答：∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选A．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I ，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A ．B ．C ．D ．解答：解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为 G （，），∵，∴IG∥x轴，∴I 的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴=•|F1F2|•|y0|又∵I为△F1PF2的内心，∴I 的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||∴•|F1F2|•|y0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率e==故选A7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又 m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A ．B．2﹣C．2（2﹣）D ．解解：如图，答：在Rt△MF1F2中，∠MF2F1=60°，F1F2=2c∴MF2=4c，MF1=2 cMF1+MF2=4c+2c=2a⇒e==2﹣，故选B．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P 满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．或解答：解：∵椭圆C上的点P 满足，∴|PF1|==3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．∴椭圆C的离心率e 的取值范围是．故选：C．10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是 e ∈．故选A．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C ．D ．解答：解：设P（asinα，bcosα），A1（﹣a，0），A2（a，0）；∴，；∴；∴；∴，a，c＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．13．椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F 关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．一l解：设F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A（m，n），则解答：，∴m=，n=c，代入椭圆方程可得，化简可得e4﹣8e2+4=0，∴e=﹣1，故选：D．14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：F 1，F 2分别为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），（c ＞0），P 为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|， 可得2c=2，即ac=b 2=a 2﹣c 2．可得e 2+e ﹣1=0． 解得e=．故选：D ． 15．已知椭圆（a ＞b ＞0）的两焦点分别是F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于P ，Q 两点，若|PF 2|=|F 1F 2|，且2|PF 1|=3|QF 1|，则椭圆的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．解答： 解：由题意作图如右图，l 1，l 2是椭圆的准线，设点Q （x 0，y 0），∵2|PF 1|=3|QF 1|，∴点P （﹣c ﹣x 0，﹣y 0）； 又∵|PF 1|=|MP|，|QF 1|=|QA|， ∴2|MP|=3|QA|， 又∵|MP|=﹣c ﹣x 0+，|QA|=x 0+，∴3（x 0+）=2（﹣c ﹣x 0+），解得，x 0=﹣，∵|PF 2|=|F 1F 2|， ∴（c+x 0+）=2c ； 将x 0=﹣代入化简可得，3a 2+5c 2﹣8ac=0， 即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A．16．已知椭圆C ：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y 轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，在Rt△OMF2中，∴∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，|AF2|=c，|AF1|=c．∴2a=c+c，∴=﹣1．故选：C．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A ．B ．C ．D ．解答：解：∵|MF1|=|MO|=|MF2|，由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|，即|MF2|=a，|MF1|=a，在△F1OM中，|F1O|=c，|F1M|=a，|OM|=a，则cos∠MOF1==，在△OF2M中，|F2O|=c，|M0|=|F2M|=a，则cos∠MOF2==，由∠MOF1=180°﹣∠MOF2得：cos∠MOF1+co s∠MOF2=0，即为+=0，整理得：3c2﹣2a2=0，即=，即e2=，即有e=．故选：D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）解答：解：由已知P （，y），得F1P的中点Q 的坐标为（），∴，∵，∴y2=2b2﹣，∴y2=（a2﹣c2）（3﹣）＞0，∴3﹣＞0，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：C．19．点F 为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．﹣1解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得直线OP的斜率为k=tan60°=，∴点P坐标为：（c ，c），代人椭圆的标准方程，得，∴b2c2+3a2c2=4a2b2，∴e=．故选：D．20．已知椭圆C ：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O 的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]解答：解：如图所示，连接OE，OF，OM，∵△MEF为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆C的离心率e==．又e＜1．∴椭圆C 的离心率的取值范围是．故选：C．21．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）解答：解：如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．故选：A．22．设F1、F2为椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6D．9﹣6解答：解：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（）2a2，即有c2=（9﹣6）a2，即有e2==9﹣6．故选D．23．直线y=kx与椭圆C ：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）解答：解：设F2是椭圆的右焦点．∵•=0，∴BF⊥AF，∵O点为AB的中点，OF=OF2．∴四边形AFBF2是平行四边形，∴四边形AFBF2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccosθ，BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csinθ=2a，∴e=，sinθ+cosθ=，∵θ∈（0，]，∴∈，∴∈．∴∈，∴e ∈．故选：D．24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，]B．（0，]C．[，1）D．[，]解答：解：设P（x0，y0），则2c2==（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=+，化为．又，∴=，∵，∴，∵b2=a2﹣c2，∴，∴．故选：A．25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：设P（x0，y0），则，∴=．∵，∴（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=c2，化为=c2，∴=2c2，化为=，∵，∴0≤≤a2，解得．故选：D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a 有最小值，对应的离心率e 有最大值，故选C．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B 在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k ＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）解解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，答：∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k ＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B 使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP 中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，∴|OP|==2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即，∴，又0＜e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1），故选：A．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．。
(完整版)椭圆练习题(含答案)
解析几何——椭圆精炼专题一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5． 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ）A ． 22B ． 2C ． 2D ． 16．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x 7． 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A ． 相同的短轴 B ． 相同的焦点 C ． 相同的离心率 D ． 相同的长轴8．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ） A ．9 B ．12 C ．10 D ．89．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍10．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ） A ．01223=-+y x B ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．1012．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）13．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = ． 14．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为 ． 15．直线y =x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为 ．16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C ，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程．18．椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．19．点P 到定点F （2，0）的距离和它到定直线x =8的距离的比为1：2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．20．中心在原点，一焦点为F 1（0，52）的椭圆被直线y =3x －2截得的弦的中点横坐标是21，求此椭圆的方程．21.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程22．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点．（1）求2211b a +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．椭圆练习题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDDABD13、3或316 14、 4 ， 1 15、5382 16、121425422=+yx17、3)(x 15922±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，椭圆的标准方程为： ；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为： ；19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x-2)2-y 2,d=|x-8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x-2)2-y 2 |x-8| = 12 .化简，得3x 2+4y 2=48,整理，得x 216 +y 212=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。
新高考高三二轮总复习文科数学习题汇编---椭圆Word版含解析
新高考高三二轮总复习文科数学习题汇编课 时 跟 踪 检 测[基 础 达 标]1．(2017届四川遂宁模拟)椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值是( ) A ．6或2 B ．5 C ．1或9D ．3或5解析：由题意，得c ＝1，当椭圆的焦点在x 轴上时，由m －4＝1，解得m ＝5；当椭圆的焦点在y 轴上时，由4－m ＝1，解得m ＝3，所以m 的值是3或5.答案：D2．一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1D.x 216＋y 24＝1解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点(2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，ca ＝12.又c 2＝a 2－b 2，联立解得a 2＝8，b 2＝6.∴椭圆的方程为x 28＋y 26＝1. 答案：A3．设椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2是直角三角形，则△PF 1F 2的面积为( )A ．3B ．3或32 C.32D ．6或3解析：由已知a ＝2，b ＝3，c ＝1，则点P 为短轴顶点(0，3)时，∠F 1PF 2＝π3，△PF 1F 2是正三角形，若△PF 1F 2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P ，只能是焦点F 1(或F 2)为直角顶点，此时|PF 1|＝b 2a ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫或|PF 2|＝b 2a ，S △PF 1F 2＝12·b 2a ·2c ＝b 2c a ＝32. 答案：C4．(2017届南宁二模)若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.24解析：依题意可知c ＝b, 而a ＝b 2＋c 2＝2c ，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝22.故选C.答案：C5．(2018届临汾模拟)已知方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(－1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1 解析：由x 22＋m －y 2m ＋1＝1转化成标准方程x 22＋m ＋y 2－(m ＋1)＝1.假设焦点在x 轴上，则2＋m ＞－(m ＋1)＞0， 解得－32＜m ＜－1，当焦点在y 轴上，则－(m ＋1)＞2＋m ＞0， 解得－2＜m ＜－32，综上可知，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1.答案：D6．(2018届包头模拟)一个圆经过椭圆x 24＋y 2＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254 解析：椭圆x 24＋y 2＝1的顶点坐标为(±2,0)，(0，±1)，∵圆的圆心在x 轴的正半轴上，且圆经过椭圆x 24＋y 2＝1的三个顶点，则圆经过(2,0)，(0，－1)，(0,1)，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，则⎩⎨⎧(2－a )2＝r 2，a 2＋1＝r 2，解得a ＝34，r ＝54. ∴圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.答案：C7．(2017届虎林市模拟)以O 为中心，F 1，F 2为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|，则该椭圆的离心率为( )A.22B.33C.63D.24解析：延长MO 与椭圆交于N ，∵MN 与F 1F 2互相平分，∴四边形MF 1NF 2是平行四边形．∵平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，∴|MN →|2＋|F 1F 2→|2＝|MF 1→|2＋|MF 2→|2＋|NF 1→|2＋|NF 2→|2，∵|MF 1→|＋|MF 2→|＝2|MF 2→|＋|MF 2→|＝3|MF 2→|＝2a ，|NF 1→|＝|MF 2→|＝23a ，|NF 2→|＝|MF 1→|＝43a ，|F 1F 2→|＝2c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2＋(2c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2，∴c 2a 2＝23，∴e ＝23＝63.故选C.答案：C8.(2018届玉林模拟)如图所示，一个圆乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米，球桶的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切(球筒和乒乓球厚度均忽略不计)，一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )A.15B.154C.265D.14解析：不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a ＞b ＞0)， 由题意得⎩⎨⎧2a ＝20－4，b ＝2，解得a＝8，b＝2，c＝64－4＝215，∴该椭圆的离心率为e＝ca＝2158＝154.答案：B9．(2017届湖北优质高中联考)若n是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋y2 n＝1的离心率是________．解析：由n2＝2×8，得n＝±4，当n＝4时，曲线为椭圆，其离心率为e＝4－1 2＝32；当n＝－4时，曲线为双曲线，其离心率为e＝4＋11＝ 5.答案：32或 510．(2018届中卫模拟)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点M到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆C的标准方程是________________．解析：根据题意，椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，其焦点在x轴上，又由其上任意一点M到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则有2a＝4,2c ＝2，即a＝2，c＝1，则有b2＝a2－c2＝3，则椭圆的方程为x24＋y23＝1.答案：x24＋y23＝111．(2017届西安一模)已知△ABC的顶点A(－3,0)和顶点B(3,0)，顶点C在椭圆x225＋y216＝1上，则5sin Csin A＋sin B＝________.解析：由椭圆x225＋y216＝1，长轴长为10，短轴长为8，焦距为6，则顶点A，B为椭圆的两个焦点，三角形ABC中，边长a＝|BC|，边长b＝|AC|，边长c＝|AB|＝6，a＋b＝|BC|＋|AC|＝10，由正弦定理可知asin A＝bsin B＝csin C＝2R，则sin A＝a2R，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，所以5sin C sin A ＋sin B ＝5ca ＋b＝5×610＝3.答案：312．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程． 解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3c2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.① 又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.[能 力 提 升]1．(2017届西宁模拟)设F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|PF 1→＋PF 2→|＝23，则∠F 1PF 2＝( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：因为PF 1→＋PF 2→＝2PO →，O 为坐标原点，|PF 1→＋PF 2|＝23，所以|PO |＝3，又|OF 1|＝|OF 2|＝3，所以P ，F 1，F 2在以点O 为圆心的圆上，且F 1F 2为直径，所以∠F 1PF 2＝π2.答案：D2．(2018届长郡模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与圆D ：x 2＋y 2－2ax ＋316a 2＝0交于A ，B 两点，若四边形OADB (O 为原点)是菱形，则椭圆C 的离心率为( )A.13B.12C.32D.62解析：由已知可得圆D ：(x －a )2＋y 2＝1316a 2，圆心D (a,0)，则菱形OADB 对角线的交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，将x ＝a 2，代入圆D 的方程得y ＝±3a 4，不妨设点A在x 轴上方，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，3a 4，代入椭圆C 的方程可得14＋9a 216b 2＝1，所以34a 2＝b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2c ，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12.答案：B3．(2017届广东一模)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________．解析：由点P(x0，y0)满足0<x202＋y2<1，得出点P在椭圆内部，且与原点不重合，∵当点P在椭圆上时|PF1|＋|PF2|最大，最大值为2a＝22，而点P在椭圆内部，∴|PF1|＋|PF2|<2 2.∵当点P在线段F1F2上除原点时，|PF1|＋|PF2|最小，最小值为2，∴|PF1|＋|PF2|≥2，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为[2,22)．答案：[2,22)4．(2017届衡水金卷二模)若以椭圆x24＋y23＝1的右顶点为圆心的圆与直线x＋3y＋2＝0相切，则该圆的标准方程是________．解析：椭圆x24＋y23＝1的右顶点(2,0)，则圆心(2,0)，设圆心到直线x＋3y＋2＝0的距离为d，则d＝|2×1＋3×0＋2|12＋(3)2＝2，∴该圆的标准方程的方程(x－2)2＋y2＝4.答案：(x－2)2＋y2＝45．(2018届上海模拟)已知椭圆x2＋y2b2＝1(0<b<1)，其左，右焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝2c，若此椭圆上存在点P，使P到直线x＝1c的距离是|PF1|与|PF2|的等差中项，则b的最大值为________．解析：设P(x，y)，则因为椭圆上存在点P，使P到直线x＝1c的距离是|PF1|与|PF2|的等差中项，所以|PF1|＋|PF2|＝21c－x＝2a.所以x＝1c－a.∴－a≤1c－a≤a，∴1c≤2a＝2，∴c≥12，∴1－b2≥14.∵0<b<1，∴0<b≤32，所以b的最大值为32.答案：3 2。
完整word版椭圆综合测试题含标准答案
一、选择题： （本大题共 12 小题，每题5 分，共 60 分）1．离心率为 2，长轴长为 6 的椭圆的标准方程是（）3x2y 2x2y2x2y21（ A ）1（ B ）1或99 59 5 5 x 2y 2x 2 y 2 x 2y 2 1（ C ）1（D ）1 或36 20362020362. 动点 P 到两个定点 F 1 （ - 4 ， 0） . F 2 （ 4， 0）的距离之和为 8，则 P 点的轨迹为（）A. 椭圆B. 线段 F 1 F 2C. 直线 F 1 F 2D.不可以确立3.已知椭圆的标准方程x 2y 2 1，则椭圆的焦点坐标为（ ）10A. ( 10,0)B. (0,10) C. (0, 3) D. (3,0)4.已知椭圆x 2 y 2 1上一点 P 到椭圆的一焦点的距离为3，则 P 到另一焦点的距离是（）59A. 2 5 35.假如x 2y 2 1表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（）a 2 a2A. ( 2, )B.2, 1 2,C. ( , 1)(2,) D. 随意实数 R6.对于曲线的对称性的阐述正确的选项是（）A. 方程 x 2xy y 20 的曲线对于 X 轴对称B. 方程 x3y30 的曲线对于 Y 轴对称C.方程 x 2xy y 210 的曲线对于原点对称D. 方程 x 3y 38 的曲线对于原点对称x2y21（ a ＞ b ＞ 0,k ＞ 0 且 k ≠ 1) 与方程x2y2 1（ a ＞b ＞ 0)表示的椭圆 （）.7.方程2kb 2 a 2 b2kaA. 有同样的离心率；B.有共同的焦点；C.有等长的短轴 .长轴；D. 有同样的极点 .8. 已知椭圆x 2 y 2＞ ＞ 3 ，过右焦点 F 且斜率为 k( k ＞0) 的直线与 C C : 20)的离心率为2 1(a bab uuuruuur 2订交于 A 、B 两点．若 AF3FB ，则 k()（ A ） 1（ B ） 2 （ C ） 3 （ D ） 29 . 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( )43 2 1A.5B.5C.5D.510. 若点 O 和点 F 分别为椭圆x2y 2uuur uuur1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的随意一点，则 OP FP43的最大值为 ( )A ． 2B ． 3C ． 6D ． 8x 2y 21 a ＞ b ＞0 的右焦点为 F ，其右准线与x 轴的交点为 A ．在椭圆上存在点P 满11.椭圆b2a 2足线段 AP 的垂直均分线过点 F ，则椭圆离心率的取值范围是()（ A ）（ 0， 2 ] （B ）（ 0， 1]（ C ）[ 2 1 ， 1） （ D ） [ 1， 1）22212.若直线 yx b 与曲线 y34x x 2 有公共点，则 b 的取值范围是 ()A.[ 1 2 2 ,1 22 ]B.[ 12 ,3]C.[-1, 1 2 2 ]D.[ 1 2 2 ,3]二、填空题： （本大题共 4 小题，共 16 分 .）13 若一个椭圆长轴的长度 . 短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是14 椭圆x 2y 212 的连线的夹角为直角，则1 2 的面积1 上一点 P 与椭圆两焦点F , FRt △ PF F49 24为 .15已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延伸线交 C 于点 D ， 且BF 2 F D ，则 C 的离心率为.16x 2 y 2x 022已知椭圆 c :1的两焦点为 F 1 , F 2 ,点 P( x 0 , y 0 ) 知足 0 y 0 1 ,则 | PF 1 |+ PF 2 |的22取值范围为 _______。
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1
2 3 3 y y F1P F A2 y 2 2 近年高考题 椭圆部分选编卷一 1. 已知椭圆 x 2 1，长轴在 y 轴上. 若焦距为4 ，则m 等于 （ ） 10 m m 2 A、4 B、5 C、7 D、8 2. 设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2 ，过 F1 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ，若F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A 、 2 2 B 、 2 1 2 x 2 2 C、2 D、 1 3. 已知△ ABC 的顶点 B, C 在椭圆 y 3 1上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦 点在 BC 边上，则△ ABC 的周长是（ ） A、2 B、6 C、4 D、12 4. 曲线 x2 10 m y2 1(m 6) 与曲线 6 m x 2 5 n y 2 9 n 1(5 n 9) 的（ ） A、焦距相等 B、离心率相等 C、焦点相同 D、准线相同 5. 已知椭圆 E : x a2 2 1(a b 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点.若 AB 的 b2 中点坐标为(1, 1) ,则 E 的方程为 （ ） x2 y2 A． x2 y2 B． x2 y2 C． x2 y2 D． 45 36 6 C : x2 y2 1 36 27 27 18 F 18 9 F C . P ．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 4 3 1 2 ，椭圆 上点 A 满足 AF2 F1F2 若点 是椭 圆C 上的动点，则 的最大值为 （ ） A. 3 B. 3 3 C. 9 D. 15 2 2 4 4 x2 y 3a 7. 设 F1F2 是椭圆 E : 2 1(a b 0) 的左、右焦点, P 为直线 x 上一点, F PF 是底角为30a b 2 的等腰三角形,则 E 的离心率为 （ ） A. 1 2 B. 2 3 C. D. 8. 椭圆 x 2 1的左焦点为 F ,直线 x m 与椭圆相交于点 A 、 B ,当FAB 的周长最大时, FAB4 3 2
1 1 1 1
2 1
2
2
2
2
的面积是 .
3
3
y
x2 y
2
9．椭圆 :
a2 b
2
1(a b 0) 的左.右焦点分别为 F1 , F2 ,焦距为 2c,若直线 y 3(x c) 与椭圆 的
一个交点 M 满足MF1F2 2MF2 F1 ,则该椭圆的离心率等于
x2 y
2
10.
椭圆
a2 b
2
1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A、B，左、右焦点分别是 F1，F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|
成等比数列,则此椭圆的离心率为 .
11.
设 AB 是椭圆 的长轴,点 C 在 上,且CBA ,若 AB=4,
BC
4
,则 的两个焦点之间的距
离为 .
12.
已知正方形 ABCD ，则以 A，B 为焦点，且过C，D 两点的椭圆的离心率为 ；
13.
在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC 的顶点 A(4，0) 和C(4，0) ，顶点 B 在椭圆 x
y
2
1 上，
则sin A sin C ；
sin B
25 9
14.
已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F (－2 ，0)，且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标
准方程是
。
15.
如图把椭圆 x
2
1 的长轴 AB 分成 8 分，过每个分点作 x 轴的垂线
25 16
交椭圆的上半部分于 P1 , P2 ,…… P7 七个点， F 是椭圆的一个焦点，则
P1F P2 F
...... P7 F
．
二、解答题
1． 已知椭圆G: x2 y2 1 ( a b 0 ) 的离心率为 1 ，过椭圆G 右焦点 的
a2 b2
2
F
直线m : x 1 与椭圆G 交于点 M （点 M 在第一象限）.
（Ⅰ）求椭圆G 的方程；
（Ⅱ）已知 A 为椭圆G 的左顶点，平行于 AM 的直线l 与椭圆相交于 B ， C 两点. 请
判断直线MB ， MC 是否关于直线m 对称，并说明理由.
2
2
2
4
10
x2 y2
3 3
2．已知椭圆C : a2 b2 1 (a b 0) 经过点
(1,
)
，离心率为 ．
2 2
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）直线 y k (x 1) (k 0) 与椭圆C 交于 A, B 两点，点 M 是椭圆C 的右顶点．直线 AM 与直线
BM
分别与 y 轴交于点 P,Q ，试问以线段 PQ 为直径的圆是否过 x 轴上的定点？若是，求出定点
坐标；
若不是，说明理由．
x2 y
2
1
3．椭圆 C： a2 + b2 1 (a＞b＞0)的离心率为 2 ，其左焦点到点 P(2，1)的距离为 ．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线l : y kx m 与椭圆C 相交于 A ， B 两点（ A，B 不是左右顶点），且以 AB 为直径的
圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．