第三节二阶系统的时域响应

第三节二阶系统的时域响应⏹二阶系统的数学模型

⏹二阶系统的单位阶跃响应

⏹二阶系统单位阶跃信号的性能指标

⏹二阶系统的动态校正

第三节二阶系统的时域响应

定义：

由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。例一

2

2

()()()()c c c r d u t du t LC RC u t u t dt dt

++=Ｒ-L-C 电路

2

()1()()1

c r U s G s U s LCs RCs ==++

例二：

2

2

()()()()c c c r d t d t J F K t K t dt dt θθθθ++=()()2

c r s K

s Js FS K

θθ=++

将传递函数转换为：

2

2

2

2/()2n

n n K J

s F K s s s s J J

ωζωωΦ==++++n K

J

ω=

——系统的无阻尼自然振荡角频率式中：

112F KJ

ζ=——系统的阻尼比。

一. 二阶系统数学模型

1.二阶系统的微分方程一般式为：

ζ-阻尼比

n ω-无阻尼振荡频率

2

22

2

()()2()()n n n d c t dc t c t r t dt dt

ζωωω++=(0)

n ω>

22

2

()

()()2n

n n

C s s R s s s ω

ζωω=Φ=++2

()(2)

n

n G s s s ω

ζω=

+3.二阶系统传递函数标准形式：

开环：闭环：2. 二阶系统的标准形式结构图：

)2(2n n

s s ξωω+)

(s R )

(s C 2(2)n n s s ωξω+

二阶系统的特征方程为

2

220

n n

s s ζωω++=解方程求得特征根：当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：

12012()s t s t

c t A A e A e

=++式中为由r(t)和初始条件确定的待定的系数。

012,,A A A s 1,s 2完全取决于，ωn 两个参数。

ζ2

1,21

n n s ζωωζ=-±-二、二阶系统的单位阶跃响应

1．欠阻尼（）的情况

01ζ<<2

1(1)n

s j ζζω=---2

2(1)n

s j ζζω=-+-[]

(

)

()1

2

2

2()()11sin

1111sin , 0

1n n t

n t

d c t L

C s e t e

t t ξωξωζωβ

ξωβξ

---==--+-=-

+≥-特征方程的根为：

系统输出响应为：

2

1arctan

ζ

βζ

-=

2

1 d

n

ωζω

=-

式中

称阻尼振荡角频率，

或振荡角频率；

二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分组成。

稳态分量值等于1，暂态分量为衰减过程，振荡频率为ωd。

2．无阻尼（）的情况

12, s n n

s j j ωω==-()1cos n c t t

ω=-C(t)

特征方程式的根为：

系统的输出响应为：

0ζ=

3．临界阻尼（）的情况

1,2n

s ω=-22

()()

n

n C s s s ω

ω=

+()1(1), 0

n t

n c t e

t t ωω-=-+≥C(t)

系统的特征方程式的根为：

1ζ=

22

1

01212(1)(1)222()[()]11 02111n

n t t A A A c t L C s s s s s s e e

t ζζωζζωζζζζζ-----+-⎡⎤

==++⎢⎥

--⎣⎦

⎛⎫ ⎪=--≥ ⎪---+-⎝⎭

，1ζ>4．过阻尼（

）的情况

系统的特征根为：

2

1(1)n

s ζζω=---2

2(1)n

s ζζω=-+-

过阻尼系统分析

⏹衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢；

⏹衰减项前的系数一个大，一个小；

⏹二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调，但又不同于一阶系统；

⏹离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。

过阻尼系统单位阶跃响应

t

c(t)

过阻尼

临界阻尼