高三数学两直线的位置关系复习教案
直线与椭圆的位置关系+教案-2024届高三数学二轮复习
直线与椭圆的位置关系教案高三数学二轮复习专题教学目标：1.通过数形结合与代数运算弄清直线与椭圆位置关系的判断方法。
2.掌握直线与与椭圆相交、相离、相切时各自特点与相关题型。
3.掌握解决直线与椭圆综合问题的方法（联立设而不求用韦达定理解参数，重运算、巧设、巧算、巧解、特殊情况）高考中直线与圆锥曲线的综合应用压轴试题，具体表现为弦长与面积问题，最值与范围问题、定点与定值问题、存在性问题等。
教学方法：充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识，提升运算能力。
教学过程：一、复习回顾直线与椭圆的位置关系及其判断1.位置关系：相交、相切、相离2.判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程消元得到一元二次方程组(1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点；(2)△=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点；(3)△<0直线与椭圆相离无公共点．3.直线与椭圆相交时弦长公式设直线方程y ＝kx ＋m ，椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2=x x kx m kx m ⎡⎤-++-+⎣⎦221212（)()() ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 4.对于中点弦问题，常用的解题方法是点差法，步骤为： ①设点：即设出弦的两端点坐标；②代入：即代入椭圆方程；③作差：即两式相减，再用平方差公式展开；④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 二、题型设计及其讲解例 1.已知椭圆221259x y +=,直线l :45400x y -+=,椭圆上是否存在一点,到直线l 的距离最小?最小距离是多少?点拨分析：法一：数形结合、切线求解法二：椭圆上设点，运用点到直线的距离公式强调运算法三：运用椭圆的参数方程思考：最大距离为多少？例2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3 。
高三数学教案：空间点、直线、平面之间的位置关系(3课时)
第一课时 2.1.1 平面教学要求：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性；准确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解能够作为推理依据的三条公理.教学重点：理解三条公理，能用三种语言分别表示.教学难点：理解三条公理.教学过程：一、复习准备：2. 举例：生活中哪些物体给我们以平面的形象？二、讲授新课：1. 教学平面的概念及表示：① 平面的概念： A.描绘性说明； B.平面是无限伸展的；理解两点：无限好比在平面上画直线；一个平面把空间分成两局部。
② 平面的画法：A.任意角度观察桌面、黑板面，感到象什么？美术中如何画一张纸？B.画法：通常画平行四边形来表示平面。
（注意通常两字）水平平面：通常画成锐角成45°，横边等于邻边的两倍。
非水平平面：只要画成平行四边形。
直立的平面：一组对边为铅垂线。
相交的平面：一定要画出交线；遮住局部的线段画虚线或不画。
C.练习： 画一个平面、相交平面③ 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也能够用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。
④ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉.2. 教学公理1：①揭示公理1：假如一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线）②应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内③符号：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l ；直线l 的平面α内，记作l ⊂α。
④用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂3.教学公理2：①揭示公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
②理解：不在同一条直线上；一点、两点、三点、四点的情况；有且只有一个，等价于确定 ③实例：一扇门。
2014届高三数学一轮复习导学案：两直线的位置关系
三：课堂研讨
例1.已知直线 ：（3+m）x+4y=5-3m，直线 ：2x+（5+m）y=8，分别求 的值，使得 和 ⑴相交⑵垂直⑶平行；（4） 到 的距离相等.
例2.已知三条直线 ： ， ： ， ： ⑴若三条直线能围成一个三角形，求 的取值范围；⑵当 =-2时，求 关于 对称的直线方程。
2.直线 在两轴上的截距相等，则
3、.与 平行的直线方程可设为，
与 垂直的直线方程可设为.
4.经过 ： ， ： 的交点的直线方程可设为，其中不含直线.
5.已知：过点A（-2， ），B（ ，4）的直线与直线 ，若平行，则 =，若垂直， =.
6.两直线 ， 之间的距离 =.
7.已知直线 ： 可看作是经过两直线和的交点的直线系方程，所以直线 必过点，若 ，则直线 必定过点.
②过点 且与直线 垂直的直线方程为______________.
③经过 与 的交点，且与直线 平行的直线方程为_____________.
④设 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，且 ，则
２.若 ： 与 的交点在第一象限，则 的倾斜角的范围为____________.
3.已知两点Ｏ（０，０）、Ａ（４，-1）到直线 的距离相等，则 可取的不同的数值共有_________个.
4.已知正方形中心为点（-1，0），一条边所在的直线方程 ： ，求其它三边所在直线方程.
课外作业——两直线的位置关系姓名：
1.在ΔABC中， ，则直线 与 的位置关系为_______________.
2.已知梯形两底边所在直线为 ， ，则 =，= ，B= ，若 ，则 =________.
4.已知n条直线l1：x－y+C1=0，C1= ，l2：x－y+C2=0，l3：x－y+C3=0，…，ln：x－y+Cn=0（其中C1＜C2＜C3＜…＜Cn），这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n.
8.2两条直线的位置关系及点到直线的距离
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课时作业
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3．有关距离 (1)两点间的距离 平面上两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝
x2－x12＋y2－y12
(2)点到直线的距离
.
平面上一点 P(x0，y0)到一条直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离
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可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0， x1≠x2)． ②直线关于直线的对称 此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决．若已知直 线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求 出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点 及点P2的直线就是l2；若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称 的直线和l1到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间 的距离，即可求出l1的对称直线．
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(2)轴对称 ①点关于直线的对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对 称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直 于对称轴l，由方程组
x ＋x y ＋y 1 2 2 1 A ＋ B 2 2 ＋C＝0， A y2－y1 － ＝－1. · x2－x1 B
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2015届高三数学(文)第一轮总复习课件 第53讲 两直线的位置关系与对称问题
即 m＝4，n≠－2 时，或 m＝－4，n≠2 时，l1∥l2. (2)当且仅当 m· 2＋8· m＝0，即 m＝0 时，l1⊥l2. n 又－ ＝－1，所以 n＝8， 8 即 m＝0，n＝8 时，l1⊥l2 且 l1 在 y 轴上的截距为－1.
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文数
二
有关距离问题
【例 2】已知点 P(2，－1)． (1)求过点 P 且与原点距离为 2 的直线 l 的方程； (2)求过点 P 且与原点距离最大的直线 l 的方程，最大距离
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文数
4．已知点(x0，y0)在直线 ax＋by＝0(a，b 为常数)上， 则 x0－a2＋y0－b2的最小值为 .
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文数
解析： x0－a2＋y0－b2 可看作点(x0，y0)与点(a，b)的 距离，而点(x0，y0)在直线ax＋by＝0上，所以 x0－a2＋y0－b2 的最小值为点(a，b)到直线ax＋by＝0的距 a2＋b2 2 2 离，为 2 ＝ a ＋ b . 2 a ＋b
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文数
三
两直线的交点问题
【例 3】求经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0
的交点 P，且与直线 l3：3x－4y＋5＝0 垂直的直线 l 的方程．
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文数
x－2y＋4＝0 x＝0 解析：(方法一)由方程组 ，解得 ， x＋y－2＝0 y＝2
即 P(0,2)． 4 因为 l⊥l3，所以 kl＝－ ， 3 4 所以直线 l 的方程为 y－2＝－ x，即 4x＋3y－6＝0. 3
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文数
(2)数形结合可得，过点 P 且与原点 O 距离最大的直线是过 点 P 且与 PO 垂直的直线． 1 由 l⊥OP，得 klkOP＝－1，所以 kl＝－ ＝2. kOP 由直线方程的点斜式得直线 l 的方程为 y＋1＝2(x－2)， 即 2x－y－5＝0， 即直线 2x－y－5＝0 是过点 P 且与原点 O 距离最大的直线， |－5| 最大距离为 ＝ 5. 5
苏教版高三数学复习课件11.4直线与平面的位置关系
去．在高考中，空间三种垂直关系的转化始终是立体几何考查的重点．
【应试对策】
1．对线面平行、面面平行的认识一般按“定义——判定定理——性质定理——应用”
的顺序进行，其中定义的条件和结论是相互等价的，它既可以作为判定线面平 行和面面平行的方法，又可以作为线面平行和面面平行的性质来应用． 2．应用线面平行的判定定理证明线面平行，关键是找到平面内与平面外直线平行 的直线．应用线面平行的性质定理解题的关键是利用已知条件作辅助平面，然 后把已知中的线面平行转化为直线和交线平行．
【规律方法总结】
1．空间直线和平面的位置关系：直线在平面内，直线和平面平行，直 线和平面相交．了解空间直线和平面位置关系的画法，掌握它们的特征， 即直线在平面内——有无数个公共点，直线和平面平行——无公共点，直线 和平面相交——有且只有一个公共点．
2．直线和平面平行时，直线和平面没有公共点，直线与平面内的直线
4．直线与平面垂直
.
互相垂直
(1)直线与平面垂直的定义
如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直
垂线
线a与平面
垂面
垂足
α
，记作a⊥α，
(2)直线与平面垂直的判定定理
相交直线 如果一条直线和一个平面内的两条
都垂直，那么这条直线垂
直于这个平面． (3)直线与平面垂直的性质定理
正方体
＝
性质知，BB1⊥面AC，AO⊂面AC，∴AO⊥BB1.∴AO⊥平面BB1D1.而AO
a，
∴A到平面BB1D1的距离为
a.∵AA1∥平面BB1D1，
判定直线与平面平行，主要有三种方法： (1)利用定义(常用反证法)．(2)利用判定定理：关键是找平面内与已知直 线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线， 常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交 线．(3)利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任 一直线平行于另一平面．
辽宁省沈阳市第二十一中学高三数学总复习课件 两条直线的位置关系、点到直线的距离
(2)点到直线的距离 点 P(x1，y1)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝ |Ax1＋By1＋C|
A2＋B2 . (3)两条平行线间的距离 两条平行线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝0 间的距离
|C1－C2| d＝ A2＋B2 .
第九页，编辑于星期日：二十点 五十五分。
第四十五页，编辑于星期日：二十点 五十五分。
[规律总结] 1.在对称问题中，点关于直线对称是最基 本也是最重要的对称，处理此类问题要抓住两点：(1)已知 点与对称点的连线与对称轴垂直；(2)已知点与对称点的中 点在对称轴上．另外要注意直线关于直线的对称问题可转 化为点关于直线对称来处理．
第四十六页，编辑于星期日：二十点 五十五分。
第四十一页，编辑于星期日：二十点 五十五分。
[解] (1)设A′(x，y)，再由已知得 yx＋ ＋21×23＝－1， 2×x－2 1－3×y－2 2＋1＝0，
解得xy＝ ＝－14331，33，
∴A′(－3133，143)．
第四十二页，编辑于星期日：二十点 五十五分。
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)， 则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上． 设对称点为M′(a，b)，则 2×a＋2 2－3×b＋2 0＋1＝0， ba－ －02×23＝－1， 解得M′(163，3103)．
[规律总结] (1)注意讨论斜率不存在的情况． (2)数形结合是解决解析几何问题特别要注意的一种思 想方法．
第三十七页，编辑于星期日：二十点 五十五分。
变式训练2 已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)到直 线l的距离为 2，求直线l的方程．
第三十八页，编辑于星期日：二十点 五十五分。
2020届高三理数一轮讲义：9.2-两直线的位置关系(含答案)
第2节 两直线的位置关系最新考纲 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知 识 梳 理1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行. (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应. 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解. 3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.[微点提醒]1.两直线平行的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).2.两直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()解析(1)两直线l1，l2有可能重合.(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(必修2P114A10改编)两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为()A.235 B.2310 C.7 D.72解析由题意知a＝6，直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72.答案 D3.(必修2P89练习2改编)已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y ＋1＝0，则m＝________.解析由题意知m－4－2－m＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.答案 14.(2019·郑州调研)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝()A.2B.－3C.2或－3D.－2或－3解析直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有2m＝m＋13≠4－2，故m＝2或－3.答案 C5.(2018·昆明诊断)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A.1B.2C. 2D.2 2解析圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.答案 C6.(2019·高安期中)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l 的方程是()A.6x －4y －3＝0B.3x －2y －3＝0C.2x ＋3y －2＝0D.2x ＋3y －1＝0解析 因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0.答案 A考点一 两直线的平行与垂直【例1】 (1)(2019·河北五校联考)直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 解析 (1)由l 1∥l 2得－m (m －1)＝1×(－2)，得m ＝2或m ＝－1，经验证，当m ＝－1时，直线l 1与l 2重合，舍去，所以“m ＝2”是“l 1∥l 2”的充要条件. (2)由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点.当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0分别平行时，m ＝23或－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23.答案 (1)C (2)D规律方法 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【训练1】 (一题多解)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)当l 1∥l 2时，求a 的值； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值.解 (1)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧－a2＝11－a ，－3≠－（a ＋1），解得a ＝－1. 综上可知，a ＝－1.法二 由l 1∥l 2知⎩⎨⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0，即⎩⎨⎧a （a －1）－1×2＝0，a （a 2－1）－1×6≠0⇒⎩⎨⎧a 2－a －2＝0，a （a 2－1）≠6⇒a ＝－1. (2)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合；当a ≠1时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23.法二 ∵l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23. 考点二 两直线的交点与距离问题【例2】 (1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________________.(2)(2019·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________.(3)(2019·厦门模拟)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________.解析 (1)先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1，2)， 再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53， 于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.(2)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10， 所以a 的取值范围是[0，10].(3)依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c 2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋（－2）2＝21313，解得c ＝2或－6.答案 (1)5x ＋3y －1＝0 (2)[0，10] (3)2或－6 规律方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.2.利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为相等.【训练2】 (1)(2019·贵阳监测)已知曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过点A (m ，n )，则点A 到直线x ＋y －3＝0的距离为________.(2)(一题多解)直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为________.解析 (1)由题意，可知曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过点(0，1)，所以A (0，1)，点A (0，1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|0＋1－3|2＝ 2.(2)法一 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13. ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)， 即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意.法二 当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1，4). ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.答案 (1)2 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 考点三 对称问题多维探究角度1 对称问题的求解【例3－1】 若点(a ，b )关于直线y ＝2x 的对称点在x 轴上，则a ，b 满足的条件为( ) A.4a ＋3b ＝0 B.3a ＋4b ＝0 C.2a ＋3b ＝0D.3a ＋2b ＝0解析 设点(a ，b )关于直线y ＝2x 的对称点为(t ，0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －t ×2＝－1，b ＋02＝2×a ＋t 2，解得4a ＋3b ＝0. 答案 A角度2 对称问题的应用【例3－2】 (一题多解)光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程. 解 法一 由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2.∴反射点M 的坐标为(－1，2).又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)， 由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，又Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋5＝－23，32（x 0－5）－y 0＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.法二 设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x＝－23， 又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x2－（y ＋y 0）＋7＝0. 可得P 点的横、纵坐标分别为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.规律方法 1.解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，且直线l 与直线MN 垂直.2.如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.3.若直线l 1，l 2关于直线l 对称，则有如下性质：(1)若直线l 1与l 2相交，则交点在直线l 上；(2)若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上. 【训练3】 已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________. 解析 A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线所在直线.点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上.设A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0，3).同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1). 所以BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0. 答案 2x －y ＋3＝[思维升华]1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1，l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题. [易错防范]1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.2.在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2时，一定要注意将两方程中x ，y的系数分别化为相同的形式.数学抽象——活用直线系方程1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.直线系方程的常见类型(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2).类型1相交直线系方程【例1】(一题多解)已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.解法一解l1与l2组成的方程组得到交点P(0，2)，因为k3＝34，所以直线l的斜率k＝－43，方程为y－2＝－43x，即4x＋3y－6＝0.法二设所求l的直线为：4x＋3y＋c＝0，由法一可知：P(0，2)，将其代入方程，得c＝－6，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.法三设所求直线l的方程为：x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.类型2平行直线系方程【例2】求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程.解设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠5)，由题意知，2×1＋3×(－4)＋c＝0，所以c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.【例3】已知直线l1与直线l2：x－3y＋6＝0平行，l1能和x轴、y轴围成面积为8的三角形，请求出直线l1的方程.解设直线l1的方程为：x－3y＋c＝0(c≠6)，则令y＝0，得x＝－c；令x＝0，得y＝c3，依照题意有：12×|－c|×⎪⎪⎪⎪⎪⎪c3＝8，c＝±4 3.所以l1的方程是：x－3y±43＝0.【例4】(一题多解)已知直线方程3x－4y＋7＝0，求与之平行而且在x轴、y轴上的截距和是1的直线l的方程.解法一设存在直线l：xa＋yb＝1，则a＋b＝1和－ba＝34组成的方程组的解为a＝4，b＝－3.故l的方程为：x4－y3＝1，即3x－4y－12＝0.法二根据平行直线系方程的内容可设直线l为：3x－4y＋c＝0(c≠7)，则直线l在两坐标轴上截距分别对应的是－c3，c4，由－c3＋c4＝1，知c＝－12.故直线l的方程为：3x－4y－12＝0.类型3垂直直线系方程【例5】求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.解因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.类型4直线系方程的应用【例6】已知三角形三边所在的直线方程分别为：2x－y＋4＝0，x＋y－7＝0，2x－7y－14＝0，求边2x－7y－14＝0上的高所在的直线方程.解设所求高所在的直线方程为2x－y＋4＋λ(x＋y－7)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－1)y＋(4－7λ)＝0，可得(2＋λ)×2＋(λ－1)×(－7)＝0，解得λ＝11 5，所以所求高所在的直线方程为7x＋2y－19＝0.【例7】求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B (5，7)等距离的直线方程.解 设所求直线方程为2x ＋7y －4＋λ(7x －21y －1)＝0，即(2＋7λ)x ＋(7－21λ)y ＋(－4－λ)＝0，由点A (－3，1)，B (5，7)到所求直线等距离，可得 |（2＋7λ）×（－3）＋（7－21λ）×1－4－λ|（2＋7λ）2＋（7－21λ）2＝|（2＋7λ）×5＋（7－21λ）×7－4－λ|（2＋7λ）2＋（7－21λ）2， 整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝2935或λ＝13，所以所求的直线方程为21x －28y －13＝0或x ＝1.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定 解析 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.答案 C2.已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( )A.2B.－2C.12D.－12解析 因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a 2＝－1，解得a ＝－2. 答案 B3.(一题多解)过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )A.19x －9y ＝0B.9x ＋19y ＝0C.19x －3y ＝0D.3x ＋19y ＝0解析 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为：y ＝37－197x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.法二 设直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，即(1＋2λ)x －(3－λ)y ＋4＋5λ＝0，又直线过点(0，0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，解得λ＝－45，故所求直线方程为3x ＋19y ＝0.答案 D4.从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A.x ＋2y －4＝0B.2x ＋y －1＝0C.x ＋6y －16＝0D.6x ＋y －8＝0 解析 由直线与向量a ＝(8，4)平行知，过点(2，3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y 轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式知A 正确. 答案 A5.(2019·运城二模)在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( ) A.102 B.10 C.5 D.10解析 由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴MP ⊥MQ ，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10.答案 D6.(2019·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A.7B.172C.14D.17解析 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172.答案 B7.已知坐标原点关于直线l 1：x －y ＋1＝0的对称点为A ，设直线l 2经过点A ，则当点B (2，－1)到直线l 2的距离最大时，直线l 2的方程为( )A.2x ＋3y ＋5＝0B.3x －2y ＋5＝0C.3x ＋2y ＋5＝0D.2x －3y ＋5＝0 解析 设A (x 0，y 0)，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x 02－y 02＋1＝0，y 0x 0＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝1，即A (－1，1).设点B (2，－1)到直线l 2的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值，此时直线l 2垂直于直线AB ，又－1k AB＝32，∴直线l 2的方程为y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0 . 答案 B8.一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是( )A. 2B.2C.3D.4解析 点(0，0)关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点为(－1，1)，则最短路程为（－1－1）2＋（1－1）2＝2.答案 B二、填空题9.(2018·郑州模拟)如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则a＝________.解析 ∵直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，即直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y －(a －7)＝0平行，∴a 3＝2a －1≠3a －（a －7），解得a ＝3.答案 310.(2019·安徽四校联考)已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.解析 设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －（－3）＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案 6x －y －6＝011.(一题多解)(2018·南昌模拟)已知点A (1，0)，B (3，0)，若直线y ＝kx ＋1上存在一点P ，满足PA ⊥PB ，则k 的取值范围是________.解析 法一 设P (x 0，kx 0＋1)，依题意可得k PA ·k PB ＝－1，即kx 0＋1x 0－1×kx 0＋1x 0－3＝－1，即(k 2＋1)x 20＋(2k －4)x 0＋4＝0，则Δ＝(2k －4)2－16(k 2＋1)≥0，化简得3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0. 法二 若直线y ＝kx ＋1上存在点P ，满足PA ⊥PB ，则直线y ＝kx ＋1与以AB 为直径的圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，故|2k ＋1|1＋k 2≤1，即3k 2＋4k ≤0，故－43≤k ≤0，k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0 三、解答题12.已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2，2).(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎨⎧2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2， 故直线经过的定点为M (2，－2).(2)证明 过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，即|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立.能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018·丹东二模)已知直线l 1：2x －y ＋3＝0，直线l 2：4x －2y －1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，若点M 同时满足下列条件：(1)点M 是第一象限的点；(2)点M 到l 1的距离是到l 2的距离的12；(3)点M 到l 1的距离与到l 3的距离之比是2∶ 5.则点M 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3718 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718 解析 设点M (x 0，y 0)，若点M 满足(2)，则|2x 0－y 0＋3|5＝12×|4x 0－2y 0－1|16＋4，故2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0，若点M (x 0，y 0)满足(3)，由点到直线的距离公式，得|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，故x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0，由于点M (x 0，y 0)在第一象限，故3x 0＋2＝0不符合题意，联立方程得⎩⎨⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝－3，y 0＝12不符合题意；联立方程得⎩⎨⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718，即点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718. 答案 D 14.(2019·岳阳模拟)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为( )A.92B.94C.1D.9解析 因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，设点Q (4，0)到直线l 的距离为d ，当d ＝|PQ |时取最大值，所以（4－1）2＋（－m ）2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12(52＋2c 2a ·2a c )＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号.答案 B15.若△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，则直线BC 的方程为________. 解析 由AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0可以知道k AC ＝－2，又A (5，1)，AC 边所在直线方程为2x ＋y －11＝0，联立直线AC 与直线CM 方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，所以顶点C 的坐标为C (4，3). 设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12， 由M 在直线2x －y －5＝0上，得2x 0－y 0－1＝0，B 在直线x －2y －5＝0上，得x 0－2y 0－5＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－3，所以顶点B 的坐标为(－1，－3).于是直线BC 的方程为6x －5y －9＝0.答案 6x －5y －9＝016.在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点(2，3)对称，则直线l 的方程是________________.解析 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2，3)的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6－b －3m 4， ∴6－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.答案 6x －8y ＋1＝0。
2014届高三数学(文)一轮总复习两直线的位置关系
12 由两平行线间距离公式得 d= =5,解得 k= . 5 k 2 1
1 5k
此时 l1 的方程为 12x-5y+5=0, l2 的方程为 12x-5y-60=0. 综上所述,符合条件的直线为 l1:x=0,l2:x=5 或 l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0.
【例 4】 已知直线 l:2x-3y+1=0, 点 A(-1,-2).求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A'的坐标; (2)直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m'的方程. 思维导引:(1)直线 l 为线段 AA'的垂直平分 线,利用垂直关系、中点坐标公式解方程组 求出 A'点坐标; (2)转化为点关于直线的对称.
2 2
解:(1)法一 ①当 m=0 时,l1:x+6=0,l2:x=0,l1∥l2; ②当 m≠0 1 6 2m 2 时,l1:y=- 2 x 2 ,l2:y= x- , m m 3 3m 1 2m 6 2 由- 2 = 且- 2 ≠- , m m 3 3m 得 m=-1.故所求实数 m 的值为 0 或-1.
第 节 两直线的位置关系
基础自主梳理 考向互动探究
最新考纲 1.能根据两条直线的斜率判定这两条 直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两相交直线 的交点坐标. 3.掌握两点间的距离公式、 点到直线的 距离公式,会求两平行直线间的距离.
1.两条直线 l1:2x+y-1=0 和 l2:x-2y+4=0 的交点为( B )
3x 2 y 1 0, 解:先解方程组 5 x 2 y 1 0,
得 l1、l2 的交点坐标为(-1,2), 3 5 再由 l3 的斜率为 得 l 的斜率为- , 5 3
高三数学一轮总复习第九章平面解析几何第二节两直线的位置关系课件理ppt版本
[即时应用] (2016·苏州检测)已知三条直线2x－y－3＝0,4x－3y－ 5＝0和ax＋y－3a＋1＝0相交于同一点P. (1)求点P的坐标和a的值； (2)求过点(－2,3)且与点P的距离为2 5的直线方程．
(2)设所求直线为 l，当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的
方 当程 直解为 线：xl(＝的1)由－斜率 224，xx存此－－在时y3－y时点－3，＝5P＝设0与，0直，直线线解ll的得的斜距xy＝＝率离1为2为，，k4，，不合题意． 则直所线以l点的P方的程坐为标y－为3(2＝,1k)．(x＋2)， 即 kx－y＋2k＋3＝0. 点 P将 得到点a直＝P线2的. l坐的标距(离2,1)d代＝入|2k直－线1k＋2a＋x2＋k1＋y－3|＝3a2＋15＝，0，可 解得 k＝2，
第二节 两直线的位置关系
1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行： ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则
有l1∥l2⇔ k1＝k2 . ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直： ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2
线平行，则实数m的值是________． 解析：由题意可知 kAB＝4m－＋m2＝－2，所以 m＝－8. 答案：－8
2．已知直线l：y＝3x＋3，那么直线x－y－2＝0关于直线l
对称的直线方程为__________．
解析：由
x－y－2＝0， 3x－y＋3＝0，
得交点坐标P －52，－92 .又直
住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．
考点二 距离问题 重点保分型考点——师生共研
[典例引领] 已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0， 在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l 的距离为2.
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- 1 -
两直线的位置关系
课题 两直线的位置关系 备注
三维目标 掌握直线平行，垂直的位置关系的内在关系，能熟练求点到直线的距离，能灵活应用知识 培养学生的数形结合思想和良好的思维品质
重点 直线平行，垂直的位置关系的内在关系，点到直线的距离
难点 灵活应用知识
辨
析
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝
k2⇒l1∥l
2
.( × )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一
定等于－1.( × )
(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋
C
2
＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1⊥l2，则
A1A2＋B1B
2
＝0.( √ )
(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为
1＋k2|kx0＋b|.( × )
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点
到直线的距离．( √ )
(6)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则
直线AB的斜率等于－k1，且线段AB的中点在直线
l
上．( √ )
考
点自
测
1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程
是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
2．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离
- 2 -
为1，则a等于( )
A. B．2－ C.－1 D.＋1
3．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5
＋m)y＝8平行，则实数m的值为( )
A．－7 B．－1 C．－1或－7 D.313
4．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与
l
2
的距离是，则直线l1的方程为________________．
知
识梳
理
1．两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
②两条直线垂直：
(2)两条直线的交点
2．几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d
＝A2＋B2|Ax0＋By0＋C|
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其
中C1≠C2)间的距离d＝A2＋B2|C1－C2|.
例
题选
讲
题型一 两条直线的平行与垂直
例1 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)
x
＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等
变式训练已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：
2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得：
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
题型二 两直线相交
例2 求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1
＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线
l
的方程．
- 3 -
变式训练如图，设一直线过点
(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋
2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截
的线段的中点在直线l3：x－y－1
＝0上，求其方程．
题型三 距离公式的应用
例3 正方形的中心为点C(－1,0)，
一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，
求其他三边所在直线的方程．
变式训练已知点P(2，－1)．
(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，并
求出最大距离．
(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存
在，求出方程；若不存在，请说明理由．
题型四 对称问题
例4 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′
的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
变式训练 在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点
P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC
，
CA发射后又回到原点P(如图)．若光线QR经过△ABC
的
重心，则AP等于( )
A．2 B．1 C.38 D.34
高
考链
接
若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3
＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
其中正确答案的序号是________．
- 4 -
每
日一
练
,1，已知直线l1：4x＋7y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3： 2x＋3my－4＝0.当m为何值时，三条直线不能构成三角形． 2，已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0 (a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0.且l1与l2的距离是105. (1)求a的值； (2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件： ①点P在第一象限； ②点P到l1的距离是点P到l2的距离的21； ③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶. 若能，求点P的坐标；若不能，说明理由． 求经过两直线l1：
x－2y＋4＝0和l2：x
＋y－2＝0的交点P，
且与直线l3：3x－4y＋
5＝0垂直的直线l的
方程．
后
记