最新不等式的证明测试题及答案
不等式、推理与证明 单元测试及答案
不等式、推理与证明(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．1ab ≥12B ．1a ＋1b ≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤18 2．若集合A ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12＜2x ＜8，则A ∩B ＝( )A ．(－1,3)B ．(－1,5)C ．(2,5)D ．(2,3)3．已知a ，b ，x ，y 都是正实数，且1a ＋1b ＝1，x 2＋y 2＝8，则ab 与xy 的大小关系为( )A ．ab ＞xyB ．ab ≥xyC ．ab ＜xyD ．ab ≤xy 4．不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．14D ．－14 5．在坐标平面内，不等式组⎩⎨⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为( )A ．2 2B ．83C ．223 D ．26．若－1＜a ＜0，则关于x 的不等式(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0的解集是( ) A ．{x |x ＞a }B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1aC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞a 或x ＜1aD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1a 或x ＜a 7．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝( )A ．(n －m )(nd －mc )B ．(nd －mc )n －mC ．n －m d ncm D ．n －m d n ·c m8．已知函数f (x )＝16x 2－28x ＋114x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜54，则函数f (x )的最大值为( )A ．114B ．54C ．1D ．149．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，110．当x ＞0时，x 2＋1≥2x ，在用分析法证明该不等式时执果索因，最后索的因是( )A ．x ＞0B ．x 2≥0C ．(x －1)2≥0D ．(x ＋1)2≥0 11．已知实数x ，y 满足x ＞y ＞0且x ＋y ＝14，则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为( )A ．1B ．2C ．6＋4 2D ．8＋4 212．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知a ＞b ＞0，则a ，b ，ab ，a ＋b2四个数中最大的一个是________． 14．已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值． 15．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． 16．已知A (－1,0)，B (0，－1)，C (a ，b )三点共线，若a ＞－1，b ＞－1，则1a ＋1＋1b ＋1的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－n .(1)证明{a n }是等差数列． (2)若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，试证明T n ＜14.18．(本小题满分12分)如图6-1，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AB的中点．图6-1求证：(1)直线EF∥平面PBC．(2)平面DEF⊥平面PAB.19．(本小题满分12分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋b .(1)求f (1)＋f (3)－2f (2)．(2)求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.20．(本小题满分12分)已知变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x －1≥0，z ＝2x ＋y .设z 的最大值、最小值分别为M ，m .(1)若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b ＝m ，试求12a ＋36b ＋5的最小值． (2)若m ≤a ＋b ≤M ，试求a 2＋b 2的最小值．21．(本小题满分12分)据市场分析，某绿色蔬菜加工点，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y (万元)可以看成月产量x (吨)的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元． (1)写出月总成本y (万元)关于月产量x (吨)的函数解析式．(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获得最大利润．(3)若x ∈[10，c ](10＜c ≤25)，当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低，最低成本是多少万元？22．(本小题满分12分)在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论． (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512.不等式、推理与证明(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．1ab ≥12B ．1a ＋1b ≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤18 [答案] D2．若集合A ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12＜2x ＜8，则A ∩B ＝( )A ．(－1,3)B ．(－1,5)C ．(2,5)D ．(2,3) [答案] D3．已知a ，b ，x ，y 都是正实数，且1a ＋1b ＝1，x 2＋y 2＝8，则ab 与xy 的大小关系为( ) A ．ab ＞xy B ．ab ≥xy C ．ab ＜xy D ．ab ≤xy [答案] B4．不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．14D ．－14 [答案] D5．在坐标平面内，不等式组⎩⎨⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为( )A ．2 2B ．83C ．223 D ．2[答案] B6．若－1＜a ＜0，则关于x 的不等式(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0的解集是( ) A ．{x |x ＞a } B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1aC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞a 或x ＜1aD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1a 或x ＜a [答案] C7．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝( )A ．(n －m )(nd －mc )B ．(nd －mc )n －mC ．n －m d ncm D ．n －m d n ·c m[答案] C8．已知函数f (x )＝16x 2－28x ＋114x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜54，则函数f (x )的最大值为( ) A ．114 B ．54 C ．1 D ．14[答案] C9．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 [答案] D10．当x ＞0时，x 2＋1≥2x ，在用分析法证明该不等式时执果索因，最后索的因是( ) A ．x ＞0 B ．x 2≥0 C ．(x －1)2≥0 D ．(x ＋1)2≥0 [答案] C11．已知实数x ，y 满足x ＞y ＞0且x ＋y ＝14，则2x ＋3y ＋1x －y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．6＋4 2D ．8＋4 2 [答案] C12．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知a ＞b ＞0，则a ，b ，ab ，a ＋b2四个数中最大的一个是________．[答案] a14．已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．[答案] 415．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．[答案] 3016．已知A (－1,0)，B (0，－1)，C (a ，b )三点共线，若a ＞－1，b ＞－1，则1a ＋1＋1b ＋1的最小值为________．[答案] 4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－n . (1)证明{a n }是等差数列．(2)若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，试证明T n ＜14.[证明](1)因为S n ＝2n 2－n . 所以a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －2(n －1)2＋(n －1)＝4n －3. 对n ＝1也成立，所以a n ＝4n －3.a n ＋1－a n ＝4(n ＋1)－3－4n ＋3＝4，是常数． 所以数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1(4n －3)(4n ＋1)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －3－14n ＋1 所以T n ＝141－15＋15－19＋19－113＋…＋14n －3－14n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＋1＜14. 18．(本小题满分12分)如图6-1，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AB 的中点．图6-1求证：(1)直线EF ∥平面PBC ． (2)平面DEF ⊥平面PAB . [答案] 略19．(本小题满分12分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋b . (1)求f (1)＋f (3)－2f (2)．(2)求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.[解] (1)因为f (1)＝a ＋b ＋1，f (2)＝2a ＋b ＋4，f (3)＝3a ＋b ＋9，所以f (1)＋f (3)－2f (2)＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则－12＜f (1)＜12，－12＜f (2)＜12，－12＜f (3)＜12.所以－1＜－2f (2)＜1，－1＜f (1)＋f (3)＜1， 所以－2＜f (1)＋f (3)－2f (2)＜2， 这与f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾， 所以假设错误， 即所证结论成立．20．(本小题满分12分)已知变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x －1≥0，z ＝2x ＋y .设z 的最大值、最小值分别为M ，m .(1)若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b ＝m ，试求12a ＋36b ＋5的最小值． (2)若m ≤a ＋b ≤M ，试求a 2＋b 2的最小值． [解] (1)21＋8 3 (2)9221．(本小题满分12分)据市场分析，某绿色蔬菜加工点，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y (万元)可以看成月产量x (吨)的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元．(1)写出月总成本y (万元)关于月产量x (吨)的函数解析式．(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获得最大利润． (3)若x ∈[10，c ](10＜c ≤25)，当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低，最低成本是多少万元？[解] (1)由题意，设y ＝a (x －15)2＋17.5(a ＞0)， 把x ＝10，y ＝20代入，得25a ＝20－17.5，a ＝110，所以y ＝110(x －15)2＋17.5＝110x 2－3x ＋40，x ∈[10,25]．(2)设月利润为g (x )，则 g (x )＝1.6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 2－3x ＋40＝－110(x 2－46x ＋400)＝－110(x －23)2＋12.9，因为x ∈[10,25]， 所以当x ＝23时， g (x )max ＝12.9.即当月产量为23吨时，可获最大利润． (3)每吨平均成本为y x ＝110x ＋40x －3≥24－3＝1. 当且仅当x 10＝40x，即x ＝20时“＝”成立． 因为x ∈[10，c ]，10＜c ≤25，所以①当20≤c ≤25时，x ＝20时，每吨平均成本最低，最低为1万元． ②当10＜c ＜20时，y x ＝110x ＋40x －3在[10，c ]上单调递减，所以当x ＝c 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫y x min ＝c 10＋40c －3.故当20≤c ≤25时，月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低为1万元； 当10＜c ＜20时，月产量为c 吨时，每吨平均成本最低，最低为⎝ ⎛⎭⎪⎫c 10＋40c －3万元．22．(本小题满分12分)在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，11b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论．(2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. [解] (1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1， 由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25， 猜测a n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)，b n ＝(n ＋1)2(n ∈N *)．用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k ＝(k ＋1)2(k ＋2)2(k ＋1)2＝(k ＋2)2， 所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．(2)①当n ＝1时，1a 1＋b 1＝16＜512. ②当n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝n (n ＋1)＋(n ＋1)2 ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .所以1a n ＋b n ＜12n (n ＋1)， 故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1) ＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1 ＜16＋14＝512. 由①②可知原不等式成立．。
高三数学不等式证明试题答案及解析
高三数学不等式证明试题答案及解析1.已知均为正数，证明：．【答案】证明见解析.【解析】不等式是对称式，特别是本题中不等式成立的条件是，因此我们可以用基本不等式，注意对称式的应用，如，对应的有，，这样可得①，同样方法可得，因此有②，①②相加，再应用基本不等式就可证明本题不等式了.因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2＋b2≥2ab， b2＋c2≥2bc， c2＋a2≥2ac．所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac．同理，故a2＋b2＋c2＋≥ab＋bc＋ac＋≥6．所以原不等式成立． 10分【考点】不等式的证明.2.已知a,b均为正数，且a+b=1,证明：（1）（2）【答案】见解析【解析】（1）因为a+b=1,所以，a-1=-b,b-1=-a,故=,当且仅当a=b时等号成立。
（2）==当且仅当a=b时等号成立。
3.在中，不等式成立；在凸四边形ABCD中，不等式成立；在凸五边形ABCDE中，不等式成立，，依此类推，在凸n边形中，不等式__ ___成立.【答案】【解析】我们可以利用归纳推理的方法得到不等式，从而得出结论．【考点】归纳推理.4.已知a,b,x,y均为正数且>,x>y.求证:>.【答案】见解析【解析】证明：∵-=,又>且a,b均为正数,∴b>a>0.又x>y>0,∴bx>ay.∴>0,即>.5.若a,b,c为不全相等的正数,求证:lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.【答案】见解析【解析】证明：由a,b,c为正数,得lg≥lg;lg≥lg;lg≥lg.而a,b,c不全相等,所以lg+lg+lg>lg+lg+lg="lg" (abc)=lga+lgb+lgc.即lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.6.下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第个图形中有个正三角形中所有小正三角形边上黑点的总数为.图1 图2 图3 图4（Ⅰ）求出,,,;（Ⅱ）找出与的关系，并求出的表达式；（Ⅲ）求证：().【答案】（Ⅰ）12,27,48,75. （Ⅱ），．（Ⅲ）详见解析．【解析】（Ⅰ）求出,,,，第二个图形的黑点个数为第一个图形的黑点个数加上外面的三角形上的黑点个数，即，第三个图形的黑点个数为第二个图形的黑点个数加上外面的三角形上的黑点个数，即，以此类推可求出,；（Ⅱ）观察,,,可得到，后一个图形的黑点个数是前一个图形外多加一个三角形，而且每一条边都比内一个三角形多两个黑点，即，即，求出的表达式，像这种关系可用叠加法，即写出，，，，，把这个式子叠加，即可得出的表达式；（Ⅲ）求证：()，先求出的关系式，得，由于求证的不等式右边是常数，可考虑利用放缩法，即，这样既可证明．试题解析：（Ⅰ）由题意有，，，，，．（Ⅱ）由题意及（Ⅰ）知，，即，所以，，，， 5分将上面个式子相加，得：6分又，所以． 7分（Ⅲ），∴． 9分当时，，原不等式成立． 10分当时，，原不等式成立． 11分当时，，原不等式成立． 13分综上所述，对于任意，原不等式成立． 14分【考点】归纳推理，放缩法证明不等式．7.设正有理数是的一个近似值，令.（Ⅰ）若，求证：；（Ⅱ）比较与哪一个更接近，请说明理由.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）比更接近．【解析】（Ⅰ）若，求证：，只需证即可，即；（Ⅱ）比较与哪一个更接近，只需比较它们与差的绝对值的大小，像这一类题，可采用作差比较法．试题解析：(Ⅰ),,.（Ⅱ），，，而，，所以比更接近．【考点】作差法证明不等式.8.设实数满足，求证：．【答案】详见解析.【解析】作差，分解因式，配方，判断符号.试题解析：作差得 1分4分． 6分因为，所以不同时为0，故，，所以，即有． 10分【考点】不等式的证明.9.设f(x)＝lnx＋－1，证明：（1）当x>1时，f(x)< (x－1)；（2）当1<x<3时，f(x)<.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）(证法一)记g(x)＝lnx＋－1－ (x－1).则当x>1时，g′(x)＝＋－<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减.又g（1）＝0，有g(x)<0，即f(x)< (x－1).(证法二)由均值不等式，当x>1时，2<x＋1，故<＋.①令k(x)＝lnx－x＋1，则k（1）＝0，k′(x)＝－1<0，故k(x)<0，即lnx<x－1.②由①②得，当x>1时，f(x)< (x－1).（2）(证法一)记h(x)＝f(x)－，由（1）得h′(x)＝＋－＝－<－＝.令g(x)＝(x＋5)3－216x，则当1<x<3时，g′(x)＝3(x＋5)2－216<0.因此g(x)在(1,3)内是递减函数，又由g（1）＝0，得g(x)<0，所以h′(x)<0.因此h(x)在(1,3)内是递减函数，又由h（1）＝0，得h(x)<0.于是当1<x<3时，f(x)<. (证法二)记h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，则当1<x<3时，由（1）得h′(x)＝f(x)＋(x＋5)f′(x)－9< (x－1)＋(x＋5)－9＝ [3x(x－1)＋(x＋5)(2＋)－18x]<＝ (7x2－32x＋25)<0.因此h(x)在(1,3)内单调递减，又，所以，即.10.( 本小题满分12分)已知集合中的元素都是正整数，且，对任意的且，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）对于，试给出一个满足条件的集合【答案】(Ⅰ) 证明：见解析；（Ⅱ）证明：见解析；（Ⅲ）．【解析】（1）因为，对任意的且，有．所以两边分别相加得.即.（2）由(Ⅰ)可得；同理，所以，即.（3）由（1）知，令，可取大于1的任意整数，令；同理令；；，则，令，则，令，则，令，则，令.就得到满足条件的一个集合.(Ⅰ) 证明：依题意有，又，因此．可得．所以．即．…………………4分（Ⅱ）证明：由(Ⅰ)可得．又，可得，因此．同理，可知．又，可得，所以均成立．当时，取，则，可知．又当时，．所以．……………………………………………………8分（Ⅲ）解：对于任意，，由可知，，即．因此，只需对，成立即可．因为；；；，因此可设；；；；．由，可得，取．由，可得，取．由，可得，取．由，可得，取．所以满足条件的一个集合．……………12分其它解法，请酌情给分.11.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知实数满足，且，求证：【答案】见解析。
不等式的性质同步测试题
第九章 不等式与不等式组9.1.2 不等式的性质一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列变形不正确的是A ．由b >5得4a +b >4a +5B ．由a >b 得b <aC ．由-12x >2y 得x <-4yD ．-5x >-a 得x >5a【答案】D2．已知关于x 的不等式x >32a 表示在数轴上如图所示，则a 的值为A ．1B ．2C ．-1D ．-2【答案】A【解析】∵由题意得不等式的解集为x >-1，∴32a -=-1，∴a =1，故答案为：1．3．用不等式表示如图所示的解集，其中正确的是A ．x >-2B ．x <-2C ．x ≥-2D ．x ≤-2【答案】C【解析】图中数轴上表达的不等式的解集为：2x ≥-，故选C ．4．小明的作业本上有四道利用不等式的性质，将不等式化为x >a 或x <a 的作业题：①由x +7>8解得x >1；②由x <2x +3解得x <3；③由3x -1>x +7解得x >4；④由-3x >-6解得x <-2，其中正确的有A ．1题B ．2题C ．3题D ．4题【答案】B5．不等式23x >-解集是A ．23x >-B ．23x <-C ．32x >-D ．32x <- 【答案】C【解析】不等式的两边同时除以2可得32x >-，故选C ．二、填空题：请将答案填在题中横线上．6．已知数a 、b 的对应点在数轴上的位置如图所示，则a -3__________b -3．【答案】<【解析】a 、b 的对应点在数轴上的位置如图所示，得a <b ，不等式的两边都减3，得a -3<b -3，故答案为：<．7．若关于x 的不等式（1-a ）x >2可化为x >21a -，则a 的取值范围是__________． 【答案】a <1【解析】由关于x 的不等式（1-a ）x >2可化为x >21a -，得1-a >0，解得a <1，故答案为：a <1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．8．直接写出下列各不等式的解集：（1）x+1>0；（2）3x<6．【解析】（1）根据不等式的性质，在不等式10x+>两边同时减1得：x>-，1∴不等式10x>-．x+>的解集是1（2）根据不等式的性质，在不等式36x<两边同时除以3得：2x<，∴不等式36x<．x<的解集是29．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示其解集．（1）-3x+2>2x+7；（2-科网人教版七年级上册期末测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．某天的最高气温是8℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差是( ) A．－3℃B．8℃C．－8℃D．11℃2．下列立体图形中，从上面看能得到正方形的是( )3．下列方程是一元一次方程的是( )A．x－y＝6 B．x－2＝xC．x2＋3x＝1 D．1＋x＝34．今年某市约有108 000名应届初中毕业生参加中考，108 000用科学记数法表示为( ) A．0.108×106B．10.8×104C．1.08×106D．1.08×1055．下列计算正确的是( )A．3x2－x2＝3 B．3a2＋2a3＝5a5C．3＋x＝3x D．－0.25ab＋14ba＝0 6．已知ax＝ay，下列各式中一定成立的是( ) A．x＝y B．ax＋1＝ay－1 C．ax＝－ay D．3－ax＝3－ay7．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为( )A．100元B．105元C．110元D．120元8．如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角的度数是( )A．130°B．40°C．90°D．140°9．如图，C，D是线段AB上的两点，点E是AC的中点，点F是BD的中点，EF＝m，CD＝n，则AB的长是( )A．m－n B．m＋nC．2m－n D．2m＋n10．下列结论：①若a＋b＋c＝0，且abc≠0，则a＋c2b＝－12；②若a＋b＋c＝0，且a≠0，则x＝1一定是方程ax＋b＋c＝0的解；③若a＋b＋c＝0，且abc≠0，则abc＞0；④若|a |>|b |，则a －b a ＋b>0. 其中正确的结论是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④二、填空题(每题3分，共24分)11．－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23的相反数是________，－15的倒数的绝对值是________． 12．若－13xy 3与2x m －2y n ＋5是同类项，则n m ＝________. 13．若关于x 的方程2x ＋a ＝1与方程3x －1＝2x ＋2的解相同，则a 的值为________．14．一个角的余角为70°28′47″，那么这个角等于____________．15．下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③若∠AOC ＝12∠AOB ，则射线OC 是∠AOB 的平分线；④连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；⑤学校在小明家南偏东25°方向上，则小明家在学校北偏西25°方向上，其中正确的有________个．16．在某月的月历上，用一个正方形圈出2×2个数，若所圈4个数的和为44，则这4个日期中左上角的日期数值为________．17．规定一种新运算：a△b＝a·b－2a－b＋1，如3△4＝3×4－2×3－4＋1＝3.请比较大小：(－3)△4________4△(－3)(填“>”“＝”或“<”)．18．如图是小明用火柴棒搭的1条“金鱼”、2条“金鱼”、3条“金鱼”……则搭n条“金鱼”需要火柴棒__________根．三、解答题(19，20题每题8分，21～23题每题6分，26题12分，其余每题10分，共66分)19．计算：(1)－4＋2×|－3|－(－5)；(2)－3×(－4)＋(－2)3÷(－2)2－(－1)2 018.20．解方程：(1)4－3(2－x )＝5x ；(2)x －22－1＝x ＋13－x ＋86.21．先化简，再求值：2(x 2y ＋xy )－3(x 2y －xy )－4x 2y ，其中x ＝1，y ＝－1.22．有理数b在数轴上对应点的位置如图所示，试化简|1－3b|＋2|2＋b|－|3b－2|.23．如图①是一些小正方体所搭立体图形从上面看得到的图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数．请在如图②所示的方格纸中分别画出这个立体图形从正面看和从左面看得到的图形．24．已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．(1)当点C，E，F在直线AB的同侧时(如图①所示)，试说明∠BOE＝2∠COF.(2)当点C与点E，F在直线AB的两侧时(如图②所示)，(1)中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由．25．为鼓励居民节约用电，某市电力公司规定了电费分段计算的方法：每月用电不超过100度，按每度电0.50元计算；每月用电超过100度，超出部分按每度电0.65元计算．设每月用电x度．(1)当0≤x≤100时，电费为________元；当x>100时，电费为____________元．(用含x的整式表示)(2)某用户为了解日用电量，记录了9月前几天的电表读数．该用户9月的电费约为多少元？(3)该用户采取了节电措施后，10月平均每度电费0.55元，那么该用户10月用电多少度？26．如图，O为数轴的原点，A，B为数轴上的两点，点A表示的数为－30，点B表示的数为100.(1)A，B两点间的距离是________．(2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点O的距离的3倍，求点C表示的数．(3)若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向左运动，设两只电子蚂蚁同时运动到了数轴上的点D，那么点D表示的数是多少？(4)若电子蚂蚁P从点B出发，以8个单位长度/s的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向右运动．设数轴上的点N到原点O的距离等于点P到原点O的距离的一半(点N在原点右侧)，有下面两个结论：①ON＋AQ的值不变；②ON－AQ的值不变，请判断哪个结论正确，并求出正确结论的值．(第26题)答案一、1.D 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D7．A 8.D 9.C 10.B二、11.23；5 12.－8 13.－514．19°31′13″15.3 16.717．> 18.(6n＋2)三、19.解：(1)原式＝－4＋2×3＋5＝－4＋6＋5＝7；(2)原式＝12＋(－8)÷4－1＝12－2－1＝9.20．解：(1)去括号，得4－6＋3x＝5x.移项、合并同类项，得－2x＝2.系数化为1，得x＝－1.(2)去分母，得3(x－2)－6＝2(x＋1)－(x＋8)．去括号，得3x－6－6＝2x＋2－x－8.移项、合并同类项，得2x＝6.系数化为1，得x＝3.21．解：原式＝2x2y＋2xy－3x2y＋3xy－4x2y＝(2x2y－3x2y－4x2y)＋(2xy＋3xy)＝－5x2y＋5xy. 当x＝1，y＝－1时，原式＝－5x2y＋5xy＝－5×12×(－1)＋5×1×(－1)＝5－5＝0.22．解：由题图可知－3<b<－2.所以1－3b>0，2＋b<0，3b－2<0.所以原式＝1－3b－2(2＋b)＋(3b－2)＝1－3b－4－2b＋3b－2＝－2b－5.23．解：如图所示．24．解：(1)设∠COF＝α，则∠EOF＝90°－α.因为OF是∠AOE的平分线，所以∠AOE＝2∠EOF＝2(90°－α)＝180°－2α.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(180°－2α)＝2α. 所以∠BOE＝2∠COF.(2)∠BOE＝2∠COF仍成立．理由：设∠AOC＝β，则∠AOE＝90°－β，又因为OF是∠AOE的平分线，所以∠AOF＝90°－β2.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(90°－β)＝90°＋β，∠COF＝∠AOF＋∠AOC＝90°－β2＋β＝12(90°＋β)．所以∠BOE＝2∠COF.25．解：(1)0.5x；(0.65x－15) (2)(165－123)÷6×30＝210(度)，210×0.65－15＝121.5(元)．答：该用户9月的电费约为121.5元．(3)设10月的用电量为a度．根据题意，得0.65a－15＝0.55a，解得a＝150.答：该用户10月用电150度．26．解：(1)130(2)若点C在原点右边，则点C表示的数为100÷(3＋1)＝25；若点C在原点左边，则点C表示的数为－[100÷(3－1)]＝－50.故点C表示的数为－50或25.(3)设从出发到同时运动到点D经过的时间为t s，则6t－4t＝130，解得t＝65.65×4＝260，260＋30＝290，所以点D表示的数为－290.(4)ON－AQ的值不变．设运动时间为m s，则PO＝100＋8m，AQ＝4m.由题意知N为PO的中点，得ON＝12PO＝50＋4m，所以ON＋AQ＝50＋4m＋4m＝50＋8m，ON－AQ＝50＋4m－4m＝50.故ON－AQ的值不变，这个值为50.制定学习目标的三个要求—全面、合理、高效高尔基说过:“一个人追求的目标越高,他的才能就发展得越快,对社会就越有益。
高一不等式试题及答案
高一不等式试题及答案一、选择题1. 若不等式x^2 - 4x + 3 < 0的解集为A，则A中不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解集为（）。
A. {x | x < 1 或 x > 3}B. {x | 1 < x < 3}C. {x | x < 1 或 x > 3}D. {x | 1 < x < 3}答案：C2. 对于不等式x^2 - 6x + 8 ≤ 0，以下哪个区间是其解集？（）A. (-∞, 2] ∪ [4, +∞)B. (2, 4)C. [2, 4]D. (-∞, 2) ∪ (4, +∞)答案：C3. 若a > 0，b > 0，且a + b = 2，则ab的最大值为（）。
A. 1B. 2C. 4D. 8答案：A4. 不等式x^2 - 3x + 2 ≤ 0的解集为（）。
A. {x | 1 ≤ x ≤ 2}B. {x | x ≤ 1 或x ≥ 2}C. {x | 1 < x < 2}D. {x | x ≤ 1 或x ≥ 2}答案：A5. 若不等式|x - 1| + |x - 3| ≤ 4，则x的取值范围是（）。
A. (-∞, -1] ∪ [5, +∞)B. [-1, 5]C. (-1, 5)D. [-1, 5]答案：D二、填空题6. 若不等式2x - 3 < 0的解集为B，则B中不等式3x + 1 ≥ 0的解集为______。
答案：{x | x ≥ -1/3}7. 不等式x^2 - 5x + 6 ≥ 0的解集为______。
答案：{x | x ≤ 2 或x ≥ 3}8. 若a, b ∈ R，且a + b = 1，则ab的最大值为______。
答案：1/49. 不等式|x + 1| - |x - 2| ≤ 3的解集为______。
答案：R10. 若不等式x^2 - 6x + 8 < 0的解集为C，则C中不等式x^2 - 6x + 8 > 0的解集为______。
不等式证明练习题
1．设,a b c n N >>∈，且ca nc b b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．62． 若(,1)x ∈-∞，则函数22222x x y x -+=-有（ ）A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值1-D ．最小值1- 3．设P =Q =R =,,P Q R 的大小顺序是（ ）A ．P Q R >>B ．P R Q >>C ．Q P R >>D ．Q R P >> 4．设不等的两个正数,a b 满足3322a b a b -=-，则a b +的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．4(1,)3 C ．4[1,]3D ．(0,1)5．设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c=---，则必有（ ） A ．108M ≤<B ．118M ≤< C ．18M ≤< D ．8M ≥ 6．若,a b R +∈，且,a b M ≠=+N =M 与N 的大小关系是 A ．M N > B ．M N < C ．M N ≥ D ．M N ≤ 1．若log 2x y =-，则x y +的最小值是（ ）A ． 2233B ．3323C ．233 D ．3222．,,a b c R +∈，设a b c dS a b c b c d c d a d a b=+++++++++++， 则下列判断中正确的是（ ）A ．01S <<B ．12S <<C ．23S <<D ．34S << 3．若1x >，则函数21161xy x x x =+++的最小值为（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．非上述情况 4．设0b a >>，且P =，211Q a b=+，M = 2a b N +=，R =， 则它们的大小关系是（ ）A ．P Q M N R <<<<B ．Q P M N R <<<<C ．P M N Q R <<<<D ．P Q M R N <<<<二、填空题 1．函数23(0)1xy x x x =<++的值域是 .2．若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则c b a ++的最大值是3．已知1,,1a b c -<<，比较ab bc ca ++与1-的大小关系为 .4．若0a >，则1a a +的最大值为 . 5．若,,x y z 是正数，且满足()1xyz x y z ++=，则()()x y y z ++的最小值为______。
基本不等式精选练习题答案
基本不等式精选练习题答案基本不等式是初中数学中的重要内容，掌握它对于有关不等式的学习和应用都十分重要。
本文就给出一些基本不等式的精选练习题及参考答案，以帮助读者更好地理解和应用基本不等式。
题目一：对于任意正整数 n，证明 1＋1/2²＋1/3²＋……＋1/n²＞1＋1/2＋1/3＋……＋1/n。
解题思路：利用级数收敛性来证明，由于调和级数收敛，它的平方收敛，而级数 1＋1/2²＋1/3²＋……＋1/n²大于等于级数 1＋1/2＋1/3＋……＋1/n，即可得证。
题目二：对于任意三个正实数 a，b，c，证明 3(a^2＋b^2＋c^2)＞(a＋b＋c)²。
解题思路：将不等式中的左边展开，可以得到 3(a^2＋b^2＋c^2)＞a²＋b²＋c²＋2(ab＋bc＋ca)，再次进行变形可以得到 2(a^2＋b^2＋c^2- ab＋bc＋ca)＞0，由此可以看出原不等式成立。
题目三：对于任意正实数 a，b，c，证明 a/b＋b/c＋c/a≥3。
解题思路：将不等式中的左边按照“平均数大于等于中间数”原理进行拆分，可以得到 a/b＋b/c＋c/a≥3(abc)^(1/3)/(abc)^(2/3)，即可得证。
题目四：对于任意正实数 a，b，c，证明 a^2/b＋b^2/c＋c^2/a≥a＋b＋c。
解题思路：将不等式左边的分子进行展开，可以得到 a^3c＋b^3a＋c^3b≥a^2bc＋ab^2c＋abc^2，两边同时减去 a^2bc＋ab^2c＋abc^2 可以得到 a^3c＋b^3a＋c^3b-a^2bc-ab^2c-abc^2≥0，又根据爱德华·魏尔斯不等式 (a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2≥0 可以得到 a^3c＋b^3a＋c^3b-a^2bc-ab^2c-abc^2≥(a-b)²(b-c)²(c-a)²≥0，即可得证。
证明不等式的基本方法练习题(基础、经典、好用)
证明不等式的基本方法一、选择题1．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( )A ．s ≥tB ．s >tC ．s ≤tD ．s <t2．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是( ) A ．a B ．b C ．c D ．无法判断3．设a 、b ∈(0，＋∞)，且ab －a －b ＝1，则有( )A ．a ＋b ≥2(2＋1)B ．a ＋b ≤2＋1C ．a ＋b ＜2＋1D ．a ＋b ＞2(2＋1)4．已知a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为( )A ．5B ．7C ．9D ．115．(2012·湖北高考)设a ，b ，c ，x ，y ，z 均为正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋c x ＋y ＋z 等于( ) A.14 B.13C.12D.34 二、填空题6．设a ＞b ＞0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m 与n 的大小关系是________．7．以下三个命题：①若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1；②若a 、b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③若|x |＜2，|y |＞3，则|x y |＜23，其中正确命题的序号是________．8．若x ＋y ＋z ＝1，且x ，y ，z ∈R ，则x 2＋y 2＋z 2与13的大小关系为________．三、解答题9．设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.10．(2013·深圳调研)已知a ，b 为正实数．(1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝（1－x ）2x ＋x 21－x(0＜x ＜1)的最小值．11．(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy .(2)1≤a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .解析及答案一、选择题1．【解析】 ∵s －t ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t .【答案】 A2．【解析】 ∵0<x <1，∴1＋x >2x ＝4x >2x ， ∴只需比较1＋x 与11－x的大小， ∵1＋x －11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x<0， ∴1＋x <11－x. 因此c ＝11－x 最大． 【答案】 C3．【解析】 ∵ab －a －b ＝1，∴1＋a ＋b ＝ab ≤(a ＋b 2)2.令a ＋b ＝t (t ＞0)，则1＋t ≤t 24(t ＞0)．解得t ≥2(2＋1)，则a ＋b ≥2(2＋1)．【答案】 A4．【解析】 把a ＋b ＋c ＝1代入1a ＋1b ＋1c 得a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.【答案】 C5．【解析】 由题意可得x 2＋y 2＋z 2＝2ax ＋2by ＋2cz ， 又a 2＋b 2＋c 2＝10相加可得(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝10，所以不妨令⎩⎨⎧x －a ＝a ，y －b ＝b ，z －c ＝c (或⎩⎨⎧x －a ＝b ，y －b ＝c ，z －c ＝a)， 则x ＋y ＋z ＝2(a ＋b ＋c )，∴a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12. 【答案】 C二、填空题6．【解析】 ∵a ＞b ＞0，∴m ＝a －b ＞0，n ＝a －b ＞0.∵m 2－n 2＝(a ＋b －2ab )－(a －b )＝2b －2ab ＝2b (b －a )＜0，∴m 2＜n 2，从而m ＜n .【答案】 m ＜n7．【解析】 ①|a |－|b |≤|a －b |＜1，所以|a |＜|b |＋1； ②|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝|2a |， 所以|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③|x |＜2，|y |＞3，所以1|y |＜13，因此|x ||y |＜23.∴①②③均正确．【答案】 ①②③8．【解析】 ∵(x ＋y ＋z )2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )＝1，又2(xy ＋yz ＋zx )≤2(x 2＋y 2＋z 2)，∴3(x 2＋y 2＋z 2)≥1，则x 2＋y 2＋z 2≥13.【答案】 x 2＋y 2＋z 2≥13三、解答题9．【证明】 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴2ab ≤a ＋b ＝1.因此ab≤12，1ab≥4.则1a＋1b＋1ab＝(a＋b)(1a＋1b)＋1ab≥2ab·2 1ab＋4＝8.故1a＋1b＋1ab≥8成立．10．【解】(1)证明∵a2b＋b2a－(a＋b)＝a3＋b3－a2b－ab2ab＝a2（a－b）－b2（a－b）ab＝（a－b）2（a＋b）ab.又∵a＞0，b＞0，∴（a－b）2（a＋b）ab≥0，当且仅当a＝b时等号成立．∴a2b＋b2a≥a＋b.(2)∵0＜x＜1，∴1－x＞0，由(1)的结论，函数y＝（1－x）2x＋x21－x≥(1－x)＋x＝1.当且仅当1－x＝x即x＝12时等号成立．∴函数y＝（1－x）2x＋x21－x(0＜x＜1)的最小值为1.11．【证明】(1)由于x≥1，y≥1，则x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2，将上式中右式减左式得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)，由x≥1，y≥1易知(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，即原不等式成立．(2)设log a b＝x，log b c＝y，由对数换底公式得log c a＝1xy，log b a＝1x，log c b＝1y，log a c＝xy，则所证不等式可化为x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy，由1≤a≤b≤c知x＝log a b≥1，y＝log b c≥1，由(1)知所证不等式成立．。
北师大版(文科数学) 不等式与推理证明 单元测试(含答案)
一、选择题1.下列不等式一定成立的是( )A.lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1＜1(x ∈R ) 解析 当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；显然选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，选项D 不正确. 答案 C2.若2x ＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A.[0，2] B.[－2，0] C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]解析 22x ＋y≤2x＋2y＝1，所以2x ＋y≤14，所以x ＋y ≤－2. 答案 D3.若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C.2D.54解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，当且仅当x ＝3，y ＝233时取等号，∴xy 的最大值为2. 答案 C4.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A.4B.2 2C.8D.16解析由a>0，b>0，a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，得ab＝1，则1a＋2b≥21a·2b＝2 2.当且仅当1a＝2b，即a＝22，b＝2时等号成立.故选B.答案 B5.函数y＝|x－1|＋|x＋3|的最小值为( )A.1B.2C.3D.4解析y＝|x－1|＋|x＋3|≥|(x－1)－(x＋3)|＝4.答案 D6.对任何实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|>k恒成立，则实数k的取值范围为( )A.(－∞，3)B.(－∞，－3)C.(－∞，3]D.(－∞，－3]解析∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3，由题意得－3>k.答案 B3.不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是( )A.[－5，7]B.[－4，6]C.(－∞，－5]∪[7，＋∞)D.(－∞，－4]∪[6，＋∞)解析|x－5|＋|x＋3|表示数轴上的点到－3，5的距离之和，不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是(－∞，－4]∪[6，＋∞).答案 D7．有三支股票A，B，C,28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是()A．7 B．6C．5 D．4答案 A解析设只持有A股票的人数为X(如图所示)，则持有A股票还持有其它股票的人数为X－1(图中d＋e＋f的和)，因为只持有一支股票的人中，有一半持有A股票，则只持有了B或C 股票的人数和为X(图中b＋c部分)．假设只同时持有了B 和C 股票的人数为a (如图所示)，那么X ＋X －1＋X ＋a ＝28，即3X ＋a ＝29，则X 的取值可能是9,8,7,6,5,4,3,2,1.与之对应的a 值为2,5,8,11,14,17,20,23,26. 因为没持有A 股票的股民中，持有B 股票的人数为持有C 股票人数的2倍，得b ＋a ＝2(c ＋a )，即X －a ＝3c ，故当X ＝8，a ＝5时满足题意，故c ＝1，b ＝7，故只持有B 股票的股民人数是7，故选A.8．(2018·哈尔滨师范大学附属中学模拟)设点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，3x ＋y －3≤0，且x ∈Z ，y ∈Z ，则这样的点共有( )A ．12个B ．11个C ．10个D ．9个 答案 A解析 画出⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，3x ＋y －3≤0表示的可行域(含边界)，由图可知，满足x ∈Z ，y ∈Z 的(x ，y )有(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个．9.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案 D解析 由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b 22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D. 10．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤4，x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( ) A ．3 B.143C ．3或143D ．3或－113答案 D解析 先画出线性约束条件所表示的可行域(含边界)，当a ＝0时不满足题意，故a ≠0. 目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，当a >0时，－1a<0，(1)当－12≤－1a <0，即a ≥2时，最优解为A ⎝⎛⎭⎫43，43， z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，满足a ≥2； (2)当－1a <－12，即0<a <2时，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不满足0<a <2，舍去；当a <0时，－1a>0，(3)当0<－1a <12，即a <－2时，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，满足a <－2；(4)当－1a ≥12，即－2≤a <0时，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不满足－2≤a <0，舍去．综上，实数a 的值为3或－113，故选D.11．(2018·湖南省长郡中学模拟)如图，在△OMN 中，A ，B 分别是OM ，ON 的中点，若OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，且点P 落在四边形ABNM 内(含边界)，则y ＋1x ＋y ＋2的取值范围是()A.⎣⎡⎦⎤13，23B.⎣⎡⎦⎤13，34C.⎣⎡⎦⎤14，34D.⎣⎡⎦⎤14，23答案 C解析 由题意，当P 在线段AB 上时，x ＋y ＝1，当P 点在线段MN 上时，x ＋y ＝2， ∴当P 在四边形ABNM 内(含边界)时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥0，(*)又y ＋1x ＋y ＋2＝1x ＋1y ＋1＋1，作出不等式组(*)表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．y ＋1x ＋1表示可行域内点(x ，y )与Q (－1，－1)连线的斜率，由图形知k QF ＝0－(－1)2－(－1)＝13，k QC ＝2－(－1)0－(－1)＝3，即13≤y ＋1x ＋1≤3，∴13≤x ＋1y ＋1≤3，14≤1x ＋1y ＋1＋1≤34， 故选C.12．(2018·天津市河东区模拟)已知正实数a ，b ，c 满足a 2－ab ＋4b 2－c ＝0，当cab 取最小值时，a ＋b －c 的最大值为( ) A ．2 B.34 C.38 D.14答案 C解析 正实数a ，b ，c 满足a 2－ab ＋4b 2－c ＝0，可得c ＝a 2－ab ＋4b 2，c ab ＝a 2－ab ＋4b 2ab ＝a b ＋4b a－1≥2a b ·4ba－1＝3. 当且仅当a ＝2b 时取得等号，则当a ＝2b 时，cab 取得最小值，且c ＝6b 2，∴a ＋b －c ＝2b ＋b －6b 2＝－6b 2＋3b ＝－6⎝⎛⎭⎫b －142＋38， ∴当b ＝14时，a ＋b －c 有最大值38.13．(2018·南平模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0，且z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)的最大值为4，则1m ＋1n 的最小值为________． 答案 2解析 作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．由可行域知可行域内的点(x ，y )均满足x ≥0，y ≥0.所以要使z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)最大，只需x 最大，y 最大即可，即在点A 处取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2x －2，解得A (2,2)．所以有2m ＋2n ＝4，即m ＋n ＝2.1m ＋1n ＝12(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝12⎝⎛⎭⎫1＋m n ＋n m ＋1≥12×(2＋2)＝2. 当且仅当m ＝n ＝1时，1m ＋1n取得最小值2.14．(2018·湘潭模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0，若x －yx ＋y的最大值为2，则z ＝x －y 的最小值为________． 答案 －158解析 令X ＝x ＋y ，Y ＝x －y ，则x ＝X ＋Y 2，y ＝X －Y2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧3X ＋Y －6≤0，2Y －1≤0，X ＋Y －2a ≥0，作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，则x －y x ＋y ＝YX表示可行域内一点(X ，Y )与原点的连线的斜率， 由图象可知，当X ＝2a －12，Y ＝12时，Y X 取得最大值，则12＝2⎝⎛⎭⎫2a －12， 解得a ＝38，联立⎩⎪⎨⎪⎧3X ＋Y －6＝0，X ＋Y －34＝0，解得Y ＝－158， 所以z 的最小值为－158.15．中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为a 2＋b 2＝c 2 (a ，b ，c ∈N *)，我们把a ，b ，c 叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，以此类推，可猜测第五组勾股数的三个数依次是________． 答案 11,60,61解析 由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11，第二，三个数为相邻的两个整数，可设为x ，x ＋1，所以(x ＋1)2＝112＋x 2，所以x ＝60， 所以第五组勾股数的三个数依次是11,60,61.16．(2018·漳州质检)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得AC ＝DB ＝14AB ，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF 做相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为S n ，现给出有关数列{S n }的四个命题：①数列{S n }是等比数列； ②数列{S n }是递增数列；③存在最小的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n >2 018； ④存在最大的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n <2 018. 其中真命题是________．(请写出所有真命题的序号) 答案 ②④解析 由题意，得图1中的线段为a ，S 1＝a ， 图2中的正六边形的边长为a 2，S 2＝S 1＋a2×4＝S 1＋2a ，图3中的最小正六边形的边长为a4，S 3＝S 2＋a4×4＝S 2＋a ，图4中的最小正六边形的边长为a8，S 4＝S 3＋a 8×4＝S 3＋a2，由此类推，S n －S n －1＝a2n －3(n ≥2)，即{S n }为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确；因为S n ＝S 1＋(S 2－S 1)＋(S 3－S 2)＋…＋(S n －S n －1) ＝a ＋2a ＋a ＋a 2＋…＋a2n －3＝a ＋2a ⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12＝a ＋4a ⎝⎛⎭⎫1－12n －1<5a ，n ≥2，又S 1＝a <5a ，所以存在最大的正数a ＝2 0185，使得对任意的正整数n ，都有S n <2 018， 即④正确，③错误．。
高考数学(理)一轮复习课后检测：选修《不等式的证明》
选修4－5－2 不等式的证明一、选择题1．ab ≥0是|a －b |＝|a |－|b |的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分也不必要条件答案：B2．若实数x 、y 满足1x 2＋1y 2＝1，则x 2＋2y 2有( ) A ．最大值3＋2 2 B ．最小值3＋2 2C ．最大值6D ．最小值6答案：B3．若a ，b ，c ∈R ，且满足|a －c |＜b ，给出下列结论①a ＋b ＞c ；②b ＋c ＞a ；③a ＋c ＞b ；④|a |＋|b |＞|c |.其中错误的个数( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A4．已知a ＞0，b ＞0，m ＝a b ＋b a，n ＝a ＋b ，p ＝a ＋b ，则m ，n ，p 的大小顺序是( ) A ．m ≥n ＞p B ．m ＞n ≥pC ．n ＞m ＞pD ．n ≥m ＞p答案：A5．设a 、b 、c ∈R ＋，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2答案：D6．若a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则( )A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q答案：B二、填空题7．设两个不相等的正数a 、b 满足a 3－b 3＝a 2－b 2，则a ＋b 的取值范围是__________．答案：⎝⎛⎭⎫1，43 8．用max{x ，y ，z }表示x ，y ，z 三个实数中的最大数，对于任意实数a ，b ，设max{|a |，|a ＋b ＋1|，|a －b ＋1|}＝M ，则M 的最小值是__________．答案：129．设m ＞n ，n ∈N ＋，a ＝(lg x )m ＋(lg x )－m ，b ＝(lg x )n ＋(lg x )－n ，x ＞1，则a 与b 的大小关系为__________．答案：a ≥b三、解答题10．已知a ＞b ＞c ＞0，求证：a ＋33(a －b )(b －c )c≥6.(并指出等号成立的条件) 证明：因为a ＞b ＞c ＞0，所以a －b ＞0，b －c ＞0，所以a ＝(a －b )＋(b －c )＋c ≥33(a －b )(b －c )c ，当且仅当a －b ＝b －c ＝c 时，等号成立，所以a ＋33(a －b )(b －c )c≥33(a －b )(b －c )c ＋33(a －b )(b －c )c≥233(a －b )(b －c )c33(a －b )(b －c )c＝6， 当且仅当33(a －b )(b －c )c ＝33(a －b )(b －c )c时，等号成立，故可求得a ＝3，b ＝2，c ＝1时等号成立．11．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，当x ∈[－1,1]时，恒有|f (x )|≤1.(1)求证：|b |≤1；(2)f (0)＝－1，f (1)＝1，求f (x )的表达式．解析：(1)证明：∵f (1)＝a ＋b ＋c ，f (－1)＝a －b ＋c ，∴b ＝12[f (1)－f (－1)]． ∵当x ∈[－1,1]时，|f (x )|≤1.∴|f (1)|≤1，|f (－1)|≤1.∴|b |＝12|f (1)－f (－1)| ≤12[|f (1)|＋|f (－1)|]≤1. (2)由f (0)＝－1，f (1)＝1，得c ＝－1，b ＝2－a .∴f (x )＝ax 2＋(2－a )x －1.∵当x ∈[－1,1]时，|f (x )|≤1.∴|f (－1)|≤1，即|2a －3|≤1，解得1≤a ≤2.∴a －22a ＝12－1a∈[－1,1]． 依题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22a 2＋(2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22a －1≤1， 整理，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a －2)24a ＋1≤1. 又a ＞0，(a －2)24a ≥0，(a －2)24a＋1≥1. ∴(a －2)24a＝0，即a ＝2， 从而b ＝0，故f (x )＝2x 2－1.12．设正有理数x 是3的一个近似值，令y ＝1＋21＋x. (1)若x ＞3，求证：y ＜3；(2)求证：y 比x 更接近于 3.证明：(1)y －3＝1＋21＋x－ 3 ＝3－3＋x －3x 1＋x＝(1－3)(x －3)1＋x ，∵x ＞3，∴x －3＞0，而1－3＜0，∴y ＜ 3.(2)∵|y －3|－|x －3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(1－3)(x －3)1＋x －|x －3| ＝|x －3|⎝ ⎛⎭⎪⎫3－11＋x －1 ＝|x －3|⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2－x 1＋x ∵x ＞0，3－2＜0，|x －3|＞0，∴|y －3|－|x －3|＜0，即|y －3|＜|x －3|，∴y 比x 更接近于 3.。
不等式的证明测试题
不等式的证明测试题不等式的证明测试题不等式的证明测试题.(B)必要而不充分条件.(C)充分且必要条件.(D)既不充分又不必要条件.11.若实数m。
，l。
z，满足m+n一a，z+y一b(a≠6).则优z+ny 的最大值为()(A).(B).‘(c)√.(D).12.设n个实数，z'..·，z的算术平均数是;，a是不等于;的任意实数，并记P一;)+(z一;)+…+(z 一;)，q=l一口)+2一口)+…+(z.一n)则一定有()(A)P=q.(B)Pq.(D)P ≥q.三、解答题l3.已知函数厂)一~/1+z(z∈R).求证：l厂(4)一厂(6)l≤la—b1.14.已知z>0，y>0，z+2y一1，求证：+÷≥3+2.15.若z为任意实数，求证：一÷≤≠7≤÷.16.(1)证明下面的命题：一次函数厂(z)=志z+h(志≠0)，若研0，厂(，1)>0则对于任意的z∈(，，l，，1)，都有f)>0.(2)试用上面的结论证明下面的命题：若a，b，c 均为实数，且lal一1.17.若不等式;『+;『++…+{>对一切自然数n(n ≠0)成立，求自然数n的最大值.18·设厂(z)是定义在[一1，1-1上的奇函数，g)的图象与厂)的图象关于直线z一1对称，而当z∈[2，3]时，譬(z)一一z。
+4z+c(c为常数)(1)求厂)的表达式.(2)对于任意z。
，z2∈ro，1]，且≠z2，求证：lf(x2)一f(x)l9.3.(1，~/2].4.A0，构造函数f)一(6+c)x+be+1，z∈(一1，1).17.a的最大值为25..……f—z，z∈[一1.0]D.L1]一;(2)当z∈[0.1]时.1f(x)一f(x。
)l=lzl —z}l—l(z2一z1)(z2+z1)l’.’zl，z2∈[0，1]，zl≠z2，.’.0O(a>0).策略：先将不等式测试题班级：姓名：一．选择题：1.已知a,b,c满足c。
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不等式的证明
班级 ＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
１．若a>0, b >0,则)11)((baba 的最小值是 （ ）
A．2 B．22 C．24 D．4
2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的 （ ）
A．必要条件 B．充分条件
C．充要条件 D．必要或充分条件
3．设a、b为正数，且a+ b≤4，则下列各式中正确的一个是 （ ）
A．111ba B．111ba C．211ba D．211ba
4．已知a、b均大于1，且logaC·logbC=4，则下列各式中，一定正确的是 （ ）
A．ac≥b B．ab≥c C．bc≥a D．ab≤c
5．设a=2，b=37，26c，则a、b、c间的大小关系是 （ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．a>c>b
6．已知a、b、m为正实数，则不等式bambma （ ）
A．当a< b时成立 B．当a> b时成立
C．是否成立与m无关 D．一定成立
7．设x为实数，P=ex+e-x，Q=(sinx+cosx)2，则P、Q之间的大小关系是 （ ）
A．P≥Q B．P≤Q C．P>Q D． P8．已知a> b且a+ b <0，则下列不等式成立的是 （ ）
A．1ba B． 1ba C． 1ba D． 1ba
9．设a、b为正实数，P=aabb，Ｑ=abba，则P、Q的大小关系是 （ ）
A．P≥Q B．P≤Q C．P=Q D．不能确定
10．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时
间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，
则甲、乙两人到达指定地点的情况是 （ ）
A．甲先到 B．乙先到 C．甲乙同时到 D．不能确定
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11．若实数,,xyz满足23()xyzaa为常数，则222xyz的最小值为
12．函数212()3(0)fxxxx的最小值为_____________。
13．使不等式a2>b 2，1ba，lg(a－b)>0， 2a>2b-1同时成立的a、b、1的大小关系是 ．
14．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分
别为120元和80元，则水池的最低总造价为 元．
三、解答题
15．（1）若a、b、c都是正数，且a+b+c=1，
求证： (1–a)(1–b)(1–c)≥8abc．
（2）已知实数,,abc满足abc，且有2221,1abcabc
求证：413ab
16．设21loglog21,0,1,0tttaaaa与试比较的大小．（12分）
17．(1)求证：22233abcabc
(2)已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：2222)(cbacba
18．(1)
已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd．
(2)
已知,,xyzR，且2228,24xyzxyz
求证：
444
3,3,3333xyz
19．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ<1），画面的上
下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用
纸张面积最小？
20．数列{xn}由下列条件确定：Nnxaxxaxnnn),(21,011．
（Ⅰ）证明：对n≥2，总有xn≥a；
（Ⅱ）证明：对n≥2，总有xn≥1nx．
参考答案
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B B D A A C A A
二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．214a 12．9 13．a>b>1 14．1760
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分）
[证明]：因为a、b、c都是正数，且a+b+c=1，
所以(1–a)(1–b)(1–c)=(b+c)( a+c)( a+b)≥2bc·2ac·2ab=8abc．
16．（12分）
[解析 ]： ttttaaa21loglog21log
ttt21,0
（当且仅当t=1时时等号成立） 121tt
（1） 当t=1时，ttaalog21log （2） 当1t时，121tt，
若ttttaaaalog2121log,021log,1则
若ttttaaaalog2121log,021log,10则
17．（12分）
[证明]：左－右=2（ab+bc－ac） ∵a，b，c成等比数列， acb2
又∵a，b，c都是正数，所以acb0≤caca2 ∴bca
∴0)(2)(2)(22bcabbbcabacbcab
∴2222)(cbacba
18．（12分）
[证法一]：（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正数 ∴要证：xy≥ac + bd
只需证：(xy)2≥(ac + bd)2 即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
展开得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
即：a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式，显然成立
∴xy≥ac + bd
[证法二]：（综合法）xy =222222222222dbdacbcadcba
≥bdacbdacdbabcdca22222)(2
[证法三]：（三角代换法）
∵x2 = a2 + b2，∴不妨设a = xsin, b = xcos
y2 = c2 + d2 c = ysin, d = ycos
∴ac + bd = xysinsin + xycoscos = xycos( )≤xy
19．（14分）
[解析]：设画面高为x cm，宽为x cm 则x2=4840．
设纸张面积为S，有 S=（x +16）(x +10) = x 2+(16+10) x +160,
S=5000+44).5(10
当8.)185(85,5取得最小值时即S
此时，高：,884840cmx 宽：,558885cmx
答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小．
20．（14分）
（I）证明：由,01ax及),(211nnnxaxx可归纳证明0nx（没有证明过程不扣分）
从而有).()(211Naaxaxxaxxnnnnn 所以，当axn,2时成立.
（II）证法一：当)(21,0,21nnnnxaxxaxn因为时
所以,021)(2121nnnnnnnxxaxxaxxx 故当.,21成立时nnxxn
证法二：当)(21,0,21nnnxaxxaxn因为时
所以122)(21222221nnnnnnnnnnxxxaxxxaxxx 故当成立时1,2nnxxn.
2．证明：2222222(111)()()abcabc
2222
()39abcabc
即22233abcabc
4．证明：2222()()1,2abababcabcc
,ab
是方程22(1)0xcxcc的两个不等实根，
则22(1)4()0ccc，得113c
而2()()()0cacbcabcab
即22(1)0ccccc，得20,3cc或
所以103c，即413ab
5．证明：显然2222()()8,8202xyxyxyzxyzz
,xy
是方程22(8)8200tzxzz的两个实根，
由0得443z，同理可得443y，443x