a^2+b^2大于等于2ab的变形推广及应用
基本不等式中常用公式_基本不等式三大定理_高中数学知识点总结
基本不等式中常用公式
①√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)
②√(ab)≤(a+b)/2
③a²+b²≥2a b
④ab≤(a+b)²/4
⑤||a||b| |≤|a+b|≤|a|+|b|
基本不等式三大定理
•基本不等式有两种：基本不等式和推广的基本不等式（均值不等式）基本不等式是主要应用于求某些函数的最大（小）值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
（1）基本不等式
两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
向左转|向右转
向左转|向右转
（2）推广的基本不等式（均值不等式）
向左转|向右转
时不等式两边相等。
•不等式运用示例
某学校为了美化校园,要建造一个底面为正方形,体积为32的柱形露天喷水池,问怎样才能使得用来砌喷水池底部和四壁的镶面材料花费最少?
答：设底面正方形边长为x，则水池高为
32/x^2y=x^2+4x*32/x^2=x^2+128/x=x^2+64/x+64/x≥
3(1*64*64)^(1/3)=48所以当x^2=64/x,x=4时花费最少。
上面解法使用了均值不等式
向左转|向右转
时不等式两边相等。
20个常用的麦克劳林公式展开
20个常用的麦克劳林公式展开1. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2这是麦克劳林公式中最简单的一个，它展开后得到两个平方的和再加上两倍的乘积。
2. (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2这个公式是前一个公式的变形，也是两个平方的差。
3.(a+b)(a-b)=a^2-b^2这个公式是平方差的因式分解，可以帮助我们将一个平方差拆解为两个平方的和。
4. (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3这是三次方的展开公式，它包括四个项。
5. (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3这是三次方的展开公式的变形，它包括四个项。
6. (a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4这是四次方的展开公式，它包括五个项。
7. (a-b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4这是四次方的展开公式的变形，它包括五个项。
8. (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3这是立方和的因式分解，它可以将两个立方和相乘得到一个立方和。
9. (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3这是立方差的因式分解，它可以将两个立方差相乘得到一个立方差。
10. (a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5这是五次方的展开公式，它包括六个项。
11. (a-b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5这是五次方的展开公式的变形，它包括六个项。
12. (a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2) = a^5 + b^5这是五次和的因式分解，它可以将两个五次和相乘得到一个五次和。
13. sin(x) = x - (x^3/3!) + (x^5/5!) - (x^7/7!) + ...这是正弦函数的泰勒展开公式，它包含无穷多个项。
基本不等式链的推导过程
基本不等式链的推导过程一、基本不等式1.a+c≤b+c（加法性）2. ac ≤ bc（乘法性）其中，c是任意实数。
二、推导过程1.不等式基本性质首先，需要了解不等式的基本性质。
不等式具有传递性和对称性。
传递性：如果a≤b且b≤c，则a≤c。
对称性：如果a≤b，则-b≤-a。
这两个性质可以在推导不等式的过程中使用，以便更方便地化简不等式。
2.不等式的加法性推导考虑如下的两个不等式：a≤bc≤d根据加法性，可以得到以下不等式：a+c≤b+ca+c≤a+d3.不等式的乘法性推导考虑如下的两个不等式：a≤bc>0根据乘法性，可以得到以下不等式：ac ≤ bc而如果c<0，则不等号反向：a≥bc<0ac ≥ bc4.不等式的绝对值性质绝对值也可以用于推导不等式链。
对于任意实数a，有以下性质：a，≥0绝对值的乘法性质：ab， = ，a，，b绝对值的加法性质：a+b，≤，a，+，b5.不等式链推导通过以上基本不等式和性质，可以进行不等式链的推导。
例如，证明一个数的平方大于或等于该数的绝对值的平方：假设a为实数，则有以下不等式：a^2≥0（平方的非负性质：对于任意实数，其平方大于等于零）a，^2=a^2（绝对值平方的性质）综上所述，得到a^2≥，a，^2，即任意实数的平方大于等于其绝对值的平方。
另一个例子是证明两个正实数的乘积大于或等于其和的一半：假设a和b为正实数，则有以下不等式：(a + b)^2 ≥ 4ab （平方的扩展性质）a^2 + 2ab + b^2 ≥ 4aba^2 -2ab + b^2 ≥ 0(a-b)^2≥0综上所述，得到(a + b)^2 ≥ 4ab，即两个正实数的乘积大于等于其和的一半的平方。
6.使用归纳法推导更复杂的不等式链以上介绍的是基本不等式链的推导过程，可以用来证明一些简单的不等式。
但是对于更复杂的不等式链，可能需要使用数学归纳法等更高级的推导方法。
总结：基本不等式链是数学推导中常用的工具，通过加法性、乘法性、绝对值性质和传递性等基本定理，可以推导出一系列有关数的大小关系的定理和结论。
《基本不等式》 知识清单
《基本不等式》知识清单一、基本不等式的定义基本不等式是指对于任意的实数 a 和 b，都有\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
这个不等式反映了两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
二、基本不等式的推导我们可以通过完全平方公式来推导基本不等式。
＼（（a b)＾2 ＼geq 0\），展开得到\（a^2 2ab ＋ b^2 ＼geq 0\），移项可得\（a^2 ＋ b^2 ＼geq 2ab\）。
两边同时加上 2ab，得到\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2 ＼geq 4ab\），即\（（a ＋ b)＾2 ＼geq 4ab\）。
因为 a 和 b 都是正数，所以两边同时除以 4，得到\（＼frac{（a ＋b)＾2}｛4} ＼geq ab\），开方可得\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼）。
当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
三、基本不等式的几何解释我们可以用一个几何图形来直观地理解基本不等式。
假设有一个矩形，其长为 a，宽为 b。
那么矩形的面积为 ab，而矩形的周长为 2(a ＋ b)。
如果我们将这个矩形改造成一个正方形，其边长为\（＼frac{a ＋ b}｛2}＼），那么正方形的面积为\（（＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2\）。
由于正方形是在矩形的基础上进行变形的，所以正方形的面积一定大于等于矩形的面积，即\（（＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2 ＼geq ab\），开方可得\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼）。
当且仅当矩形变成正方形，即 a ＝ b 时，等号成立。
四、基本不等式的应用1、求最值基本不等式常用于求代数式的最值。
例如，求函数\（y ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）（＼（x ＞ 0\））的最小值。
根据基本不等式，＼（x ＋＼frac{1}｛x} ＼geq 2\sqrt{x ＼times ＼frac{1}｛x}｝＝ 2\），当且仅当\（x ＝＼frac{1}｛x}＼），即\（x ＝1\）时，等号成立，所以函数的最小值为 2。
数学完全平方公式
03
完全平方公式的证明
证明方法
01
02
03
代数证明
通过代数运算，将完全平 方公式进行展开和重组， 证明其正确性。
几何证明
利用几何图形，如正方形 或矩形，通过面积和边长 的关系证明完全平方公式。
归纳法证明
通过归纳法，对n进行归 纳推理，证明完全平方公 式的通用形式。
证明实例
代数证明实例
利用代数运算，将 $(a+b)^2$展开为 $a^2+2ab+b^2$，证明 其为完全平方公式。
数学完全平方公式
目录
• 完全平方公式定义 • 完全平方公式的推导过程 • 完全平方公式的证明 • 完全平方公式的变种 • 完全平方公式的应用
01
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ完全平方公式定义
公式表述
完全平方公式是数学中一个重要的恒 等式，表示一个二次多项式等于两个 一次多项式的平方和。具体公式为： $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
平方和公式
总结词
表示两个数的平方和，等于它们与这两个数的平均数的平方的积。
公式
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
描述
这个公式用于计算两个数的平方和，通过将和表示为两个因子的平 方的差，简化计算过程。
平方倍数公式
总结词
01
表示一个数的平方乘以另一个数的平方，等于它们与这两个数
几何法实例
考虑边长为$a+b$的正方形，可以将 其划分为多个边长为$a$和$b$的小正 方形，通过计算小正方形的面积之和 ，得到$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 。
平方公式知识点总结
平方公式知识点总结一、平方公式的定义与推导平方公式是指对于任意实数a、b，有如下的等式成立：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2这两个等式分别称为平方公式的完全平方公式和差的平方公式。
这两个公式是我们所熟知的平方公式，它们的推导可以通过几何解释或代数计算得到。
1. 几何解释考虑一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形，我们把它们拼接在一起，得到一个边长为(a+b)的正方形。
根据几何原理，这个正方形的面积为(a+b)^2，也即(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
这便是完全平方公式的一种几何解释。
同理，对于(a-b)^2，我们可以通过拆分正方形得到(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2。
2. 代数计算我们可以通过代数计算来推导平方公式。
首先可以通过FOIL法则（First, Outer, Inner, Last）展开(a+b)^2和(a-b)^2，得到(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2和(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2。
这便是通过代数计算得到平方公式的推导过程。
二、平方公式的应用平方公式的应用十分广泛，主要体现在以下几个方面：1. 求解二次方程平方公式是用来求解一元二次方程的一个重要方法。
一元二次方程的一般形式为ax^2 +bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。
我们可以通过平方公式来求解这类方程。
首先，把方程整理成完全平方形式，然后利用平方公式解得方程的根。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其整理成(x+3)^2=0的形式，然后利用平方公式得到x的值为-3。
2. 展开和因式分解在代数表达式的运算中，平方公式可以用来展开一个完全平方式或对一个代数式进行因式分解。
例如，对于(x+2)^2，我们可以利用完全平方公式得到(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4。
平方差公式和平方和公式
平方差公式和平方和公式平方差公式和平方和公式是学习数学中非常重要的两个公式，它们在解决各种数学问题以及实际应用中起着重要的作用。
本文将为大家详细介绍这两个公式的含义、推导以及具体应用，希望能够帮助大家更好地理解和应用这两个公式。
首先，我们来介绍一下平方差公式。
平方差公式是指两个数的平方差等于这两个数的和乘以差的公式。
表达式如下：a^2 - b^2 = (a + b) * (a - b)平方差公式的推导可以通过因式分解来得到。
假设我们已知一个二次差分式 a^2 - b^2，我们通过因式分解把它变成一个乘法式。
我们先观察一下(a + b)(a - b)这个式子，根据分配律展开可以得到a^2 - b^2。
这就是平方差公式的基本推导过程。
接下来，我们来介绍一下平方和公式。
平方和公式是指两个数的平方和等于这两个数的和的平方加上两个数的乘积的公式。
表达式如下：(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab平方和公式的推导可以通过多项式的展开和整理得到。
如果我们展开(a + b)^2，得到 a^2 + 2ab + b^2，然后再与原式进行比较，我们可以发现它们是相等的。
因此，我们得到了平方和公式。
这两个公式在数学中具有广泛的应用。
平方差公式常用于解决代数中的因式分解问题。
例如，当我们要因式分解一个二次差分式时，我们可以利用平方差公式将其化简为一个乘法式，进而更容易进行后续的计算和分析。
而平方和公式则常用于解决关于平方和的问题。
例如，在计算一个数列的平方和时，如果数列之间存在某种关系，我们可以使用平方和公式来简化计算过程。
此外，平方和公式也常用于推导各种数学恒等式和证明中。
除了数学领域的应用，这两个公式还在实际生活中发挥着重要作用。
例如，在物理学中，平方差公式可以用于计算物体的运动速度和加速度，解决动态问题。
而平方和公式在统计学中也有广泛的应用，用于计算方差和标准差等统计指标。
总之，平方差公式和平方和公式是数学中重要的公式，它们在解决各种问题和应用中起到了至关重要的作用。
完全平方公式的五种变式
完全平方公式的五种变式《完全平方公式的五种变式》完全平方公式可以让我们更轻松地解算出方程，它的表达形式是a^2+2ab+b^2=c^2，在几何学中被广泛应用。
它是研究直角三角形内比例数学关系、特别是勾股定理和其他定理的基础。
完全平方公式有五种不同的变式，这些变式拥有不同的应用。
首先，原式完全平方形式。
它的正式表达是a^2+2ab+b^2，它展示了两个乘积的累加，这也就是它的名字。
它被用于错角比方程中，由错角定理可知，一个错角必有三个对边，这三个对边可由它推出。
其次，一元二次函数形式。
它是最常用的变式，表达式如下：y=ax^2+2bx+c，其中a、b、c为实数。
它常被用于物理领域，特别是电磁领域，比如连接变压器、引力等等。
下一个变式是极坐标变形。
它的表达式是r=a(cosθ+sinθ)，其中r是极坐标原点，θ是极角，a是椭圆的长半轴。
它可以用来表示二维坐标系内的椭圆，因为椭圆是由它来表达的。
第四种变式是矩阵形式。
它可以用矩阵表达式来构造。
举例来说，可以表示为A^2+2AB+B^2=C^2，这里A、B、C是一组矩阵。
它常用于矩阵的运算，用于求解方程组。
最后，齐次二次方程变形。
它的表达式是ax^2+2bx+c=0，其中a、b、c是常数。
由此可知，这种变形主要用于求解二元齐次方程，可以非常有效的解决二元的齐次方程。
总之，完全平方公式的五种变式是非常重要的，它们可以用于不同的应用领域，比如研究三角形内比例数学关系、一元二次函数、极轴变形、矩阵运算和齐次二次方程求解等。
乘法公式的推广
乘法公式的推广一、平方差公式的推广。
1. 基本平方差公式。
- 在人教版教材中，平方差公式为(a + b)(a - b)=a^2-b^2。
- 例如：计算(3 + 2x)(3 - 2x)，这里a = 3，b=2x，根据平方差公式可得(3 +2x)(3 - 2x)=3^2-(2x)^2=9 - 4x^2。
2. 推广形式一：多位数的平方差。
- 对于两个数，如果可以写成(a + b)(a - b)的形式，即使a和b是较为复杂的数或式子，也可以使用平方差公式。
- 例如：计算(102×98)，可将102写成(100 + 2)，98写成(100-2)。
- 那么102×98=(100 + 2)(100 - 2)=100^2-2^2=10000 - 4 = 9996。
3. 推广形式二：式子的平方差。
- 当a和b是多项式时，同样适用平方差公式。
- 例如：(x^2+3y)(x^2-3y)=(x^2)^2-(3y)^2=x^4-9y^2。
二、完全平方公式的推广。
1. 基本完全平方公式。
- 完全平方公式有(a + b)^2=a^2+2ab + b^2和(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。
- 例如：计算(2x+3)^2，这里a = 2x，b = 3，根据完全平方公式(a +b)^2=a^2+2ab + b^2可得(2x+3)^2=(2x)^2+2×(2x)×3+3^2=4x^2+12x + 9。
- 再如计算(3x - 4)^2，a=3x，b = 4，根据(a - b)^2=a^2-2ab + b^2可得(3x -4)^2=(3x)^2-2×(3x)×4+4^2=9x^2-24x + 16。
2. 推广形式一：三项式的完全平方。
- 对于(a + b + c)^2，可以将其转化为[(a + b)+c]^2。
- 根据完全平方公式(m + n)^2=m^2+2mn + n^2，这里m=a + b，n = c。
一个基本不等式变形的推广的几种形式及在证明中的应用
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将 四个 不 等 式 相 加 并 整 理
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（ｓ ｓ ÷ 毕 一 ） 证 ． ≥
这个 基 本 不 等 式 的 推 广 的 用 处 可 见 一 斑 ， 且 可 而 以看 出运 用 它 们 来 作 为 证 明 手 段 非 常 有 效 ； 们 再 看 我
两例 ．
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分 析 ：观 察 到 此题 中 ｎ ｂＣ是 对 称 的 ， 此 可 以 假 ，， 因
例 ３ 设 ｎ ， … ， 为两 两互 不 相 等 的 正 整数 ． ｎ， ｎ
设 ｃ ≥口 ， ≥６ ＞ｏ则有÷≤÷≤ ， 由排序不等式可以
分 ：们 以 推 变 ：一 ≥ ・ 一 析我 可 将 广 形 竿 ２ １
ｎ＾
（ｃ１ 得ｆ丢其 同 ） ｎ＝， ６ ，它 理． ｂ 故 一
ｂ 证 明 ：左 边 一 ＼ ４
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÷ （一１２…，）只要将上面不等式适当变形， 口 ，， ｎ ， 就可
４ ２ ２ ，・ １ ａ ｂ ， 了
３ １届 Ｉ ＭＯ预 选 题 ） 分 析 ：此题 不 能 直 接 应 用 推 广 的三 个 形 式 来 证 ， 但
我们 只需 将 不 等 式 合 理 变形 就 能 应 用 形 式 ２来证 ．
证 明 ：设 ｓ 一口＋＋ ｓ 口＋ ＋ ＋ 。
＋ ｂ ＋ ＋ ｄ ＋ ２ ｂ ２ ｃ４２ ｄ＋ ２ ａ ４ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ａ ＋ ｂ－ ｃ － ｄ ≥ （ｂ ｃ ｄ＋
女
２ ２