天津市六校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题
天津市静海县第一中学、杨村一中、宝坻一中等六校2018
2017～2018学年度第一学期期中六校联考高三数学（理）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知命题p :∃n ∈N ，2n >1000，则⌝p 为（ ）.（A ）∃n ∈N ，2n <1000（B ）∀n ∈N ，2n >1000 （C ）∃n ∈N ，2n ≤1000 （D ）∀n ∈N ，2n ≤1000（2）已知向量a =(1，2)，a －b =(4，5)，c =(x ，3)，若(2a +b )∥c ，则x=（ ）．（A ）－1 （B ）－2 （C ）－3 （D ）－4（3）若数列{a n }中，a 1=3，a n +a n –1=4（n ≥2），则a 2017的值为（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）若点P (cos α，sin α)在直线y= –2x 上，则sin 2α +cos (2α +π2)=（ ）． （A ）0 （B ）52 （C ）56 （D ）58 （5）“1a =”是“函数()x xe af x a e =-是奇函数”的（ ）． （A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，满足条件)1(+=x f y 是偶函数，且当1≥x 时，A 1)21()(-=x x f ，则3(log 2),((3)a f b f c f ==-=的大小关系是（ ）． （A ）a b c >> （B ）b c a >> （C ）b a c >>（D ）c b a >> （7）将函数f (x )=sin (2x +ϕ)（|ϕ|＜π2）的图象向右平移θ（θ ＞0）个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P (0，23)，则θ 的值可以是（ ）． （A ）5π3 （B ）5π6 （C ）π2 （D ）π6（8）已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<153)6sin(30|log |3x x x x ，，，π，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4，且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则2143)3)(3(x x x x --的取值范围是（ ）． （A ）（0，27）（B ）（0，45） （C ）（27，45）（D ）（45，72） 第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题卡上）（9）已知集合M x y ⎧⎫⎪=⎨⎪⎩，{}230N x x =-+<，则集合R M N ð等于_____．（10）在等差数列{n a }中，若4a =4，35715a a a =＋＋，则前10项和S 10 =__________．（11）已知a ＞b ＞0，ab=1，则22a b a b+-的最小值为__________． （12）若函数2()2f x x x =-，()2(0)g x ax a =+>，对于1x ∀∈[]1,2-，[]21,2x ∃∈-，使12()()g x f x =，则a 的取值范围是_____________.（13）如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，点P 是MD 的中点. 若|AB |=2，|AD |=1，且∠BAD=60º，则AP CP ⋅=__________．（14）已知函数f (x )的定义域为R ，其图象关于点(–1，0)中心对称，其导函数为f '(x )，当x＜–1时，(x+1)[f (x )+(x+1)f '(x )]＜0，则不等式xf (x –1)＞f (0)的解集为__________．三、解答题：（本大题共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）设函数()2sin cos 2f x x x x ωωω=+-(ω>0)，且()y f x =图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f (x )在区间[,]122ππ上的最大值和最小值．（16）（本小题满分13分）已知A (–1，0)，B (0，2)，C (–3，1)，AB •AD =5，2AD =10．（Ⅰ）求D 点的坐标；（Ⅱ）若D 点在第二象限，用AB ，AD 表示AC ；（Ⅲ）设AE =(m ，2)，若3AB +AC 与AE 垂直，求AE 的坐标．（17）（本小题满分13分）在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且cos2A –3cos B cos C+3sin B sin C=1． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3a =,sin 2sin B C =,求ABC S ∆.已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足*1121(2,N )n n n S S S n n +-+=+≥∈． （Ⅰ）求证：数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n S b n=，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （Ⅲ）设14(1)2n a n n n C λ-=+-⋅⋅（λ为非零整数，*N n ∈），是否存在λ的值，使得对任意*N n ∈，有1n n C C +>恒成立．若存在求出λ的值，若不存在说明理由.（19）（本小题满分14分）已知函数f (x )=x 3–x （Ⅰ）判断()f x x的单调性； （Ⅱ）求函数y=f (x )的零点的个数；（Ⅲ）令g (x )2ln x ，若函数y=g (x )在(0，1e )内有极值，求实数a 的取值范围．（20）（本小题满分14分）设函数f (x )=x –x1–a ln x （a ∈R ）． （Ⅰ）求f (x )的单调区间；（Ⅱ）设g(x)=f(x)+2a ln x，且g(x)有两个极值点x1，x2，其中x1∈(0，e]，求g(x1)–g(x2)的最小值；（Ⅲ）证明：∑=+ -nkkk211ln＞)1(222+--nnnn（n∈N*，n≥2）．。
2017-2018年天津市静海一中、宝坻一中等六校联考高一(上)期中数学试卷及参考答案
2017-2018学年天津市静海一中、杨村一中、宝坻一中等六校联考高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）设全集为U={n|n∈N*且n＜9}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则∁U（S∪T）等于（）A．∅B．{2，4，7，8}C．{1，3，5，6}D．{2，4，6，8}2．（4分）函数y=lnx﹣6+2x的零点一定位于如下哪个区间（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（5，6）3．（4分）下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=B．y=x3﹣1 C．y=D．y=log2|x|4．（4分）下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．y=x﹣1与y=B．y=与y=C．y=4lgx与y=2lgx2 D．y=lgx﹣2与y=lg5．（4分）幂函数f（x）的图象过点（2，m）且f（m）=16，则实数m的所有可能的值为（）A．4或B．±2 C．4或D．或26．（4分）三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为（）A．B．C．D．0.993.3＜log20.8 l＜log3π7．（4分）已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m、n的值分别为（）A．B．C．D．8．（4分）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）9．（4分）设集合A=[0，），B=[，1]，函数f （x）=，若x0∈A，且f[f （x0）]∈A，则x0的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．（，）D．[0，]10．（4分）定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且，则满足的x的取值范围是（）A．（0，）∪（2，+∞）B．（，1）∪（1，2） C．（﹣∞，）∪（2，+∞）D．（，1）∪（2，+∞）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡上）11．（4分）若2a=5b=10，则=．12．（4分）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是．13．（4分）已知a，b为常数，若f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，则5a ﹣b=．14．（4分）已知函数f（x）=对任意的实数x1≠x2，都有＜0成立，则实数a的取值范围．15．（4分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．三、解答题：（本大题共5个小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（8分）计算：（Ⅰ）；（Ⅱ）log3+lg25+lg4+．17．（12分）已知全集U=R，集合A={x|﹣7≤2x﹣1≤7}，B={x|m﹣1≤x≤3m﹣2}．（1）m=3时，求A∪（∁U B）；（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x （1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求关于m的不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0的解集．19．（14分）已知定义域为R的函数是奇函数，（1）求a，b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+c，且．（1）求证：a＞0且；（2）求证：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1﹣x2|的范围．2017-2018学年天津市静海一中、杨村一中、宝坻一中等六校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）设全集为U={n|n∈N*且n＜9}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则∁U（S∪T）等于（）A．∅B．{2，4，7，8}C．{1，3，5，6}D．{2，4，6，8}【解答】解：全集为U={n|n∈N*且n＜9}={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，∴S∪T={1，3，5，6}，∴∁U（S∪T）={2，4，7，8}．故选：B．2．（4分）函数y=lnx﹣6+2x的零点一定位于如下哪个区间（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（5，6）【解答】解：当x=1，2，3，4时，函数值y=﹣4，ln2﹣2，ln3，1+ln4由零点的判定定理知函数的零点存在于（2，3）内故选：B．3．（4分）下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=B．y=x3﹣1 C．y=D．y=log2|x|【解答】解：对于A，函数不是偶函数，不合题意；对于B，函数不是偶函数，不合题意；对于C，函数是奇函数，不合题意；对于D，函数是偶函数且在（0，+∞）递增，符合题意；故选：D．4．（4分）下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．y=x﹣1与y=B．y=与y=C．y=4lgx与y=2lgx2 D．y=lgx﹣2与y=lg【解答】解：对于A，y=x﹣1（x∈R），与y==|x﹣1|（x∈R）的对应关系不同，不是同一函数；对于B，y==x+1（x∈R），与y==x+1（x＞﹣1）的定义域不同，不是同一函数；对于C，y=4lgx（x＞0），与y=2lgx2=4lg|x|（x≠0）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于D，y=lgx﹣2（x＞0），与y=lg=lgx﹣2（x＞0）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．5．（4分）幂函数f（x）的图象过点（2，m）且f（m）=16，则实数m的所有可能的值为（）A．4或B．±2 C．4或D．或2【解答】解：由于幂函数的解析式为f（x）=xα，由图象过点（2，m）可得m=2α，f（m）=（2α）α=16，解得α=±2，故m=4或故选：C．6．（4分）三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为（）A．B．C．D．0.993.3＜log20.8 l＜log3π【解答】解：∵0＜0.993.3＜0.990=1，log3π＞log33=1，log20.8＜log21=0．∴．故选：C．7．（4分）已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m、n的值分别为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得﹣log2m=log2n，=n，函数f（x）=|log2x|在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，∴||=2，或log2n=2．∴当||=2时，n=，n=2，m=．此时，f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，满足条件．当log2n=2时，n=4，m=，此时，f（x）在区间[m2，n]上的最大值为||=4，不满足条件．综上，n=2，m=．故选：C．8．（4分）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：令f（a）=t，则f（t）=2t，当t＜1时，3t﹣1=2t，由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2t ln2，在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，即有g（t）＜g（1）=0，则方程3t﹣1=2t无解；当t≥1时，2t=2t成立，由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．综上可得a的范围是a≥．故选：C．9．（4分）设集合A=[0，），B=[，1]，函数f （x）=，若x0∈A，且f[f （x0）]∈A，则x0的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．（，）D．[0，]【解答】解：∵0≤x0＜，∴f（x0）=x0 +∈[，1]⊆B，∴f[f（x0）]=2（1﹣f（x0））=2[1﹣（x0+）]=2（﹣x0）．∵f[f（x 0）]∈A，∴0≤2（﹣x0）＜，∴＜x0≤．又∵0≤x0＜，∴＜x0＜．故选：C．10．（4分）定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且，则满足的x的取值范围是（）A．（0，）∪（2，+∞）B．（，1）∪（1，2） C．（﹣∞，）∪（2，+∞）D．（，1）∪（2，+∞）【解答】解：∵定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且，∴f（﹣）=0，且函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，则由，可得＞=，或＜﹣=，解得0＜x＜，或x＞2，故选：A．二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡上）11．（4分）若2a=5b=10，则=1．【解答】解：因为2a=5b=10，故a=log210，b=log510=1故答案为1．12．（4分）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）．【解答】解：∵函数y=f（x）的定义域是[0，2]，∴要使函数g（x）=有意义，则，解得：．∴函数g（x）=的定义域为（）．故答案为：（）．13．（4分）已知a，b为常数，若f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，则5a ﹣b=2．【解答】解：由f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，得（ax+b）2+4（ax+b）+3=x2+10x+24，即a2x2+2abx+b2+4ax+4b+3=x2+10x+24．比较系数得求得a=﹣1，b=﹣7，或a=1，b=3，则5a﹣b=2．故答案为214．（4分）已知函数f（x）=对任意的实数x1≠x2，都有＜0成立，则实数a的取值范围a≤．【解答】解：由题意，，解得，a≤，故答案为：a≤．15．（4分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是（3，+∞）．【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．三、解答题：（本大题共5个小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（8分）计算：（Ⅰ）；（Ⅱ）log3+lg25+lg4+．【解答】解：（Ⅰ）原式=﹣1﹣+16=16．（Ⅱ）原式=+2+2=．17．（12分）已知全集U=R，集合A={x|﹣7≤2x﹣1≤7}，B={x|m﹣1≤x≤3m﹣2}．（1）m=3时，求A∪（∁U B）；（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）把m=3代入得：B={x|2≤x≤7}，∴∁U B={x|x＜2或x＞7}，∵A={x|﹣7≤2x﹣1≤7}={x|﹣3≤x≤4}，∴A∪（∁U B）={x|x≤4或＞7}；（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，∴当B=∅，即m﹣1＞3m﹣2，此时m＜；当B≠∅，即m﹣1≤3m﹣2，此时m≥，则有，解得：﹣2≤m≤2，此时≤m≤2，综上，m的范围是{m|m≤2}．18．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x （1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求关于m的不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0的解集．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），…（1分）∴当x=0时，f（x）=0；…（2分）当x＜0时，﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）=（﹣x）（1﹣x）=x（x﹣1）．…（4分）∴f（x）=…（5分）（Ⅱ）∵函数f（x）为奇函数，∴f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0⇔f（1﹣m2）＜﹣f（1﹣m）=f（m﹣1），…（8分）易知f（x）在R单调递减，…（9分）∴1﹣m2＞m﹣1，解得：﹣2＜m＜1故不等式的解集是{x|﹣2＜m＜1}．…（12分）19．（14分）已知定义域为R的函数是奇函数，（1）求a，b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即=0⇒b=1；∴f（x）=；又∵定义域为R，则有f（﹣1）=﹣f（1），可得：=﹣⇒a=2；经检验：f（x）是奇函数，满足题意．所以a，b的值分别为2，1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）==﹣+，易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数；又因f（x）是奇函数，从而不等式：f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），因f（x）为减函数，f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），得：t2﹣2t＞k﹣2t2即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，开口向上，从而判别式△=4+12k＜0⇒k＜﹣即k的取值范围是20．（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+c，且．（1）求证：a＞0且；（2）求证：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1﹣x2|的范围．【解答】（1）证明：∵f（1）=a+b+c=﹣，∴c=﹣a﹣b∴3a＞2c=﹣3a﹣2b，∴3a＞﹣b，∵2c＞2b，∴﹣3a＞4b；若a＞0，则﹣3＜；若a=0，则0＞﹣b，0＞b，不成立；若a＜0，则﹣＜﹣3，不成立．（2）f（0）=c，f（2）=4a+2b+c，f（1）=﹣，△=b2﹣4ac=b2+4ab+6a2＞0①当c＞0时，f（0）＞0，f（1）＜0，所以f（x）在（0，1）上至少有一个零点②当c=0时，f（0）=0，f（2）=4a+2b=a＞0，所以f（x）在（0，2）上有一个零点③当c＜0时，f（0）＜0，f（1）＜0，b=﹣a﹣c，f（2）=4a﹣3a﹣2c+c=a﹣c ＞0，所以f（x）在（0，2）上有一个零点综上：所以f（x）在（0，2）上至少有一个零点．（3）c=﹣a﹣b，（|x1﹣x2|）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=b2﹣4ac|a|=（+2）2+2因为﹣3＜b/a＜﹣，所以（|x1﹣x2|）2∈[2，）所以|x1﹣x2|∈[，）。
天津市六校(静海一中、杨村一中、宝坻一中等)高一地理上学期期末联考试题(new)
① ② ③太 阳 内 部太阳 大气2017～2018学年度第一学期期末六校联考高一地理试卷第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂。
一、单选题（共35小题，每题2分，共70分)读图回答1～3题。
1．图中所包含的天体系统层次有A ．一个B ．两个C ．三个D ．四个2．甲天体是A ．水星B ．金星C ．火星D ．木星3．与甲天体相比,地球存在生命的条件有A ．安全的行星环境B ．稳定的太阳辐射C ．有液态水D ．有独特的公转方向读“太阳大气层示意图”，完成4~5题。
4．关于太阳活动的说法正确的是A ．黑子发生在①层B ．黑子和耀斑都发生在①层C ．黑子发生在②层D ．黑子和耀斑分别发生在②层和③层甲太阳地球5．发生在②层的太阳活动给地球带来的影响可能是A．出现“磁暴”现象，使罗盘等不能正确指示方向B．许多地区的有线电通信中断C．我国上海地区上空出现极光现象D．全球许多国家出现强烈地震太阳是距离地球最近的一颗恒星,源源不断地以电磁波的形式向宇宙空间放射能量，这种方式被称为太阳辐射。
据此回答6~7题。
6．太阳辐射能主要集中在A．紫外区B．可见光区C．红外区D．远红外区7．下列关于太阳辐射及其对地球影响的叙述，正确的是A．太阳辐射能来源于太阳黑子和耀斑爆发时释放的能量B．太阳辐射能大部分到达地球，维持着地表温度C．太阳辐射能分布较分散,因此属于人们不经常利用的能源D．煤、石油等化石燃料，属于地质历史时期生物固定、积累下来的太阳能读“20元人民币的背景图”，回答8～9题.8．图片体现出的地球圈层个数为A．1个B．2个C．3个D．4个9．地理环境中的生物圈是大气上界ABC DA ．地球上所有生物的总称B ．连续而又规则的圈层C ．最活跃且不独自占有空间的圈层D ．主要成分是氮和氧读“大气热力环流示意图”，回答10～11题。
2017-2018学年天津市静海一中、杨村一中、宝坻一中等六校联考高一(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年天津市静海一中、杨村一中、宝坻一中等六校联考高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.某企业有职150人，其中高级职员15人，中级职员45人，一般职员90人，现抽30人进行分层抽样，则各职称人数分别为（）A. 5，10，15B. 3，9，18C. 3，10，17D. 5，9，162.已知变量x，y之间的线性回归方程为=-0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）B. 可以预测，当时，C. 变量x，y之间呈现负相关关系D. 由表格数据知，该回归直线必过点3.在空间直角坐标系O-xyz中，点P（2，-4，3）到x轴的距离为（）A. 2B. 3C. 5D.4.已知实数m，n满足m+n-1=0，则m2+n2的最小值为（）A. B. C. 1 D. 25.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. 3 D.6.在三棱锥P-ABC中，AP=2，AB=，PA⊥面ABC，且在△ABC中，C=60°，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.7.如图，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：①三棱锥D-BPC1的体积为定值；②异面直线C1P与直线CB1所成的角为定值；③二面角P-BC1-D的大小为定值；④AP⊥平面A1B1CD．其中真命题有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.设直线l：3x+4y+a=0，圆C：（x-2）2+y2=2，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，则a的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.从某企业的某种产品中抽取1000件，测量该种产品的一项指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图．假设这种指标值在[185，215]内’则这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为______．10.由直线y=x+1上的一点向圆（x-3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为______．11.过点P（2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______．12.如图，已知边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，点E为线段CD1的中点，则直线AE与平面A1BCD1所成角的正切值为______．13.甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污染，记甲、乙的平均成绩为甲，，则甲＞乙的概率是______．乙14.如图，在边长为6的正方形EFGH内有一个锐角△ABC，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4a sin B=b，且a=6，b+c=8，则往正方形EFGH内投一粒豆子，豆子落在锐角△ABC内的概率为______．三、解答题（本大题共5小题，共64.0分）15.（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；（Ⅱ）求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程=+x；（Ⅲ）若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．（参考公式：==，=-）16.已知a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，且满足a+b cos C=c cos B-b．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若c2=（a+b）2-6，求△ABC的面积．17.4月7日是世界健康日，成都某运动器材与服饰销售公司为了制定销售策略，在成都市随机抽取了40名市民对其每天的锻炼时间进行调查，锻炼时间均在20分钟至140分钟之间，根据调查结果绘制的锻炼时间（单位：分钟）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）根据频率分布直方图计算人们锻炼时间的中位数；（Ⅱ）在抽取的40人中从锻炼时间在[20，60]的人中任选2人，求恰好一人锻炼时间在[20，40]的概率．18.如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，，E为BC中点．（1）求证：平面PBC⊥平面PDE；（2）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明：若无，请分析说明理由．19.已知圆M与直线x=2相切，圆心M在直线x+y=0上，且直线x-y-2=0被圆M截得的弦长为2．（Ⅰ）求圆M的方程，并判断圆M与圆N：x2+y2-6x+8y+15=0的位置关系；（Ⅱ）若横截距为1且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得直线AQ的倾斜角与直线BQ的倾斜角互补，若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：抽取的比例为，15×=3，45×=9，90×=18．故选：B．共有150人，要抽一个30人的样本，采用分层抽样，每个个体被抽到的概率是，根据这个比例作出各种职称的人数．这种问题是高考题中容易出现的，分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等．2.【答案】A【解析】解：由表中数据，计算=×（6+8+10+12）=9，=×（6+m+3+2）=，代入线性回归方程=-0.7x+10.3中，得=-0.7×9+10.3，解得m=5，∴A错误；x=20时，=-0.7x+10.3=-0.7×20+10.3=-3.7，B正确；=-0.7＜0，变量x，y之间呈现负相关关系，C正确；由题意知，=9，=4，该回归直线必过样本中心点（9，4），D正确．故选：A．由表中数据计算、，代入线性回归方程中求得m的值，再判断选项中的命题是否正确．本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．3.【答案】C【解析】解：在空间直角坐标系O-xyz中，点P（2，-4，3）到x轴的距离即P（2，-4，3）到点Q（2，0，0）的距离，∴点P（2，-4，3）到x轴的距离为|PQ|==5．故选：C．点P（2，-4，3）到x轴的距离即P（2，-4，3）到点Q（2，0，0）的距离，由此能求出点P（2，-4，3）到x轴的距离．本题空间直角坐标系中的点到x轴的距离的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查学生的空间想象能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵2（m2+n2）≥m2+n2的+2mn=（m+n）2．∴m2+n2=，故选：B．由m2+n2=，即可．被踢考查了不等式的性质，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由几何体的三视图得该几何体是三棱锥S-ABC，其中SO⊥底面ABC，O是AC中点，且OA=OC=OB=1，SO=2，OB⊥AC，∴该几何体的体积为：V S-ABC===．故选：A．由几何体的三视图得该几何体是三棱锥S-ABC，其中SO⊥底面ABC，O是AC中点，且OA=OC=OB=1，SO=2，OB⊥AC，由此能求出该几何体的体积．本题考查几何体的体积的求法，考查三视图等基知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是基础题．6.【答案】B【解析】解：根据题意得出图形如右图：O为球心，N为底面△ABC截面圆的圆心，ON⊥面ABC，∵在三棱锥P-ABC中，AP=2，AB=，PA⊥面ABC，且在△ABC中，C=60°，∴根据正弦定理得出：=2r，解得r=1，∵PA⊥面ABC，∴PA∥ON，∵PA=2，AN=1，ON=d，∴OA=OP=R，∴根据等腰三角形得出：12+d2=（2-d）2+12，解得d=1，∴R=，∴三棱锥的外接球的表面积为4πR2=8π．故选：B．根据正弦定理得出截面圆的半径为1，利用球的几何性质把空间转化为平面为梯形PANO，利用平图形的几何性质求解．本题综合考查了空间几何的性质，球的几何意义，学生的空间想象能力，解决三角形的问题，属于综合性较强的题目．7.【答案】D【解析】解：对于①，由=知，面积一定，且P∈AD1，AD1∥平面BDC1，∴点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离，三棱锥的体积为定值，①正确；对于②，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，∴B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，∴B1C⊥C1P，异面直线C1P与CB1所成的角为定值90°，②正确；对于③，二面角P-BC1-D的大小，是平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角，这两个平面为固定的平面，它们的夹角为定值，③正确；对于④，点P在线段AD1上运动，AD1⊥A1D，AD1⊥CD，且A1D∩CD=D，∴A1D⊥平面A1B1CD，∴AP⊥平面A1B1CD，④正确；综上，正确的命题序号是①②③④．故选：D．①，由=，结合题意判断三棱锥D-BPC1的体积为定值；②，根据正方体的结构特征判断异面直线C1P与CB1所成的角为定值90°；③，根据二面角P-BC1-D是平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角，夹角为定值；④，根据A1D⊥平面A1B1CD得出AP⊥平面A1B1CD．本题考查了异面直线所成角以及直线与平面和二面角的应用问题，也考查了三棱锥的体积计算问题，是综合题．8.【答案】C【解析】解：圆C：（x-2）2+y2=2，圆心为：（2，0），半径为，∵在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，∴在直线l上存在一点M，使得M到C（2，0）的距离等于2，∴只需C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，故≤2，解得-16≤a≤4．故选：C．由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解．本题考查直线和圆的位置关系，由题意得到圆心到直线的距离小于或等于2是解决问题的关键，属中档题9.【答案】79%【解析】解：这种指标值在[185，215]内，则这项指标合格，由频率分布直方图得这种指标值在[185，215]内的频率为：（0.022+0.033+0.024）×10=0.79，∴估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为0.79×100%=79%．故答案为：79%．由频率分布直方图求出这种指标值在[185，215]内的频率，由此能估计该企业这种产品在这项指标上的合格率．本题考查产品合格率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.【答案】【解析】解：从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．圆心到直线的距离为：．切线长的最小值为：，故答案为：从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．本题考查直线和圆的方程的应用，圆的切线方程，考查转化的数学思想，是基础题．11.【答案】x+y-5=0，或3x-2y=0【解析】解：若直线的截距不为0，可设为，把P（2，3）代入，得，，a=5，直线方程为x+y-5=0若直线的截距为0，可设为y=kx，把P（2，3）代入，得3=2k，k=，直线方程为3x-2y=0∴所求直线方程为x+y-5=0，或3x-2y=0故答案为x+y-5=0，或3x-2y=0分直线的截距不为0和为0两种情况，用待定系数法求直线方程即可．本题考查了直线方程的求法，属于直线方程中的基础题，应当掌握．12.【答案】【解析】解：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，2，0），E（1，0，1），B（0，2，0），C（0，0，0），D1（2，0，2），=（1，2，-1），=（0，2，0），=（2，0，2），设平面A1BCD1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，-1），设直线AE与平面A1BCD1所成角为θ，则cosθ===，sinθ==，∴tanθ===．∴直线AE与平面A 1BCD1所成角的正切值为．故答案为：．：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与平面A1BCD1所成角的正切值．本题考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．13.【答案】【解析】解：由已知中的茎叶图可得乙的5次综合测评中的成绩分别为87，86，92，94，91，则乙的平均成绩：=（87+86+92+94+91）=90,设污损数字为x,甲的5次综合测评中的成绩分别为85，87，84，99，90+x,甲的平均成绩：=（85+87+84+99+90+x）=89+，∵＞，∴90＜89+，x∈N，解得x的可能取值为6，7，8，9，∴＞的概率是p==．故答案为：．由茎叶图求出，，由＞，得90＜89+，x∈N，由此能过河卒子同＞的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶力的性质的合理运用．14.【答案】【解析】=62=36，解：正方形EFGH的面积为S正方形EFGH锐角△ABC中，4asinB=b，∴4sinAsinB=sinB，∴sinA=，又a=6，b+c=8，∴a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bccosA=82-2bc-2bc=64-2bc（1+）=36，∴bc=8，∴△ABC的面积为S △ABC=bcsinA=×8×=．∴所求的概率为P==．故答案为：．求出正方形EFGH的面积和△ABC的面积，利用面积比求出概率值．本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．15.【答案】解：（Ⅰ）依题意，画出散点图如图所示，（Ⅱ）由题意，==6，==3.4则==0.5，a=3.4-3=0.4．∴年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为=0.5x+0.4．（Ⅲ）当x=11时，=0.5x+0.4=0.5×11+0.4=5.9（万元）．∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．【解析】（Ⅰ）根据表中所给的5组数据，写出5个有序数对，画出平面直角坐标系，在坐标系中描出5个点，就是我们要求的散点图．（Ⅱ）首先求出x，y的平均数，利用最小二乘法做出b的值，再利用样本中心点满足线性回归方程和前面做出的横标和纵标的平均值，求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅲ）第6名推销员的工作年限为11年，即当x=11时，把自变量的值代入线性回归方程，得到y的预报值，即估计出第6名推销员的年推销金额为5.9万元．本题考查回归分析的初步应用，考查利用最小二乘法求线性回归方程，是一个综合题目．16.【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理得sin A+sin B cos C=sin C cos B-sin B，又sin A=sin（B+C）=sin B cos C+sin C cos B，∴2cos C=-1，即cos C=-，而C为△ABC的内角，∴C=；（Ⅱ）由c2=（a+b）2-6=a2+b2+2ab-6，再由（Ⅰ）可得，c2=a2+b2+-2ab×（-）=a2+b2+ab，所以2ab-6=ab，即ab=6，所以△ABC的面积S=ab sin C=×6×=．【解析】（Ⅰ）由正弦定理把已知等式边化角，结合sinA=sin（B+C），得cosC=-，得C=；（Ⅱ）由c2=（a+b）2-6=a2+b2+2ab-6，结合余弦定理得ab=6，得△ABC的面积S=．本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．17.【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得锻炼时间在[20，40）的频率为0.0025×20=0.05，锻炼时间在[40，60）的频率为0.0075×20=0.15，锻炼时间在[60，80）的频率为0.0200×20=0.4，∴锻炼时间的中位数在[60，80）内，设中位数为x，则0.05+0.15+（x-60）×0.02=0.5，解得x=75，∴人们锻炼时间的中位数为75分钟．（Ⅱ）由频率分布直方图得锻炼时间在[20，40）的人数为0.0025×20×40=2，设这2人为x1，x2，锻炼时间在[40，60）的人数为0.0075×20×40=6，设这6人为y1，y2，y3，y4，y5，y6，从这8人中任取2人的不同取法有：（x1，x2），（x1，y1），（x1，y2），（x1，y3），（x1，y4），（x1，y5），（x1，y6），（x2，y1），（x2，y2），（x2，y3），（x2，y4），（x2，y5），（x2，y6），（y1，y2），（y1，y3），（y1，y4），（y1，y5），（y1，y6），（y2，y3），（y2，y4），（y2，y5），（y2，y6），（y3，y4），（y3，y5），（y3，y6），（y4，y5），（y4，y6），（y5，y6），其中恰有1人锻炼时间在[20，40）内的不同取法有12种，∴恰好一人锻炼时间在[20，40]的概率p=．【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图得锻炼时间在[20，40）的频率为0.05，锻炼时间在[40，60）的频率为0.15，锻炼时间在[60，80）的频率为0.4，由此能求出人们锻炼时间的中位数．（Ⅱ）由频率分布直方图得锻炼时间在[20，40）的人数为2，设这2人为x1，x2，锻炼时间在[40，60）的人数为6，设这6人为y1，y2，y3，y4，y5，y6，从这8人中任取2人，利用列举法能求出恰好一人锻炼时间在[20，40]的概率．本题考查中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】（1）证明：连结BD，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=a，，∴BD=DC=2a，∵E为BC中点，∴BC⊥DE，又∵PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，∵DE∩PD=D，∴BC⊥平面PDE，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PDE；（2）解：当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA∥平面BDF．证明如下：连结AC，BD交于O点，∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，又∵，∴，从而在△CPA中，，而，∴OF∥PA，而OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF，∴PA∥平面BDF．【解析】（1）连结BD，由已知求解三角形可得BD=DC=2a，再由E为BC中点，可得BC⊥DE，由PD⊥平面ABCD，可得BC⊥PD，然后利用线面垂直的判定可得BC⊥平面PDE，进一步得到平面PBC⊥平面PDE；（2）当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA∥平面BDF．连结AC，BD交于O点，由题意可得△AOB∽△COD，再由，得，由，可得，从而得到OF∥PA，由线面平行的判定得PA∥平面BDF．本题考查平面与平面垂直的判定，考查线面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）∵圆心M在直线x+y=0上，∴设圆心M为（a，-a），∵圆M与直线x=2相切，且直线x-y-2=0被圆M截得的弦长为2．则，解得a=0，r=2∴圆心M（0，0），r=2，∴圆M的方程为x2+y2=4，圆N的圆心（3，-4），半径R=，∵|MN|=5∈（-2，+2），∴圆M与圆N相交；（Ⅱ）设直线l：x=my-1（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），代入x2+y2=4，化简得（m2+1）y2-2my-3=0，∴y1+y2=，y1y2=，假设存在Q（t，0）满足条件，则k AQ==，k BQ==，若k AQ+k BQ=0，则+=0，即===0，解得2m（t+4）=0且m≠0，即t=-4．故存在Q（-4，0）满足条件【解析】（Ⅰ）设圆心M为（a，-a），根据圆M与直线x=2相切，且直线x-y-2=0被圆M 截得的弦长为2．解得圆心M或r，从而求出圆M的方程，由圆N的方程得到圆N的圆心和半径R，求出|MN|的值即可判断圆M与圆N的位置关系；（Ⅱ）设直线l：x=my-1（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，化简可得y1+y2，y1y2的值，假设存在Q（t，0）满足条件，求出k AQ，k BQ结合k AQ+k BQ=0，化简整理即可求出t的值，从而判断存在Q满足条件．本题考查直线和圆的位置关系，考查圆的方程的求法，考查根与系数的关系，考查运算能力，属于中档题。
天津市七校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题(精品解析)
2018～2019学年度第一学期期末六校联考高二数学一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）1.复数，则（）A. 0B.C. 1D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算将式子化简以及模长公式,得到结果即可.【详解】所以.故选D.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模长的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为（）A. 16B. 15C. 14D. 13【答案】B【解析】【分析】由题意，等差数列的公差为2，，根据，解得，即可求解.【详解】由题意，等差数列的公差为2，前项和为，因为，解得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.下列叙述中正确的是（）A. 若，则“”的充分条件是“”B. 若，则“”的充要条件是“”C. 命题“”的否定是“”D. 是等比数列，则是为单调递减数列的充分条件【答案】C【解析】【分析】由题意，根据二次函数的性质，可判定A不正确；根据不等式的性质，可判定B不正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定C正确；根据等比数列的性质，可判定D正确.对于A中，若，则“”的充分条件是“且【详解】由题意，对于A中，若，则“”的充分条件是“且”，所以是错误的；对于B中，若，则“”的充要条件是“且”，所以不正确；对于C中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“”，所以是正确的；对于D中，在是等比数列，，例如当且时，此时为单调递增数列，所以不正确.故选C.【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记二次函数的性质，不等式的性质以及等比数列的单调性等知识点，合理、准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4.已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆在第二象限的交点为M，与轴的交点为N，是椭圆的右焦点,且，则椭圆的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，求得和，根据和椭圆的定义可得，从而求得，进而可求解椭圆的标准方程.【详解】由题意，直线与轴的交点，又直线过椭圆的左焦点，所以，即，因为直线与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为，且，所以，即，又由，所以椭圆的方程为，故选D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，其中解答中认真审题，合理利用椭圆的定义和几何性质求解得值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.5.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，取得平面的法向量为，即可求解点E到平面的距离，得到答案.【详解】如图所示，以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，取，得，所以点E 到平面的距离为，故选B.【点睛】本题主要考查了空间向量在的距离中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，熟练应用平面的法向量和距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 6.已知，，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到答案. 【详解】由题意，若，则，则，所以，则成立，当时，满足，但不一定成立，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中解答中结合不等式的关系和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 7.已知函数是定义在R 上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ）A. 或B. 或C. 或D.或【答案】C 【解析】 【分析】由题意，令，利用函数的奇偶性的定义和导数求得函数单调性，又由，即，即，即可求解.【详解】由题意，令，当时，，所以函数在上单调递增，又由函数为偶函数，所以，所以函数为定义域上的奇函数，所以函数在上单调递增，又因为，所以，且.所以当或时，，当或时，，又由，即，即，所以或所以不等式的解集为或，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，利用导数研究函数的单调性及应用，其中解答中根据题意合理构造函数，利用导数得出函数的单调性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.8.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，求得是的中位线，得到，因为，所以，，又由抛物线的定义可得，过点F作的垂线，点P到该垂线的距离为，由勾股定理得，即可求解.【详解】设双曲线的右焦点为，则的坐标为，因为抛物线为，所以为抛物线的焦点，因为O为的中点，又由，则点为的中点，所以是的中位线，所以,因为，所以，又，所以，设点，则由抛物线的定义可得，所以，过点F作的垂线，点P到该垂线的距离为，由勾股定理得，即，得，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准及简单的几何性质的应用，以及抛物线的定义的应用，其中解答中合理应用圆锥曲线的几何性质，得出关于离心率的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9.已知方程表示椭圆，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由方程表示椭圆，根据椭圆的标准方程，列出不等式组，即可求解【详解】由题意，方程表示椭圆，则满足，解得且，即实数的取值范围为且.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，其中解答中根据椭圆的标准方程，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.设公比为的正项等比数列的前项和为，且，若，则__________. 【答案】【解析】由已知得，两式相减可得，，，或（舍去），故答案为.11.在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为__________.【解析】【分析】由题意，设，建立空间的一个基底，在正四面体中，根据向量的数量积的运算，即可求解.【详解】由题意，设，建立空间的一个基底，在正四面体中，所以.【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算问题，其中解答中建立适当的空间基底，熟记向量的表示，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12.已知，，且，则的最小值等于__________.【答案】【解析】【分析】由题意，根据题设条件，得到，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，且，则，当且仅当，即时等号成，所以的最小值等于.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意，合理恒等变换，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.13.设抛物线（）的焦点为，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足为. 若，且三角形的面积为，则的值为___________.【答案】【分析】由抛物线的定义，化简得到直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系求得，求得，求得的长，利用面积公式，即可求解.【详解】如图所示，由抛物线的定义可知，则，则,所以直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立方程组，整理得，所以，所以，则，所以的面积为，解得.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程的应用，以及抛物线的几何性质的应用问题，其中解答中熟练应用抛物线的定义，求得直线的方程，利用抛物线焦点弦的性质，求得的长是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想的应用.14.已知函数，若是函数唯一的极值点，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由题意，求得函数的导数，根据题意是函数的唯一的一个极值点，得出在无变号零点，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，且，因为是函数的唯一的一个极值点，所以是导函数的唯一根，所以在无变号零点，即在上无变号零点，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中把是函数的唯一的一个极值点，转化为在无变号零点，构造新函数，利用导数求解函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，以及推理与计算能力，属于中档试题.三、解答题（共6小题，共80分）15.数列的前项和为，已知，. 其中（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】(1)由，可得，即，从而可得结论；（2）由（1）知，，可得，利用错位相减法，结合等比数列求和公式，即可得结果.【详解】（1）证明：∵，∴，∴，又，∴，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，，∴，∴，①. ②①-②得，∴.【点睛】本题主要考查等比数列的定义和等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.16.已知函数在处取得极值.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得函数的导数，由是函数的极值点，得到，求得，再利用导数的几何意义，即可求解切线的方程；（2）由，得，令，又由方程在上恰有两个不同的实数根，转化为上恰有两个不同实数根，利用导数取得函数的单调性和最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，求得函数的导数时，取得极值，故解得.经检验符合题意.（2）由知，得令则在上恰有两个不同的实数根，等价于上恰有两个不同实数根.当时，，于是上单调递增；当时，，于是在上单调递增；依题意有解得.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线方程，以及利用导数研究方程的根的问题，其中解答中熟记导数的几何意义求解切线的方程，以及把方程的根转化为在上恰有两个不同实数根，利用导数取得函数的单调性和最值，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.17.在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是. 若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（3）在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，点为棱的中点．【解析】【分析】（Ⅰ）由，是的中点，得到，进而得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到．（Ⅱ）以为原点，分别以为轴，如图建立坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.（Ⅲ）设且，求得，利用向量的夹角公式，求得，即可求解.【详解】（1）证明：∵，是的中点，∴，又平面，∴，∵，∴平面，∴．（2）以为原点，分别以， 为， 轴，如图建立坐标系．则：， ，，， ，，，，，设平面的一个法向量，则：，取，， ，所以，设平面的一个法向量，则取， ，，所以，．故平面与平面所成的二面角的正弦值为． （3）在棱上存在一点，使得直线与平面所成的角是，设且，，∴，∴， ，，∴，若直线与平面所成的的角为，则 ，解得， 所以在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，点为棱的中点．【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，以及利用空间线面角和二面角的求解问题，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理，以及熟记空间向量的数量积和夹角公式合理运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及推理与计算能力，属于基础题.18.已知数列满足，，其中.（1）设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；（2）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】(1) ;(2) 的最小值为3.【解析】试题分析：（1）利用递推公式即可得出为一个常数，从而证明数列是等差数，再利用等差数列的通项公式即可得到，进而得到；（2）利用（1）的结论，利用“裂项求和”即可得到，要使得对于恒成立，只要，即，解出即可.试题解析：（1）证明：，所以数列是等差数列，，因此，由.（2）由，所以，所以，因为，所以恒成立，依题意要使对于，恒成立，只需，且解得，的最小值为.【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19.已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点. 点为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最大值.【答案】（1）（2）（3）．【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出，，由此能求出椭圆的标准方程；（2）直线l的方程为，与椭圆联立，得，，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果；（3）由,可设的方程为，与椭圆联立方程得点的横坐标，由，结合基本不等式即可求出最小值. 试题解析：（1）∵左顶点为∴又∵∴又∵∴椭圆的标准方程为．（2）直线的方程为，由消元得化简得，，则当时，，∴∵点为的中点∴点的坐标为，则.直线的方程为，令，得点的坐标为，假设存在定点使得,则，即恒成立，∴恒成立∴即∴定点的坐标为.（3）∵∴的方程可设为，由得点的横坐标为由，得，当且仅当即时取等号，∴当时，的最小值为．点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.已知函数，.（1）若在处取得极值，求的值；（2）设，试讨论函数的单调性；（3）当时，若存在正实数满足，求证：.【答案】（1．（2）答案不唯一，具体见解析（3）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，求得函数的导数，根据，即可求解；（Ⅱ）由题意，得，求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（Ⅲ）代入，求出，令，，根据函数的单调性，即可作出证明.【详解】（1）因为，所以，因为在处取得极值，所以，解得．验证：当时，在处取得极大值．（2）解：因为所以．①若，则当时，，所以函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减．②若，，当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，恒成立，所以函数在上单调递增；当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减．（3）证明：当时，，因为，所以，即，所以．令，，则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时，取得最小值，最小值为．所以，即，所以或．因为为正实数，所以．当时，，此时不存在满足条件，所以．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.。
天津市六校(静海一中,杨村中学,宝坻一中,大港一中等) 2019-2020学年高一上学期期中联考 (数学)含答案
2019～2020学年度第一学期期中六校联考高一数学参考答案1．D 2．A 3．B4．C5．B6．C7．D8．A9．D10．211．[－2,2] 12．⎪⎭⎫⎢⎣⎡430， 13．10 14．15≥m15．解：（1）由2060x x -≥⎧⎨->⎩得{}|26A x x ∴=≤<………………2分 {}|26R C A x x x =<≥或………………3分{}{}{}()|26|18|1268A C R B x x x x x x x x ⋂=<≥⋂<<=<<≤<或或…5分（2）由已知得C A ⊆①若C =∅，则21a a ≥+ 1a ∴≤-符合题意………………7分②若C ≠∅，则212216a a a a <+⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩解得522a ≤≤………………10分 综上，实数的取值范围为5122a a ≤-≤≤或.………………11分 16．解：（1）因为函数()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，得1a =.…………………2分 所以()24f x x =+，…………………3分因为]3,1[-∈x所以4()13f x ≤≤，即值域为[4,13]. …………………5分（2）若()f x 在区间(]2-∞，上是减函数，则函数图象的对称轴为123x a a =-≥≥，， ………7分因为11a a <-<，所以[]11x a ∈-，时，函数()f x 递减，[]1x a a ∈-，时，函数()f x 递增， 故当[]1x a ∈，时，比较)()1(a f f 与的大小，()()217224f a f a a a ∴=-=-++，， …………………9分()()()()()222172244321f f a a a a a a a -=---++=-+=--，由于()()()()3101a f f a f f a ≥->∴≥，，， …………………10分 故()f x 在[]1a ，上的最大值为72a -.最小值为2)1(4)1(--=-a a f ………12分 17．解： （1）由，知：b=0…1分。
【全国百强校】天津市七校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2019届高三上学期期末考试数学(理)试题
）
3
A． [
8 ,
2 ]
33
24 B ． [ , ] C.
33
17 [,] 33
D ． [ 7 ,13] 33
7. 已知双曲线 x
0) 的左、右焦点分别为
F1 ， F2 ，过 F1 作圆 x2
y2
a2 的切线，交
双曲线右支于点 M ，若 ∠ F1MF2 45 ，则双曲线的离心率为（
）
A． 3
B ． 2 C.
2
D ．5
8. 定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f ( x 2) 2 f ( x) 1 ，当 x (0, 2] 时， f (x)
x2 x, x (0,1)
1
.若
, x [1,2]
x
x (0, 4] 时， t2 7t f ( x) 3 t 恒成立，则实数 t 的取值范围是（
14
3
2．设 a R ，直线 l1 ： ax 2y 6 0 ，直线 l2 ： x (a 1)y (a2 1) 0 ，则“ a 1”是“ l1 l2 ”
的（
）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
x0
2x 3y 9 0
3．设变量 x, y 满足约束条件
，则目标函数 z 2x y 的最小值是（
面积为 3 ，则 p _____________. 2
2
13．设 a 1 ， b 0 ，若 a b 2 ，则 2 1 的最小值为 _____________. a1 b
14. 在梯形 ABCD 中， AB CD ， AB BC 2 ， CD 1， ∠ BCD 120 ， P ， Q 分别为线段 BC 和
天津市七校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2018～2019学年度第一学期期末六校联考高二数学一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）1.复数，则（）A. 0B.C. 1D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算将式子化简以及模长公式,得到结果即可.【详解】所以.故选D.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模长的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为（）A. 16B. 15C. 14D. 13【答案】B【解析】【分析】由题意，等差数列的公差为2，，根据，解得，即可求解.【详解】由题意，等差数列的公差为2，前项和为，因为，解得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.下列叙述中正确的是（）A. 若，则“”的充分条件是“”B. 若，则“”的充要条件是“”C. 命题“”的否定是“”D. 是等比数列，则是为单调递减数列的充分条件【答案】C【解析】【分析】由题意，根据二次函数的性质，可判定A不正确；根据不等式的性质，可判定B不正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定C正确；根据等比数列的性质，可判定D正确.对于A中，若，则“”的充分条件是“且【详解】由题意，对于A中，若，则“”的充分条件是“且”，所以是错误的；对于B中，若，则“”的充要条件是“且”，所以不正确；对于C中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“”，所以是正确的；对于D中，在是等比数列，，例如当且时，此时为单调递增数列，所以不正确.故选C.【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记二次函数的性质，不等式的性质以及等比数列的单调性等知识点，合理、准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4.已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆在第二象限的交点为M，与轴的交点为N，是椭圆的右焦点,且，则椭圆的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，求得和，根据和椭圆的定义可得，从而求得，进而可求解椭圆的标准方程.【详解】由题意，直线与轴的交点，又直线过椭圆的左焦点，所以，即，因为直线与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为，且，所以，即，又由，所以椭圆的方程为，故选D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，其中解答中认真审题，合理利用椭圆的定义和几何性质求解得值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.5.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，取得平面的法向量为，即可求解点E到平面的距离，得到答案.【详解】如图所示，以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，取，得，所以点E到平面的距离为，故选B.【点睛】本题主要考查了空间向量在的距离中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，熟练应用平面的法向量和距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6.已知，，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到答案.【详解】由题意，若，则，则，所以，则成立，当时，满足，但不一定成立，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中解答中结合不等式的关系和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.7.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】由题意，令，利用函数的奇偶性的定义和导数求得函数单调性，又由，即，即，即可求解.【详解】由题意，令，当时，，所以函数在上单调递增，又由函数为偶函数，所以，所以函数为定义域上的奇函数，所以函数在上单调递增，又因为，所以，且.所以当或时，，当或时，，又由，即，即，所以或所以不等式的解集为或，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，利用导数研究函数的单调性及应用，其中解答中根据题意合理构造函数，利用导数得出函数的单调性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.8.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，求得是的中位线，得到，因为，所以，，又由抛物线的定义可得，过点F作的垂线，点P到该垂线的距离为，由勾股定理得，即可求解.【详解】设双曲线的右焦点为，则的坐标为，因为抛物线为，所以为抛物线的焦点，因为O为的中点，又由，则点为的中点，所以是的中位线，所以,因为，所以，又，所以，设点，则由抛物线的定义可得，所以，过点F作的垂线，点P到该垂线的距离为，由勾股定理得，即，得，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准及简单的几何性质的应用，以及抛物线的定义的应用，其中解答中合理应用圆锥曲线的几何性质，得出关于离心率的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9.已知方程表示椭圆，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由方程表示椭圆，根据椭圆的标准方程，列出不等式组，即可求解【详解】由题意，方程表示椭圆，则满足，解得且，即实数的取值范围为且.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，其中解答中根据椭圆的标准方程，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.设公比为的正项等比数列的前项和为，且，若，则__________.【答案】【解析】由已知得，两式相减可得，，，或（舍去），故答案为.11.在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】由题意，设，建立空间的一个基底，在正四面体中，根据向量的数量积的运算，即可求解.【详解】由题意，设，建立空间的一个基底，在正四面体中，所以.【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算问题，其中解答中建立适当的空间基底，熟记向量的表示，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12.已知，，且，则的最小值等于__________.【答案】【解析】【分析】由题意，根据题设条件，得到，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，且，则，当且仅当，即时等号成，所以的最小值等于.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意，合理恒等变换，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.13.设抛物线（）的焦点为，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足为. 若，且三角形的面积为，则的值为___________.【答案】【解析】【分析】由抛物线的定义，化简得到直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系求得，求得，求得的长，利用面积公式，即可求解.【详解】如图所示，由抛物线的定义可知，则，则,所以直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立方程组，整理得，所以，所以，则，所以的面积为，解得.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程的应用，以及抛物线的几何性质的应用问题，其中解答中熟练应用抛物线的定义，求得直线的方程，利用抛物线焦点弦的性质，求得的长是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想的应用.14.已知函数，若是函数唯一的极值点，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由题意，求得函数的导数，根据题意是函数的唯一的一个极值点，得出在无变号零点，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，且，因为是函数的唯一的一个极值点，所以是导函数的唯一根，所以在无变号零点，即在上无变号零点，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中把是函数的唯一的一个极值点，转化为在无变号零点，构造新函数，利用导数求解函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，以及推理与计算能力，属于中档试题.三、解答题（共6小题，共80分）15.数列的前项和为，已知，. 其中（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】(1)由，可得，即，从而可得结论；（2）由（1）知，，可得，利用错位相减法，结合等比数列求和公式，即可得结果.【详解】（1）证明：∵，∴，∴，又，∴，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，，∴，∴，①. ②①-②得，∴.【点睛】本题主要考查等比数列的定义和等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.16.已知函数在处取得极值.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得函数的导数，由是函数的极值点，得到，求得，再利用导数的几何意义，即可求解切线的方程；（2）由，得，令，又由方程在上恰有两个不同的实数根，转化为上恰有两个不同实数根，利用导数取得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】（1）由题意，求得函数的导数时，取得极值，故解得.经检验符合题意.（2）由知，得令则在上恰有两个不同的实数根，等价于上恰有两个不同实数根.当时，，于是上单调递增；当时，，于是在上单调递增；依题意有解得.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线方程，以及利用导数研究方程的根的问题，其中解答中熟记导数的几何意义求解切线的方程，以及把方程的根转化为在上恰有两个不同实数根，利用导数取得函数的单调性和最值，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.17.在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是. 若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（3）在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，点为棱的中点．【解析】【分析】（Ⅰ）由，是的中点，得到，进而得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到．（Ⅱ）以为原点，分别以为轴，如图建立坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.（Ⅲ）设且，求得，利用向量的夹角公式，求得，即可求解.【详解】（1）证明：∵，是的中点，∴，又平面，∴，∵，∴平面，∴．（2）以为原点，分别以，为，轴，如图建立坐标系．则：，，，，，，，，，设平面的一个法向量，则：，取，，，所以，设平面的一个法向量，则取，，，所以，．故平面与平面所成的二面角的正弦值为．（3）在棱上存在一点，使得直线与平面所成的角是，设且，，∴，∴，，，∴，若直线与平面所成的的角为，则，解得，所以在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，点为棱的中点．【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，以及利用空间线面角和二面角的求解问题，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理，以及熟记空间向量的数量积和夹角公式合理运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及推理与计算能力，属于基础题.18.已知数列满足，，其中.（1）设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；（2）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】(1) ;(2) 的最小值为3.【解析】试题分析：（1）利用递推公式即可得出为一个常数，从而证明数列是等差数，再利用等差数列的通项公式即可得到，进而得到；（2）利用（1）的结论，利用“裂项求和”即可得到，要使得对于恒成立，只要，即，解出即可.试题解析：（1）证明：，所以数列是等差数列，，因此，由.（2）由，所以，所以，因为，所以恒成立，依题意要使对于，恒成立，只需，且解得，的最小值为.【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19.已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点. 点为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最大值.【答案】（1）（2）（3）．【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出，，由此能求出椭圆的标准方程；（2）直线l的方程为，与椭圆联立，得，，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果；（3）由,可设的方程为，与椭圆联立方程得点的横坐标，由，结合基本不等式即可求出最小值.试题解析：（1）∵左顶点为∴又∵∴又∵∴椭圆的标准方程为．（2）直线的方程为，由消元得化简得，，则当时，，∴∵点为的中点∴点的坐标为，则.直线的方程为，令，得点的坐标为，假设存在定点使得,则，即恒成立，∴恒成立∴即∴定点的坐标为.（3）∵∴的方程可设为，由得点的横坐标为由，得，当且仅当即时取等号，∴当时，的最小值为．点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.已知函数，.（1）若在处取得极值，求的值；（2）设，试讨论函数的单调性；（3）当时，若存在正实数满足，求证：.【答案】（1）．（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，求得函数的导数，根据，即可求解；（Ⅱ）由题意，得，求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（Ⅲ）代入，求出，令，，根据函数的单调性，即可作出证明.【详解】（1）因为，所以，因为在处取得极值，所以，解得．验证：当时，在处取得极大值．（2）解：因为所以．①若，则当时，，所以函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减．②若，，当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，恒成立，所以函数在上单调递增；当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减．（3）证明：当时，，因为，所以，即，所以．令，，则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时，取得最小值，最小值为．所以，即，所以或．因为为正实数，所以．当时，，此时不存在满足条件，所以．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.。
天津市静海县第一中学、杨村一中、宝坻一中等六校2018届高三上学期期中联考数学(理)试题(答案图片版)
2017～2018学年度第一学期期中六校联考高三数学（理）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知命题p :∃n ∈N ，2n >1000，则⌝p 为（ ）.（A ）∃n ∈N ，2n <1000 （B ）∀n ∈N ，2n >1000 （C ）∃n ∈N ，2n ≤1000（D ）∀n ∈N ，2n ≤1000（2）已知向量a =(1，2)，a －b =(4，5)，c =(x ，3)，若(2a +b )∥c ，则x=（ ）．（A ）－1（B ）－2（C ）－3（D ）－4（3）若数列{a n }中，a 1=3，a n +a n –1=4（n ≥2），则a 2017的值为（ ）．（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（4）若点P (cos α，sin α)在直线y= –2x 上，则sin 2α +cos (2α +π2)=（ ）． （A ）0（B ）52 （C ）56（D ）58 （5）“1a =”是“函数()x xe af x a e =-是奇函数”的（ ）． （A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，满足条件)1(+=x f y 是偶函数，且当1≥x 时，A1)21()(-=x x f ，则3(log 2),((3)a f b f c f ==-=的大小关系是（ ）． （A ）a b c >>（B ）b c a >>（C ）b a c >>（D ）c b a >>（7）将函数f (x )=sin (2x +ϕ)（|ϕ|＜π2）的图象向右平移θ（θ ＞0）个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P (0，23)，则θ 的值可以是（ ）． （A ）5π3（B ）5π6（C ）π2（D ）π6（8）已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<153)6sin(30|log |3x x x x ，，，π，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4，且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则2143)3)(3(x x x x --的取值范围是（ ）．（A ）（0，27）（B ）（0，45）（C ）（27，45）（D ）（45，72）第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题卡上）（9）已知集合M x y ⎧⎫⎪=⎨⎪⎩，{}230N x x =-+<，则集合R M N ð等于_____．（10）在等差数列{n a }中，若4a =4，35715a a a =＋＋，则前10项和S 10 =__________．（11）已知a ＞b ＞0，ab=1，则22a b a b+-的最小值为__________．（12）若函数2()2f x x x =-，()2(0)g x ax a =+>，对于1x ∀∈[]1,2-，[]21,2x ∃∈-，使12()()g x f x =，则a 的取值范围是_____________.（13）如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，点P 是MD 的中点. 若|AB |=2，|AD |=1，且∠BAD=60º，则AP CP ⋅=__________．（14）已知函数f (x )的定义域为R ，其图象关于点(–1，0)中心对称，其导函数为f '(x )，当x＜–1时，(x+1)[f (x )+(x+1)f '(x )]＜0，则不等式xf (x –1)＞f (0)的解集为__________． 三、解答题：（本大题共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）设函数()2sin cos 2f x x x x ωωω=+-(ω>0)，且()y f x =图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求f (x )在区间[,]122ππ上的最大值和最小值．（16）（本小题满分13分）已知A (–1，0)，B (0，2)，C (–3，1)，AB •AD =5，2AD =10． （Ⅰ）求D 点的坐标；（Ⅱ）若D 点在第二象限，用AB ，AD 表示AC ；（Ⅲ）设AE =(m ，2)，若3AB +AC 与AE 垂直，求AE 的坐标．（17）（本小题满分13分）在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且cos2A –3cos B cos C+3sin B sin C=1． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3a =,sin 2sin B C =,求ABC S ∆.已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足*1121(2,N )n n n S S S n n +-+=+≥∈． （Ⅰ）求证：数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设nn S b n=，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （Ⅲ）设14(1)2n a n n n C λ-=+-⋅⋅（λ为非零整数，*N n ∈），是否存在λ的值，使得对任意*N n ∈，有1n n C C +>恒成立．若存在求出λ的值，若不存在说明理由.（19）（本小题满分14分）已知函数f (x )=x 3–x （Ⅰ）判断()f x x的单调性； （Ⅱ）求函数y=f (x )的零点的个数； （Ⅲ）令g (x )2ln x ，若函数y=g (x )在(0，1e )内有极值，求实数a 的取值范围．（20）（本小题满分14分）设函数f (x )=x –x1–a ln x （a ∈R ）． （Ⅰ）求f (x )的单调区间；（Ⅱ）设g(x)=f(x)+2a ln x，且g(x)有两个极值点x1，x2，其中x1∈(0，e]，求g(x1)–g(x2)的最小值；（Ⅲ）证明：∑=+ -nkkk211ln＞)1(222+--nnnn（n∈N*，n≥2）．。
天津市七校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2018～2019学年度第一学期期末六校联考高二数学一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）1.复数，则（）A. 0B.C. 1D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算将式子化简以及模长公式,得到结果即可.【详解】所以.故选D.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模长的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为（）A. 16B. 15C. 14D. 13【答案】B【解析】【分析】由题意，等差数列的公差为2，，根据，解得，即可求解.【详解】由题意，等差数列的公差为2，前项和为，因为，解得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.下列叙述中正确的是（）A. 若，则“”的充分条件是“”B. 若，则“”的充要条件是“”C. 命题“”的否定是“”D. 是等比数列，则是为单调递减数列的充分条件【答案】C【解析】【分析】由题意，根据二次函数的性质，可判定A不正确；根据不等式的性质，可判定B不正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定C正确；根据等比数列的性质，可判定D正确.对于A中，若，则“”的充分条件是“且【详解】由题意，对于A中，若，则“”的充分条件是“且”，所以是错误的；对于B中，若，则“”的充要条件是“且”，所以不正确；对于C中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“”，所以是正确的；对于D中，在是等比数列，，例如当且时，此时为单调递增数列，所以不正确.故选C.【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记二次函数的性质，不等式的性质以及等比数列的单调性等知识点，合理、准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4.已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆在第二象限的交点为M，与轴的交点为N，是椭圆的右焦点,且，则椭圆的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，求得和，根据和椭圆的定义可得，从而求得，进而可求解椭圆的标准方程.【详解】由题意，直线与轴的交点，又直线过椭圆的左焦点，所以，即，因为直线与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为，且，所以，即，又由，所以椭圆的方程为，故选D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，其中解答中认真审题，合理利用椭圆的定义和几何性质求解得值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.5.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，取得平面的法向量为，即可求解点E到平面的距离，得到答案.【详解】如图所示，以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，取，得，所以点E到平面的距离为，故选B.【点睛】本题主要考查了空间向量在的距离中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，熟练应用平面的法向量和距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6.已知，，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到答案.【详解】由题意，若，则，则，所以，则成立，当时，满足，但不一定成立，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中解答中结合不等式的关系和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.7.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】由题意，令，利用函数的奇偶性的定义和导数求得函数单调性，又由，即，即，即可求解.【详解】由题意，令，当时，，所以函数在上单调递增，又由函数为偶函数，所以，所以函数为定义域上的奇函数，所以函数在上单调递增，又因为，所以，且.所以当或时，，当或时，，又由，即，即，所以或所以不等式的解集为或，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，利用导数研究函数的单调性及应用，其中解答中根据题意合理构造函数，利用导数得出函数的单调性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.8.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，求得是的中位线，得到，因为，所以，，又由抛物线的定义可得，过点F作的垂线，点P到该垂线的距离为，由勾股定理得，即可求解.【详解】设双曲线的右焦点为，则的坐标为，因为抛物线为，所以为抛物线的焦点，因为O为的中点，又由，则点为的中点，所以是的中位线，所以,因为，所以，又，所以，设点，则由抛物线的定义可得，所以，过点F作的垂线，点P到该垂线的距离为，由勾股定理得，即，得，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准及简单的几何性质的应用，以及抛物线的定义的应用，其中解答中合理应用圆锥曲线的几何性质，得出关于离心率的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9.已知方程表示椭圆，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由方程表示椭圆，根据椭圆的标准方程，列出不等式组，即可求解【详解】由题意，方程表示椭圆，则满足，解得且，即实数的取值范围为且.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，其中解答中根据椭圆的标准方程，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.设公比为的正项等比数列的前项和为，且，若，则__________.【答案】【解析】由已知得，两式相减可得，，，或（舍去），故答案为.11.在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】由题意，设，建立空间的一个基底，在正四面体中，根据向量的数量积的运算，即可求解.【详解】由题意，设，建立空间的一个基底，在正四面体中，所以.【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算问题，其中解答中建立适当的空间基底，熟记向量的表示，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12.已知，，且，则的最小值等于__________.【答案】【解析】【分析】由题意，根据题设条件，得到，利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意，且，则，当且仅当，即时等号成，所以的最小值等于.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意，合理恒等变换，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.13.设抛物线（）的焦点为，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足为. 若，且三角形的面积为，则的值为___________.【答案】【解析】【分析】由抛物线的定义，化简得到直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系求得，求得，求得的长，利用面积公式，即可求解.【详解】如图所示，由抛物线的定义可知，则，则,所以直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立方程组，整理得，所以，所以，则，所以的面积为，解得.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程的应用，以及抛物线的几何性质的应用问题，其中解答中熟练应用抛物线的定义，求得直线的方程，利用抛物线焦点弦的性质，求得的长是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想的应用.14.已知函数，若是函数唯一的极值点，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由题意，求得函数的导数，根据题意是函数的唯一的一个极值点，得出在无变号零点，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，且，因为是函数的唯一的一个极值点，所以是导函数的唯一根，所以在无变号零点，即在上无变号零点，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中把是函数的唯一的一个极值点，转化为在无变号零点，构造新函数，利用导数求解函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，以及推理与计算能力，属于中档试题.三、解答题（共6小题，共80分）15.数列的前项和为，已知，. 其中（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】(1)由，可得，即，从而可得结论；（2）由（1）知，，可得，利用错位相减法，结合等比数列求和公式，即可得结果.【详解】（1）证明：∵，∴，∴，又，∴，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，，∴，∴，①. ②①-②得，∴.【点睛】本题主要考查等比数列的定义和等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.16.已知函数在处取得极值.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得函数的导数，由是函数的极值点，得到，求得，再利用导数的几何意义，即可求解切线的方程；（2）由，得，令，又由方程在上恰有两个不同的实数根，转化为上恰有两个不同实数根，利用导数取得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】（1）由题意，求得函数的导数时，取得极值，故解得.经检验符合题意.（2）由知，得令则在上恰有两个不同的实数根，等价于上恰有两个不同实数根.当时，，于是上单调递增；当时，，于是在上单调递增；依题意有解得.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线方程，以及利用导数研究方程的根的问题，其中解答中熟记导数的几何意义求解切线的方程，以及把方程的根转化为在上恰有两个不同实数根，利用导数取得函数的单调性和最值，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.17.在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是. 若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（3）在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，点为棱的中点．【解析】【分析】（Ⅰ）由，是的中点，得到，进而得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到．（Ⅱ）以为原点，分别以为轴，如图建立坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.（Ⅲ）设且，求得，利用向量的夹角公式，求得，即可求解.【详解】（1）证明：∵，是的中点，∴，又平面，∴，∵，∴平面，∴．（2）以为原点，分别以，为，轴，如图建立坐标系．则：，，，，，，，，，设平面的一个法向量，则：，取，，，所以，设平面的一个法向量，则取，，，所以，．故平面与平面所成的二面角的正弦值为．（3）在棱上存在一点，使得直线与平面所成的角是，设且，，∴，∴，，，∴，若直线与平面所成的的角为，则，解得，所以在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，点为棱的中点．【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，以及利用空间线面角和二面角的求解问题，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理，以及熟记空间向量的数量积和夹角公式合理运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及推理与计算能力，属于基础题.18.已知数列满足，，其中.（1）设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；（2）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】(1) ;(2) 的最小值为3.【解析】试题分析：（1）利用递推公式即可得出为一个常数，从而证明数列是等差数，再利用等差数列的通项公式即可得到，进而得到；（2）利用（1）的结论，利用“裂项求和”即可得到，要使得对于恒成立，只要，即，解出即可.试题解析：（1）证明：，所以数列是等差数列，，因此，由.（2）由，所以，所以，因为，所以恒成立，依题意要使对于，恒成立，只需，且解得，的最小值为.【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19.已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点. 点为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最大值.【答案】（1）（2）（3）．【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出，，由此能求出椭圆的标准方程；（2）直线l的方程为，与椭圆联立，得，，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果；（3）由,可设的方程为，与椭圆联立方程得点的横坐标，由，结合基本不等式即可求出最小值.试题解析：（1）∵左顶点为∴又∵∴又∵∴椭圆的标准方程为．（2）直线的方程为，由消元得化简得，，则当时，，∴∵点为的中点∴点的坐标为，则.直线的方程为，令，得点的坐标为，假设存在定点使得,则，即恒成立，∴恒成立∴即∴定点的坐标为.（3）∵∴的方程可设为，由得点的横坐标为由，得，当且仅当即时取等号，∴当时，的最小值为．点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.已知函数，.（1）若在处取得极值，求的值；（2）设，试讨论函数的单调性；（3）当时，若存在正实数满足，求证：.【答案】（1．（2）答案不唯一，具体见解析（3）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，求得函数的导数，根据，即可求解；（Ⅱ）由题意，得，求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（Ⅲ）代入，求出，令，，根据函数的单调性，即可作出证明.【详解】（1）因为，所以，因为在处取得极值，所以，解得．验证：当时，在处取得极大值．（2）解：因为所以．①若，则当时，，所以函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减．②若，，当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，恒成立，所以函数在上单调递增；当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减．（3）证明：当时，，因为，所以，即，所以．令，，则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时，取得最小值，最小值为．所以，即，所以或．因为为正实数，所以．当时，，此时不存在满足条件，所以．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.。
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2018～2019学年度第一学期期末六校联考高一数学 一、选择题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1．集合*1{N|x-1|3},{|28}2xMxNx，则MN=（ ） A．{1,2,3} B．1,2}{0， C．1,2 D．{-1x3}x 2．函数4ln21exxxf）（在区间,1kkkN内有零点，则k（ ） A． B． C．3 D． 3．设，yR，向量(,1)axr，(2,)byr，)1,1(c，acrr，//bcrr，则2a）（b（ ） A．5 B．5 C．10 D．10 4．若函数20.3log54fxxx在区间1,1aa上单调递减，且1.0log2b，2.02c，则（ ） A．cba B．bca C．abc D．bac
5．设函数0,30,1)(xaaxaxxfx），且（10aa是R上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．2[,13） B．2,13（） C．]320，（ D．203（，） 6．已知定义在R上的函数()fx满足)(1)3(xfxf，且(3)yfx为偶函数，若()fx在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是（ ） A．(4.5)(3.5)(12.5)fff＜＜ B．(3.5)(4.5)(12.5)fff＜＜ C．(12.5)(3.5)(4.5)fff＜＜ D．(3.5)(12.5)(4.5)fff＜＜ 7．函数)sin()(wxAxf（其中0A，2）的部分图象如图所示，为了得到)(xf的图象，则只要将xxg2cos)(的图象（ ） A．向左平移12个单位长度
B．向右平移12个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向右平移6个单位长度 8．已知是函数)42018cos()42018sin(2)(xxxf的最大值，若存在实数12,xx使得对任意实数总有12()()()fxfxfx成立，则12||Axx的最小值为（ ） A．π2018 B．20182 C．20183 D．20184 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 9．已知21)4sin(22cos，则1tantan等于__________.
10．如图，在矩形ABCD中，已知46ADAB，， 且FCDFECBE21,，则BFAE•=__________.
11．在中，若3tantan3tantanBABA，且43cossinBB，则的形状为__________三角形. 12．已知函数2tan,0(2)log(),0xxfxxx，则)6()24(•ff=________. 13．设函数)1(xfy是定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）的偶函数，)(xfy在区间 （－∞，1）是减函数，且图象过点原点，则不等式0)(1xfx）（的解集为________. 14．给出下列说法，正确的有__________.
①与）（4,3-a共线单位向量的坐标是）（54,53-； ②集合A=21,xZxkkZ与集合B=21,xZxkkZ是相等集合； ③函数110xy的图象与21yx的图象恰有3个公共点； ④函数1fx的图象是由函数fx的图象水平向右平移一个单位后，将所得图象在轴右侧部分沿轴翻折到轴左侧替代轴左侧部分图象，并保留右侧部分而得到. 三、解答题：（共计64分） 15．（12分）设全集为RU，集合}0)6)(3(x{xxA,6}|6-x|x{B. （Ⅰ）求BCAR； （Ⅱ）已知1}ax2ax{C，若BBC，求实数的取值范围. 16．（12分）已知函数1)8(cos)8tan(4)(2xxxf. （Ⅰ）求)(xf的定义域与最小正周期； （Ⅱ）当]4,4[x时，求)(xf值域.
17．（13分）已知)2cos(2sin32sin)(2xxxxf， （Ⅰ）求)(xf的单增区间和对称轴方程； （Ⅱ）若20x，101)(xf，求)32(sinx 18．（13分）已知函数()fx的定义域为，且对任意的Ryx,有fxyfxfy. 当0x时，0fx，12f.
（Ⅰ）求）（0f并证明()fx的奇偶性； （Ⅱ）判断()fx的单调性并证明； （Ⅲ）求）（3f；若14626xxfaf对任意Rx恒成立，求实数的取值范围.
19．（14分）已知Ra，函数21log2xfxa. （Ⅰ）当1a时，解不等式1)(xf； （Ⅱ）若关于的方程20fxx的解集中恰有两个元素，求的取值范围； （Ⅲ）设0a，若对任意1,0t，函数fx在区间,1tt上的最大值与最小值的和不大于2log6，求的取值范围. 天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末六校联考 高一数学参考答案
一、选择题 1-5 CBDDA 6-8 BBC 二、填空题 9． 8/3 10．-16 11．等腰 12． 3 13． （-∞，0）∪（1,2） 14． ②④ 三、解答题 15．解：（Ⅰ）由题6}x-3xx{或A
12}0x{xB 12}x0xx{或BCR ∴12}x3xx{或BCAR……………………………………………..6分
（Ⅱ）∵BBC，即BC ①若C时，12aa即1a满足题意. ②若C时，12aa即1a
若BC，则12102aa110aa即110a 又∵1a，∴10a
综上所述，0a即可.………………………………………………………….….12分 16．解析： （Ⅰ）由kx28得fx的定义域为3{k}8xxkZ，.…2分1-)42sin(21)8(cos)8sin(41)8(cos)8tan(4)(2xxxxxxf
……5分 所以fx的最小正周期2.2T ……6分
（Ⅱ）由k2242k22-x， 得k8k83-x 又∵]44[-x，，∴上单调递减，上单调递增，在，）在（]48[]84-[fx 12-)4f(-，1)8(f，12)4(f 1,1]-2[-f(x)………………………………………………….12分
17．（1）)6sin(x-21)x(f
单增区间Zk]2k34,2k3[， 对称轴方程Zkk3x，…………………………………..6分 （2）23536xsin）（由易知，266x 536xsin）（ 546xcos）（
25243x2sin）（………………………………………………13分
18．（1）)0()0()00()0(ffff∴0)0(f 又因为)(xf的定义域为R关于原点对称 )()()()0(xfxfxxff∴)(-)(xfxf 所以)(xf为奇函数。…………………………………………………….4分 （2）21xx，)()()()()(212121xfxfxfxfxxf 因为0)(02121xxfxx 所以0)()(21xfxf )(xf单调递增。………………………………………………………………8分
（3）6)3(f 32641xxa 所以 212322)2(2x2）（xxa ∴3a…………………………………………………………….13分 19．解析：
（1）当1a时，2log1)121(log)(22xxf
∴2121x，解得0x ∴原不等式的解集为），0[…………………………………………………..3分 （2）方程20fxx，
即为22221log212xxaloglog，
∴22211log22xxalog， ∴21122xxa， 令1(0)2xtt，则2tat， 由题意得方程2att在0,上只有两解， 令2gttt, t0,,
结合图象可得，当041-a时，直线2yagttt和函数的图象只有两个公共点，即方程只有两个解． ∴实数的范围），（041-……………………………………………………………….8分
（3）∵函数12xya在上单调递减， ∴函数21log2xfxa在定义域内单调递减， ∴函数fx在区间,1tt上的最大值为21log2tfta，最小值为2111log2tfta， ∴2221111111log2222ttttftftalogalogaa 由题意得22111622ttlogaalog， ∴11161,022ttaat对恒成立， 令111122thh，， ∴2212236,12hahahahah对恒成立，