推荐学习K12高中数学 1.1.2 余弦定理1教案 新人教A版必修5
高中数学人教A版必修5 1.1.2余弦定理学案
高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理学案【课前自主学习】预习课本P5～6，思考并完成以下问题(1)余弦定理的内容是什么？(2)已知三角形的两边及其夹角，如何解三角形？(3)已知三角形的三边，如何解三角形？【新知探究•夯实知识基础】余弦定理[点睛]余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．【学练结合】(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形()(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形()(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一()解析：(1)正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．(2)正确．当a2>b2＋c2时，cos A＝b2＋c2－a22bc<0.因为0<A<π，故A一定为钝角，△ABC为钝角三角形．(3)错误．当△ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC唯一确定．答案：(1)√(2)√(3)×2．在△ABC中，已知a＝9，b＝23，C＝150°，则c等于()A.39B．8 3C．10 2 D．7 3解析：选D由余弦定理得：c＝92＋(23)2－2×9×23×cos 150°＝147＝7 3.3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°解析：选C由cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝120°.4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于()A.14 B.34C.24 D.23解析：选B由b2＝ac且c＝2a得cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a22a·2a＝34.故选B.【学以致用•探究解题方法】题型一已知两边与一角解三角形[典例](1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 3 cm，A＝π6，则a＝________cm；(2)在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cos C＝910，则BC＝________.[解析](1)由余弦定理得：a＝602＋(603)2－2×60×603×cos π6＝4×602－3×602＝60(cm)．(2)由余弦定理得：(5)2＝52＋BC2－2×5×BC×910，所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.[答案](1)60(2)4或5[解题规律总结][活学活用]在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．解：根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos 45°＝8，∴b＝2 2.又∵cos A＝b2＋c2－a22bc＝8＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.题型二已知三角形的三边解三角形[典例]在△ABC中，已知a＝23，b＝6，c＝3＋3，解此三角形．[解]法一：由余弦定理的推论得cos A＝b2＋c2－a22bc＝(6)2＋(3＋3)2－(23)22×6×(3＋3)＝22，∴A＝45°.同理可求B＝30°，故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.法二：由余弦定理的推论得cos A＝b2＋c2－a22bc＝(6)2＋(3＋3)2－(23)22×6×(3＋3)＝22，∴A＝45°.由正弦定理asin A＝bsin B知23sin 45°＝6sin B，得sin B＝6·sin 45°23＝12.由a>b知A>B，∴B＝30°.故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°. [解题规律总结][活学活用]已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝ab ，则C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°解析：选C ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ，由余弦定理可得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－(a 2＋b 2＋ab )2ab ＝－ab 2ab ＝－12， ∵0°<C <180°，∴C ＝120°，故选C.题型三 利用余弦定理判断三角形形状[典例] 在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．解：[法一 化角为边] 将已知等式变形为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C . 由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab ，∴b 2＋c 2＝[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2＝4a 44a 2＝a 2.∴A ＝90°.∴△ABC 是直角三角形． [法二 化边为角]由正弦定理，已知条件可化为sin 2C sin 2B ＋sin 2C sin 2B ＝2sin B sin C cos B cos C . 又sin B sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C ，即cos(B ＋C )＝0. 又∵0°<B ＋C <180°，∴B ＋C ＝90°，∴A ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．[解题规律总结][活学活用]在△ABC 中，已知a cos A ＝b cos B ，试判断△ABC 的形状．解：由正弦定理，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，所以a cos A ＝b cos B 可化为sin Acos A ＝sin B cos B ，sin 2A ＝sin 2B ，又△ABC 中，A ，B ，C ∈(0，π)，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 的形状为等腰或直角三角形．[活学活用]在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形.题型四 正、余弦定理的综合应用命题点一：利用正、余弦定理解三角形1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sinB.(1)求角B 的大小；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c . 解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B. 故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故由正弦定理得a ＝b ·sin Asin B ＝1＋ 3. 由已知得，C ＝180°－45°－75°＝60°， c ＝b ·sin Csin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.命题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 2．在△ABC 中，求证a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C . 证明：法一：(化为角的关系式)a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝(2R ·sin A )2·2sin B ·cos B ＋(2R ·sin B )2·2sin A ·cos A ＝8R 2sin A ·sin B (sin A ·cos B ＋cos A sin B )＝8R 2sin A sin B sin C ＝2·2R sin A ·2R sin B ·sin C ＝2ab sin C .∴原式得证．法二：(化为边的关系式)左边＝a 2·2sin B cos B ＋b 2·2sin A cos A ＝a 2·2b 2R ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b 2·2a2R ·b 2＋c 2－a 22bc＝ab 2Rc (a 2＋c 2－b 2＋b 2＋c 2－a 2)＝ab 2Rc ·2c 2＝2ab ·c2R ＝2ab sin C ＝右边，∴原式得证．命题点三：正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇应用3．已知△ABC 的周长为4(2＋1)，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有sin B ＋sin C ＝2sin A .(1)求边长a的值；(2)若△ABC的面积为S＝3sin A，求AB·AC的值．解：(1)由正弦定理，得b＋c＝2a.①又a＋b＋c＝4(2＋1)，②联立①②，解得a＝4.(2)∵S△ABC＝3sin A，∴12bc sin A＝3sin A，即bc＝6.又∵b＋c＝2a＝42，∴由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝(b＋c)2－2bc－a22bc＝13.∴AB·AC＝bc cos A＝2.[解题规律总结]高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理同步检测基础达标题1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于() A．30°B．60°C．120°D．150°2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝1314，则最大角的余弦值是()A．－15B．－16C．－17D．－183．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2－a2－b22ab>0，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A.43B．8－4 3C．1 D.2 35．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，则角B的值为()A.π6 B.π3或2π3C.π3 D.π6或5π66．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.7．在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝2π3，则a＝________.8．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－14，则b＝________.9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.10．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sin C.能力达标题1．在△ABC中，有下列关系式：①a sin B＝b sin A；②a＝b cos C＋c cos B；③a2＋b2－c2＝2ab cos C；④b＝c sin A＋a sin C.一定成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则a，b的大小关系为()A．a>b B．a<bC．a＝b D．不能确定3．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c，则△ABC是()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b2＋c2＋bc－a2＝0，则a sin (30°－C)b－c＝()A.12 B.32 C．－12D．－325．在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________．6．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin Bsin C的值为________．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A－2cos Ccos B＝2c－ab.(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B＝14，△ABC的周长为5，求b的长．8．如图，D是直角三角形△ABC斜边BC上一点，AC＝3DC.(1)若∠DAC＝30°，求B；(2)若BD＝2DC，且AD＝22，求DC.高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理同步检测解析基础达标题1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选B ∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18 解析：选C 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9， 所以c ＝3，故a 最大， 所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形 解析：选C 由c 2－a 2－b 22ab >0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.43 B ．8－4 3 C ．1D.23解析：选A 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝43.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6 B.π3或2π3 C.π3D.π6或5π6解析：选B 因为(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， 所以2ac cos B tan B ＝3ac ，即sin B ＝32， 所以B ＝π3或B ＝2π3，故选 B.6．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________.解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120° ＝a 2＋c 2＋ac ， ∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0. 答案：07．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos 2π3， ∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0， ∴a ＝1，或a ＝－2(舍去)．∴a ＝1. 答案：18．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：因为b ＋c ＝7，所以c ＝7－b . 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4. 答案：49．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .解：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19. ∴b ＝19.10．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sin C .解：∵a >c >b ，∴A 为最大角． 由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12.又∵0°<A <180°， ∴A ＝120°，∴sin A ＝sin 120°＝32.由正弦定理，得sin C ＝c sin A a ＝5×327＝5314. ∴最大角A 为120°，sin C ＝5314.能力达标题1．在△ABC 中，有下列关系式：①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sin C .一定成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选C对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋sin C cos B，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B＝sin C sin A＋sin A sin C＝2sin A sin C，又sin B＝sin(A＋C)＝cos C sin A＋cos A sin C，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C. 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则a，b的大小关系为()A．a>b B．a<bC．a＝b D．不能确定解析：选A在△ABC中，c2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝2 a，∴2a2＝a2＋b2＋ab，∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.3．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c，则△ABC是()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析：选B∵cos2B2＝a＋c2c，∴cos B＋12＝a＋c2c，∴cos B＝ac，∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b2＋c2＋bc－a2＝0，则a sin (30°－C)b－c＝()A.12 B.32C．－12D．－32解析：选A由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc，又b2＋c2＋bc－a2＝0，则cos A＝－12，又0°<A<180°，则A＝120°，有B＝60°－C，所以a sin (30°－C)b－c＝sin A sin (30°－C )sin (60°－C )－sin C ＝34cos C －34 sin C 32cos C －32sin C＝12.故选A. 5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝22，∴sin C ＝22， ∴AD ＝AC sin C ＝ 3. 答案： 36．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为________．解析：由余弦定理可得49＝AC 2＋25－2×5×AC ×cos 120°，整理得： AC 2＋5·AC －24＝0，解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)， 再由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝35. 答案：357．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B＝2c －ab .(1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长． 解：(1)由正弦定理可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A ＝2.(2)由sin Csin A ＝2，得c ＝2a . 由余弦定理及cos B ＝14，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2， 所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝1，因此b ＝2.8．如图，D 是直角三角形△ABC 斜边BC 上一点，AC ＝3DC .(1)若∠DAC ＝30°，求B ；(2)若BD ＝2DC ，且AD ＝22，求DC . 解：(1)在△ADC 中，根据正弦定理， 有AC sin ∠ADC ＝DC sin ∠DAC， ∵AC ＝3DC ，所以sin ∠ADC ＝3sin ∠DAC ＝32， 又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋60°>60°， ∴∠ADC ＝120°，∴∠C ＝180°－120°－30°＝30°，∴∠B ＝60°. (2)设DC ＝x ，则BD ＝2x ，BC ＝3x ，AC ＝3x ， ∴sin B ＝AC BC ＝33，cos B ＝63，AB ＝6x ， 在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ， 即(22)2＝6x 2＋4x 2－2×6x ×2x ×63＝2x 2， 得x ＝2.故DC ＝2.。
山东省高中数学《1.1.2 余弦定理》导学案 新人教A版必修5
1.1.2 余弦定理【学习目标】1. 会利用数量积证明余弦定理，体会向量工具在解决三角形的角度问题是的作用；（难点）2. 会从方程的角度理解余弦定理的作用及适用范围，会运用余弦定理解决三角形的基本问题；（重点）3. 会结合三角函数利用计算器处理解斜三角形的近似计算问题。
【研讨互动 问题生成】1. 余弦定理定义；2. 余弦定理适用于哪几种情况；3. 余弦定理的推论；【合作探究 问题解决】1.在三角形ABC 中，一直下列条件，解三角形。
（1） a=6,b=7,c=8（2） a=7,b=9,c=132.在三角形ABC 中，一直下列条件，解三角形。
(1)b=10,c=15,A= 60o（2）a=5.b=7.C= 75o【点睛师例 巩固提高】1. 利用余弦定理说明ABC △的内角C 为锐角、直角、钝角的充要条件分别为222a b c +>、222a b c +=、222a b c +<．2.在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c 若2b =ac 且c=2a,求cos B【要点归纳 反思总结】1. 已知三边求解三角形或已知两边及其夹角求解三角形时，使用余弦定理。
2. A 为锐角⇔ cos A = 2222bc bc a +-＞0⇔222b c a +-＞0 A 为钝角⇔ cos A =2222bc b c a +-＜0⇔222b c a +-＜0 3. 在解三角形时，往往是正弦定理和余弦定理交替使用。
4. 余弦定理求角时，角的值是唯一的，这样可以避免产生增解。
5. 已知三角形的两边两边的夹角，在解三角形时，要注意用余弦定理求第三边，进而解出三角形。
【多元评价】自我评价: 小组成员评价: 小组长评价:学科长评价: 学术助理评价:【课后训练】1．△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ ）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°2.已知△ABC 中，sinA:sinB:sinC ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于 ( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶2 3.在ABC V 中，60B =o ，2b ac =，则ABC V 一定是 （ ）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形4．若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段（ ）A 、能组成直角三角形B 、能组成锐角三角形C 、能组成钝角三角形D 、不能组成三角形5．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ）A ．12B ．221 C ．28 D ．36 6．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A=（ ）A ．090B ．060C ．0120D ．01507．在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．71- D ．81- 8．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程06752=--x x的根，则三角形的另一边长为（ ）A. 52B. 213C. 16D.9．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝________． 10．在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是11．在△ABC 中，∠C ＝60°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、.C 的对边，则ca b c b a +++＝________． 12．在ABC △中，A 最大，C 最小，且2A C =，2a c b +=，求此三角形三边之比．13． 若23x ，，为三边组成一个锐角三角形，求x 的范围1.2.1 应用举例班级： 组名： 姓名： 设计人：连秀明 审核人：魏帅举 领导审批：【学习目标】1. 会熟练地应用正、余弦定理解任意三角形，能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
(新课程)高中数学《1.1.2 余弦定理》课件 新人教A版必修5
c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋32－2×5×3×53＝16.
∴c＝4，即第三边长为 4.
题型二 已知三边(三边关系)解三角形
【例2】 已知△ABC 的三边长为 a＝2 3，b＝2 2，c＝ 6
＋ 2，求△ABC 的各角度数．
[思路探索] 利用余弦定理的推论解题． 解 由余弦定理得：cos A＝b2＋2cb2c－a2
名师点睛
1．余弦定理的理解 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解 三角形的重要工具． (1)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程 的观点，可以知三求一． (2)余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内 切圆等)提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证 明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的 应用更加广泛．
由正弦定理得sin 由①②解得b＝4.
B＝
b c
sin
C，故b＝4ccos
A．②
误区警示 误区警示 忽略三角形三边关系导致出错
【示例】设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的
取值范围．
[错解] ∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边，
2a＋1>0， ∴a>0，
2a－1>0，
解得 a>12，
自学导引
1．余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的_平__方__的__和__减去
这两边与它们的夹角的_余__弦__的积的_两__倍__，即
a2＝_b_2＋__c_2_－__2_b_c_c_o_s_A_，b2＝ a_2_＋__c_2－___2_a_cc_o_s__B_ ，
c2＝ a_2_＋__b_2_－__2_a_b_co_s__C_.
高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理教学设计 新人教A版必修5(2021年整理)
1.1 余弦定理教材：高中《数学》必修五（人教版）教学重点教学难点新课讲解§老师：如果我把“每日一题”中的条件和结论换一下，变成“在△ABC中，已知，解三角形。
”那用我们学过的知识，能不能解答.§老师先不解题，与学生一起分析思路。
分析：1.两边及夹角确定了，这个三角形就已经确定下来,要解三角形,先求角还是先求边?2.由以往的知识，c边无法求出，但如果可以知道A角或B角，则可以解题。
即从角度入手。
3。
根据正弦定理,从条件的变换，引导学生思考旧知识能否解新题。
︒===75,64,8Cba.105,105,75ABBAC-︒=∴︒=+∴︒=学生从图形中找关系。
学生从一条公式自己推出其余两条。
学生动手自己写出余弦定理的推论。
不直接说明余弦定理。
通过图形和引导性问题使学生发现所求和已知的关系。
利用向量把所求和已知求出。
引导学生发现余弦定理。
所以§老师：在这道题中，求出一个角后，可以利用正弦定理或余弦定理求出另一个角。
思考两种方法的利弊。
§学生做练习2：在△ABC 中,,求三角形的最大角。
§老师讲解解:由已知可知C为最大角，令，由余弦定理的推论知，.§学生做练习3:在△ABC 中,AB=5，AC=3，BC=7，则为多少？ §老师讲解解：注意在三角形中，AB=c=5，AC=b=3，BC=a=7，所以，学生根据例题以及新知识自己解题。
加深对知识点的理解。
同一道题有不同的解答方法。
引导学生发现运用正弦定理和余弦定理的不同过程。
学会利用余弦定理的推论解题. ，21)26(222)32()26()22(2cos 222222=+⨯⨯-++=-+=bc a c b A ，22)26(322)22()26()32(2cos 222222=+⨯⨯-++=-+=ac b c a B ,45,60︒=︒=B A .754560180180︒=︒-︒-︒=--︒=B A C 7:5:3::=c b a)0(7,5,3>===k k c k b k a 21532492592cos 22222-=⨯⨯-+=-+=k k k k k ab c b a C ︒=∴120C AC AB•213527352cos 222222-=⨯⨯-+=-+=bc a c b A。
高中数学 1.1.2余弦定理导学案(无答案)新人教A版必修5
1.1.2 余弦定理学案【学习目标】1. 掌握证明余弦定理的向量方法及余弦定理的两种表示形式；2. 如何根据题意选择和运用余弦定理解三角形问题。
【学习过程】一、复习回顾：1.正弦定理： ；2.正弦定理可以解决的两类问题：(1) ；(2) .二、知识探索与形成：思考：在ABC ∆中，已知b AC a BC ==,和角C ，求另一边c ？探索： （1）c 为直角时（2）c 为钝角或锐角时形成：1.余弦定理： ； ； ；2.余弦定理的变形： ； ； ；三、知识运用：例题1：在∆ABC 中，CB=2，CA=3，ο60=C ，求第三边的长度。
题目小结：例题2：在∆ABC 中，三边分别为1,2,7，求此三角形的最大角。
题目切入点：例题3：在∆ABC 中，bc c b a ++=222，则角A 等于( )A.60οB. 45οC. 120οD. 30ο题后感悟：【思维拓展】题后归纳：四.随堂检测五.课堂总结：本节课你收获了什么?六.课后作业：《世纪金榜》P123.（1）——（8）【课外拓展】（07四川）在AB C ∆中，οο75C 45A 3AB ===，，，则BC=（ ）A ．3-3B ．2C ．2D ．33+（08安徽）在AB C ∆中，7,3,5===BC AC AB ,则BAC ∠为（ ）A ．ο135B ．ο120C ．ο45D ．ο30（08福建）在AB C ∆中，若ac b c a 3222=-+则角B 为（ ） A ．οο60120或 B ．ο60 C ．οο30150或 D ．ο30（06全国）在AB C ∆中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC 的中线AD 的长为。
余弦定理 教案-人教A版数学高二必修五第一章1.1.2
第一章解三角形正弦定理和余弦定理．2余弦定理课型：新授课课时：第一课时教学目标(一)知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
(二)过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题(三)情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点和难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：余弦定理的基本应用。
专家建议课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的.启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系.教法与学法1．教法：采取启发式教学方法，在教学中提出问题，创设情景引导学生主动观察、思考、类比、讨论、总结、证明，在主动探究中汲取知识，提高能力。
人教A版高中数学 必修五 1-1-2余弦定理教案 精品
1.1.2余弦定理（教学设计）教学目标1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
学法学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。
从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学过程：一、创设情景 C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B(图1．1-4)二、新课讲解：联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()2222 2c c c a b a ba ab b a b a b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a cb B ac 222cos +-=b ac C [理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
人教版高中数学必修5(A版) 1.1.2《余弦定理》 PPT课件
A
c a
B
C
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍.
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍. 即：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A
C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？ ①已知三角形的任意两角及其一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角.
A C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三 角形是大小、形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两 边和它们的夹角求三角形的另一边和 两个角？
练习：
教材P. 8练习第1题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角
形(角度精确到1 , 边长精确到0.1cm):
(1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2 ； (2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3 .
o o
o
课堂小结
1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在 的共同规律，勾股定理是余弦定理的特 例； 2. 余弦定理的应用范围： ①已知三边求三角； ②已知两边及它们的夹角，求第三边.
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
高中数学《1.1.2余弦定理》学案 新人教A版必修
高中数学《1.1.2余弦定理》学案新人教A版必修1、1、2余弦定理编者：校审：组长：一、[学习关键词]1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理、2、能运用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题、二、[课前自主梳理]如图所示，在直角坐标系中，若A(0,0)，B(c,0)，C()、利用两点间距离公式表示出|BC|，化简后会得出怎样的结论？解三、[课堂合作研习]例1 （1）中，已知，求边、（2）已知中，，求最大角和、例2 在中，,,分别是角的对边，已知，且，求的大小及的值。
例3 在中，若，试判断三角形的形状、[巩固练习]1、在中，，则角为（）A、60B、45或135C、120D、302、在中，的对边分别为a，b，c，若>0，则（）A、一定是锐角三角形B、一定是直角三角形C、一定是钝角三角形D、是锐角或直角三角形3、在中，，则的最小角为（）A、B、C、D、4、在△ABC中，，则三角形的面积等于、5、已知三角形的两边分别为4和5，它们夹角的余弦是方程的根，则第三边长是、6、如图所示，在中，AB=5，AC=3，D为BC的中点，且AD=4，求BC边的长、1、1、2余弦定理[强化训练]1、在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于()A、1B、C、2D、42、在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )A、B、C、D、3、在△ABC中，若(a2＋c2－b2)＝ac，则角B的值为( )A、B、C、或D、或4、在△ABC中，sin2＝，则△ABC的形状为()A、正三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰三角形5、如下图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD、已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min、若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径为()A、50 mB、45 mC、50mD、47 m6、三角形三边长分别为a，b，(a>0，b>0)，则最大角为________、7、在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120，求三边的长、8、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1、(1)求角C的度数；(2)求AB的长；9、如图，已知圆内接四边形ABCD的各边长分别为AB＝2，BC ＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积、1、1、2余弦定理[强化训练答案]1、答案C解析bcos C＋ccos B＝b＋c＝＝a＝2、2、答案B解析∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，∴cos B＝＝＝、3、答案 D 解析由(a2＋c2－b2)tan B＝ac得＝，即cos B＝，∴sin B＝，又B为△ABC的内角，所以B为或、4、答案B解析∵sin2＝＝，∴cos A＝＝，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形、5、答案C解析依题意得OD＝100 m，CD＝150 m，连接OC，易知∠ODC＝180－∠AOB＝60，因此由余弦定理有：OC2＝OD2＋CD2－2ODCDcos∠ODC，即OC2＝1002＋1502－2100150，解得OC＝50(m)、6、答案120解析易知：>a，>b，设最大角为θ，则cos θ＝＝－，又0<θ<180，∴θ＝120、7、解由得∴a>b>c，∴a2＝b2＋c2－2bccos120，即(b ＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)(－)，即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10，此时a＝14，c＝6、8、解(1)∵cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，且C∈(0，π)，∴C＝、(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，∴∴AB2＝b2＋a2－2abcos120＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB ＝、9、解连接AC、∵B＋D＝180，∴sin B＝sin D，cos D＝－cosB、∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ABBCsin B＋ADDCsin D＝14sinB、由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos B＝AD2＋DC2－2ADDCcos D，∴56cos B＝8，cos B＝、∵0<B<180，∴sin B＝＝、∴S四边形ABCD＝14sin B＝8、。
2019-2020年高中数学《1.1.2 余弦定理》教案 新人教A版必修5
2019-2020年高中数学《1.1.2 余弦定理》教案 新人教A 版必修5高二数学 教·学案【学习目标】1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
【授课类型】新授课【教 具】课件、电子白板 2222c a b a b=+-⋅高二数学教·学案课后反思：2019-2020年高中数学《1.1.2 余弦定理》教案2 新人教A版必修5●教学目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
●教学过程 Ⅰ.课题导入C如图1．1-4，在ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和C ，求边c b aA c B(图1．1-4)Ⅱ.讲授新课 [探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A如图1．1-5，设，，，那么，则()()2222 2c c c a b a ba ab b a ba b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C B从而 (图1．1-5) 同理可证于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
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§1.1正弦定理和余弦定理（3）
教学目标：
1、知识与技能：进一步熟悉正、余弦定理内容，能够熟练应用正、余弦定理进行边角关系
的相互转化，进而判断三角形的形状或求值.
2、过程与方法：让学生从正、余弦定理的变形出发，得到边角互化的关系式，引导学生利
用这个关系实现三角关系中的边或角的统一，再利用已学的三角变换或代数变换解决问题.
3、情感与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函
数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了
事物之间的内在联系.
教学重点：利用正、余弦定理进行边角互化
教学难点：边角互化时边化角及角化边的合理运用
课时安排：1课时
教学方法：启发引导式
引导学生总结在解决三角问题时，如何合理运用正、余弦定理进行边角互化
教学过程：
一、复习引入：
1、正弦定理：RAa2sin（其中R为ABC外接圆半径）
正弦定理应用范围：（1）已知两角和任一边，求其他两边及一角；
（2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．
变形： （1）CRcBRbARasin2sin2sin2 ； （2）.RcCRbBRaA2sin2sin2sin
思考：变形（1）和（2）有什么作用？
2、余弦定理：2a ；
Acos
；
2b ； 变形： Bcos ；
2c .
Ccos
.
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余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；
（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．
【设计意图：通过复习旧知，导入变形，引导学生认知通过变形式实现边角的互化】
二、典例剖析
例1、在ABC中，BaAbcoscos，试判断ABC的形状.
【设计意图：本题属于容易题，主要通过本题让学生认知判断三角形的形状就是判断角之
间的关系或边之间的关系，利用正、余弦的变形恰好达到角或边的一个统一】
【练习巩固】
1、在ABC中，BbAacoscos，试判断ABC的形状.
【设计意图：本题是例1的直接变形，入手容易，但后面有学生易错或易忽视的地方，如
BA2sin2sin
仅得到BA22一个结论，2222222)())((cbababa直接两边约掉
22
ba
，同时本题体现出“边化角”比“角化边”要容易一些，因此在选择边角统一时要
善于发现和总结用正弦还是余弦】
2、在ABC中，,,abc分别是,,ABC的对边长，若cos,sinbaCcaB，试判断
ABC
的形状.
【设计意图：本题中sincaB式子不能直接将sinB处理成边了，让学生领悟利用正弦定
理实现边角统一的关键】
例2、在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是,,abc,已知8=5bc,=2CB,则
cosC
（ ）
A、725 B、725 C、725 D、
24
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【设计意图：本题是2012年的天津高考题，首先引导学生从目标入手，求角就应该处理出
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角之间的关系，这个较为容易，且得出的Bcos值，但多数学生会随即得出Bsin的值，然
后求出Csin，进而得到错误答案C】
例3、在锐角ABC中，CBA,,的对边分别为cba,,，且Cbaabcos6，则
BCACtantantan
tan
.
【设计意图：本题较难，主要因为学生习惯性的直接从条件出发，目的在于再次向学生强
调思考问题，统一边角关系需从目标着手】
三、本课小结：
1、学会利用正弦、余弦定理解决两类题型：
（1） 判断三角形的形状；
（2） 三角形中的求值题.
2、两种题型思路的共同点：统一边角关系.
（1）边化角，利用三角变换求解；
（2）角化边，利用代数变换求解. (强化目标意识）
四、课后作业
1、在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则此三角形为
A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形
2、在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，则Acos .
3、在△ABC中，cbabAo,,,80成等比数列，求B.
4、ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos()cos1,2ACBac,
求C.
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5、在ABC中，,,abc分别是,,ABC的对边长。求证：222sinsinABabcC.