yz第二章 开放式光腔和高斯光束
激光原理第8次课 第2.7-2.8节
2.作业:
P100, 28，29，30
第二章 开放式光腔与高斯光束
目录
2.1光腔理论的一般性问题 2.2共轴球面腔的稳定性条件 2.3开腔模式的概念和理论分析方法 2.4高斯光束的基本性质和特征参数 2.5高斯光束q参数的变换规律 2.6高斯光束的聚焦和准直 2.7高斯光束的自再现变换 2.8非稳光腔及其自再现 2.9非稳光腔的几何放大率及能量损耗
§2.7 高斯光束的自再现变换
图2-19 薄透镜对高斯光束实现自再现变换
[结论]：当透镜焦距F等于透镜表面处波阵面曲率半径R(l)一半 时，透镜对高斯光束实现了自再现变换。
§2.7 高斯光束的自再现变换
三. 利用球面反射镜实现自再现变换
设球面反射镜的曲率半径为R0，如图2-20 所示，在一般情况 下，w0 w0，l l，及R(l) R0。在自再现条件下，入射与反射 高斯光束完全重合，要求w0= w0及l= l，给出R(l) = R0。
§2.7 高斯光束的自再现变换
一. 自再现变换
（1）定义：高斯光束通过薄透镜后，其结构不发生变化，称为 自再现变换。
（2）表达式：w0= w0，l= l，k==1。
二. 利用薄透镜实现自再现变换
令 ，w0
Fw0 (F l)2
f2
w0
得
F 1[l
f2 1 ] R(l)
。
2 l2
这与§2.6 图2-18的结果一致。
图2-24 双凹腔
对于条件（A）：R1L及R2L，或者R1L及R2L，均使g1g2<0。 对于条件（B）：由g1g21，得R1+R2L。 满足（A）或（B）条件的双凹腔为非稳腔，否则为临界腔或稳定 腔。
2.6 圆形镜共焦腔的自再现模和行波场-20200318
第二章 开放式光腔与高斯光束模
属于同一横模的相邻两个纵模之间的频率间隔为
q
mn(q1)
mnq
c
2L
属于同一纵模的相邻两个横模之间的频率间隔为
m
(m1)nq
mnq
1 2
c
2 L
1 2
q
n
m(n1)q
mnq
c
2 L
q
横模参数对频率的影响不可忽略。
单程衍射损耗
模的单程损耗为
mn (r, ) Cmn
2
r w0 s
m
Lmn
2
r2 w2
0s
e
r2 w2
0s
cos m sin m
Cmn为与模式有关的归一化常数； w0s为镜面上基模光斑半径。
cosm 和sinm 因子任选一个，但当m = 0时，只能取cos m
因子，否则将导致整个式子为零。
第二章 开放式光腔与高斯光束模
第二章 开放式光腔与高斯光束模
mn (x, y) mn K(x, y, x ', y ')mn (x ', y ')ds '
K x , y , x , y i e ik x , y ,x, y
L
拉盖尔—高斯近似
当腔的菲涅耳数N足够大时，圆形镜共焦腔的自再现模为拉 盖尔多项式和高斯函数的乘积。
2n
1)
4
arctan
z f
圆形镜共焦腔行波场特性的分析方法与方形镜共焦腔相同，
两者的基模光束的振幅分布、光斑尺寸、等相位面的曲率
半径以及光束发散角都完全相同。
第二章 开放式光腔与高斯光束模
小结： 在N>>1时, 共焦腔的自再现模能以厄米~高斯或拉盖尔~高斯
§2.7+高斯光束及其传输规律
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.7 高斯光束及其传输规律
r2 r2 −1 z −ik z+ −tan − 2 2R( z) f w ( z)
c 自由空间的基 Ψ x, y, z) = e 模 高 斯 光 束 00 ( w( z)
• 情况1：已知w0, w'0, 确定透镜焦距(F)及透镜的距离 l, l'
( l − F ) F2 l′ = F + 2 l − F) + f 2 (
′ w =
2 0
w0 l −F =± F2 − f02 ′ w0 ′ w0 l′ − F = ± F2 − f02 ′ w0
( F −l )
w2 F2 0
1 1 λ = −i 2 定义q 参数 q z R z 高斯光束的复曲率半径) ( ) ( ) πw ( z) (高斯光束的复曲率半径
若已知高斯光束在某一位置的q参数 若已知高斯光束在某一位置的 参数 → w(z), R(z), θ
1 1 = Re , R( z ) q ( z )
3. 光学系统(元件)
r2 A B r 1 球面波 = θ2 C Dθ1
r2 = Ar + Bθ1 1
r2 ≈ R2θ2
r ≈ Rθ1 1 1
θ2 = Cr + D 1 θ 1
R2 =
θ2
r2
=
AR + B 1 CR + D 1
参数通过光学系统的变换与球面波R的变换相同 高斯光束 q参数通过光学系统的变换与球面波 的变换相同 参数通过光学系统的变换与球面波
两式相减
激光原理教案第二章
激光原理与技术
1，2两种损耗常称为选择损耗，不同模式的 几何损耗与衍射损耗各不相同。3，4两种称为 非选择损耗，通常情况下它们对各个模式大体 一样。
平均单程损耗因子：如果初始光强为 I0 ，在 无源腔内往返一次后，光强衰减为 I1 ，则
I1 I0e2
1 ln I1 ,
2 I0
为腔中各损耗因子的和
1.22
2a
W1 W1 W0
S1 S1 S0
a L 2 a2 a L 2
激光原理与技术
2L
a
2L
0.61
a2
1.22 a2
1 a2
1 N
L L
D
D
'
1 N
N：菲涅耳数，N愈大，损耗愈小。
激光原理与技术
§2.2共轴球面腔的稳定性条件 一、腔内光线往返传播的矩阵表示
激光原理与技术
0q 称为腔的谐振波长
q
q
c 2L,
q称为腔的谐振频率
当光腔内充满折射率为 的均匀物质时
L, L
q
q
c
2 L,
L q q
2
式中 q 为物质中的谐振波长
本征模式在腔的横截面
内场分布是均匀的，而 沿腔的轴线方向(纵向)形 成驻波，驻波的波节数 由q决定，q单值地决定 模的谐振频率。
激光原理与技术
激光原理与技术
腔与模的关系： 腔内电磁场的本征态应由麦 克斯韦方程组及腔的边界条件决定。不同类型 和结构的谐振腔的模式各不相同。
对闭腔，一般可以通过直接求解微分形式的 麦克斯韦方程组来决定其模式
寻求开腔模式的问题通常归结为求解一定类 型的积分方程。
模的基本特征：模在腔的横截面内的场分 布，模的谐振频率，模在腔内往返的相对功率 损耗；模的光束发散角。
激光原理与技术
(1.1.10)
上述相空间体积元称为相格。相格是相空间中用任何实验所能分辨的最小尺度。
光子的某一运动状态只能定域在一个相格中，但不能确定它在相格内部的对应位置。
于是我们看到，微观粒子和宏观质点不同，它的运动状态在相空间中不是对应一点而是
对应一个相格。这表明微观粒子运动的不连续性。仅当所考虑的运动物体的能量和动量
ε=hv
（1.1.1）
式中 h＝6.626×10-34J．s，称为普朗克常数。
（2）光子具有运动质量m，并可表示为
（1.1.2）
光子的静止质量为零。
整理ppt
7
（3）光子的动量P与单色平面光波的波矢k对应
（1
式中
n。为光子运动方向(平面光波传播方向)上的单位矢量。 4．光于具有两种可能的独立偏振状态，对应于光波场的两个独立偏振方向。 5．光于具有自旋，并且自旋量子数为整数。因此大量光于的集合， 服从玻色—爱因斯坦统计规律。处于同一状态的光子数目是没有限制的， 这是光子与其它服从费米统计分布的 粒子(电子、质子、中子等)的重要区别。 上述基本关系式(1.1.1)相(1.1.3)后来为康普顿(Arthur Compton)散射实验所证实 (1923年)，并在现代量子电动力学中得到理论解释。量子电动力学从理论上把光的电磁 (波动)理论和光子(微粒)理论在电磁场的量子化描述的基础上统一起来，从而在理论上 阐明了光的波粒二象性。在这种描述中，
远远大于由普朗克常数h所标志的l量hv9和hk，以致量子化效应可以忽略不计时，
量子力学运动才过渡到经典力学运动。
从式(1.1.10)还可得出，一个相格所占有的坐标空间体积（或称相格空间体积)为
ΔxΔyΔz︾h3/（ΔPxΔPyΔPz）
（1.1.11）
激光原理陈钰清浙江大学第二版第二章习题答案
第二章开放式光腔与高斯光束习题1试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且 两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示:可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
3.激光器的谐振腔由一面曲率半径为 1m 的凸面镜和曲率半径为 2m 的凹面镜组成，工作 物质长0.5m ，其折射率为1.52，求腔长L 在什么范围内是稳定腔。
解：设两腔镜 M j 和M 2的曲率半径分别为 R 和R 2， R i=T m,R 2=2m其往返矩阵为:"A f 1 0、 A "1 0、<1B 3 11 =1 22C D ” 1 ■ --1 0 1 ―1 0 1 ,V R 1 丿R 2 丿J f2LL12L(1-_ )R2R 22 2 2L2L 2L 2L4 + - (1)] -[ (1- )(1-)]R 1 1 R 2一R 1 飞 ) 由于是共焦腔,往返矩阵变为r-1一1丿若光线在腔内往返两次，有T 2丿10)10(1)2 2工作物质长I = 0.5m ，折射率n =1.52 根据稳定条件判据:其中解:2I 2 2f 2 IB、y 1 0" z A 1 0)A1 I )1 1 2I )1=(1 1[1P D>.0 1丿「7 1 7 .0 1屮—— 1\ f 丿223I - 21甘2 由(1)解出 2m 〉L 、1m由(2)得 所以得到:L =L'+0.5x(1 -丄)=『 + 0.171.522.17m>L A1.17m4.图2.1所示三镜环形腔，已知I ，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径在什么范围内该腔是稳定腔。
图示环形腔为非共轴球面镜腔。
在这种情况下，对于在由光轴组成 的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的f =(Rcos8)/2，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，f=R/(2cos0), 0为光轴与球面镜法线的夹角。
激光原理周炳坤-第2章习题答案
第二章 开放式光腔与高斯光束习题（缺2.18 2.19 2.20）1． 题略证明：设入射光()11,r θ，出射光()22,r θ，由折射定理1122sin sin ηθηθ=,根据近轴传输条件，则1122sin ,sin θθθθ≈≈1122ηθηθ∴=，联立21r r =，则所以变换矩阵为 2． 题略证明：由题目１知，光线进入平面介质时的变换矩阵为:经过距离ｄ的传播矩阵为： 光线出射平面介质时： 故3. 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：其往返矩阵为：122212111210101122110101212(1) 222222[(1)][(1)(1)]A B L L T C D R R L L L R R L L L L R R R R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪= ⎪-+----- ⎪⎝⎭212211100r r θηηθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭121100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭2100d T ⎛⎫=⎪⎝⎭312100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭3113213112211101010000r r r d T T T θθηηηηθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123211221101011000000d d T T T T ηηηηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于是共焦腔，有 12R R L == 往返矩阵变为若光线在腔内往返两次，有可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4. 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
第二章 谐振腔理论
L' δ = cτ R 4、设无源腔中光子寿命为τR，则光腔对光的损耗因子为________, − t /τ R I ( t ) = I e 0 光在腔中传输时光强随时间的变化函数为____________
α =δ L 5、损耗系数α与单程损耗因子δ之间的关系为_________ a2 Lλ 6、腔镜的菲涅耳数 N= _________
光腔的损耗（二）
平均单程损耗因子 δ (α= δ/L) 定义（1）：单程渡越时光强的平均衰减指数。设初始光强为I0，在 无源腔（无激光介质）内往返一次后，光强衰减为I1，将光强写成 指数衰减形式 1 I0 −δ −δ − 2δ
I 1 = ( I 0e )e
= I0e
⇒ δ =
2
In
I1
定义（2）：单程渡越时光强的平均衰减百分数
光学谐振腔内的多纵模振荡
在谐振腔中，满足模的谐振条件的纵模数有无数个（q可取任 意整数）。但实际上只有那些既满足谐振的相位条件又满足自 激振荡的增益阈值条件（ g 0 ≥ α )的模式才能起振。 ΔνT:增益曲线中满足增益 阈值条件的频带宽度。 在谐振 DL β
L' η L βL δβ = = = 2D τ Rc τ Rc
结论：腔镜倾斜角越大，腔长越长，腔镜横向尺寸越小，几何 偏折损耗越大。
光腔的损耗（九）
开腔模的形成过程
3）衍射损耗 考察均匀平面波通过圆孔时由衍射产生的能量变化，开孔处对 应的是腔反射镜，则衍射到孔外的光损失掉了（越过腔反射镜 跑到腔外）。 均匀平面波入射到半径为 a 的 L 第一个圆孔上，穿过孔径时将 Lθ 发生衍射，其衍射角（第一极 θ 小值处对光轴的张角）为 I’ 2a I0
λ0 q L' = q ⋅ 2
第二章 高斯光束
– 在实验上和理论上都证实了工作物质的折射率随温度发生变化：
(x,
y)
0(T 0)
n T
D 4K
(x2
y2)
– 可见工作状态下的Nd：YAG工作物质是一种二次折射率介质。
21
2.1光线的传播
• 3. 光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播
–
程函(eikonal)方程：
x
2
y
2
x y
0 0
d 2r dz 2
k k
2 0
r
0
23
2.1光线的传播
–
（1）k2>0
微分方程的解为 r(z) c1cos
k k
2 0
z
c
2
sin
k k
2 0
z
若考虑光线入射初始条件
为
r0
r
0
'
，则可以求出
c1
r 0; c2
k，因此微分方程的解可以写成：
r
z
r
0
cos
– 1. 薄透镜的聚焦机理
– 一单色平面波，经过薄透镜后，产生一个与离轴距离r2成正比的相位超 前量，补偿了到达焦点几何路径的不同所引起的相位不同滞后量。到达
焦点时间、相位相同，实现聚焦，此时的薄透镜相当于一个平面的相位
变换器。
AB AO BO
f 2 x2 y2 f f 1 x2 y2 f
k k
2 0
z
k k
0 2
r
'
0
sin
k k
2 0
z
r ' z
k k
2 0
r
第二章高斯光束
特点：光斑半径非线性可变。
1/ 2
（2 4）
W 2 2 0 （2）在Z 点处的波阵面半径： R( z) z 1 z
（2 5 ）
特点：波阵面半径非线性可变。
（二）膜参数W0：
以上公式中，涉及一个很重要的参数W0（束腰半径）→膜参数
（六）远场发散角 从
z W ( z ) W0 1 W 2 0
2 1/ 2
可以看出，在Z=0处，光斑尺寸最小，
其值为W0。随着Z增大，则W（z）非线性增大，所以，高斯光 束是发散的，现在讨论其特性。 定义：光束的半发散角为传输距离（ Z）变化时，光斑半径 的变化率
0 2 2 ( Rl l )
2 1/ 4
对平凹稳定腔而言
（2-7）
基膜发散角亦可表示为θ0=F（W0）（以后再讲） 结论：已知腔参数（R， l ）可求光束的膜参数 WO，已知膜参数 WO，可求光束参数W（z），R（z）。 下面，讨论光束参数 W（ z ）， R （ z ）在 Z=0 到 Z=∝间的变化 规律。
有相似的形式，故可将该小球面内光矢量近似看成平面波（太阳 光）： 即在该平面内光强相等，位相相等，同样也不适用激光的特点。那 么激光究竟是一种什么光呢？
图2-2
三、基模高斯球面波（变心球面波）矢量
沿 Z 轴方向传播的高斯光束（激光束），不管是由何种稳
定腔产生的，均可用基尔霍夫公式表示为：
(x2 y 2 ) A0 x2 y2 E ( x, y , z ) exp ) ( z ) exp i k ( z 2 W ( z) 2 R ( z ) W ( z ) （2 3 ）