开放式光腔与高斯光束
1、几何偏折损耗
• 光线在腔内往返传播时，从腔的侧面偏折 逸出的损耗。
• 取决于腔的类型和几何尺寸 • 几何损耗的高低依模式的不同而异，高阶
横模损耗大于低阶横模损耗 • 是非稳腔的主要损耗
2、衍射损耗
• 腔镜具有有限大小的孔径，光波在镜面上
发生衍射时形成的损耗
• 与腔的菲涅尔数（
N a2 L
）有关，N愈大，
2 2L q2 q
q
q c 2L
L q q 2
q
c 2L
结论：L'一定的谐振腔只对一定频率的光波才 能提供正反馈，使之谐振； F-P腔的谐振频率 是分立的。
• 此式又称为驻波条件。表明：达到谐振时， 腔的光学长度应为半波长的整数倍。
• 满足此条件的平面驻波场称为腔的本征模式
• 特点：腔内光强沿z轴的分布不是均匀的，而 是强弱相间地分布着。光强最强的明亮区， 称为波腹；最弱的黑暗区，称为波节。
• 利用均匀平面波模型讨论开腔中傍轴传播 模式的谐振条件
• 考察均匀平面波在腔中沿轴线方向往返传 播的情形。当波在腔镜上反射时，入射波 和反射波将会发生干涉，多次往复反射时 就会发生多光束干涉。为了能在腔内形成 稳定振荡，要求波能因干涉而得到加强。
• 发生相长干涉的条件是：波从某一点出发， 经腔内往返一周再回到原来位置时，应与初 始出发波同相（即相差是2的整数倍）。
损耗愈小
（a:腔镜半径）
• 与腔的几何参数有关
• 与横模阶次有关(the higher the transverse
mode indices m,n, the greater the loss)
3、腔镜反射不完全引起的损耗 • 反射镜的吸收、散射和透射损耗.
4、固有损耗： • 材料中的非激活吸收、散射、腔内插入物所
第二章开放式光腔与高斯光束
§2.1 概述－光腔理论的一般问题
谐振腔的作用 无源谐振腔 理论依据 开放式光腔 开腔的分类 无源谐振腔的模式 光腔的损耗
一 谐振腔的作用
• 模式选择。保证激光器单模（或少数轴向 模）振荡，从而提高激光器的相干性； 控制腔内振荡光束的特性
（直接控制光束的横向分布特性、光斑大小、 谐振频率及光束发散角等）
• 模的基本特征包括：
每一个模的电磁场分布，特别是在腔的横截 面内的场分布；
模的谐振频率；
每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损 耗；
与每一个模相对应的激光束的发散角
• 原则上，只要知道了腔的参数，就可以唯一 地确定模的基本特征。
• 开腔中的振荡模式以TEMmnq表征。TEM表示
纵向电场为零的横电磁波，m、n、q为正整 数，其中q为纵模指数， m、n为横模指数。
模的纵向电磁场分布由纵模指数表征，横向 电磁场分布与横模指数有关。
• m与n为零的模称作基模，m>=1或n>=1的模 称作高阶模。
• 一个完整的模式不但有确定的横向分布，而 且沿纵向形成驻波（驻波型谐振腔）。横模 与纵模体现了电磁场模式的两个方面，一个 模式同时属于一个横模和一个纵模。
纵模和谐振频率
提供轴向光波模的反馈
二 无源谐振腔
• 不考虑腔内激活介质的影响 • 无源腔模式可以作为具有激活介质腔（有
源腔）的激光模式的良好近似 • 激活介质的作用主要是补充腔内电磁场在
振荡过程中的能量损耗，使之满足阈值条 件；激活介质对场的空间分布和振荡频率 的影响是次要的，不会使模式发生本质的 变化
三 采用的理论
• 腔的模式也就是腔内可区分的光子的状态。 同一模式内的光子，具有完全相同的状态 （如频率、偏振等）。
• 腔内电磁场的本征态由麦克斯韦方程组及腔 的边界条件决定。一旦给定了腔的具体结构， 则其中振荡模的特征也就随之确定下来-----腔与模的一般联系。
• 目的：弄清楚激光模式的基本特征及其与腔 的结构之间的具体依赖关系。
谐振腔可以按不同的方法分类：
• 稳定腔、非稳腔、临界腔 • 球面腔与非球面腔 • 驻波腔与行波腔 • 两镜腔与多镜腔 • 简单腔与复合腔 • 端面反馈腔与分布反馈腔
本章仅讨论由两个球面镜构成的开放式光学谐振腔
六 无源谐振腔的模式
模的概念 纵模和谐振频率 激光的横模
模的概念——腔与模的一般联系
• 在激光技术术语中，通常将光学谐振腔内可 能存在的电磁波的本征态称为腔的模式。
• 几何光学理论--推导腔的稳定性条件（不能 得到腔的衍射损耗）
• 衍射光学理论--深入了解模式特性
四 开放式光腔
• 激光器中使用的谐振腔通常是开放式的，即 侧面没有光学边界（理想化的处理方法）， 称为开式光学谐振腔，简称开腔。
• 对固体激光器，如果棒的直径远大于激光波 长，棒的长度远小于腔长，可认为是开腔。
• 半导体激光器采用介质波导腔，光纤激光器 的光谐振腔也属介质波导腔。
五 开腔的分类
• 根据光束几何逸出损耗的高低，分为稳定 腔、非稳腔和临界腔。
• 稳定腔：旁轴（傍轴）光线在腔内多次往 返而不逸出腔外，具有较低的几何损耗
• 非稳腔：傍轴光线在腔内经过少数几次往 返就逸出腔外，具有较高的几何损耗
• 临界腔：性质介于稳定腔和非稳腔之间， 只有少数特定光线能在腔内往返传播
引起的损耗.
• 后两种损耗称为非选择损耗，通常情况下 它们对各个模式大体一样。
• 几何偏折损耗和衍射损耗称为选择损耗， 不同模式的几何偏折损耗和衍射损耗各不 相同。
损耗参数 (loss per pass, photon lifetimes, and quality factor Q)
1、平均单程损耗因子
• 通常将由整数q所表征的腔内纵向光场的分布 称为腔的纵模，不同的q相应于不同的纵模， 或相应于驻波场波腹的个数。
•
七 光腔的损耗(losses in optical resonators)
损耗类型(loss mechanisms ) 1、几何偏折损耗 2、衍射损耗(diffraction losses) 3、腔镜反射不完全引起的损耗(loss resulting from nonperfect reflection) 4、固有损耗(absorption and scattering in the laser medium)
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开放式光腔与高斯光束
平均单程指数损耗因子：初始光强为I 0 ,在无源腔内往返一次后， 光强衰减为I1，则I1 I 0e
2
1 I0 ln ； 2 I1
1 I 0 I1 有时，定义单程损耗因子 (光强衰减百分数）。 2 I0 1 I 0 I1 1 I 0 I 0e 2 可以证明，在小损耗情况下， 2 I0 2 I0
稳定腔：任何旁轴光线可以在腔内往返无限多次不会 逸出腔外 几何偏折损耗小(低损耗腔)。 非稳腔：旁轴光线有限次反射后便逸出腔外 几何偏折损耗大(高损耗腔)。
两种不同的腔的理论处理方法、设计方法不同。
本节讨论用几何光学中光线矩阵方法来分析腔中的 几何偏折损耗。
一、腔内光线往返传播的矩阵表示
1、描述光线的参数
1、光子在腔内的平均寿命 R
根据平均单程指数损耗因子 的定义，我们可求得，初始光强 为I 0的光束经过m次往返后，光强会变为 Im I0 e
2
m
I 0e2 m
设t 0时刻光强为I 0，则到t时刻光在腔内往返的次数m应为 m t 0 tc 2 L 2L c
根据Maxwell方程和边界条件，我们可以求出电磁场的具体 解的形式。我们会发现，这些解是分立的。每一个分立的 解就是场的一个本征态，即电磁场的模式。
不管是闭腔或是开腔，只要给定了腔的具体结构，则其中振荡 模的特征也就随之确定下来，此即腔与模的一般联系。
模的基本特征包括： 电磁场分布(横向与纵向)；谐振频率；往返损耗；发散角。
r1,1 r4 ,4 r5 ,5
r2 ,2 r3,3
r1 开 始时 ： 1
r5 r1 T r1T LT r2T L T 1 5
§2.7+高斯光束及其传输规律
§2.7 高斯光束及其传输规律
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.7 高斯光束及其传输规律
r2 r2 −1 z −ik z+ −tan − 2 2R( z) f w ( z)
c 自由空间的基 Ψ x, y, z) = e 模 高 斯 光 束 00 ( w( z)
• 情况1：已知w0, w'0, 确定透镜焦距(F)及透镜的距离 l, l'
( l − F ) F2 l′ = F + 2 l − F) + f 2 (
′ w =
2 0
w0 l −F =± F2 − f02 ′ w0 ′ w0 l′ − F = ± F2 − f02 ′ w0
( F −l )
w2 F2 0
1 1 λ = −i 2 定义q 参数 q z R z 高斯光束的复曲率半径) ( ) ( ) πw ( z) (高斯光束的复曲率半径
若已知高斯光束在某一位置的q参数 若已知高斯光束在某一位置的 参数 → w(z), R(z), θ
1 1 = Re , R( z ) q ( z )
3. 光学系统(元件)
r2 A B r 1 球面波 = θ2 C Dθ1
r2 = Ar + Bθ1 1
r2 ≈ R2θ2
r ≈ Rθ1 1 1
θ2 = Cr + D 1 θ 1
R2 =
θ2
r2
=
AR + B 1 CR + D 1
参数通过光学系统的变换与球面波R的变换相同 高斯光束 q参数通过光学系统的变换与球面波 的变换相同 参数通过光学系统的变换与球面波
两式相减
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.7 高斯光束及其传输规律
r2 r2 −1 z −ik z+ −tan − 2 2R( z) f w ( z)
c 自由空间的基 Ψ x, y, z) = e 模 高 斯 光 束 00 ( w( z)
• 情况1：已知w0, w'0, 确定透镜焦距(F)及透镜的距离 l, l'
( l − F ) F2 l′ = F + 2 l − F) + f 2 (
′ w =
2 0
w0 l −F =± F2 − f02 ′ w0 ′ w0 l′ − F = ± F2 − f02 ′ w0
( F −l )
w2 F2 0
1 1 λ = −i 2 定义q 参数 q z R z 高斯光束的复曲率半径) ( ) ( ) πw ( z) (高斯光束的复曲率半径
若已知高斯光束在某一位置的q参数 若已知高斯光束在某一位置的 参数 → w(z), R(z), θ
1 1 = Re , R( z ) q ( z )
3. 光学系统(元件)
r2 A B r 1 球面波 = θ2 C Dθ1
r2 = Ar + Bθ1 1
r2 ≈ R2θ2
r ≈ Rθ1 1 1
θ2 = Cr + D 1 θ 1
R2 =
θ2
r2
=
AR + B 1 CR + D 1
参数通过光学系统的变换与球面波R的变换相同 高斯光束 q参数通过光学系统的变换与球面波 的变换相同 参数通过光学系统的变换与球面波
两式相减
第二章 开放式光腔与高斯光束-part2
q 4 4
1 2c 4 L L 2
阶数越低，对应的波长越长，频率越低
激光纵模分布示意图
•
腔的纵模在频率尺度上是等距离排列的
腔长越小，纵 模间隔越大
频率梳
激光器谐振腔内可能存在的纵模示意图 由于波长很小，腔长相对很大，整数q值很大，即腔内本征模式数很多， 达数万到数十万个。
L 30cm
q 1.5 109 Hz 一种频率（单纵模）
q 0.5 109 Hz 三种频率（多纵模）
F
q 1
q 2 q 1
q
q
q 1 q 2
q 1
结论：只有落在荧光谱宽 内且满足阈值条件的那些 激光才能产生；
② 纵模的决定因素
第一极小值： 孔阑传输线，第一衍射极小值： （2）衍射损耗 1.22 0.61 第一极小值： 2a a
1.22 0.61 1.22 2a 0.61a 2a a L
L
2a
L
红色是暗环
W1 S1 2 L 0.61 1 1 d L 2L FP腔 a2 W1 W0 S1 S0 a a2 N W1 S1 2 L 0.61 1 L 1 d 2 2L 2 2 a逸出部分面积 W1 W0 S1 S0 a a a N d N 衍射损耗率： 菲涅耳数 腔镜面积 L +逸出部分面积 2
谐振腔内q阶纵模的频率为基纵模频率的整数倍(q倍)
q q 1 q 纵模的频率间隔：
c 2L
激光谐振腔内低阶纵模分布示意图
q 1 1
c 2 L
1 2 L
q 2 2
第二章开放式光腔与高斯光束
T T4T3T2T1
1 L
T1 T3 0 1
R1
①
② R2
1 0
T2
2 R2
1
1 0
T4
1、往返一周
T
2 L
2g2 1 (g1 g2 2g1g2 )
2Lg2
4g1
g
2
2
g
2
1
R1、R2:两反射镜面曲率半径 L:谐振腔长度
证
①
②
R1
R2
④
③
L
r22 T1r11 r33 T2 r22 T2T1r11 r44 T3r33 T3T2T1r11 r55 T4 r44 T4T3T2T1r11
2、实例
(1)单程传播L距离
证
1 r1
2 r2
L
r2=r1+L1 2= 1
T
1 0
L 1
T
1 0
L 1
(2)球面反射镜
1 0
T
2 R
1
R:球面镜曲率半径(凹为+,凸为-)
证
=i+2 2-=-1
2
ii
2o 1
全反射镜
部分反射镜
光学谐振腔的发展与分类
最早提出的是平行平面腔 随后广泛采用了共轴球面腔
理论上分析这类腔的时候， 认为其侧面对光无约束，因 此也称为开放式光学谐振腔， 简称开腔。
开腔——侧面对光没有约束
稳定腔 非稳定腔 临界腔
1 L
T1 T3 0 1
R1
①
② R2
1 0
T2
2 R2
1
1 0
T4
1、往返一周
T
2 L
2g2 1 (g1 g2 2g1g2 )
2Lg2
4g1
g
2
2
g
2
1
R1、R2:两反射镜面曲率半径 L:谐振腔长度
证
①
②
R1
R2
④
③
L
r22 T1r11 r33 T2 r22 T2T1r11 r44 T3r33 T3T2T1r11 r55 T4 r44 T4T3T2T1r11
2、实例
(1)单程传播L距离
证
1 r1
2 r2
L
r2=r1+L1 2= 1
T
1 0
L 1
T
1 0
L 1
(2)球面反射镜
1 0
T
2 R
1
R:球面镜曲率半径(凹为+,凸为-)
证
=i+2 2-=-1
2
ii
2o 1
全反射镜
部分反射镜
光学谐振腔的发展与分类
最早提出的是平行平面腔 随后广泛采用了共轴球面腔
理论上分析这类腔的时候， 认为其侧面对光无约束，因 此也称为开放式光学谐振腔， 简称开腔。
开腔——侧面对光没有约束
稳定腔 非稳定腔 临界腔
激光原理教案第二章
激光原理与技术
1，2两种损耗常称为选择损耗，不同模式的 几何损耗与衍射损耗各不相同。3，4两种称为 非选择损耗，通常情况下它们对各个模式大体 一样。
平均单程损耗因子：如果初始光强为 I0 ，在 无源腔内往返一次后，光强衰减为 I1 ，则
I1 I0e2
1 ln I1 ,
2 I0
为腔中各损耗因子的和
1.22
2a
W1 W1 W0
S1 S1 S0
a L 2 a2 a L 2
激光原理与技术
2L
a
2L
0.61
a2
1.22 a2
1 a2
1 N
L L
D
D
'
1 N
N：菲涅耳数，N愈大，损耗愈小。
激光原理与技术
§2.2共轴球面腔的稳定性条件 一、腔内光线往返传播的矩阵表示
激光原理与技术
0q 称为腔的谐振波长
q
q
c 2L,
q称为腔的谐振频率
当光腔内充满折射率为 的均匀物质时
L, L
q
q
c
2 L,
L q q
2
式中 q 为物质中的谐振波长
本征模式在腔的横截面
内场分布是均匀的，而 沿腔的轴线方向(纵向)形 成驻波，驻波的波节数 由q决定，q单值地决定 模的谐振频率。
激光原理与技术
激光原理与技术
腔与模的关系： 腔内电磁场的本征态应由麦 克斯韦方程组及腔的边界条件决定。不同类型 和结构的谐振腔的模式各不相同。
对闭腔，一般可以通过直接求解微分形式的 麦克斯韦方程组来决定其模式
寻求开腔模式的问题通常归结为求解一定类 型的积分方程。
模的基本特征：模在腔的横截面内的场分 布，模的谐振频率，模在腔内往返的相对功率 损耗；模的光束发散角。
第二章 开放式光腔和高斯光束
r: 光线离轴线的距离； ζ :光线与轴线的夹角，规定
光线出射方向, 在腔轴线的上 方时，θ为正，反之θ为负。
傍轴光线、 自由空间的光线矩阵 2.2 共 轴 球 面 腔 的 稳 定 性 条 件 光线传输路径：
M 1 r1 ,1 M 2 r2 , 2
由几何关系： r2 r1 L sin 1 r1 L1 2 1
1 1 t dN t N0 0 N0
N0 t e R
t
R
dt R
这就证明了腔内光子的平均寿命为τR，腔的损耗 愈小，τR就愈大，腔内光子的平均寿命就愈长。
2.无源谐振腔的Q值
谐振腔Q值的普遍定义为：
δ ——储存在腔内的总能量；P——单位时间内损耗的能量， v—— 腔内电感场的振荡频率；W=2л v——场的角频率。
E0 ET
E3
E1=E0e-j
当||1的情况下（往返 传播次数无限多），当 = q2时，ET幅度可 以达到
E4 E3=E2e-j
E2=E1e-j
——腔内纵模需要满足的谐振条件
相长干涉条件：腔中某一点出发的波，经往返一 周回到原来位置时，应与初始出发的波同相位。
开放式光腔
稳定腔——共焦腔模式理论
（损耗小，模体积小）
非稳腔（高损，大功率激光器）
方形镜共焦腔 圆形镜共焦腔 一般稳定球面腔 与共焦腔的等价性 产生激光光束的传输问题 ——高斯光束
2.1光腔理论的一般问题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一.光学谐振腔的构成和分类
平行平面腔：最早的光腔法布里－珀罗干涉仪，F-P腔。
共轴球面腔：两块具有公共轴线球面镜构成的谐振腔。
周版激光原理课件第二章
数为：
P
nVd
8 2
c3
Vd
由此关系知，只能压缩V，但是不现实。从而提出开式腔
（无侧壁的封闭腔）。从发散角来看，封闭时为2 ，而
开式时为
a
2
L
压缩倍数为
2
/
a L
2
• 但是，我们知道开式腔是无侧壁的封闭 腔，那么内部会不会有稳定的电磁波存 在？如何求出该电磁波？
§ 2.1光腔理论的一般问题
(t
z
)
A2
A0
cos 2
(t
z
)
总波为二者叠加：
A
A1
A2
2 A0
cos
2
z
cost
稳定波存在必须满足驻波条件：
一维： L q
2
与谐振条件等价
从波动理论知：驻波是稳定存在的波。满足驻波条件的 那些光波称之为光腔的纵模，q为波节数，一般很大。一般 把由整数q所表征的腔内的纵向场分布称为腔的纵模。其特 点是：在腔的横截面内场分布是均匀的，而沿腔的轴线方向 形成驻波，驻波的波节数由q来决定。
共轴
球面 R1
共轴 R2
2. 开放式: 除二镜外其余部分开放 共轴: 二镜共轴 球面腔: 二镜都是球面反射镜(球面镜)
三.光腔按几何损耗(几何反射逸出)的分类:
稳定腔 (光腔中存在着伴轴模,它可在腔内多次传播而不逸出腔外) 光腔 临界腔 (几何光学损耗介乎上二者之间)
非稳腔 (伴轴模在腔内经有限数往返必定由侧面逸出腔外,有很高的
a
在这种条件下，可认为均匀平面波是F-P谐振腔内的最低损 耗模，从而为F-P谐振腔的模式提供一种粗略的，也是有用 的形象。
所以考虑均匀平面波在F-P谐振腔内沿轴线方向往返传播的 情形
第二章开放式光腔与高斯光束1
腔的菲涅耳数为 N a L
2
所以:
1 1 d 2 a N L
' d
几何光学分析方法和衍射理论分析方法
几何光学分析方法：
用矩阵方法处理光腔中光线的传播、腔的 稳定性 、谐振腔的分类等。
衍射理论分析方法： 在菲涅耳－－基尔霍夫衍射积分以及模式 重现概念的基础上，讨论谐振腔模式的形式、 解的存在、模式花样、衍射损耗等。
共焦谐振腔示意图
长半径球面腔
长半径球面谐振腔的性能介于共焦腔与球面腔之间，它的特点 如下： 1） 中等的衍射损耗；2）较易安装调整； 3）模体积很大； 4）腔内没有很高的光辐射聚焦现象；
长半径球面谐振腔适于连续工作的激光器
长半径球面腔示意图
半球型谐振腔 半球型谐振腔的特点： 易于安装调整、衍射损耗低、成本低 半球型谐振腔主要应用于低功率氦氖激光器
（3）腔镜不完全反射引起的损耗 包括反射镜的吸收、散射以及镜的透射损耗。 镜的透射损耗与输出镜的透射率T有关。 （4）材料中非激活吸收、散射，腔内插入物引起的损耗。 激光通过腔内光学元件和反射镜发生非激活吸收、散 射引起的损耗 平均单程损耗因子
I I 0e
2
1 I0 ln 2 I
I1 I 0 r1r2 I 0e 2 r 1 r ln(r1r2 ) 2 r1 1, r2 1 时有
当
1 r [(1 r1 ) (1 r2 )] 2 （2）腔镜倾斜时的几何损耗
设倾角为 ，往返m次后才逸出腔 外，D为腔的横向尺寸。
L 2 L 6 L(2m 1)2 D
§2.1 光腔理论的一般问题
一、光学谐振腔的构成、分类和作用 光学谐振腔的构成 最简单的光学谐振腔是在激活介质两端恰当地 放置两个镀有高反射率的反射镜构成。
第二章开放式光腔和高斯光束2.3
q1
表示入射高斯光束在透镜处的q参数，
1 q1
1 R1
i
2 1
q2 表示出射高斯光束在透镜处的q参数
1 q2
1 R2
i
2 2
1 11 由上面的四个式子可以得到：
q2 q1 F
比较两式： R2 (z) R1z z2 z1 R1z L
qz2 qz1 z2 z1 qz1 L
高斯光束通过薄透镜的变换
w/
当傍轴波面通过焦距为F的透镜时，其
波前曲率半径满足关系式
：
1
R2 z
1
R1z
1 F
出射光束在透镜处的光斑尺寸满足： 1 2
当傍轴波面通过焦距为F的透镜时，其
波前曲率半径满足关系式
：
1
R2 z
1
R1z
1 F
出射光束在透镜处的光斑尺寸满足： 1 2
与轴线相交于z点的高斯光束等
相位面的曲率半径radius of
curvature
高斯光束的共焦 参数
二、基模高斯光束在自由空间的传输规律
1.在横截面内的场振幅分布按高斯函数 规律从中心向外平滑降落。
exp[
r
2
2
(
z
)
]
所描述的
光斑半径随z的变化规律为：
z 0
1 0
2
Rz
z 1
2 0
z
2
0
z1
第二章 开放式光腔与高斯光束2
谐振腔模式理论的基础
模式自再现概念
菲涅耳－基尔霍夫衍射积分
基本步骤：
光的衍射理论
自再现模所满足的积分方程
求解积分方程
在决定开腔中激光振荡能量的空间分布方面，衍射起主要作用。 理想的开腔模型：两块反射镜片沉浸在均匀的、无限的、各向 同性的介质中。无侧壁的不连续性，决定衍射效应的孔径由镜 的边缘所构成。
可以得到：
xx yy i vmn x, y mn exp ikL vmn x, yexp ik dxdy L L a a
a a
方形镜对称共焦腔自再现模积分方程
按照博伊德和戈登的方法 进行无量纲变换:
a2 C C a 2k X x, Y y, C 2 2N a a L L
4、自再现模的形成过程将伴随着光的受激放大 。 结果光谱不断变窄，空间相干性不断增强，光强 不断增大，最终形成高强度的激光输出。
三、菲涅耳－基尔霍夫衍射积分
1、惠更斯－菲涅耳原理
惠更斯：球面子波
菲涅耳：子波相干叠加
2、衍射积分公式
基尔霍夫：用数学公式描述出惠更斯－菲涅耳原理 如果知道光波场在其所达到的任意空间曲面上的振 幅和相位分布，可求出该光波场在空间其他任意位 置处的振幅和相位分布。
自再现模在开腔中的单程总相移一般不等于由腔长L所 决定的几何相移kL。通常有这么一个关系：
kL
表示腔内单程渡越时相对于几何相移的单程附加相移
2 L q c
mn
qc c mn 2 L 2L
也就是说，本征值 决定了不同横模的谐振频率
根据分离变量： vmn ( x, y) Fm X Gn Y 令 mn m n 则积分方程转化为：