MATLAB第三次上机实验报告

电子科技大学电子工程学院标准实验报告（实验）课程名称MATLAB与数值分析

学生姓名：

学号：

指导教师：

一、实验名称

实验三 数值积分、微分方程求解

二、实验目的

通过上机实验，使学生对数值积分、微分方程求解方法有一个初步的理解。 实验涉及的核心知识点:数值积分和积分方程的数值求解、常微分方程数值求解。 实验重点与难点:算法设计和MATLAB 编程

三、实验内容

1. 选用复合Simpson 公式，计算

()()1

1

ln 1ln 1x x dx -+-?

并用Matlab 的符号运算工具箱计算其精确值。比较结果，找出问题原理，提出

解决问题的方法。 2. 求积分方程

()()1021

t t

y t e y s ds e e =

--? 的数值解和精确解，分析二者的差异。

3. 利用Euler 法对不同的步长求下面初值问题的数值解：

()()()'

20

010

y t y t y ?=-??

=?? 并通过绘图，与方程的解析解进行比较。

四、实验数据及结果分析

1. 选用复合Simpson 公式，计算

()()1

1

ln 1ln 1x x dx -+-?

并用Matlab 的符号运算工具箱计算其精确值。比较结果，找出问题原理，提出

解决问题的方法。

function s=simpr1(f,a,b,n)

h=(b-a)/(2*n); s1=0; s2=0;

for k=1:n

x=a+h*(2*k-1); s1=s1+feval(f,x); end

for k=1:(n-1) x=a+h*k*2;

s2=s2+feval(f,x); end

s=h*(feval(f,a)+feval(f,b)+4*s1+2*s2)/3;

function y=f(x)

y=(log(1+x))*(log(1-x));

(1)在主界面中输入

simpr1('f',-1,1,100)

所得结果为：

ans = -Inf

(2)在主界面中输入

simpr1('f',-0.9999,0.9999,100)

所得结果为

ans = -1.1104

2. 求积分方程

()()1021

t t

y t e y s ds e e =

--? 的数值解和精确解，分析二者的差异。

对原方程进行化简和变形，得：

?

?

???+==21)0('

e y y y 原问题转化为一个常微分初值问题。

function [x,y]=euler(fun,x0,y0,xN,N) y(1)=y0; h=(xN-x0)/N;

x=x0:h:xN; for n=1:N

x(n+1)=x(n)+h;

y(n+1)=y(n)+h*feval(fun,x(n),y(n)); end

plot(x,y,'b')

f=inline(dsolve('Dy=y','y(0)=1','x')); F=inline('y','x','y') y=euler(F,0,1,5,500); hold on

X=linspace(0,5); Y=f(X); plot(X,Y,'r')

legend('Euler 近似','y=e^t',0)

3. 利用Euler 法对不同的步长求下面初值问题的数值解：

()()()'20

010

y t y t y ?=-??

=?? 并通过绘图，与方程的解析解进行比较。

function E=Euler_1(fun,x0,y0,xN,N) x=zeros(1,N+1);y=zeros(1,N+1); x(1)=x0;y(1)=y0;

h=(xN-x0)/N; for n=1:N

x(n+1)=x(n)+h;

y(n+1)=y(n)+h*feval(fun,x(n),y(n)); end

T=[x',y'];

plot(0:N,0:N,x,y,'o',x,y,'-')

function z=f(x,y) z=y-20;

在主界面中输入

Euler_1('f',-10,10,10,10)

-10

-8-6-4-20246810

-6-5

-4

-3

-2

-1

1x 10

5

在主界面中输入

Euler_1('f',-10,10,10,20)

-10

-505101520

-12-10

-8

-6

-4

-2

2

在主界面中输入

Euler_1('f',-10,10,10,30)

-10

-5051015202530

-5-4

-3

-2

-1

1x 10

7

该常微分方程应为t

e y -=20，图像如下

12345678910

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

五、总结及心得体会

1.由上面的实验结果可以看出有时候复合Simpson 公式并不能求出所需解。本题的原因是在取1，-1时式子没有意义，无法进行运算。我运用的解决方法是分别用0.9999，-0.9999代替。精度越高，此方法所得结果越接近于真实值，但是和真实值还是有差距。

2.由图像可知，Euler 公式能够较精确的求出常微分方程的解。适当的步长h ，能比较精确的表示该常微分方程的解。

3.由三个图像比较可知，用Euler 公式求解常微分方程初值问题时，步长越短，其数值解越接近其解析解。

此次MATLAB 实验涉及的核心知识点是数值积分和积分方程的数值求解、常微分方程数值求解。实验重点与难点是算法设计和MATLAB 编程

通过此次上机实验，我明白了MATLAB 求积分、常微分方程初值问题的原理，明白了这些原理方法在实际应用中需要结合实际操作进行适当处理，而且要通过更好的算法，尽量减小误差，得到更加精确的解。