(完整版)椭圆大题题型汇总例题+练习
椭圆大题题型
解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：
（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组；
（3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式（5）韦达定理，同类坐标变换
（6）同点纵横坐标变换（7）x,y，k(斜率)的取值范围
（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等
运用的知识：
x?xy?y1212A(x,y)，B(x,y)?,y x?yx,的中点坐，其中1、中点坐标公式：是点
221122标。)()，Bx,yxA(,y0)k??b(y?kx在直线上，2、弦长公式：若点2112b?kx??y?kxb，y则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，2121
222222
)?kx)(kx?kx)x?))?(y?y(1?(x?x)??(?AB(x?x2121211221
22?4x)x?k])[(x?x?(12112111
22222)yy??(1?)((x?x)??(yAB?y)(x?xy?(y?))?或者22211212112kkk
12)[(y?y)?4?(1?yy]。12122kl:y?kx?b,l:y?kx?bkk??1、两条直线垂直：则321121122rrg v0v?两条直线垂直，则直线所在的向量1220)0(a??axbx?c?x,x则：，同的根不次元若一二方程有两个理达、4韦定21bcx?x??,xx?。2211aa
常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，。
用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）2xy?l轴上是否存在一点两点，在x交于A、例题1、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：B xx ABE?，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。E(,0)00
2x21?y?OF已知椭圆例题2的左焦点为，、为坐标原点。2x??2FO、相切的圆的方程；（Ⅰ）求过点，并且与FA、BABx的垂直平分线与（Ⅱ）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段GG横坐标的取值范围。，求点轴交于点
22yx1301?a??bC:)?(e?),(1。过点1练习：，且离心率已知椭圆2222ab（Ⅰ）求椭圆方程；l:y?kx?m(k?0)NMNM的垂直、，且线段与椭圆交于不同的两点（Ⅱ）若直线1)0G(,k平分线过定点，求的取值范围。8
xy22的左右焦点．是否存在过点的直线l、练习2、设分别是椭圆与椭FF0)5,A(1??2154圆交于不同的两点C、D，使得？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说DFC?F22明理
由．
题型三：动弦过定点的问题
22yx30)??b??1(a的离心率为例题3，且在x轴上的顶点分别为、已知椭圆C：
222ab A(-2,0),A(2,0)。21（I）求椭圆的方程；
l:x?t(t?2)l上异于点T的任一点，直线（II）若直线PA轴交于点T,点P为直线,PAx与21分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。
例题4、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
l：y?kx?m与椭圆C相交于A（Ⅱ）若直线，B两点（A，B不是左右顶点），且以l过定点，并求出该定点的坐标。C的右顶点。求证：直线为直径的圆过椭圆AB
2px?2ym?y?kxl：为直径的圆过抛物线的ABB：直线练习相交于和抛物线A、，以m?l：ykx?顶点，证明：直线过定点，并求定点的坐标。
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程，考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐（或类一元二次方程）标，进而解决问题。22yx1??(23,0)0)b?(a?AEB、例题6已知点A、、C是椭圆上的三点，：其中点22ab uuuruuuruuuruuurg BC?2AC0AC?BC，，如图。过椭圆的中心是椭圆的右顶点，直线BCO，且(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；
x?3对称，求直线QC，使得直线PC与直线关于直线PQQPE(II)若椭圆上存在两点、的斜率。
3AC。，0），两个焦点为（－1，0练习：已知，椭圆）以过点（（11，）2C的方程；求椭圆（1）AFFCAEE的斜率互为相反数，证明直是椭圆的斜率与,上的两个动点，如果直线（2）
EF的斜率为定值，并求出这个定值。线
题型五：共线向量问题
解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。
22yx rruuuuuu?1?：MD(0,3)、设过点的直线交曲线例题,且P于、Q两点，求实数7DQlDP=l94的取值
范围。
12xy?的它的一个顶点恰好是抛物线焦点在x轴上，例题8：已知椭圆C的中心在原点，452．焦点，离心率为5C的标准方程；（1）求椭圆?AFMA?，若y两点，交轴于M点，交椭圆2（）过椭圆C的右焦点F作直线lC于A、B1????BFMB?的值．，求212
22yx?C:?1(a?0)FF设椭圆练习：是椭圆C的左、右焦点分别为上的、，A
2122a1AF|OF|0?FAF?F．一点，且，坐标原点O到直线的距离为112123 1（）求椭圆C的方程；)P(0?1,，若轴于点M，较yxlQCQ2（）设是椭圆上的一点，过的直线交轴于点MQ?2QP，求直线l的方程．
题型六：面积问题22yx6,1??）的离心率为＞0a例题9、已知椭圆C＞：b（短轴一个端点到右焦点223ba3。的距离为（Ⅰ）求椭圆C的方程；
3，求△的距离为AOB两点，坐标原点O到直线lB（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、2面积的最大值。
2x2?y1?y?kx?b SABC?与椭圆练习、如图，直线的面积为两点，记交于A、B。4S1?00?bk?的最大值；，（Ⅰ）求在的条件下，，S?12AB?时，求直线AB（Ⅱ）当的方程。
椭圆的短轴端点和焦点所组成轴上，，焦点在x练习1、已知椭圆的中心在坐标原点O 的四边形为正方形，两准线间的距离为4。Ⅰ)求椭圆的方程；(l面积取得最大值时，求直两点，当ΔAOBP(0,2)过点且与椭圆相交于A、(Ⅱ)直线B l的方程。线
椭圆的常见题型及解法(一).
椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导 设P （，）是椭圆上的任意一点， 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆 ，求证，。证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴， 证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知1 1 PF e d ，又，所 以， 而 。
∴，。 2.公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4， 0）的距离成等差数列，则 12 x x + . 解：在已知椭圆中，右准线方程为 25 4x = ，设A 、B 、C 到右准线的距离为 ， 则、、。 ∵ ， ， ，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 例2.12,F F 是椭圆22 14x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求 的最大值和最 小值。 解：设 ，则10202,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ?的最大值为4，最小值为1. 变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。 解：由已知 可得 ，所以直线AB 的方程 为 ，代入椭圆方程 得 设 ，则 ，从而 变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为
高中数学椭圆经典例题(学生+老 师)
（教师版）椭圆标准方程典型例题 例1已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值． 解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得． 又，所以，适合．故． 例2已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设 条件，运用待定系数法， 求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为． 当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为． 例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹． 分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解． （2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程． 解：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，， 有， 故其方程为． （2）设，，则．① 由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）． 例4已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方 程． 解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即． 从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，， 可求出，，从而． ∴所求椭圆方程为或．
例5已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知：·．① 由椭圆定义知：②，则得． 故． 例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式． 解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点， 即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径， 即．∴点的轨迹是以，为两焦点， 半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标
高考圆锥曲线中的定点和定值问题(题型总结超全)
专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答题 1．【省市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标. 【答案】（1）（2） 【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。 解得。 ∴椭圆的标准方程为. （Ⅱ）证明： 由题意设直线的方程为， 由消去y整理得， 设，，
要使其为定值，需满足， 解得. 故定点的坐标为. 点睛：解析几何中定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意． 2．【省市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线 2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当1 2 k = 时，弦MN 的长为415. （1）求抛物线C 的标准方程； （2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）2 4y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4- 【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（1）可设()()() 2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则1 2 MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++= ()1212:220NQ x t t y t t -++=. 由()1,0-在直线MN 上1 1 t t ?=（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ?+++=将（1）代入()121221t t t t ?=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ?-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．
椭圆典型题型归纳(供参考)
椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 练习： 1.6=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是 5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的 另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ； 6.设圆22 (1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例1.方程22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程； 例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程； 注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 2221()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程； 例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>
椭圆经典例题讲解
椭圆 1．椭圆的两种定义 (1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ．②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在． (2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的 ，定直线l 是 ，常数e 是 ． 2．椭圆的标准方程 (1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是： 12 22 2=+ b y a x ，其中( > >0，且 =2a ) (2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12 22 2=+ b x a y ， 其中a ，b 满足： ．（3）焦点在哪个轴上如何判断 3．椭圆的几何性质(对 12 22 2=+b y a x ,a > b >0进行讨论) (1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ． (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ． (4) 离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ； e 越接近 0，椭圆越接近于 ． (5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则 =1PF ，122PF a PF -== 。 4．焦点三角形应注意以下关系（老师补充画出图形）：(1) 定义：r 1＋r 2＝2a (2) 余弦定理：21r ＋22r －2r 1r 2cos θ＝(2c ) 2 (3) 面积：21F PF S ?＝2 1 r 1r 2 sin θ＝2 1·2c | y 0 |(其中P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)基础过关
(完整版)椭圆常见题型总结
椭圆常见题型总结 1、椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决； 椭圆 22 2 21(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -，2(,0)c F 为顶点的12PF F ?中，12F PF α=∠，则当P 为短轴端点时α最大，且 ① 122PF PF a +=； ②22 2 12122cos 4c PF PF PF PF α=+-； ③12 121 sin 2PF F S PF PF α?= =2tan 2 b α?（b 短轴长） 2、直线与椭圆的位置关系：直线y kx b =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>交于 1122(,),(,)A x y B x y 两点，则12AB x =-=3、椭圆的中点弦：设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上不同两点， 00(,)M x y 是线段AB 的中点，可运用点差法可得直线AB 斜率，且20 20 AB b x k a y =-； 4、椭圆的离心率 范围：01e <<，e 越大，椭圆就越扁。 求椭圆离心率时注意运用：c a e = ，222c b a += 5、椭圆的焦半径 若00(,)P x y 是离心率为e 的椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任一点，焦点 为1(,0)c F -，2(,0)c F ，则焦半径10PF a ex =+，10PF a ex =-； 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法：根据椭圆定义，确定2 a ，2 b 值，结合焦点位置直接写出椭圆方程； ⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出2 a ，2 b ，从而求出标准方程； ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为221Ax By +=；
椭圆经典练习题两套(带答案)
椭圆练习题1 A组基础过关 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( )． A.1 2 B. 2 2 C. 2 D. 3 2 解析由题意得2a＝22b?a＝2b，又a2＝b2＋c2 ?b＝c?a＝2c?e＝ 2 2 . 答案B 2．(2012·长沙调研)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.x2 81 ＋ y2 72 ＝1 B. x2 81 ＋ y2 9 ＝1 C. x2 81 ＋ y2 45 ＝1 D.x2 81＋ y2 36 ＝1
解析 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝1 3×2a ，∴c ＝3， ∴b 2 ＝a 2 －c 2 ＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 2 81 ＋ y 2 72 ＝1. 答案 A 3．(2012·长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )． A. 32 B.34 C.22 D.23 解析 先将 x 2＋4y 2＝1 化为标准方程x 21＋y 214 ＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝3 2 . 离心率e ＝c a ＝3 2. 答案 A 4．(2012·佛山月考)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2 ＝1的左、右焦点，P 是第一象 限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )． A ．1 B.83 C ．2 2 D.26 3 解析 由题意知，点P 即为圆x 2＋y 2＝3与椭圆x 24 ＋y 2＝1在第一象限的交点， 解方程组???? ? x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2 ＝1，得点P 的横坐标为 26 3 . 答案 D 5．(2011·惠州模拟)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 3 2 ，且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )．
高考椭圆题型总结(最新整理)
椭圆题型总结 一、椭圆的定义和方程问题(一)定义:PA+PB=2a>2c 1.命题甲:动点到两点的距离之和命题乙: 的轨迹 P B A ,);,0(2常数>=+a a PB PA P 是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2. 已知、是两个定点，且,若动点满足则动点的轨迹1F 2F 421=F F P 421=+PF PF P 是（ ） A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段3. 已知、是椭圆的两个焦点, 是椭圆上的一个动点,如果延长到,使得 1F 2F P P F 1Q ,那么动点的轨迹是( ) 2PF PQ =Q A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点4. 已知、是平面内的定点，并且，是内的动点，且 1F 2F α)0(221>=c c F F M α,判断动点的轨迹. a MF MF 221=+M 5. 椭圆 上一点到焦点的距离为2，为的中点，是椭圆的中19 252 2=+y x M 1F N 1MF O 心，则的值是 。 ON (二)标准方程求参数范围 1. 若方程表示椭圆，求k 的范围.（3，4）U （4，5） 13 52 2=-+-k y k x 2. ( )轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 102 2=+>>
A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.已知方程表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是 . 11 252 2=-+-m y m x 4.已知方程表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 22 2 =+ky x 5.方程所表示的曲线是 . 2 31y x -=6.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围。22 2 =+ky x y k 7.已知椭圆的一个焦点为，求的值。0632 2 =-+m y mx )2,0(m 8. 已知方程表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 222 =+ky x (三)待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点到两焦点的距离之和为26；P （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）； （3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点,求)2,3(),1,6(21--P P 椭圆方程.2. 以和为焦点的椭圆经过点点，则该椭圆的方程)0,2(1-F )0,2(2F )2,0(A 为 。 3.如果椭圆：上两点间的最大距离为8，则的值为 。 k y x =+224k 4. 已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆的两个焦点一个正方3694:222=+y x C 形的四个顶点，且椭圆C 过点A （2，－3），求椭圆C 的方程。 5. 已知P 点在坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离为和，过点P 3543 5 2作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆方程。 6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1） 长轴长是短轴长的2倍，且过点； )6,2(-
圆锥曲线题型归纳经典含答案
椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义: 1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦 点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ D ） A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动 点Q 的轨迹是( B ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 4. 椭圆 19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 4 。 5. 选做：F 1是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1），求||||1PF PA +的最小值。 解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA (二) 标准方程求参数范围 1. 试讨论k 的取值范围，使方程1352 2=-+-k y k x 表示圆，椭圆，双曲线。 （略） 2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 102 2=+>>( C ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 若方程1cos sin 2 2 =+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，α所在的象限是（ A ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 方程2 31y x -=所表示的曲线是 椭圆的右半部分 . 5. 已知方程22 2 =+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1 (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）； （3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程. 2. 简单几何性质 1． 求下列椭圆的标准方程（1） 32,8= =e c ； （2）过（3，0）点，离心率为 36 = e 。 （3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是3。 （4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为 （5）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为 354和3 52，过P 作长轴的
椭圆常考题型汇总及练习进步
椭圆常考题型汇总及练习 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数 ()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ()c 2. 椭圆的几何性质:以 ()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用 于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e =，()10,0<<∴>>e c a Θ （2）22F OB Rt ?, 2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且 22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -= 越小， 椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而2 2c a b -=越大，椭圆越接近圆。
2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结
2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结 知识点梳理： 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<
准线 c a x 2 ±= c a y 2 ±= 考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用 [例1 ] 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4a B ．2(a －c) C ．2(a+c) D ．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 总结：考虑小球的运行路径要全面 练习 1.短轴长为5，离心率3 2 = e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ） A.3 B.6 C.12 D.24 [解析]C. 长半轴a=3，△ABF 2的周长为4a=12 2.已知P 为椭圆22 12516 x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆 22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ） A ． 5 B ． 7 C ．13 D ． 15 [解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点，10||||=+∴ PD PC ，PM PN +的最小值为10-1-2=7 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来 [解析]设椭圆的方程为122 22=+b y a x 或)0(12222>>=+b a a y b x ， O x y D P A B C Q
椭圆经典例题分类汇总
椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由2 1= e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12． 由21= e ，得4191=-k ，即4 5-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由?? ???-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<
高中数学-椭圆经典练习题-配答案
椭圆练习题 一.选择题： １.已知椭圆 上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为（ D ） A ．２ B ．３ C ．５ D ．７ ２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ C ） A. B. C. D. ３.与椭圆9x 2 +4y 2 =36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是( B ) A ４．椭圆的一个焦点是，那么等于（ A ） A. B. C. D. ５．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( B ) A. B. C. D. ６．椭圆两焦点为 ， ，P 在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ B ） A. B . C . D . ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2| 的等差中项，则该椭圆方程是（ C ）。 A ＋＝1 B ＋＝1 C ＋＝1 D ＋＝1 ８.椭圆的两个焦点和中心，将两准线间的距离四等分，则它的焦点与短轴端点连线的夹角为( C ) (A)450 (B)600 (C)900 (D)120 ９．椭圆 上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为（ A ） A. 4 B . 2 C. 8 D . 116 252 2=+y x 22143x y +=22134x y +=2214x y +=22 14 y x +=5185 8014520125201 20 252222222 2=+=+=+=+y x D y x C y x B y x 2 2 55x ky -=(0,2)k 1-1512 21(4,0)F -2(4,0)F 12PF F 221169x y +=221259x y +=2212516x y +=22 1254 x y +=16x 29y 216x 212y 24x 23y 23x 24 y 222 1259 x y +=2 3
椭圆常见题型与典型方法归纳
椭圆常见题型与典型方法归 纳 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
椭圆常见题型与典型方法归纳 考点一 椭圆的定义 椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两 定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e= a c (0
高中数学椭圆题型完美归纳(经典)
椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形， 可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置，求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．|x|≤a ，|y|≤b ． 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 5.顶点 椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .
|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2． 6.离心率 7.椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8.椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20 ||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2 OM AB b k k a ?=-，即0 2 02y a x b K AB -=。 )10(<<= e a c e
2020年高考数学复习：椭圆问题中最值得关注的基本题型
椭圆问题中最值得关注的基本题型 [题型分析·高考展望] 椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多.分析历年的高考试题，在选择题、填空题、解答题中都涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的掌握.对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解. 常考题型精析 题型一 利用椭圆的几何性质解题 例1 如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12 ，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF →·P A →的最大值和最小值.
点评 熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用a 、b 、c 之间的关系和椭圆的对称性可构造方程. 变式训练1 (2014·课标全国Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32 ，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233 ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程； (2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程. 题型二 直线与椭圆相交问题 例2 (2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32 ，左，右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 2 4b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP | 的值； (ⅱ)求△ABQ 面积的最大值. 点评 解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决.求范围或最值问题，也可考虑求“交点”，由“交点”在椭圆内(外)，得出不等式，解不等式. 变式训练2 (2014·四川)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆C 的标准方程；
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
椭圆与双曲线常见题型归纳 题型一：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点， 在x 轴上是否存在一点E(0 x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0 x ；若不存在，请说明理由。 分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2 y x =相交A 、B 两点， 则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E 3 倍。运用弦长公式求弦长。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+， k ≠，1 1 (,)A x y ，2 2 (,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =? 消y 整理，得2 2 22(21)0 k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2 242(21)4410 k k k ?=--=-+>即2 104 k << ② 由韦达定理，得： 2122 21 ,k x x k -+=-121 x x =。则线段AB 的中点为
22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得0 211 22x k = -，则2 1 1 (,0)22E k -ABE ?Q 为正三角形，∴2 1 1(,0)22 E k -到 直线AB 的距离d 为 32 AB 。 2 2 1212()()AB x x y y =-+-Q 22141k k -= +g 212k d k +=222 23141122k k k k k -+∴+=g 解得39 13 k =± 满足②式此时0 53 x = 。 思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 3倍，将k 确定，进而求出0 x 的坐标。 例题2、已知椭圆 12 22 =+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。
特别解析：椭圆经典例题分类
特别解析：椭圆经典例题分类 题型一 .椭圆定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：1142 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2 已知椭圆 19822=++y k x 的离心率2 1 =e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12 -=k c ．由2 1 =e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92 =a ，82 +=k b ，得k c -=12 ． 由21= e ，得4191=-k ，即4 5-=k ． ∴满足条件的4=k 或4 5 -=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程 1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由?? ? ??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<
高考椭圆题型总结
椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c 1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得 2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是( ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 4. 已知1F 、2F 是平面α内的定点，并且)0(221>=c c F F ，M 是α内的动点，且a MF MF 221=+,判断动点M 的轨迹. 5. 椭圆19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 。 (二) 标准方程求参数范围 1. 若方程13 52 2=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围.（3，4）U （4，5） 2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( )
A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 已知方程11 252 2=-+-m y m x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是 . 4. 已知方程222=+ky x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 5. 方程2 31y x -=所表示的曲线是 . 6. 如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围。 7. 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。 8. 已知方程222=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为 26； （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）； （3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求 椭圆方程. 2. 以)0,2(1-F 和)0,2(2F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点，则该椭圆的方程 为 。 3. 如果椭圆：k y x =+224上两点间的最大距离为8，则k 的值为 。 4. 已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆3694:222=+y x C 的两个焦点一个正方 形的四个顶点，且椭圆C 过点A （2，－3），求椭圆C 的方程。 5. 已知P 点在坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离为 354和3 52，过点P 作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆方程。 6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程