的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD。 (1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°, 求这个四棱锥的体积; (2)证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念,以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、(02全国文22)(一)给出两块面积相同的正三角形纸片,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,使它们的全面积都与原三角形面积相等,请设计一种剪拼法,分别用虚线标示在图(1)(2)中,并作简要说明。 (3) (1)(2) (二)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。(三)如果给出的是一块任意三角形的纸片,如图(3)要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标出在图3中,并作简要说明。
立体几何平行证明题
立体证明题(2) 1?如图,直二面角 D- AB- E中,四边形 ABCD是正方形,AE=EB F为CE上的点,且 BF丄 平面ACE (1)求证:AE丄平面BCE (2)求二面角 B-AC- E的余弦值. 2?等腰△ ABC中, AC=BC= r, AB=2, E、F分别为AC BC的中点,将△ EFC沿EF折起,使得C到P,得到四棱锥 P- ABFE且AP=BP*. (1) 求证:平面 EFP1平面 ABFE (2) 求二面角 B-AP- E的大小. 02
PADL 底面ABCD 且 ABCD 3?如图,在四棱锥 P- ABCD 中,底面是正方形,侧面 PA=PD=2 AD,若E 、F 分别为PC BD 的中点. (I) 求证:EF//平面PAD 4?如图:正△ ABC 与Rt △ BCD 所在平面互相垂直,且/ (1)求证:AB 丄CD
BCD=90°,Z CBD=30° 5?如图,在四棱锥 P- ABCD中,平面PADL平面ABCD^ PAD是等边三角形,四边形 是平行四边形,/ ADC=120 , AB=2AD 6?如图,在直三棱柱 ABC- A i BQ 中,/ ACB=90°, AC=CB=CC2, E是 AB中点. (I)求证:AB丄平面A i CE (H)求直线 AG与平面A i CE所成角的正弦值. (1)求证:平面PADL平面PBD
7?如图,在四棱锥 P- ABCD中, PA丄平面 ABCD / DAB为直角,AB// CD, AD=CD=2AB=2 E, F分别为PC, CD的中点. (I)证明:AB丄平面BEF; (H)若PA=丄,求二面角 E- BD- C. 8?如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA丄平面 ABCD , PA=AB=AD=2,四边形 ABCD 满足 AB 丄 AD , BC // AD 且 BC=4,点 M 为 PC 中点. (1)求证:DM丄平面PBC ; BE (2)若点E为BC边上的动点,且一一,是否存在实数人使得二面角 P- DE - B的 EC 2 余弦值为-?若存在,求出实数入的值;若不存在,请说明理由. 3
2021高考数学立体几何专题
专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表 题型年份考点试题位置 单选题2019 表面积与体积2019年新课标1理科12 单选题2018 几何体的结构特征2018年新课标1理科07 单选题2018 表面积与体积2018年新课标1理科12 单选题2017 三视图与直观图2017年新课标1理科07 单选题2016 三视图与直观图2016年新课标1理科06 单选题2016 空间向量在立体几何中的应 用2016年新课标1理科11 单选题2015 表面积与体积2015年新课标1理科06 单选题2015 三视图与直观图2015年新课标1理科11 单选题2014 三视图与直观图2014年新课标1理科12 单选题2013 表面积与体积2013年新课标1理科06 单选题2013 三视图与直观图2013年新课标1理科08 单选题2012 三视图与直观图2012年新课标1理科07 单选题2012 表面积与体积2012年新课标1理科11 单选题2011 三视图与直观图2011年新课标1理科06 单选题2010 表面积与体积2010年新课标1理科10 填空题2017 表面积与体积2017年新课标1理科16 填空题2011 表面积与体积2011年新课标1理科15 填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1理科14 历年高考真题汇编 1.【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上,P A=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是P A,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为() A.8πB.4πC.2πD.π 2.【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()
立体几何专题复习(自己精心整理)
专题一证明平行垂直问题题型一证明平行关系 (1)如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中,M,N分别是C 1 C, B 1C 1 的中点.求证:MN∥平面A 1 BD. (2)在正方体AC 1 中,M,N,E,F分别是A 1 B 1 ,A 1 D 1 ,B 1 C 1 ,C 1 D 1 的中点, 求证:平面AMN∥平面EFDB. 思考题1 (1)如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,△PAD 是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点,求证:平面EFG∥平面PBC. (2)如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD =22,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC. 求证:PQ∥平面BCD. 题型二证明垂直关系(微专题) 微专题1:证明线线垂直 (1)已知空间四边形OABC中,M为BC中点,N为AC中 点,P为OA中点,Q为OB中点,若AB=OC.求证:PM⊥QN. (2)(2019·山西太原检测)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1 C 1 中,AA 1 =AB =AC=1,E,F分别是CC 1,BC的中点,AE⊥A 1 B 1 ,D为棱A 1 B 1 上的点,求 证:DF⊥AE. 微专题2:证明线面垂直 (3)在正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中,求证:BD 1 ⊥平面ACB 1 . (4)(2019·河南六市一模)在如图所示的几何体中,ABC-A 1B 1 C 1 为三棱柱, 且AA 1 ⊥平面ABC,四边形ABCD为平行四边形,AD=2CD,∠ADC=60°. 若AA 1=AC,求证:AC 1 ⊥平面A 1 B 1 CD. 微专题3:证明面面垂直 (5)已知正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中,E,F分别是BB 1 ,CD的中点,求 证:平面DEA⊥平面A 1FD 1 .
高中数学空间立体几何讲义
第1讲 空间几何体 高考《考试大纲》的要求: ① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法,画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. ④ 会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式). (一)例题选讲: 例1.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上,且CD =2,AB =3,在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是( ) A . 6π B .3 π C .32π D .65π 例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( ) A .π2 B .π2 3 C .π332 D .π2 1 例3.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,侧棱长为2,底面三角形的边长为1,则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角 是 . 例4.如图所示,等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3,点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上,且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置,使PE ⊥AE .记BE =x ,V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积. (1)求V (x )的表达式; (2)当x 为何值时,V (x )取得最大值? (3)当V (x )取得最大值时,求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。 (二)基础训练: 1.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( ) A .①② B .①③ C .①④ D .②④ 2.设地球半径为R ,若甲地位于北纬045东经0120,乙地位于南纬度0 75东经0120,则甲、乙两地球面距离为( ) (A )3R (B) 6 R π (C) 56 R π (D) 23R π ①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
立体几何(小题)专题 历年高考真题模拟题汇总(解析版)
立体几何 一、年考试大纲 二、新课标全国卷命题分析 三、典型高考试题讲评 2011—年新课标全国(1卷、2卷、3卷)理科数学分类汇编——11.立体几何 一、考试大纲 1.空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. (3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. (4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). (5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 2.点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. (2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理. 理解以下判定定理. 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理,并能够证明. 如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. 垂直于同一个平面的两条直线平行. 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 4.空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式. 二、新课标全国卷命题分析 立体几何小题常考的题型包括:(1)球体;(2)多面体的三视图、体积、表面积或角度,包括线线角、
高三立体几何专题复习
高三立体几何专题复习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高考立体几何专题复习 一.考试要求: (1)掌握平面的基本性质,会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图,能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形,能够根据图形想象它们的位置关系。 (2)了解空两条直线的位置关系,掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理,掌握两条直线所成的角和距离的概念(对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离)。 (3)了解空间直线和平面的位置关系,掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理,理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理,掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念,了解三垂线定理及其逆定理。 (4)了解平面与平面的位置关系,掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念,掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。 (5)会用反证法证明简单的问题。 (6)了解多面体的概念,了解凸多面体的概念。 (7)了解棱柱的概念,掌握棱柱的性质,会画直棱柱的直观图。 (8)了解棱锥的概念,掌握正棱锥的性质,会画正棱锥的直观图。 (9)了解正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式。 (10)了解球的概念,掌握球的性质,掌握球的表面积、体积公式。 二.复习目标: 1.在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上,研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用;在有关问题的解决过程中,进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能,并探索立体几何中论证问题的规律;在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用. 2.在掌握空间角(两条异面直线所成的角,平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的基础上,掌握它们的求法(其基本方法是分别作出这些角,并将它们置于某个三角形内通过计算求出它们的大小);在解决有关空间角的问题的过程中,进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用,掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能;通过有关空间角的问题的解决,进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力. 3.通过复习,使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质,并能够灵活运用到解题过程中.通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧,发掘不同问题之间的内在联系,提高解题能力. 4.在学生解答问题的过程中,注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质.使学生掌握化归思想,特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法,并提高空间想象能力、推理能力和计算能力. 5.使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法,能够熟练地使用分割与补形求体积,提高空间想象能力、推理能力和计算能力. 三.教学过程: (Ⅰ)基础知识详析 重庆高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题1--2道, 解答题1道), 共计总分20分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立
高中数学立体几何讲义
平面与空间直线 (Ⅰ)、平面的基本性质及其推论 图形 符号语言 文字语言(读法) A a A a ∈ 点A 在直线a 上。 A a A a ? 点A 不在直线a 上。 A α A α∈ 点A 在平面α内。 A α A α? 点A 不在平面α内。 b a A a b A =I 直线a 、b 交于A 点。 a α a α? 直线a 在平面α内。 a α a α=?I 直线a 与平面α无公共点。 a A α a A α=I 直线a 与平面α交于点A 。 l αβ=I 平面α、β相交于直线l 。 2、平面的基本性质 公理1: 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内 推理模式:A AB B ααα∈? ??∈? ?。 如图示: 应用:是判定直线是否在平面内的依据,也是检验平面的方法。 B A α
公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。 推理模式: A l A ααββ∈? ?=?∈? I 且A l ∈且l 唯一如图示: 应用:①确定两相交平面的交线位置;②判定点在直线上。 例1.如图,在四边形ABCD 中,已知AB ∥CD ,直线AB ,BC ,AD ,DC 分别与平面 α相交于点E ,G ,H ,F .求证:E ,F ,G ,H 四点必定共线. 解:∵AB ∥CD , ∴AB ,CD 确定一个平面β. 又∵AB I α=E ,AB ?β,∴E ∈α,E ∈β, 即E 为平面α与β的一个公共点. 同理可证F ,G ,H 均为平面α与β的公共点. ∵两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线, ∴E ,F ,G ,H 四点必定共线. 说明:在立体几何的问题中,证明若干点共线时,常运用公理2,即先证明这些点都是某二平面的公共点,而后得出这些点都在二平面的交线上的结论. 例2.如图,已知平面α,β,且αI β=l .设梯形ABCD 中,AD ∥BC ,且AB ?α,CD ?β,求证:AB ,CD ,l 共点(相交于一点). 证明 ∵梯形ABCD 中,AD ∥BC , ∴AB ,CD 是梯形ABCD 的两条腰. ∴ AB ,CD 必定相交于一点, 设AB I CD =M . 又∵AB ?α,CD ?β,∴M ∈α,且M ∈β.∴M ∈αI β. 又∵αI β=l ,∴M ∈l , 即AB ,CD ,l 共点. 说明:证明多条直线共点时,一般要应用公理2,这与证明多点共线是一样的. 公理3: 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推理模式:,, A B C 不共线?存在唯一的平面α,使得,,A B C α∈。 应用:①确定平面;②证明两个平面重合 。 例3.已知:a ,b ,c ,d 是不共点且两两相交的四条直线,求证:a ,b ,c ,d 共面. 证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点,不妨设a ,b ,c 相交于一点A , α D C B A E F H G α D C B A l 例2 β M
立体几何平行问题专题(学生版)
高三复习——立体几何平行问题专题(学生版) ——李洪波一、基础过关 1. 定理性质梳理 2.平行关系的总结 面面平行 线面平行线线平行
二、概念理解——判断下列命题真假 (1)若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都平行;( ) (2)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行;( ) (3)若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点;( ) (4)平行于同一平面的两条直线互相平行;( ) (5)αα//,//a b b a ??; ( ) (6)b a b a ////,//?αα; ( ) (7)αα////,//a b b a ?; ( ) (8)b a b a //,//??αα; ( ) (9)已知平面 α,β 和直线 m ,若,//,m m αβ?,则 α
练习:如图13,正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一 .求证:PQ∥平面BCE. 点P、Q,且AP DQ
解法二:(简要过程) A B C D F E P Q 解法三:(简要过程) A B C D F E P Q 四、举一反三 1.(17文科1)如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是( ) 2.(17文科2)如图,四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,AB =BC = 1 2 AD ,
∠BAD =∠ABC =90°.证明:直线BC∥平面PAD ; 3.(16文科3)如图,四棱锥中,平面,AD BC ,AB , 4PA BC ==,M 为线段AD 上一点,2AM MD =,N 为PC 的中点.证明MN 平面PAB .
2010年高考立体几何专题复习-6
2010年高考立体几何专题复习 岱山中学 孙珊瑚 鲁纪伟 高考立体几何试题一般有选择、填空题, 解答题,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题,是在解决立体几何问题的过程中,大量的、反复遇到的,而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容,因此在主体几何的总复习中,首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手,通过较为基本问题,熟悉公理、定理的内容和功能,通过对问题的分析与概括,掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想,以提高逻辑思维能力和空间想象能力. 2.判定两个平面平行的方法: (1)根据定义——证明两平面没有公共点; (2)判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面; (3)证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质: ⑴由定义知:“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得:“两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理:“如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那 么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”,但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。 4.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系,空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等.解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决. 空间的角,是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概 念,由它们的定义,可得其取值范围,如两异面直线所成的角θ∈(0,2π],直线与平面所成的角θ∈0,2π?? ???? , 二面角的大小,可用它们的平面角来度量,其平面角θ∈[0,π]. 对于空间角的计算,总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角,并把它置于一个平面图形,而且是一个三角形的内角来解决,而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的,因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用.通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力. 如求异面直线所成的角常用平移法(转化为相交直线)与向量法;求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角;而求二面角-l -的平面角(记作)通常有以下几种方法: (1) 根据定义; (2) 过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面,设∩=OA ,∩=OB ,则∠AOB = ; (3) 利用三垂线定理或逆定理,过一个半平面内一点A ,分别作另一个平面的垂线AB (垂足为B ),或棱l 的垂线AC (垂足为C ),连结AC ,则∠ACB = 或∠ACB =-; (4) 设A 为平面外任一点,AB ⊥,垂足为B ,AC ⊥,垂足为C ,则∠BAC =或∠BAC =-; (5) 利用面积射影定理,设平面内的平面图形F 的面积为S ,F 在平面内的射影图形的面积为S ,则cos =S S ' . 5.空间的距离问题,主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间(限于给出公垂线
立体几何讲义(线面平行,垂直,面面垂直)
D C B 1 A 1 C 1 立体几何讲义------线面平行,垂直,面面垂直 立体几何高考考点: 选择题:三视图 选择填空:球类题型 大题 (1)线面平行、面面平行 线面垂直、面面垂直 【运用基本定理】 (2)异面直线的夹角 线面角 面面角(二面角) 【几何法、直角坐标系法】 (3)锥体体积 【找到一个好算的高,运用公式】 点面距离 【等体积法】 线面平行 1、如图所示,边长为4的正方形 与正三角形 所在平面互相垂直,M 、Q 分别是PC ,AD 的中点.求证:PA ∥面BDM 2、如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, D 为AC 的中点,求证:;平面D BC AB 11// 3、如图,正三棱柱111C B A ABC 的底面边长是2,侧棱长是3,D 是AC 的中点.求证://1C B 平面BD A 1. A B C A 1 B 1 C 1 D
4、如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,ABCD 是平行四边形,M ,N 分别是AB ,PC 的中点,求证:MN ∥平面PAD . 5、如图,PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面,AD=PA=2,CD=2,E 、F 分别是AB 、PD 的中点.求证:AF ∥平 面PCE ; 6、(2012·辽宁)如图,直三棱柱ABC -A ′B ′C ′,∠BAC =90°,AB =AC =2,AA ′=1,点M 、N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点. 证明:MN ∥平面A ′ACC ′; 7、【2015高考山东】 如图,三棱台DEF ABC -中,2AB DE G H =,,分别为AC BC ,的中点. (Ⅰ)求证://BD 平面FGH ;
立体几何证明平行的方法及专题训练
D B A 1 立体几何证明平行的方法及专题训练 罗虎胜https://www.360docs.net/doc/e010787118.html, 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行,而证明线线平行一般有以下的一些方法: (1) 通过“平移”。 (2) 利用三角形中位线的性质。 (3) 利用平行四边形的性质。 (4) 利用对应线段成比例。 (5) 利用面面平行的性质,等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1.如图,四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形,点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点.求证:AF ∥平面PCE ; 分析:取PC 的中点G ,连EG.,FG ,则易证AEGF 是平行四边形 2、如图,已知直角梯形ABCD 中,AB∥CD,AB⊥BC,AB =1,BC =2,CD =1+3, 过A 作AE⊥CD,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将△ADE 沿AE 折叠,使得DE⊥EC. (Ⅰ)求证:BC⊥面CDE ; (Ⅱ)求证:FG∥面BCD ; 分析:取DB 的中点H ,连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 3、已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB (第1题图)
M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证: (Ⅰ)C 1D⊥BC; (Ⅱ)C 1D∥平面B 1FM. 分析:连EA ,易证C 1EAD 是平行四边形,于是MF//EA 4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析::取PD 的中点F ,连EF,AF 则易证ABEF 是 平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 5、如图,已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点,求证: AM ∥平面EFG 。 分析:法一:连MD 交GF 于H ,易证EH 是△AMD 的中位线 法二:证平面EGF ∥平面ABC ,从而AM ∥平面EFG 6、如图,直三棱柱///ABC A B C -,90BAC ∠=, 2,AB AC ==AA ′=1,点M ,N 分别为/A B 和//B C 的中点。 A B C D E F G M
高中数学立体几何之面面平行的判定与性质讲义及练习电子教案
高中数学立体几何之面面平行的判定与性质讲义及练习
面面平行的判定与性质 一、基本内容 1.面面平行的判定 文字 图形 几何符号 简称 判定定理1 判定定理2 2.面面平行的性质 文字 图形 几何符号 简称 性质定理1 性质定理2 二、例题 1. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中.(1)求证:平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ; (2)若E 、F 分别是AA 1,CC 1的中点,求证:平面EB 1D 1∥平面. 2.在正方体1111ABCD A B C D 中,E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. 求证:平面1D EF ∥平面BDG . A 1 A B 1 C 1 C D 1 D G E F
F E D B A P C 3.如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是正方形, PA ⊥平面ABCD , E 是PC 中点,F 为线段AC 上一点. (Ⅰ)求证:EF BD ⊥; (Ⅱ)试确定点F 在线段AC 上的位置,使EF //平面PBD . 4. 在四棱锥P ABCD 中,AB //CD ,AB AD ,4,22,2AB AD CD ,PA 平面 ABCD ,4PA . (Ⅰ)设平面PAB 平面PCD m =,求证:CD //m ; (Ⅱ)求证:BD ⊥平面PAC ; (Ⅲ)设点Q 为线段PB 上一点,且直线QC 与平面PAC 所 成角的正弦值为33,求PQ PB 的值. 5. 在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为平行四边形,=90ABD ∠?, EB ⊥平面ABCD , EF//AB ,2AB=,=1EF ,=13BC ,且M 是BD 的中点. (Ⅰ)求证://EM 平面ADF ; (Ⅱ)在EB 上是否存在一点P ,使得CPD ∠最大? 若存在,请求出CPD ∠的正切值;若不存在, 请说明理由. P D C B A C A F E B M D
(完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳
c c ∥∥b a b a ∥?本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法,特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。是一份不可多得的好资料。 一、“平行关系”常见证明方法 (一)直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性:如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性(即公理4): 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理: 如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 6) 利用直线与平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβαI I β α ⊥⊥b a b a ∥?α a b
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质: 在同一个平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义:在同一个平面内且两条直线没有公共点 (二)直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理: 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论: 两个平面互相平行,则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义:直线在平面外,且直线与平面没有公共点 (三)平面与平面平行的证明 常见证明方法: 1) 利用平面与平面平行的判定定理: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?α αββ////∩??b a P b a b a =α β//?α β b a P b ∥a b a αα??α ∥a ?
立体几何专题复习
立体几何专题复习 编者注:本专题中的练习题都是从最近全国各地的模拟考试题中选出来的,具有很高的训练价值,请同学们认真完成。 1.如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, (1)在棱AD 上有一点P ,当 PD PA 为多少时,使二面角D 1-PC-D 的大小等于60°? (2)在(1)的条件下,求直线A 1 B 1 与平面CD 1P 所成的角. 解:(1)设PD=x ,AB=1,作DE ⊥PC 于E ,可得2 2 x = ,比值为2-1. 6分 (2)30°. 12分 2.如图,将长AA′=33,宽AA 1=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱,如图所示: (1)求平面APQ 与底面ABC 所成二面角的正切值; (2)求三棱锥A 1—APQ 的体积. 解:(1)依题意知三棱柱ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱,且侧棱AA 1=3.底面边长为3,BP=1,CQ=2, 延长QP 交BC 的延长线于点E ,连结AE. 在△ACE 中,AC=3,CE=2BC=23,∠ACE=60°于是AE=3, 则AE ⊥AC 于A ,QA ⊥AE. 所以∠QAC 为平面APQ 与平面ABC 所成的锐二面角的平面角. 4分 又AC=3, 于是tanQAC= 33 2 32AC QC ==. 即面APQ 与面ABC 所成锐二面角的正切值为3 3 2. 6分 (2)连A 1P ,△A 1AP 的面积为33 2 , 8分 点Q 到平面A 1AP 的距离为2 3, 34 33232 33 1 V V AP A Q APQ A 11=? ?==--. 12分
3. 如图,已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形,AD ∥BC ,∠BCD=90°,PA=PB ,PC=PD. (1)证明:CD 与平面PAD 不重直; (2)证明:平面PAB ⊥平面ABCD ; (3)如果CD=AD +BC ,二面角P -BC -A 等于60°,求二面角P -CD -A 的大小. (1)证明:若CD ⊥平面PAD , 1分 则CD ⊥PD , 2分 由已知PC=PD ,得∠PCD=∠PDC <90°, 这与CD ⊥PD 矛盾,所以CD 与平面PAD 不垂直. 3分 (2)证明:取AB 、CD 的中点E 、F ,连接PE 、PF 、EF , 由PA=PB ,PC=PD ,得PE ⊥AB ,PF ⊥CD. 5分 ∴EF 为直角梯形的中位线. ∴EF ⊥CD ,又PF∩EF=F. ∴CD ⊥平面PEF. 6分 由PE ?平面PEF ,得CD ⊥PE , 又AB ⊥PE 且梯形两腰AB 、CD 必相交,∴PE ⊥平面ABCD. 7分 又PE ?平面PAB ,∴平面PAB ⊥平面ABCD. 8分 (3)解:由(2)及二面角的定义知∠PFE 为二面角P —CD —A 的平面角, 9分 作EG ⊥BC 于G ,连PG ,由三垂线定理得BC ⊥PG , 故∠PGE 为二面角P —BC —A 的平面角. 10分 即∠PGE=60°,由已知,得EF=21(AD+BC)=2 1 CD. 又EG=CF= 2 1 CD , ∴EF=EG ,易证得Rt △PEF ≌Rt △PEG. 11分 ∴∠PEF=∠PGE=60°即为所求. 12分 4.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB=2,BB 1=BC=1,E 为D 1C 1的中点,连结ED 、EC 、EB 和DB. (1)求证:平面EDB ⊥平面EBC ; (2)求二面角E -DB -C 的正切值; (3)求异面直线EB 和DC 的距离. (1)证明:在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB=2,BB 1=BC=1,E 为D 1C 1的中点. ∴△DD 1E 为等腰直角三角形,∠D 1ED=45°. 同理∠C 1EC=45°. ∴∠DEC=90°,即DE ⊥EC. 2分 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,BC ⊥平面D 1DCC 1,又DE ?平面D 1DCC 1, ∴BC ⊥DE. 3分 又EC∩BC=C , ∴DE ⊥平面EBC. ∵平面DEB 过DE , ∴平面DEB ⊥平面EBC. 4分 (2)解:如图,过E 在平面D 1DCC 1中作EO ⊥DC 于O.
高一讲义立体几何
立体几何 学习目标 1、认识由柱、锥、台、球组成的几何组合体的结构特征; 2、理解掌握立体图形的平行平面投影三视图; 3、能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积,了解球的表面积和体积公式; 4、会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 教学内容 1、如下图中所示几何体中是棱柱有( ) A .1 B .2个 C .3个 D .4个 2、如下图所示,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是AA 1、C 1D 1的中点,G 是正方形BCC 1B 1的中心,则四边形AGFE 在该正方体的各个面上的射影可能是下图中的________. 3、已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( ) A . 323 π B .4π C .2π D .43π 4、如右图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) A .9122π+ B .9 182 π+ C .942π+ D .3618π+
空间几何体的结构 【知识梳理】 1、棱柱的结构特征 定义:一般地,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱.在棱柱中,两个相互平行的面叫做棱柱的底面,简称底;其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点.棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线.过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面. 2、棱锥的结构特征 定义:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面.有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面.各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱; 棱锥的分类:按底面多边形的边数,可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……;
重点高中立体几何证明平行的专题
重点高中立体几何证明平行的专题
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3 F G G A B C D E C A B D E F D E B 1 A 1 C 1C A B F M 立体几何——平行的证明 【例1】如图,四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形,点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点.求证:AF ∥平面PCE ; 分析:取PC 的中点G ,连EG .,FG ,则易证AEGF 是平行四边形 【例2】如图,已知直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥BC ,AB =1,BC =2,CD =1 +3,过A 作AE ⊥CD ,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将△ADE 沿AE 折叠,使得DE ⊥EC 。 (Ⅰ)求证:BC ⊥面CDE ; (Ⅱ)求证:FG ∥面BCD ; 分析:取DB 的中点H ,连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 【例3】已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点, M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证: (Ⅰ)C 1D ⊥BC ; (Ⅱ)C 1D ∥平面B 1FM. 分析:连EA ,易证C 1EAD 是平行四边形,于是MF//EA E F B A C D P (第1
4 【例4】如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析::取PD 的中点F ,连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 【例5】如图,已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点,求证:AM ∥平面EFG 。 分析:连MD 交GF 于H ,易证EH 是△AMD 的中位线 【例6】如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,E 是PC 的中点。 求证: PA ∥平面BDE 【例7】如图,三棱柱ABC —A 1B 1C 1中, D 为AC 的中点. 求证:AB 1//面BDC 1; 分析:连B 1C 交BC 1于点E ,易证ED 是 △B 1AC 的中位线 A B C D E F G M