集合表示方法

集合的表示方法

一、回顾

上节课我们学习了集合的概念，想请同学来回答一下，注意集合是一个不加定义的概念，我们怎样来描述一个集合呢，谁来说一下？刚学过的内容，说起来可能不太容易（同学回答：一般地，把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合），在这里我们把这个整体里的对象叫做这个集合的什么呢——元素。如果告诉一个元素，一个集合，那么，元素和集合有几种关系呢？（两种关系，要么属于，要么不属于。）而且，刚才说到了对象的特征，是什么呢，是能够确定的、不同的。这个也就告诉我们集合中元素的两个特性——确定性和互异性。然后在描述元素和集合的时候，我们通常用英语小写字母来表示元素，那么集合用什么来表示呢？用大写英语字母来表示。A、B、Z来表示集合，a、b、z来表示元素。如果按照元素的个数来对集合进行分类的话，我们把集合分成哪几类呀（有限集、无限集、空集）你如果是一个元素都不含有的话就把它称作空集。上节课的最后，我们约定了一些大写字母来表示某些比较特殊或者常用的数集。对于自然数集用英语大写字母N，对于正整数集用N+和N*，然后，注意自然数集和正整数集差了一个数，哪个数呢，（0）。自然数集第一个数是0，这里一定要注意。对于整数集用的是大写的字母Z，有理数集用Q，实数集用R，好了，这就是我们上节课所学的主要内容。

二、引入

好了，如果不是一些常用数集，我们没有办法约定大写字母来表示它。那么，对于一般的集合，如何来表示呢？这就是我们这节课的主要内容——集合的表示方法。好了，大家把课本翻到第5页，给大家几分钟，阅读一下第5页1.1.2集合的表示方法，一直到到第7页，例1之前的内容。同时，思考两个问题，第一个问题：集合的表示方法有哪几种；第二问题：它们是如何来表示的。

好了，大家一起来回答，集合的表示方法主要有几种，两种对不对。好的，第一种是列举法，第二种是特征性质描述法。我们一个一个来看。

首先，第一种方法就是列举法。那好，列举法是怎样定义的呢。（如果一个集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有元素都列举出来，写在大括号内表示这个集合。这个表示方法叫做列举法。意思就是是把元素逐个列举出来，两边用大括号括起来，每个元素之间用逗号隔开。那么，大家来看一例1：分别用列举法表示下列集合：

(1) 我国现有的直辖市组成的集合；

(2) 小于40的所有质数组成的集合；

(3) 不大于100的自然数的全体构成的集合。

(4)自然数集N的集合。

给大家几分钟，独立完成这几道题。（此时，将题写在黑板上）。

好了，我们一起来看一下，这个题要求用列举法表示下列集合，那么，至少大括号我们先写上，然后，里面的元素再一个一个的列举，中间用逗号隔开。第一题，是一个类似人文的知识，我国直辖市有北京、天津、上海、重庆。第二题，这里我们要注意最小的质数是2，因此这个集合为{2,3,5,7,11,17,19,23,29,31,37}。第三题，不大于100的自然数的全体构成的集合。这个集合可不可以表示为{0，1，2,，3，…，100}，这个题呢，和第一、二两个题不一样，前两个题，我可以一个一个列举出来，而这个题不大于100的自然数，一共是101个元素，这样再一一列举，是不是很麻烦，那么怎么办。我发现它是有规律的，先写出几个有代表性的数字，其他的可以用省略号代替，而且，我们数学中的省略号是几个点呀，注意是三个点。那么，如果是省略号之前，这个题中，{0，1，2… 100}这样行不行，不行。这里我们要注意，省略号代表的元素中间都要有逗号隔开。这是这个类型题需要注意的地方。第四题，自然数集N要怎么样表示，通过这个题，同学们要注意这一个还能有起始的和结束的吗。不能了吧。我写成{0，1，2，3，…，n}可以吗？现在是多少项？此时，需要注意这里是一个无限集合，所以，应该在n后面加逗号再加省略号即{0，1，2，3，…，n，…}。好了，这个就是列举法主要的几个类型。如果给你看着这几个答案，能不能告诉我列举法通常可以表示哪些集合？（列举法通常可以表示两类集合，第一类集合是元素个数比较少的有限集的集合；第二类就是有规律可循的集合，不必分有限集合和无限集合，我只要写出有代表性的元素，用省略号把它写出来就可以了）。这里给大家说明一点就是集合中的元素用列举法表示时不需要考虑元素的前后顺序。比如你自己颠倒一下顺序是没有关系的。如果告诉一个集合{1,2} {2,1} 两个是不是一个集合，是一个集合，因为没有前后顺序之分。

好了，刚才总结了，感觉集合都比较简单。那么，再说一个，“你能否用列举法表示大于1的所有实数的集合”。你还能把这些实数一一列举出来吗，当然不能，那么这时候怎么办？列举法此时不可用了，就该用到了第二种方法，什么方法——特殊性质描述法。

首先，什么是特征性质呢，大家一起来看（如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x 都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质。需要注意：在这里特征性质描述法，要首先搞清楚什么是特征性质，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质

p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质。什么意思呢，符合p(x)的就是集合A里，不符合p(x)的就不在集合A里。举一个现实生活中的例子：朝阳市，你能不能举出朝阳的特征性质呢，如被誉为“世界上第一朵花绽放的地方，第一只鸟飞起的地方”、“三燕古都”。这个就是朝阳市的特征性质，说到它我们就知道是朝阳，而不是其他的，这个可以说算是字面的理解。我如果想说一个严谨的。如果告诉你一个数-奇数，所有的奇数构成一个奇数集，那么奇数的特征性质是什么呢？我们初中是怎样表示一个奇数的？

x=2n+1，n∈Z，这其实就是奇数集合的一个特征性质。那有没有其他的也可以来表示奇数这个集合的特征性质呢，那么，x=2n-1，n∈Z，也是可以对吧。那么是不是还有一个x=4n？1，是不是x=4n±1，n∈Z。为什么呢，比如说，对于x=2n+1而言，它是不是可以表示奇数了，n是属于Z的，那么当n是一个偶数的时候，我能不能设n=2k，k∈Z，这个时候式子就变成了4k+1。如果，当n是一个奇数的时候，我能不能设n=2k-1，那么口算一下，这个式子等于4k-1，两个合在一起，就可以得到x=4n±1。这三个都是奇数集合的一个特征性质。好了，有了这个特征性质，我们怎么来描述这个集合呢。于是，集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x∈I| p(x)}。这里要注意它的写法，先有一个大括号，然后代表元素x及属于的范围，中间是一个竖线，我们把它称为分隔符，右边是这个集合的特征性质。再重复一遍，特征性质描述法的写法，首先是大括号，然后是代表元和它所在的范围，分隔符，最后是特征性质。其中，分隔符还可以用分号或者是冒号表示。了解一下就可以了，不要求在平常学习中使用。这就是它的表示方法，于是得到了它（{x∈I|p(x)}），它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的。这一表示方法，叫做特征性质描述法。需要说明一点的是：如果元素范围为R，一般不需再注明。什么意思呢，如果一个集合，你写出来的x是属于大范围实数集R，然后呢分隔符，它的特征性质p(x)（即{x∈R|p(x)}）。那么，我就可以把∈R省略，不写，把它写成{x |p(x)}。那么，今后如果见到一个集合，在左边这个地方x后面什么都没有，直接是一个分隔符，那么说明我们默认大的范围是实数集。

好了，那么大家完成一下例2.分别判断下列各组集合是否为同一个集合。（写在黑板上）（1）A={x|x+3>2}，B={y|y+3>2};

（2）A={(1,2)}，B={1，2};

（3）M={(x，y)|y=x2+1}，N={y|y=x2+1};

（4）R，实数集，{x|x是实数集}

讨论几个是否为同一个集合。

第一组中，两个集合表示的都是大于-1的集合，代表元选哪一个无所谓，对集合表示的范