第十二章 微分方程(习题及解答)()
第十二章 微分方程
§12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程
一、单项选择题
1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ．
(A)2xy y '=； (B)222x y C +=；
(C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B).
2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )．
(A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C).
3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )．
(A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =；
(C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D).
4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )．
(A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=；
(C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A).
5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )．
(A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=；
(C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D).
二、填空题
1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 .
2．微分方程3d d 0,4x x y y y x
=+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：3252
x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =.
5．微分方程'=的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+．
6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y
e x
=． 三、解答题
1．求下列微分方程的通解．
(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x
++= 解： 解：
2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2
sin ln ,x y x y y y e π='==；
解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4)
d 10d x y y x +=． 解： 解： 3*．设连续函数20()d ln 22x t
f x f t ??=+ ????，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =?．
§12.2 一阶线性微分方程、全微分方程
一、单项选择题
1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是( ).
2d (A)3(ln )d y y x y x x
+=； 52d 2(B)(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x
=+； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( )．
(A) 齐次微分方程； (B)一阶线性微分方程；
(C) 可分离变量的微分方程； (D)全微分方程． 答(D).
3. 方程y y x y x ++='22是( )．
(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；
(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程. 答(A).
二、填空题
1．微分方程
d d x y y
e x
-+=的通解为 ． 答：x x y Ce xe --=+． 2．微分方程2()d d 0x y x x y --=的通解为 ． 答：3
3
x xy C -=． 3．方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为 ． 答：ln()x y x y C --+=． 三、简答题
1．求下列微分方程的通解：
(1) sin cos x y y x e -'+=； (2) d ln d y y x y x x
=； 解： 解：
(3) 232xy y x x '+=++； (4) tan sin 2y y x x '+=； 解： 解： (5) 2d (6)20d y y x y x
-+=； (6) (2)d 0y y e xe y y +-=； 解： 解：
(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=．
解：
2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解． (1) 0d 38,2d x y y y x
=+==； (2) d sin ,1d x y y x y x x x π=+==． 解： 解： 3*．求伯努利方程
2d 3d y xy xy x -=的通解． 解：
§12.3 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程
一、单项选择题
1. 方程x y sin ='''的通解是( ).
(A)
32212
1cos C x C x C x y +++=； (B)1cos C x y +=； (C)322121sin C x C x C x y +++=； (D)x y 2sin 2=. 答(A) 2. 微分方程y y xy '''''+=满足条件21x y ='=，21x y ==的解是( ).
(A)2(1)y x =-； (B)2
12124y x ??=+- ???； (C)211(1)22y x =-+； (D)2
1524y x ??=-- ??
?． 答(C). 3. 对方程2y y y '''=+，以下做法正确的是( )． (A)令()y p x '=，y p '''=代入求解； (B)令()y p y '=，y p p '''=代入求解；
(C)按可分离变量的方程求解； (D)按伯努利方程求解． 答(B).
4. 下列函数组线性相关的().是
(A)22,3x x e e ; (B)23,x x e e ；
(C)sin ,cos x x ; (D)22,x x e xe ． 答(A).
5. 下列方程中，二阶线性微分方程是( )．
(A)32()0y y y '''-=； (B)2x y yy xy e '''++=；
(C)2223y x y y x '''++=； (D)222x y xy x y e '''++=． 答(D). 6. 12,y y 是0y py qy '''++=的两个解，则其通解是( )．
(A)112y C y y =+； (B)1122y C y C y =+；
(C)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性相关；
(D)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性无关． 答(D).
7. 下列函数组线性相关的().是
22(A),3x x e e ； 23(B),x x e e ；
(C)sin ,cos x x ； 22(D),x x e xe ． 答(A).
二、填空题
1．微分方程sin y x x ''=+的通解为
． 答： 312sin .6x y x C x C =-++ 2．微分方程y y x '''=+的通解为
．
答： 212.2x x y C e x C =--+ 三、简答题
1．求下列微分方程的通解．
(1) 21()y y '''=+； (2) 21()2y y '''=． 解： 解：
2．求方程2()0y x y '''+=满足条件12x y ='=，11x y ==-的特解．
解： §12.4 二阶常系数线性齐次微分方程
一、单项选择题
1. 下列函数中，不是微分方程0y y ''+=的解的是( )．
(A)sin y x =； (B)cos y x =；
(C)x y e =； (D)sin cos y x x =+． 答(C).
2. 下列微分方程中，通解是312x x y C e C e -=+的方程是( )．
(A)230y y y '''--=； (B)250y y y '''-+=；
(C)20y y y '''+-=； (D)20y y y '''-+=． 答(A).
3. 下列微分方程中，通解是12x x y C e C xe =+的方程是( )．
(A)20y y y '''--=； (B)20y y y '''-+=；
(C)20y y y '''++=； (D)240y y y '''-+=． 答(B).
4. 下列微分方程中，通解是12(cos2sin 2)x y e C x C x =+的方程是( )．
(A)240y y y '''--=； (B)240y y y '''-+=
(C)250y y y '''++=； (D)250y y y '''-+=． 答(D).
5. 若方程0y py qy '''++=的系数满足10p q ++=，则方程的一个解是( )．
(A)x ； (B)x e ； (C )
x e -； (D)sin x ． 答(B). 6*. 设()y f x =是方程220y y y '''-+=的一个解，若00()0,()0f x f x '>=，则()f x 在0x x =处
( )．
(A)0x 的某邻域内单调减少； (B )0x 的某邻域内单调增加；
(C) 取极大值； (D) 取极小值． 答(C).
二、填空题
1．微分方程的通解为40y y '''-=的通解为 ． 答：412x y C C e =+．
2．微分方程20y y y '''+-=的通解为 ． 答：212x x y C e C e -=+．
3．微分方程440y y y '''-+=的通解为 ． 答：2212x x y C e C xe =+．
4．微分方程40y y ''+=的通解为 ． 答：12cos2sin 2y C x C x =+．
5．方程6130y y y '''++=的通解为 ． 答：312(cos2sin 2)x y e C x C x -=+．
三、简答题
1．求下列微分方程的通解：
(1) 20y y y '''--=； (2) 22d d 420250d d x x x t t
-+=． 解： 解：
2．求下列方程满足初始条件的特解． (1) 00430,10,6x x y y y y y ==''''-+===； (2) 00250,5,2x x y y y y =='''
+===．
解： 解： §12.5 二阶常系数线性非齐次微分方程
一、单项选择题
1. 微分方程2y y x ''+=的一个特解应具有形式( )．
2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；
2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).
2. 微分方程2y y x '''+=的一个特解应具有形式( )．
2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；
2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).
3. 微分方程256x y y y xe -'''-+=的一个特解应具有形式( )．
2(A)x Axe -； 2(B)()x Ax B e -+；
22(C)()x Ax Bx C e -++； 2(D)()x x Ax B e -+． 答(B).
4. 微分方程22x y y y x e '''+-=的一个特解应具有形式( )．
2(A)x Ax e ； 2(B)()x Ax Bx e +；
2(C)()x x Ax Bx C e ++； 2(D)()x Ax Bx C e ++． 答(C).
5. 微分方程23sin x y y y e x '''+-=的一个特解应具有形式( )．
(A)(cos sin )x e A x B x +； (B)sin x Ae x ；
(C)(sin cos )x xe A x B x +； (D)sin x Axe x 答(A).
二、填空题
1．微分方程34y y x x ''+=+的一个特解形式为 答：3*48
x x y =-． 2．微分方程2y y x '''+=的一个特解形式为 . 答：*()y x Ax B =+．
3．微分方程56x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：*()x y Ax B e =+．
4．微分方程356x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：3*()x y x Ax B e =+．
5．微分方程sin y y x ''-=的一个特解形式为 . 答：*sin y A x =．
6．微分方程sin y y x ''+=的一个特解形式为 . 答：*(cos sin )y x A x B x =+.
三、简答题
1．求下列微分方程的通解．：
(1) 22x y y y e '''+-=； (2) 5432y y y x '''++=-； 解： 解：
(3) 269(1)x y y y x e '''-+=+．
解：
微分方程习题及答案
微分方程习题及答案
微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 222 t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数） （一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1) (22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 （2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。 （3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程
1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-； （2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ； （3）23xy xy dx dy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y e y ； （2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln +='x y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-='y x y
第十二章 微分方程(习题及解答)
第十二章 微分方程 §12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 . 2．微分方程 3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程2 3550x x y '+-=的通解是 ． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答： Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解：
第十二章 微分方程(习题及解答)说课材料
第十二章微分方程(习题及解答)
第十二章 微分方程 §12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 . 2．微分方程3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'的通解是 ． 答： arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解：
常微分方程试题库
常微分方程试题库 二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'； 选题说明：每份试卷选2道题为宜。
二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解， （2分） 当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ， （2分） 积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分） （分） （22 3. 解方程： 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t
常微分方程练习题及答案复习题)
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
第十二章微分方程习题及解答
第十二章 微分方程 §12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 . 2．微分方程3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：3252 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5．微分方程'=的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++= 解： 解： 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2 sin ln ,x y x y y y e π='==； 解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x +=． 解： 解： 3*．设连续函数20()d ln 22x t f x f t ??=+ ????，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =?．
第十二章 微分方程
第十一章 微分方程 函数反映了客观世界运动过程中各种变量之间的函数关系，是研究现实世界运动规律的重要工具，但在大量的实际问题中遇到稍为复杂的运动过程时，要直接写出反映运动规律的量与量之间的函数关系往往是不可能的，但常可建立含有要找的函数及其导数的关系式，这种关系式称为微分方程，对微分方程进行分析，找出未知函数来，这就是解方程。 第一节 微分方程的基本概念 定义1：称含有导数或微分的方程为微分方程，并称方程种最高阶导数的阶数为方程的阶数。 如： 12=+'+''xy y y 二阶方程；0 2 =+'xy y 一阶方程； x y ='''三阶方程，等等 讲方程，都是为了解方程，前两个方程不好解，第三个方程好解。解之， x y ='''，方程两边三次积分，得方程的解 322 14 21241C x C x C x y +++=（321,,C C C 为任意常数） 。当4 24 1x y =时，也满足方程。可见 322 14 2 124 1C x C x C x y +++ = 包括了所有的解的形式。则称它为通解。 定义2：称满足微分方程的函数为方程的解。若方程的解种含有相互独立的任意常数，常数的个数恰好等于方程的阶数，则称此解为方程的通解；称不含任意常数的解为方程的特解。 注1:通解与特解只是方程的两类解，一阶方程的解要么是通解，要么是特解 注2：一阶方程的几种形式：一般形式：0),, (='y y x F ，从这个方程种有可能解出y '，也有可能解不出来；一阶显 式方程： ),(y x f y ='；对称形式： ) ,(),(y x Q y x P dx dy = 或0=+Qdy Pdx 注3：在一阶方程种， x 和y 的关系是等价的.因此，有时可将x 看成函数， y 看做变量。 第二节 可分离变量方程 定义1：称能改写为形式： dx x g dy y f )()(=的一阶方程为可分离变量方程。 注：不是所有的方程都能这样，故可分离变量方程为一阶线性方程的特殊情况。 定理1：若 )()(y f y F ='，)()(x g x G =，则dx x g dy y f )()(=的通解为C x G y F +=)()( 证： （1）先证C x G y F +=)() (是方程的解。 两边对 x 求导，得)()(x g dx dy y f =，即dx x g dy y f )()(= 故 C x G y F +=)()(是方程的解 （2）设) (x y ?=是方程的任一解，则 dx x g dx x x f )()()]([='?? 两边关于 x 积分，得 ? ?= 'dx x g dx x x f )()()]([?? 又 )(x F 是)(x f 的一个原函数，)(x G 是)(x g 的一个原函数 则 C x G x F +=)()]([?，即 )(x y ?=在C x G y F +=)()(中 所以， C x G y F +=)()(为 dx x g dy y f )()(=的通解。
高数 第七章题库 微分方程
第十二章 微分方程答案 一、 选择题 1．下列不是全微分方程的是 C 1 A.2()(2)0x y dx x y dy ++-= B.2 (3)(4)0y x dx y x dy ---= C.3 2 2 2 3(23)2(2)0x xy dx x y y dy +++= D.2 2 2(1)0x x x ye dx e dy -+= 2. 若3y 是二阶非齐次线性方程(1):()()()y P x y Q x f x '''++=的一个特解，12,y y 是对应的 齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（123,,c c c 为任意常数） C 2 A.1122c y c y +是(2)的通解 B. 113c y y +是(1)的解 C. 112233c y c y c y ++是(1)的通解 D. 23y y +是(1)的解 3．下列是方程xdx ydy += 的积分因子的是 D 2 A.2 2x y + B. 221x y + 4．方程32 2321x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 5．已知方程'()0y p x y +=的一个特解cos 2y x =，则该方程满足初始特解(0)2y =的特解为（ C ）. 2 (A) cos 22y x =+ (B) cos 21y x =+ (C) 2cos 2y x = (D) 2cos y x = 6．方程32232 1x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 7．设线性无关的函数123,,y y y 都是微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解，则该方程的通解为 （ D ）. 2 (A) 11223y c y c y y =++ (B) 1122123()y c y c y c c y =+-+ (C) 1122123(1)y c y c y c c y =+--- (D) 1122123(1)y c y c y c c y =++-- 8．设方程''2'3()y y y f x --=有特解*y ，则其通解为（ B ）. 1
(完整版)高等数学微分方程试题
第十二章 微分方程 §12-1 微分方程的基本概念 一、判断题 1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( ) 2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、填空题 1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。 2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0, y ' x=0=1的曲线是 。 三、选择题 1．下列方程中 是常微分方程 （A ）、x 2+y 2=a 2 (B)、 y+0)(arctan =x e dx d (C)、22x a ??+22y a ??=0 （D ） 、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程 （A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx 3.微分方程2 2dx y d +w 2 y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C 是任意常数，则微分方程y '=3 23y 的一个特解是 （A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．2 2 C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数） 五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
微分方程练习题基础篇答案
常微分方程基础练习题答案 求下列方程的通解 1.dy xy dx = 分离变量 dy xdx y =，2 2x y Ce =，C 为任意常数 2.0xydx = 分离变量 dy y = ，y =C 任意常数 3.ln 0xy y y '-= 分离变量 1 ln dy dx y y x =，x y Ce = 224.()()0xy x dx x y y dy ++-= 分离变量 22 11ydy xdx y x =+-，22 (1)(1)y x C +-= 2 5.(25)dy x y dx =++ 令25u x y =++则2du dy dx dx =+，22du dx u =+ 1x C =+ 6.dy x y dx x y +=-，原方程变为11y dy x y dx x + =-，令y u x =，dy du u x dx dx =+，代入得22111u du dx u x -=+ 2arctan ln u u x C -=+ ， y u x = 回代得通解 2arctan ln y y x C x x =++ 7.0xy y '-= 方程变形为0dy y dx x =+=，令y u x = dx x = arctan ln u x C =+， y u x = 回代得通解arctan ln y y x C x x =++ 8.ln dy y x y dx x =，方程变形为ln dy y y dx x x =，令y u x =，(ln 1)du dx u u x =-，1 Cx u e +=，1Cx y xe +=
9.24dy xy x dx +=，一阶线性公式法222(4)2xdx xdx x y e xe dx C Ce --??=+=+? 210.2dy y x dx x -=,一阶线性公式法112 3(2)dx dx x x y e x e dx C x Cx -??=+=+? 2211.(1)24x y xy x '++=，方程变形为2 222411x x y y x x '+=++一阶线性公式法3 2 14()13 y x C x =++ 212.(6) 20dy y x y dx -+=，方程变形为312dx x y dy y -=-一阶线性公式法2312y y Cy =+ 2 13.3y xy xy '-=，方程变形为2113dy x x y dx y -=伯努利方程，令12,dz dy z y y dx dx --==-代入方程得 3dz xz x dx +=-一阶线性公式法再将z 回代得23 2 113x Ce y -=- 411 14. (12)33 dy y x y dx +=-，方程变形为4 3 1111(12)33dy x y dx y +=-伯努利方程，令 34, 3dz dy z y y dx dx --==-代入方程得21dz z x dx -=-，一阶线性公式法再将z 回代得3121x Ce x y =-- 15.560y y y '''++=，特征方程为2560r r ++=，特征根为122,3r r =-=-，通解 2312x x y C e C e --=+ 16.162490y y y '''-+=，特征方程为2 162490r r -+=，特征根为1,23 4 r =，通解 34 12()x y C C x e =+
第十二章 微分方程(已改)
第十二章微分方程 一、微分方程的基本概念（A:§12.1; B:§6.1） Ⅰ、内容要求－了解微分方程及其解，阶，通解，初始条件和特解等概念． Ⅱ、基本题型： （ⅰ）有关微分方程基本概念的客观题。 1．（4）下列微分方程为二阶微分方程是---------------------------------------------------（ C ） （A）（B）（C）（D） 2．（4）函数（为任意常数）是微分方程的----（ D ） （A）通解（B）特解（C）非解（D）是解，但不是通解，也不是特解． （ⅱ）验证题。 3．指出给出的函数是否为微分方程的解 （1）（4）， 解： 即是原方程的解。 （2）（4）， 解： 而 故，即是原方程的解。 （ⅲ）由通解及初始条件确定特解。 4．（4）若是某二阶微分方程通解，求其满足的特解。 解： 由得 二、一阶微分方程（A:§12.2,§12.3,§10.4; B:§6.2,§6.3,§6.4） Ⅰ、内容要求： （ⅰ）掌握以及型一阶方程解法。 （ⅱ）自学齐次方程，自学伯努利方程，并从中领会用变量代换求解方程的思想。 （ⅲ）知道全微分方程（自学）。 Ⅱ、基本题型： （ⅰ）型方程的求解。 5．求下列微分方程的解：（每题6分）
（1）（2） 解：（1） （2） 由代入得 故 （ⅱ）型方程的求解。 6．求下列微分方程的通解：（每题6分）（1）（2） （3） 解：（1） （2） 即 （3） 即 7．求下列微分方程的特解：（每题6分）（1）（2） 解：（1） 即 由得 故原方程的特解为 （2） 由得 故原方程的特解为 （ⅲ）型的简单微分方程。 8. 求下列微分方程的通解：（每题7分）（1）（2） 解：（1）令则 故原方程可化为 （2）令则 故原方程可化为
常微分习题解答
《常微分方程》习题解答东北师范大学微分方程教研室(第二版) 高等教育出版社
习题 1 求下列可分离变量微分方程的通解： (1) xdx ydy = 解：积分，得 12 22 121c x y += 即 c y x =-22 (2) y y dx dy ln = 解： 1, 0==y y 为特解，当1, 0≠≠y y 时， dx y y dy =ln ， 积分，得0ln ,ln ln 11≠=±=+=c ce e e y c x y x x c ，即x ce e y = (3) y x e dx dy -= 解： 变形得 dx e dy e x y =积分，得c e e x y =- (4) 0cot tan =-xdy ydx 解：变形得 x y dx dy cot tan = ，0=y 为特解，当0≠y 时，dx x x dy y y cos sin sin cos =. 积分，得11cos sin ln ,cos ln sin ln c x y c x y =+-=, 即0,cos sin 1 ≠=±=c c e x y c 2．求下列方程满足给定初值条件的解： (1) 1)0(),1(=-=y y y dx dy 解： 1, 0==y y 为特解，当1, 0≠≠y y 时，dx dy y y =--)1 11( ， 积分，得 0,1 ,1 ln 11≠=±=-+=-c ce e e y y c x y y x x c 将1)0(=y 代入，得 0=c ，即1=y 为所求的解。 (2) 1)0(,02)1(2 2 ==+'-y xy y x 解： 0,1 222 =--=y x xy dx dy 为特解，当0≠y 时， dx x x y dy 1 222--=， 积分，得 c x y +--=- 1ln 1 2
微分方程练习题基础篇答案.docx
常微分方程基础练习题答案 求下列方程的通解 dy dy x 2 Ce 2 ， C 为任意常 数 1.xy 分离变量 xdx ， y dx y dy x dx ， y Ce 1 x 2 2.xydx 1 x 2 dy 0 分离变量 1 ， C 任意常数 y x 2 dy 1 3.xy y ln y 0 分离变量 dx ， y Ce x y ln y x 4.( xy 2 2 y y)dy 0 分离变量 ydy xdx 2 )(1 2 ) C x)dx ( x y 2 1 x 2，(1 y x 1 5. dy (2 x y 5) 2 令 u 2x y 5 则 du 2 dy ， du 2 dx ， 1 arctan u x C 1 dx dx dx u 2 2 2 dy x y dy 1 y y ， dy u x du ，代入得 2 x ，令 u 1 u du 1 dx 6. x ，原方程变为 dx dx y 1 y x dx dx 1 u 2 x x 2arctan u u ln x C ， u y x 回代得通解 2arctan y x ln x y x C dy y y 2 y du dx 7.xy y x 2 y 2 0 方程变形为 dx x x x 1 u 2 x 1 ，令 u ，代入得 arctanu ln x C ， u y 回代得通解 arctan y ln x y C x x x 8.x dy y ln y ，方程变形为 dy y ln y ，令 u y du dx e Cx 1 ， yxe Cx 1 ， ， u dx x dx x x x u(ln u 1) x
第12章--MATLAB-Simulink系统仿真-习题答案
, 第12章 MATLAB Simulink系统仿真 习题12 一、选择题 1．启动Simulink后，屏幕上出现的窗口是（）。A A．Simulink起始页 B．Simulink Library Browser窗口 C．Simulink Block Browser窗口 D．Simulink模型编辑窗口 2．模块的操作是在（）窗口中进行的。D A．Library Browser B．Model Browser ( C．Block Editer D．模型编辑 3．Integrator模块包含在（）模块库中。B A．Sources B．Continuous C．Sinks D．Math Operations 4．要在模型编辑窗口中复制模块，不正确的方法是（）。B A．单击要复制的模块，按住鼠标左键并同时按下Ctrl键，移动鼠标到适当位置放开鼠标 B．单击要复制的模块，按住鼠标左键并同时按下Shift键，移动鼠标到适当位置放开鼠标 C．在模型编辑窗口选择Edit→Copy命令和Edit→Paste命令 D．右键单击要复制的模块，从快捷菜单中选择Copy命令和Paste命令 | 5．已知仿真模型如图12-41（a）所示，示波器的输出结果如图12-41（b）所示。 （a）仿真模型
（b ）示波器输出结果 图12-41 习题仿真模型及仿真结果 则XY Graph 图形记录仪的输出结果是（ ）。C A ．正弦曲线 B ．余弦曲线 C ．单位圆 D ．椭圆 】 二、填空题 1．Simulink （能/不能）脱离MATLAB 环境运行。 2．建立Simulink 仿真模型是在 窗口进行的。模型编辑窗口 3．Simulink 仿真模型通常包括 、系统模块和 三种元素。 信号源（Source ），信宿（Sink ） 4．由控制信号控制执行的子系统称为 ，它分为 、 和 。 条件执行子系统，使能子系统，触发子系统，使能加触发子系统。 5．为子系统定制参数设置对话框和图标，使子系统本身有一个独立的操作界面，这种操作称为子系统的 。封装（Masking ） % 三、应用题 1．利用Simulink 仿真来实现摄氏温度到华氏温度的转换：9325f c T T = +。 2．利用Simulink 仿真)5cos 2513cos 91(cos 8)(2t ωt ωt ωπ A t x ++= ，取A=1，ω=2π。 3．设系统微分方程为 '(1)2y x y y =+??=? 试建立系统模型并仿真。 4．设计一个实现下面函数模块的子系统并对子系统进行封装。 Output = (Input1+ I nput2)×Input3-Input4
微分方程习题及答案
微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数） （一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 （2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。 （3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-； （2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ； （3） 23xy xy dx dy =-； （4）0)22()22 (=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y e y ； （2）2 1 ,12= =+'=x y y y y x
3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln +='x y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1） 1 ,0 22=-==x y y x xy dx dy ； （2）1 ,02)3(0 22==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-= 'y x y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a . 7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系. 8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？ 9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？
常微分方程试题库试卷库
常微分方程期终考试试卷(1) 一、 填空题（30%） 1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。有只含y 的积分因子的充要条件是。 ２、称为黎卡提方程，它有积分因子。 ３、称为伯努利方程，它有积分因子。 ４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是。 ５、形如的方程称为欧拉方程。 ６、若()t φ和()t ψ都是' ()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是。 ７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为时，零解是稳定的，对应的奇点称为。 二、计算题（６０％） 1、3 ()0ydx x y dy -+= ２、 sin cos2x x t t ''+=- ３、若 2114A ?? =?? -??试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t η??ηη??==????并求
４、32( )480dy dy xy y dx dx -+= ５、 求方程2 dy x y dx =+经过（0，0）的第三次近 似解 6.求1,5 dx dy x y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型与稳定 性. 三、证明题（１０％） １、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。
常微分方程期终试卷(2) 一、填空题 30% 1、 形如的方程，称为变量分离方程，这里.)().(y x f ?分别为的连续函数。 2、 形如的方程，称为伯努利方程，这里x x Q x P 为)().(的连续函数，可化为线性方程。是常数。引入变量变换-------≠1.0 3、 如果存在常数 使得不等式 ,0 L 对于所有 称为利普希兹常数。都成立，（L R y x y x ∈),(),,21函数),(y x f 称为在 R 上关于y 满足利普希兹条件。 4、 形如的方程，称为欧拉方程，这里是常数。,,21a a 5、 设是 的基解矩阵，是)()(t Ax x t ?φ=')()(t f x t A x +='的某一解， 则它的任一解可表为)(t γ。 一、 计算题40% 1.求方程的通解。26xy x y dx dy -= 2.求程xy e x y dx dy =+的通解。 3.求方程t e x x x 25'6''=++的隐式解。
常微分方程习题及答案.[1]
第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。
7．x y 1 =所满足的微分方程是 。 8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+ x dy y dx 的通解为 。 10． ()25 11 2+=+- x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．22x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=
微分方程(习题及解答)
第十二章 微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解 ． 答：是 . 2．微分方程 3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程2 3550x x y '+-=的通解是 ． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'=的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答： Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++=