《用导数求最值的步骤》进阶练习 (一)
专题训练--利用导数求单调区间、极值、最值
利用导数求函数的单调性、极值 、最值一．求单调区间的步骤①求定义域；①求导函数f ′(x )；①解方程f ′(x )＝0；④分区间；⑤列表定导数正负得单调区间. 二．求极值的步骤（同上） 极值的定义：①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． 三．求函数最值的步骤①求极值；①求[a ，b ]端点的函数值f (a )、f (b )；①比较极值与端点函数值的大小，得最值.考向一 求单调区间【例题】求下列函数的单调区间：（1）3()23f x x x =-； （2）2()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【练习】1．函数 f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ） A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)2.函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为( )A.(0，1)B.(0，＋∞)C.(1，＋∞)D.(－∞，0)①(1，＋∞) 3．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R4．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为________．【答案】()12，＋∞ 5．函数f (x )＝x ·e x －e x＋1的单调增区间是________．【答案】 (e －1，＋∞)6．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )的单调减区间是________．【答案】()0，1e7．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调增区间是_______．()－π，－π2和()0，π28. 函数f (x )=(x-3)e x 的单调递增区间是 。
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值2.已知a≤＋lnx对任意的x∈[，2]恒成立，则a的最大值为________．【解析】令f(x)＝＋lnx，f′(x)＝，当x∈[，1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，∴f(x)＝f(1)＝0，∴a≤0，故a最大值为0.min3.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O 为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．【答案】(1)；(2)；（3）是.【解析】（1）本题求直四棱柱的体积，关键是求底面面积，我们要用底面半径1和表示出等腰梯形的上底和高，从图形中可知高为，而，因此面积易求，体积也可得出；（2）我们在（1）中求出，这里的最大值可利用导数知识求解，求出，解出方程在上的解，然后考察在解的两边的正负性，确定是最大值点，实质上对应用题来讲，导数值为0的那个唯一点就是要求的极值点）；（3），上（2）我们可能把木梁的表面积用表示出来，，由于在体积中出现，因此我们可求的最大值，这里可不用导数来求，因为，可借助二次函数知识求得最大值，如果这里取最大值时的和取最大值的取值相同，则结论就是肯定的.试题解析：（1）梯形的面积=，． 2分体积． 3分（2）．令，得，或（舍）．∵，∴． 5分当时，，为增函数；当时，，为减函数． 7分∴当时，体积V最大． 8分（3）木梁的侧面积=，．=，． 10分设，．∵，∴当，即时，最大． 12分又由（2）知时，取得最大值，所以时，木梁的表面积S最大． 13分综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． 14分【考点】（1）函数解析式；（2）用导数求最值；（3）四棱柱的表面积及其最值.4.已知常数a，b，c都是实数，f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34的导函数为f′ (x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于－115，则a的值是()A．－B．C．2D．5【答案】C【解析】依题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≤0的解集是[－2,3]，于是有3a＞0，－2＋3＝－，－2×3＝，解得b＝－，c＝－18a，函数f(x)在x＝3处取得极小值，于是有f(3)＝27a＋9b＋3c－34＝－115，－a＝－81，a＝2，故选C.5.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．【答案】(－1,0)【解析】根据函数极大值与导函数的关系，借助二次函数图象求解．因为f(x)在x＝a处取到极大值，所以x＝a为f′(x)的一个零点，且在x＝a的左边f′(x)＞0，右边f′(x)＜0，所以导函数f′(x)的开口向下，且a＞－1，即a的取值范围是(－1,0)．6.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是()．A．(0,2]B．(0,2)C．[，2)D．(，2)【答案】D【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2，故选D.7.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则()．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，∴f(1)不是极值，故A，B错；当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(x e x＋e x－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左侧附近f′(x)<0，x在1的右侧附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.8.设函数，则函数的各极小值之和为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，令，则，令，则，所以当时，取极小值，其极小值为所以函数的各极小值之和，故选D.【考点】1.函数的极值求解；2.数列的求和.9.设函数，其中.（1)若在处取得极值，求常数的值；（2）设集合，，若元素中有唯一的整数，求的取值范围.【答案】（1)；（2）【解析】（1）由在处取得极值，可得从而解得，此问注意结合极值定义检验所求值是否为极值点；（2）分，，和三种情况得出集合A，然后由元素中有唯一的整数，分析端点，从而求出的取值范围.试题解析：（1），又在处取得极值，故，解得.经检验知当时，为的极值点，故.（2）,当时，，则该整数为2，结合数轴可知，当时，，则该整数为0，结合数轴可知当时，,不合条件.综上述，.【考点】1.利用导数处理函数的极值；2.集合元素的分析10.已知函数在处取得极值，则取值的集合为 .【答案】.【解析】，，依题意有，从而有，且有，即，解得或，当时，，此时，此时函数无极值，当时，，此时，此时函数有极值，故.【考点】函数的极值11.函数最小值是___________.【答案】【解析】函数求导得.当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增，因此函数在处取得最小值，即.【考点】利用导数求函数的最值.12.已知函数（，，且）的图象在处的切线与轴平行. （1）确定实数、的正、负号；（2）若函数在区间上有最大值为，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先求导数，因为切线与轴平行，所以导数为0，列出等式，判断出的符号；（2）求导数，令导数为0，解出方程的根，利用导数的正负判断出函数的单调性，通过分类讨论的方法找到最大值，让最大值等于，解出的值.试题解析：（1） 1分由图象在处的切线与轴平行，知，∴. 2分又，故，. 3分(2) 令,得或. 4分∵，令，得或令，得.于是在区间内为增函数，在内为减函数,在内为增函数.∴是的极大值点，是极小值点. 5分令，得或. 6分分类：①当时，，∴ .由解得， 8分②当时，, 9分∴.由得 . 10分记,∵, 11分∴在上是增函数，又，∴, 12分∴在上无实数根. 13分综上，的值为. 14分【考点】1.用导数求切线的斜率；2.用导数求函数最值.13.设函数，（1）求函数的极大值；（2）记的导函数为，若时，恒有成立，试确定实数的取值范围.【答案】(1);(2) .【解析】（1）由导函数或求得函数的单调区间，再找极大值;(2) 的导函数是一元二次函数，转化为一元二次函数在上的最值，再满足条件即可.试题解析：(1)令，且当时，得；当时，得或∴的单调递增区间为；的单调递减区间为和，故当时，有极大值，其极大值为 6分（2）∵ 7分①当时，，∴在区间内单调递减∴，且∵恒有成立∵又，此时， 10分②当时，，得因为恒有成立，所以，即，又得， 14分综上可知，实数的取值范围 . 15分【考点】1.函数的极值；2.一元二次函数的最值.14.已知函数．(Ⅰ)若在上的最大值为，求实数的值；(Ⅱ)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．【解析】（Ⅰ）由，得，令，得或．当变化时，及的变化如下表：由，，，即最大值为，． 4分（Ⅱ）由，得．，且等号不能同时取，，即恒成立，即． 6分令，求导得，，当时，，从而，在上为增函数，，． 8分（Ⅲ）由条件，，假设曲线上存在两点，满足题意，则，只能在轴两侧，不妨设，则，且．是以为直角顶点的直角三角形，，，是否存在，等价于方程在且时是否有解． 10分①若时，方程为，化简得，此方程无解；②若时，方程为，即，设，则，显然，当时，，即在上为增函数，的值域为，即，当时，方程总有解．对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上． 14分【考点】利用导数研究函数的单调性、最值。
利用导数求函数最值
利用导数求函数最值高二苏庭导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具，在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。
导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。
导数应用主要有以下三个方面：①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。
函数y=f(x)在x=x0处的导数，表示曲线在点P（x0 , y0）处的切线斜率。
由导数来求最值问题的方法可知，解这类实际问题需先建立函数关系，再求极值点，确定最值点及最值．在设变量时可采用直接法也可采用间接法．求函数极值时，导数值为0的点是该点为极值点的必要条件，但不是充分条件。
运用导数确定函数单调区间的一般步骤为：（1）求出函数y=f(x)的导函数；（2）在函数定义域内解不等式得函数y=f(x)的单调增区间；解不等式得函数y=f(x)的单调减区间。
例题剖析例1、求函数的值域.分析：求函数的值域以前学过一些方法，也可利用求导的方法，根据函数的单调性求解.解答：函数的定义域由求得，即x≥－2.当x>－2时，y′>0，即函数，在（－2，＋∞）上是增函数，又f(－2)=－1，∴所求函数的值域为[－1，＋∞）.点评：（1）从本题的解答过程可以看到，当单调区间与函数的值域相同时，才可使用此法，否则会产生错误.（2）求值域时，当x=－2，函数不可导，但函数在[－2，＋∞）上是连续的，函数图象是连续变化的，因此在x=－2时，取得最小值.例2、把长度为16cm的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积之和的最小值为多少？分析：建立面积和与一正方形的周长的函数关系，再求最小值．解答：设一段长为xcm，则另一段长(16－x)cm．∴面积和∴S′＝－2，令S′＝0有x＝8．列表：∴当x＝8时，S有最小值8cm2．点评：这是解实际应用题的一般方法．先构造函数关系，再求满足条件的解，极值或最值．例3、如图所示，在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成图形中有个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值。
用导数求函数的最值
【对应练习】圆柱形金属饮料罐的
容积一定时，它的高与底面径应样 选取时，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S=2πRh+2πR2 V 2 由V=πR h，得h= ，则 2
R
S(R)= 2πR▪ 令
V + R2
2πR2=
2V +2πR2 R
2V S’(R)= 2 +4πR=0 R
（1）利用导数求函数最值的关键是可导函 数极值的判定； （2）若连续函数在闭区间上只有一个导数 为0的点，且在这一点有极值，则该极值就 是函数在上的最值； （3）导数应用的主要内容之一就是求实际 问题的最值，其关键是分清各量间的关系， 建立目标函数，在判断函数极值的基础一就 可以确定出函数的最值情况。
【解题回顾】
1.求最大（小）值应用问题的一般方法：
实际问题
回答问题
分析、联系、抽象、转化
建立数学模型 （列数学关系式）
数学方法
实际结果
数学结果
解决应用性问题的关键是读题——懂题——建立数学关系式。
2.在实际问题中，有时会遇到在区间内只有一个点 使导数为0的情形，如果函数在这点有极大(小)值， 那么不与端点的值比较，也可以知道这就是最大 (小)值。这时所说的也适用于开区间或无穷区间。
（1）y=x-x3 （2）y=x3+x2 -x
x∈[0,2] x∈[-2,1]
几何画板
【解题回顾】在求函数f(x)在[a,b]最 值过程中，判断极值比较麻烦，可 改求可导函数在(a,b)内导数为0点 函数值，再把这些值与函数在端点 的值比较即可。
例2：在边长为60cm的正方形铁皮的 四角切去相等的正方形，再把它的边 沿虚线折起如下图，做成一个无盖的 方底箱子，箱底边长为多少时？箱子 容积最大？最大容积是多少？
利用导数求函数的最值模拟试题
利用导数求函数的最值模拟试题函数的最值问题在数学中扮演着重要的角色，通过求导数可以帮助我们解决这类问题。
本文将以模拟试题的形式，通过导数的方法来求解函数的最大值和最小值。
希望通过这些例题，读者能够更好地理解和掌握利用导数求函数的最值的方法。
题目一：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，请求函数f(x)在区间[-1, 3]上的最大值和最小值，并确定取得最大值和最小值的点。
解析：首先，我们需要求出函数f(x)的导数f'(x)。
对于多项式函数而言，求导非常简单，只需要对每一项的指数降低1，并乘以原指数系数。
因此，f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
接下来，我们需要求解f'(x)=0的解，并判断这些解是否在区间[-1, 3]上。
我们可以通过求解二次方程来得到解：3x^2 - 6x + 2 = 0。
通过求解器或二次公式，我们可以得到x=1±√3/3。
其中x=1+√3/3≈2.155和x=1-√3/3≈0.845。
因此，函数f(x)的导数f'(x)的零点为x≈2.155和x≈0.845。
现在我们来分析函数f(x)在区间[-1, 3]上的极值情况。
根据导数的定义，当f'(x)>0时，函数f(x)是递增的；当f'(x)<0时，函数f(x)是递减的。
由此可得，当x<0.845时，f'(x)<0；当0.845<x<2.155时，f'(x)>0；当x>2.155时，f'(x)<0。
因此，函数f(x)在x=0.845处取得极小值，在x=2.155处取得极大值。
最后，我们计算函数f(x)在x=-1，x=0.845，x=2.155，x=3处的函数值。
通过计算可以得到f(-1)=-4，f(0.845)≈0.655，f(2.155)≈4.152，f(3)≈13。
导数与函数的极值最值问题(解析版)
【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】类型一 利用导数研究函数的极值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步 求方程'()0f x =的根；第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值.例1 已知函数x xx f ln 1)(+=，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值.【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ）A ．11或18B ．11C ．18D ．17或18 【答案】C 【解析】试题分析：b ax x x f ++='23)(2,⎩⎨⎧=+++=++∴1010232a b a b a ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=----=⇒114012232b a a a a b 或⎩⎨⎧=-=33b a ．当⎩⎨⎧=-=33b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值．当⎩⎨⎧-==114b a 时，)1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,311(<'-∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意．所以⎩⎨⎧-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ．考点：函数的单调性与极值．【变式演练2】设函数()21ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为（ ）A ．()1,0-B ．()1,-+∞C ．()0,+∞D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2131)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2131)(23-++-=， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为函数x m x m x x f)1(2)1(2131)(23-++-=在)4,0(上无极值，而()20,4∈，所以只有12m -=，3m =时，()f x 在R 上单调，才合题意，故答案为3.考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性.【变式演练4】已知等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S k -=+，则32()21f x x kx x =--+的极大值为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．72【答案】B 【解析】考点：1、等比数列的性质；2、利用导数研究函数的单调性及极值．【变式演练5】设函数32()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点1x ，2x ，且对不等式12()()0f x f x +≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦U【解析】试题分析：因为12()()0f x f x +≤,故得不等式()()()332212121210x x a x x a x x ++++++≤,即()()()()()221212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦,由于()()2'321f x x a x a =+++,令()'0f x =得方程()23210x a x a +++=,因()2410a a ∆=-+> , 故()12122133x x a a x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入前面不等式,并化简得()1a +()22520a a -+≥,解不等式得1a ≤-或122a ≤≤，因此, 当1a ≤-或122a ≤≤时, 不等式()()120f x f x +≤成立,故答案为1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦U .考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.【变式演练6】已知函数()()3220f x x ax x a =+++>的极大值点和极小值点都在区间()1,1-内, 则实数a 的取值范围是 ． 【答案】32a << 【解析】考点：导数与极值．类型二 求函数在闭区间上的最值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 求出函数()f x 在开区间(,)a b 内所有极值点；第二步 计算函数()f x 在极值点和端点的函数值；第三步 比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例2 若函数()2x f x e x mx =+-，在点()()1,1f 处的斜率为1e +． （1）求实数m 的值；（2）求函数()f x 在区间[]1,1-上的最大值． 【答案】（1）1m =；（2）()max f x e =. 【解析】试题分析：（1）由(1)1f e '=-解之即可；（2）()21x f x e x '=+-为递增函数且()()1110,130f e f e -''=+>-=-<,所以在区间(1,1)-上存在0x 使0()0f x '=，所以函数在区间0[1,]x -上单调递减，在区间0[,1]x 上单调递增，所以()()(){}max max 1,1f x f f =-，求之即可.试题解析： （1）()2x f x e x m '=+-，∴()12f e m '=+-，即21e m e +-=+，解得1m =； 实数m 的值为1；（2）()21x f x e x '=+-为递增函数，∴()()1110,130f e f e -''=+>-=-<， 存在[]01,1x ∈-，使得()00f x '=，所以()()(){}max max 1,1f x f f =-，()()112,1f e f e --=+=，∴()()max 1f x f e ==考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、最值.【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值等问题，属中档题；导数的几何意义是拇年高考的必考内容，考查题型有选择题、填空题，也常出现在解答题的第（1）问中，难度偏小，属中低档题，常有以下几个命题角度：已知切点求切线方程、已知切线方程（或斜率）求切点或曲线方程、已知曲线求切线倾斜角的范围. 【变式演练7】已知x ex x f 1)(+=. （1）求函数)(x f y =最值；（2）若))(()(2121x x x f x f ≠=，求证：021>+x x .【答案】（1） )(x f 取最大值1)0()(max -==f x f ，无最小值；（2）详见解析. 【解析】试题解析：（1）对)(x f 求导可得x xx x exe e x e xf -=+-='2)1()(，令0)(=-='x exx f 得x=0. 当)0,(-∞∈x 时，0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增； 当),0(+∞∈x 时，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减， 当x=0时，)(x f 取最大值1)0()(max -==f x f ，无最小值. （2）不妨设21x x <，由（1）得当)0,(-∞∈x 时，0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增； 当),0(+∞∈x 时，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减， 若)()(21x f x f =，则210x x <<，考点：1.导数与函数的最值；2.导数与不等式的证明. 【变式演练7】已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-. （Ⅰ）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；（Ⅱ）若函数()()y f x g x =+有两个不同的极值点1212,()x x x x <且21ln 2x x ->，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）min110()1ln ,t e ef x t t t e ⎧-<<⎪⎪∴=⎨⎪≥⎪⎩，；（Ⅱ）2ln 2ln 2ln()133a >--.【解析】试题分析：（Ⅰ）由'()ln 10f x x =+=，得极值点为1x e =，分情况讨论10t e <<及1t e≥时，函数)(x f 的最小值；（Ⅱ）当函数()()y f x g x =+有两个不同的极值点，即'ln 210y x x a =-++=有两个不同的实根1212,()x x x x <，问题等价于直线y a =与函数()ln 21G x x x =-+-的图象有两个不同的交点，由)(x G 单调性结合函数图象可知当min 1()()ln 22a G x G >==时，12,x x 存在，且21x x -的值随着a 的增大而增大，而当21ln 2x x -=时，由题意1122ln 210ln 210x x a x x a -++=⎧⎨-++=⎩，214x x ∴=代入上述方程可得2144ln 23x x ==，此时实数a 的取值范围为2ln 2ln 2ln()133a >--.试题解析：（Ⅰ）由'()ln 10f x x =+=，可得1x e=，∴①10t e <<时，函数()f x 在1(,)t e 上单调递减，在1(,2)t e+上单调递增，∴函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值为11()f e e=-，②当1t e≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ∴==，min110()1ln ,t e ef x t t t e ⎧-<<⎪⎪∴=⎨⎪≥⎪⎩，；两式相减可得1122ln2()2ln 2x x x x =-=- 214x x ∴=代入上述方程可得2144ln 23x x ==，此时2ln 2ln 2ln()133a =--，所以，实数a 的取值范围为2ln 2ln 2ln()133a >--；考点：导数的应用．【变式演练8】设函数()ln 1f x x =+.（1）已知函数()()2131424F x f x x x =+-+,求()F x 的极值； （2）已知函数()()()()2210G x f x ax a x a a =+-++>,若存在实数()2,3m ∈,使得当(]0,x m ∈时,函数()G x 的最大值为()G m ,求实数a 的取值范围.【答案】（1）极大值为0，极小值为3ln 24-；（2）()1ln 2,-+∞.【解析】()(),'F x F x 随x 的变化如下表:x ()0,11()1,22()2,+∞()'F x +0 -+()F xZ]3ln 24-Z当1x =时,函数()F x 取得极大值()10F =;当2x =时,函数()F x 取得极小值()32ln 24F =-.③当112a <, 即12a <时, 函数()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增, 在1,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减, 要存在实数()2,3x ∈,使得当(]0,x m ∈时, 函数()G x 的最大值为()G m ,则()122G G a ⎛⎫< ⎪⎝⎭,代入化简得()()1ln 2ln 2104a a++->*. 令()()11ln 2ln 2142g a a a a ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭,因()11'104g a a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭恒成立, 故恒有()111ln 20,222g a g a ⎛⎫>=->∴> ⎪⎝⎭时,()* 式恒成立; 综上，实数a 的取值范围是()1ln 2,-+∞. 考点：函数导数与不等式． 【高考再现】1. 【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点.(I)求a 的取值范围；(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 【答案】(0,)+∞试题解析;（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+． （i ）设0a =,则()(2)x f x x e =-,()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0b <且ln2ab <,则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->, 故()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．若2ea ≥-,则ln(2)1a -≤,故当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点．若2ea <-,则ln(2)1a ->,故当(1,ln(2))x a ∈-时,'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时,'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点．综上,a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）不妨设12x x <,由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞,22(,1)x -∈-∞,()f x 在(,1)-∞上单调递减,所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-,即2(2)0f x -<．由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-,而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=,所以222222(2)(2)x x f x x e x e --=---．设2()(2)x x g x xe x e -=---,则2'()(1)()x x g x x e e -=--． 所以当1x >时,'()0g x <,而(1)0g =,故当1x >时,()0g x <． 从而22()(2)0g x f x =-<,故122x x +<． 考点：导数及其应用2. 【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）求()f x 的导函数，对a 进行分类讨论，求()f x 的单调性；（Ⅱ）要证()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立，即证23)()(/>-x f x f ，根据单调性求解.（1）20<<a ，12>a， 当)1,0(∈x 或x ∈),2(+∞a时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增； 当x ∈)2,1(a时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减； （2）2=a 时，12=a，在x ∈),0(+∞内，0)(/≥x f ，)(x f 单调递增； （3）2>a 时，120<<a， 当)2,0(ax ∈或x ∈),1(+∞时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增； 当x ∈)1,2(a时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减. 综上所述，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1=a 时，/22321122()()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x=-++--，]2,1[∈x ，令1213)(,ln )(32--+=-=x x x x h x x x g ，]2,1[∈x .则)()()()(/x h x g x f x f +=-， 由01)(/≥-=xx x g 可得1)1()(=≥g x g ，当且仅当1=x 时取得等号. 又24326'()x x h x x --+=，设623)(2+--=x x x ϕ，则)(x ϕ在x ∈]2,1[单调递减， 因为10)2(,1)1(-==ϕϕ，考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等. 3. 【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.设12,2a b ==. （1）求方程()2f x =的根;（2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（3）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。
导数求最值方法
导数求最值方法
求最值是数学中常见的问题，导数是求解最值的有效方法之一。
导数是函数在某一点处的斜率，可以帮助我们判断函数在该点处的最值情况。
以下是导数求最值的方法：
1. 求函数的导数
先求出函数的导数，然后找到导数的零点和间断点。
导数的零点是函数的极值点，间断点也可能是函数的极值点。
2. 分析导数的符号
在导数零点和间断点的左右两侧分别取一个测试点，带入导数中分析符号。
如果导数的符号从正变负，那么函数在该点处有一个局部最大值；如果导数的符号从负变正，那么函数在该点处有一个局部最小值。
3. 判断全局最值
对于一个函数，可能有多个局部极值点，但并不一定就是函数的全局最值。
要找到函数在定义域内的全局最值，需要进行比较。
比较函数在端点处的函数值和局部极值点的函数值，最终确定全局最值的位置。
以上是导数求最值的方法，有助于我们更好地解决数学中的最值问题。
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函数的极值与最值的求解(导数法)
函数的极值与最值的求解（导数法）函数的极值与最值是数学中重要的概念，它们在数学建模、优化问题等方面具有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍如何使用导数法求解函数的极值与最值问题。
一、函数的极值与最值在介绍如何求解函数的极值与最值之前，我们首先需要明确这两个概念的定义。
对于函数f(x)，如果存在一个区间I，对于区间内的任意x，都有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），那么f(x0)就是函数在区间I内的极小值（或极大值）。
而函数f(x)在整个定义域内的最小值和最大值则被称为函数的最小值和最大值。
二、导数法求解极值与最值导数法是求解函数极值与最值常用的方法之一。
通过求解函数的导数和判断导数的正负，可以找到函数的极值点及其对应的极值。
1. 求解函数的极值点首先，我们需要求解函数f(x)的导数，并令导数等于零，即f'(x)=0。
解这个方程可以得到函数的临界点（即导函数为零的点），也就是可能的极值点。
2. 判断极值类型在求得了函数的临界点之后，我们需要判断每个临界点对应的极值类型，即是极小值还是极大值。
我们可以通过求解导数的二阶导数来判断，即求解f''(x)，其中f''(x)表示函数f(x)的二阶导数。
若f''(x) > 0，则说明该临界点对应的极小值；若f''(x) < 0，则说明该临界点对应的极大值；若f''(x) = 0，则需要进行其他方法进一步判断。
3. 比较端点值除了求解临界点之外，我们还需要比较函数在区间的端点值，并找出其中的最大值和最小值。
三、实例分析为了更好地理解导数法求解极值与最值的过程，我们举一个实例来进行说明。
假设我们要求解函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1, 3]的极值和最值。
1. 求解导数和临界点首先，求解函数f(x)的导数，得到f'(x)=3x^2-6x+2。
(完整版)导数与极值、最值练习题
三、知识新授（一）函数极值的概念（二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f'(x);（2）解方程f'(x)=0，得方程的根x(可能不止一个）（3）如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x)是极大值；反之，那么f(x）是极大值题型一图像问题1、函数()f x的导函数图象如下图所示，则函数()f x在图示区间上（）（第二题图） A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点2、函数()f x的定义域为开区间()a b，，导函数()f x'在()a b，内的图象如图所示，则函数()f x在开区间()a b，内有极小值点（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3、若函数2()f x x bx c=++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x'的图象可能为（）D.C.B.A.4、设()f x'是函数()f x的导函数，()y f x'=的图象如下图所示，则()y f x=的图象可能是（）C.A.5、已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x的图象最有可能的是（ ）-11 f '(x )yxO6、()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（ ）2xO222D.C.B.A.OxOx x Ox y7、如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ）yyyxx xyxDCBA xyy=f(x)8、如图所示是函数()y f x =的导函数()y f x '=图象，则下列哪一个判断可能是正确的（ ）A ．在区间(20)-，内()y f x =为增函数B ．在区间(03)，内()y f x =为减函数C ．在区间(4)+∞，内()y f x =为增函数D ．当2x =时()y f x =有极小值9、如果函数()y f x =的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数()y f x =在区间13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递增；②函数()y f x =在区间1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减； ③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增； ④当2x =时，函数()y f x =有极小值； ⑤当12x =-时，函数()y f x =有极大值； 则上述判断中正确的是___________． 10、函数321()2f x x x =-+的图象大致是 （ ）DCBA11、己知函数()32f x ax bx c=++，其导数()f x '的图象如图所示，则函数()f x 的极小值是（ ）A ．a b c ++B ．84a b c ++C ．32a b +D ．c题型二 极值求法 1 求下列函数的极值（1）f(x)=x 3-3x 2-9x+5; (2)f(x)=ln x x （3）f(x)=1cos ()2x x x ππ+-<<2、设a 为实数，函数y=e x -2x+2a,求y 的单调区间与极值3、设函数f(x)=313x -+x 2+(m 2-1)x,其中m>0。
考点 利用导数求函数的单调性、极值、最值
考点：利用导数求函数的单调性、极值、最值知识点1.求函数单调区间的步骤：①确定f(x)的定义域；②求导数y ′；③令y ′>0(y ′<0),解出相应的x 的范围。
当y ′>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y ′<0时，f(x)在相应区间上是减函数2.求极值常按如下步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程/y =0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。
3.设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b ）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下：①求f(x)在(a,b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
4.最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。
5.求函数f (x )的极值的步骤:①确定函数的定义区间，求导数f ′(x )；②求方程f ′(x )=0的根 ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列表.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，若左正右负，则f (x )在这个根处取得极大值；若左负右正，则f (x )在这个根处取得极小值；若左右不改变符号即都正或都负，则f (x )在这个根处无极值例题1. 函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间为_______________．2. 讨论下列函数的单调性：（1）x x a a x f --=)(（0>a 且1≠a ）；（2）)253(log )(2-+=x x x f a （0>a 且1≠a ）；3.求下列函数的极值：（1）x x x f 12)(3-=；（2）x ex x f -=2)(；（3）.212)(2-+=x x x f练习1.下列说法正确的是（ ）A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=02.函数y =216x x +的极大值为（ ） A.3 B.4 C.2 D.53.函数y =x 3－3x 的极大值为m ,极小值为n ,则m +n 为（ ）A.0B.1C.2D.44.y =ln 2x +2ln x +2的极小值为（ ）A.e －1B.0C.－1D.15．函数y=xsinx+cosx 在下面哪个区间内是增函数（ ） A.(,) B.(π,2π) C.(,) D.(2π,3π)6．已知函数y=xf′(x)的图象如下图所示（其中f′（x ）是函数f （x ）的导函数）.下面四个图象中y=f （x ）的图象大致是（ ）7.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y 11log 21在区间),0(+∞上是（ ） A ．增函数，且0>y B ．减函数，且0>yC ．增函数，且0<yD ．减函数，且0<y8．函数f (x )=x 3－3x 2+7的极大值为___________.9. 求下列函数的单调区间：（1）32)(24+-=x x x f ； （2）22)(x x x f -=； （3）).0()(>+=b xb x x f10.已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ．（1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由．11.已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值 （1） 求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间（2） 若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）<c 2恒成立，求c 的取值范围．。
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《用导数求最值的步骤》进阶练习
一、选择题
.已知函数在处取得最大值，给出下列个式子：
①（）＜，②（），③（）＞，④，⑤．则其中正确式子的序号为（ ）
.①和④ .②和④ .②和⑤ .③和⑤
.已知定义在上的奇函数（）的图象为一条连续不断的曲线（）（），（），且当＜＜时，
（）的导函数′（）满足：′（）＜（），则（）在[，]上的最大值为（ ）
.关于函数（）（），有以下命题：
①不等式（）＜的解集是{＜＜}；
②是极大值，是极小值；
③（）有最小值，没有最大值；
④（）有个零点．
其中正确的命题个数为（ ）
个 个 个 个
二、解答题
.已知函数（），其中∈，函数（）（）．
（Ⅰ）当时，求函数（）在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，
（）求函数（）的最大值；
（）记函数φ（）（），证明：函数φ（）没有零点．
.设函数（），（…是自然对数的底数）．
（Ⅰ）求（）的单调区间及最大值；
（Ⅱ）设（），若（）在点（，（）处的切线过点（，），求的值．
参考答案
【参考答案】
.解：（Ⅰ）当时，函数（）的导数为′（），
可得函数（）在处的切线斜率为，切点为（，），
即有函数（）在处的切线方程为（）（）（），
即为（）；
（Ⅱ）（）当时，（）（），
′（），当＞时，′（）＜，（）递减；
当＜＜时，′（）＜，（）递增．
可得（）在处取得极大值，且为最大值；
（）证明：函数φ（）（）
（），
令φ（），可得，（*）
由（）的导数为′（），
当＞时，′（）＜，函数递减；当＜＜时，′（）＞，函数（）递增．
即有函数（）的最大值为（）＜；
由（）可得（）≤，即有（）≥，
则方程（*）无解．
即有函数φ（）没有零点．
.解：（Ⅰ）'（）（），…．…．…（分）
由'（）解得，
当时，'（）＞，（）单调递增；…．…．…（分）
当时，'（）＜，（）单调递减．…．…．…（分）
函数（）的单调递增区间是，单调递减区间是，
∴函数的最大值为．…．…．…（分）
（Ⅱ）'（）（），
所以为切线的斜率，…．…．…（分）
又根据直线上两点坐标求斜率得： …．…．…（分）
所以，所以…．…．…（分）
【解析】
. 解：函数的定义域为（，∞），（）（），
函数的导数′（）（）′•，
设（），
则′（），则当＞时，′（）＜，即（）在（，∞）上为减函数，
∵（）＜＜，当→时，（）＞，
∴在（，）内函数（）有唯一的零点，即（），
即，
当＜＜，′（）＞，当＞，′（）＜，即函数（）在处取得最大值，
即（）（）•（）•（），②正确；
∵（）＜，
∴＜＜，∴，
故选：．
求函数的定义域和函数的导数，研究函数单调性和极值，利用极值、最值的关系确定（）
的值，进行判断即可．
本题主要考查命题的真假判断涉及函数的单调性，极值，最值与导数之间的关系，综合
性较强，运算量较大．
. 解：∵定义在上的函数（）是奇函数，
满足（）（），
∴（）（），
∵（）（），
∴（）[（）][（）]（）（），
即（）（），
（）（），
∴（）（），
∴函数的周期为，
＜＜时，（）的导函数′（）满足：′（）＜，
∴（）在（，）递减，即（）在[，]递减，
∴（）在[，]上的最大值为（），
∴（）（×）（）（），
∵（），∴（），
故选：．
求出函数的周期，结合函数在＜＜时，（）递减，求出（）在[，]上的单调性，从而求
出函数的最大值即可．
本题考查了函数的奇偶性、周期性、单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．
. 解：由（）＜⇒（）＜⇒＜⇒＜＜，
故①正确；
′（）（），由′（）得±，
由′（）＞得＞或＜，由′（）＜得＜＜，
∴（）的单调增区间为（∞，），（，∞）．单调减区间为（，）．
∴（）的极小值为（），极大值为（），故②正确；
而（）（）＜，（）（）＞，
＞时，（）＞恒成立，＜时，（）＞恒成立，→∞时，（）→，
∴（）没有最大值，有最小值，最小值是（），∴③正确，
令（），解得：或，（）有个零点，④不正确．
故选：．
令（）＜可解的范围确定①正确；对函数（）进行求导，然后令'（）求出，根据'（）
的正负判断原函数的单调性，求出函数的极值进而可确定②正确；根据函数的单调性可
判断函数的取值范围判断③正确，解方程判断④不正确，从而得到答案．
本题主要考查函数的极值与其导函数关系，即函数取到极值时导函数一定等于，但导函
数等于时还要判断原函数的单调性才能确定原函数的极值点．
.
（Ⅰ）求出的函数（）的解析式和导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切
线的方程；
（Ⅱ）（）当时，求得（）的解析式和导数，以及单调区间，即可得到所求最大值；
（）求得函数φ（）的解析式，令φ（），可得，（*）由（），求出导数，可得单调区
间，可得（）的最大值，由（）的最小值为，即可判断．
本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查函数的零点的判断，
注意运用转化思想转化为求函数的最值问题，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
.
（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数
的最大值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，计算′（），（），得到关于的方程，解出即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线的斜率问题，是一道中
档题．