高二数学下册期中联考检测试题2

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江苏省高二下学期期中联考数学试题 Word版

高二数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案.不按以上要求作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则2C 15=n 2A =n A. 30 B. 20 C. 12 D. 62.下列求导运算正确的是A. B. C. D.()sin cos '=-x x 1ln '⎛⎫= ⎪⎝⎭x x ()1-'=x x a xa '=3.一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z （单位：）服从正态分布，且，则mm ()2180,σN ()()1900.9,1600.04≤=≤=P z P z()190200<<=P z A ．0.1 B ．0.04C ．0.05D ．0.064.已知函数与的部分图像如图所示，则 ()f x ()g x A.()()101''-<<-g f B. ()()011''<-<-f g C. ()()101''-<<-f g D.()()33''>f g 5.学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则不81同的分配方案种数为 A ．B ．C ．D ．458421426.已知在7个电子元件中，有2个次品，5个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到3个次品都找到为止，则经过3次测试恰好将2个次品全部找出的概率为 A.B.C.D.1212211424217.在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，发现该100名患者中有30名的年龄位于区间内.已知该地区这种疾病的患病率为，年龄位于区[)4050，0.15%间内人口占该地区总人口的.现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间[)4050，20%内，则此人患该疾病的概率为 [)4050，A.B. C. D.0.05%0.125%0.225%0.325%8.已知，则3231, ln , 23-===a e b c A ．B ．C ．D ．<<a b c <<b c a <<c a b <<a c b 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若（）的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为 ()32+nx *∈n N n A. 7B. 8C. 9D. 1010.已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列选项正确的是ξ()0ξ=Eξ 1- 0 2Pa 12bA ．B ．C ．D ．()1ξ=D (||)1ξ=D (21)4ξ+=D (3||2)5ξ-=D 11. 红黄蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红黄蓝颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，两人分别进行等量调配，表示事件“甲调配出红色”；表示事件A B “甲调配出绿色”；表示事件“乙调配出紫色”；则下列说法正确的是 C A ． B ． 1()15=P A 1(|)4=P C A C ． D.事件与事件相互独立4()45=P BC B C 12. 若二次函数的图象与曲线存在公切线，则实数2()23=+f x x :()3(0)=+>x C g x ae a a 的可能取值为A ．C.D.1228e 2e 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上.13.已知的展开式中含的项的系数为____▲____． 51(21)⎛⎫++ ⎪⎝⎭x x x 2x 14.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端且甲和乙不相邻，则不同的排列方式有___▲___种.15.已知函数，则在处的切线方程为___▲____．()()2ln 1'=+f x x x f ()f x ()1 1（，）f 16.某工厂的某种产品成箱包装，每箱100件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取10件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．记10件产品中恰有3件不合格品的()01<<p p 概率为，则取最大值时，____▲____．()f p ()f p =p 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，黑球4个，白球5个．（1）从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X ，求随机变量X 的概率分布；（2）从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，求另一个小球也是黑球的概率.18.（12分）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的五位数中，能被5整除的个数有多少？（2）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少? （3）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少? （4）在组成的五位数中，若从小到大排列，30421排第几个?19.（12分）已知展开式的二项式系数和为512，()(23)=-n f x x 且．2012()()()(23111)n nn x a a x a x a x =++--+--+L （1）求的值；2a （2）求的值； 123n a a a a ++++L L （3）求被6整除的余数． (20)20-f20.（12分）设函数，其中实数满足．()()()()=---f x x a x b x c c b a ,,2=+b a c (1)若且在上单调递增，求的取值范围； 0=b ()f x []24，a (2)若，求函数的极值； 3-=b a ()f x21.（12分）水蜜桃是生活中常见的水果之一，适量食用可以增高人体血红蛋白的含量，补充人体的维生素和膳食纤维，但水蜜桃的外皮较薄，往往小的划痕都容易造成它的腐烂变质。

四川省眉山冠城七中实验学校2022-2023学年高二下学期4月期中质量检测理科数学试题 - 副本

高2021级数学第1 页共 4 页高2021级数学第 2页共 4 页高2021级高二下学期期中质量检测 2023.04.25理科数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卷规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卷规定的位置上.4．考试结束后，将答题卷交回.第一部分（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数−=+z 1i2i，则=z （） A ．1BCD2．数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．至少有一本政治与都是数学B ．至少有一本政治与都是政治C ．至少有一本政治与至少有一本数学D ．恰有1本政治与恰有2本政治 3．已知复数=+∈∈z a b a b i R,R )(，且+=−z 12i 1i )(，则−=a b （）A ．52B ．51C ．−52D ．−514．从甲、乙等6名专家中任选2人前往某地进行考察，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为（） A ．54B ．32C ．52D ．535．命题p :“∀∈−+>x x mx R,102”，命题q :“<m 2”，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 6．命题“∃∈+∞a 0,)[，>a a sin ”的否定形式是（）A ．∈+∞∀a 0,)[，≤a a sinB ．∃∈+∞a 0,)[，≤a a sinC ．∀∈−∞a ,0)(，≤a a sinD ．∃∈−∞a ,0)(，>a a sin7．)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列a n }{称为“斐波那契数列”，则=a 7（） A ．8B ．13C ．18D ．23． B ． C ．．9．地铁让市民不再为公交车的拥挤而烦恼，地下交通的容量大、速度快、准点率高等特点弥补了单一地面交通的不足.成都地铁9号线每5分钟一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是（）A ．0.6B ．0.8C ．0.4D ．0.210．已知命题∀∈p x :R ，>−x sin 1；命题∃∈+=+q x y x y x y :,R,sin sin sin )(，则下列命题是真命题的是（） A ．∧p q B ．∧⌝p q )( C ．∨⌝p q )( D ．⌝∧p q )(11．已知−=x a x 012在∈+∞x 0,)(上有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．⎝⎦⎥ ⎛⎤e 20,1B ．⎝⎭⎪⎛⎫2e 0,1C ．⎝⎦⎥ ⎛⎤1,e 2e 1D ．⎝⎭⎪⎛⎫1,e 2e 112.函数=f x x ln 2)(的图象与函数=−+−−xg x x x x 2e e 1)(的图象交点的横坐标x 0，则e x xln 200＝（） A ．−ln 2B ．－21C ．21D ．ln 2高2021级数学第3 页共 4 页高2021级数学第4页共 4 页第二部分（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省部分普通高中联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题

D． sin x cos x
2．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（）
A． an 1 n
B． an
1 4n
C． an 2n2 5n 1
D． an
n 3, n
2n1, n
2, 2
3．已知等比数列an 的前 n 项和是 Sn ，且 a1 2, a3 4a2 2 ，则 S4 （）
r a
1
r b
1
r c
366
D．
1
r a
1
r b
1
r c
666
5．等比数列an 的前 n 项和为 Sn ， S2 7 ， S6 91，则 S4 为（）
A． 28
B． 32
C． 21
D． 28 或 21
6．已知 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若 S18 0 ， S19 0 ，则当 Sn 取得最大值时，n
湖北省部分普通高中联盟 2022-2023 学年高二下学期期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．下列导数运算正确的（）．
A． log2
x
1 x ln 2
B．
1 x
1 x2
C． 3x 3x
16 3
,
D．
16 3
,
二、多选题
9．已知 M 是椭圆 C : x2 4
y2 2
1 上一点，F1, F2 是左､
右焦点，下列选项中正确的是（
）
A．椭圆的焦距为 2
B．椭圆的离心率 e 2 2
C． MF1 MF2 4
D．△MF1F2 的面积的最大值是 2

浙江省温州新力量联盟2022~2023学年高二下学期期中联考数学试卷及答案

绝密★考试结束前2022学年第二学期温州新力量联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4．考试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知155+=x x C C ，则x 的取值为（）A．1B．2C．3D．42．已知函数2()1f x x =+，则Δ0(2Δ)(2)lim Δx f x f x→+-=（）A．2B．3C．4D．53.李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表:现让小王同学计算ξ的数学期望,尽管“?”处的数值完全无法看清,且两个“!”处字迹模糊,但能断定这两个“!”处的数值相同,则E (ξ)=（）A．1B．2C．3D．44．丹麦数学家琴生（Jensen ）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果。

设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，记()f x '在(),a b 上的导函数为()f x ''，若在(),a b 上()0f x ''>恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上为“凹函数”。

则下列函数在()0,2π上是“凹函数”的是（）A．2()sin f x x x=+B．()sin f x x x=-C．()ln f x x x=+D．()ln x f x e x x=-5.在()()311x x +-的展开式中，x 的系数是（）A.2- B.1- C.1D.26．回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味。

相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人。

高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析

高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析本试卷共5页 22小题满分150分.考试用时120分钟.考生注意事项：1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅰ卷第Ⅰ卷用2B 铅笔涂在答题卡上第Ⅰ卷用黑色钢笔签字笔在答题卡上作答2．质量监测时间120分钟全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题每小题5分共40分每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}2log 20A x x =∈-≤N {A x y =∈N ，则A B ⋃=（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【分析】根据对数的单调性一元二次不等式的解法结合并集的定义进行求解即可. 【详解】由(){}2log 20021121x x x A -≤⇒<-≤⇒≤<⇒=由{}210110,1x x B -≥⇒-≤≤⇒=所以A B ⋃={}0,1 故选：C2．复数z 满足()1i i z += i 为虚数单位，则下列说法正确的是（） A ．1z = B ．z 在复平面内对应的点位于第二象限 C ．z 的实部为12D ．z 的虚部为1i 2【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出复数z 即可求得其模以及实部和虚部以及对应的点所在象限一一判断各选项即得答案.【详解】因为()1i i z += 故i i (1i)11i 1i (1i)(1i)22z ⋅-===+++-则z ==A 错误 z 在复平面内对应的点为11(,)22位于第一象限 B 错误z 的实部为12C 正确z 的虚部为12D 错误故选：C ．3．在ABC 中点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点点E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，则AE =（）A ．2133CA CB -+ B ．1526CA CB -C ．1233CA CB -+D 5162CA CB -+．【答案】D【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案方法二：设ABC 是等腰直角三角形且4CA CB == 建立空间直角坐标系写出点的坐标设m A CA nCB E =+ 从而得到方程组求出答案.【详解】方法一：如图由题意得23CE CD = 34AD AB =故()22123333AE AC CE AC CD AC AD AC AC AD =+=+=+-=+()111151323262AC AB CA CB CA CA CB =+=-+-=-+方法二：不妨设ABC 是等腰直角三角形且4CA CB == 以C 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示则()()()()20,0,0,4,4,0,3,1,2,3C A B D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则()()0,4,4,0CA CB == 设m A CA nCB E =+故()()102,0,44,03m n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以1042,43n m ==- 解得51,62m n =-=故5162CA C A B E -=+．故选：D ．4．函数()()()2sin 0,ππf x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图像如图所示，则ω ϕ的值分别是（）A ．2 π6- B ．2 π3-C ．2π3D ．4 5π6-【答案】B【分析】根据三角函数图像与性质求ω ϕ的值即可. 【详解】设()f x 的周期为T则由图像知35π9π3πππ4123124T T ⎛⎫=--==⇒= ⎪⎝⎭所以2π2Tω==，则()()2sin 2f x x ϕ=+ 因为()f x 在5π12x =处取得最大值所以5π2π2π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈ 得π2π,Z 3k k ϕ=-+∈因为ππϕ-<< 所以π0,3k ϕ==-.故选：B5．在数列{}n a 中的相邻两项n a 与()*1n a n +∈N 之间插入一个首项为1n a n- 公差为1n -的等差数列的前n 项记构成的新数列为{}n b 若21n a n =+，则{}n b 前65项的和为（） A ．252-B ．-13C ．272-D ．-14【答案】A【分析】根据题意得到数列{}n b 中n a 及其后面n 项的和为n S ()()1112n n n n S n a n+=+-⨯求解. 【详解】解：数列{}n b 为：1122233331121,1,,,1,,,,1,,,233n n a a a a a a a a a a a n-------1231,,,,1,,n n n n n n a a a a a n nn+-----设n a 及其后面n 项的和为n S ，则()()()1111123222n n n n n S n a n n ++=+-⨯=-=- 所以数列{}n S 是以1为首项公差为12-的等差数列.所以{}n b 前65项的和为1210710125222S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-故选：A.6．冬季是流感高发期其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析可以用函数模型()2rtW t =来描述累计感染甲型流感病毒的人数()W t 随时间t Z t ∈（单位：天）的变化规律其中指数增长率r 与基本再生数0R 和世代间隔T 之间的关系近似满足01R rT =+ 根据已有数据估计出04R =时 12T =．据此回答累计感染甲型流感病毒的人数增加至()0W 的3倍至少需要（参考数据：lg 20.301≈ lg30.477≈）（）A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天【答案】B【分析】先求得r 然后根据“()0W 的3倍”列方程化简求得需要的时间. 【详解】依题意 01R rT =+ 且04R =时 12T =即14112,4r r =+⨯= 所以()142tW t = ()10W =令()1423tW t == 两边取以10为底的对数得14lg 340.477lg 2lg 3, 6.34lg 20.301t t ⨯==≈≈ 所以至少需要7天. 故选：B7．如图在长方形ABCD 中 2AB = 1BC = E 为DC 的中点 F 为线段EC （端点除外）上的动点．现将AFD △沿AF 折起使平面ABD ⊥平面ABC 在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥ K 为垂足．设AK t ，则t 的取值范围是（）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】设DF x = 求得x 关于t 的表达式根据x 的取值范围求得t 的取值范围. 【详解】如图在平面ADF 内过点D 作DH AF ⊥垂足为H 连接HK ．过点F 作//FP BC 交AB 于点P ．设FAB θ∠= AE AC == 所以cos θ∈⎝⎭．设DF x =，则12x <<．因为平面ABD ⊥平面ABC 平面ABD ⋂平面ABC AB =DK AB ⊥ DK ⊂平面ABD 所以DK ⊥平面ABC又AF ⊂平面ABC 所以DK AF ⊥．又因为DHAF ⊥DKDH D = DK DH ⊂平面DKH 所以AF ⊥平面DKH 所以AF HK ⊥ 即AH HK ⊥．在Rt ADF 中 AF DH因为ADF △和APF 都是直角三角形 PF AD = 所以Rt Rt ADF FPA ≌△△ AP DF x ==．因为AHD ADF ∽△△,1AH DH AH AH AD DF ===所以cos AH AP AK AF θ=== 得1x t=．因为12x << 所以112t<< 所以112t <<．故选：C【点睛】方法点睛：线面垂直面面垂直转化的过程中要从线面垂直得到面面垂直需要“经过一个平面的垂线” 要从面面垂直得到线面垂直，则需要“在一个平面内垂直于交线” 在答题过程中要注意使用正确的符号语言.8．在直角坐标系xOy 内圆22:(2)(2)1C x y -+-= 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（）A．⎡⎣ B．44⎡--⎣C．22⎡--⎣D．2⎡-⎣【答案】A【分析】由题意首先得出旋转后的直线为1:0l x y m 然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】连接OP 设POx θ∠=（即以x 轴正方向为始边 OP 为终边的角）由题意对于直线:0l x y m ++=上任意一点(),P x y存在R a θ=∈ 使得()cos ,sin P a a θθ 则直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后点()cos ,sin P a a θθ对应点为1ππcos ,sin 22P a a θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即()1sin ,cos Pa a θθ- 因为()cos ,sin P a a θθ在直线:0l x y m ++=上所以满足cos sin 0a a m θθ++= 设11sin ,cos x a y a θθ==- 所以110y x m -++= 即()1sin ,cos P a a θθ-所在直线方程为1:0l xy m而圆22:(2)(2)1C x y -+-=的圆心半径分别为()2,2,1r = 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点所以圆心()2,2C 到直线1:0l x y m 的距离1d r =≤= 解得m ≤故选：A.【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线从而即可顺利得解.二多选题9．某校举行演讲比赛 6位评委对甲乙两位选手的评分如下：甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 则下列说法正确的是（）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.8 【答案】ACD【分析】由平均数方差百分位数众数的概念及求法分别求解判断即可. 【详解】选项A 评委对甲评分的平均数7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲评委对乙评分的平均数7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙所以x x <甲乙故A 正确选项B 由A 知两组数据平均数均约为7.8且纵向看甲组数据与乙组数据仅一组数据7.5,7.8不同其余数据相同又甲组数据7.5与平均数的差明显大于乙组数据7.8与平均数的差且差距较大故与平均数比较甲组数据波动程度明显大些即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差故B 错误选项C 由640% 2.4⨯=不是整数则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第3个数据即：7.8 故C 正确选项D 评委对乙评分中最多的数据即众数为7.8 故D 正确.故选：ACD.10．下列说法正确的是（）A ．“α为第一象限角”是“2α为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B ．“π2π6k α=+ Z k ∈”是“1sin 2α=”的充要条件C ．设ππ,Z 4M k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭ π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件D ．“sin 0θ>”是“θtan 02>”的必要不充分条件【答案】AC【分析】对于A 利用象限角求得角α的范围可判定充分性取π3α= 验证必要性即可对于B 考查1sin 2α=时 α的取值范围可判定必要性不成立对于C 根据集合M N 的关系即可判定对于D 根据条件求得α的取值范围即可判断. 【详解】对于A,因为α为第一象限角所以π2π2π,Z 2k k k α<<+∈ 则πππ,Z 4k k k α<<+∈, 当k 为偶数时 α为第一象限角当k 为奇数时 α为第三象限角所以充分性成立当π3α=时 α为第一象限角，则2π23α= 为第二象限角即必要性不成立故A 正确对于B 当π2π6k α=+ Z k ∈时 1sin 2α=成立，则充分性成立当1sin 2α=时 π2π6k α=+或5π2π6k α=+ Z k ∈, 故必要性不成立，则B 错误对于C ()41πππ,Z ,Z 44k M k k k αααα⎧⎫⎧⎫⎪⎪==±∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭而π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭则MN 故则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件故C 正确对于D,当sin 0θ>时 2π2ππ,Z k k k θ<<+∈, 则πππ,Z 22k k k θ<<+∈ 则θtan 02> 故充分性成立当θtan02>时 πππ,Z 22k k k θ<<+∈则2π2ππ,Z k k k θ<<+∈ 则sin 0θ>成立所以“sin 0θ>”是“θtan 02>”的充要条件故D 错误故选：AC.11．椭圆C 的标准方程为22121,,82x y F F +=为椭圆的左右焦点点()2,1P ．12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 与1212,,PF PF F F 分别相切于点,,D E H ，则（）A ．126PF F S =△ B ．13x C ．1233y = D ．226PD PE ==【答案】BCD【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质求解12PF F S再结合三角形内切圆的几何性质逐项判断即可得结论.【详解】椭圆C ：22182x y +=，则22,2,826a b c ===-= 所以()()126,0,6,0F F又()2,1P 所以点P 再椭圆上连接12,,,,,ID IE IH IP IF IF则121211122PF F p SF F y =⋅=⨯ 故A 不正确由椭圆的定义可得122PF PF a +==又12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 所以内切圆半径I r y = 由于121212PF F IF F IF PIF PSSSS=++()(121212121111122222I I I I I F F y PF y PF y y F F PF PF y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅++=⋅故3I r y === 故C 正确又1122,,PD PE DF F H EF HF ===所以12121212PF PF PD DF PE EF PD F H PE HF PD PE F F +=+++=+++=++=则2PD = 所以PD PE == 故D 正确又2PF == 所以222HF EF PF PE ==-又H I x x = I x = 即1x 故B 正确. 故选：BCD.12．已知函数()()e xf x a x =+ ()()lng x x a x =+，则下列说法正确的是（）A ．若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．当1a =时函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增C ．当1a =时若存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立，则实数m 的最小值为0D ．当1a =时若()()12(0)f x g x t t ==>，则()121ln x x t +⋅的最小值为1e【答案】BC【分析】对A 选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得对B 选项：结合导数讨论单调性即可得对C 选项：结合()f x 单调性可转化为当1x ≥时有()1ln m x x ≥+成立求出()1ln x x +最小值即可得对D 选项：采用同构法可确定12e xx = 再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.【详解】对A 选项：()()()e e 1e x x xf x x a x a +=+'=++若函数()y f x =存在两个极值，则函数()f x '必有两个变号零点令()()1e 0x f x x a =++='，则()1e xa x =-+令()()1e xh x x =-+，则()()2e xh x x +'=-则当2x >-时 ()0h x '< 当<2x -时 ()0h x '> 故()h x 在(),2∞--上单调递增在()2,∞-+上单调递减故()()()221221e e h x h -≤-=--+=又当1x >-时 ()()1e 0xh x x =-+<恒成立当x →-∞时 ()0h x →故当210,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭函数()f x '有两个变号零点即若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为210,e⎛⎫ ⎪⎝⎭故A 错误对B 选项：当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ ()11ln ln 1x g x x x x x='+=+++ 令()()x g x μ='，则()22111x x x x xμ'-=-= 则当()0,1x ∈时 ()0x μ'< 当()1,x ∞∈+时 ()0x μ'> 故()x μ在()0,1上单调递减在()1,∞+上单调递增故()()120g x g '='≥> 故函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增故B 正确对C 选项：当1a =时 ()()e 1xf x x =+()()()e e 11e 1x x x f x x x =++=++'令()()m x f x ='，则()()2e xm x x +'=则当<2x -时 ()0m x '< 当2x >-时 ()0m x '> 故()m x 在(),2∞--上单调递减在()2,∞-+上单调递增故()()2212e 110e f x f -≥-=-+=-'>' 故()f x 在R 上单调递增则存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立等价于存在1x ≥ 使不等式()2ln mx x x x ≥+成立则当1x ≥时有()1ln m x x ≥+成立由当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ 且()y g x =在(0,)+∞上单调递增故()11ln10m ≥+= 即实数m 的最小值为0 故C 正确对D 选项：当1a =时由B C 可知 ()f x ()g x 均为定义域上的增函数由()00f = ()10g = 故有1>0x 21x >由()()12f x g x =，则()()1122e 11ln xx x x +=+即()()()111122e 1e 1ln e 1ln x x x x x x +=+=+ 故12e xx =又()()111e 10xf x t x ==+> 故()121ln ln x x t t t +⋅=令()ln n x x x =，则()1ln n x x x ='+ 令()()1ln p x n x x x==+'则()22111x p x x x x='-=- 则当()0,1x ∈时 ()0p x '< 当()1,x ∞∈+时 ()0p x '> 故()p x 在()0,1上单调递减在()1,∞+上单调递增即()()10n x n ''≥= 故()n x 在()0,∞+上单调递增故()n x 无最小值即()121ln x x t +⋅无最小值故D 错误. 故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题其中D 选项中涉及到多变量问题的求解求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系将多变量转化为单变量的问题从而将其转化为函数最值问题的求解. 三填空题13．()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为．（用数字作答）【答案】40-【分析】由二项式定理得到()62x y -的通项公式结合2xy+得到34,T T 得到42x y 的系数. 【详解】()62x y -的通项公式为()()66166C 2C 2rrr r r r r r T x y x y --+=-=-令2r =得 ()22424236C 260T x y x y =-= 此时4242602120x y x y ⋅=令3r =得 ()33333346C 2160T x y x y =-=- 此时3342160160xx y x y y-⋅=- 故42x y 的系数为12016040-=- 故答案为：40-14．设数列{}n a 满足12a = 26a = 且2122n n n a a a ++-+= 若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122021202120212021a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦．【答案】2020【分析】根据题意得到()()2112n n n n a a a a +++---= 得到{}1n n a a +-为等差数列求得其通项公式结合累加法得到(1)n a n n =+ 求得2021112021()1n a n n =-+ 再利用裂项求和求得12202120212021202120212021(2020,2021)2022a a a +++=⨯∈ 即可求解. 【详解】因为2122n n n a a a ++-+= 可得()()2112n n n n a a a a +++---= 又因为12a = 26a = 可得214a a -=所以数列{}1n n a a +-是首项为4 公差为2的等差数列所以14(1)222n n n a n a +-=+-⨯=+ 当2n ≥时 112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(1)22(1)2222(1)2n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+ 且当1n =时 12a =也成立所以()1n a n n =+ 所以202111120212021()(1)1n a n n n n =⨯=-++ 所以122021202120212021111112021[(1)()()]22320212022a a a +++=-+-++- 120212021(1)2021(2020,2021)20222022=-=⨯∈所以1220212021202120212020a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2020.15．已知椭圆 22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点为12,F F ．直线y kx =与椭圆C 相交于,P Q 两点若112PF QF = 且12π3PFQ ∠= ，则椭圆C 的离心率为．【分析】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形再根据椭圆的定义求出12,PF PF 再在12PF F △中利用余弦定理求出,a c 的关系即可得解.【详解】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形，则21PF QF =由12π3PFQ ∠= 得12π3F PF ∠= 因为112PF QF = 所以122PF PF = 又122PF PF a += 所以1242,33a aPF PF == 在12PF F △中由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠ 即2222164421442993323a a a a ac =+-⨯⨯⨯=所以c a =即椭圆的离心率c e a ==16．已知A M N 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则·AM AN 的取值范围是．【答案】1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据正方体的性质可得·3cos ,a AM AN AM AN =≤结合夹角的定义可得3a ≤ 可得其最大值根据数量积的运算可知24≥-MN a 可得其最小值.【详解】正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长度d 则,AM AN d ≤ 故·3cos ,a AM AN AM AN =≤ 而[]cos ,1,1AM AN ∈- 故3a ≤如图建立空间直角坐标系取()0,0,0A ,M N 重合为()1,1,1时则()()1,1,11,1,13a =⋅= 取得最大值3由对称性设A 在下底面 (),,AM x y z = (),,AN a b c =由A 在下底面知0,0,0z c zc ≥≥≥ 当且仅当,M N 也在下底面时取等此时,,A M N 共面时设MN 中点为E ，则EM EN =-()()()()()2222··4MN a AM AN AE EM AE EN AE EN EN==++=-≥-=-当且仅当,A E 重合时取等又因为2MN ≤ 可得2142-≥-≥a MN 例如11,,022A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()()1,0,0,0,1,0M N ，则11111·,,0,,022222a AM AN ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以·AM AN 的取值范围是1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.四解答题（共70分）17．（本题10分）如图在ABC 中 6AB AC == 点D 是边BC 上一点且,cos AD AB CAD ∠⊥=2AE EB =(1)求BCE 的面积 (2)求线段AD 的长. 【答案】(1)(2)=AD【分析】（1）根据13BCE ABC S S =△△求解即可（2）解法1：在ABC 中根据余弦定理求出BC 结合等腰三角形的性质求cos B 在ABD △中勾股定理求AD 即可解法2：由A BCABDACDSSS=+求得AD .【详解】（1）12,3BCEABCAE EB SS =∴=而11πsin 66sin 222ABCSAB AC BAC CAD ⎛⎫=⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠+ ⎪⎝⎭ 18cos 18CAD =∠== 1423BCEABCSS ∴==（2）解法1：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠= π1cos cos sin 23CAB CAD CAD ⎛⎫∴∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭在ABC 中 22212cos 3636266963BC AB AC AB AC CAB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BC ∴=∴在等腰ABC 中12cos BCB BA ==∴Rt ABD △中6cos ,BA BBD BD BD===∴=AD ∴==解法2：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠== 由A BCABDACDSSS=+得1166sin 22AD AD CAD =⨯⨯+⨯⨯⋅∠,即()11166223AD AD =⨯⋅+⋅⋅⋅解得=AD18．（本题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 11a = 且满足()()11112n n n S nS n n ++=-+.(1)求数列{}n a 的通项公式(2)设()23cos πn a n n b a n =+⋅ 求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)n a n =(2)()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得()12n n n S +=结合1n n n a S S -=-即可求解（2）由（1）知()()213nnn b n =-+- 利用分组求和法计算即可求解. 【详解】（1）根据题意 ()()11112n n n S nS n n ++=-+ 所以1112n n S S n n +-=+由于1111S a ==，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1 公差为12的等差数列所以()111122n S n n n +=+-⨯= 所以()12n n n S += 当2n ≥时 1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=. 验证1n =时11a =满足通项公式故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）由（1）知()()()223cos π13n n na n nb a n n =+⋅=-+-.设()21nn -的前n 项和为n A ，则当n 为偶数时 ()22222212341n A n n =-+-+-⋅⋅⋅--+()()()()()()2121434311n n n n ⎡⎤⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+-⎣⎦⎣⎦ ()()1123412n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+=. 当n 为奇数时 ()()2211122n n n n n n A A n n --+=-=-=-设()3n-的前n 项和为n B ，则()()()131333134nn nB +⎡⎤-⋅-----⎣⎦==+. 因为=+n n n T A B 所以()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数 19．（本题12分）如图在四棱锥P ABCD -中 PAD 为等边三角形 AD CD ⊥ //AD BC 且22AD BC ==CD =PB = E 为AD 中点．(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD(2)若线段PC 上存在点Q 使得二面角Q BE C --的大小为60︒ 求CQCP的值．【答案】(1)证明见解析 (2)12【分析】（1）首先连接PE 根据线面垂直的判定定理证明PE ⊥平面ABCD 再利用面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面ABCD . （2）设()01CQ CP λλ=≤≤,再利用向量法求二面角Q BE C --的平面角再列方程得到12λ= 即得CQCP 的值．【详解】（1）证明：连接PEPAD 是边长为2的等边三角形 E 是AD 的中点PE AD ⊥∴PE =//DE BC DE BC = AD CD ⊥ ∴四边形BCDE 是矩形BE CD ∴==222PE BE PB ∴+= PE BE ∴⊥又AD BE E = AD BE ⊂平面ABCDPE ∴⊥平面ABCD又PE ⊂平面PAD∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）以E 为原点以EA EB EP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则(00P()C -()0B ()0,0,0E ()0EB ∴=， ()100BC =-，，(1CP = 设()01CQCPλλ=≤≤则()1BQ BC CQ BC CP λλ=+=+=- 设平面QBE 的法向量为(),,m x y z =则00m EB m BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()010x y z λ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，令1z = 得()301m λλ=-，，又PE ⊥平面ABCD()001n ∴=，，为平面BEC 的一个法向量cos 3m n m n m nλ⋅∴==，二面角Q BE C --的大小为60︒12= 解得12λ=． 12CQ CP ∴=． 20．（本题12分）2023年秋末冬初呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动现从中抽取200名学生记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图根据图形请回答下列问题：(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩求5人中成绩低于50分的人数 (2)以样本估计总体利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数(3)首轮竞赛成绩位列前10%的学生入围第二轮的复赛请根据图中信息估计入围复赛的成绩（记为K ）. 【答案】(1)2人 (2)71 (3)88K ≥【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可（2）利用平均数公式求解即可（3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈，则()900.0250.050.1K -⨯+= 求出K 的值即可. 【详解】（1）成绩在[)40,50的人数为0.011020020⨯⨯=（人）成绩在[)50,60的人数为0.0151020030⨯⨯=（人）则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人成绩低于50分的人数为20522030⨯=+（人）. 故5人中成绩低于50分的人数为2人（2）由()0.010.0150.0150.0250.005101a +++++⨯= 得0.030a = 则平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为71分（3）根据频率分布直方图可知：[]90,100的频率为0.005100.05⨯= [)80,90的频率为0.025100.25⨯=所以入围复赛的成绩一定在[)80,90可知入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈则()900.0250.050.1K -⨯+= 解得88K =故估计入围复赛的成绩为88K ≥分.21．（本题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 斜率为2的直线l 与x 轴交于点M l 与C 交于A B 两点 D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时 ABD △面积为169． (1)求C 的方程(2)当M 异于O 点时记直线BD 与y 轴交于点N 求OMN 周长的最小值．【答案】(1)22142x y += (2)2【分析】（1）设出各点坐标表示出面积后结合面积与离心率计算即可得（2）要求OMN 的周长，则需把各边长一一算出即需把M x N y 算出设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理借助韦达定理表示出M x N y 可得OMN 各边边长结合基本不等式即可求得最值.【详解】（1）当M 与原点O 重合时可设()00,A x y ，则有()00,B x y -- ()00,D x y -且002y x = 即有AD BD ⊥, 则()()00001116229ABD S AD BD x x y y =⋅=++=即201649x = 又00x > 故023x =，则043y = 即有22416199a b +=即c a =则22222a c b c ==+ 故222a b = 即有224161189b b += 解得22b = 故24a = 即C 的方程为22142x y +=（2）设直线l 方程为2y x t =+ 令0y = 有2t x =- 即2M t x =- 设点()11,A x y ()22,B x y ，则()11,D x y - 联立直线与椭圆方程：222142y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 有2298240x tx t ++-= ()222Δ64362414480t t t =--=->即t -<有1289t x x -+= 212249t x x -= BD l 为()122212y y y x x y x x -=-+-- 令0x = 故21222122122221122121212N x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x x x x x -+-+++=+==--++ 由2y x t =+ 故()()2112211212121212224x x t x x t x y x y x x t x x x x x x ++++==++++ 其中2121224198429t x x t t x x t -==-+-+ 即12442N t y t t t ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则22OMN N M t C y x t =+=+2≥=当且仅当2t =±时等号成立故OMN周长的最小值为2+【点睛】本题考查了椭圆的方程在求解直线与椭圆的位置关系问题时常用方法是设而不求借助韦达定理等手段将多变量问题转变为单变量问题再用基本不等式或函数方式求取范围或最值.22．（本题12分）已知函数21()ln 2f x x x ax =+-． (1)当12a =时求在曲线()y f x =上的点(1,(1))f 处的切线方程 (2)讨论函数()f x 的单调性(3)若()f x 有两个极值点1x 2x 证明：()()121222f x f x a x x -<--．【答案】(1)3230x y --=(2)详见解析(3)详见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出（2）求出导函数()1(0)f x x a x x '=+-> 在定义域()0,∞+内分类讨论解含参不等式即可求出（3）由题意得2a > 12x x a += 121=x x 而()()1212f x f x x x --1212ln ln 12x x a x x -=-- 只需证明1212ln ln 2x x x x -<- 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭ 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立即可．【详解】（1）由题可知当12a =时 211()ln 22f x x x x =+- ()112f x x x ∴=+-' ∴(1)0f = 3(1)2f '= ∴切点为(1,0) 切线的斜率为32 ∴切线方程为：30(1)2y x -=- 即3230x y --=（2）对函数()f x 求导可得 ()1(0)f x x a x x '=+->．当2a ≤时 ()120f x x a a x=+-≥-≥'．则()f x 在(0,)+∞上单调递增．当2a >时 ()2110x ax f x x a x x -+=+-=='．则1x =2x = 令()0f x '>，则10x x << 或2x x >．()0f x '<，则12x x x <<综上：当2a ≤时 ()f x 在(0,)+∞上单调递增当2a >时 ()f x在⎛ ⎝⎭和∞⎫+⎪⎪⎝⎭上单调递增 ()f x在⎝⎭上单调递减．（3）()f x 有两个极值1x 2x1x ∴ 2x 是方程210x ax -+=的两个不等实根则2a > 12x x a += 121=x x()()2211122212121211ln ln 22x x ax x x ax f x f x x x x x ⎛⎫+--+- ⎪-⎝⎭=-- ()()()121212*********ln ln ln ln 122x x x x x x a x x x x a a x x x x -+-+---==+--- 1212ln ln 12x x a x x -=--．要证：()()121222f x f x a x x -<--．即证：1212ln ln 2x x x x -<-．不妨设1210x x >>> 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭．即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立．令1()ln f x x x x =-+ (1)x >．则()22211110x x f x x x x -+=--=-<'．从而()f x 在(1,)+∞上单调递减故()(1)0f x f <=．所以()()121222f x f x a x x -<--．【点睛】本题考查了切线方程问题考查函数的单调性问题考查导数的应用以及分类讨论思想训练了构造函数法证明不等式的成立属难题.。

浙江省强基联盟2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题(含答案)

浙江省强基联盟2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则A ．B ．C ．D ．2．双曲线的渐近线方程为A ．B ．C ．D ．3．已知向量，若，则的值为A ．-4B ．4C ．-6D ．64．为虚数单位，则A ．B ．iC ．-1D ．15．已知正数x ，y 满足，则的取值范围是A ．[1，4]B ．[0，4]C ．D ．6．圆台的上底面面积为，下底面面积为，母线长为4，则圆台的侧面积为A ．B ．C ．D ．7．对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．袋子中装有5张编号分别为1，2，3，4，5的卡片，从袋子中随机选择3张卡片，记抽到的3张卡片编号之和为，编号之积为，则下列说法正确的是A ．是3的倍数的概率为0.4B ．是3的倍数的概率为0.6C ．是3的倍数的概率为0.2D ．是3的倍数的概率为0.8二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．{}2{||3},11A x x B x x =<=∈<N ∣∣A B ⋂={2,1,0,1,2,3}--{0,1,2}{1,2,3}{1,2}22:1936x y E -=14y x =±12y x =±2y x =±4y x=±(1,2),(3,)a b m == ()a a b ⊥+m i 2320241i+i +i i +++=i-2x y +=22x y xy +-[1,4)[1,3)π9π10π20π8π16π{}n a {}n a 11(1)n n a n a na ++-=S T S S T T9．若直线与圆相交于A ，B 两点，则|AB |的长度可能等于A ．3B ．4C ．5D ．610．已知，则下列等式成立的是A ．B ．C ．D ．11．下列定义在上的函数中，满足的有A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中，含项的系数是______．13．已知过椭圆的右顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为______．14．若不等式对任意满足的正实数x ，y ，z 均成立，则实数的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值．16．（15分）已知盒中有2个黑球和2个白球，每次从盒中不放回地随机摸取1个球，只要摸到白球就停止摸球．（1）求摸球三次后刚好停止摸球的概率；（2）记摸球的次数为随机变量，求的分布列和期望．17．（15分）如图，在正三棱柱中，为侧棱的中点．y kx =22(2)(1)9x y -++=,αβ∈R 22cos()cos()cos cos αβαβαβ+-=- 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=- 22sin()sin()cossin αβαβαβ+-=- 22sin()sin()sinsin αβαβαβ+-=- (0,)+∞()f x 1(0,),()2(1)x f x f f x ⎛⎫∀∈+∞+⎪⎝⎭…()f x =2()1x f x x =+()cos πf x x =()exf x =5(2)x y +32x y 22221(0)x y a b a b+=>>A l y M N AOM||2||MN NA =22()xy y z k x y z +++…y z x +…k 2(),()e xf x xg x ==()()y f x g x =+0x =()()f x yg x =X X 111ABC A B C -E 1BB（1）求证：平面平面．（2）若，求平面与平面所成二面角的大小．18．（17分）如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点C ，D ，当恰好为线段AB 的中点时，（1）求抛物线的方程；（2）求的最小值．19．（17分）对于正整数m ，n ，存在唯一的自然数a ，b ，使得，其中，我们记．对任意正整数，定义的生成数列为，其中．（1）求和．（2）求的前3项．1A EC ⊥11ACC A 111AA A B =1A EC 111A B C 2:2(0),(2,1)Γy px p M =>M 12,l l 1l Γ2,,A B l ΓM ||AB =ΓAC DBm an b =+,0,a b n b ∈<∈N N …(,),(,)a D m n b M m n ==i i {}()n T i ()n T i =()()11,3,33n n n M i M i ---(2024,9)D (2024,9)M {}(100)n T（3）存在，使得，且对任意成立．考虑的值：当时，定义数列的变换数列的通项公式为当时，定义数列的变换数列的通项公式为若数列和数列相同，则定义函数，其中函数的定义域为正整数集．（ⅰ）求证：函数是增函数．（ⅱ）求证：．0n 0()0n T i ≠0,()0n n n T i >=0()n T i 0()1n T i ={}()n T i {}()nT i '002,,()(),.n n n n T i T i n n '=⎧=⎨≠⎩0()2n T i ={}()n T i {}()n T i '01001,1,()(),1,0, 1 1.n n n n T i T i n n n n n '-=+⎧⎪=<⎨⎪=>+⎩或…{}()n T i '{}()n T j ()f i j =()f i ()f i (())3f f i i =浙江强基联盟2024年5月联考高二数学参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案BCADCDCA1．，所以选B ．2．，所以选C ．3．因为，所以选A ．4．因为，所以原式，即选D ．5．因为，所以．故选C ．6．上、下底面的半径分别为1和3，所以侧面积为，即选D ．7．充分性：若是等差数列，则．必要性：若，则，两式相减得，即，所以是等差数列．故选C ．8．首先是3的倍数的情况包括，所以概率为0.4．T 是3的倍数的情况数为，所以概率为0.6．故选．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案BCDBDACD9．设圆心到直线的距离为，则，即，所以选BCD ．10．取，排除，再取，排除，所以选BD ．(3,3),{0,1,2,3},{0,1,2}A B A B =-=⋂=2202936x y y x -=⇒=±205324a a b m m =+⋅=++⇒=-1231i ii i i (11)i (11)0kk k k k k +++++++=-+-=1=2()014x y xy +<=…222()343[1,4)x y xy x y xy xy +-=+-=-∈2π(13)416π2⨯+⨯={}n a ()11111(1)(1)(1)n a n a a n a nd na n n d ++-=+-+=+-=n na 11(1)n n a n a na ++-=121(1)n n a na n a +++=+2n na +-11(1)(1)n n n n a n a na ++-=+-212n n n na na na +++={}n a 35()C 10,n S Ω=={3,4,5},{2,3,4},{1,3,5},{1,2,3}1214C C 6=A (2,1)-y kx =d 0d (2)2||94AB d +=4||6AB ……0α=A 0β=C11．A ．，则，满足条件．B ．，则，不满足条件．C ．，显然成立．D ．，，满足条件．故选ACD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．40131412．13．不妨设，所以，代入得，化简得．14．因为，所以．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）函数，导函数，切点为，切线斜率为1，所以切线方程为．………………………………………………………………………………4分（2）函数，导函数，所以单调递增区间为，单调递减区间为，．极大值为，极小值为．………………………………………………………………13分()f x =1()22(1)f x f f x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭2()1xf x x =+2221122()12(1)11111x x xf x f f x x x x x x⎛⎫+=+=== ⎪++⎝⎭++…min 1()cos π,()1(1),()2(1)f x x f x f f x f f x ⎛⎫==-=∴+⎪⎝⎭ (11)()e ,(0,),2,2xf x x x x x x=∈+∞∴+∴- (1)21()e e e e 2e 2(1)x x x x f x f f x -⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭ (12)225240C =(,0),(0,)A a M a 2,33a a N ⎛⎫⎪⎝⎭224199a b +=e =2()()y x y z y z k x y z z x y ++=+++ (21)2222y z y z y z z z x y z y z z y z +++=+-+++ (1)2-2e xy x =+e 2xy x '=+(0,1)1y x =+2ex x y =(2)e x x x y '-=(0,2)(-∞0),(2,)+∞24(2)e f =(0)0f =16．【解析】（1）当且仅当前两次摸到2个黑球即可，于是………………………………5分（2）因为，所以的分布列为123．………………………………………………………………………………15分17．【解析】（1）连接，交于点，再连接EM （图略），则M 为的中点．因为，所以，同理可证．又因为，所以平面，所以平面平面………………6分（2）两个平面的一个法向量分别为和，所以所成二面角的大小为……15分18．【解析】解法一：（1）设直线，联立得，所以．…………………………………………………………………3分又因为是中点，所以，………………………………………………………………………………6分代入化简得，解得．故抛物线的方程为．……………………………………………………………………………8分（2），………………………………………………10分因为2224C 1.C6P ==212211(1),(2),(3)424336P X P X P X =====⨯===X X P1213161235()2363E X =++=1AC 1AC M 1AC 1A E CE =1EM A C ⊥1EM AC ⊥11AC A C ⊥1AC ⊥1A CE 1A EC ⊥11,ACC A 1C A 1C C 145.AC C ︒∠=()()1122:2(1),,,,AB x m y A x y Bx y -=-22,2,x my m y px =-+⎧⎨=⎩22240y pmy pm p -+-=12122,24y y pm y y pm p +==-(2,1)M 1212y y pm +==2||AB y =-===()2(1)4310p p p --+=1p =Γ22y x =()()AC DB MC MA MB MD =-- ||||||||MC MD MA MB MC MD MA MB =--=+||||1MA MB =-，………………………………………………………………12分同理，…………………………………………………………………………14分所以，当且仅当时，等号成立，即所求最小值为12．……………………………………………………17分解法二：（1）设直线AB 的倾斜角为，再设A ，B 的坐标都为，代入抛物线方程得，化简得．因为是AB 的中点，所以，即．又因为将代入化简得，即，所以抛物线的方程为．………………………………………………………………8分（2），而，所以CD 的倾斜角为或，同理可求得，即，当且仅当或时，等号成立，即所求最小值为12．…………………………………………17分19．【解析】（1），所以．……………………4分（2）()()()()()2212121211111m y ym y y y y =+--=+-++()()221|2421|31m m m m =+--+=+21||||31MC MD m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()22221131313212AC DB m m m m ⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ …1m =±θ(2cos ,1sin )t t θθ++2(1sin )2(2cos )t p t θθ+=+22sin2(sin cos )140t t p p θθθ+-+-=M 120t t +=tan p θ=12t t =-=22222tan sin 1tan 1p pθθθ==++()2(1)4310p p p --+=1p =Γ22y x =()()AC DB MC MA MB MD MC MD MA MB =--=-- 1223,sin MA MB t t AB CD θ-=-=⊥π2θ-π2θ+23cos MC MD θ-= 223312sin cos AC DB θθ=+=…π4θ=3π4θ=202422498=⨯+(2024,9)224,(2024,9)8D M ==123(100,3)(100,1)(100,9)(100,3)(100)1,(100)0,(100)13M M M M T T T --====．…………………………………………………………………………7分（3）（ⅰ）对任意正整数，总有，且一定存在，使得，此时有，即当时，．因为，所以，又，所以，所以．因为．若和的变换数列分别为和，且，数列满足，且当时，，数列满足，且当时，．当时，，则．当时，若，则．若，(100,27)(100,9)29M M -==i (,1)0M i =0n 013n i ->()0,3n M i =()01,3n M i i -=0n n >()0n T i =()0,33n n M i <…()()()11,3,33,33n n n n D M i D --<=()()()11,3,3,3nn n M M i M i --=()()()()111,33,3,3,3n n n n n M i D M i M i ---=+()()1(),3,3{0,1,2}n n nT i D M i -=∈()()()()()()()00000112,3,3,3,3,3((,9)n n n n n i M i M i M i M i M i M i ---==-+-++ 000012121(,3))((,3)(,1))3()3()3()()n n n n M i M i M i T i T i T i T i ----+-=++++ (){}1n T i (){}2n T i (){}1n T j (){}2n T j 12i i <(){}1n T i ()110n T i ≠1n n >()10n T i =(){}2n T i ()220n T i ≠2n n >()20n T i =12n n <()()()()11111211111121333n n n n i T i T i T i T i ---=++++ ()1111211123239312312323nn n nn j j --<+++++=⨯-<⨯⨯< …12n n =()()12121n n T i T i ==()()()111121111121333,n n n i T i T i T i ---=++++ ()()()222122222121333,n n n i T i T i T i ---=++++ ()()()1111211111212333,n n n j T i T i T i ---=⨯++++ ()()()2221222221212333,n n n j T i T i T i ---=⨯++++ 21210j j i i -=->()()12122n n T i T i ==()()()1111211111212333,n n n i T i T i T i ---=⨯++++ ()()()2221222221212333,n n n i T i T i T i ---=⨯++++ ()()()11112111112133330,n n n j T i T i T i --=+++++则，所以是增函数．若，则，与矛盾，所以这种情况不存在．若，则，所以是增函数．…………………………………………………………………………………………12分（ⅱ）若数列的变换数列为，数列的变换数列为，即证．数列满足，且当时，．若，则，若，则，，．综上，．…………………………………………………………………………………………17分()()()22212222212133330,n n n j T i T i T i --=+++++ ()212130j j i i -=->()f i ()()12122,1n n T i T i ==1111111223323232n n n i i --⨯>+⨯++⨯+ ……12i i <()()12121,2n n T i T i ==1221223233n nn i j j +⨯=⨯<……()f i {}()n T i {}()n T j {}()n T j {}()n T k 3k i ={}()n T i 0()0n T i ≠0n n >()0n T i =0()1n T i =0001212133()3()()n n n i T i T i T i ---=++++ 00012121233()3()(),n n n j T i T i T i ---=⨯++++ 0001212133()3()3()0 3.n n n k T i T i T i i--=+++++= 0()2n T i =00012121233()3()()n n n i T i T i T i ---=⨯++++ 0001212133()3()3()0n n n j T i T i T i --=+++++ 00012121233()3()3()03n n n k T i T i T i i --=⨯+++++= (())3f f i i =。

安徽省合肥市六校联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题

安徽省合肥市六校联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、填空题13．函数()()ln 1f x x =+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为___________.14．二项式5(13)(12)x x +-的展开式中的4x 项的系数为___________.15．如图，一圆形信号灯分成A ，B ，C ，D 四块灯带区域，现有4种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为___________.16．已知数列{}n a 满足()*1,1log 1,2,n n n a n n n N=ì=í+³Îî，定义使123k a a a a ××L （*k N Î）为整数的k叫做“幸福数”，则区间[]1,2022内所有“幸福数”的和为_____．(2)当C 选在何处时运输时间最短？21．已知数列{}na 的前n 项和为n S ，当*N n Î时，22n n S a +=；数列{}nb 中，11b =.直线x y -+10=经过点()1,n n P b b +．(1)求数列{}{}nn a b 、的通项公式n a 和n b ；(2)设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求2022n T <的最大整数n ．22．设函数()e 2x f x ax =--(1)求()f x 的单调区间(2)若1a =，k 为整数，且当0x >时()()10x k f x x ¢-++>，求k 的最大值所以()g x 在(0,)+¥上的最小时为()g a ，又由'()0g a =，可得e 2a a =+，所以 ()1(2,3)g a a =+Î，由于①等价于()k g a <，故整数k 的最大值为2.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．答案第161页，共22页。

安徽省六安市三校联考2022-2023学年高二下学期5月期中考试数学试题

安徽省六安市三校联考2022-2023学年高二下学期5月期中
考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
C ．无论是有放回的抽取还是无放回的抽取，X 的数学期望()E X 相等
D ．无论是有放回的抽取还是无放回的抽取，X 的方差相等()D X 相等11．下列说法正确的是（）
A ．从含有2件次品和98件正品的100件产品中任取2件，则至少取到1件次品的取
法有1
1299
C C ×种B ．甲乙等6名同学和1名老师站成一排照相，则老师必须站在最中间且甲乙必须站在一起的站法有192种
C ．将10个“三好生”名额分给4个班级，每班至少1个名额，共有84种分法
D ．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个，共有150种放法12．已知()()e x f x x a x a =-++，x ÎR ，a 是参数，则下列结论正确的是（）A ．若()f x 有两个极值点，则2a >B ．()f x 至多2个零点C ．若2a >，则()f x 的零点之和为0
D ．()f x 无最大值和最小值
即()g x 在()0,¥+上的最小值为0，故实数a 的取值范围(],0¥-.
【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题(1)分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．(2)函数思想法
第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．。

2022-2023学年北京市通州区高二下学期期中质量检测数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市通州区高二下学期期中质量检测数学试题一、单选题1．书架上层放有4本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从书架上任取数学书和语文书各1本，不同取法的种数为（）A ．9B ．12C ．20D ．24【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理计算可得结果.【详解】分两步完成：第一步，从上层取1本数学书，有4种不同的取法；第二步，从下层取1本语文书，有5种不同的取法，由分步乘法计数原理得共有4520⨯=种不同的取法.故选：C2．计算：25A 3!⨯=（）A ．30B ．60C ．90D ．120【答案】D【分析】根据排列数公式计算可得结果.【详解】25A 3!⨯=()5!3!5!5432112052!⨯==⨯⨯⨯⨯=-.故选：D3．二项式()32x +的展开式为（）A ．32668x x x +++B ．326128x x x +++C ．321268x x x +++D ．3212128x x x +++【答案】B【分析】由二项式定理求解.【详解】二项式()32x +=031222333333C C 2C 2C ×2x x x +⨯+⨯+，326128x x x =+++.故选：B4．已知()801228888881C C C C x x x x +=++++ ，则028888C C C +++= （）A ．127B ．128C ．255D ．256【答案】B【分析】分别令=1x -和1x =，两式相加即可求解.【详解】令=1x -得，012888880C C C C =-+-+ ；令1x =可得，8012888882C C C C =++++ ；两式相加可得，02888882C C (C 2)+++= ，所以0287888C C C 2128+++== ，故选：B.5．已知函数()2f x x =，则()()11limx f x f x∆→+∆-=∆（）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D【分析】根据导数的定义计算可得结果.【详解】()()011lim x f x f x ∆→+∆-=∆()2011lim x x x∆→+∆-=∆()202lim x x x x ∆→∆+⋅∆=∆()0lim 22x x ∆→∆+=.故选：D6．已知函数()f x 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()()()0321f f f '''<<<B ．()()()1230f f f <<''<'C ．()()()0123f f f ''<'<<D ．()()()3210f f f <<''<'【答案】A【分析】根据函数()y f x =的图象结合导数的几何意义可得答案.【详解】由函数()y f x =的图象可知，函数()y f x '=在(0,)+∞上为减函数，且()0f x '>，所以()()()0321f f f '''<<<.故选：A7．下列运算正确的是（）A ．()2cos 2sin x x '-=+B ．()32e 3e x xx x '=C ．ln 122x x'⎛⎫=⎪⎝⎭D ．()21111x x '⎛⎫=- ⎪-⎝⎭-【答案】C【分析】根据导数公式表以及导数的运算法则运算可得答案.【详解】()()2cos 0cos sin x x x ''-=-=，故A 不正确；()()()333e ee xxx x x x '''=⋅+⋅()23233e e 3e x x x x x x x =+=+，故B 不正确；()ln 11ln 222x x x '⎛⎫'=⋅=⎪⎝⎭，故C 正确；()()()220111111x x x x ''--⎛⎫== ⎪-⎝⎭--，故D 不正确.故选：C8．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()f x 的图像如图所示，下列结论错误的是（）A ．当1x <-时，()0f x '<B ．当=1x -时，()'0f x =C ．当2x =时，()f x 取得极大值D ．当2x =时，()f x 取得最大值【答案】D【分析】由()f x 的图像得到函数的单调区间，即可得到1x =-和2x =为()0f x '=的两根，结合函数极值的定义分别判断各个选项即可.【详解】由()f x 的图像可知()f x 在(),1-∞-上单调递减,()0f x '∴<，A 正确；由()f x 的图像可知()f x 在(),1-∞-和()2,+∞上单调递减,在()1,2-上单调递增，所以()f x 在1x =-处取得极小值，在2x =处取得极大值，所以()10f '-=，B 正确,C 正确;()f x 在2x =处()f x 取得极大值，但不是()f x 的最大值，故D 错误.故选：D.9．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是1.22πr 分，其中r （单位：cm ）是瓶子的半径，已知每出售1mL 的饮料，可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm ，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为（）A ．4.5cm B ．5cmC ．5.5cmD ．6cm【答案】D【分析】写出利润关于r 的函数，利用导函数求出利润最大时的r 的取值.【详解】设每瓶饮料获得的利润为()f r ，依题意得，33224π2π6π()0.3 1.2π(06)35r r r f r r r -=⨯-=<≤，26π12π6π(2)()55r r r r f r --'==，于是02,()0r f r '<<<，()f r 递减；26,()0r f r '<≤>，()f r 递增，2r =是极小值点，于是在(]0,6r ∈，只可能6cm r =使得()f r 最大.故选：D10．若函数()23f x ax x=-在区间[)1,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】B【分析】转化为()0f x '≤，即332a x≤-在区间[)1,+∞上恒成立，求出不等式右边的最小值可得答案.【详解】23()2f x ax x '=+，因为()f x 在区间[)1,+∞上单调递减，所以()0f x '≤，即2320ax x +≤在区间[)1,+∞上恒成立，所以332a x≤-在区间[)1,+∞上恒成立，因为1x ≥，所以33322x -≥-，则32a ≤-.故选：B二、双空题11．一质点A 沿直线运动，位移y （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为()221y t t =+，则12t ≤≤这段时间内的平均速度为m/s ；2s t =时的瞬时速度为m/s ．【答案】68【分析】先利用平均速度的计算公式求解平均速度，再求出()y t 的导数，将2t =代入计算可得答案．【详解】22Δ221(211)6y =⨯+-⨯+= ，211t ∆=-=，∴物体在12t ≤≤这段时间内的平均速度()Δ66m/s Δ1y t ==，2()21y t t =+ ，则()4y t t '=，当2t =时，()2y '8=，即质点在2t =时的瞬时速度为()8m/s ，故答案为：6；8．三、填空题12．已知函数()ln f x x x =，则()f x 单调递减区间为．【答案】1(0,)e【分析】解不等式()0f x '<，可得()f x 单调递减区间.【详解】()ln 1f x x '=+，令()()100e f x x f x '<⇒<<⇒在1(0,)e 上单调递减.故答案为：1(0,)e四、双空题13．已知()()523456012345621x x a a x a x a x a x a x a x -+=++++++，则0a =；5a =．【答案】－23【分析】令0x =可得0a ，根据组合知识，5个1x +中取四个提供x 与x 相乘，也可5个1x +中取5个提供x 与2-相乘，合并同类项可得5a .【详解】令0x =，则50(02)(01)2a -+=-=，即02a =-；根据组合知识，含5x 的项为：55445552C C 13x x x x -+⋅=，即53a =.故答案为：2-；3.五、填空题14．从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，则其中奇数的个数为．【答案】84【分析】根据题意，分从0，2，4中选出的数字没有0和有0，利用排列和组合结合分类计数原理求解.【详解】解：由题意，分2类讨论：第一类是从0，2，4中选出的数字没有0，则从2，4中任取2个数字有22C 种方法，从1，3，5中任取2个数字有23C 种方法，则组成没有重复数字的四位奇数有22132323C C C A 36=个，第二类是从0，2，4中选出的数字有0，则从2，4中任取1个数字有12C 种方法，从1，3，5中任取2个数字有23C 种方法，则组成没有重复数字的四位奇数有1211223222C C C C A 48=个，则共有364884+=个符合条件的奇数，故答案为：8415．已知函数()()220f x x x =+≥，()()e 0xg x a a -=>，给出下列四个结论：①若[]01,2x ∈，则()0ea g x ≥；②若函数()()()h x f x g x =-，则()h x 在区间[]1,2上单调递增；③若关于x 的方程()()0f x g x -=在区间[]0,1上无解，则3e a >；④若点M ，N 分别在函数()f x 和()g x 的图象上，则一定存在M ，N 关于直线y x =对称.其中所有正确结论的序号是．【答案】②④【分析】对于①：求导分析()g x '的符号，()g x 的单调性，即可判断①是否正确；对于②：2()()()2e xah x f x g x x =-=+-，求导分析单调性，即可判断②是否正确；对于③：若()()0f x g x -=在[]0,1上无解，2(2)e x x a +=在[]0,1上无解，即可判断③是否正确；对于④：由于点M ，N 分别在函数()f x 和()g x 的图象上，设2(,2)M t t +，0t ≥，若点M 与点N 关于y x =对称，则2(2N t +,)t ，进而可得2(2)e tt a -+=，即22e ta t +=在(0,)+∞上有解，即可判断④是否正确.【详解】对于①：2e ()e (e )e xx x x a a ag x '-⋅-⎡⎤=='=⎢⎥⎣⎦，因为0a >，所以当,()0x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，若[]01,2x ∈，则()()()021g g x g ≤≤，所以()02e ea a g x ≤≤，故①错误；对于②：2()()()2e xa h x f x g x x =-=+-，2e ()22(e )ex x x a ah x x x -=-=+'，若12x ≤≤，则()0h x '>，()h x 单调递增，故②正确；对于③：若()()0f x g x -=在[]0,1上无解，则22e 0x x a -+-=在[]0,1上无解，所以()22e xx a +=在[]0,1上无解，设()()22e xp x x =+，[]0,1x ∈，222()2e (2)e (22)e [(1)1]e 0x x x x p x x x x x x =++=++=++>'，所以()p x 在[]0,1上单调递增，所以(0)()(1)p p x p ≤≤，所以2()3e p x ≤≤，所以02a <<或3e a >，故③错误；对于④：因为点M ，N 分别在函数()f x 和()g x 的图象上，所以设2(,2)M t t +，0t ≥，若点M 与点N 关于y x =对称，则2(2N t +,)t ，又点N 在()g x 图象上，则2(2)e t t a -+=，所以22e ta t +=在(0,)+∞上有解，令22()e tu t t +=，0t ≥，2222222()e e 2(21)e 0tttu t t t t +++=+⋅=+>'，所以在(0,)+∞上，()u t 单调递增，所以()(0)0u t u ≥=，又0a >，所以方程22e t a t +=在(0,)+∞上有解，故④正确．故答案为：②④．六、解答题16．从4名女生3名男生中选出3名学生去参加一项创新大赛．(1)选出3名学生中，恰有1名男生的选法有多少种？(2)选出3名学生中，既有女生又有男生的选法有多少种？(3)选出3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有多少种？【答案】(1)18(2)30(3)25【分析】（1）根据分步乘法计数原理计算可得结果；（2）分两类计数再相加可得结果；（3）分三类计数再相加可得结果.【详解】（1）从3名男生中选出1名的选法有13C 3=种，从4名女生选出2名的选法有24C 6=种，所以选出的3名学生中，恰有1名男生的选法为1863=⨯．（2）选出的3名学生中，有1名女生2名男生的选法有1243C C 12=种，有2名女生1名男生的选法有2143C C 18=种，所以选出的3名学生中，既有女生又有男生的选法为121830+=种．（3）选出的3名学生中，女生中的甲在内且男生中的乙不在内的选法有25C 10=种；女生中的甲不在内且男生中的乙在内的选法有25C 10=种；女生中的甲在内且男生中的乙也在内的选法有15C 5=种，所以选出的3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法为1010525++=种．17．已知二项式为72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(1)求该二项式的展开式的中间两项；(2)求该二项式的展开式中3x 项的系数.【答案】(1)560280x x-；(2)84【分析】（1）根据题意得到72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的中间两项为第4项和第5项，然后代入二项式展开式的通项公式即可求解；（2）先写出二项式展开式的通项，然后根据题意求出k 的值，代入即可求解.【详解】（1）因为二项式为72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的中间两项为第4项和第5项．所以72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第4项是()33337334317721C C 2280T x x x x x -+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．第5项是()44447443417721560C C 2T x x x x x -+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）因为二项式为72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以展开式的通项是()772772C 2C kk k kk kxxx --⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭．根据题意，得723k -=，所以2k =．所以72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是()7222C 84-=．18．已知函数()3113f x x x =-+．(1)求()f x 的极值；(2)求()f x 在区间[]0,2上的最大值和最小值．【答案】(1)极大值为53；极小值为13(2)最大值为53，最小值为13．【分析】（1）求出函数导数，得出()0f x '=的根，列表即可得解；（2）根据函数单调性及极值求函数最大最小值即可.【详解】（1）因为()3113f x x x =-+，定义域为(),-∞+∞，所以()21f x x '=-．令()0f x '=，解得1x =-，或1x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．x(),1-∞-－1()1,1-1()1,+∞()f x '＋0－0＋()f x 单调递增53单调递减13单调递增所以，当1x =-时，()f x 有极大值，且极大值为()513f -=；当1x =时，()f x 有极小值，且极小值为()113f =．（2）由（1）知，()f x 在区间[]0,2上有极小值为()113f =．因为()01f =，()523f =．所以()f x 在区间[]0,2上的最大值为53，最小值为13．19．已知函数()e xx af x -=，R a ∈．(1)若()04f '=，求a 的值；(2)当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(3)若()f x 在2x =时取得极值，求a 的值.【答案】(1)3a =(2)y x =(3)1a =．【分析】（1）首先求导得()1e xx af x -+'=，根据()04f '=即可解出a 值；（2）代入0a =得()e xxf x =，求出其导数()1e x x f x -'=，计算出切点纵坐标和切线斜率即可得到切线方程；（3）由题意代入()20f '=，解出1a =，再证明1a =时，()f x 取得极值.【详解】（1）因为()e x x af x -=，定义域为(),-∞+∞，所以()()()2e e 1e e x xxxx a x af x ---+'==．因为()04f '=，所以14a +=．所以3a =．（2）当0a =时，()e xxf x =．所以()1e xx f x -'=．所以()00f =，()01f '=．所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =．（3）因为()f x 在2x =时取得极值，所以()20f '=，即120a -+=，所以1a =．当1a =时，()2e xx f x -'=．令()0f x ¢>，即20x ->，得2x <；令()0f x '<，即20x -<，得2x >．所以()f x 在区间(),2-∞上单调递增，在区间()2,+∞上单调递减．所以()f x 在2x =时取得极大值，符合题意．所以1a =．20．已知函数()()242ln f x x a x a x =+--，a R ∈．(1)求()f x 的单调区间；(2)当1a =-时，求证：1x ∀，[]21,4x ∈，恒有()()1222ln 2f x f x -+≤．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导()()()22x x a f x x '-+=，再分22a -=，02a -≤，022a <-<，>22a -讨论求解；（2）由1a =-时，()252ln f x x x x =-+，利用导数法求得当[]1,4x ∈时()f x 的最值即可得到证明.【详解】（1）解：因为()()242ln f x x a x a x =+--，定义域为()0,∞+，所以()()()()()224222224x a x a x x a a f x x a x x x+---+=+--='=．令()0f x '=，解得2x =，或2a x =-．①当22a -=，即4a =-时，()0f x '≥．所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增．②当02a -≤，即a ≥0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．x ()0,22()2,+∞()f x '－0＋()f x 单调递减极小值单调递增所以()f x 在区间()0,2上单调递减，在区间()2,+∞上单调递增．③当022a <-<，即40a -<<时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．x 0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭2a -,22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭2()2,+∞()f x '＋0－0＋()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以()f x 在区间0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2,+∞上单调递增，在区间,22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．④当>22a -，即4a <-时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．x ()0,222,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭2a -,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭a ()f x '＋0－0＋()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以()f x 在区间()0,2和,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭a 上单调递增，在区间2,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．综上所述，当a ≥0时，()f x 的单调递增区间是()2,+∞，单调递减区间是()0,2；当40a -<<时，()f x 的单调递增区间是0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2,+∞，单调递减区间是,22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当4a =-时，()f x 的单调递增区间是()0,∞+，无递减区间；当4a <-时，()f x 的单调递增区间是()0,2和,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭a ，单调递减区间是2,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）当1a =-时，()252ln f x x x x =-+．当[]1,4x ∈时，由（1）知，()f x 在区间()1,2上单调递减，在区间()2,4上单调递增．所以()f x 在区间[]1,4上的最小值是()262ln 2f =-+．因为()14f =-，()444ln 2f =-+．所以()()14f f <.所以()f x 在区间[]1,4上的最大值是()444ln 2f =-+．所以1x ∀，[]21,4x ∈，恒有()()()()124222ln 2f x f x f f --=+≤．【点睛】关键点点睛：对于含参求单调区间问题，一般是求导后分两类：第一类是能因式分解的根据根的大小分情况讨论，第二类是不能因式分解的，转化为二次函数，利用根的分布讨论求解.21．已知函数()e 1x f x =-．(1)求()f x 的零点；(2)设()()g x f x ax =-，R a ∈．（ⅰ）若()g x 在区间()0,∞+上存在零点，求a 的取值范围；（ⅱ）当0a >时，若()g x 在区间[]1,2上的最小值是0，求a 的值．【答案】(1)零点是0；(2)（ⅰ）()1,+∞；（ⅱ）a 的值为e 1-．【分析】（1）由()0f x =即可求解零点；（2）（ⅰ）对()g x 求导，再对a 分类讨论，判断函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解a 的范围；（ⅱ）对a 分类讨论，求出()g x 的最小值，从而可得a 的值．【详解】（1）因为()e 1x f x =-，令()0f x =，即e 10x -=，所以()f x 的零点是0；（2）（ⅰ）因为()()g x f x ax =-，所以()e 1x g x ax =--，所以()e x g x a '=-，①当0a ≤时，()0g x '>．所以()g x 在区间()0,∞+上单调递增．所以()()00g x g >=．所以()g x 在区间()0,∞+上不存在零点，不符合题意．②当0a >时，令()0g x '=，即e 0x a -=，得ln x a =．若ln 0a <，即01a <<时，ln x a >．所以()0g x '>．所以()g x 在区间()0,∞+上单调递增．又()00g =，所以()g x 在区间()0,∞+上不存在零点，不符合题意．若ln 0a >，即1a >时，令()0g x '>，得ln x a >；令()0g x '<，得ln x a <．所以()g x 在区间()0,ln a 上单调递减，在区间()ln ,a +∞上单调递增．因为()00g =，所以存在1>0x ，使得()()100g x g <=．当x →+∞，()g x ∞→+．所以存在21x x >，使得()20g x >．由零点存在性定理，存在()012,x x x ∈，使得()00g x =．所以()g x 在区间()0,∞+上存在零点．综上所述，a 的取值范围是()1,+∞；（ⅱ）当0a >时，()g x 在区间()0,ln a 上单调递减，在区间()ln ,a +∞上单调递增．所以当ln x a =时，()g x 取得极小值，也是最小值．①当ln 1a ≤，即0e a <≤时，()g x 在区间[]1,2上单调递增．所以()g x 在区间[]1,2上最小值为()1g ．所以()1e 10g a =--=．②当ln 2a ≥，即2e a ≥时，()g x 在区间[]1,2上单调递减．所以()g x 在区间[]1,2上最小值为()2g ．所以()22e 210g a =--=．所以2e 12a -=，不符合题意．③当1ln 2a <<，即2e e a <<时，()g x 在区间[]1,ln a 上单调递减，在区间[]ln ,2a 上单调递增．所以()g x 在区间[]1,2上最小值为()ln g a ．所以()ln ln e ln 10a g a a a =--=，即ln 10a a a --=．令()()2ln 1e eh a a a a a =--<<，所以()ln 0h a a '=-<．所以()h x 在区间()2e,e上单调递减．因为()e 1h =-，所以()h x 在区间()2e,e 上无零点．所以当2e e a <<时，方程ln 10a a a --=无解，不符合题意．综上所述，a 的值为e 1-．【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。

江苏省高二下学期期中联考数学试题 Word版

高二年级第二学期期中联考数学试题本试卷分试题卷和答题卷两部分。

试题卷包括1至4页；答题卷1至4页。

满分150分。

考试时间150分钟。

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等比数列中，，，则的值为( ▲ ) {}n a 11a =55a =234a a a2.双曲线虚轴的一端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率M 1221为( ▲ )A BC D 33336263.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( ▲ ) A ．68种 B ．70种 C ．72种 D ．74种所成的角为( ▲ ) αA ．120° B ．60° C ．30° D ．150°7.已知斜率存在的直线与椭圆交于两点，且与圆l 221164x y +=A B ，l 22(1)1C x y -+=：切于点.若为线段的中点，则直线的斜率为( ▲ ) P P AB PCA. B. 或 D.或中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.A 为“第一次向下的数字为偶数”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正11.如图，在棱长为2的正方体中，E 为边AD 的中点，点P 为线段上1111ABCD A B C D -1D B 的动点，设，则( ▲ )D P D B λ=12．已知分别是函数和的零点，则12,x x19．（本题12分）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为． 22⨯27(1)请完成上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析成绩是否与班22⨯001α=．级有关；(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为，ξ21．（本题12分）设，已知函数． 0a >3()(2)f x x ax =--(1)求函数的单调区间；()y f x =(2)对于函数的极值点，存在，使得，试问对任意的正数()y f x =0x ()110x x x ≠10()()f x f x =a ，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 102x x +22.（本题12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为，22221(00)x y C a b a b-=>>：，12F F ，，过的直线与双曲线的右支交于两点. 30y -=2F l C A B ，(1)求双曲线C (2)已知，若的外心的横坐标为，求直线的方程. (0)P ABP :Q 0l 2022-2023学年度高二年级第二学期期中联考数学试题答案一、单选题题号1 2 3 4 5 6 7 8 选项C D B A AC D B二、多选题题号 9 10 11 12 选项ADACDBCABC19、【解答】解：(1)由题知优秀的人数为（人），2210607⨯=所以列联表如下：22⨯成绩班级优秀非优秀合计甲班2090110乙班 40 60 100 合计60150210假设：成绩和班级无关，0H 则：>6.635,2260210(20604090)15011101002.2χ⨯⨯⨯⨯-⨯=≈根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 001α=．0H 故成绩与班级有关；------------6分(2)因为，且， ξ:2(3,)7B 3325()C (()(0,1,2,3)77k kk P k k ξ-===:所以的分布列为：ξξ0 1 2 3P 125343 150343 603438343 所以E()=0+1+2+3=.------------6分 ξ⨯125343⨯150343⨯60343⨯834367222a b c+=⎪⎩⎩双曲线的方程为；------------4分 ∴C 2213x y -=（2）由（1）知，2(2,0)F 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则，， l l 2x =A (3,B 外接圆的圆心的横坐标为0，，ABP ∆ Q (0,0)Q ∴此时，，，不合题意；------------5分 ||QA ==||QP =||||QA QP ≠当直线的斜率存在时，设直线的方程为，l l (2)y k x =-联立，得． 22(2)13y k x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩2222(31)121230k x k x k --++=设，，，，则，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 21221231k x x k +=-212212331k x x k +=-由，解得或------------7分 242222223101444(31)(123)012031123031k k k k k k k k ⎧-≠⎪--+>⎪⎪⎨>-⎪⎪+⎪>-⎩k <k >，线段的中点为， 2121222124(4)(4)3131k k y y k x x k k k +=+-=-=-- ∴AB 22262(,3131k kM k k --且12||||AB x x =-==设，由在线段的垂直平分线上，0(0,)Q y Q AB 得，得，即，------------9分 022221316031k y k k k k --=---02831k y k =-28(0,31k Q k -故，2||QP =，且， 2221||||||4QA QM AB =+||||QA QP =∴， 22222222222264663(1)5()()(31)3131(31)k k k k k k k k ++=++----化简得，解得或，------------11分 423410k k -+=1k =±k =直线的方程为，∴l (2)y x =±-即直线的方程为或．------------12分 l 20x y +-=20x y --=。

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2009学年第二学期六、八、九三校期中考试试题卷
学科：高二数学（文科）满分：120分考试时间：90分钟
考生须知：1、本卷共3页；
2、本卷答案必须做在答题卷上，做在试卷上无效；
3、答题前请在答题卷密封线内填好相关栏目。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．下列说法中正确的是（）
A 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B “ab”与“ acbc”不等价

C “220ab,则,ab全为0”的逆否命题是“若,ab全不为0, 则220ab”
D 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
2．如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）

A．（1, 0） B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）
3．平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是（）
A． y 2=－2x B． y 2=－4x C．y 2=－8x D．y 2=－16x

4、已知椭圆xym2251的离心率e=105，则m的值为（）
(A)3 (B)3或253 (C)15 (D)15或5315
5．过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么
|AB|= （）
A．8 B．10 C．6 D．4
6 已知条件:12px，条件2:56qxx，则p是q的（）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
7．函数344xxy在区间2,3上的最小值为（）

A 72 B 36 C 12 D 0
8．过点P（2，-2）且与22x-y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是（）

A．14222xy B．12422yx
C．12422xy D．14222yx
9. 若函数2()fxxbxc的图象的顶点在第四象限，则函数'()fx的图象是（）

10．抛物线2xy上一点到直线042yx的距离最短的点的坐标是（）
A．（1，1） B．（41,21） C．)49,23( D．（2，4）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11 函数xxysin2的单调增区间为
12．设A={x|x2+x－6=0}，B={x|mx+1=0}，写出BA的一个充分不必要条件__________．
13 函数3()45fxxx的图像在1x处的切线在x轴上的截距为________________

14．设圆过双曲线116922yx的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线
中心的距离是．

三、简答题（本大题共4小题，共50分）
15．（本小题满分10分）
已知命题p：关于x的方程210xmx有两个不相等的负根．．，命题q：关于x的方程

2
44(2)10xmx
无实根，若pq为真，pq为假，求m的取值范围．
16．（本小题满分12分）
已知函数23bxaxy，当1x时，有极大值3；

（1）求,ab的值；（2）求函数y的极小值

17．（本小题满分14分）
已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为
6.
（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若抛物线C与直线2kxy相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的
值.

18．（本小题满分14分）
如图1，椭圆22221(0)xyabab的上顶点为A，左顶点为BF，为右焦点，离心率22e，
过F作平行于AB的直线交椭圆于CD，两点.
（1）设点F(c,0),试求直线CD的方程（用c表示）；
（2）作平行四边形OCED，求证：E在此椭圆上．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
D A C B A A D A A A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

17
（本大题共14分）

解：（Ⅰ）由题意设抛物线方程为pxy22，其准线方程为2px，（2分）

∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离,4642pp
∴抛物线C的方程为xy82 （2分）

（Ⅱ）由282kxyxy消去y，得 22(48)40kxkx （3分）