函数的性质之---函数的对称性
函数的对称与反对称
函数的对称与反对称函数是数学中的一种重要概念，它描述了数值之间的对应关系。
在函数的研究中，对称性和反对称性是两个重要的性质。
本文将探讨函数的对称性和反对称性，并分析它们的性质和特点。
一、对称函数对称函数是指对于函数定义域内的任意两个元素x和y，如果f(x)=y，那么必有f(y)=x。
简而言之，对称函数关于对角线对称。
在几何中，对称函数可表示为关于y=x的对称。
以函数f(x)为例，如果满足f(x)=f⁻¹(x)，则称之为对称函数。
对称函数可以分为两类：偶函数和奇函数。
1. 偶函数偶函数是指对于函数定义域内的任意一个元素x，如果f(-x)=f(x)，那么该函数为偶函数。
偶函数对应的几何图形是关于y轴对称的，也就是呈现左右对称的特点。
例如，常见的偶函数有y=x²、cos(x)等。
2. 奇函数奇函数是指对于函数定义域内的任意一个元素x，如果f(-x)=-f(x)，那么该函数为奇函数。
奇函数对应的几何图形是关于原点对称的，也就是呈现中心对称的特点。
例如，常见的奇函数有y=x³、sin(x)等。
二、反对称函数反对称函数是指对于函数定义域内的任意两个元素x和y，如果f(x)=-y，那么必有f(y)=-x。
简而言之，反对称函数关于原点对称，也就是关于原点旋转180度后重合。
在几何中，反对称函数可表示为关于原点对称。
以函数f(x)为例，如果满足f(x)=-f⁻¹(x)，则称之为反对称函数。
与对称函数类似，反对称函数同样可以分为偶函数和奇函数。
1. 偶函数偶函数是指对于函数定义域内的任意一个元素x，如果f(-x)=f(x)，那么该函数为偶函数。
偶函数对应的几何图形也是关于y轴对称的，也就是呈现左右对称的特点。
例如，常见的偶函数有y=x²、cos(x)等。
2. 奇函数奇函数是指对于函数定义域内的任意一个元素x，如果f(-x)=-f(x)，那么该函数为奇函数。
奇函数对应的几何图形也是关于原点对称的，也就是呈现中心对称的特点。
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
对称性奇偶性和周期性的综合运用
函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用 一．函数的对称性 一函数)(xfy 的图象自身对称
1、轴对称 对于函数fx的定义域内任意一个x, )()(xbfxaf )(xfy图象关于直线22)()(baxbxax对称.
推论1：)()(xafxaf )(xfy的图象关于直线ax对称. 推论2：)2()(xafxf )(xfy的图象关于直线ax对称. 推论3：)2()(xafxf )(xfy的图象关于直线ax对称.
求对称轴方法：22
)()(baxbxax
2、中心对称 对于函数fx的定义域内任意一个x,
cxbfxaf2)()( )(xfy
的图象关于点),2(cba对称.
推论：bxafxaf2)()( )(xfy的图象关于点),(ba对称. 推论：bxafxf2)2()( )(xfy的图象关于点),(ba对称. 推论：bxafxf2)2()( )(xfy的图象关于点),(ba对称.
求对称中心方法：.22,2)()(ccyxbxax纵坐标横坐标
小结: 轴对称与中心对称的区别 轴对称：fa+x= fb-x中,自变量系数互为相反数内反,函数值相等差为零； 中心对称：fa+x= - fb-x+2c中,自变量系数互为相反数内反,函数值和为定值. 二两个函数的图象相互对称
1、函数)(xafy与函数)(xbfy图象关于直线2abx对称； 特别地,函数y＝fa＋x与y＝fa－x关于直线x=0y轴轴对称； 函数)(xfy与函数)(xfy图象关于y轴对称；
求对称轴方法：令a+x=b-x,得 2
abx
.
2、函数y＝fa＋x+c与y＝－fb－x+d关于点)2,2(dcab中心对称；
特别地,函数y＝fa＋x与y＝－fa－x关于点0,0原点中心对称. 函数)(xfy与函数)(xfy图象关于原点对称函数.
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性对于函数而言，它的对称性和奇偶性是一种重要的性质，可以帮助我们更好地理解和分析函数的特点。
在数学中，对称性指的是函数在某种变换下保持不变的性质，而奇偶性则是函数在自身的对称轴上的性质。
本文将重点讨论函数的对称性和奇偶性。
1. 函数的对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数的图像能够保持不变。
常见的函数对称性包括中心对称和轴对称。
1.1 中心对称性中心对称性是指函数的图像以某个点为对称中心，对称轴上的任意两点关于对称中心对称。
形式化地说，对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有中心对称性。
例如，函数f(x) = x^2是一个具有中心对称性的函数。
我们可以将其图像想象成一个抛物线，以原点为对称中心，任意一点关于原点的对称点的函数值是相等的。
1.2 轴对称性轴对称性是指函数的图像以某条直线为对称轴，对称轴上的任意两点关于对称轴对称。
形式化地说，对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有轴对称性。
举个例子，函数f(x) = sin(x)是一个具有轴对称性的函数。
我们可以将其图像想象成一条波浪线，其对称轴为x轴，任意一点关于x轴的对称点的函数值是相等的。
2. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在自身的对称轴上的性质。
奇函数和偶函数是两种常见的奇偶性。
2.1 奇函数奇函数是指函数在自身的原点上具有对称性，即对于任意的x，有f(-x) = -f(x)。
奇函数的图像关于原点对称。
举个例子，函数f(x) = x^3是一个奇函数。
我们可以观察到，任意一点关于原点的对称点的函数值是相等的，而且函数的图像关于原点对称。
2.2 偶函数偶函数是指函数在自身的对称轴上具有对称性，即对于任意的x，有f(-x) = f(x)。
偶函数的图像关于对称轴对称。
例如，函数f(x) = x^2是一个偶函数。
我们可以观察到，任意一点关于y轴的对称点的函数值是相等的，而且函数的图像关于y轴对称。
函数与方程的对称性揭示函数与方程的对称性质与应用
函数与方程的对称性揭示函数与方程的对称性质与应用在数学中，函数和方程是两个重要的概念，它们之间有着密切的联系。
通过对函数和方程的研究，我们可以揭示它们的对称性质，并将其应用于实际问题中。
本文将重点讨论函数与方程的对称性，并探讨对称性在数学和科学中的应用。
一、函数的对称性函数是一种数学对象，描述了两个集合之间的对应关系。
函数的对称性是指函数和其他几何或代数对象在空间中的对称性质。
常见的函数对称性包括奇偶性对称和周期性对称。
1. 奇偶性对称如果对于函数f(x)，当x取任意实数时，f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有奇偶性对称。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，而偶函数满足f(-x) = f(x)。
奇偶性对称可以通过函数的图像来观察，奇函数关于原点对称，而偶函数关于y轴对称。
2. 周期性对称如果对于函数f(x)，存在正常数T，使得f(x+T) = f(x)，则函数f(x)具有周期性对称。
周期性对称可以通过函数的图像来观察，函数在每个周期内的表现相同。
二、方程的对称性方程是数学中的等式，描述了数学对象之间的关系。
方程的对称性是指方程在空间中的对称性质，包括对称轴、对称中心等。
1. 对称轴对称轴是指方程图像中的一条直线，使得对称轴两侧的图像关于该直线对称。
对称轴可以是水平轴、垂直轴或斜轴。
2. 对称中心对称中心是指方程图像中的一个点，使得对称中心周围的图像关于该点对称。
对称中心可以是原点或者其他指定的点。
三、对称性的应用对称性在数学和科学中有广泛的应用。
通过利用函数和方程的对称性，我们可以简化计算过程，提高问题的解决效率。
1. 方程解的求解对称性可以帮助我们求解方程的根。
通过观察方程的对称性，可以找到方程的特殊解或者简化计算过程。
例如，在解二次方程时，我们可以利用二次函数的对称性，直接求得方程的根。
2. 图形的绘制对称性可以帮助我们绘制函数图像。
通过观察函数的对称性，我们可以根据已知的部分图像，推导出其他部分的图像。
函数的对称问题讲解
函数的对称问题讲解一、函数对称性的定义函数的对称性是指函数图像关于某条直线或某个点对称的性质。
函数的对称性可以通过函数自身的性质进行描述和刻画，例如函数在某点的导数可以描述函数图像在该点的切线斜率。
函数的对称性分为轴对称和中心对称两种，轴对称是指函数图像关于某条直线对称，中心对称是指函数图像关于某点对称。
二、函数图像的对称轴和对称中心1.对称轴：如果函数图像关于直线x=a对称，那么对于任意x，都有f(a+x)=f(a-x)，即函数在x=a处取得极值。
2.对称中心：如果函数图像关于点(a,b)对称，那么对于任意x，都有f(a+x)+f(a-x)=2b，即函数在x=a处的值等于b。
三、奇函数和偶函数的对称性1.奇函数：如果对于任意x，都有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
2.偶函数：如果对于任意x，都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
四、对称性与周期性的关系函数的对称性和周期性之间有一定的联系。
例如，如果函数f(x)是周期为T的周期函数，并且图像关于直线x=a对称，那么对于任意x，都有f(a+x)=f(a-x)，即函数在x=a处取得极值。
因此，函数的对称性和周期性是相互联系的。
五、对称性与函数最值的关系函数的对称性和最值之间也有一定的关系。
例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增或递减，并且图像关于直线x=(a+b)/2对称，那么f(x)在(a,b)上的最小值或最大值一定出现在对称轴上。
因此，函数的对称性和最值之间也是相互联系的。
六、对称性在解题中的应用函数的对称性在解题中有着广泛的应用。
例如，在求解函数的极值、最值等问题时，可以利用函数的对称性简化问题；在判断函数的单调性时，可以利用函数的对称性寻找关键点；在解决与周期性相关的问题时，可以利用函数的对称性寻找周期的规律等等。
因此，掌握函数的对称性对于解决数学问题具有重要的意义。
函数的对称性与奇偶性的判定
函数的对称性与奇偶性的判定函数是数学中的重要概念，它描述了一种输入和输出之间的关系。
在函数的研究中，对称性和奇偶性是两个常见的性质。
函数的对称性可以告诉我们函数在某个坐标轴或者某个点上是否对称，而奇偶性则指函数在自身点上的性质。
本文将介绍函数对称性和奇偶性的判定方法。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数在某个坐标轴或者某个点上保持不变的性质。
常见的对称性有关于x轴、y轴以及原点的对称性。
1. 关于x轴的对称性如果函数f(x)在x轴上对称，即对于任意x，有f(x) = f(-x)，那么称函数f(x)关于x轴对称。
这意味着函数图像关于x轴对称，即将函数图像沿x轴翻转180度后，图像与原图像完全一致。
2. 关于y轴的对称性如果函数f(x)在y轴上对称，即对于任意x，有f(x) = f(-x)，那么称函数f(x)关于y轴对称。
这意味着函数图像关于y轴对称，即将函数图像沿y轴翻转180度后，图像与原图像完全一致。
3. 关于原点的对称性如果函数f(x)在原点上对称，即对于任意x，有f(x) = -f(-x)，那么称函数f(x)关于原点对称。
这意味着函数图像关于原点对称，即将函数图像绕原点旋转180度后，图像与原图像完全一致。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在自身点上的性质，即函数在(-x, f(-x))和(x, f(x))两点上的关系。
根据函数的奇偶性，可以将函数分为奇函数和偶函数。
1. 奇函数如果函数f(x)满足对于任意x，有f(-x) = -f(x)，那么称函数f(x)为奇函数。
换言之，奇函数关于原点对称，即函数图像关于原点对称。
2. 偶函数如果函数f(x)满足对于任意x，有f(-x) = f(x)，那么称函数f(x)为偶函数。
换言之，偶函数关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。
三、对称性与奇偶性的判定方法1. 对称性的判定方法对于函数的对称性判定，可以通过以下步骤进行：Step 1：将函数f(x)与f(-x)进行比较，判断是否相等。
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性函数是一种数学工具，用于描述两个变量之间的关系。
函数的对称性与奇偶性是函数的重要性质之一，它们可以帮助我们简化函数的分析和计算。
下面将介绍函数的对称性与奇偶性的概念和特点，并通过实例来说明其应用。
1. 对称性的定义和性质函数的对称性是指函数在某种变换下保持不变的性质。
常见的对称性包括轴对称（即关于某一条轴的对称性）和中心对称（即关于某一中心点的对称性）。
1.1 轴对称性对于轴对称函数，其图像相对于某一条轴对称，也就是说，图像在镜像之后仍然保持不变。
轴对称函数可以表示为f(x) = f(-x)。
常见的轴对称函数有偶函数和周期为2π的周期函数。
1.2 中心对称性对于中心对称函数，其图像相对于某一中心点对称，也就是说，图像在中心点旋转180°之后仍然保持不变。
中心对称函数可以表示为f(x) = -f(-x)。
常见的中心对称函数有奇函数。
2. 奇偶性的定义和性质函数的奇偶性是指函数在代入负数或正数时的表现特点。
奇函数与轴对称性相关，而偶函数与中心对称性相关。
2.1 奇函数奇函数满足f(-x) = -f(x)，也就是说，当自变量取反时，函数值也取反。
奇函数的图像关于原点对称，具有轴对称性。
奇函数的常见特点是在原点处取值为零，而且在自变量为正负相等的情况下函数值相等。
2.2 偶函数偶函数满足f(-x) = f(x)，也就是说，当自变量取反时，函数值不变。
偶函数的图像关于y轴对称，具有中心对称性。
偶函数的常见特点是在y轴处取值为零，而且在自变量为相反数的情况下函数值相等。
3. 对称性和奇偶性的应用对称性和奇偶性是函数分析中常用的工具之一，它们可以帮助我们简化函数的计算和图像的绘制。
3.1 推导函数的性质通过对函数的奇偶性进行分析，我们可以推导出函数的其他性质。
例如，偶函数的奇次幂项的系数为零，奇函数的偶次幂项的系数为零。
这些推导可以帮助我们更快地分析函数的特点。
3.2 简化函数的计算对于奇函数，当我们需要计算积分、求解方程等操作时，可以从负数到正数的范围内进行计算，然后将结果乘以2即可。
高一数学《函数的对称性》知识点总结
高一数学《函数的对称性》知识点总结高一数学《函数的对称性》知识点总结一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a－x)=2b证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，∴2b－y=f(2a－x)即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上，而点P与点P'关于点A(a,b)对称，充分性得征。
推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0 定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(－x)定理 3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2a－b是其一个周期。
②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2a－b是其一个周期。
③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周期。
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称，∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：f(2b－x)+f2a－(2b－x)]=2c………………（*）又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称，∴f(2b－x)=f(x)代入（*）得：f(x)=2c－f2(a－b)+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f2(a－b)+x]=2c－f4(a－b)+x]代入（**）得：f(x)=f4(a－b)+x],故y=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周期。
函数的对称性与单调性
函数的对称性与单调性函数是数学中重要的概念之一，它描述了两个集合之间的对应关系。
在函数的研究中，对称性和单调性是两个重要的性质。
本文将探讨函数的对称性和单调性，介绍它们的概念、性质以及在数学中的应用。
一、对称性对称性是指在某种变换下，函数的图像能够保持不变或部分保持不变。
常见的对称性有轴对称和点对称两种。
1. 轴对称轴对称是指函数的图像相对于某一条直线对称。
当函数的图像在某条直线的两侧分布对称时，就具有轴对称性。
例如，函数y = f(x)在直线x = a处轴对称，当且仅当满足条件f(a + h) = f(a - h)。
轴对称的函数在图像上表现为左右对称，即左半部分的图像和右半部分的图像完全相同。
这种对称性在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如，平面几何中的线对称图形，以及物理学中的对称体系都可以用轴对称函数来描述。
2. 点对称点对称是指函数的图像相对于某一点对称。
当函数的图像关于某一点对称时，就具有点对称性。
例如，函数y = f(x)在点(x0, y0)处点对称，当且仅当满足条件f(x0 + h) = y0 - f(x0 - h)。
点对称的函数在图像上表现为上下对称，即上半部分的图像和下半部分的图像关于某一点完全对称。
点对称性在数学中有广泛的应用，例如在代数学和几何学中，点对称函数常常用于构造对称性的问题。
二、单调性单调性是指函数的自变量的增加或减少所引起的函数值的增加或减少的趋势。
一个函数可以是递增的、递减的或具有不同区间内的单调性。
1. 递增函数递增函数是指函数的自变量增加时，函数值也随之增加。
设函数y = f(x)在区间I上可导，若对于任意的x1 < x2，都有f'(x1) ≤ f'(x2)，则函数f(x)在区间I上是递增的。
递增函数在图像上表现为从左到右逐渐上升的趋势。
数学中的许多实际问题，如增长速度、收益等都可以用递增函数来描述。
2. 递减函数递减函数是指函数的自变量增加时，函数值随之减少。
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函数图像的对称性
函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。
1.函数()y f x =的图象的对称性（自身）:
定理1: 函数()y f x =的图象关于直2
a b x +=
对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-= 特殊的有：
①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=。
②函数()y f x =的图象关于y 轴对称（偶函数）)()(x f x f =-⇔。
③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ⇔关于a x =对称。
定理2：函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称
()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++
特殊的有：
① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。
② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-⇔。
③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。
定理3：（性质）
①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。
②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b ），则y = f (x)是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。
④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x 对称。
2.两个函数图象的对称性:
①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.
②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m
+=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称
③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =-
④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =--
⑤函数y = f (x)与a －x = f (a －y)的图像关于直线x +y = a 成轴对称。
函数y = f (x)与x －a = f (y + a)的图像关于直线x －y = a 成轴对称。
函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
3．奇偶函数性质
对于两个具有奇偶性的函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：
（1）满足定义式子)()(x f x f =-（偶）0)()(=-+x f x f （奇）
（2）在原点有定义的奇函数有0)0(=f
(3)当()f x 和()g x 具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么：
①函数1()()()F x f x g x =+、3()()()F x f x g x =-也为奇函数；
②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠为偶函数； ③两个偶函数之和、差、积、商为偶函数 (4)当()f x 和()g x 具有相异的奇偶性时，那么：
①1()()()F x f x g x =+、3()()()F x f x g x =-的奇偶性不能确定；
②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()()(()0)()
g x F x f x f x =≠为奇函数。
（5）任意函数)(x f 均可表示成一个奇函数[])()(21)(x f x f x g --=与一个偶函数[])()(21)(x f x f x h -+=的和。
（6）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数
（7）图形的对称性 关于y 轴对称的函数（偶函数）关于原点()0,0对称的函数（奇函数）
（8）若)(x f 是偶函数，则必有[])()(b ax f b ax f +-=+
若)(x f 是奇函数，则必有[])()(b ax f b ax f +--=+
（9）若)(b ax f +为偶函数，则必有)()(b ax f b ax f +-=+
若)(b ax f +是奇函数，则必有)()(b ax f b ax f +--=+
（10）常见的奇偶函数
简单地说： 奇函数±奇函数=奇函数， 偶函数±偶函数=偶函数，
奇函数×奇函数=偶函数，
偶函数×偶函数=偶函数，
奇函数×偶函数=奇函数.。