高等数学典型例题与解法(二)04-第50讲 【一阶线性微分方程及其解法】随堂练习题解答_9

⎰ ⎰ 第 50 讲 一阶线性微分方程及其解法练习题解答

1、求解下列一阶线性微分方程的通解：

（1） d y = 1 ； 2） d y + 1 y = sin x . d x x + y d x x x

【解】（1）视 x 为因变量， y 为自变量，则有 d x = x + y ，由一阶线性方程

d y

的求解公式可得 x = Ce y - y -1。（也可以用分离变量方法求解）.

(2) 由一阶线性方程求解公式得到 y = e - 1 d x x (⎰ sin x e 1 d x x d x + C ) = 1 (⎰sin x d x + C ) = 1 (- cos x + C ) . x x x

2、求解一阶微分方程 y ' - 2xy = 2x 3 y 2 ．

【解】 这是伯努利方程 n = 2 情形．令 z = y -1 ，则原方程方程可化为 d z - 2xz = -2x 3 ．利用一阶线性微分方程通解公式得到

d x

z = e ⎰2 x d x (⎰

(-2x 3)e ⎰-2 x d x d x + C ) = (x 2 + Ce x 2 +1) ．再将 z = y -1 代入原方程后得到原方程的通解为(Ce

- x 2 - x 2 +1) y

= 1．

3、求连续函数 f (x ) ,使它满足 f (x ) + 2 x

f (t ) d t = x 2 .【92 年研究生入学考试题】 0

【解】注意到变上限函数当 x = 0 时为 0,即 f (0) = 0 .对方程两边求导后得到

f '(x ) + 2 f (x ) = 2x .

由一阶线性微分方程的通解公式可得

f (x ) = e -⎰2d x ⎛ ⎰ 2xe ⎰2d x d x + C ⎫ = e -2 x

(⎰ 2xe 2 x d x + C ) = Ce -2 x + x - 1 . ⎪ ⎝ ⎭ 2

将初值条件 f (0) = 0 代入后得到C = 1 .故所求的函数为

2 f (x ) = 1 e -2 x + x - 1 .

2 2 ⎰