新人教八年级上册第十二章第2课时 角的平分线的判定 教案
数学人教版八年级上册角平分线的性质
角平分线的性质一、学情分析本节课选自新人教版教材《初中数学》八年级上册第十一章第三节，本节课的教学内容包括探索并证明角平分线性质定理的逆定理，会用角平分线性质定理的逆定理解决问题。
是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．角平分线的性质和判定为证明线段或角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面的学习奠定基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．二、学习目标：1、能够利用三角形全等，证明角平分线的性质。
2、能对角平分线的性质进行简单推理，解决一些实际问题。
学习重点：探索并证明角平分线的性质。
学习难点：表达文字几何命题的证明过程。
三、教学目标：知识与技能目标：1、掌握作角的平分线和作直线垂线的方法2、学握角平分线的性质情感态度目标：1、在探讨作角平分线的方法及角平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，2、培养学生团结合作精神四、概念回顾1、角平分线：从一个角的顶点引出条射线，把这个角分成两个相等的角的射线有条，这条射线叫做这个角的线。
练一练：在空白处画一个△AOB,射线OC是∠AOB的平分线，则∠AOC==2、点到直线的距离：从直线外一点到这直线的_______的长度，叫做点到直线的距离。
（1）如图1，在Rt△ACB中，点A到CB的距离是线段______，点B到AC的距离是线段______（2）如图2，在△ACB中，画出点C到AB的距离CD四、研读课文P48--49页（一）、画出你认为重点的语句，并加以理解。
（二）、完成下面练习并体验知识点的形成过程。
CBAA BC图2图11、根据下面的操作步骤进行：（1）作任意一个角∠AOB，剪下来。
（2）将∠AOB对折.记折痕为OC,即OC是∠AOB 的线。
数学人教版八年级上册角平分线上的点到角的两边距离相等。
•
反过来，到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上
A
E
F D
B
C
1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 到角的两边的距离相等的点在角平分线上。 2.怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点。
A
P B C
D C
P
B
·
E
O
动脑筋
2.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则： ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE相等？为什么？ ⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6， 求BE，AE的长和△AED的周长。
A D
B
E
C
练一练
A
E
C
B
D
在△ABC中，AC⊥BC，AD为 ∠BAC的平分线，DE⊥AB， AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。
A
Ｍ
Ｃ
Ｂ
Ｎ
Ｏ
Hale Waihona Puke 则射线ＯＣ即为所求．如果现在不能剪下这个角，只有一块 直角三角板，你能想出画这个角的平 分线吗？ 画一画，量一量，从中你有什么 新发现？你能说明其中的道理吗？O
最新人教版八年级上册数学作业课件第十二章全等三角形第17课时角的平分线(2)——判定
25°
且CD=CE，则∠DOC=______________.
3. 如图F17-3，在△ABC中，∠CAB=60°，∠CAB的平分线
AP与∠CBA的平分线BP相交于点P，连接CP. 求证：CP平分
∠ACB.
证明：如答图F17-1，过点P作PD⊥AB于点D，
作PE⊥BC于点E，作PF⊥AC于点F，则PD，PE，
于点G，EH⊥BC于点H.
∵BE平分∠ABD，∴EH=EF.
∵∠BAC=130°，∴∠FAE=50°.
∵∠BAD=80°,
∴∠Байду номын сангаасAD=∠BAC-∠BAD=130°-80°=50°.
∴∠FAE=∠CAD.∴EF=EG.∴EG=EH.
∴点E到DA，DC的距离相等.
C组
7. 如图F17-7，直线a,b,c表示三条公路，现要建一个货
PF分别是点P到AB，BC，CA的距离，
∵点P是△ABC角平分线的交点，
∴PD=PE=PF.
∴CP平分∠ACB.
4. 如图F17-4，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是点E，F，BE=CF. 求证：AD是△ABC的
角平分线.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE和△DCF都是直角三角形.
物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的
地址有
A. 一处
B. 两处
C. 三处
D. 四处
（
D）
谢
谢
（ D ）
A.有且只有1个
B.有且只有2个
C.组成∠E的角平分线
D.组成∠E的角平分线所在的直线（点E除外）
6. 如图F17-6，在△ABD中，若∠BAD=80°，C为BD延长线
人教版数学八年级上册 第十二章 12.3 角的平分线的性质 第一课时 课件(共33张PPT)
PD⊥OA，PE⊥OB，且
O
P
PD=PE
E B ∴OP是∠AOB的平分线
动脑想一想
• 我们之间就学习了三角形的角分线，之前 谈到过，三条角分线一定交于一点，不过 当时我们没有给出证明，而只是通过画图 的方法给出了印证。
• 现在我们学习了角分线的性质和判定定理， 怎样证明这个结论呢？我们先看下面的例 题。
DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（对应角相等） 即 AE平分∠BAD
动脑想一想
• 通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面 的角的平分线吗？
A
仅用尺规作图，
已知∠AOB，
求作∠AOB的
平分线
O
B
尺规法画角平分线
A M
O
NB
以点O为圆心，任意适当长度为半径画弧，
• 对折之后的折痕和 这个角有什么关系？
• 如果是木板不能对 折，该怎么平分？
动脑想一想
• 如图是一个平分角的仪器， 其中AB=AD，BC=DC，将 点A放在角的顶点，AB和 AD沿着角的两边放下，则 AC所在直线就是这个角的 平分线。
• 你能说明这是为什么吗？
动脑想一想
证明： 在△ADC和△ABC 中 AB=AD（已知） AC=AC（公共边相等）
角分线上的点到角两边的距离相等
A D
∵OC平分∠AOB，
O
P C PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
EB
动脑想一想
• 如图，要在S区建一个 集贸中心，使它到铁路、 公路的距离相等，并且 离公路与铁路的交叉处 500m，这个集贸中心应 建在哪里？
动脑想一想
• 角分线上的点到角两边的距离相等。 • 到角的两边的距离相等的点是否也在角的
最新人教版八年级数学上册第十二章《全等三角形(小结复习课)》精品教案 (2)
重点解析 4
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线.求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC.
证明：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE=DF.
又∵S△ABD= 1 AB∙DE，S△ACD= 1 AC∙DF，
2
2
B
∴S△ABD：S△ACD=AB：AC.
本题源自《教材帮》
深化练习 3
如图，点C在线段AB上，AD//EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE.试探索CF和 DE的位置关系，并说明理由.
解：CF⊥DE，证明如下： ∵AD//EB， ∴∠A=∠B. 在△ACD和△BEC中， AD=BC， ∠A=∠B， AC=BE，
∴△ACD≌△BEC（SAS）. ∴CD=EC.
E
本题源自《教材帮》
深化练习 1
（2）解：DM⊥AM，理由如下：
如图，过点M作ME⊥AD，垂足为E.
∵AB//CD， ∴∠CDA+∠BAD=180°.
又∵∠EDM=∠CDM= 1 ∠CDA，
∠EAM=∠BAM=
1
2 ∠BAD，
2 ∴∠MDA+∠MAD=
1（∠CDA+∠BAD）=90°.
2
∴∠DMA=90°.
常言道：人生就是一场修行，生活只是一个状态，学习也只是一个习惯，只 要你我保持积极向上、乐观好学、求实奋进的状态，相信不久的将来我们一定会 取得更大的进步。
最后祝：您生活愉快，事习 3
如图，点C在线段AB上，AD//EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE.试探索CF和 DE的位置关系，并说明理由.
D
（1）证明两条线段的位置关系，一般是平行、垂 直，常用全等三角形的性质或者角的平分线的性质； （2）证明两条线段的大小关系，一般是相等，常 用全等三角形的性质或者等量代换.
八年级数学上册 第十二章 全等三角形章末复习教案(新版)新人教版-(新版)新人教版初中八年级上册数学
章末复习【知识与技能】1.了解全等三角形的概念和性质,能够准确辨认全等三角形中的对应元素.2.探索三角形全等的条件,能够利用三角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式.3.会作角的平分线,了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质,会利用角的平分线的性质进行证明.【过程与方法】通过学习全等三角形的性质与条件,培养学生综合应用能力,培养学生的几何直觉.【情感态度】通过综合运用全等三角形性质和全等三角形条件以及角平分线的过程中,感受数学与生活息息相关,从而激发学数学的兴趣.【教学重点】全等三角形的性质和条件的综合应用.【教学难点】全等三角形性质、条件与其他知识的综合应用.一、知识框图，整体把握【教学说明】教师依据以上框图,带领学生一起全面回忆本章知识点.二、释疑解惑，加深理解教师针对本章易错点引导学生予以归纳并分析错因.1.寻找全等三角形的对应边和对应角时出错.例1 如图,已知△ABC≌△FED,∠C=∠D,AE=BF,指出其它的对应边和对应角.【常见错解】对应边BC与DF,AE与BF,对应角∠DFE和∠ABC.【错解分析】识图能力差,不能从重合的角度(将其中一个三角形先平移使AB与EF重合,然后沿EF翻折)来认识三角形的对应,从而无法正确找到对应边\,对应角.“SSS”掌握不熟练，自造条件用于判定三角形全等.例2 如图,AB=CD,AC和BD交于点O,若AC=BD,则∠B=∠C吗?为什么?【常见错解】∵AC=BD,∴∵AB=CD,∴△ABO≌△DCO(SSS),∴∠B=∠C.【错解分析】OA=OD,OB=OC属于自造条件,由AC=BD无法推出OA=OD,OB=OC.3.对SAS,AAS中的“夹角”“对应边”的内涵理解不清，导致用错.例3 如图,AE=AC,AB=AD,∠EAB=∠CAD.求证:∠B=∠D.【常见错解】在△ABC和△ADE中,AC=AE,∠CAD=∠EAB,AB=AD,∴△ABC≌△ADE(SAS),∴∠B=∠D.【错解分析】没有认真地结合图形来分析条件,对应角认识不明确,错把∠EAB和∠CAD 看成△ABC和△ADE的内角.三、典例精析，复习新知例4 已知,如图,AB=AC,∠BAC=∠DAE,∠ABD=∠ACE.试证明BD=CE.【分析】欲证BD=CE,结合已知条件可知,只需证明BD,CE所在的△ABD和△ACE全等.【归纳】证明两条线段相等,可通过两个三角形全等得到,首先结合图形和已知条件观察它们所在的三角形是否全等,再予以证明.2.证明两角相等.例5 如图,AB=DC,∠A=∠D.求证：∠ABC=∠DCB【分析】由AB=DC,∠A=∠D,想到如果取AD的中点N,连NB,NC,再由“SAS”得△ABN≌△D，所以BN=，∠ABN=∠∠NBC=∠NCB,再取BC中点M,连MN,则由“SSS”证得△NBM≌△NCM，推得∠NBC=∠NCB，从而使问题得证.【归纳】所证的两角没有分布在两个三角形中,所以不能直接利用两个三角形全等的性质来证明,但取AD的中点N,连BN,,把四边形分解成三角形,再用三角形知识来解题,体现了转化的思想.例6 如图,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,过D点作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.连EF交AD于G.求证:EF⊥AD.【分析】由已知条件不难看出△ADE≌△ADF,进一步易证△AGE≌△AGF或△DGE≌△DGF,从而得到∠AGE与∠AGF相等且互补,故EF⊥AD.【证明】∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴△ADE和Rt△ADF中，AD=ADDE=DF∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）∴AE=AF在△AGE和△AGF中AE=AF,∠EAG=∠FAG,AG=AG.∴△AGE≌△AGF(SAS),∴∠AGE=∠AGF.∵∠AGE+∠AGF=180°,∴∠AGE=12×180°=90°,即EF⊥AD.4.证明两线平行例7 如图,△ABC中,AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上,且DE=CD,EF=AC.求证:EF∥AB.【分析】要证EF∥AB,必须∠1=∠3,而∠1=∠2,故应有∠2=∠3,根据条件DE=CD,EF=AC,通过辅助线构造两个三角形全等来证明.【证明】分别作CM⊥AD于M,EN⊥AD交AD的延长线于N,在△EDN和△CDM中,∠END=∠CMD=90°,∠NDE=∠MDC(对顶角相等),DE=CD.∴△EDN≌△CDM(AAS),∴EN=CM.在Rt△FEN和Rt△ACM中,EF=AC,EN=CM.∴Rt△FEN≌Rt△ACM(HL),∴∠2=∠3.∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴EF∥AB.例8 如图所示,CE,CB分别是△ABC,△ADC的中线,且AB=AC.求证:CD=2CE.【分析】为了证明CD=2CE,考虑CE是△ABC底边AB上的中线,故把CE延长到F,使CF=2CE,把原来证CD=2CE转化为证明CD=CF,如此把线段“倍半”的数量关系转化为证两条线段的相等关系.【归纳】三角形中有中线时,常加倍延长中线,构造全等三角形,使边\,角条件转换,将分散的边、角集中在一些图形中,使问题易于解决.【教学说明】在讲解例题的过程中，老师引导学生回顾三角形全等和角平分线性质的知识.1.布置作业：从教材“复习题12”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学应重点突出：1.利用知识回顾与错例剖析，使学生进一步巩固和深化对所学知识的理解，建立起清晰的知识框架，形成严谨的思维习惯.2.强调转化思想的认识与应用，证明线段与角的相等可以转化成证明三角形全等去解决，实际生活中的测量问题也可以利用全等三角形知识解决.利用这一系列问题帮助学生领悟和掌握这种数学思想方法.。
人教版八年级数学上册第十二章 1 第1课时 角的平分线的性质
123456
1.如果要作已知∠AOB的平分线OC,合理的顺序是 ( ).
①作射线OC;②在OA,OB上分别截取OD,OE,使OD=OE;③分别以
D,E为圆心,大于
1 2
DE长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.
A.①②③
B.②①③ C.②③① D.③②①
关闭
C
答案
-6-
知识梳理 预习自测
1234
关闭
因为∠ACB=90E=CE.
所以AE+DE=AE+CE=AC=3 cm.
关闭
B
解析 答案
角的平分线的性质拓展应用 【例题】 如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=36 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,求DE的长.
分析:由题目条件及图形知S△ABC=S△ABD+S△BCD.因为点D是 ∠ABC的平分线上的点,且DE⊥AB,所以易想到过点D作出BC边上 的高DF,利用角的平分线的性质有DE=DF.由△ABD和△BCD的面 积,可列出等式求出DE的长.
知识梳理 预习自测
1.角的平分线上的点到角的两边的距离 相等 . 2.一般情况下,要证明一个几何命题时,可以按照以下步骤进行: (1)明确命题中的 已知 和 求证 ; (2)根据题意,画出 图形 ,并用 符号 表示已知和求证; (3)经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.
-5-
知识梳理 预习自测
解:过点D作DF⊥BC,垂足为F. ∵DE⊥AB,BD平分∠ABC,∴DE=DF. ∵S△ABC=S△ABD+S△BCD, ∴36=12·AB·DE+12·BC·DF=12DE·(AB+BC)=12DE·(18+12)=15DE. 解得DE=2.4(cm).
【人教版】八年级上册数学第12章12.3《角的平分线的性质》(人教)
4、无论你觉得自己多么了不起，也永远有人比更强;无论你觉得自己多么不幸，永远有人比你更不幸。 5、也许有些路好走是条捷径，也许有些路可以让你风光无限，也许有些路安稳又有后路，可是那些路的主角，都不是我。至少我会觉得，那些路不是自己想要的。 6、在别人肆意说你的时候，问问自己，到底怕不怕，输不输的起。不必害怕，不要后退，不须犹豫，难过的时候就一个人去看看这世界。多问问自己，你是不是已经为了梦想而竭尽全力了?
7、人往往有时候为了争夺名利，有时驱车去争，有时驱马去夺，想方设法，不遗余力。压力挑战，这一切消极的东西都是我进取成功的催化剂。 8、真想干总会有办法，不想干总会有理由;面对困难，智者想尽千方百计，愚者说尽千言万语;老实人不一定可靠，但可靠的必定是老实人;时间，抓起来是黄金，抓不起来是流水。 9、成功的道路上，肯定会有失败;对于失败，我们要正确地看待和对待，不怕失败者，则必成功;怕失败者，则一无是处，会更失败。1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。
知识点详解
证明: ∵ PD⊥OA，PE⊥OB(已知)， ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°(垂直的定义)
在Rt△PDO和Rt△PEO中 PO＝PO(公共边) PD=PE
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO(HL) ∴ ∠ POD＝∠POE ∴点P在∠AOB的平分线上
知识点详解
结论: 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
A M
C
O
人教版初中数学八年级上册第十二章 角的平分线的性质(第1课时)
如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分
∠BAC交BC于点P，若PC＝4， AB=14. （1）则点P到AB的距离为___4____.
D
B
P
A
C
提示：存在一条垂线段——构造应用.
探究新知
12.3 角的平分线的性质/
归纳总结
1.应用角平分线性质： 存在角平分线 条件 涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积 周长
利用角平分线的性质所得到的等 量关系进行转化求解
链接中考
12.3 角的平分线的性质/
如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且
∠ADC=110°，则∠MAB=（ B ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
解析：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD， ∴∠DAB=180°–∠ADC=70°.
12.3 角的平分线的性质/
2.如 图所示，D是 ∠ACG的平分线上的一点 ．DE⊥AC，
DF⊥CG，垂足分别为E，F. 求证：CE＝CF.
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中， CD CD, DE DF, ∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)， ∴CE＝CF.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上； （3）垂直距离.
O
定理的作用：证明线段相等.
A D
PC
E
B
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA， PE⊥OB，
∴PD = PE
推理的理由有三个， 必须写完全，不能
少了任何一个.
人教2011课标版 初中数学八年级上册 第十二章 12.3.1 角的平分线的性质 课件(共26张PPT)
它们是角平分线上的任意一点P到∠AOB两边的__距__离___ 这两个距离__相__等___
角平分线有什么性质呢？
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
1. 操 作 测 量 ： 取 点 P 的 三 个 不 同 的 位 置 ， 分 别 过 点 P 作
PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的
长.将三次数据填入下表：
A
D
C
p
O
E
B
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，
写出结论：___P_D_=_P__E____
结论：
角平分线的性质：角的平分线上的点
到角的两边的距离相等
如果一个点在一个角的平分线上，那么这 个点到这个角两边的距离相等。 题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
EC
∴AE平分∠DAB
你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?
根据角平分仪的制作原理怎样用直 尺和圆规作一个角的平分线？
A N
E
N
C
C E
O
M
O
B
M
如何用尺规作角的平分线？
已知:∠AOB. 求作:∠AOB的平分线.
作法：１．以Ｏ为圆心，适当
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ．
２．分别以Ｍ，Ｎ为
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公 路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度 假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？
角平分线的定义：
从一个角的顶点出发，把这个角分成 相等的两个角的射线叫做这个角的角
平分线。 B
C
O
A
B C
O
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新人教八年级上册第十二章第2课时 角的平分线的判定
【知识与技能】
1.掌握角的平分线的判定.
2.会利用三角形角平分线的性质.
【过程与方法】
通过学习角的平分线的判定，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问
题的能力.
【情感态度】
锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.
【教学重点】
角平分线的判定.
【教学难点】
三角形的内角平分线的应用.
一、情境导入，初步认识
问题1我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
【教学说明】如图所示，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，
PD=PE，那么能否得到点P在∠AOB的角平分线上呢？事实上，在Rt△OPD和
Rt△OPE中，我们利用HL可得到Rt△OPD≌Rt△OPE.所以∠AOP=∠BOP，即
点P在∠AOB的角平分线上.
二、思考探究，获取新知
三角形内角平分线是角平分线的延伸，那如何利用它来解题呢？
例1 如图O是△ABC内的一点，且O到三边AB、BC、
CA的距离OF=OD=OE.若∠A=70°,求∠BOC的度数.
【分析】由OD=OE=OF,且OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB
知，O是△ABC的三角平分线的交点，所以∠1=∠2、∠3=∠4.要求∠BOC的度
数，只要求出∠1+∠3的度数，即只要求出2（∠1+∠3）=∠ABC+∠ACB的度
数即可，在△ABC中，运用三角形的内角和定理，即可得出∠BOC的度数.
解:∵OF⊥AB,OD⊥BC,且OF=OD,
∴BO平分∠ABC,即∠1=∠2,同理可得∠3=∠4.
∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠
A)=90°+12∠A=125°.
【教学说明】求三角形中角的度数，要善于运用角平分线的性质.
例2如图①,D、E、F是△ABC的三条边上的点，且CE=BF,S
△DCE=S△
DBF
，求证：AD平分∠BAC.
【分析】由已知条件可知△DCE和△DBF的两底CE=BF,且它
们的面积相等，所以这两底上的高应该相等.因此过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,
垂足分别为M和N，则DM=DN.由角平分线的判定定理可知，AD平分∠BAC.
【证明】如图②，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC
于点N.
∵S△DCE=S△DBF,即12CE·DN=12BF·DM.
又∵CE=BF,∴DN=DM,∴点D在∠BAC的平分线上，即
AD平分∠BAC.
例3 如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°,D
是AC上一点，且AE⊥BD并交BD的延长线于点E，又AE=12BD.求证：BD
是∠ABC的平分线.
【分析】要证明BD是∠ABC的平分线，即证明∠1=∠2,可构造全等三角形，
延长AE、BC交于F，根据条件证明△ABE≌△FBE即可.
【证明】延长AE、BC交于点F.
∵AE⊥BD,∠ACB=90°,
∴∠2+∠F=∠FAC+∠F=90°,
即∠2=∠FAC.
在△BDC与△AFC中，
290FACBCACBCDACF
,
∴△BDC≌△AFC(ASA),
∴BD=AF.
又∵AE=12BD,∴AE=12AF,
∴AE=EF.
在△ABE和△FBE中，
90AEEFAEBFEBBEBE
,
∴△ABE≌△FBE(SAS).∴∠1=∠2.
即BD是∠ABC的平分线.
例4 (青海西宁中考)八年级（1）班同学上数学活动课，利
用角尺平分一个角（如图所示），设计了如下方案：
方案一：∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P置于
射线OA,OB之间.移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN,过
角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
方案二：∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的
直角顶点P介于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M，N
重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（1）方案一、方案二是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；
（2）方案一中，在PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA,PN
⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.
解：（1）方案一不可行，理由:缺少三角形全等的条件.方案二可行.
证明：在△OPM和△OPN中，
,,,PMPNOPOPOMON
∴△OPM≌△OPN(SSS).
∴∠AOP=∠BOP.
∴OP是∠AOB的平分线.
（2）此方案可行.理由：∵PM=PN,且PM⊥OA,PN⊥OB,∴P在∠AOB的角
平分线上，∴OP是∠AOB的平分线.
三、运用新知，深化理解
1.如图，已知DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC,∠BAC=40°,
∠ADG=130°,则∠DGF=________.
第1题图 第2题图
2.如图，以△ABC的两边AB,AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，
连接BE,CD交于点O，求证：OA平分∠DOE.
【答案】1.150°
2.证明：过点A分别作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N.
∵△ABD、△ACE是等边三角形，
∴AD=AB,AE=AC,
∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE,
∴△DAC≌△BAE，
∴DC=BE,
又∵S△DAC=S△BAE,
∴AM=AN.
又∵AM⊥DC,AN⊥BE,
∴OA平分∠DOE.
四、师生互动，课堂小结
1.三角形的三条角平分线的交点有且只有一个，且一定在三角形的内部.
2.证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点也在
第三条直线上.
3.在三角形内部，要找一点到三边距离相等时，只要作出两个角的角平分线，
其交点即是.
4.角平分线的判定与性质的关系：由角平分线的判定方法知这个结论的逆命
题也是正确的，即在三角形内，到三角形三边的距离相等的点是三角形三条角平
分线的交点.
1.布置作业：从教材“习题12.3”中选取部分题.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学应重视以下几点；
1.努力体现数学与生活的联系，从实际中学习新知，使学生认识这种学习方
法.
2.课堂中，可采用口答、动手做做等方式组织学生比赛，教师依据具体情形
予以点评指点，查漏补缺，使学生全方位从本质上理解知识.