飞越北极飞机航线的讨论与分析(1)汇总

飞越北极飞机航线的讨论与分析

摘要

本文研究飞机从北京飞越北极到达底特律的时间节约问题。在飞行速度恒定的条件下，转化为计算飞机航程的问题。首先，本文根据地球的不同形状的假设建立两种不同的模型，均使用了mathematica 数学软件进行了相关数据的计算和整理。

针对问题一，我们利用已有的立体几何知识，利用球面两点的距离模型和弧长计算模型，通过mathematica4.0软件求出北京至底特律原来航线的总路程

1S =14576.4km ，飞行时间1t =14.8739h ；从北京至底特律现在路线飞越北极总路

程2S =10802.8km ，飞行时间2t =11.0233h;节省时间△t =1t -2t =3.8506h ，节省3.8506h,故“北京至底特律的飞行时间可节省4小时”是合理正确的；

针对问题二，我们利用极限法模型，取用最大半径赤道半径来计算，基于模型一，通过mathematica4.0软件求出从北京至底特律现在路线飞越北极总路程1S =14642.5km ，飞行时间1t =14.9408h; 从北京至底特律现在路线飞越北极总路程2S =10814.7km ，飞行时间2t =11.0354h;节省时间△t =1t -2t =3.9054h,节省3.9054h,故“北京至底特律的飞行时间可节省4小时”是合理正确的；

所以两个模型的求解均符合题目的要求。

关键词：飞越北极，球面距离，极限法，mathematica

一.问题重述

7月1号起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北极等地。据相关部门估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。假设：飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航线会飞经10处。请对“北京至底特律的飞行时间可节省4小时”从数学上作出一个合理的解释，分地球是半径为6371km的球体和地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378km，子午线短半轴为6357km两种情况来进行讨论

二.问题分析

题中要求我们将从北京飞越北极抵达底特律的航行时间跟原来的航行路线所用时间进行比较看是否真的有节省时间。由于地球的形状会对计算球面上两点距离造成一定的影响，所以我们分地球是球体和地球是椭球体两种情况来分析。

针对第一种情况的分析：

当地球是球体时，建立空间坐标系，我们可以根据给出的经纬度，转化为三维坐标，求出点与点之间的球面距离。首先求出两点间的距离，利用解三角方程，最后求出大圆距离。再通过弧长几何知识，通过mathematica4.0数学软件，可求出飞机飞行总路程，飞机所飞行的时间。

针对第二种情况的分析

当地球是椭球体时，由于椭球体的半径难以求出准确的数据，所以为了简化问题的求解，我们使用极限法，取最长半径长度，在模型一的求解过程上来进行进一步的求解，通过mathematica4.0软件，可求出飞行的总路程和时间。

三.模型假设与符号说明

3.1.基本假设

1. 假设气压、气温、大气密度，风，云，能见度等方面的天气情况均适宜

飞机的正常航行

2.假设航行过程中气流均稳定，不会有影响航行速度的情况发生

3.假设飞机航行不会受到地球自转影响

3.2.符号说明

1.N:北极点

2.A0:北京

3.A11：底特律

4.t：飞行时间

5. S :飞行的路程

6. L ：弧长

7. l :两点之间的距离长度 8. △t ：节省的时间

四.模型建立以及求解

假设北京为0A ,底特律为11A ,北极点为N ，经查询粗略可知北京的经纬度为（

40N ， 116E ）,底特律（ 43N ， 83W ）

4.1.模型一的建立与求解

球面距离公式模型：

在平面内:两点的距离公式： 设A （X1，Y1）、B （X2，Y2），则∣AB ∣=[（X1- X2）^2+（Y1- Y2）^2] 球体中坐标系的表示A(θ,?),θ ?分别是经纬度，根据已知的立体几何知识可知点A 的坐标（x,y,z ）

图一

x=R*cos θ*cos ? y=R*cos ?*sin θ

z=R*sin ? ① 两点距离公式|21A A |=221221221)()()(z z y y x x -+-+- ② 联立①②和运用mathematica4.0数学软件， 从北京至底特律原

来

的

航

线

图二 注：最左端为A 0，最右端为A 11，中间那些点从左到右排分别是A 1到

A

10

l 距离

10A A

1138.21km 21A A 1753.23km 32A A 4523.87km 43A A 1336.63km

54A A 640.894km 65A A 1753.23km 76A A 651.254km 87A A

497.443km

在弧度制下，若弧所对的圆心角为θ，则有公式弧长L =Rθ。

图三

根据余弦定理：

22222cos R l R R -+=θ )22arccos(

2

2

2R l R -=θ 弧长L=θ*R

S =1121...

L L L +++

航线的总距离1S =14576.4km 飞行的时间 1t =14.8739h 现

在

的

路

线

为

北

京

→

北

极

点

→

底

特

律

：

图四

注：图上最左端为A 0，最右端为A 11，最上方为北极点N

l 距离 N A 0

5393.45km N A 11

5088.84km

)22arccos(2

2

2R l R -=θ,弧长L=θ*R 10+=r R =6381km （注：r 为地球

半径）

S =1121...L L L +++

航线的总距离2S =10802.8km 飞行的时间2t =11.0233h

△t =21t t -=3.8506h

故当地球是半径为6371千米的球体时，从北京抵达底特律新航线比原来航线节约了3.8506小时，也就节省将近四个小时。所以飞越北极大幅度地减少了飞行时间，也降低了飞行成本。

4.2.模型二的建立与求解

针对问题二，我们利用极限法，取最大的赤道半径来求，基于模型一，再通过mathematica4.0软件，可以求得： 从北京至底特律原来的航线：如图二

)22arccos(2

2

2R l R -=θ,弧长L=θ*R 102+=r R =6388m

S =1121...L L L +++

航线的总距离1S =14642.5km 飞行的时间 1t =14.9408h

N A 0=5399.37km N A 11=5094.42km

)22arccos(2

2

2R l R -=θ

弧长L=θ*R 102+=r R =6388m

S =...21++L L +11L

航线的总距离2S =10814.7km 飞行的时间2t =11.0354 △t =21t t -=3.9054h

4.3.重要结论

从模型的建立求解过程中，我们可以得知无论地球是球体还是椭球体，飞机从北京飞越北极到达底特律都比原本路线也节约将近四个小时，说明了飞越北极到达底特律市真的可以比原来路线节省很多时间，创造更多社会价值，也为以后开拓了更多方便简捷的航线的前景

五.模型检验

我们所设置的模型主要是球面距离的求解，而它的本质就是求出球心角。我们根据地球上AB 两点间的位置关系，即AB 经度相同，纬度不同;AB 纬度相同，经度不同；AB 纬度不同，经度也不同三种情况找点进行模型的检验。根据余弦定理，勾股定理等相关定理得出，模型基本正确。

六.模型评价

两个模型的建立的假设忽略了地球自转对飞机的影响，也忽略了地球其实是近似一个球体，它的自然表面是一个极其复杂而又不规则的曲面，由于大地水准面即地球的物理表面的不规则性，所以不应该用一个简单的数学模型来表示，因此测量的结果也不应该在地球的物理表面上进行计算。但为了降低计算的复杂程度，模型一和模型二我们均采取了纯数学表面，可以用简单的数学公式表达，而且将飞越北极简化为经过一个北极点，大大简化了模型的求解。模型一假设地球是球体，忽略地球表面，简单地将模型设置为求球面上两点间距离，也即两点间的劣弧距离，求解的过程只是运用了高中数学知识，简单明了。模型二，由于假设球体是椭球体，较模型一的建立难度大了一些，在模型一的基础上使用极限法，将赤道半径作为计算的半径其他的计算过程同模型一，两个模型缺陷就是过于简单，忽略的因素太多，限定了应用的范围。

七.模型改进与推广

模型一的建立可以考虑到地球自转时对飞机的飞行的影响，在什么情况下地偏力会让飞机飞得更快，在什么情况下会阻碍飞机的前进。这样子的模型会更为复杂也更为科学，具有代表性。而模型二，使用了极限法，进行模型的升级，我们还应找出椭球体的元素即扁率，笫一偏心率，第二偏心率等对椭球体上两点计算距离时的影响。两个模型可以推广卫星导航定位，人造卫星的应用

八.参考文献

【1】姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003 【2】全国大学生数学建模组委会，全国大学生数学建模优秀论文汇编（1992-2000），北京：中国物价出版社，2005

【3】韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005

【4】吴建国，数学建模案例精编，北京：中国水利水电出版社，2005

【5】.邓光发;计算球面距离的简便公式[J];中学数学;1999年01期

【6】吴家钦;王德兴;;球面距离的教学探讨[J];数学教学;1983年06期

【7】陈佳临;球心角——球面距离的核心[J];中学数学教学;1999年S1期【8】.邓更生;130 球面距离及其求解[J];中学数学;2001年11期

【9】.李梅;求两点间的球面距离的方法[J];数理化学习(高中版);2004年04期【10】.顾汉忠;关于球面距离的两点注记[J];中学数学月刊;2000年12期【11】丁佩;球面距离公式及其应用[J];高中数学教与学;2005年07期

【12】施哲明;球面距离公式及其应用[J];中学数学教学;1999年S1期

【13】成英燕,李夕银;适用于不同椭球的高斯平面坐标正反算的实用算法[J];测绘科学;2004年

【14】.李厚朴;边少锋;;顾及高程时计算大地距离的实用方法[A];中国测绘学会第九次全国会员代表大会暨学会成立50周年纪念大会论文集[C];2009年

附录

模型一求解的程序

两点之间的距离的求解

b90Pi180,0Pi180,40Pi180,116Pi180

For i1,i1,i,

S

N

Sqrt

6381Cos b i,1Cos b i,2

6381Cos b i1,1Cos b i1,2^2

6381Cos b i,1Sin b i,2

6381Cos b i1,1Sin b i1,2^2

6381Sin b i,16381Sin b i1,12;

Print"S",S

2,0,

2

9

,

29

45

S5393.45

弧长的求解程序

S0;r6381;

b1138.21,1753.23,4523.87,1336.63,640.894, 538.436,651.254,497.443,227.835,2788.19,346.724

For i1,i11,i,S N r ArcCos 2r2b i2

2r2

S;

Print"S",S

1138.21,1753.23,4523.87,1336.63,640.894,

538.436,651.254,497.443,227.835,2788.19,346.724 S14576.4

S0;r6381;

b5393.45,5088.84

For i1,i2,i,S N r ArcCos 2r2b i2

2r2

S;

Print"S",S 5393.45,5088.84 S10802.8