概率的定义及其性质

第二节 概率的定义及其性质

(The definition of probability and its properties)

一、概率的定义

孤立地看某个随机事件的发生，似乎没有任何规律，但是，当进行大量的重复试验以后，随机事

件发生的规律（即出现可能性）就会显现在人的面前。例如，历史上就有数学家作投掷硬币的试验，从中考察出现正面的频率。

(见书上表)

从上表中可以看到，随着投掷硬币次数的增加，出现正面次数的频率稳定地在0.5的附近摆动。这种频率逼近某个常数的性质，就客观描述了随机事件发生或出现可能性的规律，也就是随机事件出现可能性大小本身所固有的性质。由此，定义随机事件的概率。

定义1：在相同的条件下，重复进行大量的试验，若事件A 发生的频率(frequency)稳定地逼近某常数p ，称p 为事件A 发生的概率(probability)，记为P(A)，即p=P(A)。

以上定义是所谓统计性的概率定义，它基于随机事件发生频率的稳定性。它具有直观因而比较易于理解的特点。概率的严格定义是所谓公理化定义(The definition of axioms of probability)。

定义2：设

Ω是随机试验E 的样本空间，A 为E 的任意一个事件，P(A)是A 的实函数，满足：

（1）P(A) ≥ 0（非负性）；

（2） P(Ω)=1（规范性）；

（3） 若n A A A ,...,,21，…，两两互不相容，即 j i A A j i ≠Φ=,，i ，J=1，2，…，

则有)()(11∑=∑==n

i i n i i A P A P （有限可加性）;

而)()(11∑=∑∞

=∞=i i i i A P A P （可列可加性）。

由概率的定义，对任何事件A ，有1)(0≤≤A P 成立(参见下例) ；而且由（3）不难看出，0)(=ΦP ；若A ，B 为互斥事件，有P(A+B)=P(A)+P(B)。特别地，对任意事件A 有)(1)(A P A P -=。

例：设事件A 、B ，若

B A ⊂，则)()(A P B P ≥ 证明 将B 写成)(A B A B -+=A B A +=，由于右边两事件互斥，所以)()()()(A P A B P A P B P ≥+=

从上面证明，我们有公式：若B A ⊂，则有公式 )()()(A P B P A B P -=-。

上公式一般情况下不成立。如A 、B 互斥，

P(A)=0.5,P(B)=0.3,左= P(B)=0.3，右=-0.2

二、古典概型

在概率计算中，比较常见的是所谓古典概型概率计算。为此，首先定义等概完备事件组的概念。 定义3：若事件

n A A A ,...,,21满足

(1)事件n A A A ,...,,21发生的概率相等（等可能性）； (2)在每次试验中，事件

n A A A ,...,,21至少有一个发生（完备性）；

(3)在每次试验中，事件

n A A A ,...,,21只能发生其中之一（互斥性）, 称事件n A A A ,...,,21构成等概完备事件组，也称等概基本事件组。其中每一事件称为基本事件。

如果随机试验的Ω中事件满足等概完备事件组的条件，将相关的概率计算称为古典概型。由于此时任何事件A 必由若干基本事件所构成（事件A 的发生必伴随若干个基本事件发生），因此，有公式

n

m A P =)(

其中A 由m 个基本事件所构成（A 包含m 个基本事件）。

【例2】设100片装的一瓶药片中有2片次品，现从中任取4片，求取到药片中恰有1片次品的概率。 解：从100片药中任取4片药的方法共有n=

4100C

种，而其中恰有1片次品的取法有39812C C m =种，因而所求概率为 0776.0)(4100

3

9812

==C C C A P 注：若问题为至少有1片次品的概率，则答案为： 0788.01)(4

100498

=-=C C B P

【例3】设某班共有大学生40人，设每个的生日在一年365日的任何一天都是有可能的。求：（1）40人中生日全不相同的概率；（2）至少有两人生日在同一天的概率。