高中数学_不等式练习题
高中数学不等式题
高中数学不等式题一、若a>b，c>0，则下列不等式中正确的是？A. ac<bcB. ac>bcC. a/c<b/cD. a-c<b-c（答案）B解析：由于c>0，根据不等式的性质，两边同时乘以正数，不等号方向不变，所以ac>bc。
二、若x²+y²≥2xy，则下列结论中正确的是？A. x≥y 且 x>0，y>0B. x≤y 且 x<0，y<0C. (x-y)²≥0D. x+y≥0（答案）C解析：将原不等式x²+y²≥2xy进行变形，得到x²-2xy+y²≥0，即(x-y)²≥0，这是一个恒成立的不等式。
三、若a，b，c均为正数，且a<b<c，则下列不等式中不一定成立的是？A. a+b<2cB. ab<c²C. a/c<b/cD. √a<√b（答案）A解析：对于选项A，若a=1，b=2，c=3，则a+b=3，并不小于2c=6，所以A不一定成立。
而其他选项根据不等式的性质均可证明成立。
四、若x>1，y>1，则下列不等式中正确的是？A. x+y>2B. xy>1C. x/y>1D. x-y>0（答案）B解析：由于x>1，y>1，根据不等式的性质，两边同时乘以正数，不等号方向不变，所以xy>1。
而其他选项在x，y取特定值时可能不成立。
五、若a，b，c均为实数，且a<b，c<0，则下列不等式中正确的是？A. ac>bcB. a/c>b/cC. a-c>b-cD. a+c>b+c（答案）A解析：由于c<0，根据不等式的性质，两边同时乘以负数，不等号方向改变，所以ac>bc。
而其他选项在a，b，c取特定值时可能不成立。
2023学年上海市重点高中高一年级数学专项(基本不等式)好题练习(附答案)
2023学年上海市重点高中高一年级数学专项（基本不等式）好题练习一．基本不等式及其应用（共4小题）1．（2022秋•宝山区校级期中）某新建居民小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米．怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小？（结果精确到0.1米）2．（2022秋•宝山区校级期中）（1）设x＞1，求函数的最小值；（2）设x∈R，求函数y＝x（8﹣x）的最大值．3．（2022秋•浦东新区校级期中）定义min{a1，a2⋯，，a n}为n个实数a1，a2，…，a n中的最小数，max{a1，a2，⋯，a n}为n个实数a1，a2，…，a n中的最大数．（1）设a，b都是正实数，且a+b＝1，求；（2）解不等式：min{x+1，x2+3，|x﹣1|}＞2x﹣3；（3）设a，b都是正实数，求的最小值．4．（2019秋•浦东新区校级期中）已知两个正数a、b满足a+2b＝1，求的最小值．二．函数恒成立问题（共1小题）5．（2022秋•临渭区期末）已知函数f（x）＝x2+（1﹣k）x+2﹣k．（1）解关于x的不等式f（x）＜2；（2）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．（3）对任意的x∈（﹣1，2），f（x）≥1恒成立，求实数k的取值范围．三．根据实际问题选择函数类型（共19小题）6．（2022秋•浦东新区校级期末）为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场详细分析：全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本C（x）万元，且．由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．（1）请写出2022年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝售价﹣成本）（2）当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．7．（2022秋•浦东新区校级期末）2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场详细分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x百辆新能源汽车需另投入成本C（x）万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润＝销售额﹣成本）（1）求2023年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．8．（2022秋•长宁区校级期末）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱（x＞0，x∈N），需另投入成本p（x）万元．当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场详细分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获利润最大？9．（2022秋•浦东新区校级月考）双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场详细分析，每生产x（千辆）获利10W（x）（万元），该公司预计2022年全年其他成本总投入（20x+10）万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．22年的全年利润为f（x）（单位：万元）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当2022年产量为多少辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由．10．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，某研究员需要围成相同的长方形小白鼠笼四间来做观察对比实验，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围36dm长网的材料，每间小白鼠笼的长、宽各设计为多少时，可使每间小白鼠笼面积最大？（2）若使每间小白鼠笼面积为24dm2，则每间小白鼠笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间小白鼠笼的钢筋总长度最小？11．（2022秋•宝山区校级期中）某公司经过测算，计划投资A、B两个项目．若投入A项目资金x（万元），则一年创造的利润为（万元）；若投入B项目资金x（万元），则一年创造的利润为（万元）．（1）当投入A、B两个项目的资金相同且B项目比A项目创造的利润高，求投入A项目的资金x（万元）的取值范围；（2）若该公司共有资金30万元，全部用于投资A、B两个项目，且要求投资B项目的资金不超过10万元，则该公司一年至少能创造多少利润？（结果精确到0.1万元）．12．（2022秋•宝山区校级月考）某校拟建一个面积为100平方米的矩形健身区，张老师请同学们小组合作设计出使 周长最小的建造方案，下面是其中一个小组的探究过程，请补充完整．（1）列式：设矩形的一边长是x米，若周长为y米，则y与x之间的函数关系式为_____．（2）填表画图：x • 4 6 10 13 16 20 25 30 •y • 58 a 40 41 44 50 58 66 • 填表：①其中a＝_____．②描点连线，请在图中画出该函数的图象．（3）请求出周长y的最小值．13．（2021秋•黄浦区校级月考）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为5万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，其中k为能耗系数，k＞0．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和，即f（x）＝5x+20C（x）．（1）若建1cm隔热层时，每年能源消耗费用C为16万元，求此时k的值及f（x）的表达式；（2）在第（1）问的条件下，隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值；（3）在实际生产中，隔热层厚度x（单位：cm）控制在3≤x≤10之间，求总费用f（x）的最小值关于k的函数g（k）．14．（2023春•和平区校级月考）某航运公司用300万元买回客船一艘，此船投入营运后，每月需开支燃油费、维修费、员工工资，已知每月燃油费7000元，第n个月的维修费和工资支出为600（n﹣1）+3000元．（1）设月平均消耗为y元，求y与n（月）的函数关系；（2）投入营运第几个月，成本最低？（月平均消耗最小）（3）若第一年纯收入50万元（已扣除消耗），以后每年纯收入以5%递减，则多少年后可收回成本？15．（2022秋•新邵县期末）为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议．某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产．为此，该地政府决定为当地某A企业春节期间加班追产提供x万元（x∈[10，20]）的专项补贴．A 企业在收到政府x万元补贴后，产量将增加到t＝（x+2）万件．同时A企业生产t万件产品需要投入成本为）万元，并以每件（）元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额+政府专项补贴﹣成本）（1）求A企业春节期间加班追产所获收益R（x）（万元）关于政府补贴x（万元）的函数关系式；（2）当政府的专项补贴为多少万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大？16．（2022秋•徐州期末）“硬科技”是以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入、持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿、最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本1000万元，每生产x百台高级设备需要另投成本y万元，且y＝，每百台高级设备售价为160万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产展最大为10000台．（1）求企业获得年利润P（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式；（2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．17．（2022秋•青秀区校级期末）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：W（x）＝，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这水果的时常售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润f（x）（单位：元）．（1）求f（x）的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？18．（2022秋•临澧县校级期末）新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病．面对前所未知，突如其来，来势汹汹的疫情天灾，中央出台了一系列助力复工复产好政策城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔x（单位：分钟）满足：4≤x≤15，x∈N，平均每趟快递车辆的载件个数f（x）（单位：个）与发车时间间隔x近似地满足，其中x∈N．（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔x的值；（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益（单位：元），问当发车时间间隔x为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．19．（2022秋•安徽期末）2022年是不平凡的一年，由于受疫情的影响，各行各业都受到很大冲击，为了减少疫情带来的损失，某书商准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到（10﹣0.1x）万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价﹣供货价格．（1）求每套丛书利润y与售价x的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？（2）每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润．20．（2022秋•安次区校级期末）某大型企业原来每天成本y1（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为y1＝2x2+（15﹣4k）x+120k+8，为了配合环境综合整治，该企业积极引进尾气净化装置，每吨产品尾气净化费用为k万元，尾气净化装置安装后当日产量x＝1时，总成本y＝142．（1）求k的值；（2）设每吨产品出厂价为48万元，试求尾气净化装置安装后日产量为多少时，日平均利润最大，其最大值为多少．（日平均利润就是日总利润÷日产量）21．（2022秋•岳阳期末）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数M（x）（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数N（x）（单位：百万元）：．（1）设分配给植绿护绿项目的资金为x（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为y（百万元），写出y关于x的函数解析式；（2）生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出y的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？22．（2022秋•槐荫区校级期末）我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机．通过市场详细分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入可变成本R（x）万元，且R（x）＝，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．（利润＝销售额﹣固定成本﹣可变成本）．（1）求2023年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；（2）2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？23．（2022秋•九龙坡区期末）2021年11月初，新冠肺炎疫情由兰州转到天水，天水市某村施行“封村”行动．为了更好地服务于村民，村卫生室需建造一间地面面积为30平方米且墙高为3米的长方体供给监测站．供给监测站的背面靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：正面新建墙体的报价为每平方米600元，左右两面新建墙体报价为每平方米360元，屋顶和地面以及其他报价共计21600元，设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米（3≤x≤10）．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；（2）现有乙工程队也要参与此监测站的建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．24．（2022秋•浙江月考）如图，某学校为庆祝70周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为100m2的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为2800元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地面，造价为250元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/m2．设总造价为W（单位：元），AD长为x（单位：m）．（1）当x＝4m时，求草坪面积；（2）当x为何值时，W最小？并求出这个最小值．四．绝对值不等式的解法（共1小题）25．（2022秋•浦东新区期末）解不等式|2x﹣1|＞1．五．不等式的证明（共2小题）26．（2020秋•黄浦区校级期末）已知a、b都是正实数，且＝b﹣a．（1）求证：a＞1；（2）求b的最小值．27．（2021秋•徐汇区校级期中）（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，C，求证：A，B，C中至少有一个角大于或等于60°；（2）已知a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，求证：．六．反证法与放缩法证明不等式（共1小题）28．（2022秋•长宁区校级期中）已知实数a＞b＞c，a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1． （1）若，求a﹣b的值；（2）求证：；（3）用反证法证明：c＜0．参考答案一．基本不等式及其应用（共4小题）1．（2022秋•宝山区校级期中）某新建居民小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米．怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小？（结果精确到0.1米）【详细分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【名师解答】解：设矩形绿地的长度为x，宽为，人行道的占地面积S，则S＝（x+8）（+6）﹣700＝6x++48+48＝80+48≈414.4，当且仅当6x＝，即x＝时，等号成立，故绿地的长为≈30.5米，宽为23米时，人行道的占地面积最小为414.4平方米．【名师点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于基础题． 2．（2022秋•宝山区校级期中）（1）设x＞1，求函数的最小值；（2）设x∈R，求函数y＝x（8﹣x）的最大值．【详细分析】（1）构造函数的表达式为：a+类型，利用基本不等式求解函数的最小值即可．（2）化简函数的解析式，求出函数的对称轴，利用二次函数的性质求解函数的值域以及函数的最值即可． 【名师解答】解：（1）∵x＞1，∴x﹣1＞0．∴y＝x+＝x﹣1++1≥2+1＝4+1＝5，当且仅当x﹣1＝，即x＝3时，取等号．∴x＝3时，函数的最小值是5．（2）因为y＝x（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+16，函数的对称轴为：x＝4，由二次函数的性质可知，当x＝4时，最大值是16．【名师点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，注意基本不等式成立的条件，考查转化思想以及计算能力． 3．（2022秋•浦东新区校级期中）定义min{a1，a2⋯，，a n}为n个实数a1，a2，…，a n中的最小数，max{a1，a2，⋯，a n}为n个实数a1，a2，…，a n中的最大数．（1）设a，b都是正实数，且a+b＝1，求；（2）解不等式：min{x+1，x2+3，|x﹣1|}＞2x﹣3；（3）设a，b都是正实数，求的最小值．【详细分析】（1）由基本不等式放缩即可；（2）利用最小值函数定义，化简函数，分段解不等式；（3）利用最大值函数定义放缩，然后利用最值定义求最值．【名师解答】解：（1）由基本不等式，所以＝；（2）由于x2+3﹣（x+1）＝x2﹣x+2＞0，则min{x+1，x2+3，|x﹣1|}＝min{x+1，|x﹣1|}＝，当x＜0时，原不等式可化为x+1＞2x﹣2，即x＜3，结合x＜0得x＜0；当x≥0时，原不等式可化为|x﹣1|＞2x﹣3，即或，解得1≤x＜2或0≤x＜1，即0≤x＜2；综上，原不等式解集为：（﹣∞，2）；（3）设M＝，则，于是，从而，当且仅当时取等号，故的最小值为．【名师点评】本题考查基本不等式及不等式的解法，属于中档题．4．（2019秋•浦东新区校级期中）已知两个正数a、b满足a+2b＝1，求的最小值． 【详细分析】直接利用函数的关系式的恒等变换，基本不等式的应用求出结果．【名师解答】解：两个正数a、b满足a+2b＝1，故：＝1+，（当且仅当a＝b时，等号成立）．故答案为：9．【名师点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．二．函数恒成立问题（共1小题）5．（2022秋•临渭区期末）已知函数f（x）＝x2+（1﹣k）x+2﹣k．（1）解关于x的不等式f（x）＜2；（2）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．（3）对任意的x∈（﹣1，2），f（x）≥1恒成立，求实数k的取值范围．【详细分析】（1）由题意得（x+1）（x﹣k）＜0，令（x+1）（x﹣k）＝0，解得x＝﹣1或x＝k，分类讨论k＝﹣1，k＞﹣1，k＜﹣1，结合二次函数的图象与性质，即可得出答案；（2）题意转化为方程x2+（1﹣k）x+2﹣k＝0在（﹣1，1）上有两个不同的根，结合二次函数的图象与性质，列出关于k的不等式组，即可得出答案；（3）利用分离参数法，题意转化为对任意的x∈（﹣1，2），恒成立，构造函数，x∈（﹣1，2），利用基本不等式求出g（x）的最小值，即可得出答案． 【名师解答】解：（1）∵f（x）＝x2+（1﹣k）x+2﹣k，∴f（x）＜2，即x2+（1﹣k）x﹣k＜0，即（x+1）（x﹣k）＜0，令（x+1）（x﹣k）＝0，解得x＝﹣1或x＝k，当k＝﹣1时，此时（x+1）2＜0，故原不等式的解集为∅，当k＞﹣1时，不等式的解集为（﹣1，k），当k＜﹣1时，不等式的解集为（k，﹣1）；（2）函数f（x）在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，转化为方程x2+（1﹣k）x+2﹣k＝0在（﹣1，1）上有两个不同的根，∴，解得，故实数k的取值范围为；（3）f（x）＝x2+（1﹣k）x+2﹣k，对任意的x∈（﹣1，2），f（x）≥1恒成立，转化为对任意的x∈（﹣1，2），恒成立，令，x∈（﹣1，2），则k≤g（x）min，又0＜x+1＜3，则，当且仅当，即x＝0时等号成立， ∴k≤1，故实数k的取值范围为（﹣∞，1]．【名师点评】本题考查函数恒成立问题和二次函数的图象与性质、基本不等式的应用，考查转化思想、函数思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．三．根据实际问题选择函数类型（共19小题）6．（2022秋•浦东新区校级期末）为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场详细分析：全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本C（x）万元，且．由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．（1）请写出2022年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝售价﹣成本）（2）当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．【详细分析】（1）根据给定条件，分段求出C（x）的表达式，即可得出答案；（2）由（1）得，根据分段函数的性质，分类讨论0＜x＜40，x≥40求出最大值，比较大小，即可得出答案．【名师解答】解：（1）∵，∴当0＜x＜40时，L（x）＝9×100x﹣10x2﹣500x﹣2500＝﹣10x2+400x﹣2500，当x≥40时，，故；（2）由（1）得，∴当0＜x＜40时，L（x）＝﹣10（x﹣20）2+1500，∴当x＝20时，L（x）max＝1500；∴当x≥40时，，当且仅当，即x ＝80时等号成立，又3640＞1500，∴当x＝80，即2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元．【名师点评】本题考查分段函数的性质，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．7．（2022秋•浦东新区校级期末）2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场详细分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x百辆新能源汽车需另投入成本C（x）万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润＝销售额﹣成本）（1）求2023年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．【详细分析】（1）根据利润＝销售额﹣成本，分类讨论0＜x＜40，x≥40，求解即可得出答案；（2）根据分段函数的性质，分类讨论0＜x＜40，x≥40，分别求出最大值，比较大小，即可得出答案． 【名师解答】解：（1）∵，∴当0＜x＜40时，L（x）＝500x﹣10x2﹣100x﹣2500＝﹣10x2+400x﹣2500，当x≥40时，，故；（2）由（1）得，当0＜x＜40时，L（x）＝﹣10（x﹣20）2+1500，∴L（x）max＝L（20）＝1500，当x≥40时，，当且仅当，即x ＝100时等号成立，故L（x）max＝L（100）＝1800，∵1800＞1500，故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元．【名师点评】本题考查根据实际问题选择函数类型和分段函数的性质，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8．（2022秋•长宁区校级期末）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱（x＞0，x∈N），需另投入成本p（x）万元．当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场详细分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获利润最大？【详细分析】（1）由题意得y＝100x﹣p（x）﹣400，分类讨论0＜x＜60，x≥60，即可得出答案；（2）由（1）得y＝，分别求出0＜x＜60，x≥60，的最大值，比较大小，即可得出答案．【名师解答】解：（1）由题意得y＝100x﹣p（x）﹣400，当0＜x＜60时，，则y＝100x﹣（x2+50x）﹣400＝﹣x2+50x﹣400，当x≥60时，，则y＝100x﹣（101x+﹣1860）﹣400＝1460﹣x﹣， 综上所述，y＝；（2）由（1）得y＝，当0＜x＜60时，y＝﹣x2+50x﹣400＝＝﹣（x﹣50）2+850，二次函数y的图象开口向下，且对称轴为x＝50，∴当x＝50时，y max＝850，当x≥60时，y＝1460﹣x﹣≤1460﹣2＝1300，当且仅当x＝，即x＝80时等号成立， ∵1300＞850，∴当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中所获利润最大．【名师点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9．（2022秋•浦东新区校级月考）双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场详细分析，每生产x（千辆）获利10W（x）（万元），该公司预计2022年全年其他成本总投入（20x+10）万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．22年的全年利润为f（x）（单位：万元）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当2022年产量为多少辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由．【详细分析】（1）由题意得f（x）＝10W（x）﹣（20x+10），结合题意和分段函数的性质，分类讨论0＜x≤2，2＜x≤5，化简计算，即可得出答案．（2）由（1）得，根据分段函数的性质，分别求出0＜x≤2，2＜x≤5的最大值，比较大小，即可得出答案．【名师解答】解：（1）由题意得f（x）＝10W（x）﹣（20x+10），∵，∴当0＜x≤2时，W（x）＝2（x2+17），则f（x）＝20（x2+17）﹣（20x+10）＝20x2﹣20x+330，当2＜x≤5时，W（x）＝50﹣，则f（x）＝10（50﹣）﹣（20x+10）＝490﹣﹣20x，综上所述，函数f（x）的解析式为；（2）由（1）得，当0＜x≤2时，，∴f（x）在（0，]上单调递减，在[，2]上单调递增，∴f（x）max＝f（2）＝370；当2＜x≤5时，当且仅当，即x＝3时，f（x）max＝390，∵370＜390，∴f（x）最大值为390，故当2022年产量为3000辆，该企业利润最大，最大利润是390万元．【名师点评】本题考查根据实际问题选择函数类型和分段函数的性质，考查函数思想和转化思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，某研究员需要围成相同的长方形小白鼠笼四间来做观察对比实验，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围36dm长网的材料，每间小白鼠笼的长、宽各设计为多少时，可使每间小白鼠笼面积最大？（2）若使每间小白鼠笼面积为24dm2，则每间小白鼠笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间小白鼠笼的钢筋总长度最小？【详细分析】（1）设每间小白鼠笼的长为x，宽为y，则每间小白鼠笼的面积为xy，由题意得4x+6y＝36，利用基本不等式，即可得出答案；（2）设每间小白鼠笼的长为x，宽为y，则每间小白鼠笼的面积为xy＝24，则围成四间小白鼠笼的钢筋总长度为4x+6y，利用基本不等式，即可得出答案．【名师解答】解：（1）设每间小白鼠笼的长为x，宽为y，则每间小白鼠笼的面积为xy，由题意得4x+6y＝36，即2x+3y＝18，∵x＞0，y＞0，∴18＝2x+3y≥2，当且仅当2x＝3y，即x＝dm，y＝3dm时等号成立，即≤，则xy≤， 故每间小白鼠笼的长、宽各设计为dm、3dm时，可使每间小白鼠笼面积最大；（2）设每间小白鼠笼的长为x，宽为y，则每间小白鼠笼的面积为xy＝24，则围成四间小白鼠笼的钢筋总长度为4x+6y≥2＝4＝4＝48，当且仅当4x＝6y，即x＝6，y＝4时等号成立，故每间小白鼠笼的长、宽各设计为6dm、4dm时，可使围成四间小白鼠笼的钢筋总长度最小．【名师点评】本题考查基本不等式的应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 11．（2022秋•宝山区校级期中）某公司经过测算，计划投资A、B两个项目．若投入A项目资金x（万元），则一年创造的利润为（万元）；若投入B项目资金x（万元），则一年创造的利润为（万元）．（1）当投入A、B两个项目的资金相同且B项目比A项目创造的利润高，求投入A项目的资金x（万元）的取值范围；。
高中数学竞赛之重要不等式汇总(相关练习答案)
（一）不等式1． (排序不等式）设,...21n a a a ≤≤≤ n b b b ≤≤≤...21 n j j j ,...,,21是n ,...,2,1的一个排列，则..........221121112121n n j n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n +++≤+++≤+++-2．(均值不等式) 设n a a a ,......,,21是n 个正数，则na a a n +++...21....21nn a a a ≥3．（柯西不等式）设),...2,1(,n i R b a i i =∈则.)())((211212i ni i ni ini i b a ba ∑∑∑===≥等号成立当且仅当存在R ∈λ，使得),...,2,1(n i a b i i ==λ.从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式变形：（1）设+∈∈R b R a i i ,则.)()(11212∑∑∑===≥ni i ni i ni ii b a b a （2）设i i b a ,同号，且 ,0,≠i i b a 则.)()(1121∑∑∑===≥ni i i ni i ni iib a a b a4．（J e n se n 不等式）若)(xf 是),(b a 上的凸函数，则对任意),(,...,,21b a x x x n ∈)].(...)()([1)...(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++5．（幂均值不等式）设α)(0+∈>>R a i β 则 .)...()...(121121βββββαααααM na a a n a a a M nn =+++≥+++=证： 作变换 令i i x a =β，则β1i i x a = 则.)...()...(12121βαβαβαβαβαnx x x x x x n M M n n +++≥+++⇔≥ 因 0>>βα 所以 ,1>βα则函数βαx x f =)(是),0(+∞上的凸函数，应用Jensen 不等式即得。
高中数学不等式题目
高中数学不等式题目一、已知实数a, b, c满足a + b + c = 0，且a2 + b2 + c2 = 1，则下列不等式恒成立的是：A. a2 ≤ 1/3B. b2 ≥ 1/2C. c2 ≤ 2/3D. a2 + b2 ≤ 2/3（答案）D二、设x, y ∈ R，且xy ≠ 0，若|x| ≤ |y|，则下列不等式成立的是：A. x2 + 1/x2 ≥ y2 + 1/y2B. x2 + 1/y2 ≥ 2C. |x| + 1/|x| ≤ |y| + 1/|y|D. |x| + |y| ≥ 2√(|xy|)（答案）D三、对于任意实数x，y，若|x - y| ≤ 1，|x + y| ≤ 1，则下列不等式恒成立的是：A. x2 + y2 ≤ 1B. |x| + |y| ≤ √2C. max{|x|, |y|} ≤ 1D. min{|x|, |y|} ≤ 1/2（答案）D四、已知a, b, c为正实数，且a + b + c = 1，则下列不等式中不成立的是：A. √(ab) + √(bc) + √(ca) ≤ 1/2B. a2 + b2 + c2 ≥ 1/3C. abc ≤ (1/3)3D. 1/(a + b) + 1/(b + c) + 1/(c + a) ≥ 9/2（答案）A五、设x, y ∈ R，且x2 + y2 = 1，则下列不等式恒成立的是：A. |x + y| ≤ √2B. |x - y| ≥ 1C. x2 + 2y2 ≥ 3/4D. √(|x|) + √(|y|) ≥ √2（答案）A六、已知a, b, c为三角形的三边长，则下列不等式中不成立的是：A. a + b > cB. a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + caC. (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca)D. √(ab) + √(bc) + √(ca) ≥ a + b + c（答案）D七、设x, y ∈ R，且|x| ≤ 1，|y| ≤ 1，则下列不等式中恒成立的是：A. |x + y| ≤ 1B. |x - y| ≤ 2C. x2 + y2 ≤ 1D. |x| + |y| ≤ 1（答案）B八、已知a, b, c为正实数，且a + b + c = 3，则下列不等式中成立的是：A. √(ab) + √(bc) + √(ca) ≤ 3B. a2b + b2c + c2a ≥ 3C. (a + b + c)3 ≥ 27abcD. 1/a + 1/b + 1/c ≤ 1（答案）C。
高中不等式证明练习题及参考答案
高中不等式证明练习题及参考答案高中不等式证明练习题及参考答案不等式证明是可以作文练习题经常出现的，这类的练习题是的呢?下面就是店铺给大家整理的不等式证明练习题内容，希望大家喜欢。
不等式证明练习题解答(1/a+2/b+4/c)*1=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)展开，得=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b基本不等式，得>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a + 2/b + 4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2=11+6√2≥18楼上的，用基本不等式要考虑等号时候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z则原不等式等价于：x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0含有绝对值的不等式练习。
1.实数x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提条件是：x7x+7, -1-7x-7, x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式变形为x2+x-<0，它与不等式x2+x+<0比较系数得：a=-4,b=-9.函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ，值域是，函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ，值域是[0, π] ，函数y=arctgx的定义域是 R ，值域是 .，函数y=arcctgx的定义域是 R ，值域是(0, π) .直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
高中数学-不等式的应用练习
高中数学-不等式的应用练习一、选择题1．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0＜t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出⎣⎢⎡⎦⎥⎤如前10天的平均售出为f 1010的月饼最少为( ) A ．18 B ．27 C ．20D ．16解析：平均销售量y ＝f t t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t＋10≥18，当且仅当t ＝16t，即t ＝4∈[1,30]时等号成立，即平均销售量的最小值为18. 答案：A2．汽车上坡时的速度为a ，原路返回时的速度为b ，且0＜a ＜b ，则汽车全程的平均速度比a ，b 的平均值( )A ．大B ．小C ．相等D ．不能确定解析：设单程为s ，则上坡时间t 1＝sa ，下坡时间t 2＝s b， 平均速度为v ＝2s t 1＋t 2＝2s s a ＋s b ＝21a ＋1b＜a ＋b2. 答案：B3．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x8＝20， 当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号．答案：B4．如图，建立平面直角坐标系，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．则炮的最大射程为( )A ．20 kmB ．10 kmC ．5 kmD ．15 km解析：令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0.由实际意义和题设条件，知x ＞0，k ＞0.故x＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1k，即k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10 km. 答案：B 二、填空题5．设三角形的三边长分别为3,4,5，P 是三角形内的一点，则点P 到这个三角形三边的距离的积的最大值是________.解析：设点P 到三角形三边的距离分别为h 1，h 2，h 3. 由题意，得三角形为直角三角形，S ＝12×3×4＝6.∴12h 1·3＋12h 2·4＋12h 3·5＝6. ∴3h 1＋4h 2＋5h 3＝12≥3360h 1h 2h 3. ∴h 1h 2h 3≤6460＝1615.答案：16156．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为____________m.解析：如图，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，交DE 于点F .易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AFAH⇒AF ＝x ⇒FH＝40－x .则S ＝x (40－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4022，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意的边长x 为20 m.答案：20 三、解答题7．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．(1)该船捕捞几年后开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)? (2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出． 哪一种方案较为合算？请说明理由．解：(1)设捕捞n 年后开始盈利，盈利为y 元，则y ＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n n －12·4－98＝－2n 2＋40n －98.由y ＞0，得n 2－20n ＋49＜0.解得10－51＜n ＜10＋51(n ∈N ＋)． 所以3≤n ≤17.故捕捞3年后开始盈利．(2)①由(1)，得y ＝－2n 2＋40n －98.所以平均盈利为y n ＝－2n －98n＋40≤－22n ·98n＋40＝12，当且仅当2n ＝98n，即n ＝7时，年平均盈利最大．故经过7年捕捞后平均盈利最大，共盈利12×7＋26＝110(万元)． ②由(1)，得y ＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102. 所以当n ＝10时，函数y 的最大值为102.故经过10年捕捞后盈利总额最大，共盈利102＋8＝110(万元)． 因为两种方案盈利相等，但方案②的时间长， 所以方案①合算．8．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和矩形EFGH 构成的面积是200 m 2的十字形区域，现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4 200元/m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2.(1)设总造价为S 元，AD 的边长为x m ，试建立S 关于x 的函数解析式； (2)计划至少要投多少万元才能建造这个休闲小区？ 解：(1)设DQ ＝y m ，则x 2＋4xy ＝200，即 y ＝200－x24x.所以S ＝4 200x 2＋210×4xy ＋80×4×12y 2＝38 000＋4 000x 2＋400 000x2(0＜x ＜102)． (2)由(1)，得S ＝38 000＋4 000x 2＋400 000x2≥38 000＋216×108＝118 000，当且仅当4 000x 2＝400 000x2，即x ＝10时取等号． 因为118 000元＝11.8万元，所以计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．一、选择题1．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外，每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )A ．10B ．11C ．13D ．21解析：设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y 万元，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝[x (x ＋1)]万元，所以x 年的年平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x x ＋1x＝x ＋100x＋1.5万元．由平均值不等式，得y ＝x ＋100x＋1.5x ·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．答案：A2．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0＜x ＜100，x ∈N ＋)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：由题意，得分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t 万元．则⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x ∈N ＋，100－x1＋1.2x %t ≥100t .解得0＜x ≤503.因为x ∈N ＋，所以x 的最大值为16. 答案：B 二、填空题3．制造一个容积为π2 m 3的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平方米30元，做侧面的金属板的价格为每平方米20元，则当圆柱形桶的底面半径为________m 、高为________m 时，所使用的材料成本最低．解析：设此圆柱形桶的底面半径为r m ，高为h m ，则底面面积为πr 2m 2，侧面积为2πrh m 2.设原料成本为y 元，则y ＝30πr 2＋40πrh . 因为桶的容积为π2 m 3，所以πr 2h ＝π2，即rh ＝12r.所以y ＝30πr 2＋20rπ＝10π⎝ ⎛⎭⎪⎫3r 2＋1r ＋1r ≥10π·333，当且仅当3r 2＝1r ，即r ＝393时等号成立，此时h ＝392.答案：393 3924．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为________.解析：设底面边长为x ，高为h ，则34x 2h ＝V ，即h ＝43V 3x2. 所以S 表＝2×34x 2＋3xh ＝32x 2＋3x ·43V 3x 2＝32x 2＋43Vx ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8V x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4V x ＋4V x ≥32×3316V 2＝33·32V 2， 当且仅当x 2＝4V x，即x ＝34V 时取等号．答案：34V 三、解答题5．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．(1) (2)解：设正六棱柱容器的底面边长为x (x ＞0)，高为h ，由下图，可得2h ＋3x ＝ 3.所以h ＝32(1－x )，V ＝S 底·h ＝6×34x 2h ＝ 332x 2·32(1－x )＝23×332·x 2·x 2·(1－x )≤9⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋x2＋1－x 33＝13，当且仅当x 2＝1－x ，即x ＝23时等号成立．所以当底面边长为23时，正六棱柱容器容积最大，为13.6．某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200 kg ，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？(2)若提供饲料的公司规定：当一次购买饲料不少于5 t 时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)．该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由．解：(1)设该厂应隔x (x ∈N ＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 1元． 因为饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)， 所以x 天饲料的保管与其他费用共 6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2－3x )元． 从而有y 1＝1x(3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x＋3x ＋357≥417，当且仅当300x＝3x ，即x ＝10时取等号．故每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．(2)该厂可以考虑利用此优惠条件．理由如下：若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料．设该厂利用此优惠条件，每隔x 天(x ≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝1x(3x 2－3x ＋300)＋200×1.8×0.85＝300x＋3x ＋303(x ≥25)．因为y ′2＝－300x2＋3，所以当x ≥25时，y 2′＞0，即函数y 2在区间[25，＋∞)上是增函数． 则当x ＝25时，函数y 2取得最小值为390. 而390＜417，故该厂可以考虑利用此优惠条件．。
新高考数学-基本不等式30题解析
一、多选题1．（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）已知正实数,x y 满足2x y xy +=，则（）A ．16xy ≥B ．29x y +≥C ．6x y +>D ．1831x y+≥-2．（21-22高一下·全国·开学考试）下列不等式一定成立的是（）A ．()21lg lg 04x x x ⎛⎫+≥> ⎝⎭B ．()lgeln 21lg x x x+>>C ．()21012x x x ≥>D ．()1121x x <∈R3．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知,a b 均为实数，则()222a b a b ab+++的可能值为（）A ．43B ．34C ．1D ．24．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）若62,63a b ==，则下列不等关系正确的有（）A2B ．114a b+>C ．2212a b +>D ．14ab <5．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知位于第一象限的点(),a b 在曲线1x y+=上，则（）A ．()()111a b --=-B ．4ab ≥C ．49a b +≤D ．221223a b +≥6．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知p q ､为函数()lg f x x t =-的两个不相同的零点，则下列式子一定正确的是（）A ．222p q +<B ．228p q +>C ．33log log 0p q ⋅<D ．1pq =由图可知，当0t >时，直线设p q <，则01p q <<<，由由()lg 0f q q t =-=，可得lg 对于A 选项，222p q pq +>=对于B 选项，2222p q p ++>对于C 选项，33log log 1p <=对于D 选项，由上可知1pq =故选：CD.7．（2024高三·全国·专题练习）已知x ≥1，则下列函数的最小值为2的有（）A ．22x y x =+B ．2y =C ．13y x x=-D ．411y x x =-+【答案】ACD号取不到；因为函数－在上单调递增，所以3－≥2；因为x ≥1＋＝＋－2≥4).故选8．（2024高三·全国·专题练习）(多选)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b ＝1，且a 2－c 2＝2，则下列结论正确的是（）A ．a ＜32B ．tan A ＋3tanC ＝0C ．角B 的最大值为3πD ．△ABC 的外接圆面积的最小值为π9．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图所示，在ABC 中,4BC =，且M 点为BC 边的中点，则下列结论正确的有（）A ．设G 是AM 的中点，则0GA GB GC ++=C ．若π3BAC ∠=，则AM 的最小值为D ．若π6BAM ∠=，则AC 边的最小值为2【详解】对于B ，分别在ABM 和ACM △中由正弦定理可得sin sin sin sin AMB BAMAC CM AMC CAM ⎧=⎪⎪∠∠⎨⎪=⎪∠∠⎩，因为2πBM CM AMB AMC ==⎧⎨∠+∠=⎩，则sin sin AB CAMAC BAM ∠=∠，正确；对于C ，在ABC 中，由余弦定理可得2216b c bc +-=，所以22162b c bc bc +=+≥，则16bc ≤，当且仅当4b c ==时取等，又2AB AC AM +=，所以AM AM ===，当且仅当4b c ==时取等，故AM 最大值为对于D ，在ABM 中，由正弦定理可得242πsin 6R==，故ABM 的外接圆圆O 的半径为2R =，则点A 在优弧 BM上运动，则AC 的最小值为2OC R R -=-=-，正确.故选：BD10．（2024·贵州毕节·二模）已知252100a b ==，则下列式子中正确的有（）A ．211a b+=B ．121a b+=C ．8ab >D ．29a b +>【答案】BCD 【分析】由指对互化得到25log 100a =，2log 100b =，进而结合对数运算性质和基本不等式的应用即可求解.【详解】11．（2024·江苏·一模）已知,x y ∈R ，且123x =，124y =，则()A ．y x >B ．1x y +>C ．14xy <D <【答案】ACD 【分析】用对数表示x ，y ，利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答案．【详解】12．（23-24高一下·安徽宿州·开学考试）若正实数,a b 满足1a b +=，则下列选项中正确的是（）A ．ab 有最大值14B ．122a b->C ．14a b+的最小值是10D【答案】AB 【分析】利用均值不等式和“1”的妙用判断ACD ，由12a b b -=-讨论b 的范围判断B 即可.【详解】选项A ：因为,a b 为正实数，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立，所以ab 有最大值14，A 说法正确；选项B ：由1a b +=可得12a b b -=-，因为,a b 为正实数，所以01b <<，1121b -<-<，所以1212222a b b --<=<，B 说法正确；选项C ：由题意可得()14144559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a bb a =，即13a =，23b =时等号成立，所以14a b +的最小值是9，C 说法错误；选项D ：由A 得212a b =++=+≤，误；故选：AB13．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列各函数中，最小值为2的是（）A ．2610y x x =-+B ．3y x =-+C ．1y xx=+D ．2y =14．（23-24高三下·广东·阶段练习）若0a >，0b >，8a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A 4≤B 4+≥C ．2232a b +≥D ．1498a b +≥【详解】15．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）已知0x >，0y >，且24x y +=，则（）A ．ln ln ln2x y +≤B ．248x y +<C ．1294x y +≥D ．324e e x x y-≥16．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）下列函数中，最小值是4的有（）A ．()134x f x x=++B ．()f x =C ．()()31011f x x x x=+<<D ．()f x =则（）A ．413x y +≥B ．9xy ≤C ．2218x y +≤D ．1123x y +≥18．（2024·贵州贵阳·一模）已知0,0a b >>，且2a b +=，则（）A ．22a b+≥B ．112a b+≥C ．22log log 1a b +≤D ．222a b +≥19．（2024·河南信阳·一模）已知正数,m n满足322m n+=，则（）A．12mn≥B．222m n+≥C．32m n+≥D．2,(0,),()2m nm n mnmn-∃∈+∞≥20．（23-24高一上·广东茂名·期中）下面命题正确的是（）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件B ．命题“x ∃∈R ，使20x ax a ++<”是假命题，则实数a 的取值范围为04a ≤≤C ．不等式21x>的解集是(),2-∞D ．设a +∈R ，则24a a+的最小值为4.21．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a ba b >++B ．2ab a b +22．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知0a b >>，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是（）A ．22()(1)a b b +>+B ．11b b a a ->-2223．（23-24高一上·浙江·期末）设正实数,a b满足2a b+=，则（）A．11a b+的最小值为2B．1122a b a b+++的最大值为23C2D．3ab b-的最大值为1424．（23-24高三下·河北·阶段练习）已知正数,a b 满足()()111a b --=，则下列选项正确的是（）A ．111a b+=B ．25ab b+³C ．4a b +≥D ．228a b +≥25．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知3824a b ==，则a ，b 满足的关系是（）A ．111a b+=B ．112a b+=C ．()()22112a b -+-<D ．()()22112a b -+->26．（23-24高一上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．44ππcos sin 882-=27．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）若,m n 均为正数，且满足22m n +=，则（）A ．mn的最大值为12B ．11m n+的最小值为3+C ．24m n +的最小值为4D ．2mm n+的最小值为1+28．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知0a b >>，下列说法正确的是（）A ．11a b b a+>+B ．2b a a b+>C ．若0c >，则b b ca a c+<D ．若c d >，则a c b d->-29．（23-24高三上·海南·期末）已知0,0a b >>，且4a b ab +-=，则（）A ．3a b +≥B ．104ab <≤或94ab ≥C ．221(1)(1)2a b -+-≤D ．11413a b <+≤或114a b+≥30．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知0,0a b>>，且1a b+=，则（）A．41ab>B．2728a b+≥C．41912a b+≥D2≤。
高中数学不等式练习题及参考答案2023
高中数学不等式练习题及参考答案2023不等式是高中数学中重要的概念之一，也是很多考试中必考的内容。
为帮助大家复习巩固，本文整理了十道高中数学不等式练习题及参考答案，供大家练习参考。
1. 已知 $x>0$，求证：$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}>1$【参考答案】$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+x}+\frac{x}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$。
2. 解不等式 $\frac{2-x}{x+1}\geq 1$。
【参考答案】$\frac{2-x}{x+1}\geq 1$，移项得 $\frac{1-x}{x+1}\geq 0$，即$\frac{x-1}{x+1}\leq 0$。
因此，$x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$。
3. 解不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$。
【参考答案】$\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$，移项得 $x^2-3x+2>4$。
解得 $x\in(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$。
4. 已知 $a+b=1$，$a>0$，$b>0$，求证：$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。
【参考答案】By Jensen 不等式，$\frac{1}{2}(a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}) \geq\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}(a+b))=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{ 2} =1$。
所以，$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。
(典型题)高中数学必修五第三章《不等式》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知正数x ，y 满足1431x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．53B ．2C ．73D ．62．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-13．已知a b >，不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，且0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1BC ．2D．4．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．2D5．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．设,x y 满足约束条件321104150250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．107．若函数()1xy a a =>的图象与不等式组40,20,1x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩，表示的区域有公共点，则a 的取值范围为（ ） A ．[]2,4B．⎤⎦C ．(][)1,24,⋃+∞D．([)2,⋃+∞8．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-≤，则( )A ．c 3≤B ．3c 6<≤C ．6c 9<≤D ．c 9>9．设x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，则1z x y =-+的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．210．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于D .若3BAC π∠=，4AB AC +=，则AD 长度的最大值为（ ） AB ．2C ．3D．11．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m ≤0 B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m <5712．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（ ） A ．-64B ．-36C ．36D ．64二、填空题13．若正实数x 、y 、z ，满足3z x y +=，4z y x +=，则x y x y z++-的最小值为_______.14．已知x ，y 满足不等式组220,10,30x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则11x z y -=+，则z 的最大值为________.15．若关于x 的不等式250ax x b -+< 的解集为{|23}x x << ，则+a b 的值是__________．16．若不等式20++≥x mx m 在[1,2]x ∈上恒成立，则实数m 的最小值为________ 17．在下列函数中， ①1y x x=+②1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭③()2114141x y x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭ ④22221πsin cos 0,sin cos 2y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中最小值为2的函数是__________.18．若关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭,则称这两个不等式为“对偶不等式”.若不等式()2220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<为“对偶不等式”,且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则θ=______.19．若实数x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的最小值为__________．20．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足570a a ，1122S =，则7811572a a a a a 的最小值为_________.三、解答题21．2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y (单位；万件)与年促销费用()0x x ≥(单位；万元)满足3010(ky k x =-+为常数).已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投入生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本). （1）求k 的值，并写出该产品的利润L (单位:万元)与促销费用x (单位:万元)的函数关系﹔ （2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润?22．已知m R ∈，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当1a =时，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围． 23．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）设2()33h x mx mx =+-（其中m R ∈），解不等式()()h x g x <.24．已知函数2221,()?23,x ax x af x x ax x a ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩，其中 0a >． （1）若()()01ff =，求a 的值．（2）若函数()f x 的图象在x 轴的上方，求a 的取值范围． 25．已知函数()()21,4f x ax bx a b R =++∈，且()10f -=，对任意实数x ，()0f x ≥成立.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若0c ≥，解关于x 的不等式()2131424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 26．某单位计划建造一间背面靠墙的小屋，其地面面积为12m 2，墙面的高度为3m ，经测算，屋顶的造价为5800元，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，设房屋正面地面长方形的边长为x m ，房屋背面和地面的费用不计. （1）用含x 的表达式表示出房屋的总造价； （2）当x 为多少时，总造价最低？最低造价是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.2．C解析：C 【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值， 解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得10x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的约束条件画出可行域； （2）根据目标函数的意义找到最优解； （3）解方程组求得最优解的坐标； （4）代入求得最小值，得到结果.3．D解析：D 【分析】根据条件对于一切实数x 不等式恒成立和0x R ∃∈使得方程成立结合二次不等式、二次方程、二次函数，可得1ab =，将22a b a b+-化成2a b a b -+-，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩，又因为0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，所以440ab -≥，所以440ab -=， 即0,0,1a b ab >>=，所以222()2222a b a b ab a b a b a b a b+-+==-+≥---，当且仅当2a b a b-=-时取得最小值. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．C解析：C 【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为22d ==，所以所求最小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.5．C解析：C【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】由实数x，y满足2424x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z＝3x﹣2y变形为y＝32x﹣2z，由24yx y=⎧⎨-=⎩，解得B（2，0）当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为3×2﹣2×0＝6；故选C．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．B解析：B【分析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得y x z =-+，当取到点(3,1)A 时得到最小值，即314z =+=故选B 【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法7．B解析：B 【分析】由约束条件作出可行域，再由指数函数的图象经过A ，B 两点求得a 值，则答案可求． 【详解】解：由约束条件40,20,1x y y x -⎧⎪-⎨⎪+⎩作出可行域如图：当1x =时，2y a =≤；当4x =时，42y a =≥，则42a ≥故a 的取值范围为42,2⎡⎤⎣⎦.故选：B ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．8．C解析：C 【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围 【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b ca b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩则()32611f x x x x c =+++ 所以()16f c -=-，()013f <-≤所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜， 故选C . 【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．9．C解析：C 【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入求解，即可得到答案. 【详解】作出x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，所对应的可行域，如图所示，目标函数1z x y =-+可化为1y x z =+-，当直线1y x z =+-过点A 时， 此时直线在y 轴上的截距最大值，此时目标函数取得最小值，又由2132y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(2,2)A ， 所以目标函数的最小值为min 2211z =-+=. 故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．10．A解析：A 【分析】根据题意，设,,,AD t AB c AC b ===由三角形面积公式1sin 2S a b θ=⋅⋅可表示出,,ACD ABD ABC ∆∆∆三者之间的关系，进而得边长关系为3,t bc =最后通过基本不等式求得AD 的最大值。
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。
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不等式练习题
一、选择题
1、若a,b是任意实数,且a＞b,则( )
（A）a2＞b2（B）ab＜1 （C）lg(a-b)＞0 （D）(21)a＜(
2
1
)
b
2、下列不等式中成立的是( )
（A）lgx+log
x
10≥2(x＞1) （B）a1+a≥2 (a0)
（C）a1＜b1(a＞b) （D）a21t≥a
t
(t＞0,a＞0,a1)
3、已知a>0,b>0且a +b=1, 则(
)11)(1
1
22
ba
的最小值为( )
(A)6 (B) 7 (C) 8 (D) 9
4、已给下列不等式(1)x3+ 3 >2x(x∈R); (2) a5+b5>a3b2+a2b3(a ,b∈R);
(3) a2+b
2
≥2(a－b－1), 其中正确的个数为( )
(A) 0个(B) 1个(C) 2个(D) 3个
5、f(n) = 12n－n , (n)=n21, g(n) = n12n, n∈N,则( ) 6、设x2+y2 = 1, 则x +y( ) (C)有最小值－1 (D) 有最小值－ 9、设集合M={x|13xx≤0},N={x|x2+2x-3≤0},P={x| （A）MN=P （B）MNP （C）M=PN （D）M=N=P （A）6 （B）42（C）22（D）2 的取值范围是( ) (A)]2,((B))2,((C)]2,2((D)(－2,2) xf (A) (B),2()1,()(C)[1，2](D)R x (A) (－2,0) (B) (－2,0) (C) R(D) (－∞,－2)∪(0,+ ∞) 3 (A) (－∞,1) (B) (43,1 ) (C) (43,1) (D) R 中各数差的平方和最小,则x=________. 2、不等式xxx121log的解集是________. 4、a≥0,b≥0,a2＋22b=1,则a21b的最大值是________. 6、x＞1时，f(x)=x＋ 7、不等式log4(8x－2x)≤x的解集是________. 1 xx 9、命题①：关于x的不等式(a－2)x －3a－a2)x是减函数.若命题①、②至少有一个为真命题,则实数a的取值范围是________. 10、设A={x|x≥x1,xR},B={x|12x＜3,xR＝,则D=A∩B=________. 1、解不等式： xx 2、解不等式：x 3、解不等式： x 4、解不等式：2269xxx＞3. 7、若x,y＞0，求 yx 8、已知关于x的方程x 求参数m的取值范围。 10解不等式38xx. 二、1、n1(a1＋a2＋…＋an) 2、0＜x＜1或x＞2 3、 m 6、8,2＋37、(0,251log2) 8、0＜x＜log23 9、-3＜x≤2 1 三、1、[－ 4 ax， 解得x>2a-1. ax ＋ 解得：a-1 10、原不等价于不等式组(1) x x x 由(1)得 215 故原不等式的解集为 215
(A) f(n)
(A) 有最小值1 (B) 有最小值
2
2
7、不等式|x＋5|＞3的解集是( )
(A){x|－8＜x＜8} (B){x|－2＜x＜2}
(C){x|x＜－2或x＞2＝(D){x|x＜－8或x＞－2＝
8、若a，b，c为任意实数，且a＞b，则下列不等式恒成立的是( )
(A)ac＞bc (B)|a＋c|＞|b＋c| (C)a2＞b2(D)a＋c＞b＋c
322)21(xx
≥1},则有( )
10、设a,b∈R,且a+b=3,则2a+2
b
的最小值是( )
6
11、若关于x的不等式ax2＋bx－2＞0的解集是,3121,，则ab等于( )
(A)－24(B)24 (C)14 (D)－14
12、如果关于x的不等式(a－2)x
2
＋2(a－2)x－4＜0对一切实数x恒成立，则实数a
13、设不等式f(x)≥0的解集是[1，2]，不等式g(x)≥0的解集为，则不等式
0
)()(xg
的解集是( )
14、
22xxx
的解集是( )
15、不等式3
3
1x
的解集是( )
二、填空题
1、若x与实数列a1,a2,…,a
n
3、某工厂产量第二年增长率是p1,第三年增长率是p2,第四年增长率是p3且p1＋p2＋p3=m(定
值),那么这三年平均增长率的最大值是________.
5、若实数x、y满足xy＞0且x2y=2,则xy＋x
2
的最小值是________.
11612xxx
的最小值是________，此时x=________.
8、不等式
32114
的解集是________.
2
＋2(a－2)x－4＜0对xR恒成立;命题②：f(x)=－(1
三、解答题
1211922xx
≥7.
4－2x3－3x2
＜0.
65592xx
≥－2.
5、解不等式：232xx＞x＋5.
6、若x2＋y2=1，求(1＋xy)(1－xy)的最大、最小值。
yx
的最大值。
2＋(m2
－1)x＋m－2=0的一个根比－1小，另一个根比1大，
9、解不等式：loga(x＋1-a)>1.
不等式练习答案
一、DADCB DDDAB BCBAB
3
4、4235、3
10、－
2
≤x＜0或1≤x＜4
21,1]∪(1,3
) 2、(－1,0)∪(0,3) 3、(－∞,2)∪(3,＋∞) 4、(0,3)
5、(－∞,－1323) 6、1，437、28、－2＜m＜0
9、解：(I)当a>1时，原不等式等价于不等式组：
.101aax
(II)当0
，
当0
2
)3(80308xx
或(2)
0308x
2
3x
，由(2)得x＜3，
2
|xx