第二章 第七节 7.1点到直线的距离公式
点到直线的距离-平行和相交
两平行线被第三条直线所截，截得的对应线段长度相等，并且对应的夹角相等。
相交线的平行问题
平行线的定义
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
相交线的垂直问题
垂直线的定义
如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
垂直公理
在同一个平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
直线与直线平行的判定方法
利用已知条件，通过作图或证明，判断两条直线的斜率是否相等且 截距是否不同。
异面直线平行的判定
异面直线的定义
01
两条直线分别位于不同的平面，且没有交点，则称这两条直线
为异面直线。
异面直线的判定定理
02
如果两条异面直线分别与另一条直线相交，且交点不同，则这
两条异面直线平行。
异面直线的判定方法
点到直线的距离-平行和相交
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目录
• 点到直线的距离 • 平行线的判定 • 相交线的性质 • 平行线和相交线的应用
01
点到直线的距离
定义与公式
定义
点到直线的距离是指一个点与一 条直线在垂直方向上的投影的距 离。
公式
对于点P(x0, y0)和直线y = kx + b，点到直线的距离d可以通过以 下公式计算：d = |kx0 + b - y0| / √(k^2 + 1)。
04
平行线和相交线的应用
平行线和相交线在几何中的应用
01
平行线和相交线是几何学中的基 本概念，它们具有一些重要的性 质和定理，如平行线的传递性、 平行线的中点四边形等。
02
平行线和相交线在几何问题中有 着广泛的应用，如证明定理、求 解角度、长度等问题。
点到直线的距离公式推导过程
点到直线的距离公式推导过程点到直线的距离公式推导过程：Ax+By+c=0的距离公式d=(|Ax_0+By_0+C|)/(A~2+B~3)~(1/2)，点到直线的距离即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离。
点到直线的距离公式推导过程点到直线的距离公式推导过程：Ax+By+c=0的距离公式d=(|Ax_0+By_0+C|)/(A~2+B~3)~(1/2)，点到直线的距离即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离。
第一步：求出点到直线的垂线L1的方程，就是斜率与直线L乘积为-1且经过点P0的直线。
第二步：求出直线L与垂线L1的交点P1，就是联立两个方程求解。
第三步：求出P1到P0的距离，代入两点间的距离公式即可。
点到直线的距离是如何定义的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度叫点到直线的距离。
相关知识点如下：点与直线的位置关系只有两种：点在直线上或点不在直线上；平面几何中不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交或平行；空间中两条直线的位置关系有三种分别是：平行、相交或是异面。
点和直线的位置关系点与直线只有两种位置关系：一种是点在直线上，一种是点在直线外。
点是最简单的形，是几何图形最基本的组成部分。
在空间中作为1个零维的对象。
在其它领域中，点也作为讨论的对象。
直线由无数个点构成。
直线是面的组成成分，并继而组成体。
没有端点，向两端无限延长，长度无法度量。
过一点可以画几条直线直线由无数个点构成。
直线是面的组成成分，并继而组成体。
没有端点，向两端无限延长，长度无法度量。
经过一个点可以画无数条直线。
经过两个点可以画一条直线。
点到直线的距离公式-高二数学上学期人教A版(2019)选择性必修第一册第二章直线和圆的方程
注： 1.用此公式时直线方程必须先化成一般式 2.此公式是在A≠0、B≠0的前提下推导的； 3.如果A=0或B=0，此公式也成立；
LOGO
分子是P点坐标代 入直线方程左边
分母是直线未知数
x、y系数平方和的
算术根
例题讲解 LOGO
例 1：求点 P(2,1) 到下列直线的距离：
①
“设而不求” “整体代换”
Bx
Ay
Bx0
Ay0
②
A x x0 B y B x x0 A y
y0 y0
0
Ax0
By0
C
③ ④
③式的平方+ ④式的平方得：
(x x0 )2 y y0 2
Ax0 By0 C A2 B2
PQ Ax0 By0 C A2 B2
l x
|y0|
O
x0
x
探究新知
【引例 1】点 P(1,2) 到直线 l : 3x 2 的距离为________.
解：直接画图得到距离
d
2 3
(1)
5 3
.
【引例 2】原点 O 到直线 l：3x+2y-26=0 的距离为_______.
解法 1：作 OQ⟂ l，垂足为 Q，直线 OQ 的方程为 2x-3y=0，且 与直线 l 的方程联立，
B2 ( Ax0 By0 C)2 ( A2 B2 )2
( Ax0 By0 C)2 A2 B2
能否不求点Q 的坐标？
PQ | | Ax0 By0 C | A2 B2
探究新知 LOGO
(1)方法:根据点到直线距离的定义,将点到直线距离转化为两点之间的距离. (2)缺点:思路自然但运算量较大. (3)思考:仔细观察求解过程, 思考引起复杂运算的原因是什么? (4)对策:由此能否给出简化运算的方法? 追问：能否从方程组中直接求出 x x0, y y0 ？
点到直线的距离公式
L1
P(x0,y0)
L
Q(x1, y1)
L:Ax+By+C=0
问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
y
P
l
Q
P（x0，y0）
l:Ax+By+C=0 x O
法一：写出直线PQ的方程，与l 联立求出点Ｑ的坐标，
然后用两点间的距离公式求得 PQ .
d Q
x1
By0 C A
,
y2
Ax0 C B
O
Sx
PR
x0 x1
Ax0 By0 C A
, PS
y0 y2
Ax0 By0 C B
RS
PR2 PS 2
A2 B2 AB
Ax0 By0 C
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
例6已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求ΔABC的面积。
yA hB
CO x
解：设AB边上的高为h，则
SΔABC=1/2·|AB|·h
| AB | (3 1)2 (1 3)2 2 2
AB边上的高h就是点C到AB的距离
AB边所在直线的方程为 y 3 x 1
即x y 4 0
M
P(2,2)到直线MN的距离d=
11 2 13
,
x ∴Ｓ四边形OMPN ＝ Ｓ△OMN+Ｓ△PMN
＝ 15 . 4
小结：
（1）点到直线距离公式： d Ax0 By0 C ， A2 B2
点到直线的距离公式的推导过程及其应用
点到直线的距离公式的推导过程一、公式的导出设点0:),(000=++C By Ax l y x P 为已知直线外一点，如何求它到该直线的距离？解：设过点的到点，垂足为垂直的直线为且与已知直线l P y x D l l P 0/0),,(.0D P d d =，则距离为202022000220002200222002000000/)()()()(;00,0),(;,0/y y x x d B A C By Ax B y y B A C By Ax A x x B A BC ABx y A y B A AC ABy x B x Bx Ay Ay Bx C By Ax Bx Ay Ay Bx x x ABy y A Bk l l B A k C By Ax l l -+-=∴+++-=-+++-=-∴+--=+--=⎩⎨⎧=-+-=++=-+--=-=⊥-=⇒=++，，，得：，，由即，代入点斜式，得：，所以，又因为由.)()()(2200222002220022200BA C By AxB AC By Ax B A C By Ax B B A C By Ax A +++=+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=即，直线外一已知点0P 到已知直线l 的距离公式为：.2200BA CBy Ax d +++=二、公式的应用（一）求点到直线的距离：例1、）到下列直线的距离：，（求点21-P⑴ 0543=+-y x ； ⑵ 53=x ； ⑶.1-=y分析：应用点到直线的距离公式时应该把直线方程化为一般式．解 ⑴式，得根据点到直线的距离公： .56)4(3524)1(322=-++⨯--⨯=d ⑵，得：将直线方程化为一般式.053=-x 式，得根据点到直线的距离公：.3803520)1(322=+-⨯+-⨯=d ⑶，得：将直线方程化为一般式.01=+y 式，得根据点到直线的距离公：.310121)1(022=++⨯+-⨯=d评析：当已知直线与x(或y)轴平行时，用几何意义来解会更简洁．（二）求两平行直线间的距离：例2、之间的距离．和求两平行直线04320632=--=+-y x y x 分析：因为两平行直线间的距离处处相等，所以，我们可以在其中的某条直线上任取一点P （一般是取其与坐标轴的交点），则两平行直线间的距离即为点P 到另外那条直线的距离．解：在直线），则：，（轴的交点上取其与020432P x y x =--．131310)3(26032222=-++⨯-⨯=d（三）证明两平行直线的距离为：与ＡＡ２001=++=++C By x C By x ．2221B A C C d +-=证明：如图所示，设(),,,122222D l P l y x P 作垂线，垂足为向过点∈.2d D P 距离的长即为两平行线间的则，垂线段,即d d ∴∴=三、课堂练习1、求点（2,1）到直线0543=+-y x 的距离．2、求点（1,-2）到直线的距离．3=-y x3、求直线0742=++y x 和直线之间的距离．62=+y x附答案：1、57=d ； 2、0=d ；3、．10519=d四、课后练习1、求下列点到直线的距离：⑴ 01243)23(=++-y x A ，，； ⑵ 033)11(=-+y x B ，，； ⑶ ．，0)2,1(=--y x C 2、求下列各平行线间距离：⑴016320632=++=-+y x y x 与； ⑵．与02230423=+-=--y x y x3、在y 轴上，求与直线的点．的距离等于1031x y =附答案：1、⑴511； ⑵ 21； ⑶ ．223 2、⑴131322； ⑵ 13136． ３、 ．，和，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-310100310100 五、课后作业练习册距离公式》．之练习七《点到直线的21P。
点到直线的距离
第一课时 点到直线的距离、两条平行直线间的距离一、知识点回顾知识点1、点到直线的距离公式点00(,)P x y 到直线220(0)Ax By C A B ++=+≠的距离：d =注：（1）公式在0A =或0B =也成立，若点P 在直线l 上，点P 到直线l 的距离为0，距离公式仍然适用（2）若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求点到直线的距离；（3）点00(,)P x y 到几种特殊直线的距离：点P 到x 轴的距离是0||d y =，点P 到y 轴的距离是0||d x =；点P 到直线y a =轴的距离是0||d y a =-；点P 到直线x b =轴的距离是0||d x b =-； 知识点2、两平行直线间的距离两条平行直线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间的距离d =注意：（1）在应用d =x 、y 项的对应系数化为相等的系数，再应用上述公式；（2）由于平行线间的距离处处相等，因此，常在其中的一条直线上任取一点，应用点到直线的距离公式求两平行线间的距离。
二、方法总结与例题讲解问题一：点到直线的距离公式的应用例1、若点M 在直线30x y +=上，且它到原点的距离与到直线320x y +-=的距离相等，求M 点的坐标。
例2、求过点(0,2)P 且与点(1,1),(3,1)A B -等距离的直线l 的方程。
问题二：两平行线间的距离公式的应用例3、已知直线1l 与2l 的方程分别为7890,7830x y x y ++=+-=，直线l 平行于1l ，直线l 与1l 的距离为1d ，与2l 的距离为2d ，且1212d d =，求直线l 的方程。
问题三：距离综合问题例4、已知(4,3),(2,1)A B --和直线l ：4320x y +-=，求一点P 使||||PA PB =，且点P 到l 的距离等于2 。
例5、两条互相平行的直线分别过点(6,2)A 和(3,1)B --，并且各自绕着A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d ，求：（1）d 的变换范围；（2）当d 取最大值时，两条直线的方程。
第二章 点到直线的距离(第二课时) 点到直线的距离公式
问题2 上述推导过程有什么特点？反思求解过程，你能发现出现这种状 况的原因吗？ 提示 推导过程思路自然，但运算量较大，一是求点Q的坐标复杂，二 是代入两点间的距离公式化简复杂.
问题3 向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求 点到直线的距离呢？
提示 P→Q可以看作P→M在直线 l 的垂线上的投影向量，直线 l：Ax＋By＋
解 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1 ＝0， 由点到直线的距离公式得|－12＋k－k21|＝2， 解得 k＝34， 所以直线l的方程为3x－4y－10＝0. 故直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
随堂演练
1.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为
即直线2x－y－5＝0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ过点P且与原点距离最大的直线，
最大距离为|－5|＝ 5
5.
反思感悟 解决有限条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论， 利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题 的目的.
跟踪训练2 已知直线l过点M(－1,2)，且点A(2,3)，B(－4,5)到l的距离相 等，求直线l的方程.
知识梳理
|Ax0＋By0＋C|
距离公式：d＝
A2＋B2
.
注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于 直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.
二、点到直线距离公式的简单应用
例1 (1)点P(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为__2__5__. 解析 由点到直线的距离公式得 |－1×2＋22＋2×121－10|＝2 5.
空间点到直线的距离公式[整理]
平面点到直线距离点(x0, y0)，直线：A*x+B*y+C=0，距离d。
d=|A*x0+B*y0+C|/√(A*A+B*B)空间点到平面距离点(x0, y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。
d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-x l)/m=(y-y l)/n=(z-z l)/p=t。
(1)式(1)的注释：点(x l, y l, z l)是直线上已知的一点，向量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。
空间直线的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法，请参考《高等数学》空间几何部分。
设点(x0, y0, z0)到直线L的垂点坐标为(x c, y c, z c)。
因为垂点在直线上，所以有：(x c-x l)/m=(y c-y l)/n=(z c-z l)/p=t (2)式(2)可变形为：x c=m*t+x l, y c=n*t+y l, z c=p*t+z l. (3)且有垂线方向向量(x0-x c, y0-y c, z0-z c)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：m*(x0-x c)+n*(y0-y c)+p*(z0-z c)=0 (4)把式(3)代入式(4)，可消去未知数“x c, y c, z c”，得到t的表达式：t=[m*(x0-x l)+n*(y0-y l)+p*(z0-z l)]/(m*m+n*n+p*p) (5)点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(x c, y c, z c)的距离：d=√[(x0-x c)^2+(y0-y c)^2+(z0-z c)^2] (6)其中x c, y c, z c可以用式(3)和式(5)代入消去。
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第七节 7.1点到直线的距离公式
一、选择题
1、1、点（0，5）到直线y=2x的距离是（ ）
A、52 B、5 C、32 D、52
2、点p（x，y）在直线x=Y-4=0上，O是原点，则op的最小值是（ ）
A、10 B、22 C、6 D、2
3、p点在直线3x+y-5=0上，且p到直线x-y-1=0的距离等于2，则点p坐标
为（ ）
A、（1，2） B、（2，1） C、（1，2）或（2，-1） D、（2，1）或（-1，2）
4、点p（m-n，－m）到直线1xymn的距离等于（ ）
A、22mn B、22mn C 、22mn D、22mn
5、无论m，n取何实数值，直线（3m－n）x+（m+2n）y－n=0都过一定点p，则
p点的坐标为（ ）
A、（－1，3） B、（12，32） C、（－13,55） D、（13,77）
6、过点P(1,2)引直线，使A(2,3),B(4,-5)两点到它的距离相等，则这条直线的
方程是（ ）
A、4x+y-6=0 B、x+4y-6=0
C、2x+3y-7=0或x=4-6=0 D、3+2y-7=0或4x+y-6=0
7、两直线3x+4y-2=0与6x+8y-5=0的距离等于（ ）
A、3 B、7 C、110 D、12
二、填空题
8、点A（m+2，n+2），B（n－4，m－6）关于直线4x+3y－11=0对称，则m=-----------------，
n=----------------。
9、已知点（a,2）(0)a到直线l:x-y+3=0的距离为1，则a=（ ）
10、已知直线l与两直线122302-y-1=0lxylx：和：的距离相等，则l的方程为
______.
11、已知实数x,y满足关系式x+y-4=0,则22xy的最小值是___________.
三、解答题
12、求点P00,yx到直线L：0CByAx的距离
13、求点P（2，3）到直线0243yx的距离。
14、求与平行线0623yx和0346yx等距离的点的轨迹。
15、求过点)0,1(A，且与原点的距离等于22的直线方程。
参考答案
一、选择题
1、B；2、B；3、C；4、A；5、D；6、D；7、C
二、填空题
8、4；2
9、21
10、2x-y+1=0
11、8
三、解答题
12、解：过P作直线L的垂线PQ交直线L于Q，设Q),(ba，PQ的方程为：
01CAyBx
，因为 PPQ，
所以 1C00BxAy，PQ：000BxAyAyBx，
即 PQ：0)()(00yyAxxB，
由 0)()(00yyAxxB
0CByAx
得 0)()(00yyAxxB
0)()()(0000CByAxyyBxxA
有 0xx2200)(BACByAxA
0yy2200)(BACByAxB，
故 PQ＝20202020)()()()(yyxxybxa
22220022222002)()()()(BACByAxBBACByAxA
22
00
BACByAx
13、4
14、设动点),(yxP到两条平行线的距离相等，根据点到直线的距离公式得
2222
4634623623
yxyx
。化简，得015812yx。
因此所求轨迹是一条直线。
15、因为所求直线方程过点，所以可以用点斜式表示）1(2xky则问题就转
化为求斜率k。再根据原点到直线的距离等于22，列出关于k的方程，问题就可
以可以得到解决。（05701yxyx或）