七年级数学思维探究(24)认识三角形(含答案)

24．认识三角形 解读课标从房屋的顶梁到自行车的三脚架，从起重机的三角形吊臂再到爱因妥芬（心电图的发明者）三角形，生活中处处可看到三角形，三角形是最简单、最基本的几何图形，它不仅是研究其他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用．认识三角形，就是认识三角形的概念及基本要素——边与角，与边与角相关的知识有：三角形三边关系定理、三角形内角和定理及推论，它们在线段、角度的计算，图形的计数等方面有广泛的应用． 代数化及分类讨论法是解与三角形基本要素相关问题的重要方法．代数化即用方程、不等式解边与角的计算及简单推理题，分类讨论即按边或角对三角形进行分类． 问题解决例1 在ABC △中，高BD 和CE 所在直线想交于O 点，若ABC △不是直角三角形，且60A ∠=︒，则BOC ∠=_________度．试一试 因三角形的高不一定在三角形内部，这样ABC △形状应分两种情况讨论． 例2 如图，将纸片ABC △沿着DE 折叠压平，则（ ）．A ．12A ∠=∠+∠B ．()122A ∠=∠1+∠C ．()113A ∠=∠+∠2D ．()1124A ∠=∠+∠试一试 在折叠动态变化中，不变关系是B C AED ADE ∠+∠=∠+∠，这是解本例的关键．例3 （1）如图①，AD BC ⊥于D ，AE 平分BAC ∠，试探寻DAE ∠与C ∠、B ∠的关系．（2）如图②，若将点A 在AE 上移动到F ，FD BC ⊥于D ，其他条件不变，那么EFD ∠与C ∠、D ∠是否还有（1）中的关系？说明理由． （3）请你提出一个类似的问题．试一试 对于（2），通过作辅助线，将问题转化为（1）．例4 如图①，已知A 为x 轴负半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，()0,2C -，()3,2D --． （1）求BCD △的面积；（2）如图②，若AC BC ⊥，作CBA ∠的平分线交CO 于P ，交CA 于Q ，判断CPQ ∠与CQP ∠的大小关系，并证明你的结论；（3）如图③，若ADC DAC ∠=∠，点B 在x 轴正半轴上运动，ACB ∠的平分线CE 交DA 的延长线于21DAB ED ABCE 图①DABCF 图②点E ，在B 点的运动过程中，EABC∠∠的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．试一试 对于（3），ABC ∠能否用E ∠的式子表示？由数到形，分解出基本图形是解题的关键． 例5 在三角形纸片内有2008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上．问：以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？解法一 我们不妨先退一步，考察三角形内有一个点、两个点、三个点…的简单情形，有下表所示的3个小三角形，以后每增加一个点，这个点必落在已连好的某一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以推出，当三角形内有2008个点时，连接可得到小三角形的个数为：()32200814017+⨯-=（个）．解法二 整体核算法．设连线后把原三角形分割成n 个小三角形，则它们的内角和为180n ︒⋅，又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供360︒的内角，2008个点共提供内角2008360⨯︒，于是得方程1803602008180n =⨯+，解得4017n =，即这2008个点能将原三角形纸片分割成4017个小三角形． 角平分线角平分线是联系角与角之间关系的纽带，当角平分线与三角形相遇可生成内涵上有关联性、解法上有共通性的组图．例6 （1）如图①，已知ABC △中的两内角平分线交于P 点，两外角平分线交于M 点，一内角平分线与一外角平分线交于N 点．试分别探究BPC ∠、M ∠、N ∠与A ∠关系；（2）如图②，在凹四边形ABCD 中，已知ABD ∠与ACD ∠的平分线交于点E ，求证：2ADE ∠+∠∠=．分析与解 （1）1902BPC A ∠=︒+∠，1902M A ∠=︒-∠，12N A ∠=∠．（2）凹四边形ABCD 形似“规形”，易证BDC A B C ∠=∠+∠+∠．图①图②图③NPABC图①x y yxD A BCE 图②图②可分解为两个“规形”，BE ∵、CE 分别平分ABD ∠、ACD ∠，∴可设ABE DBE x ∠=∠=，ACE DCE y ∠=∠=． 由（1）得E A x y ∠=∠++，① D E x y ∠=∠++，②②-①得D E E A ∠-∠=∠-∠，2A DE ∠+∠∠=∴．数学冲浪 知识技能广场1．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M ．若100ADF ∠=︒，则BM D ∠=_________度．2．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中1∠的度数为_______．3．如图，ABC △中，80A ∠=︒，剪去A ∠后，得到四边形BCED ，则12∠+∠=_______．4．如图，在ABC △中，A α∠=，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；…，2008A BC ∠的平分线与2008A CD ∠的平分线相交于点2009A ，得2009A ∠，则2009A ∠=________．5．如图，ABC △中，A ∠、B ∠、C ∠的外角分别记为α、β、γ．若::3:4:5αβγ=，则::A B C ∠∠∠=（ ）．A ．3:2:1B ．1:2:3C ．3:4:5D ．5:4:3MABCEF 1ECBA DABA 1A 26．如图，BP 是ABC △中ABC ∠的平分线，CP 是ACB ∠的邻补角的平分线．若20ABP ∠=︒，50ACP ∠=︒，则A P ∠+∠=（ ）．A ．70︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒7．在等腰ABC △中，AB AC =，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）．A ．7B ．11C ．7或11D ．7或108．如图，ABC △中，ABD DBE EBC ∠=∠=∠，ACD DCE ECB ∠=∠=∠，若145BEC ∠=︒，则B D C ∠等于（ ）．A ．100︒B ．105︒C ．110︒D ．115︒9．如图，已知射线OM 与射线ON 互相垂直，B 、A 分别为OM 、ON 上一动点，ABM ∠、BAN ∠的平分线交于C ．问：B 、A 在OM 、ON 上运动过程中，C ∠的度数是否改变？若不改变，求出其值；若改变，说明理由．10．如图①，已知ABC △中，ABC ACB ∠=∠，D 为BC 边上一点，E 为直线AC 上一点，且ADE AED ∠=∠．（1）求证：2BAD CDE ∠=∠，（2）如图②，若D 在BC 的反向延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？证明你的结论．CBA γαβMPABCECBA D OMNA C思维方法天地11．在ABC △中，50A ∠=︒，高BE 、CF 交于O ，且O 不与B 、C 重合，则BOC ∠的度数为_______． 12．如图，已知C ∠=45︒，452B α∠=︒+，453BAC α∠=︒+，AE 平分BAD ∠，则CAE ∠=_______．13．如图，BP 平分ABC ∠交CD 于F ，DP 平分ADC ∠交AB 于E ，AB 与CD 相交于G ，如果42A ∠=︒，38C ∠=︒，那么P ∠的度数为________．14．如图，已知ABC △中，A ACB ∠=∠，CP 平分ACB ∠，BD 、CD 分别为ABC △的两外角的平分线，给出下列结论：①CP CD ⊥；②1902D A ∠=︒-∠；③P D A C ∥．其中正确结论的个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．315．如图，31ABC ∠=︒，又BAC ∠的平分线AE 与FCB ∠的平分线CE 相交于E 点，则AEC ∠为（ ）． A ．14.5︒ B ．15.5︒ C ．16.5︒ D ．20︒图①A BCE 图②EC BADDABCEDGPABCEF DPAB C EFDABCEF16．如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②A E F A F E ∠=∠；③E B C C ∠=∠；④A G E F ∠⊥．其中正确的结论是（ ）．A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③17．平面内的四条线段AB 、BC 、CD 、DA 首尾顺次连接，已知24ABC ∠=︒，42ADC ∠=︒． （1）如图①，若BAD ∠与BCD ∠的平分线交于点M ，求AMC ∠的值；（2）如图②，点E 在BA 的延长线上，DAE ∠的平分线和BCD ∠的平分线交于点N ，求ANC ∠的值．18．如图，在BCD △中，BE 平分DBC ∠交CD 于F ，延长BC 至G ，CE 平分DCG ∠，且EC 、DB的延长线交于A 点，若30A ∠=︒，75DFE ∠=︒． （1）求证：DFE A D E ∠=∠+∠+∠； （2）求E ∠的度数；（3）若在图中作CBE ∠与GCE ∠的平分线交于1E ，作1C B E ∠与1GCE ∠的平分线交于2E ，作2CB E ∠与2GCE ∠的平分线交于3E ，依此类推，n CBE ∠与n GCE ∠的平分线交于1n E +，请用含有n 的式子表示1n E +∠的度数．应用探究乐园19．把一副学生用三角板（30︒、60︒、90︒和45︒、45︒、90︒）如图①放置在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，直角边AC 与y 轴重合，斜边AD 与y 轴重合，直角边AE 交x 轴于F ，斜边AB 交x 轴于G ，O 是AC 中点，8AC =．（1）把图①中的Rt AED △绕A 点顺时针旋转α度得图②，此时AGH △的面积是10，AHF △的面积是8，分别求F 、H 、B 三点的坐标；（2）如图③，设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M ，EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交于点N ，当AED △绕A 点转动时，N M ∠+∠的值是否会改变，若改变，请说明理由，若不改变，请求出其值．GABCEFCBAD图①DNABCE图②DGABC F20．问题提出 以n 边形的他个顶点和它内部的m 个点，共()m n +个点作为顶点，可把原n 边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究 为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以ABC △的三个顶点和它内部的1个点P ，共4个点为顶点，可把ABC △分割成多少个互不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把ABC △分割成3个互不重叠的小三角形．探究二：以ABC △的三个顶点和它内部的2个点P ，Q ，共5个点为顶点，可把ABC △分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图①ABC △的内部，再添加1个点Q ，那么点Q 的位置会有两种情况：一种情况，点Q 在图①分割成的某个小三角形内部，不妨假设点Q 在PAC △内部，如图②； 另一种情况，点Q 在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点Q 在PA 上，如图③． 显然，不管哪种情况，都可把ABC △分割成5个互不重叠的小三角形． 探究三：以ABC △的三个顶点和它内部的3个点P ，Q ，R 共6个点为顶点，可把ABC △分割成______个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．探究四：以ABC △的三个顶点和它内部的m 个点，共()3m +个顶点，可把ABC △分割成______个互不重叠的小三角形．探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m 个点，共()4m +个顶点，可把四边形分割成_____个互不重叠的小三角形，问题解决 以n 边形的挖个顶点和它内部的m 个点，共()m n +个顶点，可把ABC △分割成____个互不重叠的小三角形．实际应用 以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）图①图②图③图①图②图③ABC图④24．认识三角形 问题解决例l 当ABC △为锐角三角形时，120BOC ∠=︒；当ABC △为钝角三角形时，60BOC ∠=︒．例2 B 180B C AED ADE A ∠+∠=∠+∠=︒-∠，又12360B C A E D A D E ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，得()218012360A ︒-∠+∠+∠=︒，化简得()1122A ∠=∠+∠．例3 （1）()12DAE C B ∠=∠-∠；（2）过A 作AG BC ⊥于G ，则()12EFD EAG C B ∠=∠=∠-∠；（3）略例4 （1）3BCD S =△（2）可证明CPQ CQP ∠=∠．（3）CD AB ∥，可证明1122ABCE ABC ABC ∠∠==∠∠为定值．数学冲浪1．85 2．75︒ 3．260︒ 4．20092α5．A 6．C 7．C 8．C9．190452C AOB ∠=︒-∠=︒，为一定值．10．（1）证明略；（2）（1）中的结论仍然成立 11．50︒或130︒ 12．126︒13．40︒ 如图，由对顶三角形性质得122122A P A C ∠+∠=∠+∠⎧⎨∠+∠=∠+∠⎩，解得40P ∠=︒．14． D 15． B 16．C17．（1）可证明()1332AMC ABC ADC ∠=∠+∠=︒．（2）可证明()11801232ANC B D ∠=︒+∠+∠=︒．18．（1）略；（2）2D E ∠=∠，代入（1）得15E ∠=︒；（3）122113022n n n E D +++∠=∠=⋅︒．19．（1）()5,0F -，()1,0H -，()8,4B -． （2）22.52M α∠=︒+，752N α∠=︒-，97.5M N ∠+∠=︒，故M N ∠+∠的值不会改变．20．探究三：7分割示意图：（答案不唯一）． 探究四：()321m +-或21m + 探究拓展：()421m +-或22m +21PGFEDCBA问题解决：()21n m +-或22m n +-实际应用：把8n =，2012m =代入上述代数式，得2222012824024824030m n +-=⨯+-=+-=．CBA。