高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数综合测试训练(含解析)新人教B版必修第二册-新人教B版高

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高中人教B版数学必修第二册精练：第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.2 4.2.2

A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析 2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 2．如果lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ，那么( ) A ．x ＝ab 3c 5 B ．x ＝3ab5cC ．x ＝a ＋3b －5cD ．x ＝a ＋b 3－c 3 答案 A解析 ∵lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ＝lg a ＋lg b 3－lg c 5＝lg ab 3c 5，∴x ＝ab 3c 5.3．化简log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 23132等于( ) A ．5 B ．4 C ．－5 D ．－4 答案 C解析原式＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×34×…×3132＝log 2132＝－5.4．若2.5x ＝1000,0.25y ＝1000，则1x －1y ＝( ) A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析 ∵x ＝log 2.51000＝3lg 2.5，y ＝log 0.251000＝3lg 0.25，∴1x －1y ＝13×(lg 2.5－lg 0.25)＝13×lg 2.50.25＝13×lg 10＝135．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2的值等于( )A ．2 B.12 C ．4 D.14 答案 A解析由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝(lg a －lgb )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ＝22－4×12＝2.二、填空题答案 154 解析7．化简(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________. 答案 54解析原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28×⎝ ⎛⎭⎪⎫1log 23＋1log 232 ＝56log 23×32log 23＝54.8．计算：log 225×log 3116×log 519×ln e ＝________. 答案 8解析原式＝2lg 5lg 2×－4lg 2lg 3×－2lg 3lg 5×12＝8. 三、解答题解10．解下列方程：(1)12(lg x －lg 3)＝lg 5－12lg (x －10)； (2)lg x ＋2log (10x )x ＝2.解 (1)由已知方程知⎩⎨⎧x >0，x －10>0.故x >10.原方程可化为lg x3＝lg5x －10，所以x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0. 解得x ＝15或x ＝－5(舍去)，经检验，x ＝15是原方程的解． (2)由已知方程知10x >0且10x ≠1，即x >0且x ≠110. 原方程可化为lg x ＋2lg x1＋lg x＝2，即lg 2x ＋lg x －2＝0. 令t ＝lg x ，则t 2＋t －2＝0，解得t ＝1或t ＝－2，即lg x ＝1或lg x ＝－2，所以x ＝10或x ＝1100.经检验，x ＝10，x ＝1100都是原方程的解．B 级：“四能”提升训练1．设0<a <1，x ，y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，当y ＝24时，log a y 取得最小值，求a 的值．解由已知条件，得log a x ＋3log a x －log a ylog a x ＝3，所以log a y ＝(log a x )2－3log a x ＋3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x －322＋34. 当log a x ＝32时，log a y 有最小值34. 此时y ＝24，所以有log a 24＝34，2．(1)已知5x ＝2y ＝(10)z ，且x ，y ，z 均不为0，求证：z x ＋zy ＝2； (2)设x a ＝y b ＝z c ，x >0，y >0，z >0，且1a ＋1b ＝1c ，求证：z ＝xy . 证明 (1)令5x ＝2y ＝(10)z ＝k ，则 x ＝log 5k ，y ＝log 2k ，12z ＝lg k ，z ＝2lg k ，所以z x ＋z y ＝2lg k log 5k ＋2lg k log 2k＝2lg k (log k 5＋log k 2)＝2lg k ·log k 10＝2. 所以z x ＋zy ＝2.(2)当x ＝y ＝z ＝1时，满足z ＝xy ；当x ≠1，y ≠1，z ≠1时，令x a ＝y b ＝z c ＝t (t >0，且t ≠1)，则a ＝log x t ，b ＝log y t ，c ＝log z t . 因为1a ＋1b ＝1c ，所以log t x＋log t y＝log t z.所以log t(xy)＝log t z.所以z＝xy.由Ruize收集整理。

2019_2020学年新教材高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数章末质量检测新人教B版必修第二册

章末质量检测(四) 指数函数、对数函数与幂函数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.lg 9－12等于( )A ．lg 9－1B ．1－lg 9C ．8D ．2 2解析：因为lg 9＜lg 10＝1，所以lg 9－12＝1－lg 9.答案：B 2．函数y ＝1log 2x －2的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －2≠0，x －2＞0，得x ＞2且x ≠3，故选C.答案：C3．函数f (x )＝13x ＋1的值域是( )A ．(－∞，1)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)∪(1，＋∞)解析：∵3x＋1＞1，∴0＜13x ＋1＜1，∴函数值域为(0,1)．答案：B4．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12xC ．log 12x D ．2x －2解析：f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2. ∴f (x )＝log 2x . 答案：A5．幂函数y ＝f (x )的图像过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图像是( )解析：设幂函数的解析式为y ＝x α，∵幂函数y ＝f (x )的图像过点(4,2)，∴2＝4α，解得α＝12.∴y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数．当0<x <1时，其图像在直线y ＝x的上方，对照选项，故选C.答案：C6．已知log 32＝a,3b＝5，则log 330用a ，b 表示为( ) A.12(a ＋b ＋1) B.12(a ＋b )＋1 C.13(a ＋b ＋1) D.12a ＋b ＋1 解析：因为3b＝5，所以b ＝log 35，log 330＝12log 330＝12(log 33＋log 32＋log 35)＝12(1＋a ＋b )．答案：A7．已知a ＝52log 3.4，b ＝54log 3.6，c ＝(15)3log 0.3，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b解析：c ＝5310log 3只需比较log 23.4，log 43.6，log 3103的大小，又0＜log 43.6＜1，log 23.4＞log 33.4＞log 3103＞1，所以a ＞c ＞b .答案：C8．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )解析：方法一当a＞1时，y＝x a与y＝log a x均为增函数，但y＝x a递增较快，排除C；当0＜a＜1时，y＝x a为增函数，y＝log a x为减函数，排除A.由于y＝x a递增较慢，所以选D.方法二幂函数f(x)＝x a的图像不过(0,1)点，故A错；B项中由对数函数f(x)＝log a x的图像知0＜a＜1，而此时幂函数f(x)＝x a的图像应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D对；C项中由对数函数f(x)＝log a x的图像知a＞1，而此时幂函数f(x)＝x a的图像应是增长越来越快的变化趋势，故C错．答案：D9．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x解析：经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.答案：D10．下列选项正确的是( )A．0.20.2>0.30.2 B．212-<312-C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3>0.93.1解析：A中，∵函数y＝x0.2在(0，＋∞)上为增函数，0.2<0.3，∴0.20.2<0.30.2；B中，∵函数y＝x12-在(0，＋∞)上为减函数，∴212->312-；C中，∵0.8－1＝1.25，y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2；D中，1.70.3>1,0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1. 答案：D11．三个变量y 1，y 2，y 3随着变量x 的变化情况如表：x 1 3 5 7 9 11 y 1 5 135 625 1 715 3 635 6 655 y 2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y 356.106.616.957.207.40则与x 呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是( ) A ．y 1，y 2，y 3 B ．y 2，y 1，y 3 C ．y 3，y 2，y 1 D ．y 3，y 1，y 2解析：三种常见增长型函数中，指数型函数呈爆炸式增长，而对数型函数增长越来越慢，幂函数型函数介于两者之间，结合题表，只有C 符合上述规律，故选C.答案：C12．关于x 的方程2x ＝a 2＋a 在(－∞，1]上有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2，－1)∪(0,1] B ．[－2，－1]∪(0,1] C ．[－2，－1)∪(0,2] D ．[－2，－1]∪(0,2] 解析：∵方程2x ＝a 2＋a 在(－∞，1]上有解，又y ＝2x∈(0,2]， ∴0<a 2＋a ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a >0，a 2＋a ≤2.解得－2≤a <－1或0<a ≤1.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 32x－1，x ≥2，则f (f (2))＝________.解析：因为f (2)＝log 3(22－1)＝1，所以f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.答案：2 14．计算：log 252－4log 25＋4＋log 215＝________.解析：原式＝|log 25－2|＋log 25－1＝log 25－2－log 25＝－2. 答案：－215．不等式222x x －＋>⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________．解析：不等式222x x －＋>⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫1222x x － >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，等价于x 2－2x <x ＋4，即x 2－3x －4<0，解得－1<x <4. 答案：{x |－1<x <4}16.⎝ ⎛⎭⎪⎫8162514-的值是________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫8162514-＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6258114＝ 462581＝45434＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫534＝53. 答案：53三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫214 12－(－0.96)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫33823-＋1.5－2＋[(－32)－4]34-；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷10012-＋77log 14.解析：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫27823-＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋[(32)－4] 34-＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋(32)3＝12＋2＝52. (2)原式＝－(lg 4＋lg 25)÷10012-＋14＝－2÷10－1＋14＝－20＋14＝－6.18．(12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23|x |－a .(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．解析：(1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23t，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23t是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2，所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，从而a ＝2.19．(12分)已知f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(1－x )． (1)求函数f (x )的定义域．(2)判断函数f (x )的奇偶性，并加以说明． (3)求f ⎝⎛⎭⎪⎫22的值．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >－1x <1，即－1<x <1.所以函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}． (2)函数f (x )为偶函数．证明如下：因为函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，又因为f (－x )＝log 2[1＋(－x )]＋log 2[1－(－x )]＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝f (x )，所以函数f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(1－x )为偶函数． (3)f ⎝⎛⎭⎪⎫22＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22＋log 2⎝⎛⎭⎪⎫1－22＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22 ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝log 212＝－1.20．(12分)函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．解析：分情况讨论：①当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝a 1＝a ，最小值f (x )min ＝f (2)＝a 2，∴a －a 2＝a 2，解得a ＝12或a ＝0(舍去)；②当a ＞1时，函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值f (x )max ＝f (2)＝a 2，最小值f (x )min ＝f (1)＝a 1＝a ，∴a 2－a ＝a 2，解得a ＝32或a ＝0(舍去)．综上所述，a ＝12或a ＝32.21．(12分)已知函数f (x )＝a3－ax(a >0且a ≠1)．(1)当a ＝2时，f (x )<4，求x 的取值范围．(2)若f (x )在[0,1]上的最小值大于1，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝2时，f (x )＝23－2x<4＝22,3－2x <2，得x >12.(2)y ＝3－ax 在定义域内单调递减，当a >1时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝a3－a>1＝a 0，得1<a <3.当0<a <1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，f (x )min ＝f (0)＝a 3>1，不成立．综上：1<a <3.22．(12分)某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四月的污染度如下表：污染度为0整治后第一个月开始工厂的污染模式：f (x )＝20|x －4|(x ≥1)，g (x )＝203(x －4)2(x ≥1)，h (x )＝30|log 2x －2|(x ≥1)，其中x 表示月数，f (x )，g (x )，h (x )分别表示污染度．(1)选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60? 解析：(1)用h (x )模拟比较合理，理由如下：因为f (2)＝40，g (2)≈26.7，h (2)＝30，f (3)＝20，g (3)≈6.7，h (3)≈12.5，由此可得h (x )更接近实际值，所以用h (x )模拟比较合理．(2)因为h (x )＝30|log 2x －2|在x ≥4时是增函数，又因为h(16)＝60，故整治后有16个月的污染度不超过60.。

人教版高中数学必修第一册第4章指数函数与对数函数综合检测培优卷(含详细解析)

第4章指数函数与对数函数（原卷版）本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．在下面四个等式运算中，正确的是A ．22133aa -=B ．2133a a ÷=C ．342=D 8=-2．若实数x 、y 满足x y a b ab ==（0a >，0b >且a b ¹），则11x y+的值为A ．2-B ．2C ．1-D ．13．三个数3log 0.3a =，3log 2b =，12c =的大小顺序是A ．a b c <5．若a ､b ､c 都是正数，且469a b c ==，那么A ．2ac bc ab +=B ．ac bc ac +=C ．221c a b=+D ．121c b a=-6．若直线2y a =与函数21xy =-的图象有两个公共点，则a 的取值可以是A ．14B ．12C ．2D ．47．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如图所示，则函数()2xg x a b =+-的图象是A．B．C．D．8．已知()1313logf x x x=-时，当0a b c<<<时，满足()()()0f a f b f c⋅⋅<，则关于以下两个结论正确的判断是①函数()y f x=只有一个零点；②函数()y f x=的零点必定在区间（a，b）内．A．①②均对B．①对，②错C．①错，②对D．①②均错二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若0a>，且1a≠，Rx∈，Ry∈，且0xy>，则下列各式不恒成立的是①2log2loga ax x=；②2log2loga ax x=；③()log log loga a axy x y=+；④()log log loga a axy x y+＝．A．①B．②C．③D．④10．已知23a =，3log 2b =，则A ．2a b +>B ．1ab =C ．82339b b-+=D ．()911log 122a b a++=11．给出下列四个命题，其中所有正确命题的选项是A ．函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,0)B ．化简2log312lg5log lg 23+++的结果为25C ．已知函数()log 2a y ax =-（0a >且1a ≠）在()0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是()1,2D ．若22ln ln()x y x y -->--（0x >，0y <），则0x y +<12．已知函数()12log ,0410,4x x f x x x⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若方程()f x a =有三个实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则A ．121=x x B ．实数a 的取值范围为50,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．312x x x 的取值范围为[)5,+∞D ．()2f x >的解集为()10,4,54⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数2322xx y -+=的单调递增区间为__________．14．已知0x >，y R ∈，定义*y x y x =，则(13*22⎛⎫= ⎪⎝⎭__________．15．已知[x ]表示不超过x 的最大整数，定义函数f (x )=x -[x ]．有下列结论：①函数的图象是一条直线；②函数f (x )的值域为[0，1)；③方程f (x )=12有无数个解；④函数是R 上的增函数．其中正确的是__________．(填序号)16．已知()41,0121,1x x x f x x -<<⎧=⎨-≥⎩，设0b a >>，若()()f a f b =，则()a f b ⋅的取值范围是__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）化简与求值．（1）化简：3142111136431645x yx y x y ----⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（x ，0y >）；（2）已知()110a a a --=>，求()()22442a a a a --+--的值．18．（12分）（1123182-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）已知102m =，103n =，求32210m n-的值．19．（12分）在飞机制造业中，发现一条规律：制造第2架飞机所需的工时数是第1架的80%；第4（即22）架又是第2架的80%；第8（即32）架又是第4架的80%；……这就是说，通过积累经验，可以提高效率．这也是符合学习规律的，这里的80%称为“进步率”，所制造的飞机架数与所需工时数之间的函数关系所确定的曲线常称为“学习曲线”．设制造第1架飞机需要用k 个工时，进步率为r ，试求出制造第x 架飞机与需用的工时数y 之间的函数表达式．20．（12分）设正整数a 、b 、c 满足：对任意的正整数n ，都有1n n n a b c ++=成立．（1）求证：a b c +≥；（2）求出所有满足题设的a 、b 、c 的值．21．（12分）函数()()4122x xf x a a =-+⋅-+．（1）当3a =时，求函数()f x 在区间[]0,2上的最值；（2）已知方程()0f x =的两个实数根1x ，2x ，满足1201x x <<<，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知函数()y f x =，()2log 2ax f x x -=+，其中0a >且1a ≠．（1）求()()()()()()2020101050550510102020f f f f f f -+-+-+++；（2）若对于[]4,3x ∈--，()()2log 59a f x a a >-+恒成立，求实数a 的取值范围．第4章指数函数与对数函数（解析版）本卷满分150分，考试时间120分钟。

2019_2020学年新教材高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数测评新人教B版必修第二册

第四章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.函数f (x )=log 2的定义域为( )A.(0,2)B.(0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)f (x )有意义,∴{log 2x -1>0,x >0.∴x>2,∴f (x )的定义域为(2,+∞).2.(2019北京)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( ) A.y=x 12B.y=2-xC.y=lo g 12xD.y=1xy=2-x,y=lo g 12x ,y=1x 在区间(0,+∞)上单调递减,函数y=x 12在区间(0,+∞)上单调递增,故选A .3.设f (x )={2e x -1,x <2,log 3(2x -1),x ≥2,则f (f (2))等于( )A.0B.1C.2D.3f (2)=log 3(22-1)=1,∴f (f (2))=f (1)=2e 1-1=2.4.若函数y=a x+m-1(a>0)的图像经过第一、三、四象限,则( ) A.a>1 B.0<a<1,且m>0 C.a>1,且m<0D.0<a<1,a>1,且m-1<-1,所以a>1,且m<0.5.(2019天津)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为()A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<blog27>log24=2.b=log38<log39=2,且b>1.又c=0.30.2<1,故c<b<a,故选A.6.已知函数:①y=2x;②y=log2x;③y=x-1;④y=x12.则下列函数图像(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是()A.②①③④B.②③①④C.④①③②D.④③①②D.7.下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的增函数是()A.f(x)=x3B.f(x)=3x)xC.f(x)=x12D.f(x)=(12f(x)=x3,f(x+y)=(x+y)3,f(x)f(y)=x3·y3,而(x+y)3≠x3y3,所以f(x)=x3不满足f(x+y)=f(x)f(y),故A错误;对于函数f(x)=3x,f(x+y)=3x+y=3x·3y=f(x)f(y),因此f(x)=3x满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(x)=3x是增函数,故B正确;对于函数f(x)=x12,f(x+y)=(x+y)12,f(x)f(y)=x12x12=(xy)12,而(x+y)12≠(xy)12,所以f(x)=x12不满足f(x+y)=f(x)f(y),故C错误;对于函数f(x)=(12)x,f(x+y)=(12)x+x=(12)x·(12)x=f(x)·f(y),因此f(x)=(12)x满足f(x+y)=f(x)f(y),但f(x)=(12)x不是增函数,故D错误.8.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图像如图所示,则下列结论成立的是()A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1y=log a(x+c)的图像是由y=log a x的图像向左平移c个单位得到的,其中0<c<1.再根据单调性易知0<a<1.9.设函数f(x)=log a|x|(a>0,且a≠1)在(-∞,0)内单调递增,则f(a+1)与f(2)的大小关系为()A.f(a+1)=f(2)B.f(a+1)>f(2)C.f(a+1)<f(2)D.不确定f (x )为偶函数,所以f (x )在(0,+∞)上单调递减.所以0<a<1.则1<a+1<2.所以f (a+1)>f (2).10.若函数y=log a x (a>0,且a ≠1)的图像如图所示,则下列函数图像正确的是( )log a 3=1,所以a=3.A 选项,y=3-x=(13)x为指数函数,在R 上单调递减,故A 不正确.B 选项,y=x 3为幂函数,图像正确.C 选项,y=(-x )3=-x 3,其图像和B 选项中y=x 3的图像关于x 轴对称,故C 不正确.D 选项,y=log 3(-x ),其图像与y=log 3x 的图像关于y 轴对称,故D 选项不正确.综上可知选B .11.已知函数f (x )={-(12)x,x ≤x <0,-x 2+2x ,0≤x ≤4的值域是[-8,1],则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-3]B.[-3,0)C.[-3,-1]D.{-3}0≤x ≤4时,-8≤f (x )≤1,当a ≤x<0时,-(12)x≤f (x )<-1,所以[-12x ,-1)⊆[-8,1],所以-8≤-12x <-1,解得-3≤a<0.12.设函数f (x )=n-1,x ∈[n ,n+1),n ∈N ,函数g (x )=log 2x ,则方程f (x )=g (x )的实数根的个数是( ) A.1 B.2C.3D.4f (x )和g (x )的图像,如下图所示,从图中不难看出方程f (x )=g (x )有3个零点.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.若函数y=f (x )的图像恒过点(0,1),则函数y=f (x )反函数的图像一定过定点 .y=x 对称可知,f (x )的反函数一定过定点(1,0). 14.已知log 95=m ,log 37=n ,则用m ,n 表示log 359= .log 359=2log 353=2log335=2log 35+log 37,且m=log 95=12log 35,n=log 37, ∴log 359=22x +x .15.已知函数f (x )={3x ,x ≤1,-x ,x >1,若f (x )=2,则x= .32{x ≤13x =2⇒x=log 32,{x >1-x =2⇒x=-2不符合,故应填log 32.16.对于函数f (x )定义域中任意的x 1,x 2(x 1≠x 2),有如下结论:①f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2); ②f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2); ③x (x 1)-x (x 2)x 1-x 2>0;④f (x 1+x 22)<x (x 1)+x (x 2)2.当f (x )=lg x 时,上述结论中正确结论的序号是 .f (x )=lg x ,且x 1≠x 2,所以f (x 1+x 2)=lg(x 1+x 2)≠lg x 1·lg x 2. 所以①不正确.f (x 1·x 2)=lg(x 1·x 2)=lg x 1+lg x 2=f (x 1)+f (x 2).因此②正确.因为f (x )=lg x 是增函数, 所以f (x 1)-f (x 2)与x 1-x 2同号. 所以x (x 1)-x (x 2)x 1-x 2>0.因此③正确.因为f (x 1+x 22)>x (x 1)+x (x 2)2,因此④是不正确的.综上,填②③.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)求下列各式的值: (1)log 535+2lo g 12√2-log 5150-log 514;(2)(lg 2)3+(lg 5)3+3lg 2·lg 5; (3)log 32log2764.原式=log 535×5014+2lo g 12212=log 553-1=2.(2)原式=(lg2+lg5)(lg 22-lg2·lg5+lg 25)+3lg2·lg5=lg 22+lg 25+2lg2·lg5=(lg2+lg5)2=1. (3)原式=log 32·log 6427=lg2lg3·lg27lg64=36=12.18.(12分)已知-1≤x ≤2,求函数f (x )=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值.t=3x,因为-1≤x ≤2,所以13≤t ≤9,且f (x )=g (t )=-(t-3)2+12. 故当t=3,即x=1时,f (x )的最大值为12, 当t=9,即x=2时,f (x )的最小值是-24. 19.(12分)解不等式2log a (x-4)>log a (x-2).a>1时,原不等式可化归为{x -4>0,x -2>0,(x -4)2>x -2,解得x>6;当0<a<1时,原不等式可化归为{x -4>0,x -2>0,(x -4)2<x -2,解得4<x<6.综上所述,当a>1时,原不等式的解集是{x|x>6}; 当0<a<1时,原不等式的解集是{x|4<x<6}. 20.(12分)已知函数f (x )=2x -12x +1. (1)求函数f (x )的定义域、值域; (2)试判断函数f (x )的奇偶性.要使f (x )有意义,只要使2x+1≠0,由于对任意的x ∈R ,2x≠-1,所以x ∈R ,即函数f (x )的定义域为R .y=f (x )=2x -12x +1=1-22x +1.令t=2x,则t>0,所以y=1-2x +1.所以y ∈(-1,1),即f (x )的值域为(-1,1). (2)对任意x ∈R ,则有-x ∈R . 又因为f (-x )=2-x -12-x +1=1-2x1+2x =-f (x ), 所以f (x )为奇函数.21.(12分)已知f (x )=log a (a x-1)(a>0,且a ≠1). (1)求f (x )的定义域; (2)讨论f (x )的单调性;(3)当a 取何值时,图像在y 轴的左侧?当a>1时,定义域为(0,+∞);当0<a<1时,由a x-1>0可知,定义域为(-∞,0).(2)设f(u)=log a u,u=a x-1.当a>1时,x∈(0,+∞),u=a x-1是增函数,y=log a u也是增函数.由复合函数单调性可知:f(x)在(0,+∞)内为增函数.同理,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)内为增函数.(3)由图像在y轴的左侧可知,当x<0时,a x-1>0,解得0<a<1.22.(12分)为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(毫克)与时间)x-x(a为常数),如图所示.t(小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=(18(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式;(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒过来?根据题中所述,由题图可知,血液中麻醉剂的含量y(毫克)是关于时间t(小时)的一个分段函数:当0≤t≤0.1时,函数的图象是一条经过O(0,0)的线段,设其方程为y=kt(k为待定系数), 又因为A(0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点A的坐标得k=10,所以当0≤t≤0.1时,y=10t.)x-x,当t>0.1时,函数解析式为y=(18而A(0.1,1)在这段函数图象上,代入得:1=(18)0.1-x,所以有0.1-a=0,解得a=0.1.故当t>0.1时,y=(18)x-0.1.综上,血液中麻醉剂的含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式为y={10x,0≤x≤0.1, (18)x-0.1,x>0.1.(2)要使手术后的病人能清醒过来,需要麻醉剂含量降低到0.125毫克以下,此时t>0.1,且y≤0.125=18.当t>0.1时,由(18)x-0.1≤18,得t-0.1≥1,解得t≥1.1.所以至少需要经过1.1小时后病人才能清醒.。

(人教版B版)高中数学必修第二册第四章综合测试试卷02及答案

第四章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数()3x y f =的定义域为[1,1]-，则函数()3log y f x =的定义域为（）A .[1,1]-B .1,23éùêúëûC .[1,2]D.2.已知函数1()2)2f x x =+，则1(lg 2)lg 2f f æö+=ç÷èø（）A .1-B .0C .1D .23.设函数2()log f x x =，若(1)2f a +＜，则实数a 的取值范围为（）A .(1,3)-B .(,3)-¥C .(,1)-¥D .(1,1)-4.已知函数2||()e x f x x =+，若()02a f =，121log 4b f æö=ç÷ç÷èø，2log c f æ=ççè，则,,a b c 的大小关系为（）A .a b c ＞＞B .a c b ＞＞C .b a ＞＞cD .c a b＞＞5.已知(31)4,1,()log ,1aa x a x f x x x -+ì=íî＜≥，是R 上的减函数，那么实数a 的取值范围是（）A .(0,1)B .11,73éö÷êëøC .10,3æöç÷èøD .11,93æöç÷èø6.已知,(1,)m n Î+¥，且m n ＞，若26log log 13m n n m +=，则函数2()m nf x x =的图像为（）AB C D7.给出下列命题：①函数e e 2x xy -+=为偶函数；②函数e 1e 1x x y -=+在x ÎR上单调递增；③函数lg y x =在区间(0,)+¥上单调递减；④函数13xy æö=ç÷èø与3log y x =-的图像关于直线y x =对称。

新教材高中数学第四章指数函数与对数函数3.1对数的概念基础训练(含解析)

对数的概念基础达标练1.（2020江苏南京高一期中）下列说法中正确的是( )12=1 ，所以log 11=232=9 ，所以log 39=2(−3)2=9 ，所以log (−3)9=232=9 ，所以log 92=3答案：B2.下列等式中不成立的是( )A.lne =1B.log 31=0C.√23=B −23D.log (−5)(−5)=1答案： B3.（多选）（2020湖北黄石一中期末）下列四个结论中正确的有( )A.lg (lg 10)=0B.lg (lne )=0e =ln B ，则B =e 2 D.ln (lg 1)=0答案： B ; Blog (1−B )(1+B )2=1 ，则B 的值是( )答案： B 2BBB 3B =14 的解是( )A.B =19B.B =√33C.B =√3D.B =9答案：Blog B (2B )=−1 ，则B +B 的最小值为 .答案： √2B (2−B )=log 2B ，则B (14) 的值为 .答案：1 解析：令2−B =14 ，则B =2 ,所以B(14)=B(2−2)=log22=1 .8.（1）已知log2(log5B)=0，求B的值；（2）计算：lg5(lg8+lg1000)+(lg2√3)2+lg16+lg0.06 .答案：（1）∵log2(log5B)=0，∴log5B=20=1,∴B=51=5.（2）原式=lg5(3 lg2+3)+3(lg2)2−lg6+lg6−2=3⋅lg5⋅lg2+3 lg5+3(lg2)2−2=3 lg2(lg5+lg2)+3 lg5−2=3 lg2+3 lg5−2 =3(lg2+lg5)−2=3−2=1 .9.（1）已知log189=B，log1854=B，求182B−B的值；（2）已知log B27=31+log32，求B的值.答案：（1）∵log189=B，log1854=B，∴18B=9,18B=54，∴182B−B=182B18B =9254=32.（2）log B27=31+log32=3⋅3log32=3×2=6 .∴B6=27,∴B6=33，又B＞0,∴B=√3 .素养提升练BBB2B=BBB3B,B,B∈(0,+∞)有以下结论：①B=B；②B＜B＜1；③B＜B＜1；④1＜B＜B；⑤1＜B＜B ,其中可能成立的是( )A.①②⑤B.②③⑤C.③④⑤D.①④⑤答案：B解析：设log2 m=log3B=B，则2B=B,3B=B，当B=0时，B=B=1，故①正确；当B＜0时，0＜B＜B＜1，故②正确；当B＞0时，1＜B＜B ,故⑤正确.故选A.11.（多选）已知B＞0，B＞0，B＞0，若−1＜log3B=log5B=log7B＜0，则( )A.B＜B＜BB.B＜B＜BC.3B＜5B＜7BD.5B＜3B＜7B答案：B ; B解析：设log3B=log5B=log7B=B，则B=3B，B=5B，B=7B，因为−1<log3B=log5B=log7B<0，所以−1＜B＜0，所以B=B B在(0,+∞)上是减函数，所以B＜B＜B，而3B=3B+1，5B=5B+1，7B=7B+1，B=B B+1在(0,+∞)上是增函数，所以3B＜5B＜7B .故选AC.12.（2020吉林通化辉南第一中学高一月考）若log B4=B,log B5=B，则lg B B+2B= . 答案： 2解析：∵log B4=B，log B5=B，∴B B=4，B B=5，∴B B+2B=B B⋅(B B)2=4×52=100，∴lg B B+2B=lg100=2 .B与地震释放的能量B的关系式为B=23(lg B−11.4) .如果B地地震级别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，那么B地地震释放的能量是B地地震释放的能量的倍.答案：10√10解析：由B=23(lg B−11.4) ,得32B+11.4=lg B，故B=1032B+11.4 .设B地和B地地震释放的能量分别为B1，B2，则B1B2=1032×9+11.41032×8+11.4=1032=10√10 .log2[log3(log4B)]=0,且log4(log2B)=1，求√B⋅B34的值. 答案：∵log2[log3(log4B)]=0，∴log3(log4B)=1，∴log4B=3,∴B=43=64 .由log4(log2B)=1，知log2B=4，∴B=24=16 .∴√B⋅B34=√64×1634=8×8=64 .创新拓展练log2[log12(log2B)]=log3[log13(log3B)]=log5[log15(log5B)]=0，试比较B,B,B的大小.解析：命题分析本题考查对数的基本性质,指数式与对数式之间的互化,幂函数的单调性的应用,指数大小比较,还考查了运算求解的能力.答题要领由BBB2[BBB12(BBB2B)]=0得log2B=12，即可求得B的值,同理求出B，B的值，然后比较大小即可.答案：详细解析由BBB2[BBB12(BBB2B)]=0得，log12(log2B)=1，则log2B=12，即B=212 .由log3[log13(log3B)]=0得，log13(log3B)=1，则log3B=13，即B=313 .由log3[log13(log3B)]=0得，log15(log5B)=1，则log5B=15，即B=515 .∵B=313=326=916，B=212=236=816，∴B＞B，又∵B=212=2510=32110，B=515=5210=25110，∴B＞B，故B＞B＞B .方法感悟解答此题时要注意指数式与对数式的互化，同时要结合题设条件，注意公式的灵活运用.。

人教B版(2019)高中数学必修第二册第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2.2对数运算法则习题

4.2.2 对数运算法则知识点一正确理解对数的运算法则1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( ) A．log a M·log a N＝log a(M＋N)B.log a Mlog a N＝log a(M－N)C．D．log a M＝log－2Mlog－2a2．下列式子中：①lg (3＋22)－lg (3－22)＝0；②lg (10＋99)×lg (10－99)＝0；③＝－1(n∈N*)；④lg alg b＝lg (a－b)．其中正确的有________(填序号)．知识点二对数式的计算、化简3．(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20的值是( ) A．0 B．1 C．2 D．34．lg 2516－2lg59＋lg3281等于( )A．lg 2 B．lg 3C．lg 4 D．lg 55．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( ) A．a－2 B．3a－(1＋a)2 C．5a－2 D．－a2＋3a－16．若lg x －lg y ＝a ，则 lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝( )A ．3aB ．32a C ．aD ．a27．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值等于( )A.12m －2n －2 B ．12m －2n －1 C.12m －2n ＋1 D ．12m －2n ＋2 8．化简log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 23132，得( )A ．5B ．4C ．－5D ．－49．已知3a＝2,3b＝15，则2a －b ＝________.10．计算下列各式的值： (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)lg 500＋lg 85－12lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2；(3)lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2； (4)lg 32－lg 9＋1lg 27＋lg 8－lg 1000lg 0.3×lg 1.2.知识点三换底公式及应用11．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( ) A ．a ＋b B ．a －bC ．abD ．a b 12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则1x －1y等于( )A.13B．3C．－13D．－313．若lg 2＝a，lg 3＝b，则log512等于( )A.2a＋b1＋aB．a＋2b1＋aC．2a＋b1－aD．a＋2b1－a14．若log a x＝2，log b x＝3，log c x＝6，则log abc x＝( ) A．1 B．2C．3 D．515．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________．16．若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________.17．计算：(1)log89×log2732；(2)log927；(3)log21125×log3132×log513.18．已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值．易错点一利用运算性质化简求值时忽略对数有意义的条件设lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则log4xy的值为________．易错点二运用换底公式不熟练致误log29×log34＝( )A.14B．12C．2 D．4一、单项选择题1．log225×log522＝( )A．3 B．4 C．5 D．62．若log513×log36×log6x＝2，则x等于( )A．9 B．1 9C．25 D．1 253. 等于( )A．lg 3 B．－lg 3C．1lg 3D．－1lg 34．化简log232－4log23＋4＋log213，得( )A．2 B．2－2log23C．－2 D．2log23－25．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )A．2 B．1 2C．100 D．10 6．设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于( )A．p2＋q2B．15(3p＋2q)C.3pq1＋3pqD．pq7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( ) A．6 B．9C．12 D．188．已知2x＝3，log483＝y，则x＋2y等于( )A．3 B．8 C．4 D．log48 二、多项选择题9．下列各等式正确的是( )A．log23×log25＝log2(3×5)B．lg 3＋lg 4＝lg (3×4)C．log2xy＝log2x－log2yD．lg nm＝1nlg m(m>0，n>1，n∈N*)10．若ab>1，则下列等式中正确的是( )A．lg (ab)＝lg a＋lg b B．lg ab＝lg a－lg bC.12lg⎝⎛⎭⎪⎫ab2＝lgabD．lg (ab)＝1log ab1011．已知x，y为正实数，则下列各式正确的是( )A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln y C．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y 12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列等式中正确的是( )A．(log a x)n＝n log a x B．log a x＝－log a 1 xC.nlog a x＝1nlog a x D．log a xn＝log anx三、填空题13．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，＝________.14．方程log2x＋1log x＋12＝1的解是x＝________.15．如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7×lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.16．设f(n)＝log n＋1(n＋2)(n∈N*)，现把满足乘积f(1)f(2)…f(n)为整数的n称为“贺数”，则在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数是________．四、解答题17．求值：(1)lg5＋lg20；(2)log89×log2732－(3－1)lg 1＋log535－log57；(3)(log43＋log83)(log32＋log92)．18．已知log a(x2＋4)＋log a(y2＋1)＝log a5＋log a(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log8yx的值．19．设0<a<1，x，y满足log a x＋3log x a－log x y＝3，若当y＝24时，log a y取得最小值，求a的值．20．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.(1)求p；(2)求证：1z－1x＝12y.4.2.2 对数运算法则知识点一正确理解对数的运算法则1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( ) A．log a M·log a N＝log a(M＋N)B.log a Mlog a N＝log a(M－N)C．D．log a M＝log－2Mlog－2a答案 C解析由对数的运算性质知A，B错误；对于C，loga m M n＝＝nm log a M，＝nm log a M，∴C正确．D中－2不能做底数，∴D错误．故选C.2．下列式子中：①lg (3＋22)－lg (3－22)＝0；②lg (10＋99)×lg (10－99)＝0；③＝－1(n∈N*)；④lg alg b＝lg (a－b)．其中正确的有________(填序号)．答案③解析lg (3＋22)－lg (3－22)＝lg 3＋223－22＝lg (3＋22)2>0，故①错误．∵lg (10＋99)≠0，lg (10－99)≠0.∴lg (10＋99)×lg (10－99)≠0，故②错误．∵＝＝－1，∴③正确．∵lg alg b≠lg (a－b)，故④错误．知识点二对数式的计算、化简3．(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20的值是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 20＝lg 5×lg 10＋lg 20＝lg 5＋lg 20＝lg 100＝2.4．lg2516－2lg 59＋lg 3281等于( ) A ．lg 2 B ．lg 3 C ．lg 4 D ．lg 5答案 A解析 lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2516÷2581×3281＝lg 2.故选A.5．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2 C ．5a －2 D ．－a 2＋3a －1答案 A解析 log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 6．若lg x －lg y ＝a ，则 lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝( )A ．3aB ．32a C ．a D ．a2答案 A解析由对数的运算性质可知，原式＝3(lg x －lg 2)－3(lg y －lg 2)＝3(lgx －lg y )＝3a .7．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值等于( )A.12m －2n －2 B ．12m －2n －1 C.12m －2n ＋1 D ．12m －2n ＋2 答案 D解析原式＝12lg x －2(lg y －lg 10)＝12m －2n ＋2.8．化简log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 23132，得( )A ．5B ．4C ．－5D ．－4答案 C解析原式＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×34×…×3132＝log 2132＝－5.9．已知3a ＝2,3b ＝15，则2a －b ＝________.答案 log 320解析 ∵3a＝2,3b＝15，两边取对数得a ＝log 32，b ＝log 315＝－log 35，∴2a －b＝2log 32＋log 35＝log 320.10．计算下列各式的值： (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)lg 500＋lg 85－12lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2；(3)lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2； (4)lg 32－lg 9＋1lg 27＋lg 8－lg 1000lg 0.3×lg 1.2.解 (1)原式＝log 27×1248×42＝log 212＝－12.(2)原式＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫500×85－lg 6412＋50(lg 10)2＝lg 8008＋50＝lg 100＋50＝2＋50＝52.(3)原式＝2lg 5＋lg 2×(1＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5＋lg 2)＝2lg 5＋2lg 2＝2.(4)原式＝lg 32－2lg 3＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫32lg 3＋3lg 2－32lg 3－1×lg 3＋2lg 2－1＝1－lg 3×32lg 3＋2lg 2－1lg 3－1×lg 3＋2lg 2－1＝－32.知识点三换底公式及应用11．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( )A．a＋b B．a－bC．ab D．a b答案 C解析log27＝log23×log37＝ab.12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则1x－1y等于( )A.13B．3C．－13D．－3答案 A解析由2.5x＝1000,0.25y＝1000得x＝log2.51000＝3lg 2.5，y＝log0.251000＝3lg 0.25，∴1x－1y＝lg 2.53－lg 0.253＝13.13．若lg 2＝a，lg 3＝b，则log512等于( )A.2a＋b1＋aB．a＋2b1＋aC．2a＋b1－aD．a＋2b1－a答案 C解析log512＝lg 12lg 5＝2lg 2＋lg 31－lg 2＝2a＋b1－a，故选C. 14．若log a x＝2，log b x＝3，log c x＝6，则log abc x＝( ) A．1 B．2C．3 D．5答案 A解析∵log a x＝1log x a＝2，∴log x a＝12.同理log x b＝13，log x c＝16.∴log abc x ＝1log xabc＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1.15．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解是________．答案 4解析由换底公式，得log 9(x ＋5)＝12log 3(x ＋5)．∴原方程可化为2log 3(x －1)＝log 3(x ＋5)，即log 3(x －1)2＝log 3(x ＋5)，∴(x －1)2＝x ＋5. ∴x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或x ＝－1. 又⎩⎨⎧x －1>0，x ＋5>0，∴x >1，故x ＝4.16．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________. 答案 9解析由换底公式，得lg 4lg 3×lg 8lg 4×lg m lg 8＝lg mlg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.17．计算： (1)log 89×log 2732； (2)log 927； (3)log 21125×log 3132×log 513. 解 (1)log 89×log 2732＝lg 9lg 8×lg 32lg 27＝lg 32lg 23×lg 25lg 33＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3＝109.(2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32.(3)log 21125×log 3132×log 513＝log 25－3×log 32－5×log 53－1＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2×lg 2lg 3×lg 3lg 5＝－15. 18．已知log 189＝a,18b ＝5，用a ，b 表示log 3645的值．解解法一：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .于是log3645＝log1845log1836＝log189×5log1818×2＝log189＋log1851＋log182＝a＋b1＋log18189＝a＋b2－a.解法二：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.于是log3645＝log189×5log181829＝log189＋log1852log1818－log189＝a＋b2－a.解法三：∵log189＝a,18b＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18.∴log3645＝lg 45lg 36＝lg 9×5lg1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a＋b2－a.易错点一利用运算性质化简求值时忽略对数有意义的条件设lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则log4xy的值为________．易错分析错误的根本原因是将对数式lg x＋lg y＝2lg (x－2y)转化为代数式xy＝(x－2y)2时，忽略了对数有意义的条件，即隐含条件⎩⎨⎧x>0，y>0，x－2y>0.从而误认为xy＝4或xy＝1，得出log4xy＝1或0的错误答案．答案 1正解由lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，得lg (xy)＝lg (x－2y)2，因此xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，得xy＝4或xy＝1，又x>0，y>0，x－2y>0，∴xy≠1，∴log4xy＝1.易错点二运用换底公式不熟练致误log29×log34＝( )A.14B．12C．2 D．4易错分析本题易在使用对数的运算公式时，尤其换底公式的使用过程中发生错误．答案 D正解log29×log34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝2×2＝4.一、单项选择题1．log225×log522＝( )A．3 B．4 C．5 D．6 答案 A解析log225×log522＝lg 25lg 2×＝2lg 5lg 2×32lg 2lg 5＝3.2．若log513×log36×log6x＝2，则x等于( )A．9 B．1 9C．25 D．1 25答案 D解析由换底公式，得原式＝－lg 3lg 5×lg 6lg 3×lg xlg 6＝2，∴lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝1 25 .3. 等于( )A．lg 3 B．－lg 3C．1lg 3D．－1lg 3答案 C解析原式＝＝log310＝1lg 3.选C.4．化简log232－4log23＋4＋log213，得( )A．2 B．2－2log23C．－2 D．2log23－2 答案 B解析∵log232－4log23＋4＝log23－22＝2－log23，∴原式＝2－log23＋log23－1＝2－2log23.5．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )A．2 B．1 2C．100 D．10答案 C解析∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得lg a＋lg b＝－－42＝2＝lg ab，∴ab＝100.故选C.6．设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于( )A．p2＋q2B．15(3p＋2q)C.3pq1＋3pqD．pq答案 C解析∵log83＝lg 3lg 8＝lg 33lg 2＝p，∴lg 3＝3p lg 2.∵log35＝lg 5lg 3＝q，∴lg5＝q lg 3＝3pq lg 2＝3pq(1－lg 5)，∴lg 5＝3pq1＋3pq，故选C.7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( ) A．6 B．9C．12 D．18答案 D解析∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，∴1a＝log k2，1b＝log k3，∵2a＋b＝ab，∴2b＋1a＝2log k3＋log k2＝log k9＋log k2＝log k18＝1，∴k＝18.8．已知2x＝3，log483＝y，则x＋2y等于( )A．3 B．8 C．4 D．log48 答案 A解析∵2x＝3，∴x＝log23.又log483＝y，∴x＋2y＝log23＋2log483＝log23＋2(log48－log43)＝log23＋2⎝⎛⎭⎪⎫32log22－12log23＝log23＋3－log23＝3.故选A.二、多项选择题9．下列各等式正确的是( )A．log23×log25＝log2(3×5)B．lg 3＋lg 4＝lg (3×4)C．log2xy＝log2x－log2yD．lg nm＝1nlg m(m>0，n>1，n∈N*)答案BD解析对于A，log23＋log25＝log2(3×5)，不正确；对于B，正确；对于C，当x，y均为负数时，等式右边无意义；对于D，lg nm＝1nlg m符合对数的运算法则，正确．故选BD.10．若ab>1，则下列等式中正确的是( )A．lg (ab)＝lg a＋lg b B．lg ab＝lg a－lg bC.12lg⎝⎛⎭⎪⎫ab2＝lgabD．lg (ab)＝1log ab10答案CD解析当a<0，b<0时，A，B不成立，C，D均正确．故选CD.11．已知x，y为正实数，则下列各式正确的是( )A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln yC．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y答案CD解析因为2ln x＋ln y＝2ln x·2ln y＝2ln (xy)，D正确；(2ln x)ln y＝2ln x·ln y，C正确．故选CD.12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列等式中正确的是( )A．(log a x)n＝n log a x B．log a x＝－log a 1 xC.nlog a x＝1nlog a x D．log a xn＝log anx答案BD解析根据对数的运算性质log a M n＝n log a M(M>0，a>0，且a≠1)，可知B，D 正确．三、填空题13．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，＝________.答案 4 2解析∵2x·8y＝16，∴x＋3y＝4，∴＋log927y＝2－1·＋3y 2＝2＝2.14．方程log 2x ＋1logx ＋12＝1的解是x ＝________.答案 1解析原方程可变为log 2x ＋log 2(x ＋1)＝1，即log 2[x (x ＋1)]＝1，∴x (x ＋1)＝2，解得x ＝1或x ＝－2.又⎩⎨⎧x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，即x >0，∴x ＝1.15．如果方程(lg x )2＋(lg 7＋lg 5)lg x ＋lg 7×lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.答案135解析方程(lg x )2＋(lg 7＋lg 5)lg x ＋lg 7×lg 5＝0可以看成关于lg x 的二次方程．∵α，β是原方程的两根，∴lg α，lg β可以看成关于lg x 的二次方程的两根．由根与系数的关系，得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝－lg 35＝lg 135， ∴lg (αβ)＝lg α＋lg β＝lg 135，即αβ＝135. 16．设f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，现把满足乘积f (1)f (2)…f (n )为整数的n 称为“贺数”，则在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数是________．答案 9解析 f (n )＝log n ＋1(n ＋2)＝lg n ＋2lgn ＋1，∴f (1)f (2)…f (n )＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lgn ＋2lgn ＋1＝lg n ＋2lg 2＝log 2(n∵n ∈(1,2020)，∴n ＋2∈(3,2022)， ∵210＝1024,211＝2048，∴在(3,2022)内含有22,23，…，210共9个2的整数次幂，故在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数为9.四、解答题17．求值：(1)lg 5＋lg 20；(2)log 89×log 2732－(3－1)lg 1＋log 535－log 57； (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)．解 (1)lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1. (2)log 89×log 2732－(3－1)lg 1＋log 535－log 57＝lg 9lg 8×lg 32lg 27－1＋log 5357＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3－1＋1＝109. (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3＝12＋14＋13＋16＝54. 18．已知log a (x 2＋4)＋log a (y 2＋1)＝log a 5＋log a (2xy －1)(a >0，且a ≠1)，求log 8yx的值．解原等式可化为log a [(x 2＋4)(y 2＋1)]＝log a [5(2xy －1)]， ∴(x 2＋4)(y 2＋1)＝5(2xy －1)．整理，得x 2y 2＋x 2＋4y 2－10xy ＋9＝0，配方，得(xy －3)2＋(x －2y )2＝0， ∴⎩⎨⎧xy ＝3，x ＝2y .∴y x ＝12. ∴log 8y x ＝log 812＝－13.19．设0<a <1，x ，y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，若当y ＝24时，log a y 取得最小值，求a 的值．解由已知条件，得log a x ＋3log x a －log x y ＝log a x ＋3log a x －log a ylog a x ＝3，所以log a y ＝(log a x )2－3log a x ＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫log ax －322＋34. 当log a x ＝32时，log a y 有最小值34.此时y ＝24，所以有log a 24＝34，故所以a ＝14.20．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py . (1)求p ；(2)求证：1z －1x ＝12y.解 (1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0，且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3klog 34， ∵log 3k ≠0，∴p ＝2log 34.(2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12y ，∴1z －1x ＝12y.。

(人教版B版)高中数学必修第二册第四章综合测试03(含答案)

第四章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知函数()()lg 4f x x =-的定义域为M ，函数()g x =的值域为N ，则M N 等于（） A .MB .NC .[)0,4D .[)0,+∞2.函数||31x y =-的定义域为[]1,2-，则函数的值域为（） A .[]2,8B .[]0,8C .[]1,8D .[]1,8-3.已知()23log f x =()1f 的值为（） A .1B .2C .1-D .12 4.21+log 52等于（） A .7B .10C .6D .925.若1005a =，102b =，则2a b +等于（） A .0B .1C .2D .36.比较13.11.5、 3.12、13.12的大小关系是（） A .113.13.13.122 1.5＜＜ B .113.13.13.11.522＜＜C .11 3.13.13.11.522＜＜D .11 3.13.13.12 1.52＜＜7.()()4839log 3log 3log 2log 8++等于（） A .56B .2512C .94D .以上都不对8.已知0ab ＞，下面四个等式：①()lg lg lg ab a b =+；②lg lg lg a a b b =-；③21lg lg 2a ab b ⎛⎫= ⎪⎝⎭；④()1lg log 10ab ab =其中正确的个数为（） A .0B .1C .2D .39.函数x y a =（0a ＞且1a ≠）与函数()2121y a x x =---在同一个坐标系内的图像可能是（）ABCD10.抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（）（参考数据：120.3010g ≈） A .6次B .7次C .8次D .9次11.已知113log 2x =，1222x -=，3x 满足3331log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1x ，2x ，3x 的大小关系是（）A .123x x x ＜＜B .132x x x ＜＜C .213x x x ＜＜D .312x x x ＜＜12.已知幂函数()()22421mm f x m x -+=-在()0,+∞上单调递增，函数()2x g x k =-，当[)1,2x ∈时，记()f x ，()g x 的值域分别为集合A ，B ，若A B A = ，则实数k 的取值范围是（）A .()0,1B .[)0,1C .(]0,1D .[]0,1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若函数()f x 的反函数为()12f x x -=（0x ＞），则()4=f ________。

高中数学第四章指数函数与对数函数考点精题训练(带答案)

高中数学第四章指数函数与对数函数考点精题训练单选题1、定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，且f(−2)=−2，则不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4的解集为（） A ．(0,1100)B ．(1100,+∞)C ．(0,100)D ．(100,+∞) 答案：D分析：利用函数为奇函数，将不等式转化为f(lgx)>f (2)，再利用函数的单调性求解. 因为函数f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f (x )，又f(−2)=−2，f(2)=2，所以不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4，可化为2f(lgx)>4=2f (2)，即f(lgx)>f (2)，又因为f(x)在(−∞,0]上单调递增，所以f(x)在R 上单调递增，所以lgx >2，解得x >100. 故选：D.2、已知函数f(x)=3|x|+x 2+2，则f(2x −1)>f(3−x)的解集为（） A ．(−∞,43)B ．(43,+∞)C ．(−2,43)D ．(−∞,−2)∪(43,+∞) 答案：D分析：根据函数奇偶性可得f(x)为偶函数，根据解析式直接判断函数在[0,+∞)上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.解：因为f(x)=3|x|+x 2+2，则x ∈R所以f(−x)=3|−x|+(−x)2+2=3|x|+x 2+2=f(x)，则f(x)为偶函数，当x ⩾0时，f(x)=3x +x 2+2，又y =3x ，y =x 2+2在[0,+∞)上均为增函数，所以f(x)在[0,+∞)上为增函数，所以f(2x −1)>f(3−x)，即|2x −1|>|3−x|，解得x <−2或x >43，所以f(2x −1)>f(3−x)的解集为(−∞,−2)∪(43,+∞). 故选：D.3、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过(参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956) （）天． A ．200天B ．210天C ．220天D ．230天答案：D分析：根据题意可列出方程100×0.99x =1.01x ，求解即可.设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则100×0.99x =1.01x ，即(1.010.99)x =100，∴x =log 1.010.99100=lg lg 1.010.99=lg lg 10199=2lg−lg≈22.0043−1.9956=20.0087≈230．故选：D ．4、已知函数y =a x 、y =b x 、y =c x 、y =d x 的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（）A ．b +d >a +cB ．b +d <a +cC ．a +d >b +cD ．a +d d >1>a >b ，即得解.如图，作出直线x =1,得到c >d >1>a >b ，所以b +d <a +c . 故选：B5、化简√a 3b 2√ab 23(a 14b 12)4⋅√b a3 (a >0，b >0)的结果是（）A ．b aB ．ab C ．a 2b D ．b 2a 答案：B分析：直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.√a 3b 2√ab 23(a 14b 12)4⋅√b a=a 32b⋅a 16b 13(a 14b 12)4⋅a −13⋅b 13=a 32+16−1+13b1+13−2−13=ab −1=ab故选：B6、化简√−a 3·√a 6的结果为（） A ．−√a B ．−√−a C ．√−a D ．√a 答案：A分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案. 由题意，可知a ≥0，∴√−a 3·√a 6=(−a )13⋅a 16=−a 13⋅a 16=−a13+16=−a 12=−√a .故选：A.7、设函数f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1|，则f (x )（）A ．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在单调递减 C ．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D ．是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减答案：D分析：根据奇偶性的定义可判断出f (x )为奇函数，排除AC ；当x ∈(−12,12)时，利用函数单调性的性质可判断出f (x )单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，利用复合函数单调性可判断出f (x )单调递减，从而得到结果. 由f (x )=ln |2x +1|−ln |2x −1|得f (x )定义域为{x |x ≠±12}，关于坐标原点对称，又f (−x )=ln |1−2x |−ln |−2x −1|=ln |2x −1|−ln |2x +1|=−f (x )， ∴f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当x ∈(−12,12)时，f (x )=ln (2x +1)−ln (1−2x )，∵y =ln (2x +1)在(−12,12)上单调递增，y =ln (1−2x )在(−12,12)上单调递减， ∴f (x )在(−12,12)上单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，f (x )=ln (−2x −1)−ln (1−2x )=ln 2x+12x−1=ln (1+22x−1)， ∵μ=1+22x−1在(−∞,−12)上单调递减，f (μ)=lnμ在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：f (x )在(−∞,−12)上单调递减，D 正确.故选：D.小提示：本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f (−x )与f (x )的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.8、中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过t 分钟后物体的温11(,)22度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)A．3B．3.6C．4D．4.8答案：B分析：根据题意求出k的值，再将θ＝80℃，θ1＝100℃，θ0＝20℃代入θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt即可求得t的值.由题可知：50=20+(100−20)e−12k⇒(e−k)12=38⇒e−k=(38)112，冲泡绿茶时水温为80℃，故80=20+(100−20)⋅e−kt⇒(e−k)t=34⇒t⋅lne−k=ln34⇒t=ln 3 4ln(38)112=12(ln3−2ln2)ln3−3ln2≈12(1.1−2×0.7)1.1−3×0.7=3.6.故选：B.多选题9、已知实数a，b满足等式2a=3b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a=b=0其中有可能成立的关系式有（）A．①B．②⑤C．②③D．④答案：AB分析：画出指数函数y=2x，y=3x的图象，利用单调生即可得出答案. 如图所示，数y=2x，y=3x的图象，由图象可知：( 1 ) 当时x>0，若2a=3b，则a>b；( 2 ) 当x=0时，若2a=3b，则a=b=0；( 3 ) 当x<0时，若2a=3b，则a<b.综上可知，有可能成立的关系式是①②⑤ . 故选：AB10、若f (x )满足对定义域内任意的x 1,x 2，都有f (x 1)+f (x 2)=f (x 1⋅x 2)，则称f (x )为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（）A ．f (x )=2xB ．f (x )=(12)xC ．f (x )=log 12x D ．f (x )=log 3x答案：CD分析：利用“好函数”的定义，举例说明判断A ，B ；计算判断C ，D 作答.对于A ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=6，f (x 1⋅x 2)=4，则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，A 不是；对于B ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=34，f (x 1⋅x 2)=14，则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，B 不是；对于C ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 12x 1+log 12x 2=log 12(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，C 是；对于D ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 3x 1+log 3x 2=log 3(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，D 是．故选：CD11、下列函数中，有零点且能用二分法求零点的近似值的是（） A ．y =2x −3B ．y ={−x +1,x ≥0x +1,x <0C ．y =x 2−3x +3D ．y =|x −2| 答案：AB分析：根据二分法定义，只有零点两侧函数值异号才可用二分法求近似值．对于选项A ，当x =1时，y =21−3=−1<0，当x =12时，y =212−3=1>0，所以能用二分法求零点的近似值．对于选项B ，当x =2时，y =−2+1=−1<0，当x =12时，y =−12+1=12>0，能用二分法求零点的近似值．对于选项C ，y =x 2−3x +3=(x −32)2+34>0，故不能用二分法求零点的近似值．对于选项D ，y =|x −2|≥0，故不能用二分法求零点的近似值．故选：AB ．12、已知函数f (x )={−2−x +a,x <0,2x−a,x >0.(a ∈R )，下列结论正确的是（） A ．f (x )是奇函数B ．若f (x )在定义域上是增函数，则a ≤1C ．若f (x )的值域为R ，则a ≥1D ．当a ≤1时，若f (x )+f (3x +4)>0，则x ∈(−1,+∞) 答案：AB分析：对于A 利用函数奇偶性定义证明；对于B ，由增函数定义知−2−0+a ≤20−a 即可求解；对于C ，利用指数函数的单调性，求出分段函数每段函数上的值域，结合f (x )的值域为R ，即可求解；对于D ，将f (x )+f (3x +4)>0等价于f (x )>f (−3x −4)，利用函数定义域及单调性即可求解；对于A ，当x <0时，−x >0，f(x)=−2−x +a ，f(−x)=2−x −a =−(−2−x +a)=−f(x)；当x >0时，−x <0，f(x)=2x −a ，f(−x)=−2x +a =−(2x −a)=−f(x)，所以f (x )是奇函数，故A 正确；对于B ，由f (x )在定义域上是增函数，知−2−0+a ≤20−a ，解得a ≤1，故B 正确；对于C ，当x <0时，f(x)=−2−x +a 在区间(−∞,0)上单调递增，此时值域为(−∞,a −1)，当x >0时，f(x)=2x −a 在区间(0,+∞)上单调递增，此时值域为(1−a,+∞)，要使f (x )的值域为R ，则a −1>1−a ，解得a >1，故C 错误；对于D ，当a ≤1时，由于−2−0+a ≤20−a ，则f (x )在定义域上是增函数，f (x )+f (3x +4)>0等价于f (x )>f (−3x −4)，即{x ≠0−3x −4≠0x >−3x −4，解得x ∈(−1,0)∪(0,+∞)，故D 错误；故选：AB13、下面几个结论正确的是（） A ．已知a =(√32)23，b =(45)13，c =ln3，则a log 12b >0，则a b <a a 1，即可得到大小关系；对于B ，a 6=(312)6=27，b 6=(√63)6=36可得到a 1，可得到大小关系；对于D ，通过构造对数函数和幂函数，利用函数的单调性可得到最终结果.对于A ，a =(√32)23=(34)13<(45)13<1，c =ln3>1，所以a 27∴a 278∴b >32(432)2=64>72=49∴c <32，∴c 32∴c <a 最终为：c <a 20=1∴b <a <c ；故C 错误；对于D ，当log 12a >log 12b >0时，∵y =log 12x 在定义域内是减函数，故得到0<a<b<1，∵y=a x是减函数，故得到a b<a a，又因为y=xα在x>0时是增函数，故得到a a< b a，故D正确.故选：AD.填空题14、把满足log23×log34×⋅⋅⋅×log n+1(n+2)，n∈N∗为整数的n叫作“贺数”，则在区间(1,50)内所有“贺数”的个数是______．答案：4分析：利用换底公式计算可得log23×log34×⋅⋅⋅×log n+1(n+2)=log2(n+2)，即可判断.解：因为log23×log34×⋅⋅⋅×log n+1(n+2)=lg3lg2×lg4lg3×⋅⋅⋅×lg(n+2)lg(n+1)=lg(n+2)lg2=log2(n+2)，又log24=2，log28=3，log216=4，log232=5，log264=6，……，所以当n+2=4，8，16，32时，log2(n+2)为整数，所以在区间(1,50)内“贺数”的个数是4．所以答案是：415、函数f(x)=2√2−x+lg(x+3)的定义域为______．答案：(−3,2)分析：根据给定函数有意义列出不等式组，求解即可得原函数定义域.函数f(x)=2√2−x lg(x+3)有意义，则有{2−x>0x+3>0，解得−3<x<2，所以函数f(x)的定义域为(−3,2).所以答案是：(−3,2)16、牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛（允许的最大值）调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）答案：188分析：根据题意列出不等式计算即可.设经过x 个周期后细菌含量超标，即3000×2x >2000000，即2x >20003，所以x >log 220003=lg2000−lg3lg2=lg2+3−lg3lg2≈9.4，而20×9.4=188，因此经过188分钟就不宜再饮用．所以答案是：188. 解答题17、对于定义在区间[m,n ]上的两个函数f (x )和g (x )，如果对任意的x ∈[m,n ]，均有|f (x )−g (x )|≤1成立，则称函数f (x )与g (x )在[m,n ]上是“友好”的，否则称为“不友好”的．已知函数f (x )=log a (x −3a )，g (x )=log a 1x−a (a >0,a ≠1)．(1)若f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上都有意义，求a 的取值范围； (2)讨论函数f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是否“友好”．答案：(1)(0,1) (2)答案见解析分析：（1）由题意解不等式组{a +2−3a >0a +2−a >0即可；（2）假设存在实数a ，使得f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的，即|f (x )−g (x )|=|log a (x 2−4ax +3a 2)|≤1，即−1≤log a (x 2−4ax +3a 2)≤1，只需求出函数y =log a (x 2−4ax +3a 2)在区间[a +2,a +3]上的最值，解不等式组即可．（1）若f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上都有意义，则必须满足{a +2−3a >0a +2−a >0，解得a <1，又a >0且a ≠1，所以a 的取值范围为(0,1)．（2）假设存在实数a ，使得f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的，则|f (x )−g (x )|=|log a (x 2−4ax +3a 2)|≤1，即−1≤log a (x 2−4ax +3a 2)≤1，因为a ∈(0,1)，则2a ∈(0,2)，a +2>2，所以[a +2,a +3]在x =2a 的右侧，由复合函数的单调性可得y=log a(x2−4ax+3a2)在区间[a+2,a+3]上为减函数，从而当x=a+2时，y max=log a(4−4a)，当x=a+3时，y min=log a(9−6a)，所以{log a(4−4a)≤1log a(9−6a)≥−10<a<1，即{4−4a≥a9a−6a2−1≤00<a<1，解得0<a≤9−√5712，所以当0<a≤9−√5712时，f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上是“友好”的；当9−√5712<a<1时，f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上是“不友好”的．18、近年来，中美贸易摩擦不断，美国对我国华为百般刁难，并拉拢欧美一些国家抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.今年，我国华为某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x千部手机，需另投入成本R(x)万元，且R(x)={10x2+100x,0<x<40701x+10000x −9450,x≥40，由市场调研知，每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求2020年的利润W(x)（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）.(2)2020年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少.答案：(1)W(x)={−10x2+600x−250，0<x<40−(x+10000x)+9200，x≥40；(2)2020年产量为100千部时，企业所获得利润最大，最大利润为9000万元.分析：（1）根据2020年的利润等于年销售量减去固定成本和另投入成本，分段求出利润W(x)关于x的解析式；（2）根据（1）求出利润W(x)的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求得每段的最大值，即可得到结论.（1）解：由题意可知，2020年的利润定于年销售额减去固定成本和另投入成本，当0<x<40时，W(x)=0.7×1000x−(10x2+100x)−250=−10x2+600x−250当x≥40时，W(x)=0.7×1000x−(701x+10000x −9450)−250=−(x+10000x)+9200，所以W(x)={−10x2+600x−250，0<x<40−(x+10000x)+9200，x≥40.（2）当0<x<40时，W(x)=−10x2+600x−250=−10(x−30)2+8750，此时函数W(x)开口向上的抛物线，且对称轴为x=30，所以当x=30时，W(x)max=W(30)=8750（万元）；当x≥40时，W(x)=−(x+10000x)+9200，因为x+10000x ≥2√x⋅10000x=200，当且仅当x=10000x即x=100时，等号成立，即当x=100时，W(x)max=W(100)=−200+9200=9000（万元），综上可得，当x=100时，W(x)取得最大值为9000（万元），即2020年产量为100千部时，企业获利最大，最大利润为9000万元.。

高中数学第4章指数函数对数函数与幂函数4.2对数与对数函数4.2.2对数运算法则分层作业新人教B

第四章4.2.2对数运算法则A级必备知识基础练1.[探究点二]若ln 2=a,ln 3=b,则log818=()A.a+3ba3B.a+2b3aC.a+2ba3D.a+3b3a2.[探究点一](多选题)[2023江苏连云港高一]若x>0,y>0,n≠0,m∈R,则下列各式中,恒成立的是()A.lg x+lg y=lg(x+y)B.lg xy=lg x-lg yC.lo g x n y m=mn log x y D.lg x1n=lgxn3.[探究点一、二](多选题)如下四个关于对数的运算,其中正确的是()A.ln e2=2B.lg 125=3-3lg 2C.log34×log32=log38D.log23×log34×log42=14.[探究点一]计算:2log93+log315-log35=.5.[探究点二]化简:18-13-log25·log58=.6.[探究点一、二]计算:(1)lg2+lg5-lg8lg50-lg40;(2)log28+lg11000+ln√e23+21-12log23+(lg 5)2+lg 2·lg 50.B级关键能力提升练7.已知lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实数根,则lg(ab)·(lg ab )2=()A.2B.4C.6D.88.已知log47=a,4b=6,则log4228=()A.1+a2a+b B.1-aa+bC.1+aa+2bD.1+aa+b9.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,则下列结论正确的是()A.ab+bc=2acB.ab+bc=acC.2c =2a+1bD.1c=2b−1a10.[2023江西南昌校考]化简:(2log43+log83)·(log32+log92)=.11.[北师大版教材习题]已知a,b是方程2(ln x)2-3ln x+1=0的两个实数根,求下列各式的值:(1)1lna +1lnb;(2)log a b+log b a.C级学科素养创新练12.考古学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的含量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足N=N0·2-t5730(N0表示碳14原有的含量),则经过5 730年后碳14的含量变为原来的;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的含量是原来的12~35,据此推测良渚古城存在的时期距今约在年到5 730年之间.(参考数据:log23≈1.6,log25≈2.3)参考答案 4.2.2 对数运算法则1.B log 818=ln18ln8=ln (32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a 3a.故选B .2.BCD 因为x>0,y>0,n ≠0,m ∈R , 对于A,lg x+lg y=lg(xy ),故A 错误; 对于B,lg xy =lg x-lg y ,故B 正确; 对于C,lo g x n y m=mn log x y ,故C 正确;对于D,lg x 1n=lgx n,故D 正确.故选BCD .3.ABD 由对数运算规律可知,lne 2=2,故A 正确; lg125=lg53=3lg5=3-3lg2,故B 正确; log 34+log 32=log 38,故C 错误; log 23×log 34×log 42=lg3lg2×lg4lg3×lg2lg4=1,故D 正确.故选ABD .4.2 2log 93+log 315-log 35=2×12+log 3155=1+1=2.5.-1 原式=(2-3)-13−ln5ln2·3ln2ln5=2-3=-1.6.解(1)原式=lg2×58lg 5040=lg54lg 54=1.(2)原式=3-3+23+2÷212log 23+(lg 5)2+lg 2(lg 5+1)=23+2√33+lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2=53+2√33. 7.B 由题得lg a+lg b=2,即lg(ab )=2.又lg a ·lg b=12,所以lg(ab )·(lg a b )2=2(lg a-lg b )2=2[(lg a+lg b )2-4lg a ·lg b ]=2×22-4×12=2×2=4.故选B .8.D 由4b=6,得log 46=b. 因为log 47=a ,所以log 4228=log 428log 442=log 44+log 47log 46+log 47=1+a a+b.故选D .9.AD 由题意,设4a=6b=9c=k (k>0), 则a=log 4k ,b=log 6k ,c=log 9k ,对于选项A,由ab+bc=2ac ,可得b c +b a =2,因为b c +b a =log 6k log 9k +log 6k log 4k =log k 9log k6+log k 4log k 6=log 69+log 64=log 636=2,故A 正确,B 错误;对于选项C,2a+1b=2log 4k+1log 6k=2log k 4+log k 6=log k 96,2c =2log 9k =2log k 9=log k 81,故2c ≠2a +1b ,即C 错误;对于选项D,2b−1a =2log 6k−1log 4k=2log k 6-log k 4=log k 9,1c =1log 9k =log k 9,故1c =2b −1a ,即D 正确. 10.2 原式=2×12log 23+13log 23log 32+12log 32=43log 23×32log 32=2.11.解由题意得ln a+ln b=32,ln a ·ln b=12. (1)1lna +1lnb =lna+lnb lnalnb =3212=3.(2)log a b+log b a=lnblna +lnalnb =(lnb )2+(lna )2lnalnb=(lna+lnb )2-2lnalnblnalnb=(32)2-2×1212=52.12.124 011 当t=5730时,N=N 0·2-1=12N 0,所以经过5730年后,碳14的含量变为原来的12.令N=35N 0,则2-t 5730=35,所以-t 5730=log 235=log 23-log 25≈-0.7,所以t ≈0.7×5730=4011,所以良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间.。

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第四章综合测试(时间：120分钟满分150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若n ∈N ，a ∈R ，给出下列式子：①4－42n；②4－42n ＋1；③5a 4；④4a 5.其中恒有意义的式子的个数是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4 [解析] 根据根指数是偶数时，被开方数非负，可知②无意义；当a ＜0时，④无意义；恒有意义的是①③.故选B ．2．函数y ＝log 12x －3的定义域为( C )A ．(－∞，18]B ．[18，＋∞)C ．(0，18]D ．(0,8][解析] 要使函数y ＝log 12x －3有意义，应满足log 12x －3≥0， ∴log 12x ≥3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，∴0＜x ≤18，故选C ．3．下列不等式中正确的是( C ) A ．lg 0.1＞lg 0.2 B ．0.20.1＜0.20.2C ．0.20.1＞lg 0.1D ．0.10.2＜lg 0.2[解析] lg 0.1＜0,0.20.1＞0，∴0.20.1＞lg 0.1，故选C ． 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x x ＞0⎝ ⎛⎭⎪⎫12xx ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝( D ) A ．－18B ．18C ．－8D ．8[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝log 3127＝log 33－3＝－3，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝8，故选D ．5．若a ＞b ＞1,0＜c ＜1，则( C ) A ．a c＜b cB ．ab c ＜ba cC ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c[解析] 令a ＝4，b ＝2，c ＝12，则a c ＝412 ＝2，b c ＝212 ＝2，∴a c ＞b c，排除A ；ab c ＝42，ba c ＝4，∴ab c ＞ba c ，排除B ；log a c ＝log 412＝－12，log b c ＝log 212＝－1，∴log a c ＞log b c ，排除D ，故选C ．6．已知f (x )是函数y ＝log 2x 的反函数，则y ＝f (1－x )的图像是( C )[解析] 因为函数y ＝log 2x 的反函数是y ＝2x ，所以f (x )＝2x .故f (1－x )＝21－x，因为此函数在R 上是减函数，且过点(0,2)．因此选C ．7．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的增函数是( B ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x[解析] 对于函数f (x )＝x 3，f (x ＋y )＝(x ＋y )3，f (x )f (y )＝x 3·y 3，而(x ＋y )3≠x 3y 3，所以f (x )＝x 3不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故A 错误；对于函数f (x )＝3x，f (x ＋y )＝3x ＋y＝3x ·3y ＝f (x )f (y )，因此f (x )＝3x满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (x )＝3x是增函数，故B 正确；对于函数f (x )＝x 12 ，f (x ＋y )＝(x ＋y )12 ，f (x )f (y )＝x 12 y 12 ＝(xy )12 ，而(x ＋y )12 ≠(xy )12 ，所以f (x )＝x 12 不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故C错误；对于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝f (x )·f (y )，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，但f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x不是增函数，故D 错误．8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1x ＜12xx ≥1，则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值X 围是( C )A ．[23，1]B ．[0,1]C ．[23，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] 由f [f (a )]＝2f (a )可得f (a )≥1，故有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12a≥1，二者取并集即得a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞，故选C ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知实数a ，b 满足等式3a＝6b，给出下列四个关系式：①a ＝b ；②0＜b ＜a ；③a ＜b ＜0；④b ＜0＜A ．其中可能成立的是( ABC )A ．①B ．②C ．③D ．④[解析] 在同一个坐标系中画出函数y ＝3x，y ＝6x的图象如图所示．由图像，可知当a ＝b ＝0时，3a＝6b，故①可能成立；作出直线y ＝k ，如图所示，当k ＞1时，若3a＝6b，则0＜b ＜a ，故②可能成立；当0＜k ＜1时，若3a＝6b，则a ＜b ＜0，故③可能成立．故选ABC ．10．对于0＜a ＜1，下列四个不等式中成立的是( BD )A ．log a (1＋a )＜log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a B ．log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1aC ．a1＋a＜a1＋1aD ．a1＋a＞a1＋1a[解析] 因为0＜a ＜1，所以a ＜1a ，从而1＋a ＜1＋1a，所以log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ．又因为0＜a ＜1，所以a1＋a＞a1＋1a．11．设函数f (x )＝2x，对于任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，下列命题中正确的是( ACD ) A ．f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)B ．f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2) C ．f x 1－f x 2x 1－x 2＞0D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22[解析] 2x 1·2x 2＝2x 1＋x 2，所以A 成立，2x 1＋2x 2≠2x 1·x 2，所以B 不成立，函数f (x )＝2x，在R 上是单调递增函数，若x 1＞x 2则f (x 1)＞f (x 2)，则f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，若x 1＜x 2，则f (x 1)＜f (x 2)，则f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，故C 正确；f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22说明函数是凹函数，而函数f (x )＝2x是凹函数，故ACD 正确．12．关于函数f (x )＝|ln |2－x ||，下列描述正确的有( ABD ) A ．函数f (x )在区间(1,2)上单调递增 B ．函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称 C ．若x 1≠x 2，但f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＋x 2＝4 D ．函数f (x )有且仅有两个零点[解析] 函数f (x )＝|ln |2－x ||的图像如图所示：由图可得：函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，A 正确；函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，B 正确；若x 1≠x 2，但f (x 1)＝f (x 2)，则当x 1，x 2＞2时，x 1＋x 2＞4，C 错误；函数f (x )有且仅有两个零点，D 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．设函数f (x )＝x －a (其中a 为常数)的反函数为f －1(x )，若函数f －1(x )的图像经过点(0,1)，则方程f －1(x )＝2的解为__1__．[解析] 由y ＝f (x )＝x －a ，得x －a ＝y 2(y ≥0)把点(0,1)代入得a ＝1．所以f －1(x )＝x 2＋1(x ≥0)．由f －1(x )＝2，得x 2＋1＝2，即x ＝1．14．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2log 32x－1，x ≥2，则f [f (2)] ＝__2__．[解析] 因为f (2)＝log 3(22－1)＝1，所以f [f (2)]＝f (1)＝2e1－1＝2．15．已知函数f (x )＝b －2x2x ＋1为定义在区间[－2a,3a －1]上的奇函数，则a ＝__1__，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝__22－3__．[解析] 因为f (x )是定义在[－2a,3a －1]上的奇函数．所以定义域关于原点对称，即－2a ＋3a －1＝0，所以a ＝1，因为函数f (x )＝b －2x2x ＋1为奇函数，所以f (－x )＝b －2－x 2－x ＋1＝b ·2x －11＋2x ＝－b －2x1＋2x ，即b ·2x－1＝－b ＋2x，所以b ＝1，所以f (x )＝1－2x1＋2x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－212 1＋212 ＝1－21＋2＝22－3．16．下列说法中，正确的是__①④__． ①任取a ＞0，均有3a ＞2a， ②当a ＞0，且a ≠1，有a 3＞a 2， ③y ＝(3)－x是增函数，④在同一坐标系中，y ＝2x与y ＝2－x的图像关于y 轴对称． [解析] ∵幂函数y ＝x a ，当a ＞0时，在(0，＋∞)上是增函数， ∵3＞2，∴3a＞2a，故①正确；当a ＝0.1时，0.13＜0.12，故②错；函数y ＝(3)－x＝⎝⎛⎭⎪⎫33x是减函数，故③错；在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x＝(12)x 的图像关于y 轴对轴，故④正确．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算下列各式的值． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2＋(1－2)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27823 ； (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8．[解析] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2＋(1－2)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27823 ＝94＋1＋94＝112．(2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8＝lg 4＋lg 31＋lg 0.6＋lg 2＝lg 12lg 12＝1．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －1＋a (a 为常数，且a ∈R )恒过点(1,2)．(1)求a 的值；(2)若f (x )≥2x，求x 的取值X 围．[解析] (1)f (1)＝20＋a ＝1＋a ＝2，解得a ＝1． (2)由f (x )＝2x －1＋1＝2x 2＋1≥2x ，得2x2≤1，即2x －1≤1＝20，即x －1≤0，解得x ≤1，因此，实数x 的取值X 围是(－∞，1]．19．(本小题满分12分)求函数y ＝(2x )2－2×2x＋5，x ∈[－1,2]的最大值和最小值． [解析] 设2x＝t ，因为x ∈[－1,2]，所以2x＝t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4则y ＝t 2－2t ＋5为二次函数，图像开口向上，对称轴为t ＝1，当t ＝1时，y 取最小值4，当t ＝4时，y 取最大值13．20．(本小题满分12分)已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(8，m )和(9,3)． (1)求m 的值；(2)若函数g (x )＝log a f (x )(a ＞0，a ≠1)在区间[16,36]上的最大值比最小值大1，某某数a 的值．[解析] (1)由题意，y ＝f (x )是幂函数，设f (x )＝x α，图像过点(8，m )和(9,3)可得9α＝3，所以α＝12，故f (x )＝x 12 ，所以m ＝f (8)＝22，故m 的值为22．(2)函数g (x )＝log a f (x )，即为g (x )＝log a x ，因为x 在区间[16,36]上，所以x ∈[4,6]， ①当0＜a ＜1时，g (x )min ＝log a 6，g (x )max ＝log a 4，由log a 4－log a 6＝log a 23＝1，解得a ＝23．②当a ＞1时，g (x )min ＝log a 4，g (x )max ＝log a 6，由log a 6－log a 4＝log a 32＝1，解得a ＝32，综上可得，实数a 的值为23或32．21．(本小题满分12分)一片森林原来的面积为a ，计算每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到森林面积的一半时，所用时间是10年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22．(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已被砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？[解析] (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0＜x ＜1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－(12)110 ．(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m＝22a ，即(12)m 10 ＝(12)12 ，m 10＝12，解得m ＝5，故到今年为止，该森林已被砍伐5年． (3)设从今年开始，以后最多能砍伐n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n ．令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， (12)n 10 ≥(12)32 ，n 10≤32，解得n ≤15．故今后最多还能砍伐15年．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋a ．(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值X 围；(3)若函数f (x )在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2，某某数a 的取值X 围． [解析] (1)函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0，求得a ＝0．又此时f (x )＝－x 是R 上的奇函数，所以a ＝0为所求． (2)函数f (x )的定义域是一切实数，则12x ＋a ＞0恒成立．即a ＞－12x 恒成立，由于－12x ∈(－∞，0)．故只要a ≥0即可．(3)由已知函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0,1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )．最小值是f (1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a ．由题设log 2(1＋a )－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a ≥2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＞0a ＋1≥4a ＋2．故－12＜a ≤－13为所求．。