二次函数的微分方程与应用题解析
二次函数复习应用题解析的思路与策略
二次函数复习应用题解析的思路与策略二次函数是高中数学中的重要内容，它是解决各种实际问题的数学工具之一。
在复习二次函数时，我们需要了解解题的思路与策略，以便能够准确地理解和解决与二次函数相关的应用题。
本文将为大家介绍一些解析二次函数应用题的思路和策略。
一、分析问题在解析二次函数应用题时，首先我们需要对问题进行细致的分析。
具体而言，我们要确定如下几个方面：1. 问题的假设条件：仔细阅读题目，确定题目中给出的条件和已知量。
2. 问题的目标：明确问题需要我们求解的未知量。
3. 关键变量的确定：找到与问题直接相关的变量，并进行标记。
通过对问题的分析，我们可以更好地理解问题的背景和要求，为解决问题奠定基础。
二、建立数学模型在分析问题之后，我们需要进一步将问题转化为数学模型，以便于我们用数学方法解决问题。
具体而言，我们需要完成以下步骤：1. 建立变量间的关系：根据问题的描述，确定变量之间的关系式。
由于二次函数的表达式为y=ax^2+bx+c，我们需要确定a、b、c的值和变量之间的联系。
2. 确定二次函数的定义域：二次函数可能存在定义域的限制条件，我们需要根据问题的情况来确认。
3. 转化为标准形式：在实际问题中，二次函数的表达形式可能有所不同，我们需要根据问题的要求将其转化为标准形式，以方便后续的分析。
通过建立数学模型，我们可以将实际问题转化为数学语言，更好地运用数学工具进行求解。
三、解决问题在建立数学模型之后，我们需要运用相应的数学知识和方法来解决问题。
在解决问题时，我们可以采用以下的策略和技巧：1. 利用二次函数的性质：二次函数具有顶点和对称轴的性质，我们可以利用这些性质来对函数图像进行分析，并找到对应的解。
2. 利用导数的性质：二次函数的导数为一次函数，我们可以通过求导数来找到函数的最值点，以及函数的增减性。
3. 利用二次函数根的性质：二次函数的根对应着方程的解，我们可以通过求根公式或配方法来求解方程，从而得到对应的解。
二次函数的实际应用问题解题技巧
二次函数的实际应用问题解题技巧二次函数是一种在数学中非常重要的函数,它在各个领域都有广泛的应用,比如物理、工程、经济学等等。
本文将介绍二次函数的一些实际应用问题解题技巧,以及如何在实际问题中应用这些技巧。
正文:1. 二次函数的实际应用问题二次函数在数学中主要用于描述抛物线、双曲线等曲线的情况。
在各个领域,二次函数都有广泛的应用,下面列举几个例子:- 物理学:在物理学中,二次函数主要用于描述质点的运动轨迹,如牛顿第二定律、万有引力定律等。
- 工程学:在工程学中,二次函数主要用于描述机械、电气、建筑等领域中的问题,如压力、张力、电流等。
- 经济学:在经济学中,二次函数主要用于描述供求关系、价格变化等。
例如,抛物线可以用来描述通货膨胀率的变化。
2. 二次函数的解题技巧在实际问题中,我们需要用到二次函数的一些基本性质和解题技巧,下面列举一些常见的解题技巧:- 求抛物线与x轴的交点:通过用x=0和x=抛物线顶点式来求解。
- 求抛物线的对称轴:通过用y=-b/2a来求解,其中a和b是二次函数的系数。
- 求二次函数的极值:通过用抛物线的对称轴和x轴的交点来求解。
- 求二次函数的图像形状:通过用抛物线的顶点坐标和参数方程来求解。
3. 拓展除了上述技巧,我们还可以利用二次函数的一些特殊性质来解决实际问题。
例如,我们可以通过用二次函数的对称性来解决实际问题,如求解一个二次函数的极值、图像形状等。
此外,我们还可以利用二次函数的性质来解决实际问题,如求解一个二次函数的方程、求抛物线的解析式等。
二次函数在数学中有着广泛的应用,而且在实际问题中,我们需要用到二次函数的基本性质和解题技巧来解决实际问题。
掌握这些技巧,可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二次函数的应用问题
二次函数的应用问题二次函数是数学中常见的函数类型，其形式为y=ax^2+bx+c。
在实际生活中，二次函数可以用来描述很多自然现象和人类活动。
本文将探讨二次函数的应用问题，并通过实例来解释其应用。
一、抛物线的形状二次函数的图像是一条抛物线，其形状由二次项的系数a决定。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
例如，考虑二次函数y=x^2，其图像是一条开口朝上的抛物线。
当x的取值趋近于正无穷或负无穷时，y的值趋近于正无穷；当x=0时，y=0；当x的取值接近于正负无穷时，y的值趋近于负无穷。
这种抛物线形状的函数在物理学、工程学等领域中广泛应用。
二、最值问题二次函数的图像具有一个顶点，可以用来解决最值问题。
当抛物线开口朝上时，顶点是函数的最小值；当抛物线开口朝下时，顶点是函数的最大值。
考虑二次函数y=-2x^2+4x+1，我们希望求出该函数的最大值。
首先，通过求导数可以得到函数的导函数为y'=-4x+4。
将导函数置零，可得到x=1。
将x=1代入原函数，可以计算出y的值为y=3。
因此，当x=1时，函数取得最大值3。
这种通过求导数来解决最值问题的方法在经济学、物理学等领域中非常常见。
三、运动问题二次函数可以用来描述物体的运动情况。
例如，在自由落体问题中，当考虑空气阻力时，物体的运动方程可以表示为y=-9.8x^2+v0t+h0，其中v0为初始速度，h0为初始高度。
考虑一个自由落体的例子，假设有一个物体从100米的高度自由落下，初速度为0。
我们希望计算出物体落地所需的时间。
将初始高度h0设为100，初始速度v0设为0，重力加速度g设为9.8。
将物体所在位置的高度设为y，时间设为t，将上述条件代入运动方程，得到100=-4.9t^2。
通过求解这个方程，可以计算出物体落地所需的时间为2秒。
四、经济问题二次函数可以用来分析经济问题。
例如，在成本和利润问题中，二次函数可以用来描述成本和利润之间的关系。
二次函数的应用问题
二次函数的应用问题二次函数是一种常见的代数函数，它的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c都是实数且a ≠ 0。
由于二次函数具有抛物线的形状，因此在各种实际问题中都能够找到应用。
本文将介绍二次函数在现实生活中的一些典型应用问题，并通过具体案例来解析解决方法。
问题一：飞行物体高度计算假设有一架飞机以初速度v₀从地面起飞，以固定的加速度a直线上升，问它在时间t后的高度h为多少？解决方法：根据牛顿第二定律，加速运动下飞机在t时刻的速度v可以表示为v = v₀ + at，高度h可以表示为h = v₀t + 1/2at²。
将其中的v带入，得到h = v₀t + 1/2a(v - v₀)，代入飞机起飞时速度为0的条件，可得到简化的高度公式h = 1/2at²。
这就是一个二次函数，其中a为加速度，t为时间。
问题二：物体抛射问题假设有一个人以速度v₀把一个物体从一定高度h₀抛出，考察物体的运动轨迹。
解决方法：物体的垂直位移可以通过二次函数来表示。
首先，垂直方向上的受力只有重力，因此物体在下落过程中的运动可以描述为s = -1/2gt² +v₀t + h₀，其中s为垂直位移，g为重力加速度。
而在水平方向上，物体保持匀速运动，所以可以通过s = v₀x来描述其水平位移，其中x为时间。
问题三：最优化问题对于一个二次函数f(x) = ax² + bx + c，如何确定其在定义域内的最大值或最小值。
解决方法：对于给定的二次函数f(x)，可以通过求取其导数f'(x)来确定最大值或最小值的位置。
当f'(x) = 0时，函数取得极值。
根据二次函数的性质，若a > 0，f(x)开口向上，则该极值为最小值；若a < 0，f(x)开口向下，则该极值为最大值。
问题四：实际应用问题二次函数还有很多其他实际应用，比如经济学中的成本、利润和产量问题，物理学中的速度、加速度和位移问题，以及几何学中的抛物线问题等等。
二次函数的应用问题解析
二次函数的应用问题解析Introduction:二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在现实生活中具有广泛的应用。
本文将探讨二次函数在实际问题中的应用，包括最值问题、图像分析问题和最优化问题等。
1. 最值问题：一类常见的二次函数应用问题是求解最值。
以抛物线为例，当抛物线开口朝上时，函数有最小值；当抛物线开口朝下时，函数有最大值。
可以通过二次函数的顶点来确定最值点的坐标。
2. 图像分析问题：对于二次函数的图像分析问题，我们可以通过函数的图像特点来解决。
例如，从二次函数的方程中可以直接读出顶点坐标的横纵坐标值，进而确定函数的对称轴和顶点等。
3. 最优化问题：二次函数的最优化问题是另一种常见的应用情况。
通过求解二次函数的极值点来确定输入变量使得函数取得最大或最小值的情况。
这在经济学、物理学等领域中具有重要意义。
4. 物理应用问题：二次函数在物理学中的应用也是广泛存在的。
例如，在抛体运动中，二次函数可以描述出抛体的抛射轨迹。
通过解析抛物线的方程，可以求解出抛体的最大射程、最大高度等。
5. 经济应用问题：在经济学中，二次函数的应用也非常常见。
例如，成本函数、利润函数等经济学模型经常涉及到二次函数。
我们可以通过优化二次函数来求解最低成本、最高利润等经济问题。
6. 几何应用问题：几何中也有很多与二次函数相关的应用问题。
比如，通过二次函数的方程可以得到圆的方程，进而求解圆与直线的交点等。
Conclusion:二次函数作为数学中的重要内容，在实际问题中有着广泛的应用。
通过解析二次函数的方程，可以解决最值问题、图像分析问题和最优化问题等。
此外，在物理学、经济学和几何学中，二次函数也扮演着重要的角色。
掌握二次函数的应用，对于数学和实际生活都具有重要意义。
高质量题型专练卷-二次函数的实际应用题(Word版+详解)
二次函数的实际应用题一、单选题1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=﹣16x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是()A．2m B．4m C．D．2．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x 与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A．33°B．36°C．42°D．49°3．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．4．某建筑物，从10m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面403m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是（ ）A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m5．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm ，底面是个直径为6cm 的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD(不计重合部分，两个果冻之间没有挤压)至少为( )A ．(6cm +B ．(6cm +C ．(6cm +D ．(6cm +6．小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”，从最低点开始旋转一圈，她离地面的高度y （米）与旋转时间x （分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如表．根据函数模型和数据，可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是（ ）A ．32分B ．30分C ．15分D ．13分7．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a （x ﹣k ）2+h ．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（ ）A ．球不会过网B ．球会过球网但不会出界C ．球会过球网并会出界D ．无法确定8．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )A ．226675y x =B ．226675y x =-C ．2131350y x =D ．2131350y x =-9．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m ，水流在离喷出口的水平距离1.25m 处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m 的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m ，则应把出水口的高度调节为高出水面（ ）A ．0.55米B ．1130米 C ．1330米 D ．0.4米10．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t （单位：秒），他与教练的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q二、填空题11．某运动员对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该运动员此次实心球训练的成绩为____米． 12．汽车刹车后行驶的距离s (单位：m )关于行驶的时间t (单位：s )的函数解析式是2126s t t =-．汽车刹车后到停下来前进了m ______．13．如图，一款落地灯的灯柱AB 垂直于水平地面MN ，高度为1.6米，支架部分的形为开口向下的抛物线，其顶点C 距灯柱AB 的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4 米，灯罩顶端D 距灯柱AB 的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D 距地面的高度为______米．14．如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为900m （篱笆的厚度忽略不计），当AB=_____m 时，矩形土地ABCD 的面积最大．15．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y (单位：m )与飞行时间x (单位：s )之间具有函数关系y ＝﹣5x 2+20x ，在飞行过程中，当小球的行高度为15m 时，则飞行时间是_____．16．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x ）件．若使利润最大，每件的售价应为______元．17．廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y =−140x 2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是______米.(精确到1米)18．小明制作了一张如图所示的贺卡. 贺卡的宽为xcm ，长为40cm ，左侧图片的长比宽多4cm . 若1416x 剟，则右侧留言部分的最大面积为_________2cm .19．甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s （米）与其距地面高度h （米）之间的关系式为21231232h s s =-++，如图，已知球网AB 距原点5米，乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为94米，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m 的取值范围是__________．20．扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内A、B两点之间有障碍物，现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A，B的坐标分别为(0，4)，(6，4)，机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是_____．三、解答题21．在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元.（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？22．某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：x ，且x是按0.5元的售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（6倍数上涨），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．23．某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.24．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种士特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？25．某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店,A B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B 种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？26．随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x （x 为正整数）个销售周期每台的销售价格为y 元，y 与x 之间满足如图所示的一次函数关系. （1）求y 与x 之间的关系式；（2）设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p （万台），p 与x 的关系可用1122p x =+来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？27．某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg ．设第x 天的销售价格为y （元/kg ），销售量为()m kg ．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当130x 剟时，y=40；当3150x 剟时，y 与x 满足一次函数关系，且当36x =时，37y =；44x =时，33y =．②m 与x 的关系为550m x =+． （1）当3150x 剟时，y 与x 的关系式为 ； （2）x 为多少时，当天的销售利润W （元）最大？最大利润为多少？（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W （元）随x 的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a 元/kg ，求a 的最小值．28．攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？29．某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）②该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(0)m>，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值30．某农作物的生长率P与温度t(℃)有如下关系：如图1，当10≤t≤25时可近似用函数11505P t=-刻画；当25≤t≤37 时可近似用函数21()0.4160P t h =--+ 刻画． (1)求h 的值．(2)按照经验，该作物提前上市的天数m(天)与生长率P 满足函数关系：②请用含t 的代数式表示m ；(3)天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在(2)的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为 200元，该作物 30 天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加 600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w (元)与大棚温度t(℃)之间的关系如图 2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．二次函数的实际应用题一、单选题1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC 构成，长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y =﹣16x 2+bx +c 表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ．那么两排灯的水平距离最小是( )A ．2mB ．4mC． D．【答案】D【分析】根据长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ，可得顶点的横坐标和点C 的坐标，即可求出抛物线解析式，再把y ＝8代入解析式即可得结论． 【详解】根据题意，得 OA =12，OC =4．所以抛物线的顶点横坐标为6，即﹣2ba=13b =6，∴b =2． ∵C （0，4），∴c =4， 所以抛物线解析式为： y =﹣16x 2+2x +4 =﹣16（x ﹣6）2+10 当y =8时， 8=﹣16（x ﹣6）2+10， 解得：x 1x 2=6﹣则x 1﹣x 2所以两排灯的水平距离最小是43． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．2．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：m 3）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（0°＜x ≤90°）近似满足函数关系y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A．33°B．36°C．42°D．49°【答案】C【分析】据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可知，物线开口向上，该函数的对称轴x＞18542+且x＜54，∴36＜x＜54，即对称轴位于直线x＝36与直线x＝54之间且靠近直线x＝36，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】S△AEF=12AE×AF=212x，S△DEG=12DG×DE=12×1×（3﹣x）=32x-，S五边形EFBCG=S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S △DEG =213922x x ---=21115222x x -++，则y=4×（21115222x x -++）=22230x x -++，∵AE ＜AD ，∴x ＜3，综上可得：22230y x x =-++（0＜x ＜3）．故选A ． 考点：动点问题的函数图象；动点型．4．某建筑物，从10m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面403m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是（ ）A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m【答案】B【分析】以OB 为x 轴，OA 为y 轴建立平面直角坐标系，A 点坐标为（0，10），M 点的坐标为（1，403），设出抛物线的解析式，代入解答球的函数解析式，进一步求得问题的解． 【详解】解：设抛物线的解析式为y ＝a (x ﹣1)2+403， 把点A （0，10）代入a (x ﹣1)2+403，得a (0﹣1)2+403＝10， 解得a ＝﹣103， 因此抛物线解析式为y ＝﹣103(x ﹣1)2+403， 当y ＝0时，解得x 1＝3，x 2＝﹣1（不合题意，舍去）； 即OB ＝3米． 故选B ．【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．5．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm ，底面是个直径为6cm 的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD(不计重合部分，两个果冻之间没有挤压)至少为( )A ．(6cm +B ．(6cm +C ．(6cm +D ．(6cm +【答案】A【分析】设：左侧抛物线的方程为：2y ax =，点A 的坐标为()3,4-，将点A 坐标代入上式并解得：4a 9=，由题意得：点MG 是矩形HFEO 的中线，则点N 的纵坐标为2，将y 2=代入抛物线表达式，即可求解． 【详解】解：设左侧抛物线的方程为：2y ax =， 点A 的坐标为()3,4-，将点A 坐标代入上式并解得：4a 9=， 则抛物线的表达式为：24y x 9=， 由题意得：点MG 是矩形HFEO 的中线，则点N 的纵坐标为2，将y 2=代入抛物线表达式得：242x 9=，解得：x 2=(负值已舍去)，则AD 2AH 2x 6=+=+ 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后求解．6．小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”，从最低点开始旋转一圈，她离地面的高度y （米）与旋转时间x （分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如表．根据函数模型和数据，可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是（ ）A ．32分B ．30分C ．15分D ．13分【答案】B【分析】利用二次函数的性质，由题意，最值在自变量大于14.7小于16.0之间，由此不难找到答案． 【详解】最值在自变量大于14.7小于16.0之间， 所以最接近摩天轮转一圈的时间的是30分钟． 故选：B ．【点睛】此题考查二次函数的实际运用，利用表格得出函数的性质，找出最大值解决问题．7．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a （x ﹣k ）2+h ．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（ ）A ．球不会过网B ．球会过球网但不会出界C ．球会过球网并会出界D ．无法确定【答案】C【分析】（1）将点A (0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+求出a 的值；分别求出x =9和x =18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．【详解】根据题意,将点A (0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+， 得：36a +2.6=2， 解得：160a ，=-∴y 与x 的关系式为21(6) 2.660y x =--+； 当x =9时,()2196 2.6 2.45 2.4360y =--+=>，∴球能过球网， 当x =18时,()21186 2.60.2060y =--+=>，∴球会出界. 故选C.【点睛】考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围. 8．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )A ．226675y x =B ．226675y x =-C ．2131350y x =D ．2131350y x =-【答案】B【分析】设抛物线解析式为y=ax 2，由已知可得点B 坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可. 【详解】∵拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系， ∴设抛物线解析式为y=ax 2，点B(45，-78)， ∴-78=452a ， 解得：a=26675-， ∴此抛物线钢拱的函数表达式为226675y x =-， 故选B.【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.9．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m ，水流在离喷出口的水平距离1.25m 处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m 的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m ，则应把出水口的高度调节为高出水面（ ）A ．0.55米B ．1130米 C ．1330米 D ．0.4米【答案】B【分析】如图，以O 为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x ＝1.25＝54，A （0，0.8），C （3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．【详解】解：如图，以O 为原点，建立平面直角坐标系， 由题意得，对称轴为x ＝1.25＝54，A （0，0.8），C （3，0）， 设解析式为y ＝ax 2+bx +c ，∴9305240.8a b c b a c ++=⎧⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩， 解得：8154345a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以解析式为：y ＝815-x 2+43x +45， 当x ＝2.75时，y ＝1330， ∴使落水形成的圆半径为2.75m ，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣1330＝1130， 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键10．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t （单位：秒），他与教练的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【答案】D【详解】解：A 、假设这个位置在点M ，则从A 至B 这段时间，y 不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B 、假设这个位置在点N ，则从A 至C 这段时间，A 点与C 点对应y 的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C 、，假设这个位置在点P ，则由函数图象可得，从A 到C 的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离，而点P 不符合这个条件，故本选项错误； D 、经判断点Q 符合函数图象，故本选项正确； 故选D ．二、填空题11．某运动员对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该运动员此次实心球训练的成绩为____米． 【答案】10【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可． 【详解】当y=0时，212501233x x -++= 解得，x=-2（舍去），x=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．12．汽车刹车后行驶的距离s (单位：m )关于行驶的时间t (单位：s )的函数解析式是2126s t t =-．汽车刹车后到停下来前进了m ______． 【答案】6【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s 的值. 【详解】解：根据二次函数解析式2126s t t =-=-6(t²-2t+1-1)=-6(t -1) ²+6 可知，汽车的刹车时间为t=1s ， 当t=1时，2126s t t =-=12×1-6×1²=6(m) 故选：6【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，理解透题意是解题的关键．13．如图，一款落地灯的灯柱AB 垂直于水平地面MN ，高度为1.6米，支架部分的形为开口向下的抛物线，其顶点C 距灯柱AB 的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4 米，灯罩顶端D 距灯柱AB 的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D 距地面的高度为______米．【答案】1.95【分析】以点B 为原点建立直角坐标系，则点C 为抛物线的顶点，即可设顶点式y ＝a （x−0.8）2＋2.4，点A 的坐标为（0，1.6），代入可得a 的值，从而求得抛物线的解析式，将点D 的横坐标代入，即可求点D 的纵坐标就是点D 距地面的高度 【详解】解：如图，以点B 为原点，建立直角坐标系．由题意，点A （0，1.6），点C （0.8，2.4），则设顶点式为y ＝a （x−0.8）2＋2.4 将点A 代入得，1.6＝a （0−0.8）2＋2.4，解得a ＝−1.25 ∴该抛物线的函数关系为y ＝−1.25（x−0.8）2＋2.4 ∵点D 的横坐标为1.4∴代入得，y ＝−1.25×（1.4−0.8）2＋2.4＝1.95 故灯罩顶端D 距地面的高度为1.95米 故答案为1.95.【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．14．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=_____m时，矩形土地ABCD的面积最大．【答案】150【分析】根据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积，利用函数的性质即可解答本题．【详解】解：设AB=xm，则BC=12（900﹣3x），由题意可得，S=AB×BC= 12（900﹣3x）x=﹣32（x2﹣300x）=﹣32（x﹣150）2+33750，∴当x=150时，S取得最大值，此时，S=33750，∴AB=150m，故答案为150．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值．15．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，在飞行过程中，当小球的行高度为15m时，则飞行时间是_____．【答案】1s或3s【分析】根据题意可以得到15=﹣5x2+20x，然后求出x的值，即可解答本题．【详解】∵y=﹣5x2+20x，∴当y=15时，15=﹣5x2+20x，得x1=1，x2=3，故答案为1s或3s．。
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是数学中一种常见的函数形式，其方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数在许多实际问题中都有广泛的应用，本文将介绍二次函数在几个不同领域的具体应用案例。
一、物理学领域中的应用1. 自由落体问题当物体在重力作用下自由落体时，其高度与时间之间的关系可以用二次函数来描述。
假设物体从初始高度h0下落，时间t与高度h之间的关系可以表示为：h = -gt^2 + h0其中g为重力加速度，取9.8m/s^2。
通过解二次方程可以求解物体落地的时间以及落地时的位置。
2. 弹射物体的运动考虑一个弹射物体，如抛射出的炮弹或投射物，其路径可以用一个抛物线来表示。
弹射物体的运动轨迹可以通过二次函数得到，可以利用二次函数的顶点坐标来确定最远射程或最高点。
二、经济学领域中的应用1. 成本和收入关系在经济学中，企业的成本和收入通常与产量相关。
通常情况下，成本和收入之间存在二次函数关系。
通过分析二次函数的图像，可以确定最大利润产量或最低成本产量。
2. 售价和需求关系在市场经济中，产品的售价通常与需求量相关。
通常情况下，售价和需求量之间存在二次函数关系。
通过分析二次函数的图像，可以找到最佳定价，以达到利润最大化。
三、工程学领域中的应用1. 抛物线拱桥在建筑和结构工程中，抛物线是通常用来设计拱桥的形状。
由于抛物线具有均匀承重特性，因此可以最大程度地减少桥墩的数量，提高桥梁的承载能力。
2. 抛物面反射器在光学和声学工程中，抛物面被广泛应用于反射器的设计。
由于抛物面具有焦点特性，因此可以实现光或声波的聚焦效果，提高反射效率。
四、生物学领域中的应用1. 生长模型植物和动物的生长通常可以使用二次函数模型来描述。
二次函数可以帮助分析生物在不同生长阶段的生长速率，并预测未来的生长趋势。
2. 群体增长生态学中，群体增长通常可以使用二次函数模型来描述。
例如，一种昆虫群体的数量随时间的变化可以通过二次函数来表示，通过分析二次函数的图像，可以预测种群数量的变化趋势。
二次函数应用题
二次函数应用题二次函数应用题：汽车行驶距离问题假设一辆汽车以恒定的速度行驶，行驶了一段时间后，我们希望能够根据时间的变化预测汽车行驶的距离。
为了解决这个问题，我们可以使用二次函数来建立数学模型。
假设汽车行驶的时间为t（小时），行驶的距离为d（公里）。
我们知道，汽车在一开始时是从静止状态开始加速的，但是随着时间的增加，汽车的速度会越来越接近恒定值。
所以，在短时间内，我们可以近似地认为汽车的速度是不变的。
根据物理学的定律，我们知道汽车的速度与时间的关系可以用一个二次函数来描述，形式为v(t) = at^2 + bt + c，其中a，b，c 是常数。
根据题意，我们可以设定初始速度为0，即v(0) = 0。
而且我们还知道，当时间为t时，汽车的速度应该等于行驶距离与时间的比值，即v(t) = d/t。
因此，我们可以得到以下方程：d/t = a(t^2) + bt + c接下来，我们需要使用已知的两组数据来求解常数a，b，c 的值。
假设汽车在时间t1和t2的速度分别为v1和v2，行驶距离分别为d1和d2。
那么我们可以得到如下方程组：v1 = a(t1^2) + bt1 + cv2 = a(t2^2) + bt2 + c将两个方程整理并消去c，我们得到一个关于a 和b 的方程：v1 - v2 = a(t1^2 - t2^2) + b(t1 - t2)利用这个方程，我们可以求解出a 和b 的值。
然后，我们可以将这些值带入到任意一个方程中，用以求解c 的值。
当我们求解出a，b，c 的值后，我们就可以使用二次函数v(t) = at^2 + bt + c 来预测汽车行驶的距离了。
中考二次函数应用题(及答案解析)
中考二次函数应用题(及答案解析)二次函数应用题1．如图1，足球场上守门员李伟在O 处抛出一高球，球从离地面1m 处的点A 飞出，其飞行的最大高度是4m ，最高处距离飞出点的水平距离是6m ，且飞行的路线是抛物线的一部分．以点O 为坐标原点，竖直向上的方向为y 轴的正方向，球飞行的水平方向为x 轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点（参考数据：取437≈，265≈）(1)求足球的飞行高度(m)y 与飞行水平距离(m)x 之间的函数关系式； (2)在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？(3)若对方一名1.7m 的队员在距落点3m C 的点H 处，跃起0.3m 进行拦截，则这名队员能拦到球吗？(4)如图2，在（2）的情况下，若球落地后又一次弹起，据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半，那么足球弹起后，会弹出多远？2．东东在网上销售一种成本为30元/件的T 恤衫．销售过程中的其他各种费用（不再含T 恤衫成本）总计50（百元）．若销售价格为x （元/件）．销售量为y （百件）．当4060x ≤≤时，y 与x 之间满足一次函数关系．且当40x =时，6y =，有关销售量y （百件）与销售价格x （元/件）的相关信息如下： 销售量y （百件） _____________ 240y x =销售价格x （元/件）4060x ≤≤6080x ≤≤(1)求当4060x ≤≤时．y 与x 的函数关系式：(2)①求销售这种T 恤衫的纯利润w （百元）与销售价格x （元/件）的函数关系式； ②销售价格定为每件多少元时．获得的利润最大?最大利润是多少?3．因为疫情，体育中考中考生进入考点需检测体温．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y （人）与时间x （分钟）的变化情况，数据如下： 时间x （分钟） 0 123456789915x <≤人数y （人）0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810(1)研究表中数据发现9分钟内考生进入考点的累计人数是时间的二次函数，请求出9分钟内y 与x 之间的函数关系式．(2)如果考生一进考点就开始排队测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？(3)在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？4．某社区委员会决定把一块长40m ，宽30m 的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多5米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为()m 610x x ≤≤，健身活动区域的面积为2m S ．(1)求出S 与x 之间的函数关系式； (2)求健身活动区域的面积S 的最大值．5．某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售后，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数关系如图所示．(1)求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．(2)若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？6．为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L ”字形的墙面（粗线ABC 表示墙面，已知AB BC ⊥，3AB =米，1BC =米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF （细线表示篱笆，小型农场中间GH 也是用篱笆隔开），点D 可能在线段AB 上（如图1），也可能在线段BA 的延长线上（如图2），点E 在线段BC 的延长线上．(1)当点D在线段AB上时，①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长；②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为12平方米，求DF的长；(2)DF的长为多少米时，小型农场DBEF的面积最大?最大面积为多少平方米?7．在“乡村振兴”行动中，某村办企业开发了一种有机产品，该产品的成本为每盒30元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每涨价1元，每天少销售10盒．(1)设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式；(2)当每盒售价订为多少元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是多少？a>给村级经济合作社，物价部门要(3)现在该企业打算回报社会，每销售1盒捐赠a元()5求该产品销售定价不得超过每盒75元，该企业在严格执行物价部门的定价前提下欲使每天捐赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大，求a的取值范围．8．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x 元（x为正整数且x≤80），每月的销售量为y条．(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)设该店每月所获利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月所获利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从出售的每条裤子中捐出5元资助贫困学生．总捐款额不低于750元，求捐款后每月最大利润．9．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，设每件商品的售价下降x元，每天的销售利润为w元．(1)求w与x的函数关系式；(2)每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？(3)每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？10．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA ，A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式是2724y x x =-++（x ＞0）．(1)柱子OA 的高度是______米；(2)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？【参考答案】二次函数应用题1．(1)21(6)412y x =--+ (2)13m(3)这名队员不能拦到球 (4)足球弹起后，会弹出10m 【解析】 【分析】（1）根据其飞行的最大高度是4m ，最高处距离飞出点的水平距离是6m ，设顶点式()264y a x =-+，将()0,1A 代入，待定系数法求解析式即可；（2）令0y =，求得与x 轴的交点坐标即可求解； （3）将10x =代入求得y 的值，进而比较即可求解（4）根据题意求得新抛物线的解析式，根据题意即求元抛物线与2y =的所截线段长即可，解一元二次方程求解即可 (1)①当最大高度4y =时，6x =，∴设y 与x 之间的函数关系式为()264y a x =-+， 又()0,1A ， ∴()21064a =-+， ∴112a =-，∴21(6)412y x =--+； (2)令0y =，则210(6)412x =--+， 解得143613x =+≈，2436x =-+（负值舍去）， ∴球飞行的最远水平距离是13m ； (3)当13310x =-=时，81.70.323y =>+=， ∴这名队员不能拦到球； (4)）如图，足球第二次弹出后的距离为CD ，根据题意知CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位长度），∴21(6)4212x --+=， 解得1626x =-，2626x =+， ∴214610m CD x x =-=≈. 答：足球弹起后，会弹出10m .【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图像与性质，掌握二次函数图像与性质是解题的关键． 2．(1)0.110y x =-+(2)①当4060x ≤≤时，20.113350=-+-w x x ；当6080x <≤时，7200190=-+w x； ②销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是100百元 【解析】 【分析】（1）把把60x =代入240y x=得4y =，设y 与x 的函数关系式为：y =kx +b ，把x =40，y =6；x =60，y =4，代入解方程组即可得到结论；（2）①根据x 的范围分类讨论，由“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式； ②结合①中两个函数解析式，分别依据二次函数的性质和反比例函数的性质求其最值即可． (1)解：把60x =代入240y x=得4y =． 设y 与x 的函数关系式为：y kx b =+， ∵当40x =时，6y =，当60x =时，4y =，∴406604k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：0.110k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 的函数关系式为：0.110y x =-+． (2)①当4060x ≤≤时，()()2300.110500.113350w x x x x =--+-=-+-；当6080x <≤时，()24072003050190w x x x=-⋅-=-+； ②当4060x ≤≤时，()220.1133500.16572.5w x x x =-+-=--+， ∵4060,65,x x ω≤≤≤随x 的增大而增大． ∴当60,70x w ==最大 （百元）． 当6080x ≤≤时，7200190xω=-+ ∵72000-<，∴w 随x 的增大而增大，当80x =时，100w =最大 （百元）．答：销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是100百元． 【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的应用，理解题意依据相等关系列出函数解析式，并熟练掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键． 3．(1)210180y x x =-＋(2)排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟； (3)2 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）设第x 分钟时的排队人数为w 人，由二次函数的性质和一次函数的性质可求当x ＝7时，w 的最大值＝490，当9＜x ≤15时，210≤w ＜450，可得排队人数最多时是490人，由全部考生都完成体温检测时间×每分钟检测的人数＝总人数，可求解；（3）设从一开始就应该增加m 个检测点，由“在12分钟内让全部考生完成体温检测”，列出不等式，可求解． (1)根据表格中数据可知，当x ＝0时，y ＝0， ∴二次函数的关系式可设为：y ＝ax 2＋bx ，将()()1,1703450，，代入，得17093450a b a b =⎧⎨=⎩＋＋ 解得：10180a b =-⎧⎨=⎩，∴9分钟内y 与x 之间的函数关系式()21018009y x x x =-≤≤＋； (2)设第x 分钟时的排队人数为w 人，()810915y x =<≤由题意可得：w ＝y −40x ＝210140(09)81040(915)x x x x x ⎧-≤≤⎨-≤⎩＋＜，①当0≤x ≤9时，w ＝−10x 2＋140x ＝−10（x −7）2＋490， ∴当x ＝7时，w 的最大值＝490，②当9＜x ≤15时，w ＝810−40x ，w 随x 的增大而减小， ∴210≤w ＜450，∴排队人数最多时是490人，要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810−40x ＝0， 解得：x ＝20.25，答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟； (3)设从一开始就应该增加m 个检测点，由题意得：12×20（m ＋2）≥810， 解得m ≥118， ∵m 是整数， ∴m ≥118的最小整数是2， ∴一开始就应该至少增加2个检测点． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出y 与x 之间的函数关系式是本题的关键． 4．(1)24201200S x x =-++；()610x ≤≤ (2)活动区域面积S 的最大值为21176m 【解析】 【分析】（1）利用健身区域的面积等于矩形的面积减掉周围四个长方形花坛的面积即可求解； （2）把（1）中求得的S 与x 之间的函数关系式化成二次函数的顶点式，利用二次函数的增减性即可求解． (1)（1）由题意解得：()2=4030454201200S x x x x ⨯--=-++；()610x ≤≤(2)（2）2254201200412252S x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∵40a =-<，抛物线开口向下，对称轴为52x =， ∴当610x ≤≤时，S 随x 的增大而减小， ∴当6x =时，S 有最大值，最大值为1176， 答：活动区域面积S 的最大值为21176m ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用及二次函数的性质，读懂题意，找出题目中的等量关系是解题的关键．5．(1)10300y x =-+，1030x ≤≤；(2)当该品种的草莓定价为20元时，每天销售获得的利润最大，为1000元． 【解析】 【分析】（1）由图象可知每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间是一次函数的关系，设y kx b =+，将(10,200)，(15,150)代入解析式求解即可；（2）设利润为w 元，求得w 与x 的关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． (1)解：由图象可知每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间是一次函数的关系， 设y kx b =+，将(10,200)，(15,150)代入解析式，可得1020015150k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10300k b =-⎧⎨=⎩ 即10300y x =-+，由题意可得，10x ≥，103000x -+≥，解得1030x ≤≤ 即10300y x =-+，1030x ≤≤， (2)解：设利润为w 元，则2(10)(10300)104003000w x x x x =--+=-+-， ∵100-<，开口向下，对称轴为20x ，1030x ≤≤∴当20x 时，w 有最大值，为1000元，【点睛】此题考查了一次函数与二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质，理解题意，找到题中的等量关系，正确列出函数关系式． 6．(1)①153EF x =-；②4米(2)饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米 【解析】 【分析】（1）①根据题意结合图形即可求解； ②根据矩形的面积公式列方程求解即可；（2）设饲养场DBEF 的面积为S ，求出关于DF 的长的关于x 的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答． (1)①设DF 的长为x 米， ∵点D 在线段AB 上，∴()()1421153EF x x x =---=-米， ②∵3AB =，∴3EF ≤，即1533x -≤， ∴4x ≥；设DF 的长为x 米，根据题意得：()15312x x -=， 解得：14x =，21x =（此时点D 不在线段AB 上，舍去）， ∴4x =，答：饲养场的长DF 为4米； (2)设饲养场DBEF 的面积为S ，DF 的长为x 米， ①点D 在15段AB 上，由（1）知此时4x ≥， 则()22575153315324S x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵30a ，抛物线对称轴是直线52x =， ∴在对称轴右侧，S 随x 的增大而减小，∴4x =时，S 有最大值，23415412S =-⨯+⨯=最大值（平方米）；②点D 在线段BA 的延长线上，此时4x <， 则()()2132715333222S x x x =-+=--+， ∵302a =-<，34<，∴3x =时，S 有最大值，272S =最大值， ∴3x =时，272S =最大值（平方米）； ∵27122>， ∴饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米． 答：饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米． 【点睛】此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．7．(1)w＝-10x2＋1400x-33000；(2)每盒售价订为70元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是16000元；(3)10≤a＜30．【解析】【分析】（1）根据利润＝（售价-进价）×销量，即可得到w关于x的函数解析式；（2）把（1）中的函数解析式化成顶点式，根据二次函数的性质，即可得出答案；（3）根据题意，仿照（1）列出函数关系式，求出对称轴，再根据二次函数的性质分析，即可得到a的取值范围．(1)解：当售价为x元时，上涨（x-60）元，销量为500-10（x-60）＝-10x+1100，∴w＝（x-30）（-10x+1100）＝-10x2＋1400x-33000，故w关于x的函数解析式是w＝-10x2＋1400x-33000；(2)解：w＝-10x2＋1400x-33000＝-10（x-70）2+16000∵-10＜0∴抛物线开口向下，函数有最大值即当x＝70时，w有最大值，最大值是16000，故每盒售价订为70元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是16000元．(3)解：由题意得w＝（x-30-a）（-10x+1100）＝-10x2＋（1400+10a）x-（33000+1100a）其中60≤x≤75，∵-10＜0∴抛物线开口向下，函数有最大值，抛物线的对称轴是x＝140010170202aa+-=+-，∵每天捐赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大，∴当60≤x≤75时，w随着x的增大而增大，∴1702a+≥75即a≥10，又∵x-30-a＞0，∴a＜x-30，其中60≤x≤75，∴ a ＜60-30，即a ＜30时，a ＜x -30恒成立，∴ 10≤a ＜30∴a 的取值范围是10≤a ＜30．【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，熟练应用二次函数求最值是解决问题的关键． 8．(1)5500y x =-+（x 为正整数且x ≤80）(2)10元，4500元(3)3750元【解析】【分析】(1)直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条列出y 与x 的函数关系式并整理即可；(2)利用“销售量×每件利润＝总利润”列出函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可；(3) 利用“销售量×（每件利润-5）＝总利润”列出函数关系式，再根据总捐款额不低于750元以及题意列不等式组求出x 的取值范围，最后利用二次函数的性质求最值即可．(1)解：由题意可得：y ＝100+5（80﹣x ），整理得 y ＝﹣5x +500（x 为正整数且x ≤80）．(2)（2）由题意，得：w ＝（x ﹣40）（﹣5x +500）＝﹣5x 2+700x ﹣20000＝﹣5（x ﹣70）2+4500，∵a ＝﹣5＜0，∴w 有最大值，即当x ＝70时，w 最大值＝4500，∴应降价80﹣70＝10（元）．答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元．(3)（3）由题意，得：w ＝（x ﹣40﹣5）（﹣5x +500）＝﹣5（x ﹣72.5）2+3781.25，由题意得5(5500)75080x x -+≥⎧⎨≤⎩， 解得x ≤70，∵﹣5＜0，∴x ＜72.5时，w 随x 的增大而增大，∴x ＝70时，w 最大值＝﹣5（x ﹣72.5）2+3781.25＝3750．答：捐款后每月最大利润是3750元．【点睛】本题主要考查了二次函数和不等式组在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、正确列出函数关系式是解答本题的关键．9．(1)w ＝−8x 2＋32x ＋480；(2)每件商品应降价2.5元；(3)每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．【解析】【分析】（1）设每件商品应降价x 元，由每件利润×销售数量＝每天获得的利润可列出关于x 的关系式；（2）根据题意列出一元二次方程，解方程可得答案；（3）把w 关于x 的函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质可得答案．(1)解：由题意得w ＝（40−30−x ）（4×0.5x ＋48）＝−8x 2＋32x ＋480， 答：w 与x 的函数关系式是w ＝−8x 2＋32x ＋480；(2)解：由题意得，510＝−8x 2＋32x ＋480，解得：x 1＝1.5，x 2＝2.5，所以为尽快减少库存每件商品应降价2.5元；答：每天要想获得510元的利润，每件应降价2.5元.(3)解：∵w ＝−8x 2＋32x ＋480＝−8（x −2）2＋512，∴当x ＝2时，w 有最大值512，此时售价为40−2＝38（元），答：每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．10．(1)74(2) 【解析】【分析】（1）OA 在y 轴上，2724y x x =-++中，令x =0，可得y 即为OA ； （2）水流落得最远时，落点在x 轴上，在2724y x x =-++中，当y ＝0时，27204x x -++=，求得1x ． (1)在2724y x x =-++中，令x =0，则y = 74， ∴柱子OA 的高度为74米； 故答案为74； (2)（2）在2724y x x =-++中， 当y ＝0时27204x x -++=， 272-04-x x =， ()27=-2-41-=114⎛⎫∆⨯⨯ ⎪⎝⎭，∴1x ==∴1x =，2x =·， 又∵x ＞0，∴解得x =【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决问题的关键是平面直角坐标系中x 轴上的纵坐标为0，y 轴上的横坐标为0，解方程．。
《应用微积分求解二次函数》
《应用微积分求解二次函数》
微积分可以被定义为永恒的微分方程的研究，它既包括分析几何学问题的积分、向量数学问题的解等等。
因此，应用微积分求解二次函数是一个重要的数学问题，它是由数学分析中最重要的方法之一来解决。
首先，我们必须要理解什么是二次函数。
二次函数是一种常见的多项式函数，其标准形式为：f ( x ) = ax2 + bx + c，其中a，b, c 为实数。
在此方程中，x为变量，a, b, c 则为常数，f ( x )
为函数值。
接下来，我们来看一下如何使用微积分来求解二次函数。
首先，我们要知道函数的导数，导数是一种衡量函数变化程度的量，因此，计算二次函数的最值时需要先计算出它的导数。
其次，通过带入f ( x ) 中x 的值，并将其代入微分方程，就可以计算
出函数的最值。
最后，使用微积分求解二次函数还可以利用它的性质来求解函数的最值。
比如，二次函数在定义域内的极值即“最大值”或“最小值”，可以通过绘制函数图像，结合二次函数的性质来求解。
总的来说，应用微积分求解二次函数具有许多有用的特点，首先计算出函数的导数，然后将其代入微分方程，能够更精确地求解函数的最值；其次，利用二次函数的性质求解极值，这种方法更加简便；最后，通过绘制函数图像，更好地理解二次函数的特性，从而加深对二次函数的认识。
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二次函数的微分方程与应用题解析二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在解决实际问题时起着重要的作用。
本文将详细讨论二次函数的微分方程以及其在应用题中的解析。
一、二次函数的微分方程
二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
我们可以通过对二次函数求导得到二次函数的微分方程。
对二次函数y = ax^2 + bx + c求导，得到：
dy/dx = 2ax + b
这就是二次函数的微分方程。
它描述了函数曲线上每一点的斜率（即切线的斜率）与函数自变量的关系。
二、应用题解析
1. 空中飞行的抛物线轨迹
假设一个投弹员将炸弹从高空抛下，以下方程描述了炸弹的抛物线轨迹：
y = -16t^2 + vt + h
其中，t表示时间，v表示初始速度，h表示初始高度。
这是一个二次函数，我们可以利用二次函数的微分方程来解决相关问题。
例如，求炸弹落地时的速度。
根据题意，炸弹落地时y = 0，我们可以将该条件代入二次函数方程中：
-16t^2 + vt + h = 0
解这个二次方程就可以得到落地时的时间t，然后代入微分方程
dy/dx = 2ax + b，就能计算出落地时的速度。
2. 弹簧的振动
考虑一个弹簧的振动，其位移和时间之间的关系可以用二次函数表示：
y = Acos(ωt + φ)
其中，A表示振幅，ω表示角速度，φ表示初相位。
同样，我们可
以通过二次函数的微分方程分析弹簧的振动。
对该二次函数求导，得到：
dy/dt = -Aωsin(ωt + φ)
这个微分方程描述了弹簧在任意时刻的速度与时间的关系。
利用该
微分方程，我们可以解决弹簧振动相关的问题，如求解速度的最大值、最小值等。
结语
二次函数的微分方程在解决实际问题时起着重要的作用，如空中飞
行轨迹和弹簧的振动等。
通过对二次函数求导，我们可以得到描述函
数曲线上每一点的斜率与函数自变量关系的微分方程，从而解决相关的应用题。
这篇文章介绍了二次函数的微分方程以及它在应用题中的解析。
希望对你的学习有所帮助。