线性代数01-作业_70

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线性代数1-01 逆序数-行列式定义

a11 b1 D2 = . a21 b2
⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 , ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 .
b1 D1 = b2
a12 , a22
⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 , ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 .
a11 b1 D2 = . a21 b2
暨南大学环境工程系
线性代数
曹刚
教学目标及教学要求
线性代数是环境工程和环境科学专业学生的基础课，也是一门重要的数学基础理论课。提高学生的综合数学素质，为后继课程学习提供必备的数学工具，为进一步获得现代科学技术知识奠定必要的数学基础。通过本课程的学习，掌握线性代数的基本概念，基本原理和基本方法，培养概括问题的能力，逻辑推理能力，抽象思维能力，并在此基础上运用线性代数这一工具解决理论上和实际中的问题。
则二元线性方程组的解为
b1 a12 D1 b2 a22 x1 = = , D a11 a12 a21 a22
a11 b1 D2 a21 b2 x2 = = . D a11 a12 a21 a22
注意
分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
⎧ 3 x1 − 2 x2 = 12, ⎨ ⎩ 2 x1 + x2 = 1.
排列的逆序数对于n 个不同的元素，可以规定各元素之间有一个标准次序。一般情况， n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 定义在一个排列 (i1 i 2 L i t L i s L i n ) 中，若数 i t > i s 则称这两个数组成一个逆序.
例如排列32514 中，逆序

线性代数

南昌航空工业学院2002－2003学年第二学期期终考试课程名称：线性代数一、（40分）解答下列各题 1. 已知23i 571j 8为奇排列，求i ,j 。

解：i ＝6, j ＝42. 设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0200321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，求λ。

解：由题意，01121111≠-λλ，解得1,0≠λ3. 设A 为五阶行列式，且3=A ，求12-AA T。

解：5151512222===---AA AA AAT T4. 设Λ=-AP P 1，其中⎪⎭⎫ ⎝⎛=3215P ，⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ1001，求5A 。

解：由题意⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ=-17121017131521313110013215155P P A5. 求作一个满秩矩阵，使它的两个行向量为()0,1,0,1，()0,0,1,1-。

解：满秩矩阵＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1000010000110101 6. 设11a b =，212a ab +=，3213a a ab ++=，且向量组1a ，2a，3a 线性无关，判断向量组1b ，2b ，3b 是否线性无关。

解：设0332211=++b k b k b k ，由已知11a b =，212a ab +=，3213a a a b ++=代入可得：()()0321321211=+++++a a a k a a k a k ，即()()0332321321=+++++a k a k k a k k k ，再由已知向量组1a ，2a ，3a 线性无关，知⇒===⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=++0000321332321k k k k k k k k k 向量组1b ，2b ，3b 线性无关7. 设A 的特征值为2±，3，求()E A A A 432+-=ϕ的特征值。

解：由题意可知，存在可逆矩阵P ，使()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+-=+-=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---------4142111432233224343433222112111212111EPP AP P AP P P E P P A P P A P P E A A P P A P AP P ϕ 所以()A ϕ特征值为2，14，48. 举例说明同阶方阵的交换律不成立，即AB 不一定等于BA 。

《线性代数》知识点-归纳整理-大学线代基础知识

《线性代数》知识点-归纳整理-大学线代基础知识-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 3 -02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 3 -03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 -04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 4 -05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 4 -06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 5 -07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 5 -08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 5 -09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 7 -10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 -11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 8 -12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 8 -13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 8 -14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 8 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 9 -17、充分性与必要性的证明题 ................................................................................................................................... - 10 -18、伴随矩阵 ............................................................................................................................................................... - 10 -19、矩阵的标准形： ................................................................................................................................................... - 11 -20、矩阵的秩： ........................................................................................................................................................... - 11 -21、矩阵的秩的一些定理、推论 ............................................................................................................................... - 11 -22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 11 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 11 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 13 -25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 13 -26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 13 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 14 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 14 -29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 14 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 14 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 14 -32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 14 -33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 14 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。

郑州大学远程教育学院《线性代数》第01章在线测试

《线性代数》第01章在线测试
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答题须知：1、本卷满分20分。

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第一题、单项选择题（每题1分，5道题共5分）
1、设A为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|＝1，|B|＝-2，则行列式||B|A|之值为( )
A、-8
B、-2
C、2
D、8
2、若三阶行列式D的第三行的元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为2、
3、4，则D＝（）
A、-8
B、8
C、-20
D、20
3、已知行列式image.png，则image.png＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
A、3
B、4
C、5
D、6
4、设|A|是四阶行列式，且|A|＝-2，则||A|A|＝( )．
A、4
B、8
C、25
D、-25
5、下列n（n ＞2）阶行列式的值必为零的是
A、行列式主对角线上的元素全为零
B、三角形行列式主对角线上有一个元素为零
C、行列式零的元素的个数多于n个
D、行列式非零元素的个数小于n个。

线性代数胡觉亮版(题目+答案)

习题解答习题一（A ）1．用消元法解下列线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.5432,9753,432321321321x x x x x x x x x解由原方程组得同解方程组12323234,23,x x x x x ++=⎧⎨+=⎩得方程组的解为13232,2 3.x x x x =-⎧⎨=-+⎩令3x c =，得方程组的通解为c x c x c x =+-=-=321,32,2，其中c 为任意常数．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++-=++-.552,12,12432143214321x x x x x x x x x x x x解由原方程组得同解方程组1234421,44,02,x x x x x -++=⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以方程组无解．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=--=+-.05,3523,22,1231321321321x x x x x x x x x x x解由原方程组得同解方程组12323321,0,41,x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩得方程组的解为41,41,45321-=-==x x x ．（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+-+-=-++-=+-.23,0243,6332,322432143214321421x x x x x x x x x x x x x x x解由原方程组得同解方程组123423434432,310,39,3,x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++=⎪⎨-=⎪⎪=⎩得方程组的解为3,4,1,24321===-=x x x x ．2．用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--122212221．解 122122100212012010221001001r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得行阶梯形：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100210221（不唯一）；行最简形：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001．（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--324423211123．解 1102232111232551232041050124442300000000r r ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-−−→--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭，得行阶梯形：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000510402321（不唯一）；行最简形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000045251021201．（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--211132．解 231110110101120000r r -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得行阶梯形：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-001011（不唯一）；行最简形：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001001．（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-34624216311230211111．解 11001111111111122032102501101002136120070000100426430000000000r r ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，得行阶梯形：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000007001052011111（不唯一）；行最简形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000000100210010211001．3．用初等行变换解下列线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++.3,1142,53332321321x x x x x x x x解 2100313357214110109011320019r B ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭M M M M M M ，得方程组的解为920,97,32321=-==x x x ．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++-.2222,2562,134432143214321x x x x x x x x x x x x解 114311143121652032101222200001r B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M M M M M M ，得方程组无解．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-=-+=-+-.1837,4,133,44324324324214321x x x x x x x x x x x x x解 4710021234415130310101201114230012073118200000r B ⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪⎪⎪--- ⎪ ⎪=−−→ ⎪- ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎪⎪⎝⎭MM M M M M MM ，得方程组的解为1243447,215,2232.2x x x x x ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩令4x c =，得方程组的通解为c x c x c x x =-=-==4321,2232,215,247，其中c 为任意常数．（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=+++-=+++-=+++-.1224,9138436,354236,232254321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解1112112321002226324530010436348139000100421121000000r B ⎛⎫----⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪=−−→ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M ，得方程组的解为125354111,22243,0.x x x x x x ⎧=+-⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎩令2152,x c x c ==，得方程组的通解为 2542312211,0,34,,2122c x x c x c x c c x ==+-==-+=，其中21,c c 为任意常数．（B ）1．当λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2321321321,,1λλλλx x x x x x x x x 有无穷多解，并求解．解 2211111111110*********r B λλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．当1λ=时，111100000000rB ⎛⎫⎪−−→ ⎪ ⎪⎝⎭M M M ，方程组有无穷多解，且解为 1231x x x =--+．令2132,x c x c ==，得方程组的通解为2312211,,1c x c x c c x ==+--=，其中21,c c 为任意常数．3．（联合收入问题）已知三家公司A 、B 、C 具有如下图所示的股份关系，即A 公司掌握C公司50%的股份，C 公司掌握A 公司30%的股份，而A 公司70%的股份不受另外两家公司控制等等．现设A 、B 和C 公司各自的营业净收入分别是12万元、10万元、8万元，每家公司的联合收入是其净收入加上其它公司的股份按比例的提成收入．试确定各公司的联合收入及实际收入．解 A 公司的联合收入为元，实际收入为元； B 公司的联合收入为元，实际收入为元；C 公司的联合收入为元，实际收入为元.习题二（A ）1．利用对角线法则计算下列行列式：（1）cos sin sin cos θθθθ-．解原式1=．（2）22x y x y ．解原式()xy y x =-．（3）123312231．解原式18=．（4）000a b c a b a．解原式3a =．（5）000a a b a b c．解原式3a =-． 2．按定义计算下列行列式：（1）000000000a b f c de．解原式1311000(1)0(1)0bca f c ab abcd d ede++=-=-=-．（2）0100002000010n n-L L LL L L L L L．解原式1100020(1)001n n n +=-=-LL M M M L!)1(1n n +-．3．利用行列式的性质，计算下列行列式：（1）ab ac ae bdcd de bf cf ef---．解原式111111111022111002abcdef abcdef -=-=-=-abcdef 4-．（2）1111222233334444------．解原式1111044419200660008==．（3）a xa a a a a x aa a a a x a aaa a x++++．解原式1111100000(4)(4)0000a a x aaa x a x a x a a a x a a x aaa a xa x+=+=+=++3(4)a x x +．（4）23100120103518510154．解原式120112011201231000*********0351803518003512510154151151----=-=-=---12351221501151=-⋅=---．（5）12111110010010na a a LL LM M M L M L，其中0,1,2,,i a i n ≠=L ．解原式111212110001001001ii ni ir r a i nna a a a =-≤≤-==∑L LL M M M LM L∑∏==-ni ni i i a a 11)11(． 4．利用行列式展开定理，计算下列行列式：（1）1214012110130131-．解原式02012010010121321213217101313131131131--==-=-==---．（2）5487235472856393--------．解原式00303230141532231415314431443181434663430663443--====-=--．（3）123100010000000000001n na a a a a -L L L MM MM M L L．解原式122131100010000000(1)0000000n n n n a a a a a a a +--=-+L L L L L M M M M M M M LL2311(1)1210000(1)(1)00n n n n a a a a a a ++--=--+L LL M M M L23112n n a a a a a a -=-+L L 2311(1)n n a a a a a -=-L ．（4）2100012100012000002100012n D =L LL M M M M M L L．解将行列式按第一行展开，得122n n n D D D --=-，则11221212112n n n n D D D D D D ----=-==-=-=L ，所以12112(1)1n n n D D D D n n --=+=+==+-=+L ． 5．利用行列式展开定理证明：当βα≠时，有11000100010000001n n n D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++++-==-++L L LM M M O MML L．证将行列式按第一行展开，得12()n n n D D D αβαβ--=+-，则211223()()n n n n n n D D D D D D βαβαβ------=-=-22221()[()()]n n n D D αβααβαββαβα--==-=+--+=L ，所以1n n n D D βα--=．（1）由n D 关于α与β对称，得1n n n D D αβ--=．（2）由（1）与（2）解得11n n n D αβαβ++-=-(类比于高中学过的由数列a n 与a n-1的关系推导通项公式）6．利用范德蒙德行列式计算行列式222abcab c b c a c a b+++．解原式222222111()()111ab c a b c ab c a b c ab c a b c =++=++ ()()()()a b c b a c a c b =++---．7．设2142112531335111D =-，试求14243444A +A +A +A 和11121314M +M M M ++．解 14243444A +A +A +A 0=；111213141112131411111125+31335111M M M M A A A A --++=-+-=-100234650213465242242284214262620626120---==-=-=-=--．8．利用克拉默法则解下列线性方程组：（1）12341234123412345,242,2352,32110.x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解经计算，得1234142,142,284,426,142D D D D D =-=-=-=-=，所以方程组的解为1,3,2,14321-====x x x x ．（2）123423412423423411,3,30,73 5.x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-++=⎩解经计算，得123416,16,0,32,16D D D D D =====-，所以方程组的解为1,2,0,14321-====x x x x ．9．试问λ取何值时，齐次线性方程组123123123230,3470,20x x x x x x x x x λ-+=⎧⎪-+=⎨⎪-++=⎩有非零解．解方程组有非零解，则0D =．又2133475(3)12D λλ-=-=-+-，所以3-=λ．10．试问λ、μ取何值时，齐次线性方程组1231231230,0,20x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解．解方程组有非零解，则0D =．又1111(1)121D λμμλμ==-，所以1=λ或0=μ．（B ）1．选择题：（1）设1112132122233132330a a a a a a a a a a =≠，则111312122123222231333232125331253312533a a a a a a a a a a a a ----=--( )．（A ）2a （B ）2a - （C ）3a - （D ）3a解原式1233223111312121112132123222221222325(3)331323331333232153112(3)56()233153c c c c c c c a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ÷+÷-⨯↔-=⨯--=-⨯⨯-=-．选（A ）．（2）四阶行列式11223344000000a b a b b a b a 的值等于（）．（A ）12341234a a a a bb b b - （B ）12341234a a a a bb b b +（C ）()()12123434a a b b a a b b -- （D ）()()23231414a a b b a a b b --解将行列式的第4行依次与第3行、第2行交换，再将行列式的第4列依次与第3列、第2列交换，得()()11114422232314142233334400000000000000a b a b b a a b a a b b a a b b a b b a b a b a ==--．选（D ）．（3）设线性方程组111122121122220,0.a x a x b a x a x b -+=⎧⎨-+=⎩若111221221a a a a =，则方程组的解为（）．（A ）11211112222212,b a a b x x b a a b == （B ）11211112222212,b a a bx x b a a b =-=-（C ）11211112222212,b a a b x x b a a b =-= （D ）11211112222212,b a a bx x b a a b ==-解将方程组写成标准形式：11112212112222,.a x a x b a x a x b -=-⎧⎨-=-⎩有11121121121111111221222222222122121,,a a b a b a a b a b D D D a a b a b a a b a b ----==-====-----，所以方程组的解为1121111212222212,b a a b D Dx x b a a b D D ==-==．选（C ）．（4）方程()f x =2222333311110x a b cxabcx a b c =的根的个数为（）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解方法一：将()f x 按第1列展开，知()f x 为3次多项式，因此有3个根．选（C ）．方法二：()()()()()()()f x a x b x c x b a c a c b =------有3个根123,,x a x b x c ===．选（C ）．2．计算四阶行列式12124121200000000a a b b D c c d d =．解 121212124121212120000000000000a a a a c c c c Db b b b d d d d =-= 12121212a ab bc cd d =⋅=))((12211221d b d b c a c a --．3．计算四阶行列式41111111*********x x D x x ---+-=--+--．解 41111111111111111111111111111xx x x x x D xx x x x-----+--+-==--------43210010(1)1001000xx x x x x x x ⨯==⋅-⋅⋅=4x ．4．计算n 阶行列式12321213212121n n n D n nn n -=---L L LL L L L L L ．解 11221121231134111111100001111112000111111222n n n n j r r r r r r nc c j nn nn n D ------+≤≤-+----==----L L L LLL L LL M M M M M M M M M M LL112110001200(1)(1)(1)(1)212201222nn n n n n ++--=+-=-+L LL M M M M L．5．计算五阶行列式222522000120001200012012a a aa D a a a a a=．解方法一：一般地，对于此类n 阶行列式，将其按第一行展开，得2122n n n D D D αα--=-，则211223()()n n n n n n D D D D D D βαααα------=-=-222221()[(2)2]n n n D D αααααααα--==-=--⋅=L ，有12122()2n n n n n n n n D D D D αααααααα----=+=++=+111(1)2(1)(1)n n n n nD n n n αααααα--==+-=⋅+-=+L ，所以556D a =．方法二：由习题二（A ）的第5题，得当αβ=时，有11lim (1)lim (1)n n n n n D n n βαβααββααβ++→→-==+=+-，所以556D a =．6．计算n 阶行列式01221000100010000001n n n x a x a x a D xa x a ----=-+L L L M M M M M L L．解将行列式按第一行展开，得10n n D xD a -=+，则 2210210()n n n D x xD a a x D a x a --=++=++121210n n n x D a x a x a ---==++++L L121210()n n n n x x a a x a x a ----=+++++L 1110n n n x a x a x a --=++++L ．7．已知1326、2743、5005、3874都能被13整除，不计算行列式的值，证明4783500534726231能被13整除．证4142431000100101326132********27427435005500500538743873874c c c c c c +++=．由已知，得后行列式的第4列具有公因子13，所以原行列式能被13整除．8．证明:222244441111()()()()()()()a b c d a b a c a d b c b d c d a b c d abcda b c d =------+++．证构造5阶行列式222225333334444411111a b c d x D a b c d x a b c d x a b c d x =，则5()()()()()()()()()()D b a c a d a c b d b d c x a x b x c x d =----------．（1）将5D 按第5列展开，得435222222223333444411111111()a b c d a b c d D x x abcdabcda b c d a b c d =+-+L ．（2）比较（1）与（2）右边3x 的系数，知结论成立．9．证明：当b a 4)1(2=-时，齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=+-+=+++=+++0)(,03,02,04321432143214321x b a x a x x x x x x x x x x ax x x x 有非零解．证方程组的系数行列式21111211(1)4113111a D ab aa b==---+，当0D =，即b a 4)1(2=-时，方程组有非零解．10．应用题：（1）1；（2）01=+-y x ．习题三（A ）1．下列矩阵中，哪些是对角矩阵、三角矩阵、数量矩阵、单位矩阵．1203A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，100001000010B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100420053C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，300030003D ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．解 D 是数量矩阵，也是对角矩阵；A 、C 是三角矩阵；B 都不是．2．设矩阵112123111,122211031A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．（1）计算2A B +；（2）若X 满足32A X B +=，求X ．解（1）3472100411A B ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭；（2）11023577695X B A -⎛⎫ ⎪=-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭．3．设有3阶方阵111222333a c d A a c d a c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111222333b c d B b c d b c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且1A =，2=B ，求2A B +．解 1111222233332332233233a b c d A B a b c d a b c d ++=++1111112222223333339(2)9(2)45a c d b c d a c d b c d A B a c d b c d --=+--=+=--． 4．计算下列矩阵的乘积：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--16696432．解原式09018-⎛⎫=⎪-⎝⎭．（2）131104227011-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭．解原式866⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（3）()132123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．解原式10=．（4）()123213⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．解原式321642963⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（5）10020020100100031003⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．解原式3E =．（6）()111213112312222321323333a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．解原式222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++．5．已知矩阵103021001A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，100021301B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．求：（1）AB 与BA ；（2）))((B A B A -+与22B A -.解（1）1003343301AB ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1030433010BA ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；（2）906()()600609A B A B -⎛⎫ ⎪+-=- ⎪ ⎪-⎝⎭，22006300600A B ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭． 6．求与矩阵1(0)01a A a ⎛⎫=≠⎪⎝⎭可交换的所有矩阵．解设与A 可交换的矩阵1234x x B x x ⎛⎫=⎪⎝⎭．由AB BA =，得 131********33343444,,,,,0,,.x ax x x x x ax ax x x x x x x x ax x x x +==⎧⎧⎪⎪+=+=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎪⎪=+=⎩⎩ 令24,x c x b ==，得0b c B b ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中c b ,为任意常数． 7．利用归纳法，计算下列矩阵的k 次幂，其中k 为正整数：（1）cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭．解令cos sin sin cos A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭，有 23cos 2sin 2cos3sin 3,,sin 2cos 2sin 3cos3A A θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L则cos sin sin cos k k k A k k θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭．（2）1201⎛⎫⎪⎝⎭．解令1201A ⎛⎫=⎪⎝⎭，有234141618,,,010101A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，则 1201k k A ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（3）110011001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．解令110011001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，有 23451211331461510012,013,014,015,001001001001A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L则2101001k k k C A k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．8．已知矩阵()123α=，11123β⎛⎫= ⎪⎝⎭，令βαTA =，求n A ，其中n 为正整数．解 111()()()3()nTT n T n T n T A αβαββααβαβ---=== 111123232133312n -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-------11112113233323323233n n n n n n n n n ．9．若A 为n 阶对称矩阵，P 为n 阶矩阵，证明TP AP 为对称矩阵．证因为()()T A ATTTTT TT P AP P A P P AP ===，所以T P AP 为对称矩阵．10．利用公式法求下列矩阵的逆矩阵：（1）3421A ⎛⎫=⎪⎝⎭．解 50A =-≠，又*1423A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以1*1A A A -==⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--53525451．（2）100210331A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．解 10A =≠，又*100210331A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以1*1A A A -==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--133012001．（3）122212221A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭．解 270A =-≠，又*3A A =-，所以1*1A A A-==A 91．（4）1111111111111111A ⎛⎫⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭．解 160A =-≠，又*4A A =-，所以1*1A A A-==A 41．11．解下列矩阵方程：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3121203221X ．解 112021320212321321213X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎭⎫⎝⎛---152384．（2）设B AX X +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101111010A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111B ．解由B AX X +=，得B X A E =-)(．又03201101011≠=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-A E A E ，，则A E -可逆，且B A E X 1)(--=．经计算，得1*02111()()3213011E A E A E A -⎛⎫ ⎪-=-=- ⎪- ⎪-⎝⎭．所以B A E X 1)(--=02111321130111⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001．（3）100001321001010987010100654X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．解 11100100001001001001,010010010010100100--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11100321001001987010010654100X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛987654321．12．设(1,2,1)A diag =-，且矩阵B 满足*28A BA BA E =-，求矩阵B ．解等式*28A BA BA E =-两边左乘以A ，得28A BA ABA A =-．又20A =-≠，上式两边右乘以1A -，得228B AB E -=-，即()4E A B E +=，所以1114()4(,1,)222B E A diag A -=+=-=．13．设,,A B C 都是n 阶矩阵，证明：ABC 可逆的充分必要条件是,,A B C 都可逆．证 ABC 可逆000,0,0ABC A B C A B C ⇔≠⇔⋅⋅≠⇔≠≠≠⇔,,A B C 都可逆．14．设n 阶方阵A 满足23A A O -=，证明2A E -可逆，并求()12A E --．证由23A A O -=，得(2)()2A E A E E --=，即(2)2A EA E E --=，所以2A E -可逆，且()12A E --=2E A -．15．设A 为n 阶矩阵，且O A =3，证明A E -及A E +都是可逆矩阵．证由2A O =，得2()()E A E A A E -++=及2()()E A E A A E +-+=，所以AE -及A E +都是可逆矩阵．16．已知A 为三阶方阵，且2A =-，求：（1）()12A -；（2）*A ；（3）*112A A --．解（1）原式13111()22A A-===161-．（2）原式2A ==4．（3）*1111115222A A A A A A -----=-=-，有原式13551()22A A-=-=-=16125． 17．设123231312A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求()1*-A．解 18A =-，则()1*AAA-==18A -．18．（1）设1P AP B -=，证明1kkB P A P -=．（2）设PB AP =，且100100210,000211001P B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求A 与2011A ．证（1）111111()()()()kkkB P AP P A PP A PP PP AP P A P ------===L ．（2）由PB AP =，得1A PBP -=，且201120111APB P -=．又12011100100210,000411001P B B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以20111100200,611A A PBP A -⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪--⎝⎭． 19．利用分块矩阵计算下列矩阵的乘积：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121003013000120010100121．解将矩阵进行如下分块：11221210103001010121,0021002300030003A E E B O A O B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M MM M L L L L L L L L L L M M M M ，则原式1111122222A E E B A A B B O A O B O A B +⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．又1122212302351212349,01210322030309A B B A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以原式1251012200490009⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭．（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛d d c c b b a a 0000010001100010．解将矩阵进行如下分块：01000010,10000100a c a c aE E C E bE dE b d b d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭MM L L L L L L L M M ，则原式aE E C aC dE E bE dE C bdE +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛bd c c bd d ac ac d ．20．利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵：（1）130120005⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．解将矩阵进行如下分块：12130120005A O A O A ⎛⎫⎪-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭M M L L L L M ，则11112A O A OA ---⎛⎫=⎪⎝⎭．又()1111122313155,51211555A A ----⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，所以 1A -=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-51000515105352．（2）2100130000330042⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭．解将矩阵进行如下分块：122100130000330042AO A O A ⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭M M L L LL L M M ，则11112A O A OA ---⎛⎫=⎪⎝⎭．又111112311121335532,131242215532A A ----⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1A -=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----213200213100005251005153．（3）200000120013000002500021⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭．解将矩阵进行如下分块：1232000001200=0130********21A A A A ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭M M L LL L L L L M M M M L LL L L L L M M M M，则1111123(,,)Adiag A A A ----=．又()111111123151232251882,,13112111244A A A ------⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，所以1A -=10000203200011001500088110044⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 21．设矩阵1100010000120021A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，利用分块矩阵计算4A ．解将矩阵进行如下分块：1211000100(,)00120021A diag A A ⎛⎫⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M L L LL L M M ，则44412(,)A diag A A =．又4412144140,014041A A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 41400100004140004041A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭．22．设矩阵2500130002100122A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，利用分块矩阵计算2012A ．解将矩阵进行如下分块：1225001300(,)002100122A diag A A ⎛⎫⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M L L LL L M M ，则121(8)8A A A =⋅=⨯-=-，所以2012201220128AA==．23．（1）设O B A C O ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且m 阶矩阵B 和n 阶矩阵C 均可逆，试证明111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）设矩阵12100000000000n na a A a a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L MM M M L L，其中12,,,n a a a L 为非零常数，求1A -．证（1）因为1111O B E O O C BB O E C O O E B O O CC ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A 可逆，且111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）将矩阵进行如下分块：121000000000000n n a a O B A a C O a-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M LM L M M M M M L L L L L L L ML，则111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭．又111111121(,,,),()n n B diag a a a C a -------==L ，所以1A -=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----0000000000001112111n n a a a a ΛM M M M ΛΛΛ． 24．利用矩阵的初等行变换判断下列矩阵是否可逆；如可逆，求其逆矩阵．（1）130312433⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．解 ()313100510101301001313120100105101043300113000122r A E ⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭M M M M M M ．因为31051015000E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以A 不可逆．（2）122212221⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．解 ()122100999122100212212010010999221001221001999r A E ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭M M M M M M ，所以A 可逆，且1122999212999221999A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭．（3）3201022112320121--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭．解 ()32011000022101001232001001210001A E --⎛⎫⎪⎪= ⎪---⎪⎝⎭M M M M100011240100010100101136000121610r --⎛⎫ ⎪- ⎪−−→ ⎪-- ⎪--⎝⎭M M M M ，所以A 可逆，且111240101113621610A ---⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭．（4）1111111111111111A ⎛⎫⎪--⎪= ⎪--- ⎪---⎝⎭．解 ()11111000111101001111001011110001A E ⎛⎫⎪--⎪= ⎪---⎪---⎝⎭M M M M11100000221101000022110011002200000011r ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪−−→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭MM MM ，所以A 不可逆．25．利用矩阵的初等行变换解下列矩阵方程：（1）12313032410272101078X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．解 ()12313010064532410270102122101078001333r E X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ，所以645212333X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（2）5318301325905212150X -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．解将方程两边转置，得5158523323915121000T X ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．由 ()515100100147332010010258121001001369r T E X -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ，得123456789X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 26．求下列矩阵的秩：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------034123122651．解 156215622132099214300000r A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以()2R A =．（2）213244251721182--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．解 21324213244251700151()22118200000r A R A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-−−→-⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．（3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5341112332122131．解 1312131221230747()23211000014350000r A R A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=−−→⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．（4）31325532341350775141-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪--- ⎪-⎝⎭．解 313251350753234049113()313507000017514100000r A R A ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪ ⎪=−−→⇒= ⎪ ⎪--- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭． 27．设矩阵12125111610A λλ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且3)(=A R ，求λ的值．解 1211161025101510116100033(3)r A λλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭．由3)(=A R ，得3λ≠．28．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ，问k 取何值时，使得（1）()1R A =；（2）()2R A =；（3）3)(=A R ．解 12312312302(1)3(1)23003(1)(2)r k k A k k k k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭，有当1k ≠且2k ≠-时，3)(=A R ；当1k =时，()1R A =；当2k =-时，()2R A =．29．设A 是43⨯矩阵，且A 的秩为2，而101111123B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪---⎝⎭，求()R AB ．解 20B =≠，则()()2R AB R A ==．30．设A 为n 阶矩阵，满足256A A E O ++=，证明：(2)(3)R A E R A E n +++=．证由256A A E O ++=，得(2)(3)A E A E O ++=，所以(2)(3)R A E R A E n +++≤.又(2)(3)(2)(3)()R A E R A E R A E R A E R E n +++=--++≥=，所以(2)(3)R A E R A E n +++=.31．设三阶矩阵110212122A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪--⎝⎭，试求()R A 与*()R A ．解 110110212012()2122000r A R A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=---−−→-⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．因为*()231()1R A R A ==-⇒=． 32．求解下列线性方程组：（1）12312312340,2960,3520.x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解方程组的系数矩阵114114296012352001r A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为()3R A =，所以方程组只有零解．（2）12312312321,23,237.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪-++=⎩解方程组的增广矩阵()121110012113010112370012r B A β-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ，所以方程组的解为2,1,1321===x x x ．（3）12341234123412342370,3270,4360,2550.x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解方程组的系数矩阵11002231773127010241365001125520000r A ⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎪ ⎪⎪--⎪ ⎪=−−→ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎪⎪⎝⎭，得方程组的解为1424341,27,25.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令42x c =，得方程组的通解(1,7,5,2)T X c =-，其中c 为任意常数．（4）12341234123412340,232,325,36 4.x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+--=⎪⎨+++=⎪⎪+--=⎩解方程组的增广矩阵()1111011110231120133232115005573611400005r B A β⎛⎫⎛⎫⎪⎪----⎪ ⎪==−−→ ⎪ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M ．因为()3()4R A R B =≠=，所以方程组无解．（5）1231231231232515,34,4611,32419.x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎪⎨-+=⎪⎪++=⎩解方程组的增广矩阵()2151512713140111146110000324190000r B A β-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪==−−→ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M ，得方程组的解为132327,1.x x x x =-+⎧⎨=-⎩ 令3x c =，得方程组的通解(2,1,1)(7,1,0)T T X c =-+-，其中c 为任意常数．（6）1234123412341234321,22,22771,228100.x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+-+=-⎪⎨-++=⎪⎪-++=⎩解方程组的增广矩阵()11321110741121200131227710000022810000000r B A β---⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪==−−→⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M ，得方程组的解为1243474,3 1.x x x x x =++⎧⎨=--⎩ 令2142,x c x c ==，得方程组的通解为12(1,1,0,0)(7,0,3,1)(4,0,1,0)T T T X c c =+-+-，其中12,c c 为任意常数．33．试问λ取何值时，下列非齐次线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解．（1）123123123(1)1,(1),(1) 1.x x x x x x x x x λλλλλ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=--⎩解方程组的系数行列式2111111(3)111A λλλλλ+=+=++．当0A ≠，即0≠λ且3-≠λ时，方程组有唯一解．当0=λ时，()111111111110000111110000r B A β⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．因为()1()2R A R B =≠=，所以方程组无解．当3-=λ时，()211111221213033511220000r B A β--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．因为()()23R A R B ==<，所以方程组有无穷多解．（2）123123123(2)221,2(5)42,24(5) 1.x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩解方程组的系数行列式322222222254254(10)(1)245011r r A λλλλλλλκλ+----=--=--=--------．当0A ≠，即1λ≠且10λ≠时，方程组有唯一解．当10λ=时，()8221254225420111245110001r B A β----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==--−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．因为()2()3R A R B =≠=，所以方程组无解．当1λ=时，()122112212442000024420000r B A β--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．因为()()13R A R B ==<，所以方程组有无穷多解．34．试问λ取何值时，非齐次线性方程组13123123,422,6423x x x x x x x x λλλ+=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩有解，并求解．解方程组的增广矩阵()101101412201223614230001r B A λλβλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==+−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．当1=λ时，()101101210000rB A β⎛⎫⎪=−−→-- ⎪ ⎪⎝⎭M M M ，有()()23R A R B ==<，则方程组有无穷多解，且解为13231,2 1.x x x x =-+⎧⎨=-⎩ 令3x c =，得方程组的通解为(1,2,1)(1,1,0)T T X c =-+-，其中c 为任意常数．35．求平面上三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 共线的充分必要条件．解设直线方程为0ax by c ++=．则平面上三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 共线1222330,0,0x a y b c x a y b c x a y b c ++=⎧⎪⇔++=⎨⎪++=⎩有非零解1122331101x y x y x y ⇔=，即0111321321=y y y x x x ．（B ）1．选择题：（1）设B A ,为n 阶矩阵，以下结论正确的是（）．(A)若A 、B 是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵． (B)()()22B A B A B A -=+-．(C)若AB O =，且A 可逆，则B O =． (D)若A 与B 等价，则A 与B 相等．解选（C ）．（2）设A 和B 均为n n ⨯矩阵，则必有（）．(A)B A +=A +B ． (B)BA AB =． (C)AB =BA ． (D)()111---+=+B A B A ．解选（C ）．（3）设A 为(2)n n ≥阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，k 为常数，则*()kA =（）．(A)*A ． (B)*kA ． (C)1*n kA -． (D)*n k A ．解由伴随矩阵的定义，知选（C ）．（4）设A 和B 均为n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（）． (A)必有一个等于零． (B)一个等于n ，一个小于n ． (C)都等于n ． (D)都小于n ．解由AB O =，得()()R A R B n +≤．又,A O B O ≠≠，知()1,()1R A R B ≥≥．所以(),()R A n R B n <<，故选（D ）．（5）对于非齐次线性方程组11m n n m A X β⨯⨯⨯=，若()R A r =，则（）． (A)当r m =时，11m n n m A X β⨯⨯⨯=有解．(B)当r n =时，11m n n m A X β⨯⨯⨯=有唯一解． (C)当m n =时，11m n n m A X β⨯⨯⨯=有唯一解． (D)当r n <时，11m n n m A X β⨯⨯⨯=有无穷多解．。

《线性代数第1讲》课件

03
线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于科学、工程和经济学等领域。
线性代数的基本性质
线性代数的运算具有结合律和交换律，例如矩阵乘法满足结合律和交换律。
线性代数中的向量和矩阵具有加法、数乘和矩阵乘法的封闭性，即这些运算的结果仍属于向量空间或矩阵集合。
线性代数中的一些基本概念，如向量空间的基底、向量的维数、矩阵的秩等，具有明确的数学定义和性质。
04
线性变换在几何、物理和工程等领域有广泛应性方程组的解法
1 2
3
高斯-约当消元法
通过行变换将系数矩阵化为行最简形式，从而求解线性方程组。
克拉默法则
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过求解方程组得到未知数的值。
矩阵分解法
将系数矩阵分解为几个简单的矩阵，简化计算过程，如LU分解、QR分解等。
THANKS
特征值与特征向量的应用
判断矩阵的稳定性
通过计算矩阵的特征值，可以判断矩阵的稳定性，从而了解系统的动态行为。
信号处理
在信号处理中，可以通过特征值和特征向量的方法进行信号的滤波、降噪等处理。
数据压缩
在数据压缩中，可以使用特征值和特征向量的方法进行数据的压缩和重构，提高数据的存储和传输效率。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01
基础定义
03
向量具有加法、数乘和向量的模等基本性质。
02
向量是有大小和方向的量，通常用实数和字母表示。
04
向量的模是衡量其大小的标准，计算公式为 $sqrt{a^2 + b^2}$。
向量空间的概念
01
抽象空间
02
向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法和数乘封闭性、

线性代数习题集第一章

线性代数习题集第⼀章第⼀章：⾏列式I.单项选择题 1.排列1,3,,(2n 1),2,4,,(2n)-的逆序数为（）(1) n 1- (2) (n 1)n - (3) (n 1)n + (4) (n 1)/2n - 2.排列1,3,,(21),(2),(22),,2n n n --的逆序数为（）(1) n (2) (n 1)n - (3) (n 1)n + (4) (n 1)/2n - 3．四阶⾏列式中含有因⼦1123a a 的项是（）(1) 11233442a a a a (2) 11233344a a a a (3)11233342a a a a (4) 11233442a a a a -4.⾏列式abac aebdcd de bfcfef---的值是（） (1) 2abcdef (2) 4abcdef (3) 6abcdef (4) 8abcdef 5. 设A 为n 阶⽅阵，λ为数，则A λ等于（） (1) A λ (2) A λ (3) n A λ (4) 2A λ6.设ab cD de f g hi=，则元素h 的代数余⼦式为（） (1)a c gi(2) a cdf -(3) a c g i - (4)a c df7.设⾏列式000000a bcD d e f g h i j=，则D 的值等于（） (1) abdg - (2) abdg (3) abdg ceh fi j -+- (4) abdg ceh fi j ++- 8.设A 为n 阶矩阵，则（）(1) A A -= (2) A A -=- (3) (1)n A A -=- (4) 1A A --=9.设A 为n 阶矩阵，且A 的⾏列式0A a =≠，⽽A *是A 的伴随矩阵，则A *等于（）(1) a (2) 1/a (3) n a (4) 1n a -10.若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且1231m αααβ=，1223n ααβα=四阶⾏列式，则32112()αααββ+四阶⾏列式等于（） (1) n m - (2) m n - (3) m n + (4) ()m n -+11.设44? 矩阵[]234,,,A αγγγ= ，[]234,,,B βγγγ=，其中234,,,,αβγγγ均为４维列向量，且已知⾏列式1,1A B ==，则⾏列式A B +等于（） (1)５ (2)10 (3)30 (4)4012.设设A 为m 阶⽅阵，设B 为n 阶⽅阵，且,A a B b ==，00AC B =，则C 等于（）(1) ab (2) ab - (3) (1)nm - (4) (1)nm ab -13.设⾏列式D aba b b a b a a b ab+=++，则D 的值为（）(1) 332()a b -+ (2) 332()a b + (3) 332()a b - (4) 33()a b -+ 14.元素是0和1的三阶⾏列式D 之值只能是（） (1) 3 (2) 3- (3) 4 (4) 0,1,2±± II.填空题1.n 阶⾏列式的完全展开式，应由________项组成，每项位于⾏列式中________的n 个元素的乘机，⽽且项1212n j j nj a a a 的符号为_____.2. n 阶⾏列式1111nn nna a A a a =，则按第i ⾏的展开式为__________;按第j ⾏展开式为__________.3.当A 可逆是1A -=____________.4.设A 是⼀个n 阶⽅阵，k 是⼀个有理数，则kA =________,5.在⾏列式2121113211x x x x j j x-的展开式中，3x 的系数为________,4x 的系数为_________.6.三⾓⾏列式110nn nna a a =_________ 7.⾏列式2111131111411115A ==__________ 8.⾏列式11101210011000000111002A --==--__________ III.判断题1.交换⾏列式中任意两⾏的位置，⾏列式的值不变。

线性代数期末试题及参考答案

线性代数期末试题及参考答案一、单项选择题<每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，<）不是初等矩阵。

<A ）001010100 (B>100000010 (C>10002001(D>100012012．设向量组123,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是<）。

<A ）122331,,<B ）1231,,<C ）1212,,23<D）2323,,23．设A 为n 阶方阵，且250AA E。

则1(2)A E <）(A> A E (B>EA (C>1()3A E (D>1()3A E 4．设A 为n m 矩阵，则有<）。

<A ）若n m，则b Ax 有无穷多解；<B ）若n m，则0Ax 有非零解，且基础解系含有m n个线性无关解向量；<C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax 有唯一解；<D ）若A 有n 阶子式不为零，则0Ax仅有零解。

5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则< ）<A ）A 与B 相似<B ）AB ，但|A-B|=0<C ）A=B<D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|二、判断题(正确填T ，错误填F 。

每小题2分，共10分>1．A 是n 阶方阵，R ，则有A A。

< ）2．A ，B 是同阶方阵，且0AB ，则111)(A B AB 。

< ）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。

( >4．若B A,均为n 阶方阵，则当B A 时，B A,一定不相似。

( >5．n 维向量组4321,,,线性相关，则321,,也线性相关。

< ）三、填空题<每小题4分，共20分）1．0121n n。

2．A 为3阶矩阵，且满足A3,则1A=______，*3A。

线性代数课后习题1-4作业答案(高等教育出版社)

第一章行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---;解 381141102---=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (3)222111c b a c b a ; 解 222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).4. 计算下列各行列式:(1)71100251020214214; 解 7110251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---= 143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c .(2)2605232112131412-;解 2605232112131412-260503212213041224--=====c c 041203212213041224--=====r r 000003212213041214=--=====r r . (3)efcf bf de cd bd aeac ab ---;解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b e c b ec b adf ---=abcdef adfbce 4111111111=---=.(4)dc b a 100110011001---. 解d c b a 100110011001---dc b aab ar r 10011001101021---++===== dc a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cd c ada ab dc ccdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 6. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 . (2)y x z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=yx z x z y zy x b a )(33+=.8. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式): (1)aa D n 1 1⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解aa a a a D n 0 0010 000 00 000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) )1()1(10 000 00 000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a an n n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1).(2)xa a a x a a a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 ax x a ax x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0, 再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 0000 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n 第二章矩阵及其运算 1. 计算下列乘积:(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.2. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A TB .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 3.已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .4.设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.5. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k .解首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫. 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.8. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵. 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A ,故 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 利用逆矩阵解下列线性方程组: (1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解方程组可表示为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .19.设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001,故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 20. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.21. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.22. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.证明由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E , 或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1, )3(41)2(1A E E A -=+-.第三章矩阵的初等变换与线性方程组 1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011. 3. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .4. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------106126311101042111000010000100001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------10612631110104211. 5. (2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B . 解考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-4741121BA X . 9. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.12. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3. P106/ 1.已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示.证明由 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示. 4. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.5. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关.9.设b 1=a 1+a 2, b 2=a 2+a 3, b 3=a 3+a 4, b 4=a 4+a 1, 证明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.证明由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1,于是 a 1 =b 1-b 2+a 3 =b 1-b 2+b 3-a 4 =b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.11.(1) 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.12.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125;解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~rr r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---140113*********12211. 解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221113142~rr r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122112343~rr r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组. 13. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=52001110311161101110311131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5. 20.求下列齐次线性方程组的基础解系: (1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A ,于是得⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4x x x x x .取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x .解对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A ,于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x .取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .26. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ;解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=213 843231x x x x x . 当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=043231x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x . 解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B . 与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x . 当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .。

07线性代数练习题(含答案)

习题线性代数练习题一、单项选择题111011011．行列式 ( )10110111A. 1B. 3C. －1D. －3a10２．行列式b40a2b300b2a30b10（） 0a4A. a1a2a3a4 b1b2b3b4B.a1a2a3a4 b1b2b3b4C. (a1a2 b1b2)(a3a4 b3b4)D. (a1a4 b1b4)(a2a3 b2b3) ３、在下列矩阵中，可逆的是（）000 A. 010 001 110 011C. 121110B. 220 001 100 111D. 101４、A是n阶方阵，且A 0，则A中（）A．必有一列元素全为0 B．必有两列元素成比例C．必有一列向量是其余列向量的线性组合D．任一列向量是其余列向量的线性组合５．对任意n阶方阵A、B总有（）A.AB=BAB.|AB|=|BA|TTT222C.(AB)=ABD.(AB)=AB ６、设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=En，则必有（）（A）ACB=En (B)BCA=En (C)CBA=En (D)BAC=En ７、设有m维向量组(I)： 1, 2, , n，则（）A.当m<n时，(I)一定线性相关B.当m>n时，(I)一定线性相关C.当m<n时，(I)一定线性无关D.当m>n时，(I)一定线性相关８．设A是m n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（）A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关 C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性相关-1９．设A是3阶方阵，且|A|=-2，则|A|等于（）习题A.-2B.11C. 22D.2* 1１０．设A,B均是n阶方阵， 2,B 3，则2AB （）2n 122n 12n 12nn2 （A）（B）( 1) （C）（D） 333 3（A是A的伴随矩阵）*1 111 的秩为2，则 =（）１１．设矩阵A= 1223 1A.2C.0B.1 D.-1１２．设A是三阶矩阵，有特征值1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（） A. E-A B. E+A C. 2E-A D. 2E+A222１３．二次型f(x1,x2,x3) x1 3x2 4x3 6x1x2 10x2x3的矩阵是（ C ）A. 330 50 4 130C. 335 05 4160B. 0310 00 4 0 16 D. 6310 010 4二、填空题（每小题4分，共20分）012１．行列式123的值为 .234２、=x+1 -1 1 -13.设A 022x123 4 1,已知矩阵A的秩r(A)=2,则x４．已知A 2A 2E 0,则(A E) (其中E是n阶单位阵)习题1 1 0 1５、初等矩阵A 0 1 0 ,A0 0 100F６．设 A G13G24H2I, 则 A0JJ0K等于1 1 1 11 1 1 1 ,A的非零特征值为７、A1 1 1 1 1 1 1 1T８、向量组 1 1 -1 2 4 , 2 (0 3 1 2),T3 (3 0 7 14)T，4 (1 -1 2 0)T,5 (2 1 5 6)T的秩为。

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第二周作业题
a
11

1. 设

21
a31 a12 a22 a32 a13 a23 a
33

 2a11  M  0 ，则行列式  2a31  2a21  2a12  2a32  2a22  2a
13

 2a
33

 2a
23

2x  ? 5x  1 x x  2 x
x11 x12 x
13

11 13
2 12 1 12 3

2. 已知行列式 D  x21 x22 x23  K ，则行列式
D1  2x
21
5x23  2 x

22
x22  3 x

=?
3. 计算行列式

x31 1 D  2 3 4 x32 1 1 1 0 0 1 0 0 x
33

1
0
.
0

2x31 5x
33  1 x 2 32 x32  2 x 3 31

3 2 4. 计算行列式 Dn  2 2 2 2
3 2 2 .
2 3 2
3 5. 计算行列式D  . 6. 计算行列式D  . 7. 计算行列式 D6  . a 2 2 2

2 3 1 -1 4 2 1
1
1 2 3 2
5 0 6 2

1 - 2 -1 4
-1 2 -1 0
1 -1 0 2
1 1 1 2

a3 0 0 0 0 b3 an b
n

0 a2 0 0 b2 0


0 0 a1 b1 0 0 0 0 c1 d1 0 0 0 c2 0 0 d2 0 c3 0 0 0 0 d3 和 D2n  cn a1 b
1

c1 d
1

 

d
n
8. 设D=
做 Aij , 求
1
1
9. 用按行（列）展开的方法求 D= 0
0
0

2 3 4 5
 1 0 0 0
1  1 0 0
.

0 1  1 0
0 0 1  1

an a1 10. 用按行（列）展开的方法求 D2n= 1 cn b
n



b
1
,其中未写出的元素都是 0.

d
1



d
n

3 1 1 2
 5 1 3  4
2 0 1
1

，D 的（i，j）的代数余子式记

1  5 3
 3

A31 + 3A32 − 2A33 + 2A34.