一元二次不等式60道题及答案
一元二次不等式解法练习题及答案
高一数学一元二次不等式例题例1 解下列不等式(1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()答 (1){x|x ＜2或x ＞4} (2){x|1x }≤≤32 (3)∅ (4)R (5)R【介绍定义域】例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6解 x ≥3或x ≤－2．练习：例3 若01a <<，则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是（ ）[ ]A a xB x a ．＜＜．＜＜11a a C x aD x x a．＞或＜．＜或＞x aa 11分析比较与的大小后写出答案．a 1a 解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选． 0a 1a a x A 11a a【求a 、b 的值】例4 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知-=-+=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪b a a ()()1211122×得 a b ==-1212，．练习：1、()21680k x x --+<的解集是425x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则k =_________． 2、已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<，则p q +=________．3、不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则不等式20ax bx c -+>的解集是________________________．例不等式＋＞的解集为5 1x 11-x[] A ．{x|x ＞0} B ．{x|x ≥1}C ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x ＝0}分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----x x x x x ∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．例与不等式≥同解的不等式是6 0x x --32[] A ．(x －3)(2－x)≥0 B ．0＜x －2≤1 C ．≥230--xx D ．(x －3)(2－x)≤0选B ．【有关判别式】例7、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（ ）A ．RB ．()2,2-C ．()(),22,-∞-+∞D ．[]2,2- 例8、不等式()20ax bx c a ++<≠的解集为∅，那么（ ）A ．0a <，0∆>B ．0a <，0∆≤C ．0a >，0∆≤D ．0a >，0∆≥。
高中数学《一元二次不等式的解法》习题(含解析)
解得 x 2 或 x 2 ，即不等式的解集为{x | x 2 或 x 2}；
（2）设 t x 0 ，则不等式 2x x 1 ，可化为 2t 2 t 1 0 ，
解得 t 1或 t 1 （舍去），即 2
x 1 ，解得 x 1 ，即不等式的解集为 { x | x 1} .
所以
是
的真子集，
所以
或 ，解得
或
所以 的取值范围是 17．解下列不等式：
或．
（1） x4 x2 2 0 ；
（2） 2x x 1 ． 【答案】（1）{x | x 2 或 x 2}；（2） { x | x 1} .
【解析】
（1）由题意，可得不等式 x4 x2 2 (x2 2)(x2 1) 0 ，解得 x2 2 ，
【解析】
3x2 x 2 0 ， 即 (x 1)(3x 2) 0 ，
即 1 x 2 ， 3
故 x 取值范围是 (1, 2) . 3
11．不等式
2x 1 x 1
3
的解集为_____________
【答案】 (4, 1)
【解析】
由题意，不等式
2x 1 x 1
3 ，即
2x 1 x 1
3
2x
1 3x x 1
x x
5 2
0}，则
A
B
(
)
A．{x |1 x 2} B．{x |1 x 2} C．{x | 2 x 4} D．{x|2＜x≤4}
【答案】D 【解析】
依题意 A 1, 4, B 2,5 ，故 A B 2, 4.
6．若不等式 ax2 x a 0 对一切实数 x 都成立，则实数 a 的取值范围为（ ）
当 m 1 0 时，即 m 1时，此时不等式 1 0 恒成立，满足题意； 当 m 1 0 时，即 m 1 时，则 [3(m 1)]2 4(m 1)(m) 0 ，即 (m 1)(13m 9) 0 ， 解得 9 m 1；
高中数学一元二次不等式及其解法检测题(附答案)
高中数学一元二次不等式及其解法检测题（附答案）1．下列不等式的解集是的为()A．x2＋2x＋10 B.x20C．(12)x－1＜0 D.1x－3＞1x答案：D2．若x2－2ax＋20在R上恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－2，2] B．(－2，2)C．[－2，2) D．[－2，2]解析：选D.＝(－2a)2－410，－22.3．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个实根，则实数m的取值范围是________．解析：由＝(m－3)2－4m0可得．答案：m1或m94．若函数y＝kx2－6kx＋k＋8的定义域是R，求实数k的取值范围．解：①当k＝0时，kx2－6kx＋k＋8＝8满足条件；②当k＞0时，必有＝(－6k)2－4k(k＋8)0，解得0＜k1.综上，01.一、选择题1．已知不等式ax2＋bx＋c＜0(a0)的解集是R，则()A．a＜0，＞0 B．a＜0，＜0C．a＞0，＜0 D．a＞0，＞0答案：B2．不等式x2x＋1＜0的解集为()A．(－1,0)(0，＋) B．(－，－1)(0,1)C．(－1,0) D．(－，－1)答案：D3．不等式2x2＋mx＋n0的解集是{x|x＞3或x＜－2}，则二次函数y＝2x2＋mx＋n的表达式是()A．y＝2x2＋2x＋12 B．y＝2x2－2x＋12C．y＝2x2＋2x－12 D．y＝2x2－2x－12解析：选D.由题意知－2和3是对应方程的两个根，由根与系数的关系，得－2＋3＝－m2，－23＝n2.m＝－2，n＝－12.因此二次函数的表达式是y＝2x2－2x－12，故选D.4．已知集合P＝{0，m}，Q＝{x|2x2－5x＜0，xZ}，若P，则m等于()A．1 B．2C．1或25 D．1或2X k b 1 . c o m解析：选D.∵Q＝{x|0＜x＜52，xZ}＝{1,2}，m＝1或2. 5．如果A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝，则实数a的集合为() A．{a|0＜a＜4} B．{a|0a＜4}C．{a|0＜a D．{a|04}解析：选D.当a＝0时，有1＜0，故A＝.当a0时，若A＝，则有a＞0＝a2－4a0＜a综上，a{a|04}．6．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，xN)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A．100台 B．120台C．150台 D．180台解析：选C.3000＋20x－0.1x225xx2＋50x－300000，解得x －200(舍去)或x150.二、填空题7．不等式x2＋mx＋m2＞0恒成立的条件是________．解析：x2＋mx＋m2＞0恒成立，等价于＜0，即m2－4m2＜00＜m＜2.答案：0＜m＜28．(2019年高考上海卷)不等式2－xx＋4＞0的解集是________．解析：不等式2－xx＋4＞0等价于(x－2)(x＋4)＜0，－4＜x＜2.答案：(－4,2)9．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．若该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和与t之间的关系)式为s＝12t2－2t，若累积利润s超过30万元，则销售时间t(月)的取值范围为__________．解析：依题意有12t2－2t＞30，解得t＞10或t＜－6(舍去)．答案：t＞10三、解答题10．解关于x的不等式(lgx)2－lgx－2＞0.解：y＝lgx的定义域为{x|x＞0}．又∵(lgx)2－lgx－2＞0可化为(lgx＋1)(lgx－2)＞0，lgx＞2或lgx＜－1，解得x＜110或x＞100.原不等式的解集为{x|0＜x＜110或x＞100}．11．已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0对于所有的实数x 都成立，求a的取值范围．解：当a＝0时，不等式为－x－1＜0x＞－1不恒成立．当a0时，不等式恒成立，则有a＜0，＜0，即a＜0a－12－4aa－1＜0a＜03a＋1a－1＞0a＜0a＜－13或a＞1a＜－13.即a的取值范围是(－，－13)．12．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，政府决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t万亩，为了既可减少耕地的损失又可保证此项税收一年不少于9000万元，则t应在什么范围内？解：由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为(20－52t)万亩．则税收收入为(20－52t)24000t%.由题意(20－52t)24000t%9000，整理得t2－8t＋150，解得35.当耕地占用税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元．。
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)
一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式.当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为.2.一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.(3)一元二次不等式的解：(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f〔x〕g〔x〕的形式.(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f 〔x 〕g 〔x 〕＞0 ⇔ f (x )g (x )＞0； f 〔x 〕g 〔x 〕＜0 ⇔ f (x )g (x )＜0； f 〔x 〕g 〔x 〕≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f 〔x 〕g 〔x 〕≥0，g 〔x 〕≠0； f 〔x 〕g 〔x 〕≤0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f 〔x 〕g 〔x 〕≤0，g 〔x 〕≠0.(2021·课标Ⅰ)集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，那么A ∩B ＝( ) A.[－2，－1] B.[－1，2) C.[－1，1]D.[1，2)解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1].应选A .设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，那么f (x )>0的解集为( ) A.{x |x ∈R } B.{x |x ≠1，x ∈R } C.{x |x ≥1}D.{x |x ≤1}解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ， 由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ，解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2－2x ＋1>0，x 的取值范围是x ≠1.应选B. －12<1x <2，那么x 的取值范围是( ) A.－2<x <0或0<x <12 B.－12<x <2C.x <－12或x >2D.x <－2或x >12解：当x >0时，x >12；当x <0时，x <－2.所以x 的取值范围是x <－2或x >12，应选D.不等式1－2xx ＋1＞0的解集是 .解：不等式1－2xx ＋1>0等价于(1－2x )(x ＋1)＞0，也就是⎝⎛⎭⎫x －12(x ＋1)＜0，所以－1＜x ＜12. 故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜12，x ∈R .(2021·武汉调研)假设一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，那么k的取值范围为________.解：显然k ≠0.假设k ＞0，那么只须(2x 2＋x )max ＜38k ，解得k ∈∅；假设k ＜0，那么只须38k ＜(2x 2＋x )min ，解得k ∈(－3，0).故k 的取值范围是(－3，0).故填(－3，0).类型一 一元一次不等式的解法关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13，求关于x 的不等式(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集.解：由(a ＋b )x ＜3b －2a 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13， 得a ＋b ＞0，且3b －2a a ＋b＝－13，从而a ＝2b ，那么a ＋b ＝3b ＞0，即b ＞0， 将a ＝2b 代入(a －3b )x ＋b －2a ＞0，得－bx －3b ＞0，x ＜－3，故所求解集为(－∞，－3). 点拨：一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式.挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b －2a a ＋b＝－13是解此题的关键.解关于x 的不等式：(m 2－4)x ＜m ＋2.解：(1)当m 2－4＝0即m ＝－2或m ＝2时， ①当m ＝－2时，原不等式的解集为∅，不符合②当m ＝2时，原不等式的解集为R ,符合 (2)当m 2－4＞0即m ＜－2或m ＞2时，x ＜1m －2.(3)当m 2－4＜0即－2＜m ＜2时，x ＞1m －2.类型二 一元二次不等式的解法解以下不等式：(1)x 2－7x ＋12＞0; (2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1＜0; (4)x 2－2x ＋2＞0. 解：(1){x |x ＜3或x ＞4}. (2){x |－3≤x ≤1}. (3)∅.(4)因为Δ＜0，可得原不等式的解集为R .(2021·金华十校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，x －1，x ≥0， 那么不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )A.{x |－1≤x ≤2－1}B.{x |x ≤1}C.{x |x ≤2－1}D.{x |－2－1≤x ≤2－1} 解：由题意得不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜0，x ＋〔x ＋1〕[－〔x ＋1〕＋1]≤1 或 ②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋〔x ＋1〕[〔x ＋1〕－1]≤1， 解不等式组①得x ＜－1；解不等式组②得－1≤x ≤2－1. 故原不等式的解集是{x |x ≤2－1}.应选C.类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系关于x 的不等式x 2－bx ＋c ≤0的解集是{x |－5≤x ≤1}，求实数b ，c 的值. 解：∵不等式x 2－bx ＋c ≤0的解集是{x |－5≤x ≤1}，∴x 1＝－5，x 2＝1是x 2－bx ＋c ＝0的两个实数根，∴由韦达定理知⎩⎪⎨⎪⎧－5＋1＝b ，－5×1＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－5.不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，求不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集.解：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，∴a ＜0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－ba＝2＋3，c a ＝2×3，a ＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ，c ＝6a ，a ＜0.代入不等式cx 2－bx ＋a ＞0，得6ax 2＋5ax ＋a >0(a ＜0). 即6x 2＋5x ＋1＜0，∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜－13.类型四 含有参数的一元二次不等式解关于x 的不等式：mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0.解：(1)m ＝0时，不等式为－(x －1)＜0，得x －1＞0，不等式的解集为{x |x ＞1}； (2)当m ≠0时，不等式为m ⎝⎛⎭⎫x －1m (x －1)＜0. ①当m ＜0，不等式为⎝⎛⎭⎫x －1m (x －1)＞0， ∵1m ＜1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1m 或x ＞1. ②当m ＞0，不等式为⎝⎛⎭⎫x －1m (x －1)＜0. (Ⅰ)假设1m ＜1即m ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m ＜x ＜1；(Ⅱ)假设1m ＞1即0＜m ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜1m ；(Ⅲ)假设1m ＝1即m ＝1时，不等式的解集为∅.点拨：当x 2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m ≠0与m ＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x 2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m ＜0与m ＞0进行讨论；第三层次：1m 与1大小的不确定性，对m ＜1、m＞1与m ＝1进行讨论.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).解：不等式整理为ax 2＋(a －2)x －2≥0， 当a ＝0时，解集为(－∞，－1].当a ≠0时，ax 2＋(a －2)x －2＝0的两根为－1，2a ，所以当a ＞0时，解集为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫2a ，＋∞； 当－2＜a ＜0时，解集为⎣⎡⎦⎤2a ，－1； 当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}； 当a ＜－2时，解集为⎣⎡⎦⎤－1，2a . 类型五 分式不等式的解法(1)解不等式x －12x ＋1≤1.解：x －12x ＋1≤1 ⇔ x －12x ＋1－1≤0 ⇔ －x －22x ＋1≤0 ⇔ x ＋22x ＋1≥0.x ＋22x ＋1≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧〔x ＋2〕〔2x ＋1〕≥0，2x ＋1≠0. 得{xx ＞－12或x ≤－2}.※(2)不等式x －2x 2＋3x ＋2＞0的解集是 .解：x －2x 2＋3x ＋2＞0⇔x －2〔x ＋2〕〔x ＋1〕＞0⇔(x －2)(x ＋2)(x ＋1)＞0，数轴标根得{x |－2＜x ＜－1或x ＞2}， 故填{x|－2＜x ＜－1或x ＞2}. 点拨：分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，那么要注意分式的分母不能为零.※用“数轴标根法〞解不等式的步骤：(1)移项：使得右端为0(注意：一定要保证x 的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根..(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴“最右根〞的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根〞，一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿〞来记忆.(5)写出不等式的解集：假设不等号为“＞〞，那么取数轴上方穿根线以内的范围；假设不等号为“＜〞，那么取数轴下方穿根线以内的范围；假设不等式中含有“＝〞号，写解集时要考虑分母不能为零.(1)假设集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x ≤0，那么A ∩B ＝( )A.{x |－1≤x ＜0}B.{x |0＜x ≤1}C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}解：易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，B 集合就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 〔x －2〕≤0，x ≠0 的解集，求出B ＝{}x |0＜x ≤2，所以A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}.应选B.(2)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解：x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧〔x －1〕〔2x ＋1〕≤0，2x ＋1≠0得－12<x ≤1.应选A.类型六 和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)假设不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立，那么a 的最小值为( ) A.0 B.－2 C.－52D.－3解：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝⎛⎦⎤0，12， ∴a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x .∵f (x )＝x ＋1x 在⎝⎛⎦⎤0，12上是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫－x －1x max＝－52.∴a ≥－52.(2)对于任意的a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，那么x 的取值范围是( )A.1＜x ＜3B.x ＜1或x ＞3C.1＜x ＜2D.x ＜1或x ＞2解：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1，1]，依题意，只须⎩⎪⎨⎪⎧g 〔1〕＞0，g 〔－1〕＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2＞0，x 2－5x ＋6＞0⇒x ＜1或x ＞3，应选B.点拨：对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围.对于满足|a |≤2的所有实数a ，求使不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围.解：原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1＞0，设f (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，那么f (a )在[－2，2]上恒大于0，故有：⎩⎪⎨⎪⎧f 〔－2〕＞0，f 〔2〕＞0 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，x 2－1＞0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜1，x ＞1或x ＜－1.∴x ＜－1或x ＞3.类型七 二次方程根的讨论假设方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内有且仅有一解，那么a 的取值范围是( )A.a <－1B.a >1C.－1<a <1D.0≤a <1解法一：令f (x )＝2ax 2－x －1，那么f (0)·f (1)＜0，即－1×(2a －2)＜0，解得a ＞1. 解法二：当a ＝0时，x ＝－1，不合题意，故排除C ，D ；当a ＝－2时，方程可化为4x 2＋x ＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a ＝－2不适合，排除A.应选B.1.不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )A.(－∞，－1)∪(－1，2]B.[－1，2]C.(－∞，－1)∪[2，＋∞)D.(－1，2]解：x －2x ＋1≤0⇔()x ＋1()x －2≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1，2]，应选D.2.关于x 的不等式(mx －1)(x －2)＞0，假设此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m ＜x ＜2，那么m 的取值范围是( )A.m ＞0B.0＜m ＜2C.m ＞12D.m <0解：由不等式的解集形式知m ＜0.应选D.3.(2021·安徽)一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，那么f (10x )>0的解集为( )A.{x |x <－1或x >lg2}B.{x |－1<x <lg2}C.{x |x >－lg2}D.{x |x <－lg2}解：可设f (x )＝a (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)⎝⎛⎭⎫10x －12<0，从而10x <12，解得x <－lg2，应选D.4.(2021·陕西)在如下图的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影局部)，那么其边长x (单位：m )的取值范围是( ) A.[15，20] B.[12，25] C.[10，30]D.[20，30]解：设矩形的另一边为y m ，依题意得x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，所以x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30.应选C.5.假设关于x 的不等式2x 2－8x －4－a >0在(1，4)内有解，那么实数a 的取值范围是( ) A.a <－12 B.a >－4 C.a >－12D.a <－4解：关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ＞0在(1，4)内有解，即a ＜2x 2－8x －4在(1，4)内有解，令f (x )＝2x 2－8x －4＝2(x －2)2－12，当x ＝2时，f (x )取最小值f (2)＝－12；当x ＝4时，f (4)＝2(4－2)2－12＝－4，所以在(1，4)上，－12≤f (x )＜－4.要使a ＜f (x )有解，那么a ＜－4.应选D.6.假设不等式x 2－kx ＋k －1>0对x ∈(1，2)恒成立，那么实数k 的取值范围是____________.解：∵x ∈(1，2)，∴x －1>0.那么x 2－kx ＋k －1＝(x －1)(x ＋1－k )>0，等价于x ＋1－k >0，即k <x ＋1恒成立，由于2<x ＋1<3，所以只要k ≤2即可.故填(－∞，2].7.(2021·江苏)函数f (x )＝x 2＋mx －1，假设对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，那么实数m 的取值范围是________.解：由题可得f (x )＜0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f 〔m 〕＝2m 2－1＜0，f 〔m ＋1〕＝2m 2＋3m ＜0， 解得－22＜m ＜0.故填⎝⎛⎭⎫－22，0.8.假设关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，求实数a 的取值范围. 解：x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔x 2－ax －a ＋3＝0的判别式Δ≥0，解得a ≤－6或a ≥2.9.二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1，3).(1)假设方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式；(2)假设f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围.解：(1)∵f (x )＋2x ＞0的解集为(1，3)，∴f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a ＜0.因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a.①由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.②因为方程②有两个相等的实根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15. 由于a ＜0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①得f (x )的解析式 f (x )＝－15x 2－65x －35. (2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a ， 及a ＜0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a. 由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a ＞0，a ＜0，解得a ＜－2－3或－2＋3＜a ＜0. 故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).10.解关于x 的不等式：a 〔x －1〕x －2＞1(a ＞0). 解：(x －2)[(a －1)x ＋2－a ]＞0，当a ＜1时有(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1＜0， 假设a －2a －1＞2，即0＜a ＜1时，解集为{x |2＜x ＜a －2a －1}；假设a －2a －1＝2，即a ＝0时，解集为∅； 假设a －2a －1＜2，即a ＜0时，解集为{x |a －2a －1＜x ＜2}.。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式典型例题(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式典型例题单选题1、已知a,b为正实数，且a+b=6+1a +9b，则a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．12答案：B分析：根据题意，化简得到(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab，结合基本不等式，即可求解.由题意，可得(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab≥6(a+b)+16，则有(a+b)2−6(a+b)−16≥0，解得a+b≥8，当且仅当a=2，b=6取到最小值8.故选：B.2、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y，因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为7500+20x元，后续保养总费用为x(x+600x−30)元，则y=50x+7500+20x+x2−30x+600x =x+8100x+40≥2√x⋅8100x+40=220，当且仅当x=8100x，即x=90时取等号，满足50≤x≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．3、不等式−x2+3x+18<0的解集为（）A．{x|x>6或x<−3}B．{x|−3<x<6}C．{x|x>3或x<−6}D．{x|−6<x<3}答案：A分析：根据二次不等式的解法求解即可.−x2+3x+18<0可化为x2−3x−18>0，即(x−6)(x+3)>0，即x>6或x<−3．所以不等式的解集为{x|x>6或x<−3}.故选：A4、已知正实数a、b满足1a +1b=m，若(a+1b)(b+1a)的最小值为4，则实数m的取值范围是（）A．{2}B．[2,+∞)C．(0,2]D．(0,+∞)答案：B分析：由题意可得(a+1b )(b+1a)=ab+1ab+2≥2√ab1ab+2=4，当ab=1ab，即ab=1时等号成立，所以有b=1a ，将1a+1b=m化为a+1a=m，再利用基本不等式可求得m的范围.解：因为a,b为正实数，(a+1b )(b+1a)=ab+1ab+2≥2√ab1ab+2=4，当ab=1ab，即ab=1时等号成立，此时有b=1a，又因为1a +1b=m，所以a+1a=m，由基本不等式可知a+1a≥2（a=1时等号成立），所以m ≥2. 故选：B.5、已知a,b ∈R 且满足{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1，则4a +2b 的取值范围是（ ）A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8] 答案：C分析：设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，求出A ，B 结合条件可得结果. 设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，可得{A +B =4A −B =2，解得{A =3B =1，4a +2b =3(a +b )+a −b ，因为{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1可得{3≤3(a +b )≤9−1≤a −b ≤1，所以2≤4a +2b ≤10. 故选：C.6、关于x 的不等式(x −a )(x −3)>0成立的一个充分不必要条件是−1<x <1，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≤−1B ．a <0C ．a ≥2D ．a ≥1 答案：D分析：由题意可知，(−1,1)是不等式(x −a )(x −3)>0解集的一个真子集，然后对a 与3的大小关系进行分类讨论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数a 的取值范围. 由题可知(−1,1)是不等式(x −a )(x −3)>0的解集的一个真子集.当a =3时，不等式(x −a )(x −3)>0的解集为{x |x ≠3}，此时(−1,1){x |x ≠3}； 当时，不等式(x −a )(x −3)>0的解集为(−∞,3)∪(a,+∞)， ∵(−1,1)(−∞,3)，合乎题意；当a <3时，不等式(x −a )(x −3)>0的解集为(−∞,a )∪(3,+∞)， 由题意可得(−1,1)(−∞,a )，此时1≤a <3. 综上所述，a ≥1. 故选：D.3a小提示：本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题.7、已知函数y =ax 2+2bx −c(a >0)的图象与x 轴交于A (2,0)、B (6,0)两点，则不等式cx 2+2bx −a <0 的解集为（ ）A ．(−6,−2)B ．(−∞,16)∪(12,+∞) C ．(−12,−16)D ．(−∞,−12)∪(−16,+∞)答案：D解析：利用函数图象与x 的交点，可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，再利用根与系数的关系，转化为b =−4a ，c =−12a ，最后代入不等式cx 2+2bx −a <0，求解集. 由条件可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6， 则2+6=−2b a，2×6=−ca，得b =−4a ，c =−12a ，∴cx 2+2bx −a <0⇔−12ax 2−8ax −a <0， 整理为：12x 2+8x +1>0⇔(2x +1)(6x +1)>0， 解得：x >−16或x <−12，所以不等式的解集是(−∞,−12)∪(−16,+∞).故选：D小提示：思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示b =−4a ，c =−12a ，再代入不等式cx 2+2bx −a <0化简后就容易求解. 8、a,b,c 是不同时为0的实数，则ab+bc a 2+2b 2+c 2的最大值为（ ）A ．12B ．14C ．√22D ．√32答案：A分析：对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 若要使ab+bc a 2+2b 2+c 2最大，则ab,bc 均为正数，即a,b,c 符号相同，不妨设a,b,c 均为正实数，则ab+bc a 2+2b 2+c 2=a+c a 2+c 2b+2b≤2√a 2+c 2b×2b=(22)=12√a 2+2ac+c 22(a 2+c 2)=12√12+ac a 2+c 2≤12√12+2√a 2×c2=12， 当且仅当a 2+c 2b=2b ，且a =c 取等，即取等号，即则ab+bca 2+2b 2+c 2的最大值为12， 故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 多选题9、下列函数中最大值为12的是（ ） A ．y =x 2+116x 2B ．y =x ⋅√1−x 2,x ∈[0,1]C ．y =x 2x 4+1D ．y =x +4x+2,x >−2 答案：BC解析：利用基本不等式逐项判断即可. 解：对A ，y =x 2+116x2≥2√x 2⋅116x 2=12，当且仅当x 2=116x2，即x =±12时取等号，故A 错误；对B ，y =x ⋅√1−x 2=√x 2⋅(1−x 2)≤x 2+1−x 22=12，当且仅当x 2=1−x 2，又∵x ∈[0,1]，即x =√22时取等号，故B 正确；对C ，y =x 2x 4+1=1x 2+1x2≤12，a b c ==当且仅当x2=1x2，即x=±1时等号成立，故C正确；对D，y=x+4x+2=x+2+4x+2−2≥2√(x+2)⋅4x+2−2=2，当且仅当x+2=4x+2，又∵x>−2，∴x=0时取等号，故D错误.故选：BC.10、设正实数m、n满足m+n=2，则下列说法中正确的是（）A．2m−n>14B．mn的最大值为1C．√m+√n的最小值为2D．m2+n2的最小值为2答案：ABD分析：利用不等式的性质以及指数函数的性质可判断A选项的正误，利用基本不等式可判断BCD选项的正误. 对于A选项，因为正实数m、n满足m+n=2，则0<m<2，m−n=m−(2−m)=2−2m∈(−2,2)，故2m−n>2−2=14，A对；对于B选项，由基本不等式可得mn≤(m+n2)2=1，当且仅当m=n=1时，等号成立，B对；对于C选项，由基本不等式可得(√m+√n)2=m+n+2√mn≤2(m+n)=4，因为√m+√n>0，故√m+√n≤2，当且仅当m=n=1时，等号成立，C错；对于D选项，∵2(m2+n2)=(m2+n2)+(m2+n2)≥m2+n2+2mn=(m+n)2=4，可得m2+n2≥2，当且仅当m=n=1时，等号成立，D对.故选：ABD.11、已知a，b，c∈R+，则下列不等式正确的是（）A．1a +1b≥4a+bB．a+b≤√a2+b2C．b2a +a2b≥a+b D．a2+b22≥a+b−1答案：ACD分析：对AC，利用基本不等式可求解；对B，根据(a+b)2=a2+b2+2ab>a2+b2可判断；对D，利用(a−1)2+(b−1)2≥0可判断.对A ，因为(1a +1b )(a +b )=b a +a b +2≥2√b a ⋅a b +2=4，当且仅当b a =a b 时等号成立，所以1a +1b ≥4a+b ，故A正确；对B ，(a +b )2=a 2+b 2+2ab >a 2+b 2，所以a +b >√a 2+b 2，故B 错误； 对C ，b 2a+a +a 2b+b ≥2√b 2a⋅a +2√a 2b⋅b =2a +2b ，当且仅当a =b 等号成立，所以b 2a+a 2b≥a +b ，故C正确；对D ，因为(a −1)2+(b −1)2≥0，所以a 2+b 2−2a −2b +2≥0，所以a 2+b 22≥a +b −1，当且仅当a =b =1等号成立，故D 正确. 故选：ACD.12、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ） A ．函数F (x )是偶函数 B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间 答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图． 由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确； 函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确． 故选：ABD[0,1]13、已知a >0,b >0，且a +2b =1，则（ ） A ．ab 的最大值为19B ．1a +2b 的最小值为9C ．a 2+b 2的最小值为15D ．(a +1)(b +1)的最大值为2答案：BC分析：对A ，直接运用均值不等式2√2ab ≤a +2b 即可判断； 对B ，1a +2b =(1a +2b)⋅(a +2b )=5+2b a+2a b，运用均值不等式即可判断；对C ，a 2+b 2=(1−2b )2+b 2，讨论二次函数最值即可；对D ，(a +1)(b +1)=2(a +b )(a +3b )=2[(a +2b )2−b 2]=2(1−b 2)，讨论最值即可. a >0,b >0，2√2ab ≤a +2b =1⇒ab ≤18，当a =2b 时，即a =12,b =14时，可取等号，A 错；1a+2b =(1a +2b )⋅(a +2b )=5+2b a+2a b≥5+2√2b a ⋅2a b=9，当2b a =2ab时，即a =b =13时，可取等号，B 对； a 2+b 2=(1−2b)2+b 2=5b 2−4b +1=5(b −25)2+15≥15，当a =15,b =25时，可取等号，C 对；(a +1)(b +1)=2(a +b )(a +3b )=2(a 2+4ab +3b 2)=2[(a +2b )2−b 2]=2(1−b 2)<2，D 错. 故选：BC 填空题14、若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设p =12(a +b +c )，则该三角形的面积S =√p (p −a )(p −b )(p −c )，这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若△ABC 的周长为8，AB =2，则该三角形面积的最大值为___________. 答案：2√2分析：计算得到p =4，c =2，a +b =6，根据均值不等式得到ab ≤9，代入计算得到答案. p =12(a +b +c )=4，c =2，a +b =6，a +b =6≥2√ab ，ab ≤9，当a =b =3时等号成立.S =√p (p −a )(p −b )(p −c )=√8(4−a )(4−b )=√128−32(a +b )+8ab ≤2√2. 所以答案是：2√2.15、若关于x 的二次方程x 2+mx +4m 2−3=0的两个根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值为______ 答案：分析：先求出方程有两根时m 的范围，再由根与系数关系将x 1,x 2用m 表示，建立关于m 的方程，求解即可. 关于x 的二次方程x 2+mx +4m 2−3=0有两个根， 则Δ=m 2−4(4m 2−3)=−3(5m 2−4)≥0， ∴−2√55≤m ≤2√55,x 1+x 2=−m,x 1⋅x 2=4m 2−3，又∵x 1+x 2=x 1x 2,∴−m =4m 2−3，即4m 2+m −3=0， 解得m =34或m =−1（舍去），∴m 的值为.小提示：本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，要注意两根存在的条件，属于基础题.16、若关于x 的不等式x 2−(m +2)x +2m <0的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为___________． 答案：(5，6]分析：不等式化为(x −m)(x −2)<0，根据解集中恰好有3个正整数即可求得m 的范围. x 2−(m +2)x +2m <0可化为(x −m)(x −2)<0， 该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{x|2<x <m}，且5<m ⩽6； 所以答案是：(5，6]． 解答题343417、求实数m 的范围，使关于x 的方程x 2+2(m −1) x +2m +6=0. (1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小； (2)有两个实根α ， β，且满足0<α<1<β<4； (3)至少有一个正根. 答案：(1)m <−1 (2)−75<m <−54(3)m ≤−1分析：设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定. （1）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6．依题意有f (2)<0，即4+4(m −1)+2m +6<0，得m <−1． （2）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6．依题意有{f (0)=2m +6>0f (1)=4m +5<0f (4)=10m +14>0，解得−75<m <−54．（3）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6． 方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得{Δ≥0f (0)>02(m−1)−2>0，即{m ≤−1或m ≥5m >−3m <1.∴−3<m ≤−1． ②有一个正根，一个负根，此时可得f (0)<0，得m <−3． ③有一个正根，另一根为0，此时可得{6+2m =02(m −1)<0，∴m =−3．综上所述，得m ≤−1．18、阅读材料：我们研究了函数的单调性､奇偶性和周期性，但是这些还不能够准确地描述出函数的图象，例如函数y=x2和y=√x，虽然它们都是增函数，图象在上都是上升的，但是却有着显著的不同.如图1所示，函数y=x2的图象是向下凸的，在上任意取两个点M1,M2，函数y=x2的图象总是在线段M1M2的下方，此时函数y=x2称为下凸函数；函数y=√x的图象是向上凸的，在上任意取两个点M1,M2，函数y=√x的图象总是在线段M1M2的上方，则函数y=√x称为上凸函数.具有这样特征的函数通常称做凸函数.定义1：设函数y=f(x)是定义在区间I上的连续函数，若∀x1,x2∈I，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，则称y=f(x)为区间I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征：曲线上任意两点M1,M2之间的部分位于线段M1M2的下方.定义2：设函数y=f(x)是定义在区间I上的连续函数，若∀x1,x2∈I，都有f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，则称y=f(x)为区间I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征：曲线上任意两点M1,M2之间的部分位于线段M1M2的上方.上凸（下凸）函数与函数的定义域密切相关的.例如，函数y=x3在(−∞,0]为上凸函数，在[0,+∞)上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复，属于整体性质；而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向，属于局部性质.关于函数性质的探索，对我们的启示是：在认识事物和研究问题时，只有从多角度､全方位加以考查，才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题：(1)请尝试列举一个下凸函数：___________；(2)求证：二次函数f(x)=−x2+bx+c是上凸函数；(3)已知函数f(x)=x|x−a|，若对任意x1,x2∈[2,3]，恒有f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，尝试数形结合探究实数a的取值范围.答案：(1)y=1x，x∈(0,+∞)；(2)证明见解析；(3)a≥3.[0,1][0,1][0,1]分析：（1）根据下凸函数的定义举例即可；（2）利用上凸函数定义证明即可；（3）根据（2）中结论，结合条件，函数满足上凸函数定义，根据数形结合求得参数取值范围.（1）y =1x ，x ∈(0,+∞)； （2）对于二次函数f(x)=−x 2+bx +c ，∀x 1,x 2∈R ，满足f (x 1+x 22)−f (x 1)+f (x 2)2=−(x 1+x 22)2+b ⋅x 1+x 22+c −−x 12+bx 1+c −x 22+bx 2+c 2=−x 12+x 22+2x 1x 24+x 12+x 222=(x 1−x 2)24≥0， 即f (x 1+x 22)≥f (x 1)+f (x 2)2，满足上凸函数定义，二次函数f(x)=−x 2+bx +c 是上凸函数.（3）由（2）知二次函数f(x)=−x 2+bx +c 是上凸函数，同理易得二次函数f(x)=x 2+bx +c 为下凸函数，对于函数f(x)=x |x −a |={x 2−ax,x >a −x 2+ax,x ≤a，其图像可以由两个二次函数的部分图像组成，如图所示，若对任意x 1,x 2∈[2,3]，恒有f (x 1+x 22)≥f (x 1)+f (x 2)2，则函数f(x)=x|x −a|满足上凸函数定义，即[2,3]⊆(−∞,a]，即a ≥3.。
一元二次不等式及其解法练习及同步练习题(含答案)
一元二次不等式及其解法练习（一）、一元二次不等式的解法1、求解下列不等式（1）、23710x x -≤ （2）、2250x x -+-< （3）、2440x x -+-< （4）205x x -<+2、求下列函数的定义域（1）、y =（2）y =3、已知集合{}{}22|160,|430A x x B x x x =-<=-+>，求A B ⋃含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我们通过几个例子体会一下。
一．二次项系数为常数例1、解关于x 的不等式：0)1(2>--+m x m x 解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0 (两根是1和-m ，谁大？)（1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m（2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122>+-x x ∴x ≠1（3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11(){}1|,12≠-=x x m 时当 (){}1-|,13><->x m x x m 或时当例2:解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x （不能因式分解）解：()a a 422--=∆ （方程有没有根，取决于谁？） ()()R a a a 时，解集为即当32432404212+<<-<--=∆()()32432404222+=-==--=∆a a a a 或时当 （i ）13324-≠-=x a 时，解得：当（ii ）13-324-≠+=x a 时，解得：当()()时或即当32432404232+>-<>--=∆a a a a 两根为()242)2(21aa a x --+-=，()242)2(22aa a x ----=.()()242)2(242)2(22aa a x aa a x --+->----<或此时解得：综上，不等式的解集为： （1）当324324+<<-a 时，解集为R ； （2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)⋃(+∞-,13)； （3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)⋃(+∞--,13)； （4）当324-<a 或324+>a 时， 解集为(248)2(,2+---∞-a a a )⋃(+∞+-+-,248)2(2a a a )； 二．二次项系数含参数例3、解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax解：若0=a ，原不等式.101>⇔<+-⇔x x 若0<a ，原不等式ax x a x 10)1)(1(<⇔>--⇔或.1>x 若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--⇔x ax )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ；（2）当1>a 时，式)(*11<<⇔x a； （3）当10<<a 时，式)(*a x 11<<⇔. 综上所述，不等式的解集为： ①当0<a 时，{11><x ax x 或}； ②当0=a 时，{1>x x }；③当10<<a 时，{a x x 11<<}；④当1=a 时，φ；⑤当1>a 时，{11<<x ax}.例4、解关于x 的不等式：.012<-+ax ax解：.012<-+ax ax（1）当0=a 时，.01R x ∈∴<-原式可化为（2）当0>a 时， 此时 a a 42+=∆>0 两根为a a a a x 2421++-=，aa a a x 2422+--=. 解得：a a a a 242+--aa a a x 242++-<< （3）当a<0时, 原式可化为：012>-+ax x aa 4+=∆此时 ①当0<∆即04<<-a 时，解集为R ； ②当0=∆即4-=a 时，解得：21-≠x ; ③当0>∆即4-<a 时解得：或a a a a x 242+-->aa a a x 242++-< 综上，（1）当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,aa a a 242++-)； （2）当04≤<-a 时，解集为R ；（3）当4-=a 时，解集为(21,-∞-)⋃(+∞-,21); （4）当4-<a 时，解集为(a a a a 24,2+--∞-)⋃(+∞++-,242aa a a ). 上面四个例子，尽管分别代表了四种不同的类型，但它们对参数a 都进行了讨论，看起来比较复杂，特别是对参数a 的分类，对于初学者确实是一个难点，但通过对它们解题过程的分析，我们可以发现一个规律：参数a 的分类是根据不等式中二次项系数等于零和判别式0=∆时所得到的a 的值为数轴的分点进行分类，如： 解关于x 的不等式：033)1(22>++-ax x a解：033)1(22>++-ax x a )(* 1012=⇒=-a a 或1-=a ；203)1(4922=⇒=⨯-⨯-=∆a a a 或2-=a ；∴当2-<a 时，012>-a 且0<∆，)(*解集为R ；当2-=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,∞-)⋃(+∞,1)；当12-<<-a 时，012>-a 且0>∆，)(*解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )； 当1-=a 时，)(*1033<⇔>+-⇔x x ，)(*解集为(1,∞-)；当11<<-a 时，012<-a 且0>∆，)(*解集为(22312322----a a a ,22312322--+-a a a )； 当1=a 时，)(*1033->⇔>+⇔x x ，)(*解集为(+∞-,1)；当21<<a 时，012>-a 且0>∆，)(*解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )； 当2=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1)；当2>a 时，012>-a 且0<∆，)(*解集为R .综上，可知当2-<a 或2>a 时，解集为R ；当2-=a 时，(1,∞-)⋃(+∞,1)；当12-<<-a 或21<<a 时，解集为 (223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )；当1-=a 时，解集为(1,∞-)； 当11<<-a 时，)(*解集为(22312322----a a a ,22312322--+-a a a )；当1=a 时，)(*解集为(+∞-,1)；当2=a 时，解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1).通过此例我们知道原来解任意含参数的一元二次不等式对参数进行分类讨论时只需求出二次项系数等于零和判别式0=∆时所得到的参数的值，然后依此进行分类即可，这样这类问题便有了“通法”，都可迎刃而解了。
一元二次不等式的解法含答案
一元二次不等式的解法含答案(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--课时作业16 一元二次不等式及其解法时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为( ) A ．[2,3] B ．[2,3) C ．(2,3) D ．(2,3]【答案】 A【解析】 因为方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2或x ＝3，所以不等式的解集为{x |2≤x ≤3}．2．若a 2－174a ＋1<0，则不等式x 2＋ax ＋1>2x ＋a 成立的x 的范围是( )A ．{x |x ≥3或x ≤1}B ．{x |x <14或x >4}C ．{x |1<x <3}D ．{x |x ≤－3或x >1}【答案】 D【解析】 由a 2－174a ＋1<0，得：a ∈(14，4)．不等式x 2＋ax ＋1>2x ＋a ，可化为：(x －1)[x －(1－a )]>0， ∴x <1－a 或x >1， ∴x ≤－3或x >1.3．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集为(1，m )，则实数m ＝________.【答案】 2【解析】 ∵x ＝1是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的根，∴a －6＋a 2＝0，∴a ＝2或－3.当a ＝2时，不等式2x 2－6x ＋4<0的解集为(1,2)，∴m ＝2.当a ＝－3时，不等式－3x 2－6x ＋9<0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不合题意．4．求函数f (x )＝log 2(x 2－x ＋14)＋x 2－1的定义域．【解析】由函数的解析式有意义，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋14>0，x 2－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠12，x ≤－1或x ≥1.因此x ≤－1或x ≥1.故所求函数的定义域为{x |x ≤－1或x ≥1}．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分) 1．不等式2x 2－x －1>0的解集是( ) A ．(－12，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞)【答案】 D【解析】 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为(－∞，－12)∪(1，＋∞)．故应选D.2．设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(?RB )＝( )A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)【答案】 B【分析】 先解不等式求出集合B ，然后进行集合的相应运算．【解析】 B ＝{x |－1≤x ≤3}，A ∩(?R B )＝{x |3<x <4}，故选B. 3．函数y ＝11－x2＋lg(3x －x 2)的定义域为( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |0<x <3} C ．{x |0<x <1} D ．{x |－1<x <3}【答案】 C【解析】 由题意须满足⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，3x －x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0，x 2－3x <0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，0<x <3，∴0<x <1. 4．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是{x |－12<x <13}，则a －b 等于( )A ．－4B ．14C ．－10D ．10【答案】 C【解析】 ∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－12<x <13}，∴－12、13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a－12×13＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝－2.∴a －b ＝－10.5．设f (x )＝x 2＋bx ＋1，且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．RC ．{x |x ≠1}D ．{x |x ＝1}【答案】 C【解析】 ∵f (－1)＝f (3) ∴1－b ＋1＝9＋3b ＋1 ∴b ＝－2，∴f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2， ∴f (x )>0的解集为x ≠1.6．若关于x 的不等式mx 2－(2m ＋1)x ＋m －1≥0的解集为?，则( )A ．m <0B ．m <－18C ．－18<m <0D ．m 的值不存在 【答案】 B【解析】 要使不等式的解集为?，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ<0，∴m <－18.7．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1a)>0的解集是( )A ．{x |1a<x <a }B ．{x |a <x <1a}C ．{x |x <a 或x >1a}D ．{x |x <1a或x >a }【答案】 B【解析】 原不等式可化为(x －a )(x －1a)<0.又∵0<a <1，∴1a>1>a >0，∴原不等式的解集为{x |a <x <1a}．8．如果ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2或x >4}，那么对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有( )A ．f (5)<f (2)<f (－1)B ．f (2)<f (5)<f (－1)C ．f (2)<f (－1)<f (5)D ．f (－1)<f (2)<f (5)【答案】 C【解析】 ∵ax 2＋bx ＋c >0的解集为x <－2或x >4. 则a >0且－2和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴－b a ＝2，ca＝－8.∴函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，对称轴为x ＝－b 2a＝1.∴f (5)>f (－1)>f (2)，故选C.二、填空题(每小题10分，共20分)9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如表：【答案】 {x |x <－2，或x >3}【解析】 由图表可知a >0.且f (3)＝0，f (－2)＝0.∴ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2，或x >3}．10．若a <0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是________．【答案】 {x |x >－a 或x <5a }【解析】 方程x 2－4ax －5a 2＝0的两根分别为－a 和5a ，且－a >5a .∴不等式的解集是{x |x >－a 或x <5a }．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．解不等式．(1)－x 2＋2x －3>0；(2)x 2＋x >－14；(3)－2x 2＋3x －2<0.【分析】 把不等式化为二次项系数为正，右边为0的形式，利用“三个二次”之间的关系求解．【解析】 (1)原不等式可化为x 2－2x ＋3<0， ∵Δ＝(－2)2－4×1×3＝－8<0， ∴原不等式的解集为?.(2)原不等式可化为x 2＋x ＋14>0.∵Δ＝12－4×1×14＝0，∴方程x 2＋x ＋14＝0有两个相等实根x 1＝x 2＝－12.∴原不等式的解集为{x |x ≠－12，x ∈R }．(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0. ∵Δ＝(－3)2－4×2×2＝－7<0， ∴原不等式的解集为R .【规律方法】 一元二次不等式化为二次项系数为正的形式后，若Δ≤0，可根据二次函数的图象直接写出解集．12．解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)>0(a ∈R )． 【解析】 当a ＝0时，原不等式化为x －2<0，∴x <2. 当a <0时，原不等式化为(x －2)(x －2a)<0，∴2a<x <2.当a >0时，原不等式化为(x －2)(x －2a)>0.①当0<a <1时，x >2a或x <2.②当a ＝1时，x ≠2. ③当a >1时，x >2或x <2a.综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；当a <0时，原不等式的解集为{x |2a<x <2}；当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x >2a或x <2}；当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2}；当a >1时，原不等式的解集为{x |x >2或x <2a}．。
《一元二次不等式及其解法》练习题
一元二次不等式及其解法、选择题—x 2+3x, x<02 .2x + 2m 奸 m ...... ..................... 如果不等式4x2+6x+ 3 v 1对一切实数‘x 均成立，则实数 m 的取值范围是1.设集合 A= {x|x 2—2x —3<0} B= {x|1 <x<4},贝U An B=(2.3.A. {x|1 < x<3} C. {x|3<x<4} x- 2 不等式R7w 。
的解集是A.(―巴—1)U( —1,2] C.(―巴—1) U [2 , +oo)若不等式ax 2+ bx+c>0的解集是 B. D. {x|1 & x<3} {x|3 & x< 4}B. (-1,2]D. [—1,2](—4,1),则不等式 b(x 2—1)+a(x+「3)+c>0 的解集为A. (-1, 1)3 4.(一巴 1) U ( -,+00)3C. (-1,4).(—8, — 2) U (1 , +oo)4.在R 上定义运算:x*y = x(1 —y).若不等式(x —y)*( x+ y)<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是1 3 A (—2,2) C. (-1,1)D. (0,2)5.若函数f(x) = (a 2+4a — 5)x 2—4(.a —1) x+3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是 A. [1,19] B. (1,19) 6. C. [1,19)设 f (x) =x 2 + bx — 3D. (1,19]且f( - 2) = f (0),则f(x)<0的解集为 A. (―3,1) B. [-3,1] C. [-3, - 1] D. (-3, -1]二、填空题7. 已知函数 y=(m- 1)x 2- mx- m 的图象如图，则 m 的取值范围是8.已知f(x) x2，x>0,则不等式f(x)<f(4)的解集为9.三、解答题10.解下列不等式：(1) -x2 + 2x-2>0;3(2)8 x- 1<16x2r.11.已知函数 f (x) = —x2+ax+b2—b+1( ae R, be R),对任意实数x 者B有f(1—x)= f(1+x)成立，若当xC[—1,1]时，f(x)>0对xC [ —1,1]恒成立，求b的取值范围.12.某商品在最近30天内的销售价格f(t)与时间t (单位：天)的函数关系是f(t)=t十.10(0<tW30, tCN);销售量g(t)与时间t 的函数关系是g(t) = - t +35(0<t <30, tC N),记日销售金额为①(t)(单位：元)，若使该种商品日销售金额不少于450元，求时间t 满足的条件.详解答案一、选择题1.解析：由x2-2x- 3<0,得(x—3)( x+1)<0 ,即一1<x<3.A= {x| —1<x<3}.又< B= {x|1 <x<4},••.An B= {x|1 <x<3}.答案：A一,一x - 2 ，一一_.2.解析：••・F^wo 等价于(x —2)( x+1)W0, (xw—1) x I I—1<x<2.答案：B3.解析：由不等式ax2+bx+c>0的解集为( — 4,1)知a<0, —4和1是方程ax2 + bx+c=0的两根，，- 4+1 = —一，-4X1=-即b=3a, c= — 4a.故所求解的不等式为3a(x2a a—1)+a(x+ 3) -4a>0,即3x2+x-4<0,解得一4Vx<1.3答案：A4.解析：由题意知，(x —y)*( x + y) = (x—y)[1 -(x+y)]<1对一切实数x恒成立，，—x2+x + y - y - 1<0 对于x C R 恒成立,故A = 1 - 4X( - 1)x( y - y - 1)<0 ,• •4y2-4y- 3<0,解得—2<y<|.答案：A5.解析：函数图象恒在x轴上方，即不等式(a2+4a— 5)x2—4(a—1) x+3>0对于一切x 6 R恒成立.(1)当a2+4a—5=0时，有a= —5或aa= —5,不等式化为24x+3>0,不满足题意;若a=1,不等式化为3>0,满足题意. 2(2)当a +4a —5wo时，应有a2+ 4a- 5>0,解得1<a< 19.综上可知, a的取值范围是16 a-1 2—12 a2+4a —5 <0K a<19.答案：C一一，一 - - b — 2+06.斛析：J f ( - 2) = f (0) , *. x= - -= 2—= - 1， 而 b = 2r ..•.f(x)<0? x2+2x -3<0? (x+3)(x —1尸0, • • — 3w xW 1.答案：B 二、填空题m- 1<0 2 mH 1 <04答案：0,-5当 x<0 时，由一x 2+3x<2, 得x<1或x>2,因此x<0. 综上，有0wx<4或x<0,即x<4, 故 f(x)<f(4)的解集为{x|x<4}. 答案：｛x|x<4｝9 .解析：由于 4x 2+6x+3>0,所以不等式可化为2十 (6 -2m)x+ (3 - m) >0.依题息有(6 - 2m) -8(3 - m) < 0,解得 1V 3.答案：(1,3) 三、解答题10 .解：(1)两边都乘一3,彳导3x2-6x+2<0, •••3x 2-6x+2=0 的解是 3 3x= 1-y, x2= 1 + -3-,16x 2-8x+1>0,其相应方程为 16x 2—8x+1 = 0, △ = (—8)2-4X 16= 0.，上述方程有两相等实根结合二次函数y= 16x 2- 8x+ 1的图象知, 原不等式的解集为 R.，原不等式的解集为｛x|13 33 <x<1+ 3 }.7.解析：由图可知A<0 4 0<m<. 58.解析：f(4) =2, 即不等式为f(x)<2.,, ,x当x>0时，由2<2,得 0Wx<4;_ 2 _ . 2 22x+2m 奸 m< 4x+6x+3,即 2x(2)法一：二.原不等式即为法二：8x-1<16x2? 16x2-8x+1>0 ? (4\-1)2>0,・•.xC R,，原不等式的解集为R.- ....... a -11.解：由f (1 — x) = f(1 + x),知f (x)的对称轴为x=2=1,故a=2.又f(x)开口向下，所以当x€ [ -1,1]时，f(x)为增函数，f(x)min=f( — 1) = 一1 一2+b — b+1=b — b一2, f(x)>0 对xC[ — 1,1]恒成立，即f (x)min=b2— b— 2>0 恒成立，解彳导b<- 1或b>2.12.解：由题意知①(t) = f(t)g(t) = (t + 10)( -t +35)=—t2+25t+350(0<t W30, tCN),由①(t) >450 得—t2+25t +350>450? t2—25t +100<O ? 5< t<20..所以若「使该种商品日销售金额不少于450元，则时间t满足tC[5,20]( tCN).、选择题（每题3分，共30分）1.若方程(m 2)x㈣3mx 1A. 0B. 2C.2. 方程X2X的根是（3.4.5.6.7.8.次方程单元测试班级姓名成绩0是关于x的一元二次方程，则m =（D.B. C. X D.一、 (2)若X1、X2是方程XB.已知关于X的方程以分解为（A. (x 1)(x+2) x20的两根，则(X1X I2) (X22 X2 2）的值为（对于任意实数x,多项式A.非负数若a b+c=0, awQC. 1D. 1pX + q = 0的两根是X1 =1, X2 = 2,则二次三项式X2PX +qB. (x 1)(x 2)X2- 5X+8的值是B.正数贝历程ax2bxB. 0如果关于x的方程ax 2+x-1= 0有实数根，则A.方程A.C. (x +1)(x 2)C.负数0必有一个根是（ C. - 1a的取值范围是（D.D.(x +1)(x+2)无法确定D,不能确定C. a> 一且aw04D. a > ——J E La w O4x2+ ax+1=0 和x2-x—a=0 有一个公共根, 则a的值是（B. 1C. 2D.29. 一兀二次万程m 2 x4mx 2m 6 0有两个相等的实数根，则m等于x(x+4)=8x+1215 . 在实数范围内分解因式 ：x 22志x + 2 =16 .关于x 的代数式x 2（m 2）x 9中，当m=时，代数式为完全平方式17 .若一个等腰三角形的三边长均满足方程x 26x+8=0,则此三角形的周长为18 .已知方程x 2-b x + 22 = 0的一根为5 6 则b=,另一根为= . 19 .当k<1时，方程2 （k+1） x 2+ 4kx+2k 1=0的根的情况为 . 20 .从正方形的铁皮上， 截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2,则原来的正方形铁皮的面积是 ____________________A. -6B. 1C. 2D.-6 或 110.某化肥厂第一季度增产 a 吨化肥，以后每季度比上一季度增产 x%,则第三季度化肥增产的吨数为（ 2 A. a(1 x) B . a(1 x )2 2 C.(1 x%)2 2D. a a( x%)二、填空题（每题 3分，共 30 分）: 11.下列方程中， ① 2x 2 5 = 0, 2x 2+- 3 = 0,x 2x + 81 =0,x 2~2x73 ,⑤ x 2+2x+2 x 22x 30,次方程12若关于y 的方程ky 24y 33y + 4有两个实根，的取值范围. 、 一2 次方程（a 1）x x2 - - .a 1 0的一个根是 0,三、解关于X 的方程（每小题5分，共20分）2221 . 5x 3 x 1方法)2x 2 3 7x23224 . x 517 x 530 0四、解答题（第 25、26题6分，第27题8分）：25 .如图所示，某地有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为 120平方米的矩形草坪 ABCD.求该矩形草坪 BC 边的长.26 .某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆 -的株数构成一定的关系.每盆22.(配3x 2+5(2x+ 1)=0植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株?27.在日常生活中，我们经常有目的地收集数据，分析数据，作出预测.根据图中提供的信息，回答下列问题：①2009年小芳家月用电量最小的是月，四个季度中用电量最大的是第季度；②求2009年5月至6月用电量的月增长率；(2)今年小芳家添置了新电器.已知今年5月份的用电量是120千瓦时，根据2009年5月至7 月用电量的增长趋势，预计今年7月份的用电量将达到240千瓦时.假设今年5月至6月用电量月增长率是6月至7月用电量月增长率的1.5倍，预计小芳家今年6月份的用电量是多少千瓦时？27.答案一、选择题：1.B5.B6.C7.B8.C9. D 10.B二、填空题：……2 一 一 .11 .①③12 . x 4x 12 013 . k 15. (x 君 1)(x 33 1) 16, 4 或 8 17. 1019.有两个不相等的实数根20. 64cm 2三、解关于x 的方程,1 c 1 1321. 1,一 22. 3,—23. 5,1324. 20, 73 23四、解答题：解得：x 1 12, X2 20, ••-20> 16,x 2 20不合题意，舍去,得 x 3 3 0.5x10.化简，整理，的x 23x 2 0. 解这个方程，得x 1 1,x 2 2.25. .解：设BC 边的长为 x 米，根据题意得32 x120,26.解：设每盆花苗增加x 株，则每盆花苗有x 3株，平均单株盈利为 3 0.5xZ 且 k w 0 418. 10, 5 + J3答：要使得每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株27.解①5,三•②胃泮x 100% = 65%霹，2009年5月至6月用电量的月增长率是65%.而■设6月至7月用电量月R长率为N.flff月至6月用电量月第长率是IN二由M意得E2OU + 1.5］乂14•外2“ 化施1113f+5 工- 2。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识总结例题(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识总结例题单选题1、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（ ） A ．4×x 0.5≥100B ．4×x 0.5≤100C ．4×x0.5>100D ．4×x0.5<100 答案：C分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x 0.5m ．由题意可得4×x 0.5>100．故选：C.2、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（ ） A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞) 答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13} 则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−ba(−12)⋅13=2a ， 解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16)故选：A3、若关于x 的不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2,5)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−2,+∞)B ．(3,+∞)C ．(6,+∞)D ．(2,+∞) 答案：D分析：设f(x)=x2−6x+11，由题意可得a>f(x)min，从而可求出实数a的取值范围设f(x)=x2−6x+11，开口向上，对称轴为直线x=3，所以要使不等式x2−6x+11−a<0在区间(2，5)内有解，只要a>f(x)min即可，即a>f(3)=2，得a>2，所以实数a的取值范围为(2,+∞)，故选：D4、已知a>1，则a+4a−1的最小值是（）A．5B．6C．3√2D．2√2答案：A分析：由于a>1，所以a−1>0，则a+4a−1=(a−1)+4a−1+1，然后利用基本不等式可求出其最小值由于a>1，所以a−1>0所以a+4a−1=a−1+4a−1+1≥2√(a−1)⋅4(a−1)+1=5，当且仅当a−1=4a−1，即a=3时取等号.故选：A.5、不等式−x2+3x+18<0的解集为（）A．{x|x>6或x<−3}B．{x|−3<x<6}C．{x|x>3或x<−6}D．{x|−6<x<3}答案：A分析：根据二次不等式的解法求解即可.−x2+3x+18<0可化为x2−3x−18>0，即(x−6)(x+3)>0，即x>6或x<−3．所以不等式的解集为{x|x>6或x<−3}.故选：A6、已知使不等式x2+(a+1)x+a≤0成立的任意一个x，都满足不等式3x−1≤0，则实数a的取值范围为（）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13] C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞) 答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解. 解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0， 当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13，当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合， 故实数a 的取值范围为[−13,+∞). 故选：C.7、已知x ∈R ，则“(x −2)(x −3)≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的（ ）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要 答案：C分析：先证充分性，由（x −2）(x −3）≤0 求出x 的取值范围，再根据x 的取值范围化简|x −2|+|x −3|即可，再证必要性，若|x −2|+|x −3|=1，即|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|，再根据绝对值的性质可知（x −2）(x −3）≤0．充分性：若（x −2）(x −3）≤0，则2≤x ≤3， ∴|x −2|+|x −3|=x −2+3−x =1，必要性：若|x −2|+|x −3|=1，又∵|（x −2）−（x −3）|=1，∴|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|， 由绝对值的性质：若ab ≤0，则|a |+|b |=|a −b|， ∴（x −2）(x −3）≤0，所以“（x −2）(x −3）≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的充要条件， 故选：C ．8、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则不等式ax 2+bx +c >0的解集是（ ）A ．{x|−2<x <1}B ．{x|x <−2或x >1}C ．{x|−2≤x ≤1}D ．{x|x ≤−2或x ≥1} 答案：A分析：由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集. 由二次函数图象知：ax 2+bx +c >0有−2<x <1. 故选：A 多选题9、若正实数a ，b 满足a +b =1，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 有最大值14B ．√a +√b 有最大值√2C ．1a+1b有最小值4D ．a 2+b 2有最小值√22答案：ABC分析：由已知结合基本不等式及相关结论分别分析各选项即可判断．解：因为正实数a ，b 满足a +b =1，所以1=a +b ≥2√ab ，当且仅当a =b =12时取等号，所以ab ≤14，故ab 有最大值14，故A 正确；(√a +√b)2=a +b +2√ab =1+2√ab ≤1+2√14=2，当且仅当a =b =12时取等号，故√a +√b ≤√2，即√a +√b 有最大值√2，故B 正确；1a+1b=a+b ab=1ab≥4，当且仅当a =b =12时取等号，故1a+1b有最小值4，故C 正确；a 2+b 2=(a +b )2−2ab =1−2ab ≥12，当且仅当a =b =12时取等号，所以a 2+b 2有最小值12，故D 错误． 故选：ABC ．10、若−1<a <b <0，则（ ）A ．a 2+b 2>2abB ．1a <1b C ．a +b >2√ab D ．a +1a >b +1b 答案：AD分析：应用作差法判断B 、D ，根据重要不等式判断A ，由不等式性质判断C. A ：由重要不等式知：a 2+b 2≥2ab ，而−1<a <b <0，故a 2+b 2>2ab ，正确； B ：由−1<a <b <0，则1a −1b =b−a ab>0，故1a >1b ，错误；C ：由−1<a <b <0，则a +b <0<2√ab ，错误；D ：(a +1a)−(b +1b)=a −b +1a−1b=a −b +b−a ab=(a −b)(ab−1ab)>0，故a +1a>b +1b，正确.故选：AD11、设a >0，b >0，给出下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+1>a B ．a 2+9>6aC ．(a +b )(1a +1b )≥4D ．(a +1a )(b +1b )≥4答案：ACD分析：选项A ，B 可用作差法比较大小；选项C ，D 可用基本不等式求范围. 由(a 2+1)−a =(a −12)2+34>0可得a 2+1>a ，故A 正确； 由(a 2+9)−6a =(a −3)2≥0可得a 2+9≥6a ，故B 错误；由(a +b )(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ⋅ba =4，当且仅当a =b 时取等号，故C 正确； 由(a +1a )(b +1b )=(ab +1ab )+(ab +ba )≥2√ab ⋅1ab +2√ab ⋅ba =4，当且仅当{ab =1aba b=b a，即a =b =1时取等号，故D 正确. 故选：ACD. 填空题12、不等式x+3x−1>0的解集为______________． 答案：{x |x <−3或x >1}分析：由题可得(x −1)(x +3)>0，进而即得. 由x+3x−1>0，得(x −1)(x +3)>0， 所以x <−3或x >1，故不等式得解集为{x |x <−3或x >1}． 所以答案是：{x |x <−3或x >1}． 13、不等式x 2+2x−3x+1≥0的解集为__________．答案：[−3,−1)∪[1,+∞) 分析：将x 2+2x−3x+1≥0等价转化为{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解不等式组可得答案.原不等式等价于{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0， 解得x ≥1 或−3≤x <−1 ， 所以答案是：[−3,−1)∪[1,+∞)14、若0<x <2，则y =√2x(2−x)的最大值为_______ 答案：√2分析：由基本不等式求最大值．∵0<x <2，∴2−x >0，∴y =√2⋅√x(2−x)≤√2⋅x+2−x 2=√2，当且仅当x =2−x 即x =1时取等号，∴当x =1时，有最大值√2. 所以答案是：√2． 解答题15、某汽车公司购买了4辆大客车用于长途客运，每辆200万元，预计每辆客车每年收入约100万元，每辆客车第一年各种费用约为16万元，从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元.（1）写出4辆客车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N∗)的函数关系式：（2）这4辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大利润是多少？答案：（1）y=16(−2x2+23x−50)；（2）这4辆客车运营5年，可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.分析：（1）由题知，每辆车x年总收入为100x万元，总支出为200+16×(1+2+3+⋅⋅⋅+x)，进而得利润的表达式y=16(−2x2+23x−50)；（2）结合（1）得年平均运营利润为yx =16[23−2(x+25x)]，再根据基本不等式求解即可得答案.解：（1）依题意得，每辆车x年总收入为100x万元，总支出为200+16×(1+2+3+⋅⋅⋅+x)=200+16×x(1+x)2=200+8x(x+1)，所以4辆客车运营的总利润y=4[100x−200−8x(x+1)]=16(−2x2+23x−50).（2）年平均运营利润为yx =16(−2x+23−50x)=16[23−2(x+25x)]，因为x∈N∗，所以x+25x ≥2√x⋅25x=10，当且仅当x=5时，等号成立，此时yx≤16×(23−2×10)=48，所以这4辆客车运营5年，可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.。
一元二次不等式的经典例题及详解
典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或 典型例题三例3 解不等式242+<-x x分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a 二是根据绝对值的性质：a x a x a x a a x >⇔<<-⇔<.,或a x -<，因此本题有如下两种解法．典型例题四例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>-+<+-041205622x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-041205622x x x x 所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解．说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解．解法二中，“定符号”是关键．当每个因式x 的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．典型例题五例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 分析：不等式左右两边都是含有x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解． 说明：此题易出现去分母得)23(2222x x x x x -+<-+的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．典型例题六例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．分析：进行分类讨论求解．典型例题七例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解．说明：本题分类讨论标准“20≤<a ，2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2a x >，1≤x ’，(2)中‘2a x ≥，1>x ’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．典型例题八例8 解不等式331042<--x x ．分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可．说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．典型例题九例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．分析：不等式中含有字母a ，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程0)(322=++-a x a a x 的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a ，故需比较两根的大小，从而引出讨论．说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根a x =1，22a x =，因此不等式的解就是x 小于小根或x 大于大根．但a 与2a 两根的大小不能确定，因此需要讨论2a a <，2a a >，2a a =三种情况．典型例题十例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c 的正负，然后求出方程02=++a bx cx 的两根即可解之．说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有α，β是已知量，故所求不等式解集也用α，β表示，不等式系数a ，b ，c 的关系也用α，β表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根．典型例题十二例12 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 分析：不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于a 、b 式子．说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解． 典型例题十三例13 不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值．分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为{}21<<-x x ，不等式022<-+bx ax 需满足条件0>a ，0>∆，022=-+bx ax 的两根为11-=x ，22=x ．说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力．对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好．典型例题十四例14 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想．解：分以下情况讨论(1)当0=a 时，原不等式变为：01<+-x ，∴1>x(2)当0≠a 时，原不等式变为：0)1)(1(<--x ax ①①当0<a 时，①式变为0)1)(1(>--x a x ，∴不等式的解为1>x 或ax 1<． ②当0>a 时，①式变为0)1)(1(<--x ax ． ② ∵a a a -=-111，∴当10<<a 时，11>a ，此时②的解为a x 11<<．当1=a 时，11=a，此时②的解为11<<x a． 说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解．典型例题十五例15 解不等式x x x ->--81032．分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =，而)()(x g x f >等价于：⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f ． 解：原不等式等价于下面两个不等式组：①⎩⎨⎧≥--<-0103082x x x ②⎪⎩⎪⎨⎧->--≥--≥-222)8(103010308x x x x x x由①得⎩⎨⎧-≤≥>258x x x 或，∴8>x 由②得∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≥≤.1374258x x x x 或 81374≤<x ， 所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤<881374x x x 或，即为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>1374x x ． 说明：本题也可以转化为)()(x g x f ≤型的不等式求解，注意：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥⇔≤2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ， 这里，设全集}52{}0103{2≥-≤=≥--=x x x x x x U 或，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=x x x x A 81032， 则所求不等式的解集为A 的补集A ，由2)8(10301030881032222-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≥--≥-⇔-≤--x x x x x x x x x x 或13745≤≤x ． 即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤=137452x x x A 或，∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=1374x x A ．。