线性规划问题解的概念和性质

仅就标准形LP问题说明其合理性。
第因五标节准型线是性一个规m划阶n问维题的L解P问的题概，则念从和其性系数质阵的n
列中取出m列，所构成其基的个数不超过
C
m n
=
n！ m！(n-m)！
<
∞
而标准型问题的
பைடு நூலகம்
a11
B
am1
a1m ( p1 pm )
amm
称 B中每个列向量Pj ( j = 1 2 … … m) 为基向量。与基向量Pj
对应的变量xj ( j = 1 2 … … m)为基变量。除基变量以外的变
量为非基变量。
第范五例节 线性规划x1问x题2 解x3 的x概4 x念5 和性质
称为一个(关于 B0 为基的) 基本解。
也可第取五B1=节( a2 ,线a3 ,性a4 )规为基X划,1得=问( 0，题9，解8，的- 6概，0念)T 和性质
还可取 B2= ( a1 ,a2 ,a3 )为基,得
等等。
X2 = ( 4，6，4，0，0 )T
基本可行解
满足非负性约束的基本解。 如 X0 ， X2 ；而 X1 不可行。 对基本(可行)解而言：在其分量中，若有一个或更多个基变量取值为
性质2：LP问题标准型的一个基本可行解与可行域 R 的一个极点 互相对应。
性质3：线性规划的基本定理 对于一个给定的标准型LP问题标准型来说： ⑴ 若标准型有可行解，则必有基本可行解； ⑵ 若标准型有最优解，则必有最优基本解。
性质4：若LP问题的可行域 R≠Ø, 则 R 至少有一极点。
性质5：LP问题可行域 R 的极点数目必为有限个。
例：第求五线节性规线划性问规题的划所问有题基矩解阵的。概念和性质
max Z 4 x1 2 x2 x3
5
x1 10x
x2 1
x3 x4 3 6x2 2x3 x5
2
x
j
0,
j
1,
,5
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
5
A
10
1 6
1 2
1 0
0
1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵（不等于0）只有9个，即
表示为
X =λY+(1-λ)Z (0<λ<1)
则称X为S的一个极点。
三、 凸组合
设Xi∈En, 实数μi ≥0,i = 1,2,… , s,且∑μi = 1，则称 X = μ1X1 + μ2X2 +…+ μsXs
为点 X1，X2，… ，Xs 的一个凸组合。
线性规划的解的性质
第五节 线性规划问题解的概念和性质 性质1：LP问题标准型的可行域 R = { X︱AX=b, X ≥0 } 是凸集。
0，则称其为一个退化的基本(可行)解，否则为非退化的。
如设：
X = ( 0，6，5， 0 ，0 )T
是一个基本可行解，其中 x5 =0 为基变量，则该X为退化的基本可行解。
第非退五化节的基线本性(可规行)划解问，恰题有解m的概个念非 0和分性量质，
并恰有 n – m 个 0 分量。
基本可行解对应的基，称为可行基；
可见，有一个基就可以求出一个基本解。在基解中变量取非
0值的个数不大于方程数m，基解的总数不超过
Cm n
基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，简称基可行
解。
可行基：对应于基可行解的基称为可行基。
可 行 解
非可行解
基解
基可行解
基第本五解节 线性规划问题解的概念和性质 范例的标准形
max z = 3x1 + 5x2
10 100
A= 0 2 0 1 0
34 001
a1 a2 a3 a4 a5
可取 B0=（a3 ,a4 ,a5）为基（| B0 |≠0）,这时 称 a3 ,a4 ,a5 为基向量，而 a1 ,a2 为非基向量；称 x3 ,x4 ,x5 为基变量，而 x1 ,x2 为非基变量。
由第约基束解五条（节件基方本程解线②）性解：出某规基一划变确量定问，的题称基这B解，组的令解非为概基基念变解量（和等基性于本零解质，）。
为可可行行第解解五。：所满节有足可约线行束解性条的件规集②合划、为③问可的行题解域X解0。= 的( x1，概x2念，…和，性xn )质T
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
基：设A为约束条件②的m×n阶系数矩阵(m<n)，其秩为 m，B是矩阵A中m阶满秩子矩阵（非奇异子矩阵） （∣B∣≠0），称B是线性规划问题的一个基。设：
5 1
1 1
5 0
1 1
B1 10 6 B2 6
2
B3
10
1
B4 6
0
5 1
1 0
1 1
1 0
1 0
B5 10
0
B6
2
1
B7
2
0
B8 6
1
B9
0
1
凸性的几个基本概念
一、第凸五集 节 线性规划问题解的概念和性质
设S En，对任意两点X∈S ，Y∈S，若对满足0 ≤μ ≤1的一切
x1
+x3
=8
2 x2 +x4 = 12
s.t. 3x1 + 4x2
+x5 = 36
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0
取 B0=（a3 ,a4 ,a5）为基，令一切非基变量 x1= x2 = 0,
可解得基变量
x3 = 8 ， x4 = 12 ， x5 = 36
则得一特解
X0 = ( 0，0，8，12，36 )T
线性第规五划节问题线的性解 规划问题解的概念和性质
线性规划问题
n
max Z c j x j (1) j1
s.t
n j1
aij x j
bi
(i 1,2, , m)
(2)
x j 0, j 1,2, , n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
实数μ ，都有 则称S为凸集。
表示S 中两点 X，Y 连线上的任一点
μX+(1- μ)Y ∈ S
凸集的几何意义：凸集S中任意两点 X，Y 连线上的点，都在凸集S中。 X
X
Y 非 凸集
凸集
Y 非凸集
二、第极五点节 线性规划问题解的概念和性质
设凸集S En, X∈S，如果X不能用S中不同的两点Y和Z
最优基本解对应的基，称为最优基。
如：基
B0= ( a2 ,a3 ,a4 )
为可行基
对应
X0 = ( 0，0，8，12，36 )T 可行
基 B1= ( a2 ,a3 ,a4 )
为非可行基
对应
X1 = ( 0，9，8，- 6，0 )T 不可行
基 BB*2 = ( a1 ,a2 ,a3 )
为最优基
对应 xX*2 = ( 4，6，4，0，0 )T x*