断裂力学讲义第三章弹性力学的平面问题

第3章 弹性力学的平面问题

任何弹性力学问题都是空间问题，但是在某些条件下，它们可以简化为平面问题。 在平面问题中，我们以x,y,z 表示直角坐标系的三个坐标，以u,v,w 表示相应的位移分量，而以xx σ、yy σ…和xx ε、yy ε…分别表示相应的应力分量和应变分量。

§3.1 平衡方程与变形协调方程

在平面问题里，所有位移量都只是x , y 的函数，与z 无关，因而所有应变和应力分量也都只是x , y 的函数，与z 无关。平衡方程(2.40)可简化为

⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y yy

xy x xy

xx f y x f y x σσσσ (3.1)

变形协调方程(2.63)只余下

y

x x y xy yy

xx ∂∂ε∂∂ε∂∂ε∂22

2

222=+ (3.2) §3.2平面应力与平面应变

3.2.1平面应力问题

平面应力问题是指: 发生在物体某一方向(z 方向)的尺寸远小于其余两个方向尺寸的物体中，即物体是一个很薄的平板，此外还要求板的厚度均匀，所有外力都作用在板的中面内，或者所有外力都作用在与中面平行的平面内，且载荷对中面对称。根据这些前提条件，在物体的两个端面(上下底面)上，进而整个物体内，=zz σ0, 其它应力分量中0==zy zx σσ。

平面应力的应变分量, 根据虎克定律(2.95)式，有0==zx yz εε,

)(yy xx zz E

σσν

ε+-= (3.3)

利用(2.95)式，虎克定律可以写成

⎪

⎪⎪⎭

⎪

⎪⎪⎬⎫+==-=-=

xy xy xy xx yy yy yy xx xx E E E σνσμενσσενσσε121)(1)(1

(3.4)

3.2.2平面应变问题

平面应变问题是指：在弹性体沿某一方向(z 方向)的尺度远大于其余两个方向的尺度，而且物体形状及载荷沿z 方向不变的情况下，在任一远离端部且与xoy 平行的平面内，物体的变形都是相同的。此外，由于z 方向尺度极大，不能产生z 方向的位移，即0=w ，因此，物体内的变形只发生在与xoy 平行的平面内。这类弹性力学问题称之为平面应变问题。由应变与位移的关系直接得出0=zz ε，其它应变分量中，0==zx yz εε

平面应变的应力分量，根据虎克定律(3.15)式，有0==zx yz σσ

)(yy xx zz σσνσ+= (3.5)

利用(2.95)式，虎克定律可以写成

⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪

⎬⎫+==---=---=xy

xy xy xx yy yy yy xx xx E E E σνσμεσννσνεσνν

σνε121)1(1)1(122 (3.6)

3.2.3 虎克定律的统一形式

引入符号：

⎩

⎨

⎧-=)( )( )1/('2平面应力平面应变E E E ν， ⎩⎨⎧-=)( )

( )1/('平面应力平面应变νννν (3.7) 代入(3.4)和(3.6)式，虎克定律可以统一写成

⎪

⎪⎪⎭

⎪

⎪⎪

⎬⎫+==-=-=xy xy xy xx yy yy yy xx xx E E E σνσμεσνσεσνσε''121)'('1)'('1

(3.8)

以应力表示的变形协调方程为：

y

x x x x y xy xx

yy yy xx ∂∂∂+=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂σνσνσσνσ222222222)'1(2'' (3.9) 也可改写为：

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+∂∂+-=+∇y f x f y x yy xx )'1()(2νσσ (3.10)

其中⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+∂∂=∇22222

y x 为二维直角坐标系中的拉普拉斯算符。

由(3.7)还可以得到一个常用的关系式:

μν2'

'

1=+E (3.11) 在后面我们还经常用到一个材料常数κ, 它的定义是

⎩

⎨⎧+--=)( )1/()3()( 43平面应力平面应变νννκ (3.12)

利用弹性常数之间的关系式(2.97)，还可以得到常用的关系式

'421E μκ=+, '

'

1221E νμκ-⋅

=- (3.13) §3.3 Ａiry 应力函数

应力函数有许多种。本节只介绍平面问题中常用的Airy 应力函数。

在(3.10)中引入体力的势函数V ，满足

x

V

f x ∂∂-

=， y V f y ∂∂-= (3.14)

和Airy 函数),(y x U 使

V y U xx +∂∂=22σ， V x

U

yy +∂∂=22σ y x U xy ∂∂∂-=2τ (3.15)

则平衡方程自动满足，代入协调方程，得到

()V U U 2422'1)(∇--=∇=∇∇ν (3.16)

式中

44

224442

2

4

2)(y

y x x ∂∂+∂∂∂+∂∂=∇∇=∇ (3.17)

当体力势为零时, U 满足双调和方程

04=∇U (3.18)

应力分量与Airy 函数的关系成为

22y U xx ∂∂=σ， 22x

U

yy ∂∂=σ y x U xy ∂∂∂-=2τ (3.19)

Airy 函数可以取多种形式，例如多项式、三角函数等。这里只介绍一些矩形的平面问题，并取应力函数为多项式的形式。

由(3.18)可知，U 必须是二次以上的多项式。因为一次多项式只能使应力为零。在以下例子中，我们都假定0=V 。

表3.3.1列出了取二次和三次多项式中的一项为应力函数时的应力分布。各应力函数相应的矩形板的边界条件如表3.3.1第4列显示。

应力函数U

应 力 矩形板的边界条件

1

22

1ax 00===xy yy xx a τσσ

2

22

1cy 00===xy yy xx c τσσ

3

y bx ⋅

b xy yy xx -===τσσ00

4

y x e ⋅2

2

ex

ey xy yy xx -===τσσ0

5

3

6

y g 0

0===xy yy xx gy τσσ

当U